4 - funciones 3º eso

FUNCIONESCOLEGIO VIZCAYA 103

Una funcin en matemticas, es un trmino quese usa para indicar la relacin entre dos o msmagnitudes.

El matemtico alemn Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716) fue el primero que utiliz el trminofuncin en 1694 para referirse a varios aspectosde una curva e introdujo conceptos comoconstante, variable y parmetro.

Posteriormente el matemtico suizo Leonard Euler (1707-1783) fue elprimero que utiliz el smbolo y = f(x) en la forma que ahora lo utilizamos.

En esta unidad vas a aprender a:

1. Reconocer una relacin funcional.

2. Determinar el dominio y recorrido de una funcin.

3. Representar grficamente funciones.

4. Determinar las caractersticas principales de una funcin: intervalos de crecimiento, mximos y mnimos, continuidad, simetra, periodicidad, signo...

5. Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas de una funcin y representar grficamente funciones afines y cuadrticas a partir de ellos.

6. Determinar las caractersticas de las funciones lineales, afines, de proporcionalidad inversa, cuadrticas y de las rectas paralelas a los ejes.

7. Realizar anlisis completos de funciones (dominio, recorrido, continuidad, crecimiento, mximos y mnimos, simetra, periodicidad, signo).

8. Conocer las funciones definidas a trozos.

Leibniz.

COLEGIO VIZCAYAFUNCIONES104

PPARAARA EMPEZAREMPEZAR

Representa los siguientes puntos sobre un eje de coordenadas.

(0,1), (1,0), (3,4), (-3,-4), (2,-5), (-2,5)

Representa grficamente las siguientes relaciones:

a) y = 3x b) y = 2x - 4 c) y = 1/x d) y = 2x2 e) x = 3 f) y = 2

1.

2.

PPARAARA RECORDARRECORDAR

1. RELACIN ENTRE MAGNITUDES. TABLAS, GRFICAS Y FRMULAS.

La relacin entre dos magnitudes se puede expresar y representar de diferentes formas. Veamos un ejemplo:

El parking de unos grandes almacenes cobra 1 por aparcar el coche y por cadamedia hora de estancia 05 ms. Para que el cliente pueda calcular fcilmenteel precio que debe abonar al retirar el vehculo, han recogido los precios en lasiguiente tabla:

Sin embargo para representar la relacin que hay entre el tiempo que permanece un vehculo en el parkingy el precio que cuesta, tambin podan haber decidido expresarlo mediante una grfica.

Recuerda que para representar grficamente la relacin que hay entre dosmagnitudes, se toman dos rectas numricas perpendiculares (ejes de coorde-nadas) que se cortan en un punto llamado origen, y dividen al plano en cuatrocuadrantes.

El eje horizontal se llama de abscisas y le asignaremos la letra X. El eje vertical,eje de ordenadas y se designa por la letra Y.

Para situar un punto en el plano necesitamos un par ordenado denmeros a los que llamaremos coordenadas del punto. La primeracoordenada corresponde al eje de abscisas y la llamaremos abscisadel punto. La segunda coordenada corresponde al eje de lasordenadas y la llamaremos ordenada del punto.

Muchas de las relaciones que hay entre magnitudes, en la prctica, vienen dadas por frmulas (expresionesalgebricas):

rea de un cuadrado = l2 (el rea depende de lo que mide el lado)

Espacio recorrido = v t (el espacio que recorremos depende de la velocidad que llevamos y del tiempo que estemos desplazndonos)

Y en otras ocasiones a partir de una tabla y de una grfica somos capaces de obtener una expresinalgebraica que nos de la relacin entre dos magnitudes.

Seras capaz de obtener la expresin que relaciona las dos magnitudes que hemos representado en la tablay en la grfica del ejemplo del parking?

Tiempo (horas) 0 05 1 15 2 25 3Precio () 1 15 2 25 3 35 4

X

Y

1er cuadrante2 cuadrante

4 cuadrante3er cuadrante

05 1 15 2 25 3

435

325

215

105

Horas

Precio ()

COLEGIO VIZCAYA FUNCIONES 105

2. FUNCIONES.

Sabemos que el lado de un cuadrado y su rea son dos magnitudes que estnrelacionadas y que el rea del cuadrado depende del valor del lado, es decir, elrea est en funcin (depende) del valor del lado y adems esta relacin es lasiguiente:

A = l2

Ahora construimos una tabla de valores y representamos grficamente los datos de esa tabla.

