raz. mat 2 do

ALGEBRA 1ER AO

COLEGIO PREUNIVERSITARIO Segundo AoCOLEGIO PREUNIVERSITARIO Segundo Ao

FRACCIONES

La fraccin es una divisin de dos nmeros enteros. Como en toda divisin. El divisor es diferente de cero.

La fraccin se puede representar por: a/b

Donde a y b ( N y b ( 0

Si: a ( bentonces:

( La cantidad de partes que se toma

( La cantidad de partes en que se ha dividido la

unidad.

As tenemos por ejemplo:

Problema de aplicacin:

Maria tiene 2/3 de la que tiene Pedro. Juan tiene 3/5 de lo que tiene Maria y Armando solo tiene 5/2 de lo que posee Juan. Entre todos tienen 4,600 soles. Entonces Juan tiene:

SolucinPodemos desarrollarlo de un modo ligeramente diferente:

Digamos que Pedro tiene x soles, entonces:Maria tiene 2/3 de

Juan tiene de =

Armando tiene de = x

15x + 10x + 6x + 15 = 4,600 . 15

46x = 4,600 . 15

x = 1,500

Entonces Juan tiene: Rpta.

PROBLEMAS PARA LA CLASE

01) En un galn de 4 litros de capacidad esta lleno gasolina hasta sus 2/7. Cuntos litros deberamos agregar para que se llene el galn?

02) En una ciudad 5 de cada 9 habitantes usan anteojos. Si de estos, 3 de cada 5 usan sombreros. Qu fraccin del total de habitantes de dicha ciudad usan anteojos y sombrero a la vez?

03) Considere que uno mas, el quintuple de la tercera parte de la edad de Jos es igual al doble de 18. calcule su edad hace 13 aos.

04) Un jugador en su primer juego pierde la mitad de su dinero, en el segundo juego pierde de lo que le quedaba y en el tercer juego pierde 1/7 del nuevo resto. Qu fraccin del dinero inicial le ha quedado

05) En un depsito haba una cierta cantidad de litros de leche, de los que se vende la mitad. Si en un accidente se derrama los 6/11 del resto quedando 15 litros. Cuntos litros de leche haba inicialmente?06) La elaboracin de un plano arquitectnico demandara 28 horas de trabajo; si ya se comenz unas 21 horas. Qu fraccin del total falta?

07) En un cierto pas, hubieron elecciones con dos candidatos A y B, donde 3 de cada 5 habitantes prefirieron no votar. Si de las personas que votaron 5/6 lo hicieron por el candidato A. Qu fraccin del total de habitantes representan a los que votaron por A?

08) En un molino se tiene una cierta cantidad de toneladas de harina de los que se vende . Si luego se vende 2/5 del resto quedando por vender 27 toneladas. Cuntas toneladas de harina haba inicialmente?09) Un tanque tiene agua hasta la sptima parte de su capacidad total. Si le aadimos 201 litros, ahora el tanque tiene la tercera parte de su capacidad total en agua. Cul es la capacidad total del tanque?

010) Se sabe que los 3/5 de las 2/3 partes del nmero de libros de su estante es igual a los 3/2 del cuadrado de 4. indicar la mitad de la cantidad de libros.

011) Se observa que un depsito contiene solo de su capacidad y si le agregamos 21 litros, llegara a los 3/5 de su capacidad. Qu volumen contena inicialmente?

012) Un depsito esta lleno de agua hasta una cierta altura en metros. Si abrimos el desage y en cada hora el nivel de agua baja la mitad mas un metro, siendo que al final de la 3era hora ya no hay agua. Cul es la altura del nivel inicial de agua en el depsito?

013) De una cierta cantidad de dinero que tena me robaron la sptima parte; si de lo que me quedaba preste la mitad; Qu parte del dinero que tenia antes del robo me quedar?

014) Se compran dos latas de leche para el desayuno. Si la primera se consume la cuarta parte y de la segunda se consume la mitad; Qu parte del total de la leche comprada queda sin consumir?

015) Se tiene un depsito de vino el cual esta ocupado hasta los 4/5; si se extraen 3 litros, se reduce a . Cunto haba inicialmente en el depsito?

016) La edad de Miguel aumentada en sus 3/7 partes es igual a 20. Cul es su edad hace 2 aos?

017) La direccin del colegio ha efectuado compras de 2 tipos de tizas en iguales cantidades. Los profesores usan en clase 5/6 de un tipo y los del otro tipo. Qu fraccin de la cantidad total qued sin usar?018) Pedro, Juan y Jose compran una misma cantidad de hojas cada un, de las cuales Pedro emplea la mitad de sus hojas, Juan emplea las de las que compro y Jos gasta la cuarta parte de las suyas. Qu parte del total comprado queda sin usar?

019) A que es igual el doble de las tres quintas partes de 60, aumentado en los 2/3 de los 4/5 del mismo nmero?

