3 olinomios racciones aleraicas 3 polinomios y fracciones

3 Polinomios y fracciones algebraicas

80Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS3

En esta unidad se revisan todos los contenidos ya trabajados en el curso anterior sobre monomios, polinomios y sus operaciones. Se tratarán con más profundidad las identidades notables incluyendo cualquier potencia de un binomio.

Después se revisará de manera especial la división de polinomios y la regla de Ruffini para cocientes entre binomios de grado uno. Esto junto con los teoremas del resto y del factor y las identidades notables, se utilizarán para encontrar las raíces de un polinomio y factorizarlo. Por último los alumnos trabajarán por primera vez con fracciones algebraicas: tanto su simplificación como las operaciones básicas.

Todos los contenidos se trabajan con ejercicios que permitan practicar las operaciones y la factorización de polinomios. Esta unidad es clave para adquirir los procedimientos necesarios para poder enfrentarse a las unidades siguientes de ecuaciones y sistemas. Más adelante retoma-remos estos contenidos en las unidades relativas a las funciones.

La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y adquisición de la competencia matemática y del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL)Es la protagonista del bloque Lee y comprende las matemáticas en la que se trabaja la comprensión lectora partiendo de artículos relacionados con el uso de determinadas expresiones algebraicas en situaciones no exclusivamente matemáticas.

Además en la sección Matemáticas vivas se trabaja la comprensión de un enunciado y un cuadro informativo y la expresión del método de modelización del problema utilizando el lenguaje algebraico y verbalizando la relación entre las variables que intervienen.

Competencia digital (CD)Integrada a lo largo de la unidad muestra a los alumnos las ventajas de recurrir a los medios informáticos en general, las hojas de cálculo y la expresión gráfica de un conjunto de valores para descubrir la relación entre las variables implicadas en un problema.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla en todos los epígrafes. También se trabaja en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo del contexto de elaboración del presupuesto de un ventanal se trabaja el proceso de modelización y tratamiento de información a través del lenguaje algebraico.

Competencia aprender a aprender (CAA)A través de los distintos epígrafes y secciones de esta unidad se trabaja esta competencia, en Desafíos en los que se inicia el proceso de con-jetura y demostración a través del lenguaje algebraico, en los problemas con contexto que se centran en la modelización de situaciones y en otros ejercicios que se sugieren investigaciones de propiedades de las operaciones con polinomios.

La regla de Ruffini y el teorema del resto muestran el proceso de simplificación al que conduce la observación de propiedades y procesos mecánicos como la división.

Competencia conciencia y expresiones culturales (CCEC)En esta unidad aparecen nombres de matemáticos relevantes como Blaise Pascal (triángulo de Pascal), Isaac Newton (binomio de Newton) y Euclides de Alejandría (algoritmo de Euclides para la división de polinomios) que permiten mostrar al alumno las matemáticas como una construcción fruto del trabajo de la Humanidad, completada con aportaciones de muchos personajes de muy distintas culturas a lo largo de toda la Historia. Poner en contexto estas aportaciones y mostrar cómo su forma actual es el resultado de modificaciones realizadas a lo largo del tiempo y gracias a distintos pensadores, ayudará a considerar las matemáticas como legado cultural y no solo como herramienta científica.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)La unidad contiene un gran número de problemas y su resolución contribuye a fomentar la autonomía e iniciativa personal que se utilizan en el proceso de planificación de estrategias, a la asunción de retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre. Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades Investiga y Desafío. Además, en la sección Matemáticas vivas se trabaja un proceso en el que se muestra cómo considerar y valorar todas las variables y datos implicados en un problema para tomar la mejor decisión.

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

81

3Polinomios y fracciones algebraicas

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Manipular expresiones algebraicas y reconocer sus elementos, así como calcular el valor numérico.

❚❚ Expresar situaciones problemáticas a través del lenguaje algebraico.

❚❚ Operar y simplificar monomios, polinomios y fracciones algebraicas.

❚❚ Aplicar las propiedades de las operaciones con monomios, polinomios y fracciones algebraicas. Sacar factor común.

❚❚ Manejar con soltura las identidades notables.

❚❚ Utilizar la regla de Ruffini para simplificar determinados cocientes.

❚❚ Identificar las raíces de un polinomio y factorizarlo en factores irreducibles.

❚❚ Conocer y comprender los enunciados del teorema del resto y del teorema del factor.

❚❚ Aplicar los teoremas a la determinación de raíces y factorización de polinomios.

❚❚ Generalizar, demostrar y resolver problemas utilizando monomios, polinomios y fracciones algebraicas.

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionados con el estudio de los polinomios y las fracciones algebraicas.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre polinomios y fracciones algebraicas y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con el lenguaje algebraico, los polinomios y las fraccio-nes algebraicas pueden acceder a la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Monomios y polinomios. Valor numérico

1. Identificar monomios, polinomios y sus elementos.

2. Operar con monomios.

3. Determinar el valor numérico de un monomio o polinomio.

4. Traducir enunciados verbales y situaciones problemáticas empleando monomios y polinomios y trabajar con ellos.

1.1. Distingue entre monomio y polinomio y reconoce sus elementos.

1.2. Determina el grado de un monomio y de un polinomio.

2.1. Realiza operaciones con monomios.

3.1. Calcula el valor numérico de un monomio o polinomio.

4.1. Expresa correctamente distintas situaciones utilizando monomios y polinomios.

1, 2, 793

2, 793

3-689-92

8, 94

9

CMCTCLCAACSIEE

Suma y multiplicación de polinomios

5. Calcular la suma y el producto de polinomios.

6. Aplicar las propiedades de las operaciones con polinomios. Sacar factor común.

5.1. Suma y multiplica polinomios escribiendo el resultado de forma simplificada y ordenada.

6.1. Utiliza correctamente las propiedades de la suma y la resta de polinomios para simplificar operaciones.

6.2. Saca factor común en un polinomio.

10-14, 1895, 98Matemáticas vivas 1, 2CM1, CM2

15, 16, 1996

1797

CMCTCLCAACSIEE



P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Potencias de polinomios. Identidades notables

7. Utilizar las identidades notables.

8. Calcular potencias de polinomios.

7.1. Identifica las identidades notables y las emplea con soltura en cálculo y factorización.

8.1. Calcula la potencia de un polinomio cualquiera.

8.2. Aplica el binomio de Newton para determinar una potencia de un binomio.

20-24, 3099-101, 103

25, 26

27-29102

CMCTCLCAACCECCSIEE

División de polinomios

9. Realizar la división de polinomios.

10. Conocer y utilizar la relación entre los términos de una división.

9.1. Resuelve divisiones de polinomios e identifica sus elementos.

10.1. Aplica la relación entre los términos de una división para comprobarla o determinar el que falta.

31, 32, 3638, 40, 41104

33-35, 37, 39105-107

CMCTCDCLCAACSIEE

Regla de Ruffini 11. Aplicar la regla de Ruffini para dividir polinomios de la forma x − a.

11.1. Aplica la regla de Ruffini correctamente en los casos adecuados.

11.2. Utiliza la regla de Ruffini para resolver cuestiones con polinomios.

42-47108-110

48-51111-113

CMCTCLCAACCECCSIEE

Teorema del resto. Teorema del factor. Raíces de un polinomio

12. Identificar las raíces de un polinomio.

13. Conocer y comprender el enunciado del teorema del resto.

14. Conocer y comprender el teorema del factor.

12.1. Sabe si un número es o no raíz de un polinomio.

13.1. Determina el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x − a como el valor numérico para x = a.

14.1. Reconoce si un polinomio de la forma x − a divide a un polinomio.

52, 55, 5761, 62, 63116, 117

53, 54, 59, 60115

56, 58114, 118

CMCTCLCAACSIEE

Factorización de polinomios

15. Descomponer un polinomio como producto de factores irreducibles.

15.1. Factoriza al máximo y correctamente un polinomio.

15.2. Aplica la factorización de polinomios para la resolución de cuestiones.

64-67119-122

68-72

CMCTCLCAACSIEE

Fracciones algebraicas. Simplificación

16. Identificar fracciones algebraicas y reconocer fracciones algebraicas equivalentes.

17. Simplificar fracciones algebraicas.

16.1. Comprueba si dos fracciones algebraicas dadas son equivalentes.

16.2. Calcula fracciones equivalentes.

17.1. Halla la expresión irreducible de una fracción algebraica.

73, 79123

74, 75, 78125

76, 77, 80124

CMCTCDCLCAACCECCSIEE

Operaciones con fracciones algebraicasSuma y restaMultiplicación y división

18. Operar con fracciones algebraicas. 18.1. Suma y resta fracciones algebraicas.

18.2. Multiplica y divide fracciones algebraicas.

18.3. Realiza operaciones combinadas con fracciones algebraicas.

81-83126Matemáticas vivas 3Trabajo cooperativo

84, 85127

86-88128

CMCTCDCLCAACSIEE


MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

¿Qué tienes que saber? • Polinomios. Operaciones • Regla de Ruffini. Teorema del resto • Factorización de polinomios • Fracciones algebraicas. Operaciones

AvanzaExpresiones algebraicas con dos variables

Cálculo mentalEstrategia para multiplicar dos binomios

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Niccolo Fontana Tartaglia

1. Monomios y polinomios. Valor numérico

2. Suma y multiplicación de polinomios

3. Potencias de polinomios. Identidades notables

Vídeo. División de polinomios y prueba4. División de polinomios

5. Regla de Ruffini

Vídeo. Fracciones algebraicas8. Fracciones algebraicas. Simplificación

9. Operaciones con fracciones algebraicas

• Suma y resta • Multiplicación y división

7. Factorización de polinomios

6. Teorema del resto. Teorema del factor. Raíces de un polinomio

Actividades finales Actividades interactivas

MisMates.es

Comprende y resuelve problemas

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Matemáticas vivasEl precio de una ventana • Modelización de un problema: el

álgebra de una ventana

Trabajo cooperativo Tarea cuya estrategia cooperativa es Cooperación guiada o estructurada, de O’Donnell y Dansereau

Practica+

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO83



Sugerencias didácticasEl lenguaje algebraico es una herramienta muy útil para mo-delizar y resolver problemas. Está presente en todos los cam-pos de la ciencia y sin embargo es difícil de comprender para nuestros alumnos.

En la entrada se enumeran muchos usos del lenguaje algebrai-co que ellos ya conocen. Se les podría preguntar por situacio-nes en las que hayan visto expresiones algebraicas: geometría, física, economía... y anotarlas en la pizarra. Que recuerden qué son monomios y polinomios para clasificar las expresiones que vayan apuntando entre todos.

También se habla de otras aplicaciones como el diseño gráfico por ordenador que no les es tan cercano. Si el tiempo lo permi-te se les podría hablar de estas otras aplicaciones.

Contenido WEB. NICCOLO FONTANA TARTAGLIA

Recurso TIC para complementar la página de inicio con infor-mación relativa a la unidad. En este caso se trata de una breve biografía del matemático italiano Niccolo Fontana, más conoci-do como Tartaglia. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad, relacionando conceptos de distintas áreas, o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Aplica la propiedad distributiva o saca factor común, y opera. a) −4 ⋅ (5 + 7) b) 24 ⋅52 − 23 ⋅53 + 22 ⋅54

a) −4 ⋅5− 4 ⋅7 = −48 b) 24 ⋅52 − 23 ⋅53 + 22 ⋅54 = 22 ⋅52 ⋅ 22 − 2 ⋅5 + 52( ) = 100 ⋅ (19) = 1900

2. Expresa la superficie y el volumen de un brik de zumo dependiendo de su longitud, l; anchura, a, y altura, h. Ayúdate de un dibujo.

Superficie: S = 2 ⋅Área de la base + Perímetro de la base ⋅altura = 2 ⋅ (a ⋅ l ) + 2 ⋅ (a + l ) ⋅hVolumen: V = Área de la base ⋅altura = a ⋅ l ⋅h

3. Justifica cuál de estas expresiones es un monomio. Indica cuáles son el coeficiente, las variables y el grado.

a) 3 xy4 b) 7 x3 yz2

5 c)

3xz3

y2 d) 3x2 −

1

2y2

a) No es un monomio.

b) Es un monomio. Coeficiente: 7

5, variables: x, y, z; grado: 6.

c) No es un monomio.

d) No es un monomio.

4. Realiza estas operaciones con monomios. a) 3x2 y −5 yx2 b) 6 x3 y2 ⋅2

3xy2t c) −30a5 : 6a2

a) −2x2 y b) 6 x3 y2 ⋅2

3xy2t = 4 x4 y 4t c) −30a5 : 6a2 = −5a3

5. Aplica el método más adecuado para resolver estas ecuaciones. a) 2x2 + 5 x − 3 = 0 b) 3x2 + 5 x = 0 c) 9 x2 − 4 = 0

a) 2x2 + 5 x − 3 = 0 → x =−5 ± 52 − 4 ⋅2 ⋅ (−3)

2 ⋅2=−5 ± 7

4→ x1 =

1

2, x2 = −3

b) 3x2 + 5 x = 0 → x ⋅ (3x + 5) = 0 → x = 0, 3x + 5 = 0 → x = −5

3

c) 9 x2 − 4 = 0 → 9 x2 = 4 → x2 =4

9→ x = ±

2

3

a al l

h h

REPASA LO QUE SABES1. Aplica la propiedad distributiva o saca factor común, y opera.

a) −4 ⋅ (5 + 7) b) 24 ⋅52 − 23 ⋅53 + 22 ⋅54

2. Expresa la superficie y el volumen de un brik de zumo dependiendo de su longitud, l; anchura, a, y altura, h. Ayúdate de un dibujo.

3. Justifica cuál de estas expresiones es un monomio. Indica cuáles son el coeficiente, las variables y el grado.

a) 3 xy4 b) 7x3 yz2

5 c)

3xz3

y2 d) 3x2 −

1

2y2

4. Realiza estas operaciones con monomios.

a) 3x2 y −5yx2 b) 6 x3 y2 ⋅2

3xy2t c) −30a5 : 6a2

5. Aplica el método más adecuado para resolver estas ecuaciones.

a) 2x2 + 5x − 3 = 0 b) 3x2 + 5x = 0 c) 9x2 − 4 = 0

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

El lenguaje algebraico facilita la comprensión del mundo físico, económico, tecnológico… Ayuda a expresar relaciones entre magnitudes, a simplificar la investigación de propiedades, a construir demostraciones… Las fórmulas que escribimos utilizando letras para representar cantidades variables, indeterminadas o desconocidas, como la fórmula del interés simple o compuesto, son expresiones algebraicas.

De entre todas ellas, los polinomios y las fracciones algebraicas son las más sencillas y fascinantes. Con ellas se generan gráficos por ordenador utilizados en el diseño de la carrocería aerodinámica de un deportivo o de las montañas del paisaje, los gestos de un personaje o la melena de una princesa en una película de animación.

El lenguaje algebraico facilita la comprensión del mundo físico, económico, tecnológico… Ayuda a expresar relaciones entre magnitudes, a simplificar la investigación de propiedades, a construir demostraciones… Las fórmulas que escribimos utilizando letras para representar cantidades variables, indeterminadas o desconocidas, como la fórmula del interés simple o compuesto, son expresiones algebraicas.

De entre todas ellas, los polinomios y las fracciones algebraicas son las más sencillas y fascinantes. Con ellas se generan gráficos por ordenador utilizados en el diseño de la carrocería aerodinámica de un deportivo o de las montañas del paisaje, los gestos de un personaje o la melena de una princesa en una película de animación.

IDEAS PREVIAS

❚ Traducción al lenguaje

algebraico de enunciados.

❚ Operaciones y propiedades

de los números reales.

❚ Monomios. Operaciones.

❚ Resolución de ecuaciones

de primer y segundo

grado.

mac4e8

47

Niccolo Fontana (1499-1557), apodado Tartaglia por su tartamudez debida a una herida que sufrió cuando era niño, fue un matemático italiano que descubrió un método para resolver ecuaciones.

Matemáticas en el día a día ][

85



1. Monomios y polinomios. Valor numérico

Sugerencias didácticasEn el primer epígrafe de la unidad se repasan contenidos bási-cos de polinomios que serán imprescindibles para el desarrollo de los contenidos siguientes. Se parte de una situación prác-tica en la que pueden ver cómo los monomios y polinomios sirven para modelizar una situación. Así se puede dar sentido a aquello con lo que van a trabajar en los siguientes epígrafes.

Es importante que sepan determinar los coeficientes para el estudio de las operaciones y calcular el valor numérico para el teorema del resto. En la actividad que se propone en el Desafío de este epígrafe se les propone un reto en el que se trabaja la generalización con ayuda del lenguaje algebraico.

49

3Actividades3 Polinomios y fracciones algebraicas

48

Aprenderás a… ● Identificar monomios y polinomios y sus elementos.

● Calcular el grado de un monomio y un polinomio.

Si escribimos un polinomio de la forma:

P ( x ) = an xn + ... + a1x + a0

Los números an , …, a1 , a0 son los coeficientes del polinomio.

❚ an es el coeficiente principal.

❚ a0 es el término de grado 0 o término independiente.

Si todos los ai son distintos de 0 en el polinomio, decimos que este es completo.

Lenguaje matemático

1. MONOMIOS Y POLINOMIOS. VALOR NUMÉRICOPablo se dedica a elaborar cajas de cartón. Uno de los formatos es el ortoedro. Las dimensiones dependen de la altura, x, que se elija. Todas las juntas van reforzadas con una protección plástica y las cajas se elaboran sin tapa.

Para saber cuánto material se necesita para elaborar la caja, es necesario conocer la longitud del perímetro que va a proteger y su área.

❚ Perímetro: 2 ◊ (2x ) + 6 ◊ x = 4 x + 6 x = 10 x

❚ Área:

3 rectángulos: 3 ⋅ (2x ) ⋅ x = 3 ⋅2 ⋅ x ⋅ x = 6 x2 2 cuadrados: 2 ⋅ x ⋅ x = 2x2

Total: 6 x2 + 2x2 = (6 + 2) ⋅ x2 = 8 x2

Estas dos expresiones son monomios.

Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número, llamado coeficiente, por una o más variables con exponente natural o cero, que forman la parte literal.

El grado es la suma de los exponentes de las variables de la parte literal.

Para determinar el precio de la caja, sumamos el coste del cartón más la protección plástica y 1 € fijo por la elaboración.

Cartón: 1,50 €/m2 → 1,5 ⋅8 x2 = 12x2 Plástico: 0,50 €/m2 → 0,5 ⋅10 x = 5 x

El coste total es la suma de estos monomios. Es un polinomio de grado 2.

P ( x ) = 12x2 + 5 x + 1

Un polinomio es la suma de dos o más monomios de distinto grado. Estos monomios se llaman términos.

El grado del polinomio es el mayor de los grados de sus términos.

Conociendo este polinomio, es fácil determinar el precio de la caja a partir de sus dimensiones. Si mide medio metro de ancho, x = 0,5, el precio sería:

P (0,5) = 12 ⋅0,52 + 5 ⋅0,5 + 1 = 3 + 2,5 + 1 = 6,5 La caja costaría 6,50 €.

El número que se obtiene al sustituir la variable, x, por un valor, a, en un polinomio, P(x), se llama valor numérico y se escribe P(a).

Términos

} Simplifica esta operación con monomios 2x2 y − 3xy − 4 yx2 −5x2 y2 + 9xy. Indica el grado del polinomio resultante y calcula su valor numérico para x = 3, y = −1.

Solución

Calculamos la suma de los términos semejantes sumando los coeficientes y manteniendo la parte literal.

2x2 y − 3xy − 4 yx2 −5 x2 y2 + 9xy = −5 x2 y2 − 2x2 y + 6xy2x2 y − 3xy − 4 yx2 −5 x2 y2 + 9xy = −5 x2 y2 − 2x2 y + 6xy2x2 y − 3xy − 4 yx2 −5 x2 y2 + 9xy = −5 x2 y2 − 2x2 y + 6xy2x2 y − 3xy − 4 yx2 −5 x2 y2 + 9xy = −5 x2 y2 − 2x2 y + 6xy

P (3,-1) = -5 ◊ 32 ◊ (-1)2 - 2 ◊ 32 ◊ (-1) + 6 ◊ 3 ◊ (-1) = -5 ◊ 9- 2 ◊ (-9) + 6 ◊ (-3) = -45 + 18-18 = -45

EJERCICIO RESUELTO

Grado 4 Grado 3 Grado 2 Grado del polinomio P(x, y): 4

Indica cuáles de estas expresiones algebraicas son monomios o polinomios y cuáles ni lo uno ni lo otro.

a) −5 xy3 c) 7 xy2

z3 e) 7x5

b) a4 b23 d) 12− a5 f) −3xy + 2 y

Copia y completa la tabla.

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

3a4 b2c3 O O O

−x3 yz2 O O O

5 xy2

2O O O

Recuerda y escribe las definiciones de monomio semejante y de opuesto de un monomio. Indica cuáles de los siguientes monomios son semejantes a 3a2 b5c. ¿Cuál es el opuesto?

a) a2 b5 c) −13ab5c2 e) 3b5 a2c

b) −3a2 b5c d) a2 b5c

2 f) 18abc

Resuelve estas operaciones con monomios. ¿Se obtiene siempre un monomio?

a) −6 x3 + 17 x3 −5 x3 d) 6ab ⋅5

4a2c ⋅ −

2

15b2c2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) −6 x3 + 17 x2 −5 x3 e) 3x3 y − 4 x2 ⋅2xy

c) 5 xy3 ⋅ −2x2 y3( ) f) −a5 b3c

4−

5

6a3 bc ⋅3a2 b2

Calcula e indica las propiedades que aplicas.

a) −2x5( )3 b) 6a2 b( )5 c) −3x4 y3( )4

Realiza estos cocientes de monomios, si es posible. Si no, indica el cociente en forma de fracción.

a) 36 x5 : −9 x3( ) c) −7 y3 :1

2y3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) 12a3 : 5a( ) d) 24 x4 : 6 x7( )

1

2

3

4

5

6

Enumera los términos y coeficientes de estos polinomios. Indica su grado, su coeficiente principal, el término independiente y si es o no completo.

a) P ( x ) = 7 x3 -5 x

b) Q ( x ) = 4 x4 - 2 +7

2x3

c) R ( x ) = 7 x −5 x9 + 3x5

Calcula el valor numérico en cada caso.

a) M (a, b ) = -4 ab2, para a = 2, b = 3

b) N (x, y ) =3

5x2 y3, para x = 5, y = −2

c) P ( y ) = 9 y3 − 8 y2 + 3 y −1, para y = −2

d) Q ( x ) = −12x5 −7 x3 + 2x + 6, para x = −1

2

7

8

} Enumera los términos de este polinomio e indica el grado, el coeficiente principal y el término independiente. ¿Es un polinomio completo?

P ( x ) = 11x3 - 3x4 - 21+ 5x2

Solución

Ordenamos el polinomio según sus grados de mayor a

menor: P ( x ) = -3x4 + 11x3 + 5 x2 - 21

Por orden, sus términos y coeficientes son:

Grado Término Coeficiente

4 −3x4 −3

3 11x3 11

2 5x2 5

1 No tiene. 0

0 −21 −21

❚ El grado de P(x) es 4, el mayor de los grados.

❚ Su coeficiente principal es −3.

❚ El término independiente es −21.

Es un polinomio incompleto (no tiene término de grado 1).

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOObserva este mosaico hexagonal de dos unidades de lado. ¿Cuántas teselas se han utilizado en su elaboración?

a) Calcula cuántas teselas serían precisas para realizar un mosaico como este con tres teselas en cada lado.

b) ¿Y para uno de 10 teselas de lado?

c) Encuentra un monomio que exprese el número de teselas necesarias para elaborar un mosaico de lado n.

9

Soluciones de las actividades

1 Indica cuáles de estas expresiones algebraicas son monomios o polinomios y cuáles ni lo uno ni lo otro.

a) −5 xy3 b) a4 b23 c) 7 xy2

z3 d) 12− a5 e) 7x5 f) −3xy + 2 y

Monomios: a) y e) Ni monomio, ni polinomio: b) y c) Polinomios: d) y f)

2 Copia y completa la tabla.

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

3a4 b2c3 3 a4 b2c3 9

−x3 yz2 −1 x3 yz2 6

5 xy2

2

5

2xy2 3



3 Recuerda y escribe las definiciones de monomio semejante y de opuesto de un monomio. Indica cuáles de los siguientes mono-mios son semejantes a 3a2 b5c. ¿Cuál es el opuesto?

a) a2 b5 b) −3a2 b5c c) −13ab5c2 d) a2 b5c

2 e) 3b5 a2c f) 18abc

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal y son opuestos si sus coeficientes son opuestos.