Generalmente, te encontrars que las dos magnitudes que estn relacionadas sellaman X e Y. X representa a la magnitud independiente (en nuestro caso, el ladodel cuadrado), e Y representa a la magnitud dependiente (en nuestro caso, elrea depende del lado).

Entonces, la relacin anterior podemos encontrarla escrita de la siguiente forma:

y = x2 (x = lado, y = rea)

A la relacin que existe entre dos variables se le llama funcin por lo que en ocasiones te encontrars quela expresin anterior est escrita de la siguiente forma:

y = f(x) = x2 (el rea est en funcin del lado segn la expresin x2)

Observa tambin, que para un nico valor de x slo hay un nico valor de y, es decir, para un valor del ladoslo existe un valor posible del rea.

Funcin: es la relacin que existe entre dos magnitudes que generalmente llamare-mos x e y, de manera que a cada valor de la primera (x) le corresponde un nico valorde la segunda (y). Se designa f(x).

A la magnitud que se fija previamente y puede tomar cualquier valor, se le llamavariable independiente y se le designa con la letra x.

A la magnitud cuyo valor depende de la variable independiente y se calcula a partirde ella se le llama variable dependiente y se designa con la letra y.

La representacin de los pares de valores relacionados forma la grfica de la funcin.

Lado (l) 0 1 2 3 4 5rea (l2) 0 1 4 9 16 25

X

Y

PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

De las siguientes grficas, cules representan una funcin?

Observa la grfica y da los valores de f(3), f(-1), f(4) y f(0).

3.

4.

Si en la representacin grficade una funcin queremos sea-lar que las variables x e y notoman valores desde el 0 si noque toman valores desde porejemplo 10 y 15 lo indicaremosmediante ejes de coordenadasquebrados:

10 11 12 13 14 15 16 17

1516171819


PPARAARA APRENDERAPRENDER

3. DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIN.

Una compaa elctrica aplica la siguiente tarifa: 3 por el contacto de unadeterminada potencia y adems por cada kilovatio/hora consumido 025 .

a) Quin es la variable independiente? Escribe cmo se denota.

b) Y la variable dependiente?

c) Expresa mediante una ecuacin la relacin que existe entreambas variables.

d) Representa grficamente la funcin.

e) La variable independiente, puede tomar cualquier valor? Indcalos.

f) Y la variable dependiente?

g) Quines son el dominio y recorrido en el ejemplo anterior?

El dominio de una funcin es el conjunto de valores que puede tomar la variableindependiente x, para los que existe un valor de la variable dependiente y. Se denotaDom(f).

El recorrido o imagen de una funcin es el conjunto de valores que puede tomar lavariable dependiente y. Se designa Im(f).


Calcula el dominio y recorrido de las siguientes funciones.5.

La forma ms cmoda para indicarque puntos pertenecen al dominio oal recorrido de una funcin es

utilizar intervalos.

El dominio vadesde -oo hasta+oo y el recorridodesde -1 (inclui-do) hasta +oo.

Entonces utilizando intervalos:

Dom (f) = (-oo,+oo)Im (f) = [-1,+oo)

X

Y

-1

a) b) c)


Cules de las siguientes grficas corresponden a funciones? En caso afirmativo seala sudominio y recorrido.

6.


4. ANLISIS DE UNA FUNCIN.

Continuidad y discontinuidad.

En las siguientes grficas hemos representado el nmero de personas que viajan en un autobs a lo largode un da y la temperatura que hay dentro del autobs en ese mismo da.

a) Alguna de las grficas anteriores tiene saltos? Indica las horas en las que son los saltos.

b) Si dibujamos las grficas anteriores, cul se puede dibujar sin levantar el lpiz del papel?

Tambin se puede decir que una funcin es continua en un tramo,aunque tenga discontinuidades en otros lugares.

En ocasiones, tambin puede que te encuentres grficas que sondiscontinuas como la representada al margen.