020) Un depsito esta lleno totalmente; si se extraen 160 litros, su volumen disminuye en 2/3. indicar el volumen total.

EJERCICIOS PARA LA CASA

01) Se observa un depsito que contiene solo 1/3 de su capacidad y si le agrega 6 litros llegara a los 2/5 de su capacidad. Qu volumen contena inicialmente?

a) 90 L

b) 40 L

c) 60 L

d) 84 L

e) 30 L

02) Si tiene una cierta cantidad de toneladas de azcar de las que se vende 1/3 del resto quedando por vender 24 toneladas. Cuntas toneladas de azcar haba inicialmente?

a) 42

b) 52

c) 56

d) 48

e) 3603) En un depsito haba ciertas cantidades de litros de aceite de los que se vende la mitad. Si en un accidente se derrama los 3/10 del resto quedando 35 litros. Cuntos litros de aceite haba inicialmente?

a) 100

b) 80

c) 72

d) 120

e) 180

04) Si se calcula los de la suma de de 256 con los 3/5 de los 2/3 de 400; resuelta:

a) 206

b) 300

c) 128

d) 168

e) 620

05) Dos velas del mismo tamao se encienden y apagan a distinta hora. Si una de ellas se consume en sus 5/7 y la otra en sus 3/5; Qu fraccin del total de vela que haba al inicio quedara por consumir?

a) 24/35

b) 12/35

c) 17/35

d) 1/35

e) 11/35

06) La edad de Juanita es tal que el triple de su mitad, aumentando en 2, es igual a 41; indicar como respuesta la edad de Juanita dentro de 4 aos?

a) 24

b) 24

c) 34

d) 26

e) 42

07) Se tiene un depsito de agua el cual esta ocupado hasta los 6/7; si se extraen 9 litros, se reduce a 3/4-. Cunto haba inicialmente en el depsito?

a) 30 L

b) 48 L

c) 32 L

d) 36 L

e) 42 L

08) La edad de Karina aumentada en sus 2/3 partes es igual a 60. Cul es su edad hace 7 aos?

a) 29

b) 30

c) 32

d) 36

e) 42

09) De una determinada cantidad de toneladas de harina se pierde la tercera parte, vendiendo en seguida las partes del resto. Si tenemos que obsequiar la quinta parte del nuevo resto quedndonos al final 24 toneladas; Cul era la cantidad inicial de toneladas de harina?

a) 120

b) 64

c) 180

d) 72

e) 48

010) Un depsito esta lleno totalmente; si se extraen 256 litros, su volumen disminuye en 4/5. indicar el volumen total.

a) 320 L

b) 240 L

c) 300 L

d) 200 L

e) 350 L

011) Un tanque tiene kerosene hasta la sptima parte de su capacidad total; si la aadimos 100 litros, ahora el tanque tiene la quinta parte de su capacidad total con kerosene. Cul es la capacidad total del tanque?

a) 1150 L

b) 800 L

c) 900 L

d) 1750 L

e) 1200 L

012) El doble del nmero de alumnos que hay en el ala, aumentando en su tercera parte, es igual a 91. si 2/3 son varones. Cuntas damas hay?

a) 39

b) 26

c) 13

d) 40

e) 21

013) Felipe entra a dos libreras en forma sucesiva con una cierta cantidad de dinero. En la primera gasta 1/3 de lo que tenia mas S/. 10 y en la segunda gasta 1/10 de lo que tenia mas S/. 10. si regresa a su casa con S/. 53. Cul es la cantidad que tenia al inicio?

a) S/. 100

b) S/. 80

c) S/. 120

d) S/. 90

e) S/. 150

014) Un libro tiene 600 paginas y 7 captulos, de los cuales 3 de ellos representan la tercera parte del libro, otros 2 representan las 2/5 partes del libro. Cuntas paginas conforman los dos captulos restantes?

a) 90 L

b) 40 L

c) 60 L

d) 84 L

e) 30 L

015) Maritza va al mercado con una cierta cantidad de dinero para hacer 3 lugares diferentes. Cada vez que entra a un lugar gasta la mitad de lo que tiene mas S/. 2. si al final se queda con S/. 6,5; Cunto dinero tenia al inicio?

a) S/. 60

b) S/. 120

c) S/. 100

d) S/. 80

e) S/. 90

MEZCLAS PORCENTUALES

En este tema trataremos algo relacionado con las fracciones por que el porcentaje representa una cantidad tomada de cada 100 unidades en la que fue dividida un total.

Cuando vamos a la farmacia por alcohol, encontramos alcohol al 75%, alcohol de 75 alcohol concentrado al 75%, todas estas expresiones indican que el contenido de cada frasco esta compuesto por:

I. 75% de alcohol puro

II. 25 % de agua

Donde:

Concentracin

Problema de aplicacin:

Si un litro de alcohol al 30% pesa 940 g. Cunto pesara un litro de alcohol al 50%?