No son semejantes: a), c) y f) Semejantes: b), d) y e) Opuesto: b)

4 Resuelve estas operaciones con monomios. ¿Se obtiene siempre un monomio?

a) −6 x3 + 17 x3 −5 x3 c) 5 xy3 ⋅ −2x2 y3( ) e) 3x3 y − 4 x2 ⋅2xy

b) −6 x3 + 17 x2 −5 x3 d) 6ab ⋅5

4a2c ⋅ −

2

15b2c2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ f) −

a5 b3c

4−

5

6a3 bc ⋅3a2 b2

a) 6 x3 b) −11 x 3 + 17 x 2 c) −10 x 3 y 6 d) −a 3 b 3 c 3 e) −5x 3 y f) −11

4a5 b3c

El producto de monomios es siempre un monomio, pero la suma y resta de monomios solo si son semejantes.

5 Calcula e indica las propiedades que aplicas.

a) −2x5( )3 b) 6a2 b( )5 c) −3x4 y3( )4

a) −2( )3 ⋅ x5( )3 = −8 x15 b) 65 ⋅ a2( )5 ⋅ b5 = 7776a10 b5 c) −3( )4 ⋅ x4( )4 ⋅ y3( )4 = 81x16 y12

Se aplica que la potencia de un producto se puede calcular hallando el producto de las potencias. Y que la potencia de una potencia es otra potencia de igual base y exponente el producto de los exponentes.

6 Realiza estos cocientes de monomios, si es posible. Si no, indica el cociente en forma de fracción.

a) 36 x5 : −9 x3( ) b) 12a3 : 5a( ) c) −7 y3 :1

2y3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ d) 24 x4 : 6 x7( )

a) 36 x5 : −9 x3( ) = −4 x2 b) 12a3 : (5a ) =12

5a2 c) −7 y3 :

1

2y3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −14 d) 24 x4 : 6 x7( ) =

4

x3

7 Enumera los términos y coeficientes de estos polinomios. Indica su grado, su coeficiente principal, el término independiente y si es o no completo.

a) P ( x ) = 7 x3 -5 x b) Q ( x ) = 4 x4 - 2 +7

2x3 c) R ( x ) = 7 x −5 x9 + 3x5

Términos Coeficientes Grado Coeficiente principal Término independiente Completo

P(x) 7 x3 ; −5 x 7; −5 3 7 0 No

Q(x) 4 x4 ; − 2; (7 / 2) x3 4; −2; 7/ 2 4 4 −2 No

R(x) 7 x ; −5 x9 ; 3x5 7; −5; 3 9 −5 0 No

8 Calcula el valor numérico en cada caso.

a) M (a, b ) = -4 ab2, para a = 2, b = 3 c) P ( y ) = 9 y3 − 8 y2 + 3 y −1, para y = −2

b) N (x, y ) =3

5x2 y3, para x = 5, y = −2 d) Q ( x ) = −12x5 −7 x3 + 2x + 6, para x = −

1

2a) −72 b) −120 c) −111 d)

25

4

Desafío

9 Observa este mosaico hexagonal de dos unidades de lado. ¿Cuántas teselas se han utilizado en su elaboración?

a) Calcula cuántas teselas serían precisas para realizar un mosaico como este con tres teselas en cada lado.

b) ¿Y para uno de 10 teselas de lado?

c) Encuentra un monomio que exprese el número de teselas necesarias para elaborar un mosaico de lado n.

a) Se necesitarían: 6 ⋅32 = 54 b) Se necesitarían: 6 ⋅102 = 600 c) En general: 6 ⋅ n2 teselas

87



2. Suma y multiplicación de polinomios

Sugerencias didácticasEste epígrafe es un repaso de las operaciones con polinomios que ya se estudiaron en el curso pasado. En los ejemplos re-sueltos se recuerda el procedimiento y en el margen las pro-piedades de las operaciones semejantes a las propiedades de operaciones con números reales. Resaltar que son las mismas propiedades que ya utilizan con los números reales.

Destacar la propiedad distributiva y cómo sacar factor común que se utilizará repetidamente en la factorización de polino-mios y simplificación de fracciones algebraicas. En el Desafío se propone un problema que muestra cómo el lenguaje al-gebraico y los polinomios sirven para modelizar y demostrar conjeturas de propiedades de números reales.

51


50

Sean los polinomios:

P ( x ) = 3x4 -5 x + 2

Q ( x ) = x3 -7 x2 - 4 x + 10

R ( x ) = -2x4 + 5 x2 + 6 x

Calcula:

a) P ( x ) + Q ( x ) d) P ( x )-Q ( x ) + R ( x )

b) Q ( x )- R ( x ) e) P ( x )- Q ( x ) + R ( x )[ ]

c) P ( x ) + Q ( x ) + R ( x ) f) P ( x )- Q ( x )- R ( x )[ ]

Estudia el grado y el coeficiente principal de la suma de estos polinomios para los distintos valores de a y n.

P ( x ) = ax3 -5 x2 + 7 x + 8

Q ( x ) = -4 xn + 6 x2 -11x

Justifica qué grado puede tener la suma de dos polinomios, P(x) y Q(x), según sean los grados y los coeficientes principales de los sumandos.

Considera los siguientes polinomios y calcula:

a) -4P ( x ) + R ( x ) + 2Q ( x )

b) Q ( x )- 3x2 ◊ R ( x )

c) 5 x3 ◊ R ( x )- 2x ◊ P ( x )

Calcula el producto de estos polinomios.

P ( x ) = 3x3 + 4 x2 + 10 x + 5

Q ( x ) = -2x2 + 5 x - 3

¿Qué grado tiene el resultado?

Explica por qué el grado del producto de dos polinomios es la suma de los grados de los factores. Comprueba el resultado con tres ejemplos.

10

11

12

❚ P (x ) =5x5 +x4 +2x-3

❚ Q (x ) =9x5 -x4 -2x3 -5x2 +x

❚ R (x ) =3x3 -x-2

13

14

Fíjate en estos polinomios.

P ( x ) = -3x2 + 5 x -1

Q ( x ) = 3x - 6 R ( x ) = -5 x + 1

Resuelve, a continuación, las operaciones indicadas.

a) R ( x )- 2x ◊ P ( x )

b) 6 x2 ◊Q ( x )- 3x ◊ R ( x )

c) 6R ( x )-Q ( x ) ◊Q ( x )

d) 5P ( x )-Q ( x ) ◊ R ( x )

Simplifica estas expresiones algebraicas.

a) 5

3⋅ 6 x2 − 9 x + 2( )− 4 x ⋅ 2x + 1( )

b) 6 x2 + 2x −7( ) ⋅ −2x + 5( )

c) −5 ⋅ 2x − 3( ) ⋅ x + 2( ) ⋅ 3x −1( )

d) 5 x − x ⋅ 2x2 −5( ) + 1− x( ) ⋅ −3x2 + 2( )

e) 12x − 3x ⋅ x2 − 2x + 3( ) + 2x −1( ) ⋅ x + 3( )

Saca factor común en estos polinomios.

a) P ( x ) = 5 x5 - 2x4 + 6 x3

b) Q ( x ) = 35 x4 - 21x2 + 14 x

c) R (x, y ) = 6 x2 y2 - 3xy2 + 9 x2 y

Pilar elabora pulseras que vende a 3 € en la tienda de otra artesana. El cuero necesario para elaborar 10 pulseras le cuesta 7 € y cada cierre son 0,30 €. Además, a la artesana le paga 120 € mensuales por la distribución (Considera 1 mes = 30 días).

a) Calcula el coste de material de cada pulsera.

b) Halla el coste diario por distribución.

c) Determina dos polinomios: uno que exprese el coste diario de x pulseras fabricadas, C ( x ), y otro para los ingresos obtenidos por x pulseras vendidas, l ( x ).

d) Establece el polinomio que permite calcular los beneficios diarios obtenidos por la venta de x pulseras, B ( x ).

e) ¿Cuántas pulseras debería vender Pilar al día para no tener pérdidas?

15

16

17

18

2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOSLas operaciones con polinomios se realizan respetando la jerarquía y las propiedades de las operaciones con números reales, así como las propiedades de las potencias.

Aprenderás a… ● Calcular la suma y el producto de polinomios.

● Sacar factor común en un polinomio.

Presta atención

Se conservan las propiedades de las operaciones con números.

Suma

❚ Conmutativa

P ( x ) + Q( x ) = Q( x ) + P ( x )

❚ Asociativa

P ( x ) + Q( x ) + R( x )[ ] == P ( x ) + Q( x )[ ] + R( x )

❚ Elemento neutro: O( x ) = 0

P ( x ) + O( x ) = P ( x )

❚ Elemento opuesto: -P ( x )

P ( x ) + -P ( x )[ ] = O( x )

Multiplicación

❚ Conmutativa

P ( x ) ◊Q( x ) = Q( x ) ◊ P ( x )

❚ Asociativa

P ( x ) ◊ Q( x ) ◊ R( x )[ ] == P ( x ) ◊Q( x )[ ] ◊ R( x )

❚ Elemento unidad: I ( x ) = 1

P ( x ) ◊ I ( x ) = P ( x )

❚ Elemento inverso: P-1 ( x )

P ( x ) ◊ P-1 ( x ) = 1

Propiedad distributiva

P ( x ) ◊ Q( x )+ R( x )[ ] == P ( x ) ◊Q( x ) + P ( x ) ◊ R( x )

La propiedad distributiva del producto con respecto a la suma permite multiplicar un monomio por un polinomio, pero también sacar factor común.

Así, si queremos sacar factor común en un polinomio, buscamos qué factor se repite en todos los términos.

Por ejemplo, en el polinomio P ( x ) = 10 x4 -15 x3 -5 x2 + 5 x observamos que:

❚ Todos los coeficientes son múltiplos de 5.

❚ Las partes literales tienen al menos una x.

P ( x ) = 5 ◊ 2 ◊ x3 ◊ x -5 ◊ 3 ◊ x2 ◊ x -5 ◊1◊ x ◊ x + 5 ◊1◊ x

De este modo, podemos extraer los factores 5 y x.

P ( x ) = 5x ◊ 2x3 - 3x2 - x + 1( )

} Considera los polinomios:

❚ P ( x ) = x5 -5x3 + 7x2 + 1

❚ Q( x ) = x3 - 3x2 + 2

❚ R( x ) = 2x2 + 5x - 3

Calcula el polinomio resultante de:

2 ◊ P ( x )-Q( x ) ◊ R( x )

Solución

Para operar con polinomios, respetamos la jerarquía y sumamos o multiplicamos los términos, monomios, de cada polinomio, aplicando las propiedades de los números reales.

1 Resolvemos las multiplicaciones.

Para multiplicar un número por un polinomio, multiplicamos ese número por cada uno de los términos del polinomio, aplicando la propiedad distributiva.

2 ◊ P ( x ) = 2 ◊ x5 -5 x3 + 7 x2 +1( ) = 2x5 -10 x3 + 14 x2 + 2

Para multiplicar polinomios, recurrimos también a la propiedad distributiva y multiplicamos cada término del primer factor por todos los términos del segundo factor.

Q ( x ) ◊ R ( x ) = x3 - 3x2 + 2( ) ◊ 2x2 + 5 x - 3( ) == 2x5 + 5 x4 - 3x3 - 6 x4 -15 x3 + 9 x2 + 4 x2 + 10 x - 6 == 2x5 - x4 -18 x3 + 13x2 + 10 x - 6

2 Resolvemos sumas y restas teniendo en cuenta que la resta es la suma del opuesto del sustraendo.

Para ello, vamos agrupando términos semejantes.

2 ◊ P ( x )-Q ( x ) ◊ R ( x ) == 2x5 -10 x3 + 14 x2 + 2( )- 2x5 - x4 -18 x3 + 13x2 + 10 x - 6( ) == 2x5 -10 x3 + 14 x2 + 2- 2x5 + x4 + 18 x3 -13x2 -10 x + 6 == x4 + 8 x3 + x2 -10 x + 8

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOSigue estas instrucciones y prueba con ternas diferentes:

❚ Escribe tres números consecutivos.

❚ Multiplica los dos de los extremos.

❚ Eleva al cuadrado el del medio.

a) Escribe los resultados en una tabla. Puedes ayudarte de una hoja de cálculo para organizar la información y hacer las cuentas.

b) Fíjate bien en los resultados de la tabla y escribe tus observaciones.

c) Expresa la relación que hayas constatado utilizando el lenguaje algebraico.

d) Demuestra algebraicamente que la relación es cierta.

19


10 Sean los polinomios: P ( x ) = 3x4 -5 x + 2 Q ( x ) = x3 -7 x2 - 4 x + 10 R ( x ) = -2x4 + 5 x2 + 6 xCalcula:

a) P ( x ) + Q ( x ) c) P ( x ) + Q ( x ) + R ( x ) e) P ( x )- Q ( x ) + R ( x )[ ]b) Q ( x )- R ( x ) d) P ( x )-Q ( x ) + R ( x ) f) P ( x )- Q ( x )- R ( x )[ ]

a) P ( x ) + Q ( x ) = 3x4 + x3 −7 x2 − 9 x + 12 d) P ( x )−Q ( x ) + R ( x ) = x4 − x3 + 12x2 + 5 x − 8

b) Q ( x )− R ( x ) = 2x4 + x3 −12x2 −10 x + 10 e) P ( x )− Q ( x ) + R ( x )[ ] = 5 x4 − x3 + 2x2 −7 x − 8

c) P ( x ) + Q ( x ) + R ( x ) = x4 + x3 − 2x2 − 3x + 12 f) P ( x )− Q ( x )− R ( x )[ ] = x4 − x3 + 12x2 + 5 x − 8

11 Estudia el grado y el coeficiente principal de la suma de estos polinomios para los distintos valores de a y n.

P ( x ) = ax3 -5 x2 + 7 x + 8 Q ( x ) = -4 xn + 6 x2 -11x

Justifica qué grado puede tener la suma de dos polinomios, P(x) y Q(x), según sean los grados y los coeficientes principales de los sumandos.

Para los polinomios P(x) y Q(x) reducidos y ordenados:

Si n > 3 el grado de la suma será n y el coeficiente principal −4, no importa el valor de a.



Si n = 3 y a ≠ 4 el grado de la suma será 3 y el coeficiente principal será a − 4.

Si n = 3 y a = 4 el grado de la suma será 2 y el coeficiente principal será 1.

12 Considera los siguientes polinomios y calcula:

a) -4P ( x ) + R ( x ) + 2Q ( x ) b) Q ( x )- 3x2 ◊ R ( x ) c) 5 x3 ◊ R ( x )- 2x ◊ P ( x )

a) −4 ⋅ 5 x5 + x4 + 2x − 3( ) + 3x3 − x − 2( ) + 2 ⋅ 9 x5 − x4 − 2x3 −5 x2 + x( ) = −2x5 − 6 x4 − x3 −10 x2 −7 x + 10

b) 9 x5 − x4 − 2x3 −5 x2 + x( )− 3x2 ⋅ 3x3 − x − 2( ) = −x4 + x3 + x2 + x

c) 5 x3 ⋅ 3x3 − x − 2( )− 2x ⋅ 5 x5 + x4 + 2x − 3( ) = 5 x6 − 2x5 −5 x4 −10 x3 − 4 x2 + 6 x

13 Calcula el producto de estos polinomios. P ( x ) = 3x3 + 4 x2 + 10 x + 5 Q ( x ) = -2x2 + 5 x - 3

¿Qué grado tiene el resultado?

P ( x ) ⋅Q ( x ) = 3x3 + 4 x2 + 10 x + 5( ) ⋅ −2x2 + 5 x − 3( ) = −6 x5 + 7 x4 − 9 x3 + 28 x2 −5 x −15

El resultado tiene grado 5.

14 Explica por qué el grado del producto de dos polinomios es la suma de los grados de los factores. Comprueba el resultado con tres ejemplos.

El grado del producto de dos polinomios es la suma de los grados, pues es este el grado que tendrá el término de mayor grado, el que se obtiene al multiplicar los dos términos principales.

Para la comprobación valen cualquier pareja de polinomios:

P ( x ) ⋅Q ( x ) = an xn + an−1xn−1 + ...( ) ⋅ bm xm + am−1xm−1 + ...( ) = an ⋅ bm( ) ⋅ xn+m + ...

15 Fíjate en estos polinomios: P ( x ) = -3x2 + 5 x -1 Q ( x ) = 3x - 6 R ( x ) = -5 x + 1

Resuelve, a continuación, las operaciones indicadas.

a) R ( x )- 2x ◊ P ( x ) b) 6 x2 ◊Q ( x )- 3x ◊ R ( x ) c) 6R ( x )-Q ( x ) ◊Q ( x ) d) 5P ( x )-Q ( x ) ◊ R ( x )

a) (−5 x + 1)− 2x ⋅ −3x2 + 5 x −1( ) = 6 x3 −10 x2 − 3x + 1 c) 6 ⋅ (−5 x + 1)− (3x − 6) ⋅ (3x − 6) = −9 x2 + 6 x − 30

b) 6 x2 ⋅ (3x − 6)− 3x ⋅ (−5 x + 1) = 18 x3 − 21x2 − 3x d) 5 ⋅ −3x2 + 5 x −1( )− (3x − 6) ⋅ (−5 x + 1) = −8 x + 1

16 Simplifica estas expresiones algebraicas.

a) 5

3⋅ 6 x2 − 9 x + 2( )− 4 x ⋅ 2x + 1( ) d) 5 x − x ⋅ 2x2 −5( ) + 1− x( ) ⋅ −3x2 + 2( )

b) 6 x2 + 2x −7( ) ⋅ −2x + 5( ) e) 12x − 3x ⋅ x2 − 2x + 3( ) + 2x −1( ) ⋅ x + 3( )

c) −5 ⋅ 2x − 3( ) ⋅ x + 2( ) ⋅ 3x −1( )

a) 2x2 −19 x +10

3 d) x3 − 3x2 + 8 x + 2

b) −12x3 + 26 x2 + 24 x − 35 e) −3x3 + 8 x2 + 8 x − 3

c) −30 x3 −5 x2 + 95 x − 30

17 Saca factor común en estos polinomios.

a) P ( x ) = 5 x5 - 2x4 + 6 x3 b) Q ( x ) = 35 x4 - 21x2 + 14 x c) R (x, y ) = 6 x2 y2 - 3xy2 + 9 x2 y

a) P ( x ) = 5 x5 − 2x4 + 6 x3 = x3 ⋅ (5 x2 − 2x + 6)

b) Q ( x ) = 35 x4 − 21x2 + 14 x = 7 x ⋅ 5 x3 − 3x + 2( )

c) R ( x , y ) = 6 x2 y2 − 3xy2 + 9 x2 y = 3xy ⋅ (2xy − y + 3x )

❚ P (x ) =5x5 +x4 +2x-3

❚ Q (x ) =9x5 -x4 -2x3 -5x2 +x

❚ R (x ) =3x3 -x-2

89



18 Pilar elabora pulseras que vende a 3 € en la tienda de otra artesana. El cuero necesario para elaborar 10 pulseras le cuesta 7 € y cada cierre son 0,30 €. Además, a la artesana le paga 120 € mensuales por la distribución. (Considera 1 mes = 30 días).

a) Calcula el coste de material de cada pulsera.

b) Halla el coste diario por distribución.

c) Determina dos polinomios: uno que exprese el coste diario de x pulseras fabricadas, C(x), y otro para los ingresos obtenidos por x pulseras vendidas, I(x).

d) Establece el polinomio que permite calcular los beneficios diarios obtenidos por la venta de x pulseras, B(x).

e) ¿Cuántas pulseras debería vender Pilar al día para no tener pérdidas?

a) Coste de material de una pulsera: 7

10 € (cuero) + 0,30 € (cierre) = 1 €

b) Coste diario por distribución: 120

30= 4 €

c) Coste diario por x pulseras fabricadas: C ( x ) = 4 + xIngresos por x pulseras vendidas: I ( x ) = 3x

d) Calculamos los beneficios restando los costes a los ingresos:

B ( x ) = I ( x )−C ( x ) = 3x − (4 + x ) = 2x − 4

e) Para no tener pérdidas debería conseguir que el polinomio de beneficios no tenga valor numérico negativo. Si vende dos pulseras el beneficio sería de 0 €, sin pérdidas: B (2) = 2 ⋅2− 4 = 0

Debería vender, al menos, dos pulseras al día.

Desafío

19 Sigue estas instrucciones y prueba con ternas diferentes:

❚❚ Escribe tres números consecutivos.

❚❚ Multiplica los dos de los extremos.

❚❚ Eleva al cuadrado el del medio.

a) Escribe los resultados en una tabla. Puedes ayudarte de una hoja de cálculo para organizar la información y hacer las cuentas.

b) Fíjate bien en los resultados de la tabla y escribe tus observaciones.

c) Expresa la relación que hayas constatado utilizando el lenguaje algebraico.

d) Demuestra algebraicamente que la relación es cierta.

a) Respuesta abierta. Por ejemplo:

Tres números consecutivos Producto de los extremos Medio al cuadrado

2, 3, 4 2 ⋅ 4 = 8 32 = 9

10, 11, 12 10 ⋅ 12 = 120 112 = 121

... ... ...

b) El producto del primer y tercer número es siempre una unidad menor que el cuadrado del segundo número.

c) y d) Representando algebraicamente los tres números y operando:

Tres números consecutivos Producto de los extremos Medio al cuadrado

x , x + 1, x + 2 x ⋅ ( x + 2) = x2 + 2x ( x + 1)2 = x2 + 2x + 1



3. Potencias de polinomios. Identidades notables

Sugerencias didácticasSe les puede pedir a los alumnos que recuerden las identidades notables y que vayan viendo la generalización de las potencias de un binomio calculando ellos mismos las primeras potencias. De este modo se puede conseguir que razonen y no memori-cen el método.

En la sección Desafío se propone otro problema de conjetura, modelización y demostración utilizando el lenguaje algebrai-co y potencias de binomios. Con esta actividad se conseguirá que valoren el lenguaje algebraico también como método de generalización.

53


52

Desarrolla aplicando las identidades notables.

a) 2

3x + x2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

c) 2x3 −3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ 2x3 +

3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) 3

4x2 − 6 y

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

d) −5 x − 8( ) ⋅ −5 x + 8( )

Resuelve y simplifica.

a) 2x + 1( )2 − 2x −1( )2

b) x2 + 5 x( )2 − x ⋅ x −5( )2

c) 3x − 2( ) ⋅ x −1( )2 + 2x ⋅ x + 3( ) ⋅ x − 3( )

d) x2 + 1( )2 ⋅ x2 −1( )2 + 2x2 ⋅ x2 + 1( )

Copia y completa estas igualdades.

a) § + 3x( )2 = 36 x4 + § + 9 x2

b) §− 2 y2( )2 = 3x2 −§+§

c) § +x

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= 9− 2x + §

d) x + §( ) ⋅ x −§( ) = §− 2

20

21

22

Justifica si estos polinomios corresponden al desarrollo de alguna identidad notable. Indica cuál.a) x2 + 2x + 1 c) 4 x2 + 12x + 9b) 4 x2 − 4 x + 1 d) x2 −5

23

Expresa estos polinomios como el cuadrado de un binomio más o menos un monomio.a) x2 + 5 x + 25

b) 4 x2 −12x

c) x6 + x3 + 4

d) 25 x4 −10 x2

Calcula estas potencias de polinomios desarrollando los productos.

Halla la expresión desarrollada del cuadrado de un trinomio cualquiera: a + b + c

Completa el triángulo de Tartaglia hasta la décima fila. ¿Cuál es el exponente de la potencia (a + b )n que tiene esos coeficientes en su desarrollo?

Calcula estas potencias de binomios.

a) x + 3( )5 c) 2x + 1( )4 e) x +2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

4

b) y −7( )3 d) −2x + y( )5 f) x3 −5 x( )3

Rebeca asegura que, si añade un metro a la arista de un cubo, el volumen aumentará un metro cúbico. ¿Tiene razón? ¿Por qué? Haz un dibujo de la situación.