Una funcin es continua cuando su grfica no presenta saltos. Por tanto su grficase puede trazar sin levantar el lpiz del papel. En caso contrario se dice que la funcines discontinua. Los puntos en los que la grfica de la funcin efecta un salto sellaman puntos de discontinuidad.

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

252015105

C

hora 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

5040302010

N personas

hora

10987654321

Nota

1 2 3 4 5 6 N exmenes

a) b) c) d) e) f)



Halla el dominio y recorrido de las siguientes funciones. Son continuas? En caso negativoindica los puntos de discontinuidad.

7.


Crecimiento y decrecimiento.

En la siguiente grfica se muestra el perfil de una etapa de montaa de una competicin ciclista:

a) A qu altura estn la salida y la meta?

b) Cunto mide la cumbre ms alta que tienen que ascender?

c) En qu intervalos tienen que subir los corredores?

d) Y bajar?

e) En que tramos los corredores se desplazan horizontalmente?

Los tramos en los que ciclista tiene que ascender, se dice que la funcin es creciente, en los que baja,decreciente, y en los que no sube ni baja, creciente y decreciente a la vez.

25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 Distancia (km)

2000

1500

1000

500

Altura (m)

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

Mximos y mnimos.

Hemos representado sobre una grfica las temperaturas que se han registrado en una estacin climticadurante 24 horas.

a) Cul es el dominio y el recorrido de la funcin?

b) En qu intervalos es creciente?

c) En cules decreciente?

d) Cul es la temperatura mxima que se registr?

e) Y la mnima?

f) Hay algunos momentos del da en los que la temperatura toma valores muy altos o muy bajos. Indcalos.

Al punto B se le llama mximo absoluto de la funcin y al punto E mnimo absoluto ya que representan elvalor ms alto y ms pequeo que alcanza la temperatura.Los puntos A, C y D se llaman mximos relativos de la funcin, y los puntos F, G, H e I mnimos relativosde la funcin, porque aunque no son los valores mayores y menores de la temperatura, en ciertosmomentos del da s lo son.


Una funcin f(x) es creciente, cuando al aumentar la variable independiente x,aumenta la variable dependiente y; es decreciente cuando al aumentar x, disminuyey; y es creciente y decreciente cuando al aumentar x, la y no varia.

creciente creciente y decreciente decreciente

Y Y Y

X X X

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

7654321

-1-2 E

A

B

CD

FG

H I

Una funcin f(x) tiene un mximo (mnimo) absoluto en un punto, si las imgenes quetoma la funcin son todas menores (mayores) que la imagen de l.

Una funcin f(x) tiene un mximo (mnimo) relativo en un punto, si las imgenesprximas a la imagen de l son menores (mayores) que l.


Una funcin viene dada por la siguiente grfica:

a) Indica su dominio y recorrido.

b) Estudia dnde es creciente.

c) Indica dnde es decreciente.

d) Tiene algn mximo? De qu tipo?

e) Y algn mnimo?

8.


Dadas las siguientes funciones, estudia su dominio y recorrido, intervalos de crecimiento ydecrecimiento y sus mximos y mnimos. Son continuas?

a) b) c)

9.


Simetras.

Considera las funciones f(x) = x2 y f(x) = x3.

a) Completa las siguientes tablas de valores:

b) Dibuja las grficas de ambas funciones en papel cuadriculado. Dobla la grfica de f(x) = x2 por el eje OY. Qu sucede?

c) Y si doblas la grfica de f(x) = x3? Prueba a doblarla a su vez por el eje OX.

d) Observa ahora las dos tablas que has completado antes. Cmo son los valores de la y para los valores positivos de la x con respecto a los valores negativos?

En la primera funcin se cumple que los valores que toma para x positivos y x negativos son iguales(f(-x) = f(x)). En este caso se le dice que la funcin es simtrica respecto del eje de ordenadas OY o par.

Sin embargo, en la segunda grfica, los valores que toma para x positivos y x negativos son opuestos(f(-x) = -f(x)). Si esto sucede se dice que la funcin es simtrica respecto del origen O o impar.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = x2x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = x3

Una funcin f(x) es simtrica respecto del eje de ordenadas OY (simtrica par)cuando para todo x del dominio f(-x) = f(x), y es simtrica respecto del origen O(simetra impar) si f(-x) = -f(x).