Solucin

Debemos saber que:

1 litro de agua pesa 1 kg.

Es decir:

100% (1 L de H2O) ( ( 1 Kg.

70% (1 L de H2O) ( ( 700 Kg.

50% (1 L de H2O) ( ( 500 Kg.

Luego:

Alcohol Puro

Puro = Total Piso de Agua

30 %

240 g= 940 g 700 g

50 %

= x 500 g

Aplicando una regla de tres Simple tenemos:30% (x - 500)=50% x 240 g.

3x 1500 g.=1.200 g.

3x=2700 g

x=900 g

X=0,9 Kg. Rpta.

EJERCICIOS PARA LA CLASE

01) Si tiene una mezcla de agua y vinagre al 30% de vinagre. Si se aade 3 litros de vinagre, la solucin queda al 40% Cuntos litros tenia la mezcla original?02) En 60 L de H2O hay 2 gramos de azcar. Si queremos que la mezcla guarde la relacin de 0,1 gramos de azcar por cada 4 L. Cuntos litros de H2O se deben agregar?

03) Se tiene un recipiente de 100 L al 40%. Se desea obtener una mezcla al 60%. Cunto de alcohol puro se debe agregar?

04) Cuntos litros de agua contendr una mezcla alcohlica de 150 L al 70%?

05) Se tiene una mezcla alcohlica de 300 L, donde el volumen de agua representa el 50 % del volumen de alcohol puro. Cuntos litros de alcohol puro se debe echar a la mezcla para obtener una mezcla alcohlica de 80%?

06) Determinar cuanto pesa 1 litro de una mezcla que contiene 70% de agua y 30 % de alcohol. Si el litro de agua pesa 1 kg. Y el litro de una mezcla de 75% de alcohol y 25% de agua pesa 960 g.

07) Fernando tiene 100 litros de una mezcla que contiene vino de S/. 6 y S/. 10 el litro. Si el precio medio de la mezcla es S/. 8,50. Cuntos litros de vino mas barato hay en la mezcla?

08) Carlos mezcla 35 litros de alcohol de S/. 6 el litro, con 65 litros de alcohol de S/. 8 el litro. Cul ser el precio promedio de la mezcla?

09) Un depsito contiene 30 litros de vino al 70%. Cuntos litros de agua deben agruparse para que la pureza sea del 50%?

010) Un qumico tiene una mezcla al 20% de alcohol y otra al 30% de alcohol. Cuntos litros de cada mezcla se necesita para preparar un total de 600 litros al 40% de alcohol?

011) Se mezclan 30 L de alcohol de 50 con 70 L de alcohol de 30. Determinar el grado de la mezcla resultante.

012) Hallar el grado de una mezcla de 24 L de alcohol puro y 36 L de agua.

013) Cuntos litros de agua se debe agregar a 90 litros de vino, cuyo precio por litro es S/. 20, si se desea obtener un vino cuyo precio sea de S/. 15 soles?

014) Un recipiente esta lleno de una mezcla de alcohol y H2O al 40%. Si se extrae la mitad de la mezcla y se reemplaza por H2O, luego se extrae la mitad de la nueva mezcla y se reemplaza por alcohol; Cul es la concentracin de la nueva mezcla?015) De un recipiente lleno de vino se extrae el 30% de lo que no se extrae. Qu tanto por ciento estar lleno el recipiente si se llena no completamente con el 20% de lo que faltaba para llenar?

016) Se mezclan 5 litros de un cido al 40 con 4 litros al 50% y al resultado se le agrega un diluyente hasta obtener una concentracin al 20% Cuntos litros de diluyente se empleo?

017) Se tiene 2 mezclas alcohlicas al 60% y 80%, de la primera se toma 25% y se mezcla con 20% del otro, obtenindose alcohol al 65%. Cul ser la pureza del alcohol que resulta al mezclar los contenidos restantes?

018) Si 50 L de una solucin contiene 21 L de alcohol, Cuntos litros de agua se deben agregar para obtener una solucin al 30%?

019) Se tiene una mezcla de 80 litros de vino A con 40 litros de vino B. si 15 litros de la mezcla cuestan S/. 115: Cunto cuesta un litro de vino A sabiendo que le costo de un litro de vino B es de S/. 9?

020) Se tiene una mezcla de 30 litros de liquido A con 70 litros de liquido B. si se extrae 60 litros de dicha mezcla; Cuntos litros de liquido B salen?