24

25

a) (3x2 − 5x + 1)2 c) (3 − x)3

b) (x2 + x + 1)3 d) (2x + y)4

26

27

28

29

3. POTENCIAS DE POLINOMIOS. IDENTIDADES NOTABLES

Para algunos productos particulares, conocemos fórmulas que permiten simplificar el cálculo; se trata de las identidades notables.

❚ Cuadrado de una suma: (a + b )2 = a2 + 2ab + b2

❚ Cuadrado de una diferencia: (a- b )2 = a2 - 2ab + b2

❚ Suma por diferencia: (a + b ) ◊ (a- b ) = a2 - b2

Las dos primeras son potencias de polinomios. La potencia de un polinomio, igual que la de un número, es la forma abreviada de escribir el producto de un polinomio por sí mismo.

P ( x ) ◊ ...n veces

◊ P ( x ) = [P ( x )]n

Son interesantes las potencias de un binomio de la forma a + b. Podemos calcular algunas potencias y buscar regularidades que nos permitan simplificar los cálculos.

Las potencias (a + b)0 y (a + b)1 son evidentes, y (a + b)2 ya la conocemos. Calculamos (a + b)3 fijándonos bien en los pasos.

(a + b )3 = (a + b )2 ⋅ (a + b ) == a2 + 2ab + b2( ) ⋅ (a + b ) = a2 ⋅ (a + b ) + 2ab ⋅ (a + b ) + b2 ⋅ (a + b ) == a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 == a3 + (1+ 2 ) ⋅ a2b + (2 + 1) ⋅ ab2 + b3 == a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Calculamos potencias sucesivas y buscamos patrones en los coeficientes y partes literales de cada término.

(a + b )0 = 1

(a + b )1 = 1◊ a + 1◊ b

(a + b )2 = 1◊ a2 + 2 ◊ ab + 1◊ b2

(a + b )3 = 1◊ a3 + 3 ◊ a2 b + 3 ◊ ab2 + 1◊ b3

(a + b )4 = 1◊ a4 + 4 ◊ a3 b + 6 ◊ a2 b2 + 4 ◊ ab3 + 1◊ b4

Todos los términos tienen el mismo grado, el exponente de la potencia, y los exponentes de las variables varían de uno en uno desde an b0 hasta a0 bn.

Los coeficientes que se obtienen al sumar los términos semejantes coinciden con los coeficientes contiguos de la fila anterior. La estructura que forman los coeficientes se conoce como triángulo de Tartaglia o triángulo de Pascal.

Aprenderás a… ● Calcular potencias de polinomios.

● Utilizar las identidades notables.

} Desarrolla estas potencias de binomios utilizando el triángulo de Tartaglia.

a) x2 + 3( )4 b) 2x −5( )3

Solución

a) x2 + 3( )4 = 1⋅ x2( )4 + 4 ⋅ x2( )3 ⋅31 + 6 ⋅ x2( )2 ⋅32 + 4 ⋅ x2( )1 ⋅33 + 1⋅34 == x8 + 12x6 + 54 x4 + 108 x2 + 81

b) 2x -5( )3 = 2x + -5( )[ ]3 =

= 1◊ 2x( )3 + 3 ◊ 2x( )2 ◊ -5( ) + 3 ◊ 2x( )1 ◊ -5( )2 + 1◊ -5( )3 == 8 x3 - 60 x2 + 150 x -125

EJERCICIO RESUELTO

} Justifica si este polinomio corresponde al desarrollo de alguna identidad notable. ¿Cuál?

9y 4 − 6 y2 x + x2

Solución

1 Pensamos qué identidad notable podría ser.

El polinomio 9 y 4 − 6 y2 x + x2 podría ser el desarrollo del cuadrado de una diferencia, pues tiene tres términos y solo uno es negativo.

2 Identificamos sus términos.

❚ En este caso, sus términos cuadrados son:

9 y 4 = 3 y2( )2 x2 = x( )2

❚ Comprobamos que: 2 ⋅3 y2 ⋅ x = 6 y2 x

El polinomio es el desarrollo de: 3 y2 − x( )2

9 y 4 - 6 y2 x + x2 = 3 y2 - x( )2

EJERCICIO RESUELTO

} Expresa el polinomio x2 + x + 4 como el cuadrado de un binomio más o menos un monomio.

Solución

Determinamos la identidad notable. El polinomio x2 + x + 4 podría ser el cuadrado de una suma:

x2 = ( x )2 4 = 22

Sin embargo:

( x + 2)2 = x2 + 4 x + 4

Por consiguiente, ajustando lo que sobra:

x2 + x + 4 = ( x + 2)2 - 3x

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍO

Calcula: 52 − 42 82 − 72 102 − 92 142 − 132

a) Continúa hasta que puedas predecir el resultado para cualquier par de números que se diferencien en una unidad. Establece una conjetura.

b) Traduce al lenguaje algebraico tu conjetura y demuéstrala.

c) Comprueba qué ocurre si los números se diferencian en dos unidades, en tres… Generaliza.

30


20 Desarrolla aplicando las identidades notables.

a) 2

3x + x2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

b) 3

4x2 − 6 y

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

c) 2x3 −3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ 2x3 +

3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ d) −5 x − 8( ) ⋅ −5 x + 8( )

a) 2

3x + x2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=4

9x2 +

4

3x3 + x4 c) 2x3 −

3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ 2x3 +

3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 4 x6 −

9

25

b) 3

4x2 − 6 y

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=9

16x4 − 9 x2 y + 36 y2 d) −5 x − 8( ) ⋅ −5 x + 8( ) = 25 x2 − 8

21 Resuelve y simplifica.

a) 2x + 1( )2 − 2x −1( )2 c) 3x − 2( ) ⋅ x −1( )2 + 2x ⋅ x + 3( ) ⋅ x − 3( )

b) x2 + 5 x( )2 − x ⋅ x −5( )2 d) x2 + 1( )2 ⋅ x2 −1( )2 + 2x2 ⋅ x2 + 1( )

a) 2x + 1( )2 − 2x −1( )2 = 4 x2 + 4 x + 1( )− 4 x2 − 4 x + 1( ) = 8 x

b) x2 + 5 x( )2 − x ⋅ x −5( )2 = x4 + 10 x3 + 25 x2( )− x ⋅ x2 −10 x + 25( ) = x4 + 9 x3 + 35 x2 − 25 x

c) (3x − 2) ⋅ x −1( )2 + 2x ⋅ ( x + 3) ⋅ ( x − 3) = (3x − 2) ⋅ x2 − 2x + 1( ) + 2x ⋅ x2 − 9( ) = 5 x3 − 8 x2 −11x − 2

91



d) x2 + 1( )2 ⋅ x2 −1( )2 + 2x2 ⋅ x2 + 1( ) = x4 + 2x2 + 1( ) ⋅ x4 − 2x2 + 1( ) + 2x4 + 2x2( ) = x8 + 2x2 + 1

22 Copia y completa estas igualdades.

a) § + 3x( )2 = 36 x4 + § + 9 x2 c) § +x

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= 9− 2x + §

b) §− 2 y2( )2 = 3x2 −§+§ d) x + §( ) ⋅ x −§( ) = §− 2

a) 6 x2 + 3x( )2 = 36 x4 + 36 x3 + 9 x2 c) −3 +x

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= 9− 2x +x2

9

b) 3x − 2 y2( )2 = 3x2 − 4 3xy2 + 4 y 4 d) x + 2( ) ⋅ x − 2( ) = x2 − 2

23 Justifica si estos polinomios corresponden al desarrollo de alguna identidad notable. Indica cuál.

a) x2 + 2x + 1 b) 4 x2 − 4 x + 1 c) 4 x2 + 12x + 9 d) x2 −5

a) Cuadrado de una suma: x2 + 2x + 1 = x + 1( )2

b) Cuadrado de una diferencia: 4 x2 − 4 x + 1 = 2x −1( )2

c) Cuadrado de una suma: 4 x2 + 12x + 9 = 2x + 3( )2

d) Suma por diferencia: x2 −5 = x + 5( ) ⋅ x − 5( )

24 Expresa estos polinomios como el cuadrado de un binomio más o menos un monomio.

a) x2 + 5 x + 25 b) 4 x2 −12x c) x6 + x3 + 4 d) 25 x4 −10 x2

a) x2 + 5 x + 25 = x2 + 10 x −5 x + 25 = x + 5( )2 −5 x

b) 4 x2 −12x = 4 x2 −12x + 9− 9 = 2x − 3( )2 − 9

c) x6 + x3 + 4 = x6 + 4 x3 − 3x3 + 4 = x3 + 2( )2 − 3x3

d) 25 x4 −10 x2 = 25 x4 −10 x2 + 1−1 = 5 x2 −1( )−1

25 Calcula estas potencias de polinomios desarrollando los productos.

a) 9 x4 − 30 x3 + 31x2 −10 x + 1 c) −x3 + 9 x2 − 27 x + 27

b) x6 + 3x5 + 6 x4 + 7 x3 + 6 x2 + 3x + 1 d) 16 x4 + 32x3 y + 24 x2 y2 + 8 xy3 + y 4

26 Halla la expresión desarrollada del cuadrado de un trinomio cualquiera: a + b + c

a + b + c( )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

27 Completa el triángulo de Tartaglia hasta la décima fila. ¿Cuál es el exponente de la potencia (a + b )n que tiene esos coeficientes en su desarrollo?

Serían los coeficientes de (a + b)9.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

a) (3x2 − 5x + 1)2 c) (3 − x)3

b) (x2 + x + 1)3 d) (2x + y)4



28 Calcula estas potencias de binomios.

a) x + 3( )5 c) 2x + 1( )4 e) x +2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

4

b) y −7( )3 d) −2x + y( )5 f) x3 −5 x( )3

a) x + 3( )5 = x5 + 15 x4 + 90 x3 + 270 x2 + 405 x + 243

b) y −7( )3 = y3 − 21y2 + 147 y − 343

c) 2x + 1( )4 = 16 x4 + 32x3 + 24 x2 + 8 x + 1

d) −2x + y( )5 = −32x5 + 80 x4 y − 80 x3 y2 + 40 x2 y3 −10 xy 4 + y5

e) x +2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

4

= x4 +8

3x3 +

8

3x2 +

32

27x +

16

81f) x3 −5 x( )3 = x9 −15 x7 + 75 x5 −125 x3

29 Rebeca asegura que, si añade un metro a la arista de un cubo, el volumen aumentará un metro cúbico. ¿Tiene razón? ¿Por qué? Haz un dibujo de la situación.

No es cierto.

Ahora el volumen sería:

x + 1( )3 = x3 + 3x2 + 3x + 1

Que es mayor que x 3 + 1.

Podemos comprobar el resultado con ayuda de un dibujo.

Desafío

30 Calcula: 52 − 42 82 − 72 102 − 92 142 − 132

a) Continúa hasta que puedas predecir el resultado para cualquier par de números que se diferencien en una unidad. Establece una conjetura.

b) Traduce al lenguaje algebraico tu conjetura y demuéstrala.

c) Comprueba qué ocurre si los números se diferencian en dos unidades, en tres… Generaliza.

a) Se observa que la diferencia coincide con la suma de las bases.

52 − 42 = 9 82 −72 = 15 102 − 92 = 19 142 −132 = 27

b) Expresada en lenguaje algebraico, tomando x y x + 1 números consecutivos, sería:

x + 1( )2 − x2 = x2 + 2x + 1− x2 = 2x + 1 = x + ( x + 1)

c) En otros casos se comprueba que:

x + 2( )2 − x2 = x2 + 4 x + 4− x2 = 4 x + 4 = 2 ⋅ ( x + 2) + x[ ] → El doble de la suma.

x + 3( )2 − x2 = x2 + 6 x + 9− x2 = 6 x + 9 = 3 ⋅ ( x + 3) + x[ ] → El triple de la suma.

En general:

x + n( )2 − x2 = x2 + 2nx + n2 − x2 = 2nx + n2 = n ⋅ ( x + n ) + x[ ] → La suma de ambos multiplicada por n.

x + 1

x + 1

1

1

1

x

xx

x + 1

93



4. División de polinomios

Sugerencias didácticasSe relaciona en este epígrafe el algoritmo de la división entera de números naturales con la división de polinomios. Conviene que los alumnos vean que el procedimiento es el mismo y así lo practiquen. Se recuerda también la prueba de la división que servirá para probar el teorema del resto. Y se ven las caracte-rísticas del resto.

Trabajar la propiedad fundamental de la división con números naturales podría ayudar a que vieran que a pesar de que el cociente es el mismo el resto se modifica. Esta propiedad será útil en cocientes con coeficientes fraccionarios.

Vídeo. DIVISIÓN DE POLINOMIOS Y PRUEBA

En el ejercicio resuelto aparece un vídeo en el que puede verse, paso a paso, la división de dos polinomios, indicando qué mo-nomios marcan los términos del cociente. También se incluye la prueba correspondiente a esta división.

Puede reproducirse en clase para completar la explicación de esta página o como recurso para que los alumnos repasen este pro-cedimiento.

55


54

4. DIVISIÓN DE POLINOMIOSPara hallar el cociente de dos polinomios, procedemos igual que en el caso de la división de números naturales.

1 Al dividir números naturales, hallamos el cociente entre las cifras de mayor valor. En los polinomios, una vez ordenados dividendo y divisor, calculamos el cociente entre los monomios de mayor grado de cada uno de ellos.

8 4 0 31 8x2 − x − 2 2x − 1

2 4x

2 Multiplicamos el cociente por el divisor y restamos el producto al dividendo.

8 4 0 31 8x2 − x − 2 2x − 1

− 6 2 2 − 8x2 + 4x 4x

2 2 0 3x − 2

3 Repetimos el proceso con el nuevo dividiendo hasta que el resto sea menor que el divisor. En el caso de los polinomios, repetimos hasta que el grado del polinomio resto sea menor que el grado del polinomio divisor.

8 4 0 31 8x2 − x − 2 2x − 1

− 6 2 27 − 8x2 + 4x 4x + 3/2 = C(x)

2 2 0 3x − 2

− 2 1 7 − 3x + 3/2

3 − 1/2 = R(x)

Tanto en la división de números naturales como en la de polinomios se cumple que D = d ⋅ C + R. Vamos a comprobarlo.

840 = 31 ⋅ 27 + 3 8 x2 − x − 2 = (2x −1) ⋅ (4 x + 3/2)−1/2

840 = 837 + 3 8 x2 - x - 2 = 8 x2 - x - 3/2-1/2

Para cada par de polinomios, P ( x ) y Q ( x ) , con Q ( x ) distinto del polinomio nulo, existen dos polinomios, C ( x ) y R ( x ), tales que:

P ( x ) = Q( x ) ◊C ( x ) + R( x )

El grado del polinomio cociente, C ( x ), es igual a la diferencia entre el grado del polinomio dividendo, P ( x ) , y el polinomio divisor, Q ( x ) .

El grado del polinomio resto, R ( x ), es menor que el grado del polinomio divisor.

Si R ( x ) = 0, la división es exacta, es decir, Q ( x ) es divisor de P ( x ) .

Grado 1

Aprenderás a… ● Realizar la división de polinomios.

● Conocer y utilizar la relación entre los términos de la división.

Presta atención

La igualdad:

P ( x ) = Q( x ) ◊C ( x ) + R( x )

es una identidad. Se cumple para cualquier x = a:

P (a) = Q(a) ◊C (a) + R(a)

} Resuelve P ( x ) : Q( x ) dados los polinomios P ( x ) = 6 x4 + x2 + 10 x + 2 y Q( x ) = 2x2 - 2x + 3.

Comprueba el resultado.

Solución

Para dividir polinomios procedemos como en la división de números naturales.

Al finalizar la división comprobamos que se cumple la propiedad de la división.

EJERCICIO RESUELTO

mac4e9

Observa estos cocientes entre polinomios y monomios e indica de forma razonada, sin resolver la división, cuáles son exactos.

a) x6 − 3x4 −5 x3

5 x c)

6 x17 + 4 x9 − 8 x6

−2x4

b) 6 x4 − 9 x2 − 3x

3x2 d)

−23x5 −17 x4 + x3

−5 x3

Compruébalo y, si la división es exacta, expresa el cociente como:

C ( x ) =P ( x )

Q ( x )

Calcula el cociente y el resto de estas divisiones y expresa la división de la siguiente forma:

P ( x )

Q ( x )= C ( x ) +

R ( x )

Q ( x )

a) 15 x2 − 3x( ) : 3x −1( )

b) 12x2 −5( ) : 6 x + 3( )

c) −14 x3 + 19 x2 −7( ) : −2x2 + 3x + 1( )

d) x4 + x3 − 2x2 −5 x + 3( ) : x2 + x + 1( )

e) 18 x4 - 9 x3 + x2 + 3x + 1( ) : 3x -1/2( )

f) −2x5 + 7 x4 −5 x3 + 1( ) : x3 − 2x2 + 3( )

Sin realizar la división, comprueba que C ( x ) = 5 x2 - 2x + 1 y R ( x ) = -5 x + 7 son, respectivamente, el cociente y el resto de la división:

10 x4 + 21x3 − 23x2 + 6 x + 4

2x2 + 5 x − 3

Determina el dividendo de una división con:

❚ Divisor: Q ( x ) = 5 x2 + 3x - 2

❚ Cociente: C ( x ) = 4 x -1

❚ Resto: R ( x ) = 5 x -7

Calcula el divisor de una división en la que:

❚ El dividendo es P ( x ) = 2x5 - 2x4 - x2 -1.

❚ El cociente es C ( x ) = 2x2 -1.

❚ Y el resto, R ( x ) = ( x/2)− 2.

Indica de forma razonada los posibles grados de los polinomios cociente y resto obtenidos al dividir un polinomio de grado 7 entre un polinomio de grado 2.

Divide y comprueba el resultado.

a) −x4 + 2x2 −1

x2 + 2 b)

x4 −1

x2 − x + 1

31

32

33

34

35

36

37

Un polinomio, P ( x ), es divisor de otro, Q ( x ), si la división es exacta. Decide si P ( x ) = -2x2 + 3x -1 es o no divisor de los siguientes polinomios.

a) Q ( x ) = -6 x3 + 5 x2 + 3x - 2

b) Q ( x ) = -4 x4 + 8 x3 + x2 - 2x

c) Q ( x ) = -2x4 + 3x3 + x2 + 3x + 1

d) Q ( x ) = -4 x5 + 6 x4 + 2x3 - 4 x2 + 1

e) Q ( x ) = −2x4 + x3 + 6 x2 −7 x + 2

Escribe en cada caso un polinomio que cumpla las condiciones que se dan.

a) Polinomio de primer grado y divisible entre 7x − 3.

b) Polinomio de primer grado, divisible entre 7x − 3 y con 63 como coeficiente principal.

c) Polinomio de segundo grado, divisible entre 7x − 3 y entre 2x + 1.

d) Polinomio de segundo grado, divisible entre 7x − 3 y entre 2x + 1 y con 28 como coeficiente principal.

Reflexiona: ¿cuántos polinomios de segundo grado hay divisibles entre 7x − 3 y 2x + 1?

38

39

Aplica la propiedad fundamental de la división para simplificar estas operaciones.

a) 2x3 +3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

x

3+

1

6

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ b) 3x4 −

1

27

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ : 2x −

2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

40

} Aplica la propiedad fundamental de la división para simplificar esta operación.

3

2x2 −

13

5x +

2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

x

2−

1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Solución

Para que los coeficientes sean enteros, multiplicamos el dividendo y el divisor por el m.c.m. (2, 5) = 10.

15 x2 − 26 x + 4( ) : 5 x − 2( )

Al multiplicar los dos términos, el cociente no varía y el resto queda multiplicado por 10.

15x2 − 26x + 4 5x − 2

− 15x2 + 6x 3x − 4 = C(x)

− 20x + 4

20x − 8

− 4 → R(x) = −4

10=−2

5

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍO

Calcula qué valores deberían tener a y b para que el polinomio P ( x ) = 6 x4 -5 x3 + x2 + ax + b sea divisible por Q ( x ) = 3x2 + 2x -1.

41

Grado 0


31 Observa estos cocientes entre polinomios y monomios e indica de forma razonada, sin resolver la división, cuáles son exactos.

a) x6 − 3x4 −5 x3

5 x b)

6 x4 − 9 x2 − 3x

3x2 c)

6 x17 + 4 x9 − 8 x6

−2x4 d)

−23x5 −17 x4 + x3

−5 x3

Compruébalo y, si la división es exacta, expresa el cociente como:

C ( x ) =P ( x )

Q ( x )

a) Exacto → x6 − 3x4 −5 x3

5 x=

1

5x5 −

3

5x3 − x2 c) Exacto →

6 x17 + 4 x9 − 8 x6

−2x4= −3x13 − 2x5 + 4 x2

b) No exacto d) Exacto → −23x5 −17 x4 + x3

−5 x3=

23

5x2 +

17

5x −

1

5



32 Calcula el cociente y el resto de estas divisiones y expresa la división de la siguiente forma:P ( x )

Q ( x )= C ( x ) +

R ( x )

Q ( x )

a) 15 x2 − 3x( ) : 3x −1( ) d) x4 + x3 − 2x2 −5 x + 3( ) : x2 + x + 1( )

b) 12x2 −5( ) : 6 x + 3( ) e) 18 x4 - 9 x3 + x2 + 3x + 1( ) : 3x -1/2( )

c) −14 x3 + 19 x2 −7( ) : −2x2 + 3x + 1( ) f) −2x5 + 7 x4 −5 x3 + 1( ) : x3 − 2x2 + 3( )

a) 15 x2 − 3x

3x −1= 5 x +

2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

23

3x −1 d)

x4 + x3 − 2x2 −5 x + 3

x2 + x + 1= x2 − 3( ) +

−2x + 6

x2 + x + 1

b) 12x2 −5

6 x + 3= (2x −1) +

−2

6 x + 3 e)

18 x4 − 9 x3 + x2 + 3x + 1

3x −1 2= 6 x3 − 2x2 + 1( ) +

32

3x −1 2

c) −14 x3 + 19 x2 −7

−2x2 + 3x + 1= (7 x + 1) +

−10 x − 8

−2x2 + 3x + 1 f)

−2x5 + 7 x4 −5 x3 + 1

x3 − 2x2 + 3= −2x2 + 3x + 1( ) +

8 x2 − 9 x − 2

x3 − 2x2 + 3

33 Sin realizar la división, comprueba que C ( x ) = 5 x2 - 2x + 1 y R ( x ) = -5 x + 7 son, respectivamente, el cociente y el resto de la división:

10 x4 + 21x3 − 23x2 + 6 x + 4

2x2 + 5 x − 3Comprobamos aplicando la prueba de la división:

Q ( x ) ⋅C ( x ) + R ( x ) = 2x2 + 5 x − 3( ) ⋅ 5 x2 − 2x + 1( ) + −5 x + 7( ) == 10 x4 + 21x3 − 23x2 + 11x − 3 + −5 x + 7( ) = 10 x4 + 21x3 − 23x2 + 6 x + 4 = P ( x )

34 Determina el dividendo de una división con:

❚❚ Divisor: Q ( x ) = 5 x2 + 3x - 2

❚❚ Cociente: C ( x ) = 4 x -1❚❚ Resto: R ( x ) = 5 x -7

Q ( x ) ⋅C ( x ) + R ( x ) = 5 x2 + 3x − 2( ) ⋅ (4 x −1) + (5 x −7) = 20 x3 + 7 x2 − 6 x −5 = P ( x )

35 Calcula el divisor de una división en la que:

❚❚ El dividendo es P ( x ) = 2x5 - 2x4 - x2 -1.

❚❚ El cociente es C ( x ) = 2x2 -1.

❚❚ Y el resto, R ( x ) = ( x/2)− 2.

P ( x )− R ( x )

C ( x )= 2x5 − 2x4 − x2 −1( )−

x

2− 2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ : 2x2 −1( ) =

= 2x5 − 2x4 − x2 −1

2x + 1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ : 2x2 −1( ) = x3 − x2 +

1

2x −1

36 Indica de forma razonada los posibles grados de los polinomios cociente y resto obtenidos al dividir un polinomio de grado 7 entre un polinomio de grado 2.

Si dividimos un polinomio de grado 7 entre un polinomio de grado 2, el grado del cociente será la diferencia de los grados, grado 5.