Estudia grfica y analticamente si las grficas siguientes son simtricas:

a) f(x) = - 2x2 b) f(x) = x3 - x c) f(x) = x2 + x + 1

f(-x) = - 2(-x)2 f(-x) = (-x)3 - (-x) f(-x) = (-x)2 + (-x) + 1= - 2x2 = -x3 + x = x2 - x + 1

Simtrica respecto de OY Simtrica respecto de O No es simtrica

Ejemplo:Ejemplo:


Periodicidad.

Hacemos deslizar una ficha con forma circular sobre una recta y dibujamos la trayectoria que sigue el puntosuperior de la ficha. Observa la grfica que hemos obtenido:

La grfica se repite cada 3 cm. Las funcionesque tienen este comportamiento se llamanperidicas y al intervalo en el que se repitenperiodo. En nuestro caso tenemos unafuncin peridica de periodo 3.

Signo de una funcin.

El termmetro de un observatorio meteorolgico ha registrado los siguientes datos:

a) En qu intervalos la temperatura ha estadopor encima de los 0 C?

b) Y por debajo?

Una funcin f(x) es peridica cuando los valores que toma se repiten cada ciertointervalo fijo, que se llama periodo (siempre se considera el periodo mnimo).

3 cm

Una funcin f(x) es positiva en un punto a si f(a) > 0 (queda por encima del eje X), yes negativa si f(a) < 0 (queda por debajo del eje X).

4 8 12 16 20 24

8

6

4

2

-2

C

Horas


Completa estas grficas para que sean simtricas:

a) Respecto del eje de ordenadas. b) Respecto del origen.

1) 2) 3) 4)

Estudia la simetra de las siguientes funciones sin representarlas grficamente.

a) y = - x + 1 b) y = 3x2 c) y = - 2x3 d) y = x2 + 1 e) y = 2x4 - x2

Estudia la siguiente grfica.

10.

11.

12.



Puntos de corte con los ejes de coordenadas.

Los puntos de corte de una funcin con los ejes, son puntos en los que la grficade la funcin corta a los ejes de coordenadas. Y se calculan de la siguiente forma:

Para que corte al eje OY x tiene que ser 0 (x = 0)Para que corte al eje OX y tiene que ser 0 (y = 0)

Calcula los puntos de corte de la funcin f(x) = x2 - 1 con los ejes de coordenadas.

Corte con OY (x = 0): y = 0 - 1 = - 1 (0, - 1) es el punto de corte.

Corte con OX (y = 0): x2 - 1 = 0; x2 = 1; x = 1 (1,0) y (-1,0) son los puntos de corte.

Ejemplo:Ejemplo:

(-1,0) (1,0)

(0,-1)


Halla los puntos de corte de la funcin y = x2 - 5x + 6 con los ejes de coordenadas.

Haz un estudio completo de las siguientes funciones:

a)

b)

13.

14.


PPARAARA RECORDARRECORDAR

5. PROPIEDADES DE ALGUNAS FUNCIONES.

En el siguiente cuadro encontrars un resumen de algunas funciones que conoces hasta ahora con lascaractersticas ms importantes de cada una de ellas.

FUNCIN FORMAANALTICA

PROPIEDADES GRFICA EJEMPLO

Funcin de proporcionalidaddirecta

(funcin lineal)

y = mx

x e y son directamente proporcionales.

m es la constante de proporcionalidad y sellama pendiente de larecta (inclinacin).

Si m>0 es creciente. Si m0 la parbola est abierta hacia arriba.

Si a

FUNCIONES COLEGIO VIZCAYA114


Comprueba que en la funcin y = x2 - 4x + 4 el punto de corte con el eje X es x = -b/2a.

Dada la funcin y = x2 - 6x + 8:

a) Qu tipo de funcin es?b) Cmo es su grfica?c) Haca dnde est orientada?d) Calcula los puntos de corte con los ejes y el vrtice de la parbola.e) Represntala grficamente utilizando los puntos obtenidos en el apartado anterior.f) Estudia su grfica (dominio, recorrido, continuidad, crecimiento, mximos, mnimos...).