01) Se tiene un recipiente de 80 L al 40% se desea obtener una mezcla al 60%. Cunto de alcohol puro de le debe agregar?

a) 30 L

b) 40 L

c) 10 L

d) 50 L

e) 90 L

02) Hallar el grado de una mezcla de 18 L de alcohol puro y 54 L de agua.

a) 32

b) 20

c) 30

d) 40

e) 25

03) Un depsito contiene 20 litros de vino al 60%. Cuntos litros de agua deben agregar para que la pureza sea del 50%?

a) 8

b) 4

c) 12

d) 3

e) 5

04) Cuntos litros de agua contendr una mezcla alcohlica de 160 L al 40%?

a) 64 L

b) 96 L

c) 100 L

d) 40 L

e) 120 L05) Se mezclan 40 L de alcohol de 50 con 60 L de alcohol de 20. Determine el grado de la mezcla resultante.

a) 18

b) 16

c) 32

d) 28

e) 19

06) Tenemos una mezcla de vinagre y agua al 20% de vinagre. Si aadimos dos litros de vinagre, la solucin ser al 40%. Cuntos litros tenia la mezcla original?

a) 8 L

b) 4,6 L

c) 6 L

d) 4 L

e) 10 L

07) Rubn tiene 100 litros de u8na mezcla que contiene caa de S/. 4 y S/. 8 el litro. Si el precio medio de la mezcla es S/. 6,60. Cuntos litros de caa mas barato hay dicha mezcla?

a) 40

b) 35

c) 45

d) 30

e) 30

08) De un recipiente lleno de vinagre se extrae el 20% de lo que no se extrae. Qu tanto por ciento estar lleno el recipiente si se llena no completamente con el 40% de lo que faltaba por llenar?

a) 80%

b) 90%

c) 85%

d) 70%

e) 75%

09) Ana mezcla 40 litros de ron de S/. 6 el litro, con 60 litros de ron de S/. 11 el litro. Cul ser el precio promedio de la mezcla?

a) S/. 8

b) S/. 9

c) S/. 8,5

d) S/. 9,5

e) S/. 10

010) En 40 L de agua hay 1 gramo de sal, si queremos que la mezcla guarde la relacin de 0,01 gramos de sal por cada 4 L. Cuntos litros de agua se deben agregar?

a) 36

b) 40

c) 360

d) 400

e) 220

011) Si 40 L de una solucin contiene 15 L de agua. Cuntos litros de alcohol se deben agregar para obtener una solucin al 25%?

a) 8 L

b) 10 L

c) 14 L

d) 16 L

e) 20 L

012) Se tiene una mezcla alcohlica de 240 L. donde el volumen de alcohol puro representa el 60% del volumen del agua. Cuntos litros de alcohol puro se debe echar a la mezcla para obtener una mezcla alcohlica de 80?

a) 210 L

b) 180 L

c) 150 L

d) 270 L

e) 300 L

013) Un recipiente esta lleno de una mezcla de alcohol y agua al 60%. Si se extrae la mitad de la mezcla y se reemplaza por agua, luego se extrae la mitad de la nueva mezcla y se reemplaza por alcohol, Cul es la concentracin de la mueva mezcla?

a) 45%

b) 60%

c) 95%

d) 270%

e) 65%

014) Se mezclan 3 litros de un cido al 30% con 9 litros al 70% y al resultado se le agrega un diluyentes hasta obtener una concentracin al 50%. Cuntos litros de diluyente se emple?

a) 3 L

b) 2 L

c) 2,5 L

d) 4 L

e) 2,4 L

015) Un qumico tiene una mezcla al 30% de alcohol y otra al 50% de alcohol. Cuntos litros de cada mezcla se necesitan para preparar un total de 400 litros al 45% de alcohol?

a) 250 y 150

b) 200 y 200

c) 50 y 350

d) 100 y 300

e) 120 y 280

OPERADORES MATEMATICOSPara poder definir que es un operador debemos conocer Qu es un operacin matemtica?

La operacin matemtica es un procedimiento que se emplea para transformar una o varias cantidades en otros, o tambin para efectuar determinados clculos, todos ellos sujetos o ciertas reglas.

Qu es un operador?

Son smbolos que al afectar a una o ms cantidades, las transforma en otra llamada resultado, utilizando las operaciones de ( +; -; x;; (; ; etc.) de acuerdo a reglas previamente establecidas.No esta dems decir, que las nuevas operaciones pueden ser definidos para una, dos, tres o mas cantidades segn nuestro deseo.

As por ejemplo una de estas operaciones seria:

Operador

Si: p ( q = p . q + p2 q2

y

X # y=

Regla arbitraria o como operar.