El resto tendrá grado inferior al divisor, es decir, será de grado 1 o 0.

37 Divide y comprueba el resultado.

a) −x4 + 2x2 −1

x2 + 2 b)

x4 −1

x2 − x + 1

a) −x4 + 2x2 −1

x2 + 2= −x2 + 4( ) +

−9

x2 + 2 b)

x4 −1

x2 − x + 1= x2 + x( ) +

−x −1

x2 − x + 1

95



38 Un polinomio, P(x), es divisor de otro polinomio, Q(x), si la división es exacta. Decide si P ( x ) = -2x2 + 3x -1 es o no divisor de los siguientes polinomios.

a) Q ( x ) = -6 x3 + 5 x2 + 3x - 2 d) Q ( x ) = -4 x5 + 6 x4 + 2x3 - 4 x2 + 1

b) Q ( x ) = -4 x4 + 8 x3 + x2 - 2x e) Q ( x ) = −2x4 + x3 + 6 x2 −7 x + 2

c) Q ( x ) = -2x4 + 3x3 + x2 + 3x + 1

a) Sí → Q ( x )

P ( x )= 3x + 2 d) No →

Q ( x )

P ( x )= 2x3 − 2x −1( ) +

x

−2x2 + 3x −1

b) No → Q ( x )

P ( x )= 2x2 − x − 3( ) +

6 x − 3

−2x2 + 3x −1 e) Sí →

Q ( x )

P ( x )= x2 + x − 2

c) No → Q ( x )

P ( x )= x2 −1( ) +

6 x

−2x2 + 3x −1

39 Escribe en cada caso un polinomio que cumpla las condiciones que se dan.

a) Polinomio de primer grado y divisible entre 7x − 3.

b) Polinomio de primer grado, divisible entre 7x − 3 y con 63 como coeficiente principal.

c) Polinomio de segundo grado, divisible entre 7x − 3 y entre 2x + 1.

d) Polinomio de segundo grado, divisible entre 7x − 3 y entre 2x + 1 y con 28 como coeficiente principal.

Reflexiona: ¿cuántos polinomios de segundo grado hay divisibles entre 7x − 3 y 2x + 1?

a) Respuesta abierta: A( x ) = k ⋅ (7 x − 3)

b) B ( x ) = 9 ⋅ (7 x − 3) = 63x − 27

c) C ( x ) = k ⋅ (7 x − 3) ⋅ (2x + 1) = k ⋅ 14 x2 + x − 3( )

d) D ( x ) = 2 ⋅ (7 x − 3) ⋅ (2x + 1) = 2 ⋅ 14 x2 + x − 3( ) = 28 x2 + 2x − 6

Hay infinitos polinomios divisibles entre 7 x − 3 y 2x + 1. Todos los múltiplos de 14 x2 + x − 3 .

40 Aplica la propiedad fundamental de la división para simplificar estas operaciones.

a) 2x3 +3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

x

3+

1

6

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ b) 3x4 −

1

27

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ : 2x −

2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

a) Multiplicamos ambos términos por 6: 2x3 +3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

x

3+

1

6

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

12x3 + 9

2x + 1

El cociente es C ( x ) = 6 x2 − 3x +3

2 y el resto ha quedado multiplicado por 6, dividiendo: R ( x ) =

15

2: 6 =

5

4

b) Multiplicamos ambos términos por 3: 3x4 −1

27

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ : 2x −

2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= 9 x4 −

1

9

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ : (6 x − 2) =

3

2x3 +

1

2x2 +

1

6x +

1

18

Desafío

41 Calcula qué valores deberían tener a y b para que el polinomio P ( x ) = 6 x4 -5 x3 + x2 + ax + b sea divisible por Q ( x ) = 3x2 + 2x -1.

Será divisible si el resto es cero. Si realizamos la división:

6 x4 −5 x3 + x2 + ax + b 3x2 + 2x −1

−6 x4 − 4 x3 + 2x2 2x2 − 3x + 3

−9 x3 + 3x2 + ax + b

9 x3 + 6 x2 − 3x

9 x2 + (a− 3) x + b

−9 x2 − 6 x + 3

(a− 9) x + (b + 3)

Para eso se tendría que cumplir: a− 9 = 0 → a = 9 b + 3 = 0 → b = −3



5. Regla de Ruffini

Sugerencias didácticasLa regla de Ruffini simplifica mucho las divisiones con divisor de la forma ( x − a). Conseguir que los alumnos relacionen la división con la simplificación de Ruffini es importante para que no vean esta regla como una operación diferente y para que no cometan los errores habituales. Procurar con el ejemplo re-

suelto y con otros que se puedan proponer en clase que vean la necesidad de escribir todos los coeficientes, hasta los que son cero, y que se fijen también en por qué el procedimiento solo sirve para binomios de primer grado y con coeficiente principal 1.

57


56

5. REGLA DE RUFFINICuando dividimos un polinomio cualquiera entre un binomio de la forma x − a, podemos utilizar un algoritmo que simplifica la realización de dicha división. Se trata de la regla de Ruffini.

Vamos a dividir el polinomio 3x3 + 4x2 − 2 por el binomio x + 2 aplicando la regla de Ruffini y comparándolo con la división de polinomios:

1 Colocamos los coeficientes del dividendo ordenados según su grado, prescindiendo de las partes literales y escribimos un cero allí donde falte un término.

❚ Podemos identificar cada término por su posición, empezando por el término independiente.

❚ Escribimos el valor de a junto a la línea vertical y bajo la línea inferior situamos el coeficiente principal.

3x3 + 4x2 − 1 x + 2 3 4 0 −1

3x2 −2

3

2 En la división, multiplicamos el cociente por el divisor y el resultado lo restamos al dividendo. Así, el término de mayor grado se anula, y lo que importa para continuar es que sumamos al término siguiente el cociente multiplicado por a, en este caso −2.

Por eso, en la regla de Ruffini colocamos el resultado debajo del coeficiente del término siguiente.

3x3 + 4x2 − 1 x + 2 3 4 0 −1

−3x3 − 6x2 3x2 −2 −6

− 2x2 − 1 3 −2

3 Repetimos el proceso hasta completar la división.

3x3 + 4x2 − 1 x + 2 3 4 0 −1

−3x3 − 6x23x2 − 2x −2 −6 4

− 2x2 − 1 3 −2 4

2x2 + 4x

4x − 1

Observamos que el último número es el resto de la división, y los demás números son los coeficientes del cociente ordenados según el grado de los términos.

3x3 + 4x2 − 1 x + 2 3 4 0 −1

−3x3 − 6x23x2 − 2x + 4 −2 −6 4 −8

− 2x2 − 1 3 −2 4 −9

2x2 + 4x

+ 4x − 1

− 4x − 8

− 9

La regla de Ruffini es un algoritmo que permite dividir polinomios cuando el divisor es un binomio de la forma x − a.

Dividendo

Cociente

El coeficiente principal del cociente es el mismo que el del dividendo, pues el divisor tiene siempre 1 como coeficiente principal.

Cociente

Resto de grado 0

Aprenderás a… ● Aplicar la regla de Ruffini para dividir un polinomio entre el binomio x − a.

Presta atención

Al dividir entre x − a un polinomio de grado n y coeficiente principal 1, el cociente será siempre un grado menor que el del dividendo y con el mismo coeficiente principal que este. Además, el resto siempre será una constante, grado 0.

Escribe cuáles son el dividendo y el divisor de estas divisiones representadas con la regla de Ruffini. Calcula el cociente y el resto.

a) 2 −3 −5

3 O O

O O O O

b) −3 5 0 −3

−1 O O O

O O O O O

c) 1 0 −3 0 −6

2 O O O O

O O O O O O

Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini.

a) 2x2 − 3x −12

x − 4 d)

x4 + 5 x3 + 25

x + 3

b) −2x5 + 5 x3 + x2 + 16

x − 2 e)

x4 − 625

x −5

c) 7 x4 −14 x2 + 49

x + 2 f)

x5 + x3 + x

x + 1

Resuelve y comprueba.

a) 3x3 − x + 2( ) : x −1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) 6 x4 −7 x3 + 4 x2 −1( ) : x −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

c) 3x3 + 8 x2 + 2x −1( ) : x +2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

d) 10 x3 + 7 x2 −1( ) : x +1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Transforma estas divisiones en otras equivalentes con coeficientes enteros. Calcula después el cociente y el resto con la regla de Ruffini.

a) x2

2−

2x

3−

5

6

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

x

6−

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) x3

3− x +

2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

x

15+

2

15

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

c) x4 +5 x3

2−

3x

4+

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

x

4+

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

42

43

44

45

Aplica la propiedad fundamental de la división para hallar el cociente y el resto con la regla de Ruffini.

a) 27 x3 − 45 x2 + 21x − 3( ) : 3x −1( )

b) 4 x4 − 6 x3 −12x2 −10( ) : 2x −5( )

c) 18 x3 − 2x + 10( ) : 3x + 4( )

d) 10 x3 − x2 + 3( ) : 5 x + 2( )

Resuelve esta división aplicando la regla de Ruffini. Explica cómo lo haces.

3x4 + 5 x3 + 3x −7( ) : −x − 2( )

Calcula m para que las divisiones sean exactas.

a) 2x5 −5 x4 + m

x − 3 c)

−x5 + mx + 1

x + 1

b) 3x3 + mx − 8

x − 2 d)

mx2 + 8 x −10

x + 5

Halla el valor de m para que el resto de la división 2x5 + mx3 + 3( ) : x + 2( ) sea 15.

Averigua el valor de a para que el polinomio P ( x ) = 3x2 -12 sea divisible por x − a.

46

47

48

49

50

} Aplica la propiedad fundamental de la división y resuelve con la regla de Ruffini.

(4x3 − 5x + 1) : (2x + 3)

Solución

Dividimos ambos términos por 2 para conseguir que el divisor sea de la forma x − a.

2x3 −5

2x +

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ : x +

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

De este modo, podemos aplicar la regla de Ruffini.

2 0 5/2 1/2

−3/2 −3 9/2 −3

2 −3 2 −5/2

Los cocientes de ambas divisiones son iguales.

C ( x ) = 2x2 - 3x + 2

El resto de la división original es:

R ( x ) = 2 ◊ (-5/2) = -5

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍO

Calcula: x2 −1( ) : x −1( ) x3 −1( ) : x −1( ) x4 −1( ) : x −1( ) x5 −1( ) : x −1( )

Prueba con otros ejemplos similares y observa los resultados. Indica cómo es el cociente xn −1( ) : x −1( ) .

Divide ahora los cocientes anteriores por x + 1. ¿En qué casos la división es exacta? ¿Cuál es el cociente en esos casos? Escribe lo que observas.

51


42 Escribe cuáles son el dividendo y el divisor de estas divisiones representadas con la regla de Ruffini. Calcula el cociente y el resto.

a) 2 −3 −5

3 O O

O O O O

b) −3 5 0 −3

−1 O O O

O O O O O

c) 1 0 −3 0 −6

2 O O O O

O O O O O O

a) Dividendo: P ( x ) = 2x2 − 3x −5 , divisor: Q ( x ) = x − 3 , cociente: C ( x ) = 2x + 3 y resto: R ( x ) = 4

b) Dividendo: P ( x ) = −3x3 + 5 x2 − 3 , divisor: Q ( x ) = x + 1, cociente: C ( x ) = −3x2 + 8 x − 8 y resto: R ( x ) = 5

c) Dividendo: P ( x ) = x4 − 3x2 − 6 , divisor: Q ( x ) = x − 2 , cociente: C ( x ) = x3 + 2x2 + x + 2 y resto: R ( x ) = −2

97



43 Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini.

a) 2x2 − 3x −12

x − 4 c)

7 x4 −14 x2 + 49

x + 2 e)

x4 − 625

x −5

b) −2x5 + 5 x3 + x2 + 16

x − 2 d)

x4 + 5 x3 + 25

x + 3 f)

x5 + x3 + x

x + 1

a) C ( x ) = 2x + 5, R ( x ) = 8 d) C ( x ) = x3 + 2x2 − 6 x + 18, R ( x ) = −29

b) C ( x ) = −2x4 − 4 x3 − 3x2 −5 x −10, R ( x ) = −4 e) C ( x ) = x3 + 5 x2 + 25 x + 125, R ( x ) = 0

c) C ( x ) = 7 x3 −14 x2 + 14 x − 28, R ( x ) = 105 f) C ( x ) = x4 − x3 + 2x2 − 2x + 3,R ( x ) = −3

44 Resuelve y comprueba.

a) 3x3 − x + 2( ) : x −1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ c) 3x3 + 8 x2 + 2x −1( ) : x +

2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) 6 x4 −7 x3 + 4 x2 −1( ) : x −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ d) 10 x3 + 7 x2 −1( ) : x +

1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

a) C ( x ) = 3x2 + x −2

3,R ( x ) =

16

9 c) C ( x ) = 3x2 + 6 x − 2,R ( x ) =

1

3

b) C ( x ) = 6 x3 − 4 x2 + 2x + 1, R ( x ) = −1

2 d) C ( x ) = 10 x2 + 5 x −1, R ( x ) = −

4

5

45 Transforma estas divisiones en otras equivalentes con coeficientes enteros. Calcula después el cociente y el resto con la regla de Ruffini.

a) x2

2−

2x

3−

5

6

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

x

6−

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ b)

x3

3− x +

2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

x

15+

2

15

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ c) x4 +

5 x3

2−

3x

4+

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

x

4+

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

a) Multiplicando por 6: 3x2 − 4 x −5( ) : ( x − 2) → C ( x ) = 13x + 2, R ( x ) =−1

6

b) Multiplicando por 15: 5 x3 −15 x + 6( ) : ( x + 2) → C ( x ) = 5 x2 −10 x + 5, R ( x ) =−4

15

c) Multiplicando por 4: 4 x4 + 10 x3 − 3x + 6( ) : ( x + 2) → C ( x ) = 4 x3 + 2x2 − 4 x + 5, R ( x ) =4

4= 1

46 Aplica la propiedad fundamental de la división para hallar el cociente y el resto con la regla de Ruffini.

a) 27 x3 − 45 x2 + 21x − 3( ) : 3x −1( ) c) 18 x3 − 2x + 10( ) : 3x + 4( )

b) 4 x4 − 6 x3 −12x2 −10( ) : 2x −5( ) d) 10 x3 − x2 + 3( ) : 5 x + 2( )

a) Dividiendo por 3: 9 x3 −15 x2 + 7 x −1( ) : x −1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟→ C ( x ) = 9 x2 −12x + 3, R ( x ) = 0

b) Dividiendo por 2: 2x4 − 3x3 − 6 x2 −5( ) : x −5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟→ C ( x ) = 2x3 + 2x2 − x −

5

2, R ( x ) = −

45

4⋅2 = −

45

2

c) Dividiendo por 3: 6 x3 −2

3x +

10

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ : x +

4

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟→ C ( x ) = 6 x2 − 8 x + 10, R ( x ) = −10 ⋅3 = −30

d) Dividiendo por 5: 2x3 −1

5x2 +

3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ : x +

2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟→ C ( x ) = 2x2 − x +

2

5, R ( x ) =

11

25⋅5 =

11

5

47 Resuelve esta división aplicando la regla de Ruffini. Explica cómo lo haces. 3x4 + 5 x3 + 3x −7( ) : −x − 2( )

Aplicamos la propiedad fundamental de la división multiplicando ambos términos por −1: −3x4 −5 x3 − 3x + 7( ) : ( x + 2) → C ( x ) = −3x3 + x2 − 2x + 1, R ( x ) = 5 ⋅ −1( ) = −5

48 Calcula m para que las siguientes divisiones sean exactas.

a) 2x5 −5 x4 + m

x − 3 b)

3x3 + mx − 8

x − 2 c)

−x5 + mx + 1

x + 1 d)

mx2 + 8 x −10

x + 5Para que las divisiones sean exactas el resto debería ser cero. Dividimos aplicando la regla de Ruffini y buscamos m para que el resto sea cero.



a) Para que la división sea exacta: c) Para que la división sea exacta:

2 −5 0 0 0 m −1 0 0 0 m 1

3 6 3 9 27 81 −1 1 −1 1 −1 −m + 1

2 1 3 9 27 0 −1 1 −1 1 m−1 −m + 2

Luego, m + 81 = 0 y m = −81. Luego, −m + 2 = 0 y m = 2.

b) Para que la división sea exacta: d) Para que la división sea exacta:

3 0 m −8 m 8 −10

2 6 12 24 + 2m −5 −5m 25m − 40

3 6 12 + m 16 + 2m m 8 − 5m 25m − 50

Luego, 16 + 2m = 0 y m = −8. Luego, 25m − 50 = 0 y m = 2.

49 Halla el valor de m para que el resto de la división 2x5 + mx3 + 3( ) : x + 2( ) sea 15.

Aplicamos la regla de Ruffini obligando al resto a valer 15:

2 0 m 0 0 3

−2 −4 8 −2m −16 4m + 32 −8m − 64

2 −4 m + 8 −2m −16 4m + 32 15

Luego, −8m −64 + 3 = 15 y m = −19

2.

50 Averigua el valor de a para que el polinomio P ( x ) = 3x2 -12 sea divisible por x − a.

Aplicamos la regla de Ruffini igualando el resto a cero:

3 0 −12

a 3a 3a2

3 3a 0

Luego, 3a2 − 12 = 0 y a = ±2.

Desafío

51 Calcula: x2 −1( ) : x −1( ) x3 −1( ) : x −1( ) x4 −1( ) : x −1( ) x5 −1( ) : x −1( )

Prueba con otros ejemplos similares y observa los resultados. Indica cómo es el cociente xn −1( ) : x −1( ) .

Divide ahora los cocientes anteriores por x + 1. ¿En qué casos la división es exacta? ¿Cuál es el cociente en esos casos? Escribe lo que observas.

Se observa que: x2 −1( ) : x −1( ) = x + 1

x3 −1( ) : ( x −1) = x2 + x + 1

x4 −1( ) : ( x −1) = x3 + x2 + x + 1

x5 −1( ) : ( x −1) = x4 + x3 + x2 + x + 1

En general: xn −1( ) : ( x −1) = xn−1 + xn−2 + ... + 1

( x + 1) : ( x + 1) = 1, exacta

x2 + x + 1( ) : ( x + 1) , no exacta

x3 + x2 + x + 1( ) : ( x +1) = x2 + 1, exacta

x4 + x3 + x2 + x + 1( ) : ( x + 1) , no exacta

x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1( ) : ( x + 1) = x4 + x2 + 1, exacta

La segunda división es exacta si el grado es impar, 2n + 1, y el cociente es de la forma: x2 n + x2 n−2 + ... + 1

99




52 Decide cuáles de los siguientes números son raíces del polinomio: P ( x ) = 2x4 + 7 x3 -11x2 - 22x + 24

a) x = 1 b) x = −1 c) x = 3 d) x = −2 e) x = −1

2 f) x =

3

2Hallamos el valor numérico de cada uno, si es cero son raíces:

a) P (1) = 2 ⋅14 + 7 ⋅13 −11⋅12 − 22 ⋅1+ 24 = 0 → Es raíz.

b) P (−1) = 2 ⋅ (−1)4 + 7 ⋅ (−1)3 −11⋅ (−1)2 − 22 ⋅ (−1) + 24 = 30 → No es raíz.

c) P (3) = 2 ⋅34 + 7 ⋅33 −11⋅32 − 22 ⋅3 + 24 = 210 → No es raíz.

d) P (−2) = 2 ⋅ (−2)4 + 7 ⋅ (−2)3 −11⋅ (−2)2 − 22 ⋅ (−2) + 24 = 0 → Es raíz.

e) P −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 2 ⋅ −

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

4

+ 7 ⋅ −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

−11⋅ −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

− 22 ⋅ −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + 24 =

63

2 → No es raíz.

6. Teorema del resto. Teorema del factor. Raíces de un polinomio

Sugerencias didácticasEl concepto de raíz y los teoremas del resto y del factor son básicos para la factorización de polinomios. En este epígrafe se muestra la relación entre el resto de una división P ( x ) : ( x − a ) y el valor numérico P ( a ).

Para que el alumno vea la relación entre división exacta, divisor y factor sería recomendable comparar un ejemplo numérico sencillo con alguno de los ejercicios propuestos con polinomios.

Ese mismo ejemplo podría valer como recurso para facilitar la comprensión de la demostración del teorema del resto y del factor. En este nivel es recomendable que los alumnos empie-cen a enfrentarse a sencillas demostraciones en matemáticas.

Se debería analizar con los alumnos la relación entre raíz y di-visión exacta, raíz y factor de un polinomio. Ver a través de los ejercicios cómo encontrar las raíces enteras, cómo encontrar raíces en polinomios factorizados o en polinomios de grado dos, servirá para preparar la factorización de polinomios.

En el Desafío se trabaja también la demostración en Álgebra. La demostración del criterio que cumplen las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros. En ella se emplea también la relación factor/divisor.

59


58

Decide cuáles de los siguientes números son raíces del polinomio:

P ( x ) = 2x4 + 7 x3 -11x2 - 22x + 24

a) x = 1 c) x = 3 e) x = −1

2

b) x = −1 d) x = −2 f) x =3

2

Calcula el valor del resto de estas divisiones sin realizarlas.

a) −5 x3 + 2x − 6( ) : x + 2( )

b) 2x3 −10 x + 7( ) : x − 3( )

c) −4 x6 + 9 x3 − 2( ) : x −1( )

d) 6 x4 − 3x3 + 2x − 4( ) : x −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Calcula mediante la regla de Ruffini el valor numérico de los siguientes polinomios para:

❚ a = 1

❚ a = 0

❚ a = −2

❚ a = −2

3a) P ( x ) = -3x3 + 4 x2 -7 x

b) Q ( x ) = 9 x4 + 6 x3 −5 x2 + 7

¿Qué característica posee un polinomio que tiene como raíz x = 0?

Decide de forma razonada si x − 3 es divisor de estos polinomios.

a) P ( x ) = 2x4 + 3x3 -17 x2 - 27 x - 9

b) Q ( x ) = x3 + x2 -5 x + 3

c) R ( x ) = 5 x3 -15 x2 + 2x - 6

Si las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros dividen al término independiente, demuestra que el polinomio P ( x ) = 6 x4 + 11x2 -10 no tiene raíces enteras.

Encuentra todos los divisores de la forma x − a del polinomio P ( x ) = x4 + x3 -7 x2 - x + 6, donde a es un número entero.

52

53

54

55

56

57

58

Halla el valor de m para que 3 sea raíz de:

P ( x ) = 3x3 - x2 + mx -15

Determina el valor de m para que el resto de

−2x4 + mx3 −11x2 −5( ) : x − 3( )

sea 13.

59

60

Encuentra todas las raíces reales de los siguientes polinomios.

a) P ( x ) = 5 x2 - 3x - 2

b) Q ( x ) = x2 + x + 1

c) R ( x ) = -12x2 - x + 6

d) S ( x ) = x2 -5

Calcula las raíces de estos polinomios.

a) P ( x ) = 2x ◊ x -5( ) ◊ x + 1( ) ◊ x - 3( )

b) Q ( x ) = 3- x( ) ◊ x + 6( ) ◊ 2x -1( )

c) R ( x ) = -5 x ◊ x + 2( ) ◊ 5 x - 6( ) ◊ x2 - 9( )

61

62

6. TEOREMA DEL RESTO. TEOREMA DEL FACTOR. RAÍCES DE UN POLINOMIO

Fran ha dividido el polinomio P ( x ) = -3x3 + x2 + 8 por x − 2 y ha obtenido estos polinomios como cociente y resto, respectivamente.

−3 1 0 8

C ( x ) = -3x2 -5 x -10 R ( x ) = -122 −6 −10 −20

−3 −5 −10 −12

El resto es una constante, y, al calcular el valor numérico de P ( x ) para x = 2, observa que ambos valores coinciden.

P (2) = -3 ◊ 23 + 22 + 8 = -12

Esta coincidencia llama su atención y, al reescribir todas las operaciones, comprueba que, efectivamente, el resto y el valor numérico coinciden.