En una compaa elctrica, la cuota de abono bimensual es de 15 euros y, adems, por cadakilovatio/hora consumido hay que abonar 5 cntimos de euro ms.

a) Forma la tabla de valores que relaciona la potencia consumida y el importe a abonar.b) Representa grficamente los valores de la tabla.c) Escribe la funcin asociada a esta relacin.d) Si una familia consumi 250 kilovatios/hora, cul ser el importe de su factura?e) Cuntos kilovatios/hora consumi otra familia si pag 6515 ?

Se sabe que la distancia, en metros recorrida por un peatn a velocidad constante es propor-cional a la duracin del trayecto en segundos. Un peatn ha recorrido 12 metros en 7 segundos.

a) Escribe la funcin asociada a esta situacin.b) Representa grficamente dicha funcin.

Representa las siguientes funciones:

a) y = - x b) y = 2x c) y = x + 1 d) y = 3x - 2 e) y = 0 f) y = 4 g) x = 0 h) x = 2

Escribe la ecuacin de proporcionalidad directa que:

a) Pasa por el punto (2,3).b) Tiene pendiente -2.c) Pasa por el punto (-3,4).

Halla la pendiente de cada una de las funciones siguientes:a) b)

Indica, sin representarlas, cules de las siguientes funciones son crecientes:

a) y = 7x b) y = -3x c) y = 4x d) y = -6x

Indica si las rectas y = 3x + 2 e y = 6x + 4 son paralelas o secantes.

Razona cules de las siguientes rectas son paralelas:

a) y = 5x + 2 b) y = -5x - 3 c) y = 5x + 12 d) y = -3x - 3

Cul es la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas?

a) y = 4x - 2 b) y = 4 - 2x c) y = 2 - 4x d) y = x + 2 e) y = 2x + 4 f) y = 4

Representa sobre un mismo grfico:

a) y = x2 b) y = 2x2 c) y = x2 d) y = -x2 e) y = -2x2 f) y = - x2

15.

16.

12

12

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.



a) y = x2 b) y = x2 + 1 c) y = x2 - 2


a) y = x2 b) y = (x - 2)2 c) y = (x + 1)2


a) y = x2 b) y = (x- 2)2 + 1 c) y = (x + 1)2 - 2


a)

b)

c)

27.

28.

4 4y , yx x3 3y , y 2x x1 1 1 1y , y 1, y 1, y 4x x x x

= =

= = +

= = + = =

29.

30.


CMO CONSTRUIR UNA PARBOLA

Una de las funciones que hemos estudiado en esta unidad es la funcin cuadrtica cuya representacingrfica es la parbola. Dibujarla y construirla no siempre es fcil, pero aqu te mostramos varios mtodos enlos que nicamente se necesita regla y comps.

Uno de las formas ms curiosos para dibujar una parbola es el conocido como el mtodo del sastre, usadopor estos profesionales tradicionalmente para cortar telas en forma de curva.

Para ello se dibujan dos semirrectas que se corten en un punto y se marcan divisiones iguales en cada unade ellas. Luego se numeran las marcas empezando en ambos lados por el vrtice. Por ltimo une lospuntos cuyos valores sumen un nmero fijo determinado.

Otro mtodo para construir parbolas, es utilizar una importante propiedad de las parbolas:

Para cualquier punto de la parbola, la distancia al foco (F) es siempre igual a la distancia de larecta directriz(d)

Si cambias el foco de sitio se obtienen parbolas distintas.

CURIOSIDADES MACURIOSIDADES MATEMTICASTEMTICAS

12

34

56

78

9 10 1

1 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

d

F


Pero no acaban aqu las curiosidades matemticas sobre esta grfica. La parbola est incluida, junto a otrascurvas (elipse e hiprbola), dentro de un grupo que recive el nombre de cnicas. Este nombre es debido aque se obtienen cortando un cono, mediante planos, de una determinada forma. En concreto, la parbola seobtiene cortando un cono con un plano paralelo a una de sus generatrices.

Las parbolas en nuestro entorno.

La caracterstica principal en la reflexin de una onda, sea de sonido o de luz en una superficie parablica(superficie generada al girar la parbola sobre su eje de simetra), es que todos los rayos que parten del focosalen paralelos al eje de la parbola; y viceversa, los rayos que inciden paralelos al eje convergen en el foco.