Donde:

Segundo componente

Primer componente

Luego nos piden hallar: (3 ( 2) # (4 # 2)

Solucin

Criterios para resolver:

I. Identificar el operador y la regla o como operar.

II. Aplicar la regla dada a lo pedido

Entonces: 1

2

3

PROBLEMAS PARA LA CLASE

01) Si a # b = ab; hallar:

(1 # 0) # (2 # 1)

02) Si m ( n = 5m n; hallar:

(2 ( 1) ( (-2)

03) Si se sabe que:

a ( b = (a + 1) (b + 2) hallar:

5 ( (3 ( 1)

04) Se sabe que: a ( b = 2a b y m ( m = (m + 1) (m - 1)

Hallar: (5 ( 1) ( (2 * 1)

05) Se sabe que;

m # m = (m + m) 2 m2 m2Hallar: 9 # (3 # 2)

06) Si

Hallar:

07) Tenemos: A B = 3 - AB; calcular:

08) Se sabe que:

x ( y = (x + 1) (y 1);si: x ( yx ( y = 10 xy ;si: x ( y

Hallar: (4 ( 2) ( (2 ( 3)

09) Si ; calcular:

010) Si

Calcular: (2 * 3) + (3 * 2)

011) Se sabe que:

x ( y = 3x2 5y

Calcular (-7) ( (-1)

012) Si a = 5a 2; calcular:

013) Si:

Hallar:

014) Sabiendo que:

M ( m = m2 (m - 1)

Hallar: (5 ( 3) ( (8 ( 6)

015) Si se sabe que:

x ( y = x2 ( (y + 1)

p ( q = p 2q

Hallar: 2(4 * 1) ( 6

016) Sabiendo que:

a ( b = 2a b

a b = a(b - 1)

Hallar: 4 * 7

017) Siendo: ; calcular:

018) Si x ( yx = 2(xy - y) + xy; calcular:

M = 5 ( 32

019) Si A ( B = A B + 2(B ( A) y p ( q = A + b

Hallar: 12 ( 3

020) Si

Hallar:

021) Si se sabe que:

Calcular:


01) Si:

Hallar: (3 % 2) % 4

a) 0,25

b) -8

c) -1/4

d) 0,45

e) -0,75

02) Sabiendo que:

m# = 2m3 si: m ( 0

m# = 3m3 si: m ( 0

Hallar:

(9 - 7) # (5 - 6) # + (193 - 192) #

a) 12

b) 11

c) 15

d) 9

e) 18

03) Si A = 2a2 5; hallar:

V = 2 + 3 3

a) 6715

b) 1012

c) 26

d) 3107

e) 17804) Sabiendo que:

Hallar la raz cuadrada de:

a) 9

b) 5

c) 6

d) 4

e) 3

05) Si: ; hallar:

(16 * 25) * 1

a) 9

b) 18

c) 25

d) 4

e) 6

06) Si: a ( b = 2 + b y m(n = m - 2m

Hallar:

a) 14

b) -12

c) 6

d) -16

e) 8

07) Si se sabe que:

Hallar:

a) 274

b) 200

c) 34

d) 341

e) 21

08) Si se cumple que: ; hallar:

a)

b)

c)

d)

e)

09) Si se sabe que:

m ( n = m/n ( ma ( b = 3(a + b)

Hallar x en:

(6 ( 2) ( 1 = 20 ( x

a) 27

b) 8

c) 12

d) 60

e) 4

010) Si se cumple:

; si: x ( 0

; si: x ( 0

Hallar;

a) 3

b) 2

c) 2

d) -3

e) 12

011) Si se cumple que:

Hallar x en:

a) 5

b) -1

c) 2

d) -3

e) 5 -1

012) Sabiendo que: = AC B; entonces Hallar:

a) 6

b) 60

c) 120

d) 126

e) 150

013) Sabiendo que:

a ( b = ab + 6 10Hallar: 3 ( 8

a) 24

b) 60

c) 20

d) 9

e) 150

014) Si se cumple que

Hallar x en:

a) 24

b) 25/3

c) 26/3

d) 16/3

e) 22/3

015) Se sabe que: x = x2 + 1; calcular:

x - x2 . x

a)

b)

c)

d)

e)

OPERACIN BINARIA

Es una operacin que involucra a dos cantidades para obtener otra.

Operacin Binaria

Operador Binario

Si: a * b = a + 2b

Formas de los resultados

Segundo componente

Primer componente

Esta operacin se expresa por medio de una tabla de doble entrada.

Al conjunto de elementos que integran la 1ra y 2da componente se; conjunto de partidaAl conjunto de elementos que se encuentra en el cuerpo se le llama conjunto de llegada.

As veremos como funciona entonces:

Ejemplo:

Segn:

Hallar el valor de: (3 # 4) + (2 # 3)

Solucin13 # 4 = 4

22 # 3 = 1

Luego sumemos el 1 con el 2:4 + 1 = 5Rpta.