−3 1 0 8

2 −3 ⋅ 2 −3 ⋅ 22 + 1 ⋅ 2 −3 ⋅ 23 + 1 ⋅ 22

−3 −3 ⋅ 2 + 1 −3 ⋅ 22 + 1 ⋅ 2 −3 ⋅ 23 + 1 ⋅ 22 + 8 = P(2)

Para demostrar que este resultado se cumple siempre que dividimos un polinomio cualquiera, P ( x ), por x − a, aplicamos la prueba de la división.

P ( x ) = ( x - a ) ◊C ( x ) + R

Al sustituir por x = a, resulta:

P (a ) = (a- a ) ◊C (a ) + R = 0 + R = R

Teorema del resto. El valor numérico de un polinomio, P ( x ), para x = a, coincide con el resto de la división del polinomio P ( x ) por el binomio x − a, es decir:

R = P (a )

Entonces, si el valor numérico del polinomio en x = a es cero, P (a ) = 0 , el resto al dividir por x − a será cero y el polinomio P ( x ) se podrá expresar como producto de dos factores, x − a, y el cociente C ( x ).

P ( x ) = ( x - a ) ◊C ( x )

En ese caso, decimos que a es una raíz del polinomio.

Si el valor numérico de P ( x ) para x = a es igual a cero, es decir, si P (a ) = 0 , se dice que a es una raíz del polinomio.

Teorema del factor. Si x = a es una raíz del polinomio P ( x ) , dicho polinomio es divisible por x − a, es decir, x − a es un factor de P ( x ) .

P ( x ) = ( x - a ) ◊C ( x )

Aprenderás a… ● Identificar el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x − a como el valor numérico para x = a.

● Reconocer si un binomio de la forma x − a divide a un polinomio.

● Saber si un número es raíz de un polinomio.

Presta atención

Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores de su término independiente.

} Determina si el polinomio P ( x ) = 2x2 - 7x + 6 es divisible por x + 2.

Solución

Para saber si el polinomio es divisible por x + 2, hallamos el resto de la división, es decir, determinamos el valor numérico de P ( x ) para x = −2.

P (-2) = 2 ◊ (-2)2 -7 ◊ (-2) + 6 = 28 ≠ 0

Como P (-2) ≠ 0, el resto no es cero, luego x = −2 no es raíz del polinomio y x + 2 no es divisor de P ( x ) .

EJERCICIO RESUELTO

} Encuentra las raíces de estos polinomios.

a) P ( x ) = 6 x2 - x - 2

b) Q( x ) = 3x2 + 2

Solución

Las raíces de un polinomio son los valores de a que hacen P (a ) = 0 . Si igualamos los polinomios a cero, las soluciones de las ecuaciones resultantes serán las raíces del polinomio.

a) Resolvemos 6 x2 − x − 2 = 0:

x =1± 1+ 48

12→

x1 =8

12=

2

3

x2 =−6

12= −

1

2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

P ( x ) tiene dos raíces reales, 2

3 y −

1

2.

b) Resolvemos 3x2 + 2= 0:

x2 = −2

3→ x = ± −

2

3Q ( x ) no tiene raíces reales.

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍODemuestra.

a) El polinomio P ( x ) = 3x2 + 6 x - 45 tiene dos raíces enteras, x = −5 y x = 3. Justifica por qué ambas son divisores de −45.

b) Considera el polinomio de segundo grado P ( x ) = b2 x2 + b1x + b0 , con coeficientes enteros, y demuestra que, si a es una raíz entera del polinomio, P (a ) = 0, entonces a divide al término independiente, b0.

c) Generaliza la demostración anterior para un polinomio de grado n cualquiera con coeficientes enteros.

63



f) P3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 2 ⋅

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

4

+ 7 ⋅3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

−11⋅3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

− 22 ⋅3

2+ 24 = 0 → Es raíz.

53 Calcula el valor del resto de estas divisiones sin realizarlas.

a) −5 x3 + 2x − 6( ) : x + 2( ) c) −4 x6 + 9 x3 − 2( ) : x −1( )

b) 2x3 −10 x + 7( ) : x − 3( ) d) 6 x4 − 3x3 + 2x − 4( ) : x −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Hallamos los restos aplicando el teorema del resto, calculamos el valor numérico para x = −a.

a) P (−2) = −5 ⋅ −2( )3 + 2 ⋅ (−2)− 6 = 30 c) P (1) = −4 ⋅16 + 9 ⋅13 − 2 = 3

b) P (3) = 2 ⋅33 −10 ⋅3 + 7 = 31 d) P1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 6 ⋅

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

4

− 3 ⋅1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

+ 2 ⋅1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− 4 = −3

54 Calcula mediante la regla de Ruffini el valor numérico de los siguientes polinomios para:

❚❚ a = 1

❚❚ a = 0

❚❚ a = −2

❚❚ a = −2

3a) P ( x ) = -3x3 + 4 x2 -7 x b) Q ( x ) = 9 x4 + 6 x3 −5 x2 + 7

El valor numérico coincide con el resto de la división entre ( x − a) en cada caso.

a) P (1) = −6 P (0) = 0

−3 4 −7 0 −3 4 −7 0

1 −3 1 −6 0 0 0 0

−3 1 −6 −6 −3 4 −7 0

P (−2) = 54 P −2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

22

3

−3 4 −7 0 −3 4 −7 0

−2 6 −20 54− 2

3 2 −422

3

−3 10 −27 54 −3 6 −11 223

b) P (1) = 17 P (0) = 7

9 6 −5 0 7 9 6 −5 0 7

1 9 15 10 10 0 0 0 0 0

9 15 10 10 17 9 6 −5 0 7

P (−2) = 83 P −2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

43

9

9 6 −5 0 7 9 6 −5 0 7

−2 −18 24 −38 76− 2

3 −6 010

3−20

9

9 −12 19 −38 83 9 0 −5 103

439

55 ¿Qué característica posee un polinomio que tiene como raíz x = 0?

Un polinomio que tenga como raíz x = 0 no puede tener término independiente. Al hallar el valor numérico todos los términos valen cero menos el que no depende de x.

101



56 Decide de forma razonada si x − 3 es divisor de estos polinomios.

a) P ( x ) = 2x4 + 3x3 -17 x2 - 27 x - 9 b) Q ( x ) = x3 + x2 -5 x + 3 c) R ( x ) = 5 x3 -15 x2 + 2x - 6Para que sea divisor la división debería ser exacta y x = 3 raíz del polinomio. Hallamos el valor numérico en cada caso.

a) P (3) = 2 ⋅34 + 3 ⋅33 −17 ⋅32 − 27 ⋅3− 9 = 0 → Sí es divisor de P ( x ).

b) Q (3) = 33 + 32 −5 ⋅3 + 3 = 24 → No es divisor de Q ( x ).

c) R (3) = 5 ⋅33 −15 ⋅32 + 2 ⋅3− 6 = 0 → Sí es divisor de R ( x ).

57 Si las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros dividen al término independiente, demuestra que el polinomio

P ( x ) = 6 x4 + 11x2 -10 no tiene raíces enteras.

Los divisores del término independiente son: ±1, ± 2, ± 5, ± 10{ } . Si ninguna de ellas es raíz de P ( x ), no tendrá raíces ente-ras. Calculamos el valor numérico de todos los divisores a ver si alguno es cero:P (1) = 6 ⋅14 + 11⋅12 −10 = 7 P (−1) = 6 ⋅ (−1)4 + 11⋅ (−1)2 −10 = 7

P (2) = 6 ⋅24 + 11⋅22 −10 = 130 P (−2) = 6 ⋅ (−2)4 + 11⋅ (−2)2 −10 = 130 P (5) = 6 ⋅54 + 11⋅52 −10 = 4 015 P (−5) = 6 ⋅ (−5)4 + 11⋅ (−5)2 −10 = 4 015 P (10) = 6 ⋅104 + 11⋅102 −10 = 61090 P (−10) = 6 ⋅ (−10)4 + 11⋅ (−10)2 −10 = 61090

58 Encuentra todos los divisores de la forma x − a del polinomio P ( x ) = x4 + x3 -7 x2 - x + 6, donde a es un número entero.

El binomio ( x − a) será divisor de P ( x ) si a es raíz. Buscamos las raíces enteras entre los divisores del término independiente ±1, ± 2, ± 3, ± 6{ }

P (1) = 14 + 13 −7 ⋅12 −1+ 6 = 0 , es raíz → Divisor ( x − 1)

P (2) = 24 + 23 −7 ⋅22 − 2 + 6 = 0 , es raíz → Divisor ( x − 2)

P (3) = 34 + 33 −7 ⋅32 − 3 + 6 = 48 , no es raíz.

P (6) = 64 + 63 −7 ⋅62 − 6 + 6 = 1260 , no es raíz.

P (−1) = (−1)4 + (−1)3 −7 ⋅ (−1)2 − (−1) + 6 = 0 , es raíz → Divisor ( x + 1)

P (−2) = (−2)4 + (−2)3 −7 ⋅ (−2)2 − (−2) + 6 = −12 , no es raíz.

P (−3) = (−3)4 + (−3)3 −7 ⋅ (−3)2 − (−3) + 6 = 0 , es raíz → Divisor ( x + 3)

P (−6) = (−6)4 + (−6)3 −7 ⋅ (−6)2 − (−6) + 6 = 840 , no es raíz.

Los divisores son: ( x −1), ( x − 2), ( x + 1), ( x + 3)

59 Halla el valor de m para que 3 sea raíz de: P ( x ) = 3x3 - x2 + mx -15

Averiguamos el valor de m para que el valor numérico sea P (3) = 0.

3 ⋅33 − 32 + m ⋅3−15 = 0 → 57 + 3m = 0 → m = −19

60 Determina el valor de m para que el resto de −2x4 + mx3 −11x2 −5( ) : x − 3( ) sea 13.

Según el teorema del resto, si este es 13: P (3) = 13. Sustituyendo y despejando m.

−2 ⋅34 + m ⋅33 −11⋅32 −5 = 13 → −266 + 27m = 13 → m =31

3

61 Encuentra todas las raíces reales de los siguientes polinomios.

a) P ( x ) = 5 x2 - 3x - 2 b) Q ( x ) = x2 + x + 1 c) R ( x ) = -12x2 - x + 6 d) S ( x ) = x2 -5

Igualamos los polinomios a cero y resolvemos las ecuaciones resultantes para hallar las raíces:

a) 5 x2 − 3x − 2 = 0 → x =3 ± 9 + 40

10→

x1 = 1

x2 = −2

5

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

b) x2 + x + 1 = 0 → x =−1± 1− 4

2=−1± −3

2∉ ! , no tiene raíces reales.



c) −12x2 − x + 6 = 0 → x =1± 1+ 288

−24→

x1 = −3

4

x2 =2

3

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

d) x2 −5 = 0 → x = ± 5

62 Calcula las raíces de estos polinomios.

a) P ( x ) = 2x ◊ x -5( ) ◊ x + 1( ) ◊ x - 3( )

b) Q ( x ) = 3- x( ) ◊ x + 6( ) ◊ 2x -1( )

c) R ( x ) = -5 x ◊ x + 2( ) ◊ 5 x - 6( ) ◊ x2 - 9( )

Son raíces los números que hacen cero el valor numérico del polinomio. Como todos los polinomios vienen expresados como productos es suficiente con ver qué valores de la variable hacen cero cada uno de los factores.

a) P ( x ) = 0 si: 2x = 0; x −5 = 0; x + 1 = 0 o x − 3 = 0 . Raíces: 0, 5, −1, 3

b) Q ( x ) = 0 si: 3− x = 0; x + 6 = 0 o 2x −1 = 0 . Raíces: 3, −6, 1

2

c) R ( x ) = 0 si: −5 x = 0; x + 2 = 0; 5 x − 6 = 0 o x2 − 9 = 0 . Raíces: 0, −2, 6

5, ± 3

Desafío

63 Demuestra.

a) El polinomio P ( x ) = 3x2 + 6 x - 45 tiene dos raíces enteras, x = −5 y x = 3. Justifica por qué ambas son divisores de −45.

b) Considera el polinomio de segundo grado P ( x ) = b2 x2 + b1x + b0 , con coeficientes enteros, y demuestra que, si a es una raíz entera del polinomio, P ( a ) = 0, entonces a divide al término independiente, b0.

c) Generaliza la demostración anterior para un polinomio de grado n cualquiera con coeficientes enteros.

a) Si son raíces verifican que P ( x ) = 0, sustituyendo:3 ⋅32 + 6 ⋅3− 45 = 0 → Despejando: −45 = −3 ⋅32 − 6 ⋅3 → Sacando factor común: −45 = 3 ⋅ (−9− 6)3 ⋅52 + 6 ⋅5− 45 = 0 → Despejando: −45 = −3 ⋅52 − 6 ⋅5 → Sacando factor común: −45 = 5 ⋅ (−15− 6)

Se observa por qué las raíces son divisores de −45.

b) Procediendo como en el apartado anterior, sustituimos e igualamos P ( a ) = 0.b2 a2 + b1a + b0 = 0 → Despejando: b0 = −b2 a2 − b1a → Sacando factor común: b0 = a ⋅ −b2 a− b1( )Se observa que a es divisor de b0.

c) En general para un polinomio cualquiera P ( x ) = bn xn + bn−1xn−1 + ... + b1x + b0 si a es una raíz:

P (a ) = 0 → bn an + bn−1an−1 + ... + b1 a + b0 = 0 → Despejando: b0 = −bn an − bn−1a

n−1 − ...− b1aY sacando factor común se ve que a es factor de b0 : b0 = a ⋅ −bn an−1 − bn−1a

n−2 − ...− b1( ) y por tanto divisor de él.

103




64 Expresa estos polinomios de grado 2 como producto de factores, si es posible. Presta atención al coeficiente principal.

a) P ( x ) = -2x2 - 4 x + 6 b) Q ( x ) = 6 x2 -5 x - 4 c) R ( x ) = 2x2 + 2x + 1 d) S ( x ) = -2x2 + 3x + 5

a) Buscamos las raíces: −2x2 − 4 x + 6 = 0 → x =4 ± 64

−4→

x1 = −3

x2 = 1

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪→ P ( x ) = −2 ⋅ ( x + 3) ⋅ ( x −1)

b) Buscamos las raíces: 6 x2 −5 x − 4 = 0 → x =5 ± 121

12→

x1 =4

3

x2 = −1

2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

→ Q ( x ) = 6 ⋅ x +1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ x −

4

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

c) Buscamos las raíces: 2x2 + 2x + 1 = 0 → x =−2 ± −4

4 → No se puede factorizar más.

7. Factorización de polinomios

Sugerencias didácticasLa factorización de polinomios es básica para trabajar con frac-ciones algebraicas, resolver ecuaciones polinómicas y algebrai-cas, analizar funciones... Los alumnos han de distinguir entre factores irreducibles, raíces, y otros factores. Para empezar es muy interesante darles un número compuesto con varios fac-tores primos, alguno repetido, y pedirles que lo descompon-gan mediante dos procedimientos. Sugerirles que enumeren en qué casos han necesitado descomponer un número en factores primos: cálculo del máximo común divisor y mínimo común múltiplo, operaciones y simplificación de fracciones,

estudio de las propiedades de un número... Después, para la descomposición de números establecer una similitud entre esta y la de polinomios, aplicando la regla de Ruffini, separan-do factores con identidades notables... Relacionar factor primo y factor irreducible, criterios de divisibilidad con el teorema del factor y las características de las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros. Por último, aplicar los contenidos de los epígrafes anteriores a la factorización de polinomios en factores primos.

61


60

7. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSEn algunos cálculos con polinomios, como la determinación del máximo común divisor o el mínimo común múltiplo de varios polinomios, primero necesitamos descomponerlos como producto de factores irreducibles.

Son irreducibles los polinomios que no se pueden dividir más, como ocurre con los números primos.

Por ejemplo, para factorizar el polinomio P ( x ) = 6 x5 + 15 x4 + 15 x3 + 9 x2 + 3x:

1 Sacamos factor común si es posible. En este caso, todos los sumandos tienen el factor x y todos los coeficientes son múltiplos de 3.

6 x5 + 15 x4 + 15 x3 + 9 x2 + 3x = 3x ⋅ 2x4 + 5 x3 + 5 x2 + 3x + 1( )

De los dos factores, el segundo, de grado cuatro, se puede factorizar más.

2 Para encontrar los divisores de la forma x − a buscamos las raíces de los polinomios. Así, el resto, P (a ), será 0. Las raíces enteras, si las hay, dividen al término independiente. En este caso solo es preciso probar con ±1.

❚ Para x = 1 tenemos:

Como el resto no es 0, x = 1 no es raíz.

❚ Para x = −1 resulta:

En este caso, x = −1 es raíz y x + 1 es un factor de P ( x ) . Hemos descompuesto el segundo factor como producto de otros dos.

6 x5 + 15 x4 + 15 x3 + 9 x2 + 3x = 3x ⋅ x + 1( ) ⋅ 2x3 + 3x2 + 2x + 1( )

3 Repetimos el proceso, en este caso para el tercer polinomio, de tercer grado. Ya sabemos que el 1 no es raíz, así que probamos otra vez con −1.

2 3 2 1

−1 −2 −1 −1

2 1 1 0

Obtenemos de nuevo el mismo factor.

6 x5 + 15 x4 + 15 x3 + 9 x2 + 3x = 3x ⋅ x + 1( )2 ⋅ 2x2 + x + 1( )

Repetimos el procedimiento, pero ya no obtenemos resto 0. Para intentar descomponer el último factor, buscamos sus raíces: P (a ) = 0 . Igualamos el polinomio a 0 y resolvemos la ecuación asociada.

2x2 + x +1 = 0 → x =−1± 1− 8

2=−1± −7

2 → No tiene raíces reales.

El factor 2x2 + x + 1 es irreducible. Por tanto, el polinomio factorizado es:

P ( x ) = 3x ◊ x + 1( )2 ◊ 2x2 + x + 1( )

P ( x ) solo tiene tres raíces reales: 0 del primer factor, −1 del segundo factor, que como aparece dos veces la raíz es doble y el tercer factor no tiene.

Son polinomios irreducibles los de primer grado y aquellos de grado par que no tengan raíces reales.

Para factorizar un polinomio, se saca factor común si es posible y se buscan divisores irreducibles.

Aprenderás a… ● Descomponer un polinomio como producto de factores irreducibles.

Presta atención

Las raíces se cuentan con su multiplicidad. Si un factor aparece dos veces, la raíz es doble; si aparece tres veces, es triple…

Teorema fundamental del álgebra

Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales.

Lenguaje matemático

2 5 5 3 1

1 2 7 12 15

2 7 12 15 16

2 5 5 3 1

−1 −2 −3 −2 −1

2 3 2 1 0

Expresa estos polinomios de grado 2 como producto de factores, si es posible. Presta atención al coeficiente principal.

a) P ( x ) = -2x2 - 4 x + 6

b) Q ( x ) = 6 x2 -5 x - 4

c) R ( x ) = 2x2 + 2x + 1

d) S ( x ) = -2x2 + 3x + 5

64

Factoriza estos polinomios sacando factor común si es posible y aplicando las identidades notables.

a) P ( x ) = 3x3 -12x2 + 12x

b) Q ( x ) = 4 x5 - 4 x4 + x3

c) R ( x ) = 3x3 -3

4x

d) S ( x ) = 6 x5 - 30 x3

Factoriza al máximo estos polinomios. ¿Cuáles son sus raíces? ¿Cuántas tienen?

a) P ( x ) = x3 + 2x2 -5 x - 6

b) Q ( x ) = 2x3 + 5 x2 -11x + 4

c) R ( x ) = -2x4 + 4 x3 + 18 x2 - 36 x

d) S ( x ) = 3x5 - 9 x4 - 27 x3 -15 x2

65

66

Termina de factorizar estos polinomios e indica cuáles son sus raíces. ¿Qué grado tiene cada uno y cuántas raíces?

a) P ( x ) = x4 -1( ) ◊ 4 x2 + 4 x + 1( )

b) Q ( x ) = 6 x2 + 7 x -10( ) ◊ 15 x2 + 4 x - 4( )

c) R ( x ) = x4 - 2x2 + 1( ) ◊ 2x2 - x - 3( )

d) S ( x ) = 3x2 - 9 x( ) ◊ 25 x2 - 4( )

Halla un polinomio de tercer grado tal que:

❚ Sea divisible por x + 1.

❚ Una de sus raíces sea x = 3.

❚ Su término independiente sea 0.

Busca tres polinomios de segundo grado que sean divisores de P ( x ) = 5 x3 + 12x2 -11x - 6 .

Comprueba que los binomios x + 1 y x − 1 dividen a P ( x ) = 2x3 + 3x2 - 2x - 3. ¿Divide entonces x2 − 1 a P ( x )? ¿Por qué?

67

68

69

70

Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estos polinomios.

a) P ( x ) = x3 - 3x + 2 y Q ( x ) = x3 - x2 - 4 x + 4

b) P ( x ) = 4 x3 + 6 x2 + 2x y Q ( x ) = 2x4 - x3 - x2

71

} Factoriza sacando factor común y aplicando las identidades notables.

P ( x ) = 5x4 - 30 x3 + 45x2

Solución

Todos los sumandos tienen el factor x2 y todos los coeficientes son múltiplos de 5.

5 x4 − 30 x3 + 45 x2 = 5 x2 ⋅ x2 − 6 x + 9( )

El segundo factor podría ser el desarrollo del cuadrado de una diferencia. Los términos al cuadrado son:

x2 = x( )2

y 9 = 32

Además, coincide: 6 x = 2 ⋅3 ⋅ x

Por tanto, es el cuadrado de x − 3 y:

P ( x ) = 5 x2 ◊ x2 - 6 x + 9( ) = 5 x2 ◊ x - 3( )2

EJERCICIO RESUELTO

} Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estos polinomios.

P ( x ) = 5x4 -5x2 y Q( x ) = 2x3 - 4 x2 + 2x

Solución

Factorizamos los polinomios.

P ( x ) = 5 x2 ◊ ( x + 1) ◊ ( x -1) Q ( x ) = 2x ◊ ( x -1)2

Hallamos el máximo común divisor multiplicando los factores comunes con el menor exponente.

m.c.d. (P, Q ) = x ◊ ( x -1) = x2 - x

Determinamos ahora el mínimo común múltiplo multiplicando los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.

m.c.m. (P , Q ) = 2 ◊ 5 ◊ x2 ◊ ( x -1)2 ◊ ( x + 1) == 10 x5 -10 x4 -10 x3 + 10 x2

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOEn un polinomio con coeficientes enteros, ¿qué restricción tienen las raíces enteras? Escríbelo.

a) Observa este polinomio factorizado. ¿Cuáles son sus raíces? ¿Hay alguna entera?

P ( x ) = (2x −1) ⋅ (3x + 2) ⋅ (5 x − 3) = 30 x3 −13x2 −13x + 6

b) Compara el numerador y el denominador de las distintas raíces con los coeficientes del polinomio. ¿Qué restricciones tienen las raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros?

c) Busca información sobre el teorema de las raíces racionales.

72



d) Buscamos las raíces: −2x2 + 3x + 5 = 0 → x =−3 ± 49

−4=

x1 = −1

x2 =5

2

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

→ S ( x ) = −2 ⋅ ( x + 1) ⋅ x −5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

65 Factoriza estos polinomios sacando factor común si es posible y aplicando las identidades notables.

a) P ( x ) = 3x3 -12x2 + 12x c) R ( x ) = 3x3 -3

4x

b) Q ( x ) = 4 x5 - 4 x4 + x3 d) S ( x ) = 6 x5 - 30 x3

a) P ( x ) = 3x ⋅ x2 − 4 x + 4( ) = 3x ⋅ x − 2( )2 c) R ( x ) = 3x ⋅ x2 −1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 3x ⋅ x +

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ x −

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) Q ( x ) = x3 ⋅ 4 x2 − 4 x + 1( ) = x3 ⋅ 2x −1( )2 d) S ( x ) = 6 x3 ⋅ x2 −5( ) = 6 x3 ⋅ x + 5( ) ⋅ x − 5( )

66 Factoriza al máximo estos polinomios. ¿Cuáles son sus raíces? ¿Cuántas tienen?

a) P ( x ) = x3 + 2x2 -5 x - 6 c) R ( x ) = -2x4 + 4 x3 + 18 x2 - 36 x

b) Q ( x ) = 2x3 + 5 x2 -11x + 4 d) S ( x ) = 3x5 - 9 x4 - 27 x3 -15 x2

a) P ( x ) = ( x + 3) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 2) , raíces: −3, −1, 2. Tres raíces distintas.

b) Q ( x ) = 2 ⋅ ( x + 4) ⋅ x −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ( x −1) , raíces: −4,

1

2, 1. Tres raíces distintas.

c) R ( x ) = −2 ⋅ ( x + 3) ⋅ x ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x − 3) , raíces: −3, 0, 2, 3. Cuatro raíces distintas.

d) S ( x ) = 3 ⋅ x + 1( )2 ⋅ x2 ⋅ ( x −5) , raíces: −1 (doble), 0 (doble), 5. Tres raíces distintas, cinco en total.