Hay aplicaciones muy importantes de esta propiedad como son las antenas receptoras de las seales deradio y televisin, procedentes de los satlites de comunicacin que concentran las seales ms dbiles enel foco. Los telescopio reflectantes, tambin se construyen con espejos parablicos. Otra consecuencia deesta propiedad es que los faros de los coches sean paraboloides.


1. La funcin que hace corresponder a cada radio de una circunferencia la longitud de la misma, escontinua o discontinua?

2. Dibuja la grfica de una funcin que tenga puntos de discontinuidad en x = -2, x = 2 y x = 5. Escribe suexpresin algebraica.

3. Haz un estudio completo de las siguientes grficas de funciones:a) b) c) d) e) f)

4. Representa las siguientes funciones:

a) y = -1/2 x b) y = 5x c) y = 1/5 x d) y = -1/5 x e) y = -5x f) y = 1/2 x


a) y = - x + 6 b) y = - 2x + 5 c) y = 5x - 2 d) y = x - 1

6. Halla la ecuacin de las siguientes rectas:

a) Tiene pendiente - 1 y ordenada en el origen 4.b) Tiene pendiente 3 y pasa por el punto (4,-5).c) Pasa por los puntos (-4,7) y (3,9).

7. Averigua si los puntos (0,2), (1,-1) y (-1,5) estn alineados.

8. En la siguiente grfica hemos representado el movimiento de los cestos de una noria en funcin deltiempo que la noria gira y la distancia al suelo de uno de los cestos.

a) Realiza un estudio completo de la grfica.b) Cunto tiempo tarda en dar una vuelta completa?c) Cul ser la altura al cabo de 14 minutos?

No es necesario continuar la grfica.

9. Cules de las siguientes grficas corresponden a funciones?a) b) c) d)

10. Representa las rectas:

a) 2x + 5y = 7 b) x - 2y = 4 c) 2x = 12 d) y =

11. En la funcin y = mx + n, cmo debe ser m para que la funcin sea decreciente?

12. Indica, sin dibujarlas, cules de las siguientes funciones son crecientes y cules paralelas.

a) y = 3x - 2 b) y = - 3x + 2 c) 3x - y + 5 = 0 d) 2y = 3x - 2

13. Dadas las funciones y = x2 e y = - x2, indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntosdonde hay mximos y minimos.

14. Estudia la simetra de las siguientes funciones sin representarlas:

a) y = x2 + 8 b) y = x3 - 5 c) y = x4 - x2 + 1 d) y = x3 - x - 3

PPARAARA ENTRENARENTRENAR

12

13

( )34 x 75

+

minutos

altura (m)


15. Haz un estudio completo de las grficas siguientes:a) b) c)

d) e) f)

16. Representa las funciones siguientes calculando los puntos de corte con los ejes y el vrtice.

a) y = x2 - 6x b) y = - x2 + 2x + 3 c) y = x2 + 4x + 3

17. En la grfica aparece representada la grfica de la funcin y = .

a) Cmo se puede construir a partir de ella la grfica de la funcin

b) Y la de

18. Estudia las siguientes grficas de funciones:a) b) c)

19. Relaciona las siguientes rectas con sus grficas y halla su ecuacin.

a) Tiene pendiente -3/4 y ordenada en el origen 0.

b) Pasa por el punto (2,1) y tiene pendiente 4/5.

c) Pasa por los puntos (-2,0) y (0,-3).

20. A partir de la grfica, halla la ecuacin. Fjate en la pendiente y en la ordenada en el origen.a) b) c)

21. Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto (2,-1) y es paralela a la recta y = 6x + 9.