EJERCICIOS PARA LA CLASE01) Dada la siguiente tabla, hallar E si:

02) Dada la siguiente tabla; hallar M:

M =

03) Dada las tablas siguientes:

EMBED Equation.3 Hallar:

04) De acuerdo a la siguiente tabla:

Hallar:

05) De acuerdo a la siguiente tabla:

Hallar:

06) De acuerdo a la tabla adjunto: Qu nmero falta en el recuadro?; si se cumple que:

07) De acuerdo a la tabla adjunta, Qu nmero falta en el recuadro? Si se cumple:

(4 ( () ( 4 = 2

08) De acuerdo a las tablas adjuntas, determinar que nmero falta en el recuadro:

09) Siendo:

Hallar:

010) De acuerdo a la tabla y la operacin ( hallar mxyz ( yzxm

011) Conociendo la tabla y el operador ( hallar:

012) De acuerdo a la siguiente tabla, hallar:

013) Segn la siguiente tabla:

Hallar:

014) Dada la tabla adjunta y la expresin: ; el valor de x es:

015) Sabiendo que:

Hallar:

016) Si se sabe que: halla x si se cumple que:

017) Una operacin esta definida mediante la tabla adjunta. El resultado de efectuar la operacin (2 ( b) ( c es:

018) Sobre el conjunto se define la operacin ( mediante la tabla adjunta entonces:El valor de:

019) La aplicacin multiplicacin segn el cuadro de doble entrada adjunto es:

Entonces a3 es igual a:

020) Sabiendo que:

Entonces es cierto que:

I

II

III


01) Si se sabe que:

Hallar:

a) 4462

b) 4822

c) 8624

d) 4482

e) 6462

02) Si se sabe que: Hallar; (6 ( 8) ( (4 ( 2)

a) 0

b) 4

c) 2

d) 6

e) 8

03) Sabiendo que: Hallar x en:

a) b

b) d

c) e

d) c

e) b d04) Si se sabe que: Hallar x en:

a) a

b) b

c) c

d) d

e) e

05) Si se sabe que: Hallar:

a) 1

b) 5

c) 4

d) 2

e) 3

06) Sabiendo que:

Hallar:

a) 26

b) 54

c) 81

d) 23

e) 60

07) Sabiendo que: Hallar:

a) 15

b) 10

c) 18

d) 20

e) 22

08) Dada la operacin y la tabla correspondiente: Cules son los nmeros a escribirse en los espacios x, y, z?

a) 2; 6; 7 b) 1,5; 2, 5; 3,5

c) 2; 3; 4 d) 1; 4; 2

e) 1, 5; 3; 1

09) Hallar (3 # 2) (3 # 3)

a) 11

b) 6

c) 3

d) 4

e) 1

010) Se define: Hallar x en:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 1

e) a y c

011) Si: Calcular: 16 ( 332

a) 566

b) 567

c) 588

d) 602

e) 608

012) Segn: decir si es V o F:

I. La ecuacin: x 4 = 4 tiene solucin nica II. (2 3) (3 (4 1)( = 4

a) VV

b) FF

c) VF

d) FV

e) Otro valor

013) Hallar: si:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

014) Hallar: si tenemos:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 0

015) Hallar:

a) A

b) C

c) D

d) B

e) ABSUCESIONESEn este tema los nmeros dados, separados unos de otros por punto y coma constituyen una sucesin. Dichos nmeros son los trminos de la Sucesin.

Dados los trminos (Primeros) de una Sucesin, es posible hallar el siguiente comparando los trminos consecutivos.

Cuando comparamos dos trminos consecutivos de una sucesin estamos hallando la razn de dicha sucesin.

Podemos clasificar a las sucesiones de acuerdo a dos tipos de razones:

1 Sucesin Aritmtica:Es aquella cuya razn se obtiene por diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin.

Ejemplo:

2; 3; 5; 8; 12;

Puedes observar que:

t2 t1 = 1 = Razn aritmtica = r1t3 t2 = 2 = Razn aritmtica = r2t4 t3 = 3 = Razn aritmtica = r3t5 t4 = 4 = Razn aritmtica = r1 x 12 = 5 x = 172 Sucesin Geomtrica:Es aquella cuya razn se obtiene por cociente entre dos trminos consecutivos de la sucesin.

Ejemplo:

3; 6; 18; 72; 360

Puedes observar que:

t2 ( t1 = 2 = Razn aritmtica = q1t3 ( t2 = 3 = Razn aritmtica = q2t4 ( t3 = 4 = Razn aritmtica = q3t5 ( t4 = 5 = Razn aritmtica = q1

x ( 360 = 6 x = 2160

EJERCICIOS PARA LA CLASEHallar el trmino que sigue en las siguientes:1) -2; 0; 3; 7; 12; 18;

2) 5; 11; 19; 29; 41;

3) 2; 4; 6; 20; 58; 132;

4) 4; 6; 9; 13; 18;

5) 6; 17; 28; 39;

6) 8; 15; 22; 29;

7) 120; 113; 106; 99;

8) 0; 5; 22; 57; 116;

9) 3; 12; 48; 192;

10) 4; 9; 6; 11; 8;

11) 3; 4; 11; 30; 67; 128;

12) 7; 8; 10; 13; 17; 22;

13) 1; 3; 2; 4; 3; 5; 4;

14) 3; 4; 8; 9; 18; 19; 33;

15) 87; 74; 61; 48; 35; 22;

16) 2; 8; 18; 32; 50; 72;

17) 3; 10; 18; 27; 37; 48; 60;

18) 28; 14; 16; 8;

19) 432; 216; 72; 36;

20) Cual es el nmero equivocado en la sucesin:

10; 6; 12; 8; 12; 10; 16.