67 Termina de factorizar estos polinomios e indica cuáles son sus raíces. ¿Qué grado tiene cada uno y cuántas raíces?

a) P ( x ) = x4 -1( ) ◊ 4 x2 + 4 x + 1( ) c) R ( x ) = x4 - 2x2 + 1( ) ◊ 2x2 - x - 3( )

b) Q ( x ) = 6 x2 + 7 x -10( ) ◊ 15 x2 + 4 x - 4( ) d) S ( x ) = 3x2 - 9 x( ) ◊ 25 x2 - 4( )

a) P ( x ) = x2 + 1( ) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x −1)[ ] ⋅ 2x + 1( )2 = x2 + 1( ) ⋅ ( x + 1) ⋅ 2x + 1( )2 ⋅ ( x −1)

Son raíces: −1, −1

2 (doble), 1. Grado 6, cuatro raíces en total.

b) Q ( x ) = 6 ⋅ ( x + 2) ⋅ x −5

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ ⋅ 15 ⋅ x +

2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ x −

2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = 90 ⋅ ( x + 2) ⋅ x +

2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ x −

2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ x −

5

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Son raíces: −2, −2

3,

2

5,

5

6. Grado 4, cuatro raíces.

c) R ( x ) = x + 1( )2 ⋅ x −1( )2⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ 2 ⋅ ( x + 1) ⋅ x −3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = 2 ⋅ x + 1( )3 ⋅ x −1( )2 ⋅ x −

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Son raíces: −1 (triple), 1 (doble), 3

2 → Grado 6, seis raíces.

d) S ( x ) = 3x ⋅ ( x − 3)[ ] ⋅ (5 x + 2) ⋅ (5 x − 2)[ ] = (5 x + 2) ⋅3x ⋅ (5 x − 2) ⋅ ( x − 3)

Son raíces: −2

5, 0,

2

5, 3. Grado 4, cuatro raíces.

68 Halla un polinomio de tercer grado tal que:

❚❚ Sea divisible por x + 1.

❚❚ Una de sus raíces sea x = 3.

❚❚ Su término independiente sea 0.

Revisamos las condiciones y vemos qué factor aporta cada una:

❚❚ Si es divisible por x + 1, uno de sus factores es: ( x +1)

❚❚ Si x = 3 es una raíz, otro factor será: ( x −3)

❚❚ Si el término independiente es 0, también tiene como factor: x

El polinomio es: P ( x ) = ( x + 1) ⋅ ( x − 3) ⋅ x = x3 − 2x2 − 3x

105



69 Busca tres polinomios de segundo grado que sean divisores de P ( x ) = 5 x3 + 12x2 -11x - 6 .

Primero buscamos los factores del polinomio: P ( x ) = 5 ⋅ ( x + 3) ⋅ x +2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ( x −1)

Cualquier divisor de P ( x ) tendrá como factores exclusivamente factores suyos. Si queremos encontrar polinomios de segundo grado que sean divisores de P ( x ) bastará con escoger dos de entre sus factores de primer grado. Así son divisores de grado dos los polinomios:

Q ( x ) = k ⋅ ( x + 3) ⋅ x +2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = k ⋅ x2 +

17

5x +

6

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

R ( x ) = k ⋅ x +

2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ( x −1) = k ⋅ x2 −

3

5x −

2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

S ( x ) = k ⋅ ( x + 3) ⋅ ( x −1) = k ⋅ x2 + 2x − 3( )

70 Comprueba que los binomios x + 1 y x − 1 dividen a P ( x ) = 2x3 + 3x2 - 2x - 3. ¿Divide entonces x2 − 1 a P ( x )? ¿Por qué?

Para comprobar que son divisores utilizamos el teorema del resto hallando los valores numéricos:

P (1) = 2 ⋅13 + 3 ⋅12 − 2 ⋅1− 3 = 0 P (−1) = 2 ⋅ (−1)3 + 3 ⋅ (−1)2 − 2 ⋅ (−1)− 3 = 0

Según el teorema del factor tanto x + 1, como x − 1 son factores, y por tanto divisores, de P ( x ).

Entonces, como x2 −1 = ( x + 1) ⋅ ( x −1) , este también es factor, y por tanto, divisor de P ( x ).

71 Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estos polinomios.

a) P ( x ) = x3 - 3x + 2 y Q ( x ) = x3 - x2 - 4 x + 4 b) P ( x ) = 4 x3 + 6 x2 + 2x y Q ( x ) = 2x4 - x3 - x2

En los dos apartados descomponemos ambos polinomios en factores irreducibles y escogemos los factores que correspondan para el m.c.d. y el m.c.m.

a) P ( x ) = ( x + 2) ⋅ x −1( )2

Q ( x ) = ( x + 2) ⋅ ( x −1) ⋅ ( x − 2)

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→

m.c.d.(P ,Q ) = ( x + 2) ⋅ ( x −1) = x2 + x − 2

m.c.m.(P ,Q ) = ( x + 2) ⋅ x −1( )2 ⋅ ( x − 2) = x4 − 2x3 − 3x2 + 8 x − 4

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

b) P ( x ) = 4 ⋅ ( x + 1) ⋅ x +1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ x

Q ( x ) = 2 ⋅ x +1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ x

2 ⋅ ( x −1)

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→m.c.d.(P ,Q ) = 2 ⋅ x +

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ x = 2x2 + x

m.c.m.(P ,Q ) = 4 ⋅ ( x + 1) ⋅ x +1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ x

2 ⋅ ( x −1) = 4 x5 + 2x4 − 4 x3 − 2x2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

Desafío

72 En un polinomio con coeficientes enteros, ¿qué restricción tienen las raíces enteras? Escríbelo.

a) Observa este polinomio factorizado. ¿Cuáles son sus raíces? ¿Hay alguna entera?

P ( x ) = (2x −1) ⋅ (3x + 2) ⋅ (5 x − 3) = 30 x3 −13x2 −13x + 6

b) Compara el numerador y el denominador de las distintas raíces con los coeficientes del polinomio. ¿Qué restricciones tienen las raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros?

c) Busca información sobre el teorema de las raíces racionales.

Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente.

a) Son raíces: 1

2,−

2

3 y

3

5. Ninguna de las tres es una raíz entera.

b) Si buscamos similitudes con las raíces enteras observamos que para este polinomio obtenemos tres raíces racionales cuyos numeradores son divisores del término independiente y los denominadores lo son del coeficiente principal.

c) El enunciado del teorema de las raíces racionales dice que:

En una ecuación polinómica con coeficientes enteros de término independiente no nulo, las raíces racionales, expresadas como fracción irreducible, verifican que el numerador es divisor del término independiente y el denominador es divisor del coeficiente principal.




73 Comprueba si los siguientes pares de fracciones son equivalentes.

a) 2x2 −5 x + 3

2x2 − x − 3 y

x −1

x + 1 b)

x2

x + 2 y

5 x3 − 3x2

5 x2 + 7 x − 6

Multiplicamos en cruz y comprobamos si los productos son iguales.

a) Son equivalentes puesto que:

2x2 −5 x + 3( ) ⋅ ( x + 1) = 2x3 − 3x2 − 2x + 3 2x2 − x − 3( ) ⋅ ( x −1) = 2x3 − 3x2 − 2x + 3

b) Son equivalentes puesto que:

x2 ⋅ 5 x2 + 7 x − 6( ) = 5 x4 + 7 x3 − 6 x2 ( x + 2) ⋅ 5 x3 − 3x2( ) = 5 x4 + 7 x3 − 6 x2

8. Fracciones algebraicas. Simplificación

Sugerencias didácticasEn este epígrafe los alumnos trabajan por primera vez con fracciones algebraicas. Después de que vean la definición es importante que sepan que no hay ninguna regla nueva para trabajar con ellas, que la simplificación, amplificación y la equi-valencia de fracciones es exactamente igual con fracciones al-gebraicas o numéricas.

A partir de ahí solo falta la práctica aplicando todo lo que ya han visto de factorización de polinomios. Incidiendo siempre en que para no complicar los cálculos en exceso es necesario simplificar siempre que sea posible antes de operar.

Vídeo. FRACCIONES ALGEBRAICAS

En el vídeo se resuelve paso a paso el ejercicio de simplificación de una fracción algebraica, descomponiendo previamente el nume-rador y el denominador usando la regla de Ruffini.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de la página anterior o como recurso para que los alumnos repasen este tipo de ejercicio.

63


62

Comprueba si los siguientes pares de fracciones son equivalentes.

a) 2x2 −5 x + 3

2x2 − x − 3 y

x −1

x + 1

b) x2

x + 2 y

5 x3 − 3x2

5 x2 + 7 x − 6

Calcula dos fracciones equivalentes a las dadas, una por amplificación y otra por simplificación.

a) 3x3 − 3x2 + x −1

3x3 − 3x2

b) 2x2 + 5 x − 3

x2 + 4 x + 3

c) 5 x3 − 20 x

3x2 + 9 x + 6

d) x3

2x3 −7 x2

Completa para que sean equivalentes.

a) P ( x )

x -1=

3x3 + 2x

x2 - x

b) x + 5

x + 3=

Q ( x )

x2 − 2x −15

c) 6 x2 + 4 x

R ( x )=

6 x3 − 2x2 − 4 x

2x2 −7 x + 5

d) x2

x2 - 4=

x4 + 4 x2

S ( x )

73

74

75

Descompón en factores el numerador y el denominador de estas fracciones y simplifica.

a) −x2 + 5 x − 6

2x2 −7 x + 6 c)

−3x3 + 10 x2 + 25 x

x2 −10 x + 25

b) 3x − 3x2

2x2 − 2x d)

1− 4 x2

2x2 + x −1

Factoriza y simplifica.

a) 3x3 + 7 x2 − 6 x

3x4 −11x3 + 6 x2 c)

x4 − 25 x2

x2 − 25

b) x2 −16

x2 + 8 x + 16 d)

27 x5 + 18 x4 + 3x3

54 x3 − 6 x

76

77

Reduce estas fracciones a común denominador hallando el mínimo común múltiplo.

a) x − 2

x2 + 6 x + 9 y

3x + 1

2x2 + 3x − 9

b) x2 + 1

1− x2 y

1−5 x

2x2 − 4 x + 2

El precio por alquilar un autocar de 45 plazas para una excursión es de 360 €. Averigua la expresión algebraica que determina el precio por persona si:

a) Viajan x personas.

b) El autocar iba completo y se dan de baja x personas.

78

79

8. FRACCIONES ALGEBRAICAS. SIMPLIFICACIÓN

Las fracciones 2x3 + 2x2 − 4 x

2x3 + 3x2 − 2x y

2x2 − 2x

2x2 − x expresan el cociente de dos polinomios.

Si realizamos ambas divisiones, comprobamos que ninguna de las dos es exacta. El cociente no es un polinomio; decimos, entonces, que son fracciones algebraicas.

Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos polinomios, P ( x )

Q( x ),

donde Q ( x ) es un polinomio de grado mayor que cero.

Al igual que ocurre con las fracciones numéricas, dos fracciones algebraicas pueden ser equivalentes. En las dos fracciones anteriores, al multiplicar en cruz, obtenemos el mismo polinomio.

2x3 + 2x2 − 4 x( ) ⋅ 2x2 − x( ) = 4 x5 + 2x4 −10 x3 + 4 x2

2x3 + 3x2 − 2x( ) ⋅ 2x2 − 2x( ) = 4 x5 + 2x4 −10 x3 + 4 x2

Es decir, las fraciones 2x3 + 2x2 − 4 x

2x3 + 3x2 − 2x y

2x2 − 2x

2x2 − x son equivalentes.

Dos fracciones algebraicas, P ( x )

Q ( x ) y

R ( x )

S ( x ), son equivalentes si:

P ( x ) ◊ S ( x ) = Q ( x ) ◊ R ( x )

Las fracciones algebraicas equivalentes se pueden obtener por amplificación o simplificación. En el ejemplo anterior, si amplificamos la segunda fracción, obtenemos la primera.

2x2 − 2x

2x2 − x=

2x2 − 2x( ) ⋅ x + 2( )

2x2 − x( ) ⋅ x + 2( )=

2x3 + 2x2 − 4 x

2x3 + 3x2 − 2x

Y si la simplificamos, el resultado es otra fracción equivalente más sencilla.

2x2 - 2x

2x2 - x=

2x2 - 2x( ) : x

2x2 - x( ) : x=

2x - 2

2x -1

Esta expresión que no se puede simplificar más es la fracción irreducible.

Una fracción algebraica irreducible es la que no se puede simplificar.

Dos fracciones algebraicas equivalentes tienen la misma expresión irreducible.

Aprenderás a… ● Identificar fracciones algebraicas.

● Reconocer y calcular fracciones equivalentes.

● Hallar la expresión irreducible de una fracción algebraica.

Presta atención

La expresión algebraica 3x2 −5x + 7

4 no es una fracción

algebraica. Se trata de un polinomio con coeficientes racionales:

3

4x2 −

5

4x +

7

4

Para calcular fracciones equivalentes, se puede:

❚ Amplificar: multiplicar ambos términos por la misma cantidad.

❚ Simplificar: dividir ambos términos entre la misma cantidad.

Recuerda

} Descompón en factores y simplifica la fracción:

−2x2 + 7x − 6

3x2 −5x − 2Solución

EJERCICIO RESUELTO

} Reduce estas fracciones a común denominador hallando el mínimo común múltiplo.

3x + 1

x2 − x y

2−5x

x2 − 3x + 2

Solución

Factorizamos los denominadores y buscamos el mínimo común múltiplo.

Q ( x ) = x2 − x = x ⋅ ( x −1)

S ( x ) = x2 − 3x + 2 = ( x −1) ⋅ ( x − 2)

m.c.m. (Q, S ) = x ◊ ( x -1) ◊ ( x - 2) = x3 - 3x2 + 2x

Calculamos fracciones equivalentes a las dadas que tengan por denominador el múltiplo común.

3x + 1

x ◊ ( x -1)=

(3x + 1) ◊ ( x - 2)

x ◊ ( x -1) ◊ ( x - 2)=

3x2 -5 x - 2

x3 - 3x2 + 2x

2-5 x

( x -1) ◊ ( x - 2)=

(2-5 x ) ◊ x

( x -1) ◊ ( x - 2) ◊ x=

2x -5 x2

x3 - 3x2 + 2x

EJERCICIO RESUELTO

} Simplifica la fracción algebraica 2x5 + 3x4 − 6 x3 −5x2 + 6 x

2x5 + x4 − 8 x3 − x2 + 6 x hasta obtener una fracción irreducible.

Solución

Primero factorizamos los polinomios del numerador y del denominador.

P ( x ) = 2x5 + 3x4 - 6 x3 -5 x2 + 6 x = x ◊ ( x -1)2 ◊ ( x + 2) ◊ (2x + 3)

Q ( x ) = 2x5 + x4 - 8 x3 - x2 + 6 x = x ◊ ( x + 1) ◊ ( x -1) ◊ ( x + 2) ◊ (2x - 3)

A continuación, simplificamos dividiendo entre los factores que tengan en común el numerador y el denominador.

2x5 + 3x4 - 6 x3 -5 x2 + 6 x

2x5 + x4 - 8 x3 - x2 + 6 x=

x ◊ ( x -1) ◊ ( x -1) ◊ ( x + 2) ◊ (2x + 3)

x ◊ ( x + 1) ◊ ( x -1) ◊ ( x + 2) ◊ (2x - 3)=

( x -1) ◊ (2x + 3)

( x + 1) ◊ (2x - 3)=

2x2 + x - 3

2x2 - x - 3

EJERCICIO RESUELTO

mac4e10

Busca información sobre el algoritmo de Euclides y averigua cómo utilizarlo para obtener el máximo común divisor de dos polinomios.

80

Investiga

107



74 Calcula dos fracciones equivalentes a las dadas, una por amplificación y otra por simplificación.

a) 3x3 − 3x2 + x −1

3x3 − 3x2 b)

2x2 + 5 x − 3

x2 + 4 x + 3 c)

5 x3 − 20 x

3x2 + 9 x + 6 d)

x3

2x3 −7 x2

Por amplificación la respuesta es abierta. Comprobar que los alumnos han multiplicado por el mismo polinomio ambos términos.

a) Por amplificación Por simplificación

3x3 − 3x2 + x −1( ) ⋅ ( x + 1)

3x3 − 3x2( ) ⋅ ( x + 1)=

3x4 − 2x2 −1

3x4 − 3x2

3x3 − 3x2 + x −1( ) : ( x −1)

3x3 − 3x2( ) : ( x −1)=

3x2 + 1

3x2

b) Por amplificación Por simplificación

2x2 + 5 x − 3( ) ⋅ ( x − 2)

x2 + 4 x + 3( ) ⋅ ( x − 2)=

2x3 + x2 −13x + 6

x3 + 2x2 −5 x − 6

2x2 + 5 x − 3( ) : ( x + 3)

x2 + 4 x + 3( ) : ( x + 3)=

2x −1

x + 1

c) Por amplificación Por simplificación

5 x3 − 20 x( ) ⋅ x

3x2 + 9 x + 6( ) ⋅ x=

5 x4 − 20 x2

3x3 + 9 x2 + 6 x

5 x3 − 20 x( ) : ( x + 2)

3x2 + 9 x + 6( ) : ( x + 2)=

5 x2 −10 x

3x + 3

d) Por amplificación Por simplificación

x3 ⋅ ( x −1)

2x3 −7 x2( ) ⋅ ( x −1)=

x4 − x3

2x4 − 9 x3 + 7 x2

x3 : x2

2x3 −7 x2( ) : x2=

x

2x −7

75 Completa para que sean equivalentes.

a) P ( x )

x -1=

3x3 + 2x

x2 - x c)

6 x2 + 4 x

R ( x )=

6 x3 − 2x2 − 4 x

2x2 −7 x + 5

b) x + 5

x + 3=

Q ( x )

x2 − 2x −15 d)

x2

x2 - 4=

x4 + 4 x2

S ( x )

a) 3x2 + 2

x −1:x← ⎯⎯⎯

3x3 + 2x

x2 − x c)

6 x2 + 4 x

2x −5:( x−1)← ⎯⎯⎯⎯

6 x3 − 2x2 − 4 x

2x2 −7 x + 5

b) x + 5

x + 3⋅ ( x−5 )⎯ →⎯⎯⎯

x2 − 25

x2 − 2x −15 d)

x2

x2 − 4⋅ x2 +4( )

⎯ →⎯⎯⎯x4 + 4 x2

x4 −16

76 Descompón en factores el numerador y el denominador de estas fracciones y simplifica.

a) −x2 + 5 x − 6

2x2 −7 x + 6 b)

3x − 3x2

2x2 − 2x c)

−3x3 + 10 x2 + 25 x

x2 −10 x + 25 d)

1− 4 x2

2x2 + x −1

a) −1⋅ ( x − 2) ⋅ ( x − 3)

( x − 2) ⋅ (2x − 3)=−x + 3

2x − 3 c)

−1⋅ (3x + 5) ⋅ x ⋅ ( x −5)

( x −5) ⋅ ( x −5)=−3x2 −5 x

x −5

b) −3 ⋅ x ⋅ ( x −1)

2 ⋅ x ⋅ ( x −1)= −

3

2 d)

−1⋅ (2x + 1) ⋅ (2x −1)

( x + 1) ⋅ (2x −1)=−2x −1

x + 1

77 Factoriza y simplifica.

a) 3x3 + 7 x2 − 6 x

3x4 −11x3 + 6 x2 b)

x2 −16

x2 + 8 x + 16 c)

x4 − 25 x2

x2 − 25 d)

27 x5 + 18 x4 + 3x3

54 x3 − 6 x

a) ( x + 3) ⋅ x ⋅ (3x − 2)

x 2 ⋅ (3x − 2) ⋅ ( x − 3)=

x + 3

x ( x − 3) c)

x2 ⋅ ( x + 5) ⋅ ( x −5)

( x + 5) ⋅ ( x −5)= x2

b) ( x − 4) ⋅ ( x + 4)

( x + 4) ⋅ ( x + 4)=

x − 4

x + 4 d)

3 ⋅ (3x + 1) ⋅ (3x + 1) ⋅ x ⋅ x2

2 ⋅ 3 ⋅ (3x + 1) ⋅ x ⋅ (3x −1)=

3x3 + x2

6 x − 2



78 Reduce estas fracciones a común denominador hallando el mínimo común múltiplo.

a) x − 2

x2 + 6 x + 9 y

3x + 1

2x2 + 3x − 9 b)

x2 + 1

1− x2 y

1−5 x

2x2 − 4 x + 2

a) Hallamos el mínimo común múltiplo:

x2 + 6 x + 9 = ( x + 3)2

2x2 + 3x − 9 = ( x + 3) ⋅ 2x − 3( )

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ m.c.m. = ( x + 3)2 ⋅ (2x − 3) = 2x3 + 9 x2 − 27

Amplificamos para reducir a común denominador:

( x − 2) ⋅ (2x − 3)

x + 3( )2 ⋅ (2x − 3)=

2x2 −7 x + 6

2x3 + 9 x2 − 27

(3x + 1) ⋅ ( x + 3)

( x + 3) ⋅ (2x − 3) ⋅ ( x + 3)=

3x2 + 10 x + 3

2x3 + 9 x2 − 27

b) Hallamos el mínimo común múltiplo:

1− x2 = −1⋅ ( x + 1) ⋅ ( x −1)

2x2 − 4 x + 2 = 2 ⋅ ( x −1)2⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ m.c.m. = −2 ⋅ ( x −1)2 ⋅ ( x + 1) = −2x3 + 2x2 + 2x − 2


x2 + 1( ) ⋅ ( x −1)

−2 ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x −1) ⋅ ( x −1)=

x3 − x2 + x −1

−2x3 + 2x2 + 2x − 2

(1−5 x ) ⋅ ( x + 1)

−2 ⋅ x −1( )2 ⋅ ( x + 1)=

−5 x2 − 4 x + 1

−2x3 + 2x2 + 2x − 2

79 El precio total por alquilar un autocar de 45 plazas para hacer una excursión es de 360 €. Averigua la expresión algebraica que determina el precio por persona si:

a) Viajan x personas.

b) El autocar iba completo y se dan de baja x personas.

a) Si viajan x personas para saber el precio por persona repartimos el precio total entre x: 360

x

b) Si se dan de baja x personas viajan 45− x personas, repartiendo el precio total: 360

45− x

Investiga

80 Busca información sobre el algoritmo de Euclides y averigua cómo utilizarlo para obtener el máximo común divisor de dos poli-nomios.

Dados dos polinomios P ( x ) = x2 + 4 x + 4 y Q ( x ) = x2 − 4 el algoritmo de Euclides proporciona un método para calcular el máximo común divisor realizando divisiones de polinomios:

❚❚ ❚En el primer paso se divide P ( x ) entre Q ( x ). Si el resto es cero, Q ( x ) es el máximo común divisor. Si no, seguimos con el si-guiente paso.

❚❚ ❚En el segundo paso se divide Q ( x ) entre el resto de la primera división. Si el segundo resto es cero, el primer resto es el máximo común divisor. Si no lo es seguimos con el tercer paso.

❚❚ ❚En el tercer paso se divide el primer resto entre el segundo. De nuevo, si el nuevo resto es cero, el resto anterior es el máximo común divisor, si no, seguimos dividiendo.

...

Se repite el procedimiento hasta conseguir que el resto sea cero, caso en el que tenemos el máximo común divisor: el resto anterior.