4x

4 2 .x

+

4 3 ?x

4

4


22. Dada la recta de ecuacin y = 3x + 3:

a) Escribe las ecuaciones de dos rectas que sean paralelas a ella.b) Escribe las ecuaciones de dos rectas que no sean paralelas a la dada.


a) y = -3 b) y = 1/3 c) y = -12/5

24. Representa las siguientes rectas:

a) x = -6 b) x = 2/3 c) x = -11/4

25. Escribe todo lo que deduzcas de la siguiente grfica de una funcin.

26. Relaciona cada grfica con su expresin analtica:a) b) c)

1) y = x + 1 2) y = x3 3) y = x2

27. Representa grficamente:

a) y = x e) y = 2x i) y = -x m) y = -2x

b) y = 5/2x f) y = 2/5x j) y = -5/2x n) y = -2/5x

c) y = -2x - 4 g) y = 9 - 3x k) y = 4x o) y = -2

d) y = 0 h) y = 3x - 2 l) y = 2/3x - 5 p) y = -2x - 6

28. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) La recta x = 4 es paralela al eje de abscisas.b) La recta x - 3 = 0 es paralela al eje de ordenadas.c) La recta y = -2 es paralela al eje de abscisas.d) Las rectas y = 2x - 1 e y = x - 1 son paralelas.

29. Representa grficamente las siguientes funciones dadas a trozos:

a) b)

30. Cul es el dominio de esta funcin?

x 1 si x 3y

2 si x 3

= >

3 si x 1y

4 x si x 1


31. Estudia la grfica de las siguientes funciones:

a) y = - x2 + 1 c) y = - 3x2 e) y = 2x2 - 2

b) y = - x2 - 1 d) y = - 3x2 + 2 f) y = x2 - 4x + 1

32. Dada la funcin f(x) que asocia a cada nmero real su doble:

a) Escribe la expresin de la funcin.b) Calcula f(1), f(3) y f(25).c) Indica cul es su dominio y recorrido.

33. Andoni estuvo enfermo durante tres das y se tom la temperatura cuatro veces al da como semuestra en el grfico.

a) Tiene sentido unir los puntos?b) Qu da y a qu hora tuvo la temperatura mxima?c) Y la mnima?d) En qu intervalos la fiebre creca?e) Y en cules decreca?

34. Halla la recta que tiene por pendiente 3 y pasa por el punto (3,7).

35. Halla la recta que pasa por los puntos (0,1) y (1,4). Indica su pendiente.

36. Halla la recta cuya pendiente es -3 y cuya ordenada en el origen vale 2.

37. Dibuja utilizando los puntos de corte y calculando el vrtice de la funcin y = 2x2 - 8x + 6.

38. Cules de las siguientes parbolas estn abiertas hacia arriba?

a) y = 6 - 5x + x2 b) y = 7 + 3x - 4x2 c) y = x + x2 d) y = 9x - x2

39. Cules de las siguientes rectas son paralelas?

a) y = 3x + 2 b) y = 2x + 3 c) y = 2x - 1 d) y = 3x e) y = 3x + 9

40. Halla el valor de m y n para que las rectas de ecuaciones y = 2x + n e y = mx + 4 sean paralelas y laprimera pase por el punto (3,5).

41. Halla las ecuaciones de las siguientes rectas:a) b)

42. Cul es el dominio y recorrido de estas funciones?a) b)

43. Estudia la grfica:

6 12 18 24 6 12 18 24 6 12 18 24Lunes Martes Mircoles

40

39

38

37

36

35


44. Estudia grfica y analticamente la simetra de las siguientes funciones:a) b) c) d)

45. En la siguiente grfica se ha representado el volumen que ocupa el agua cuando varia la temperatu-ra de la misma.

a) En que intervalo crece el volumen? Y en cul decrece?b) A qu temperatura el volumen del agua es mnimo?c) Para qu temperaturas alcanza el mismo volumen?

46. De las siguientes grficas, cules representan una funcin?a) b) c) d)

47. Analiza las siguientes grficas de funciones:a) c) e)

b) d) f)

2 4 6 8 10 12 14 C

Volumen

4 2y = x - 2x2x + 1y =x

3 2y = x + x

2

1y =x + 1


1. Analiza las siguientes funciones:a) b)

2. Cul es el dominio y recorrido de las siguientes funciones? Son continuas?a) c) e)

b) d)

3. Representa grficamente las siguientes funciones dadas a trozos:

a) b)

4. Analiza las siguientes funciones:a) c) e)

b) d) f)

5. Halla la ecuacin de la recta paralela a la recta de ecuacin y = - 2x + 6 en cada uno de los siguientescasos:

a) Que tenga ordenada en el origen igual a 7.b) Que pase por el origen de coordenadas.c) Que pase por el punto (-2,-5).