01) 2; 5; 11; 23; 47; 95;

a) 471

b) 191

c) 120

d) 135

e) 210

02) 3; 6; 18; 72; 360;

a) 510

b) 1050

c) 2309

d) 450

e) 2160

03) 5; 10; 50; 400;

a) 800

b) 4000

c) 4400

d) 200

e) 2000

04) 3; 6; 12; 24; 48;

a) 96

b) 77

c) 86

d) 98

e) 50

05) 7; 10; 19; 46; 127;

a) 205

b) 254

c) 375

d) 370

e) 427

06) A; D; G; J; M;

a) P

b) O

c) Q

d) S

e)

07) AC; FH; LN; RT;

a) BZ

b) XA

c) WB

d) VW

e) ZB

08) 10; 12; 18; 36; 90;

a) 252

b) 229

c) 310

d) 457

e) 197

09) ABA; DGB; GNC; JKD;

a) NEK

b) EMN

c) ENM

d) MNE

e) MKE

010) 250; 220; 205; 205;

a) 200

b) 210

c) 220

d) 225

e) 230

011) A; E; H; L; ;

a) Q

b) R

c) P

d) O

e) T

012) -3; -6; -18; -72; -360;

a) -720

b) 2160

c) 720

d) -2160

e) 3160

013) ; 1; 4/3; 19/12;

a)

b)

c)

d)

e)

014) VCd; SgH; pKL; No; KrS;

a) HWv

b) hVW

c) HvW

d) iWX

e) gVW

015) 144; 36; 33; 209/4; 1881/16;

a)

b)

c)

d)

e)

CONTEO DE FIGURAS

Este tipo de ejercicios que vamos a desarrollar en este capitulo, desarrollan la percepcin visual. Entrenan la atencin y concentracin; por lo tanto, contribuyen al desarrollo del pensamiento lgico matemtico.

Para contar figuras se presentan los siguientes mtodos:1.-El Mtodo Mediante la induccin: En este mtodo se aplica la formula de la sumatoria de los nmeros naturales para lo cual veamos como se aplica:

Ejemplo:

a)

b)

c)

2.-Por Induccin: Cuando las figuras se complican:

a)

Luego: 10 x 3 = 30 Tringulos

b)

Luego: 15 x 10 = 150 cuadrilteros

3 El mtodo de SCHOENK:En este mtodo se le asigna nmeros o letras a cada una de las figuras simples que forman el total, dichos nmeros van de menor a mayor, para luego contarlos agrupndolos de manera ascendente.

Ejemplo:

solucin


1) Cuntos segmentos hay en la siguiente figura:


3) Cuntos tringulos hay en la siguiente figura:

4) Cuntos cuadrilteros hay en la figura:

5) Cuntos cuadrilteros se puede contar en la siguiente figura:


7) Cuntos tringulos hay en la figura:

8) Cuantos segmentos hay en la siguiente figura:

9) Cuantos tringulos hay en la siguiente figura:

10) Calcular el nmero de tringulos que existen en la figura siguiente:

11) Cuantos cuadrilteros hay en la siguiente figura:

12) Cuantos tringulo hay en la siguiente figura:





17) Cuantos tringulos hay en la figura siguiente:

18) Cuantos cuadrilteros hay en la figura siguiente:

19) Dar el nmero de tringulos que aparecen en la siguiente figura:


EJERCICIOS PARA LA CASA01) Cuantos segmentos aparecen en la siguiente figura:

a) 15

b) 12

c) 5

d) 10

e) 8


a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8


a) 6

b) 9

c) 5

d) 3

e) 8


a) 16

b) 18

c) 20

d) 24

e) 2605) Cuantos tringulos hay en la siguiente figura:

a) 23

b) 22

c) 25

d) 24

e) 26

06) Cuantos segmentos podemos identificar en la siguiente figura:

a) 30

b) 31

c) 35

d) 42

e) 28


a) 12

b) 16

c) 14

d) 10

e) 15


a) 13

b) 16

c) 18

d) 24

e) 20


a) 30

b) 27

c) 28

d) 34

e) 36


a) 30

b) 34

c) 31

d) 33

e) 35


a) 15

b) 24

c) 20

d) 23

e) 21


a) 11

b) 17

c) 13

d) 9

e) 6

013) Cuantos segmentos hay en la figura:

a) 17

b) 16

c) 21

d) 7

e) 18

014) Cuantos tringulos hay en la figura:

a) 32

b) 26

c) 36

d) 38

e) 35

015) Cuantos tringulos hay en la figura:

a) 27

b) 26

c) 23

d) 24

e) 25

SERIUS Y SUMATORIASEn este captulo citaremos mtodos prcticos para calcular la suma de todas aquellas adiciones indicadas de los trminos de una sucesin numrica.