Por ejemplo:

Paso Dividendo divisor Cociente Resto

1 x 2 + 4 x + 4 x 2 − 4 1 4 ( x + 2 )

2 x 2 − 4 4 ( x + 2 ) ( x − 2) 4 0

Luego, el máximo común divisor sería: x + 2

109




81 Reduce a común denominador y calcula el resultado en cada caso.

a) 1

x−

2

3x+

3

2x b)

5

6 x−

1

9 x2 c)

x − 3

x −1+

2− x

x d)

4

x + 3+

4

x − 3

a) 6

6 x−

4

6 x+

9

6 x=

11

6 x c)

x2 − 3x

( x −1) ⋅ x+−x2 + 3x − 2

( x −1) ⋅ x=−2

x2 − x

b) 15 x

18 x2−

2

18 x2=

15 x − 2

18 x2 d)

4 x −12

( x + 3) ⋅ ( x − 3)+

4 x +12

( x + 3) ⋅ ( x − 3)=

8 x

x2 − 9

82 Resuelve estas operaciones con fracciones algebraicas.

a) x − 3

x2−

4

5 x b)

x + 1

3− x−

2− x

x − 3 c)

x − 2

x + 2−

x + 2

x − 2+

4

x

a) x − 3

x2−

4

5 x=

5 x −15

5 x2−

4 x

5 x2=

x −15

5 x2

b) x + 1

3− x−

2− x

x − 3=

x + 1

3− x−

x − 2

3− x=

3

3− x

9. Operaciones con fracciones algebraicas

Sugerencias didácticasPara trabajar las operaciones con fracciones algebraicas, al igual que en el epígrafe anterior, conviene repasar con ellos las operaciones con fracciones numéricas, recordar el procedi-miento y los pasos y que ellos mismos los vayan aplicando a las fracciones algebraicas.

Es importante que se fijen en la importancia de simplificar an-tes de operar.

65


64

Reduce a común denominador y calcula el resultado en cada caso.

a) 1

x−

2

3x+

3

2x b)

5

6 x−

1

9 x2 c)

x − 3

x −1+

2− x

x d)

4

x + 3+

4

x − 3

Resuelve estas operaciones con fracciones algebraicas.

a) x − 3

x2−

4

5 x b)

x + 1

3− x−

2− x

x − 3 c)

x − 2

x + 2−

x + 2

x − 2+

4

x

Calcula y simplifica si es posible.

a) 2x + 1

x + 3+

2x −1

3− x−

9−7 x

x2 − 9 c)

x − 9

x2 − 4 x + 3+

2x + 3

x2 − 3x−

x − 2

x2 − x

b) x − 2

x2 −1+

x − 3

1− x+ 1 d)

x + 1

x2−

2x −1

x2 + x − 2−

x −1

x2 + 2x

Realiza las siguientes operaciones.

a) 2x + 4

3x −1⋅

x

x + 2 c)

x2 + 4 x + 4

3x2 + 3x⋅

x + 1

x2 − 4

b) 1

x − 2:

x

3x − 6 d)

x2 + 5 x + 6

4 x2 − 9:

x + 3

2x − 3


a) x3 ⋅ x2 −1( )

x2 − 4⋅

x + 2( )3

3x ⋅ x −1( )2 c)

x2 ⋅ x2 − 4( )

x2 −1:

x ⋅ x + 2( )

x −1( )2:

x ⋅ x − 2( )

x + 1

b) 2x ⋅ x + 3( )2

x2 + 1( )3:

2x2 −18

x4 + 2x2 + 1 d)

3x4

5 ⋅ x −1( ):

x2

5 ⋅ x + 2( )2⋅

x −1( )

9 x3 ⋅ x + 2( )

Factoriza primero y después resuelve.

Calcula respetando la jerarquía.

a) 1−1

x

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ 1−

1

x −1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−1 d)

x − 2

x −1−

x

x −1: 1+

1

x −1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) x − 2

2:

x

2−

2

x

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ e) x ⋅ x +

1

x

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− 1−

1

x2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

c) 1

x2 + 1:

2

x2+ x +

1

x

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ x −

1

x

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ f)

5 x

x −1( )2−

5

x −1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ :

1

x −1

81

82

83

84

85

86

a) x2−9

4 x2 +4 x +1⋅

2x +1x2 +3x

⋅6x2 +3x2x−6

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

b) 9x2−12x2 + x

:3x2 + x2x−6

⋅2x2−5x−3

6x−2

c) 3x2 +5x−2

x2−2x +1:3x2−x−3x−3

:−3x−6x2−x

d) 2x +3x2

:x

2x2 + x−3⋅x−1x3( )

87

9. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICASAl realizar operaciones con fracciones algebraicas, utilizamos los mismos procedimientos que aplicamos para operar con fracciones numéricas.

Suma y restaSi queremos calcular:

2x + 1

x2 + x − 2−

3x + 2

x2 − 4

1 Reducimos las fracciones a común denominador. Para ello, calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Q ( x ) = x2 + x − 2 = ( x + 2) ⋅ ( x −1)

S ( x ) = x2 − 4 = ( x + 2) ⋅ ( x − 2)m.c.m. (Q, S ) = ( x + 2) ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x −1)

A continuación, operamos con los numeradores.

2x + 1

x2 + x − 2−

3x + 2

x2 − 4=

2x + 1( ) ⋅ x − 2( )

x −1( ) ⋅ x − 2( ) ⋅ x + 2( )−

3x + 2( ) ⋅ x −1( )

x −1( ) ⋅ x − 2( ) ⋅ x + 2( )=

=2x2 − 3x − 2( )− 3x2 − x − 2( )

x −1( ) ⋅ x − 2( ) ⋅ x + 2( )=

−x2 − 2x

x −1( ) ⋅ x − 2( ) ⋅ x + 2( )

2 Factorizamos el numerador para intentar simplificar el resultado.

-x2 - 2x

x -1( ) ◊ x - 2( ) ◊ x + 2( )=

-x ◊ x + 2( )

x -1( ) ◊ x - 2( ) ◊ x + 2( )=

-x

x2 - 3x + 2

Para sumar o restar dos fracciones algebraicas, P ( x )

Q ( x ) y

R ( x )

S ( x ), las reducimos a

común denominador y sumamos o restamos los numeradores.

Multiplicación y divisiónMultiplicamos las fracciones algebraicas igual que las numéricas, por ejemplo:

2x2 − 4 x

x2 −1⋅

x2 + 2x + 1

x2 − 4=

2x2 − 4 x( ) ⋅ x2 + 2x + 1( )

x2 −1( ) ⋅ x2 − 4( )

Sin embargo, a la hora de hallar el producto de fracciones algebraicas, es más conveniente descomponer primero ambos factores y simplificar la fracción antes de operar.

2x2 - 4 x( ) ◊ x2 + 2x + 1( )

x2 -1( ) ◊ x2 - 4( )=

2x ◊ x - 2( ) ◊ x + 1( ) ◊ x + 1( )

x + 1( ) ◊ x -1( ) ◊ x - 2( ) ◊ x + 2( )=

2x2 + 2x

x2 + x - 2

Para dividir fracciones algebraicas, hallamos el producto de la primera por la inversa de la segunda y, como en el caso del producto, simplificamos la fracción antes de operar.

x

x2 −1:

x2 − 2x

x2 − x − 2=

x

x2 −1⋅

x2 − x − 2

x2 − 2x=

x ⋅ x2 − x − 2( )

x2 −1( ) ⋅ x2 − 2x( )

x ◊ x2 - x - 2( )

x2 -1( ) ◊ x2 - 2x( )=

x ◊ x + 1( ) ◊ x - 2( )

x + 1( ) ◊ x -1( ) ◊ x ◊ x - 2( )=

1

x -1

El producto y el cociente de dos fracciones algebraicas, P ( x )

Q ( x ) y

R ( x )

S ( x ), es:

P ( x )

Q ( x )◊

R ( x )

S ( x )=

P ( x ) ◊ R ( x )

Q ( x ) ◊ S ( x )

P ( x )

Q ( x ):

R ( x )

S ( x )=

P ( x ) ◊ S ( x )

Q ( x ) ◊ R ( x )

Aprenderás a… ● Operar con fracciones algebraicas.

DESAFÍO

Calcula y simplifica: 1+1

x

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ 1+

1

x + 1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ 1+

1

x + 2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ... ⋅ 1+

1

x + 99

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

88

Presta atención

Es mucho más sencillo multiplicar y dividir fracciones algebraicas si simplificamos la fracción resultante antes de multiplicar los términos.



c) x − 2

x + 2−

x + 2

x − 2+

4

x=

x − 2( )2 ⋅ x

( x + 2) ⋅ ( x − 2) ⋅ x−

x + 2( )2 ⋅ x

( x + 2) ⋅ ( x − 2) ⋅ x+

4 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 2)

( x + 2) ⋅ ( x − 2) ⋅ x=

=x3 − 4 x2 + 4 x( )− x3 + 4 x2 + 4 x( ) + 4 x2 −16( )

( x + 2) ⋅ ( x − 2) ⋅ x=−4 x2 −16

x3 − 4 x

83 Calcula y simplifica si es posible.

a) 2x + 1

x + 3+

2x −1

3− x−

9−7 x

x2 − 9 c)

x − 9

x2 − 4 x + 3+

2x + 3

x2 − 3x−

x − 2

x2 − x

b) x − 2

x2 −1+

x − 3

1− x+ 1 d)

x + 1

x2−

2x −1

x2 + x − 2−

x −1

x2 + 2x

a) 2x + 1

x + 3+

2x −1

3− x−

9−7 x

x2 − 9=

(2x + 1) ⋅ ( x − 3)

( x + 3) ⋅ ( x − 3)+

(2x + 1) ⋅ ( x + 3) ⋅ (−1)

( x + 3) ⋅ ( x − 3)−

9−7 x

( x + 3) ⋅ ( x − 3)=

=2x2 −5 x − 3( ) + −2x2 −5 x + 3( )− (9−7 x )

( x + 3) ⋅ ( x − 3)=

−3x − 9

( x + 3) ⋅ ( x − 3)=−3 ⋅ ( x + 3)

( x + 3) ⋅ ( x − 3)=−3

x − 3

b) x − 2

x2 −1+

x − 3

1− x+ 1 =

x − 2

( x + 1) ⋅ ( x −1)+

( x − 3) ⋅ (−1) ⋅ ( x + 1)

( x + 1) ⋅ ( x −1)+

( x + 1) ⋅ ( x −1)

( x + 1) ⋅ ( x −1)=

=( x − 2) + −x2 + 2x + 3( ) + x2 −1( )

( x + 1) ⋅ ( x −1)=

3x

x2 −1

c) x − 9

x2 − 4 x + 3+

2x + 3

x2 − 3x−

x − 2

x2 − x=

( x − 9) ⋅ x

x ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x −1)+

2x + 3( ) ⋅ ( x −1)

x ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x −1)−

( x − 2) ⋅ ( x − 3)

x ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x −1)=

=x2 − 9 x( ) + 2x2 + x − 3( )− x2 −5 x + 6( )

x ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x −1)=

2x2 − 3x − 9

x ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x −1)=

=( x − 3) ⋅ 2x + 3( )

x ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x −1)=

2x + 3

x2 − x

d) x + 1

x2−

2x −1

x2 + x − 2−

x −1

x2 + 2x=

( x + 1) ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x −1)

x2 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x −1)−

x2 ⋅ 2x −1( )

x2 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x −1)−

x ⋅ ( x −1) ⋅ ( x −1)

x2 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x −1)=

=x3 + 2x2 − x − 2( )− 2x3 − x2( )− x3 − 2x2 + x( )

x2 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x −1)=−2x3 + 5 x2 − 2x − 2

x4 + x3 − 2x2

84 Realiza las siguientes operaciones.

a) 2x + 4

3x −1⋅

x

x + 2 b)

1

x − 2:

x

3x − 6 c)

x2 + 4 x + 4

3x2 + 3x⋅

x + 1

x2 − 4 d)

x2 + 5 x + 6

4 x2 − 9:

x + 3

2x − 3

a) 2x + 4

3x −1⋅

x

x + 2=

2x + 4( ) ⋅ x

3x −1( ) ⋅ ( x + 2)=

2 ⋅ ( x + 2) ⋅ x

3x −1( ) ⋅ ( x + 2)=

2x

3x −1

b) 1

x − 2:

x

3x − 6=

1⋅ 3x − 6( )

( x − 2) ⋅ x=

3 ⋅ ( x − 2)

( x − 2) ⋅ x=

3

x

c) x2 + 4 x + 4

3x2 + 3x⋅

x + 1

x2 − 4=

x2 + 4 x + 4( ) ⋅ ( x + 1)

3x2 + 3x( ) ⋅ x2 − 4( )=

x + 2( )2 ⋅ ( x + 1)

3x ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 2)=

x + 2

3x2 − 6 x

d) x2 + 5 x + 6

4 x2 − 9:

x + 3

2x − 3=

x2 + 5 x + 6( ) ⋅ 2x − 3( )

4 x2 − 9( ) ⋅ ( x + 3)=

( x + 2) ⋅ ( x + 3) ⋅ (2x − 3)

2x + 3( ) ⋅ (2x − 3) ⋅ ( x + 3)=

x + 2

2x + 3


a) x3 ⋅ x2 −1( )

x2 − 4⋅

x + 2( )3

3x ⋅ x −1( )2 b)

2x ⋅ x + 3( )2

x2 + 1( )3:

2x2 −18

x4 + 2x2 + 1

111



c) x2 ⋅ x2 − 4( )

x2 −1:

x ⋅ x + 2( )

x −1( )2:

x ⋅ x − 2( )

x + 1 d)

3x4

5 ⋅ x −1( ):

x2

5 ⋅ x + 2( )2⋅

x −1( )

9 x3 ⋅ x + 2( )

a) x3 ⋅ x2 −1( )

x2 − 4⋅

x + 2( )3

3x ⋅ x −1( )2=

x3 ⋅ x2 −1( ) ⋅ x + 2( )3

x2 − 4( ) ⋅3x ⋅ x −1( )2=

x2 ⋅ x ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x −1) ⋅ ( x + 2) ⋅ x + 2( )2

( x + 2) ⋅ ( x − 2) ⋅3 ⋅ x ⋅ ( x −1) ⋅ ( x −1)=

x2 ⋅ ( x + 1) ⋅ x + 2( )2

3 ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x −1)

b) 2x ⋅ x + 3( )2

x2 + 1( )3:

2x2 −18

x4 + 2x2 + 1=

2x ⋅ x + 3( )2 ⋅ x4 + 2x2 + 1( )

x2 + 1( )3 ⋅ 2x2 −18( )=

2x ⋅ ( x + 3) ⋅ ( x + 3) ⋅ x2 + 1( )2

x2 + 1( )3 ⋅ 2 ⋅ ( x + 3) ⋅ ( x − 3)=

x ⋅ ( x + 3)

x2 + 1( ) ⋅ ( x − 3)

c) x2 ⋅ x2 − 4( )

x2 −1:

x ⋅ ( x + 2)

x −1( )2⋅

x ⋅ ( x − 2)

x + 1=

x2 ⋅ x2 − 4( ) ⋅ x −1( )2 ⋅ x ⋅ ( x − 2)

x2 −1( ) ⋅ x ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x + 1)=

=x2 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 2) ⋅ x −1( )2 ⋅ x ⋅ ( x − 2)

( x + 1) ⋅ ( x −1) ⋅ x ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x + 1)=

x2 ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x −1) ⋅ ( x − 2)

( x + 1) ⋅ ( x + 1)

d) 3x4

5 ⋅ ( x −1):

x2

5 ⋅ x + 2( )2⋅

( x −1)

9 x3 ⋅ ( x + 2)=

3x4 ⋅5 ⋅ x + 2( )2 ⋅ ( x −1)

5 ⋅ ( x −1) ⋅ x2 ⋅9 x3 ⋅ ( x + 2)=

3 x2 ⋅ x2 ⋅ 5 ⋅ x + 2( )2 ⋅ ( x −1)

5 ⋅ ( x −1) ⋅ x2 ⋅ 3 ⋅3 ⋅ x ⋅ x2 ⋅ ( x + 2)=

x + 2

3x

86 Factoriza primero y después resuelve.

a) x2 − 9

4 x2 + 4 x + 1⋅

2x + 1

x2 + 3x⋅6 x2 + 3x

2x − 6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

=( x + 3) ⋅ ( x − 3)

2x + 1( )2⋅

(2x + 1)

x ⋅ ( x + 3)⋅3x ⋅ (2x + 1)

2 ⋅ ( x − 3)

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

=( x + 3) ⋅ ( x − 3) ⋅ 2x + 1( ) ⋅3 x ⋅ 2x + 1( )

2x + 1( )2 ⋅ x ⋅ ( x + 3) ⋅2 ⋅ ( x − 3)=

3

2

b) 9 x2 −1

2x2 + x:

3x2 + x

2x − 6⋅2x2 −5 x − 3

6 x − 2=

(3x + 1) ⋅ (3x −1)

x ⋅ (2x + 1):

x ⋅ (3x + 1)

2 ⋅ ( x − 3)⋅(2x + 1) ⋅ ( x − 3)

2 ⋅ 3x −1( )=

=3x + 1( ) ⋅ 3x + 1( ) ⋅ 2 ⋅ ( x − 3) ⋅ 2x + 1( ) ⋅ ( x − 3)

x ⋅ 2x + 1( ) ⋅ x ⋅ 3x + 1( ) ⋅ 2 ⋅ 3x − 1( )=

x2 − 6 x + 9

x2

c) 3x2 + 5 x − 2

x2 − 2x + 1:

3x2 − x

−3x − 3:−3x − 6

x2 − x=

( x + 2) ⋅ (3x −1)

x −1( )2:

x ⋅ (3x −1)

−3 ⋅ ( x + 1):−3 ⋅ ( x + 2)

x ⋅ ( x −1)=

=( x + 2) ⋅ 3x − 1( ) ⋅ (−3) ⋅ ( x + 1) ⋅ x ⋅ ( x −1)

x −1( )2 ⋅ x ⋅ 3x − 1( ) ⋅ (−3) ⋅ ( x + 2)=

x + 1

x −1

d) 2x + 3

x2:

x

2x2 + x − 3⋅

x −1

x3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

2x + 3

x2:

x

(2x + 3) ⋅ ( x −1)⋅

x −1

x3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

=(2x + 3) ⋅ (2x + 3) ⋅ ( x −1) ⋅ x3

x2 ⋅ x ⋅ ( x −1)= 2x + 3( )2

a) x2−9

4 x2 +4 x +1⋅

2x +1x2 +3x

⋅6x2 +3x2x−6

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

b) 9x2−12x2 + x

:3x2 + x2x−6

⋅2x2−5x−3

6x−2

c) 3x2 +5x−2

x2−2x +1:3x2−x−3x−3

:−3x−6x2−x

d) 2x +3x2

:x

2x2 + x−3⋅x−1x3( )



87 Calcula respetando la jerarquía.

a) 1−1

x

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ 1−

1

x −1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−1 d)

x − 2

x −1−

x

x −1: 1+

1

x −1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) x − 2

2:

x

2−

2

x

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ e) x ⋅ x +

1

x

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− 1−

1

x2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

c) 1

x2 + 1:

2

x2+ x +

1

x

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ x −

1

x

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ f)

5 x

x −1( )2−

5

x −1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ :

1

x −1

a) 1−1

x

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ 1−

1

x −1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−1 =

x −1

x

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

( x −1)−1

x −1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−1 =

( x −1) ⋅ ( x − 2)

x ⋅ ( x −1)−1 =

x − 2

x−

x

x=−2

x

b) x − 2

2:

x

2−

2

x

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

x − 2

2:

x2

2x−

4

2x

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

=x − 2

2:

x2 − 4

2x=

( x − 2) ⋅ 2x

2 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 2)=

x

x + 2

c) 1

x2 + 1:

2

x2+ x +

1

x

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ x −

1

x

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

x2

2 ⋅ x2 + 1( )+

x + 1

x

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

x −1

x

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

x2

2 ⋅ x2 + 1( )+

x2 −1

x2=

=x2 ⋅ x2 + 2 ⋅ x2 + 1( ) ⋅ x2 −1( )

2 ⋅ x2 + 1( ) ⋅ x2=

x4 + 2x4 − 2

2 ⋅ x2 + 1( ) ⋅ x2=

3x4 − 2

2x4 + 2x2

d) x − 2

x −1−

x

x −1: 1+

1

x −1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

x − 2

x −1−

x

x −1:

( x −1) + 1

x −1=

x − 2

x −1−

x ⋅ ( x −1)

( x −1) ⋅ x=

x − 2

x −1−1 =

=( x − 2)− ( x −1)

x −1=−1

x −1

e) x ⋅ x +1

x

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− 1−

1

x2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = x ⋅

x2 + 1

x−

x2 −1

x2

⎡

⎣⎢⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥⎥

= x ⋅x3 + x( )− x2 −1( )

x2

⎡

⎣⎢⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥⎥

=

=x ⋅ x3 − x2 + x + 1( )

x 2=

x3 − x2 + x + 1

x

f) 5 x

x −1( )2−

5

x −1

⎡

⎣⎢⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥⎥:

1

x −1=

5 x −5 ⋅ ( x −1)

x −1( )2:

1

x −1=

5 ⋅ ( x −1)

x −1( )2=

5

x −1

Desafío

88 Calcula y simplifica: 1+1

x

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ 1+

1

x + 1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ 1+

1

x + 2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ... ⋅ 1+

1

x + 99

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1+1

x

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ 1+

1

x + 1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ 1+

1

x + 2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ... ⋅ 1+

1

x + 99

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

x + 1

x⋅

x + 2

x + 1⋅

x + 3

x + 2⋅ ... ⋅

x + 100

x + 99=

x + 100

x

113



Actividades finalesSoluciones de las actividades

89 Escribe tres monomios semejantes a 17x5y2. ¿Cuál sería el opuesto?

La respuesta es abierta para los semejantes: cualquiera con parte literal x5y2. El monomio opuesto es −17x5y2.

90 Realiza estas operaciones con monomios cuando sea posible.

a) −4 xy2 − 9 x2 y c) x

3⋅3x3

4 e)

ab2c

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

− ab2 −3

4b3c2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) −4 xy2 − 9 y2 x d) 8

3a6 ⋅2ab3 f) 9 x2 y3 −18 x5 y 4 :

6

5x3 y

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

a) No se puede operar. c) x4

4 e)

a2 b4c2

4+

3

4ab5c2

b) −13 xy 2 d) 16

3a7 b3 f ) 9 x2 y3 −15 x2 y3 = −6 x2 y3

¿Qué tienes que saber?

Sugerencias didácticasEn esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Operar con polinomios.

❚❚ Aplicar la regla de Ruffini y el teorema del resto en cocientes de la forma P ( x ) : (x − a).

❚❚ Factorizar polinomios.

❚❚ Operar con fracciones algebraicas y simplificarlas.

Dados los polinomios P ( x ) = -12x4 + 4 x2, Q( x ) = 2x2 − x y R ( x ) = 3x2 - 2, calcula 2 ◊ P ( x )-Q( x ) ◊ R ( x )[ ]2 .

2 ⋅ P ( x )−Q ( x ) ⋅ R ( x )[ ]2 = 2 ⋅ −12x4 + 4 x2 − 2x( )− 2x2 − x( ) ⋅ 3x2 − 2( )2 == 2 ⋅ −12x4 + 4 x2 − 2x( )− 2x2 − x( ) ⋅ 9 x4 −12x2 + 4( ) == −24 x4 + 8 x2 − 4 x − 18 x6 − 9 x5 − 24 x4 + 12x3 + 8 x2 − 4 x( ) == −24 x4 + 8 x2 − 4 x −18 x6 + 9 x5 + 24 x4 −12x3 − 8 x2 + 4 x = −18 x6 + 9 x5 −12x3

Polinomios. OperacionesTen en cuentaUn polinomio es la suma de dos o más monomios de distinto grado llamados términos.

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos.

Aplica la regla de Ruffini para realizar esta división: 2x3 − 9x + 3( ) : x − 2( )

2 0 −9 3

Divisor: x − 2 2 4 8 −2

2 4 −1 1 Resto:1

Cociente: 2x2 + 4x − 1

El resto coincide con el valor numérico del dividendo en el 2: P (2) = 2 ◊ 23 - 9 ◊ 2 + 3 = 1

Regla de Ruffini. Teorema del restoTen en cuentaEl número que se obtiene al sustituir un valor, a, en un polinomio, P ( x ), se llama valor numérico, P (a ).

Teorema del resto

El valor numérico de un polinomio, P ( x ), para x = a, coincide con el resto de la división de P ( x ) : ( x - a).