PPARAARA APRENDER MSAPRENDER MS

x 3 si x 0y

x 1 si x 0+


6. Analiza las siguientes funciones:a) b) c)

7. Representa utilizando los puntos de corte con los ejes:

a) y = x2 - 2x - 8 b) y = - x2 - 2x + 3 c) y = 2x2 - 8x + 6 d) y = - x2 + 4x + 4

8. Cul es el periodo de esta funcin?

9. Halla las ecuaciones de las rectas que, pasando por el punto (2,3) son paralelas a los ejes de coorde-nadas.

10. Escribe la ecuacin de la recta en cada uno de los siguientes casos:

a) Pasa por (5,-2) y tiene pendiente 4.b) Pasa por (3,0) y tiene pendiente -1/3.c) Pasa por (-2,1) y tiene pendiente 3/4.d) Pasa por (0,0) y tiene pendiente 1.

11. Escribe la ecuacin de esta recta:

12. Sandra ha dibujado un grfico en el que representa la distancia de su casa al colegio.

Explica lo que deduces de la grfica.

13. Dibuja la parbola cuya funcin es f(x) = 1/6 x2 e indica sus caractersticas.

14. Representa utilizando los puntos de corte:

a) y = x2 - 6x + 5 c) y = x2 - 8x + 16 e) y = x2 + 4x + 3 g) y = x2 - 2x - 3b) y = x2 - 9x d) y = x2 + 6x + 9 f) y = 3 - 4x - 4x2 h) y = 21 - 10x + x2

Minutos

Km


15. Escribe las ecuaciones de las rectas cuyas grficas son:a) b)

16. Estudia la grfica siguiente:

17. Representa grficamente las siguientes funciones:

a) b) c)

18. Escribe la ecuacin de las otras dos rectas a partir de la dada.

19. Representa y estudia las siguientes funciones:

a) y = - 3x2 + 5 d) y = x2 - 2x - 8 g) y = x2 - 3

b) y + x2 = - 4x - 2 e) y = (x + 3)2 h) y = (x - 5)2

c) y = (x - 4)2 + 16 f) y = -(x - 3)2 + 2 i) y = 2(x + 4)2

20. Asocia cada una de estas grficas con la funcin correspondiente:a) b) c) d)

1) y = 2x2 2) y = - 2x2 + 3 3) y = 3(x - 1)2 4) y = x2 + 2x + 4

21. Halla el dominio de las siguientes funciones:

a) y = 2x b) y = x3 c) d)

x 3 si x 3y

2x 1 si x 4 >

= +

x 3 si x 0y

2x 1 si x 0+ >

=

2x 1 si x -1y

3x 1 si x -1 >

= +

y = - x - 1

2

1yx

= 2

1yx 16

=


22. Representa grficamente:

a) b)

23. Representa las siguientes funciones indicando si son funciones afines o lineales:

a) y = x d) y = x + 2 g) y = - 3x j) y = 2x - 1

b) y = - 3x + 3 e) y = 6x - 1 h) y = - 5x k) y = 3x - 3

c) y = - 4x + 1 f) y = - 5x + 2 i) y = - 4x l) y = 3x + 5

24. Representa las siguientes funciones cuadrticas representando los puntos de corte con los ejes decoordenadas y el vrtice de cada parbola:

a) y = 3x2 - x - 2 c) y = x2 - 6x + 5 e) y = x2 - 5x + 6

b) y = 2x2 - 32 d) y = x2 + 4x + 3 f) y = - x2 - 2x - 1

25. Dada la siguiente funcin indica todo lo que puedas decir de ella:

26. La funcin de la parbola superior es x2. Cul es la funcin determinada por la parbola inferior?

27. Escribe la ecuacin de las siguientes rectas:a) b) c)

28. Dibuja una funcin que cumpla:

a) Es creciente en (oo,2).b) Es discontinua en x = 2.c) Pasa por (3,0).d) Tiene un mximo absoluto en x = 5.

2x 3 si x 1y

3x 1 si x 1 >

= +

x 2 si x 1y

2x 4 si x 1+

4 - funciones 3º eso

Documents