Importante:El smbolo , se llama signo e indica la sumatoria desde:

K = 1; hasta K = n, donde:

K = 1 ( Limite inferior

K = n ( Limite superior

K ( Termino genrico

Ejemplo:

a)La suma de los primeros nmeros naturales:

1.-

2.-

3.-

4.-

Donde: n! = 1 x 2 x 3 x x n

Factorial de un nmero

b) La suma de los Primeros nmeros pares:

c) La suma de los primeros nmeros impares:

Luego veremos como se aplica el mtodo practico.


Hallar el trmino que sigue:

01) 2 + 4 + 6 + 8 +

02) 11 + 14 + 17 + 20 +

03) + + 1 + 2 +

04) 0,2 + 0,4 + 0,6 + 0,8 +

05) 5 + 7 + 9 + 11 +

06) 30 + 36 + 42 + 48 +

07) 1/27 + 1/9 + 1/3 + 1 +

08) 1,1 + 1,2 + 1,3 + 1,4 +

Hallar el valor de las sumas:

09) 5 + 8 + 11 + 14 + + 68

010) 1 + 3 + 9 + 27 + + 243

011) 1 + 3 + 5 + 7 + + 145

012) 1 + 3 + 5 + + 99

013) 1 + 4 + 9 + 16 + + 441

014) 2 + 4 + 6 + 8 + + 48

015) 5 + 6 + 7 + 8 + 15 trminos

016) 5 + 7 + 9 + 11 + 32 trminos

017) 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + + 23 x 24

018) 11 + 13 + 15 + 17 + + 37

019) 1 + 2 + 4 + 8 + +1024

020) 3 + 9 + 15 + 21 + + 135

EJERCICIOS PARA LA CASA01) 1 + 2 + 3 + 4 + + 120

a) 1267

b) 6712

c) 5157

d) 5157

e) 7260

02) 1 + 8 + 27 + 64 + + 1000

a) 971

b) 3025

c) 1973

d) 4891

e) 410203) 1 + 3 + 5 + 7 + + 49

a) 571

b) 967

c) 620

d) 625

e) 715

04) 4 + 9 + 16 + 25 + 20 trminos

a) 3310

b) 2175

c) 917

d) 857

e) 3319

05) 8 + 27 + 64 + 21 trminos

a) 64009

b) 7517

c) 2794

d) 4737

e) 8756

06) 2 + 4 + 6 + + 40

a) 333

b) 120

c) 420

d) 451

e) 345

07) 1 + 3 + 5 + + 19

a) 27

b) 47

c) 99

d) 76

e) 100

08) 64 + 81 + 100 + 121 + 144 + + 625

a) 750

b) 5385

c) 1978

d) 4713

e) 5835

09) 123 + 133 + 143 + + 203

a) 47666

b) 63871

c) 10343

d) 45731

e) 39744

010) 3 + 6 + 12 + 24 + 8 trminos

a) 765

b) 651

c) 739

d) 835

e) 357

011) 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + 20 x 21

a) 719

b) 3080

c) 7891

d) 3197

e) 5912

012)

a)

b)

c)

d)

e)

013) (x + 1) + (x + 2)+ (x + 3) + 10 trminos

a) (x - 1) + 10b) 5x - 30

c) 7x - 3

d) 9x

e) 10x + 55

014) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 20 trminos

a) 400

b) 300

c) 700

d) 397

e) 419

015) 5 + 15 + 25 + 35 + 45 + 10 trminos

a) 670

b) 350

c) 250

d) 500

e) 351

De 1 nmero ( 1; 2; 4 = 3

De 2 nmeros ( 13; 24; 43; 21 = 4

De 3 nmeros ( = 0 (+)

De 4 nmeros ( 1234 = 1

Luego sumamos y esa = 8 triang.

es la respuesta

EMBED Equation.3

3 espacios

EMBED Equation.3

S = 6 Cuadrilteros

EMBED Equation.3

S = 15 Tringulos

EMBED Equation.3

S = 10 Segmentos

Fila de entrada

2da componente b

Resultados o elementos

del conjunto de llegada

(cuerpo)

a + 2b

(

1ra

componente

a

Columna

De

entrada

EMBED Equation.3

52RAZONAMIENTO MATEMATICO51RAZONAMIENTO MATEMTICO

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_1113825436.unknown

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raz. mat 2 do

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