R = P (a )

Operaciones con polinomios

Considera los polinomios:

P ( x ) = -5 x3 - 2x2 + 7

Q ( x ) = -x3 + 4 x - 6

R ( x ) = 2x3 - x2 - x + 3

Calcula:

a) -Q ( x ) + R ( x )

b) R ( x )- P ( x )- 3Q ( x )

c) P ( x )- [Q ( x )- 2R ( x )]

d) P ( x )- 2 ◊ [Q ( x )- R ( x )]

Simplifica las siguientes expresiones algebraicas.

a) 3 ⋅ x3 −5 x2 + 2x + 1( )−5

2x ⋅ −6 x + 3( )

b) −x3 + 2x2 −1( ) ⋅ −5 x2 − 3( )

c) 6 ⋅ x − 3( ) ⋅ x + 2( ) ⋅ 2x −5( )

d) −7 ⋅ x3 − 2x2 −1( ) + 2x ⋅ x −1( ) ⋅ x + 1( )

e) −x + 2x ⋅ x − 3( ) ⋅ x + 2( )− 4 x2 ⋅ 2x −1( )

Saca factor común en estos polinomios.

a) P ( x ) = 3x5 -5 x4 - 2x2

b) Q ( x ) = -30 x7 + 10 x5

c) R ( x , y ) = -6 x3 y3 + 2x2 y 4 + 4 x3 y2 - 8 x2 y2

Halla el polinomio que determina el área, en decímetros cuadrados y en función de la longitud de la base, de un marco que se puede elaborar con un listón de madera que mide 2 m.

95

96

97

98

Desarrolla aplicando las identidades notables.

a) 5 y + 2( )2 c) −x3 −5 x2( )2

b) −a4 + 5b( )2 d) −x − y5( ) ⋅ x − y5( )


a) x +1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ x −

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− x −

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

b) 2x + 2( )2 − x + 3( ) ⋅ 2x −1( )

c) 3 ⋅ 3x + 5( ) ⋅ 2x − 3( ) + x + 3( )2 ⋅ x − 3( )2

99

100

Monomios y polinomios. Valor numérico

Escribe tres monomios semejantes a 17x5y2. ¿Cuál sería el opuesto?

Realiza estas operaciones con monomios cuando sea posible.

a) −4 xy2 − 9 x2 y d) 8

3a6 ⋅2ab3

b) −4 xy2 − 9 y2 x e) ab2c

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

− ab2 −3

4b3c2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

c) x

3⋅3x3

4 f) 9 x2 y3 −18 x5 y 4 :

6

5x3 y

Dados los monomios:

M ( x ) = 60 x9 y N ( x ) = -5 x6

a) Determina el grado de M ( x ) y N ( x ).

b) Calcula el producto M ( x ) ◊ N ( x ) .

c) Halla el cociente M ( x ) : N ( x ) .

Compara los grados de M ( x ) y N ( x ) con los grados de su producto y su cociente. Explica qué observas.

Agrupa los términos semejantes en estos polinomios y ordénalos. ¿Qué grado tienen?

a) P ( x ) = 3x6 - 4 x3 + 2-11x3 -7 x5 + 3 + x6 - x2

b) Q ( x ) = -x3 - x2 + 1- 2x + 3x2 + x + x3 - 2

c) R ( x ) =3

2x2 -5 +

5

3x +

1

3x2 - x

d) S ( x ) = 5- 6 x2 + 2 2x2 -12x + 5 2x2 + 6

Enumera los términos y coeficientes de estos polinomios. Para cada uno de ellos, indica su grado, el coeficiente principal, el término independiente y si es completo o no.

a) P ( x ) = -3x5 + 7 x3 - 3 + x7

b) Q ( x ) = 1- 2x6 + 4 x12

c) R ( x ) = 5 x3 - 8 x10 - 3x

d) S ( x ) = 23x5 - 3 + 4 x3 + 6 x2

Calcula el valor numérico de estos monomios y polinomios para los valores que se indican.

a) M (a, b, c ) = -7abc , a =2

3, b = -

3

5, c =

5

7

b) N ( x , y ) =3xy

8, x = 2, y = -2

c) P ( x ) = -x3 - x2 + x - 4, x = -1

d) Q ( x ) = -5 x4 + 4 x3 + 50, x = -2

e) R ( x ) =1

9x3 +

1

6x2 -

3

2, x = 3

89

90

91

92

93

94

¿QUÉ3 tienes que saber? Actividades Finales 3

Factoriza el polinomio: P ( x ) = 3x3 + x2 - 8x + 4

Las raíces enteras están entre los divisores de 4: ±1, ± 2, ± 4{ }

P (1) = 3 ◊13 + 12 - 8 ◊1+ 4 = 0 → 1 es una raíz de P ( x ), y x − 1 es un factor.

P (-2) = 3 ◊ (-2)3 + (-2)2 - 8 ◊ (-2) + 4 = 0 → −2 es una raíz de P ( x ), y x + 2 es un factor.

Aplicamos la regla de Ruffini:

P ( x ) = ( x -1) ◊ ( x + 2) ◊ (3x - 2)

Las raíces de P ( x ) son 1, −2 y 2

3.

Factorización de polinomiosTen en cuenta

Si el valor numérico de P ( x ) parax = a es igual a cero, P (a) = 0 , se dice que a es raíz del polinomio.

Teorema del factor

Si x = a es una raíz del polinomio P ( x ), x − a es un factor de P ( x ).

3 1 −8 4

1 3 4 −4

3 4 −4 0

−2 −6 4

3 −2 0

Resuelve esta operación con fracciones algebraicas y simplifica.

x

x + 2:

2x + 1

x + 2−

2x

x − 2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Primero, reducimos a común denominador y operamos; después, dividimos. Por último, simplificamos dividiendo entre los factores comunes.

x

x + 2:

2x + 1

x + 2−

2x

x − 2=

x

x + 2:

2x + 1( ) ⋅ x − 2( )− 2x ⋅ x + 2( )

x + 2( ) ⋅ x − 2( )=

=x

x + 2:

−7 x − 2

x + 2( ) ⋅ x − 2( )=

x ⋅ ( x + 2) ⋅ x − 2( )

( x + 2) ⋅ −7 x − 2( )=

x 2 − 2x

−7 x − 2=

2x − x2

7 x + 2

Fracciones algebraicas. OperacionesTen en cuentaUna fracción algebraica es el cociente indicado de dos polinomios.

Las operaciones con fracciones algebraicas siguen los mismos procedimientos que las fracciones numéricas.

6766



91 Dados los monomios: M ( x ) = 60 x9 y N ( x ) = -5 x6

a) Determina el grado de M ( x ) y N ( x ).

b) Calcula el producto M ( x ) ◊ N ( x ) .

c) Halla el cociente M ( x ) : N ( x ) .

Compara los grados de M ( x ) y N ( x ) con los grados de su producto y su cociente. Explica qué observas.

a) El grado de M ( x ) es 9 y el de N ( x ), 6. c) M ( x )

N ( x )=

60 x9

−5 x6= −12x3

b) M ( x ) ⋅N ( x ) = 60 x9 ⋅ −5 x6( ) = −300 x15

El grado del producto coincide con la suma de los grados, el del cociente con la diferencia.

92 Agrupa los términos semejantes en estos polinomios y ordénalos. ¿Qué grado tienen?

a) P ( x ) = 3x6 - 4 x3 + 2-11x3 -7 x5 + 3 + x6 - x2 c) R ( x ) =3

2x2 -5 +

5

3x +

1

3x2 - x

b) Q ( x ) = -x3 - x2 + 1- 2x + 3x2 + x + x3 - 2 d) S ( x ) = 5- 6 x2 + 2 2x2 -12x + 5 2x2 + 6

a) P ( x ) = 4 x6 −7 x5 −15 x3 − x2 + 5 c) R ( x ) =11

6x2 +

2

3x −5

b) Q ( x ) = 2x2 − x −1 d) S ( x ) = 7 2 − 6( ) ⋅ x2 −12x + 11

El polinomio del apartado a) tiene grado 6, el resto tienen grado 2.

93 Enumera los términos y coeficientes de estos polinomios. Para cada uno de ellos, indica su grado, el coeficiente principal, el término independiente y si es completo o no.

a) P ( x ) = -3x5 + 7 x3 - 3 + x7 c) R ( x ) = 5 x3 - 8 x10 - 3x

b) Q ( x ) = 1- 2x6 + 4 x12 d) S ( x ) = 23x5 - 3 + 4 x3 + 6 x2

Términos Coeficientes Grado Coeficiente principal Término independiente Completo

P(x) x 7 ; −3 x 5 ; 7 x 3 ; −3 1; −3; 7; −3 7 1 −3 No

Q(x) 4 x 12 ; −2 x 6 ; 1 4; −2; 1 12 4 1 No

R(x) −8 x 10 ; 5 x 3 ; −3 x −8; 5; −3 10 −8 0 No

S(x) 23 x 5 ; 4 x 3 ; 6 x 2 ; −3 23; 4; 6; −3 5 23 −3 No

94 Calcula el valor numérico de estos monomios y polinomios para los valores que se indican.

a) M (a, b, c ) = -7abc , a =2

3, b = -

3

5, c =

5

7 d) Q ( x ) = −5 x4 + 4 x3 + 50, x = −2

b) N ( x , y ) =3xy

8, x = 2, y = -2 e) R ( x ) =

1

9x3 +

1

6x2 -

3

2, x = 3

c) P ( x ) = -x3 - x2 + x - 4, x = -1

a) M2

3,−

3

5,

5

7

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −7 ⋅

2

3⋅ −

3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

5

7= 2 d) Q (−2) = −5 ⋅ (−2)4 + 4 ⋅ (−2)3 + 50 = −62

b) N (2,− 2) =3 ⋅2 ⋅ (−2)

8= −

3

2 e) R (3) =

1

9⋅33 +

1

6⋅32 −

3

2= 3

c) P (−1) = −(−1)3 − (−1)2 + (−1)− 4 = −5

95 Considera los polinomios: P ( x ) = -5 x3 - 2x2 + 7 Q ( x ) = -x3 + 4 x - 6 R ( x ) = 2x3 - x2 - x + 3Calcula:

a) -Q ( x ) + R ( x ) b) R ( x )- P ( x )- 3Q ( x ) c) P ( x )- [Q ( x )- 2R ( x )] d) P ( x )- 2 ◊ [Q ( x )- R ( x )]

a) −Q ( x ) + R ( x ) = − −x3 + 4 x − 6( ) + 2x3 − x2 − x + 3( ) = 3x3 − x2 −5 x + 9

b) R ( x )− P ( x )− 3Q ( x ) = 2x3 − x2 − x + 3( )− −5 x3 − 2x2 + 7( )− 3 ⋅ −x3 + 4 x − 6( ) = 10 x3 + x2 −13x +14

115



c) P ( x )− Q ( x )− 2R ( x )[ ] = −5 x3 − 2x2 + 7( )− −x3 + 4 x − 6( )− 2 ⋅ 2x3 − x2 − x + 3( )[ ] == −5 x3 − 2x2 + 7( )− −5 x3 + 2x2 + 6 x −12( ) = −4 x2 − 6 x + 19

d) P ( x )− 2 ⋅ Q ( x )− R ( x )[ ] = −5 x3 − 2x2 + 7( )− 2 ⋅ −x3 + 4 x − 6( )− 2x3 − x2 − x + 3( )[ ] == −5 x3 − 2x2 + 7( )− 2 ⋅ −3x3 + x2 + 5 x − 9( ) = x3 − 4 x2 −10 x + 25

96 Simplifica las siguientes expresiones algebraicas.

a) 3 ⋅ x3 −5 x2 + 2x + 1( )−5

2x ⋅ −6 x + 3( ) d) −7 ⋅ x3 − 2x2 −1( ) + 2x ⋅ x −1( ) ⋅ x + 1( )

b) −x3 + 2x2 −1( ) ⋅ −5 x2 − 3( ) e) −x + 2x ⋅ x − 3( ) ⋅ x + 2( )− 4 x2 ⋅ 2x −1( )

c) 6 ⋅ x − 3( ) ⋅ x + 2( ) ⋅ 2x −5( )

a) 3 ⋅ x3 −5 x2 + 2x + 1( )−5

2x ⋅ (−6 x + 3) = 3x3 −15 x2 + 6 x + 3 + 15 x2 −

15

2x = 3x3 −

3

2x + 3

b) −x3 + 2x2 −1( ) ⋅ −5 x2 − 3( ) = 5 x5 −10 x4 + 3x3 − x2 + 3

c) 6 ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x + 2) ⋅ (2x −5) = 12x3 − 42x2 − 42x + 180

d) −7 ⋅ x3 − 2x2 −1( ) + 2x ⋅ ( x −1) ⋅ ( x + 1) = −7 x3 + 14 x2 + 7 + 2x3 − 2x = −5 x3 + 14 x2 − 2x + 7

e) −x + 2x ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x + 2)− 4 x2 ⋅ (2x −1) = −x + 2x3 − 2x2 −12x − 8 x3 + 4 x2 = −6 x3 + 2x2 −13x

97 Saca factor común en estos polinomios.

a) P ( x ) = 3x5 -5 x4 - 2x2 c) R ( x , y ) = -6 x3 y3 + 2x2 y 4 + 4 x3 y2 - 8 x2 y2

b) Q ( x ) = -30 x7 + 10 x5

a) P ( x ) = x2 ⋅ 3x3 −5 x2 − 2( ) c) R ( x , y ) = 2x2 y2 ⋅ −3xy + y2 + 2x − 4( )

b) Q ( x ) = 10 x5 ⋅ −2x2 + 1( )

98 Halla el polinomio que determina el área, en decímetros cuadrados y en función de la longitud de la base, de un marco que se puede elaborar con un listón de madera que mide 2 m.

Si el listón mide 2 m, 20 dm, ese será el perímetro del marco.

Y 10 dm el semiperímetro.

Si llamamos x a la longitud de la base, en dm, la altura será: 10 − x

Entonces, el área vendrá dada por: A( x ) = x ⋅ (10− x )

99 Desarrolla aplicando las identidades notables.

a) 5 y + 2( )2 b) −a4 + 5b( )2 c) −x3 −5 x2( )2 d) −x − y5( ) ⋅ x − y5( )

a) 25 y2 + 10 2y + 2 b) a8 − 2 5a4 b + 5b2 c) x6 + 10 x5 + 25 x4 d) −x2 + y10


a) x +1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ x −

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− x −

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

c) 3 ⋅ 3x + 5( ) ⋅ 2x − 3( ) + x + 3( )2 ⋅ x − 3( )2

b) 2x + 2( )2 − x + 3( ) ⋅ 2x −1( )

a) x +1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ x −

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− x −

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= x2 −1

4− x2 − x +

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = x −

1

2

b) 2x + 2( )2 − ( x + 3) ⋅ (2x −1) = 4 x2 + 8 x + 4− 2x2 + 5 x − 3( ) = 2x2 + 3x + 7c) 3 ⋅ (3x + 5) ⋅ (2x − 3) + x + 3( )2 ⋅ x − 3( )2 = 3 ⋅ 6 x2 + x −15( ) + x4 −18 x2 + 81( ) = x4 + 3x + 36



101 Justifica si estos polinomios corresponden al desarrollo de alguna identidad notable. Indica cuál.

a) x6 + 10 x4 + 25 x2 b) x4 − 2x2 y + y2 c) 3− x4 d) x6

9−

x4

4

a) x6 + 10 x4 + 25 x2 = x3 + 5 x( )2 c) 3− x4 = 3 + x2( ) ⋅ 3 − x2( )

b) x4 − 2x2 y + y2 = x2 − y( )2 d) x6

9−

x4

4=

x3

3+

x2

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟⋅

x3

3−

x2

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

102 Calcula estas potencias de binomios.

a) x + 2( )6 b) x −1( )7 c) 3x + 5( )3 d) −3x + 1( )4 e) x2 + y( )5 f) x − y3( )4

a) x6 + 12x5 + 60 x4 + 160 x3 + 240 x2 + 192x + 64 d) 81x4 −108 x3 + 54 x2 −12x + 1

b) x7 −7 x6 + 21x5 − 35 x4 + 35 x3 − 21x2 + 7 x −1 e) x10 + 5 x8 y + 10 x6 y2 + 10 x4 y3 + 5 x2 y 4 + y5

c) 27 x3 + 135 x2 + 225 x + 125 f) x4 − 4 x3 y3 + 6 x2 y6 − 4 xy9 + y12

103 Fíjate en la remodelación proyectada para una plaza cuadrada. Determina la expresión algebraica que indica la superficie de la plaza después del ensanche en función de sus dimensiones actuales. Modifica el dibujo para que corresponda al cuadrado de una suma. ¿Coinciden ambas expresiones? Demuestra por qué.

Si llamamos x a la longitud actual de los lados de la plaza,en metros,

después del ensanche está será de: x + 30 metros.

Con esa longitud, la superficie de la plaza será: x + 30( )2 = x2 + 60 x + 900Para ver con el dibujo que la superficie de la plaza corresponde con el desarrollo del binomio basta con que se dibuje la plaza antigua en una esquina y se sumen los 30 m al mismo lado como en la demostración geométrica. La figura estará partida en la plaza antigua, un cuadrado de área x2 m2, otro cuadrado menor de área 900 m2 y dos rectángulos de 30x m2.

68 69

3 Actividades Finales 3Polinomios y fracciones algebraicas

Fracciones algebraicas. Operaciones

Comprueba si son equivalentes.

a) 3x2 + 7 x + 2

3x2 + x y

x + 2

x b)

x3 − 3x2

x2 − 2x − 3 y

x2

x + 1

Factoriza y simplifica.

a) 9 x2 + 6 x + 1

3x2 + x c)

−x3 + 5 x2 + x −5

x3 − 3x2 − 9 x −5

b) 1− x3

x2 −1 d)

−5 x4 + 25 x3 − 30 x2

5 x2 − 30 x + 45

Escribe estas fracciones con común denominador hallando el mínimo común múltiplo.

a) 2x + 1

x2 − 3x −10 y

5 x − 2

x2 − x − 6

b) x + 5

6 x2 + 12x y

2− 3x

9 x − 9 x2

Calcula y simplifica si es posible.

Resuelve.

a) x2 + x

x2 − 2x + 1⋅

x −1

x2

b) x2 − 9

x2 + 2x − 3:

x + 3

x2 − x

c) x4 −1

x4 + x2⋅

x4

x2 −1

d) 3x2 −12

2x + 1:

x4 −16

12x2 − 3

Calcula respetando la jerarquía.

a) 2

x:

x + 3

x⋅

x + 3

2

b) 2

x:

x + 3

x⋅

x + 3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

c) 2

x−

1

x −1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

1

x − 2+

x

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

d) 3

x⋅

x + 2

x −1+

2

x:

x −1

x + 1

123

124

125

126

a) 3x−4x2−x

−5x +1x2

b) 3x +2x−1

−2x2

x2−2x +1

c) x

x +4−

xx−4

+32

x2−16

d) x−12x−

x +22x +1−

5x−2

4 x2−1

127

128

Averigua si x = −1 y x = 1 son raíces de los siguientes polinomios.

Observa las operaciones que has realizado y describe una estrategia rápida para determinar si 1 o −1 son raíces de un polinomio.

Sea el polinomio:

P ( x ) = 2x3 + mx2 + nx + 2

a) Averigua los valores de m y n para que tenga como raíces x = 2 y x = −1.

b) ¿Tiene alguna otra raíz? ¿Cuál?

Considera el polinomio:

P ( x ) = 3x3 − 6 x2 + mx − 4

Calcula m para que sea divisible por x − 2.

Expresa estos polinomios de grado 2 como producto de factores, si es posible.

a) P ( x ) = 15 x2 + 11x + 2

b) Q ( x ) = -3x2 + 2x -7

c) R ( x ) = -4 x2 + 15 x - 9

d) S ( x ) = 3x2 -15 x - 42

Factoriza estos polinomios sacando factor común todo lo que sea posible y aplicando después las identidades notables.

a) P ( x ) = 50 x3 + 40 x2 + 8 x

b) Q ( x ) = 24 x5 -54 x3

c) R ( x ) =4

27x2 −

10

9x +

25

12

d) S ( x ) =125

9x3 -

5 x

4Factoriza al máximo los siguientes polinomios. ¿Cuáles son sus raíces?

a) P x( ) = x3 −5 x2 + 7 x − 3

b) Q x( ) = 5 x3 −7 x2 − 28 x + 12

c) R x( ) = −7 x6 − 42x5 − 21x4 + 70 x3

d) S x( ) = 5 x5 + 55 x4 + 205 x3 + 305 x2 + 150 x

Termina de factorizar estos polinomios.

a) P x( ) = 10 x2 − 3x −1( ) ⋅ 6 x2 + 5 x − 4( )

b) Q x( ) = x2 + 10 x + 25( ) ⋅ 18 x2 − 9 x − 2( )

c) R x( ) = 16 x4 − 81( ) ⋅ x2 + 2x − 3( )

d) S x( ) = x2 −9

25x

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ 9 x2 + 6 x + 1( )

116

117

118

119

120

121

122

Regla de Ruffini

Realiza estas divisiones aplicando la regla de Ruffini.

a) −2x2 −7 x + 3

x + 4 c)

3x4 −5 x2 −10

x − 2

b) 2x3 + 11x2 −10

x + 5 d)

x6 − 60

x + 2

Resuelve estos cocientes mediante la regla de Ruffini.

a) 25 + 10 x2 −15 x + 3x3( ) : x + 5( )

b) 3− x2( ) : x − 2( )

c) 3x + x4 + 2− x3( ) : 1+ x( )

d) −50 x + 20− 2x4( ) : 3 + x( )

Aplica la propiedad fundamental de la división y calcula el cociente y el resto.

a) 12x3 − 2x2 + 6( ) : 2x + 1( )

b) 4 x2 −5( ) : 2x − 3( )

c) 12x4 − 2x3 − 2( ) : 3x + 1( )

d) 4 x2 + x − 2( ) : 5 x − 2( )

Determina el valor de m para que el polinomio P ( x ) = 3x4 - 2x3 + m sea múltiplo de x + 1.

Calcula el valor de m para que el resto de la división −x4 + mx3 + 14( ) : x + 3( ) sea −4.

Calcula cuáles de estos números son raíces del polinomio P ( x ) = 5 x3 + 3x2 -12x + 4 utilizando la regla de Ruffini.

a) x = 2 d) x = 4

b) x = 1 e) x = −1

5

c) x = −2 f) x =2

5

Teorema del resto. Raícesde un polinomio. Factorización

Comprueba si x + 1 es un factor de los siguientes polinomios.

a) P ( x ) = 3x3 - 2x2 + x + 6

b) Q ( x ) = 3x5 + 3x4 - x3 - x2 + 5 x + 5

c) R ( x ) = 5 x4 -5 x3 - 3x2 + 5 x - 2

Determina cuánto tendría que valer m para que estas divisiones sean exactas.

a) 2x3 − x2 + mx − 6( ) : x − 3( )

b) 4 x3 + mx2 − x + 6( ) : x − 2( )

c) x4 −5 x2 + mx + 4( ) : x + 2( )

108

109

110

111

112

113

114

115

Justifica si estos polinomios corresponden al desarrollo de alguna identidad notable. Indica cuál.a) x6 + 10 x4 + 25 x2 c) 3− x4

b) x4 − 2x2 y + y2 d) x6

9−

x4

4

Calcula estas potencias de binomios.

a) x + 2( )6 c) 3x + 5( )3 e) x2 + y( )5

b) x −1( )7 d) −3x + 1( )4 f) x − y3( )4

Fíjate en la remodelación proyectada para una plaza cuadrada. Determina la expresión algebraica que indica la superficie de la plaza después del ensanche en función de sus dimensiones actuales.

101

102

107103

Modifica el dibujo para que corresponda al cuadrado de una suma. ¿Coinciden ambas expresiones? Demuestra por qué.

Calcula el cociente y el resto de estas divisiones.

a) 3x2 - 2/15 x + 1/3( ) : 5 x - 3( )

b) −14 x3 −13x2 + 4 x + 1( ) : 7 x + 3( )

c) 4 x3 −16 x2 + 10 x + 10( ) : 4 x2 − 6 x −5( )

d) −x6 + x2 + 3x − 4( ) : x2 + 2( )

Calcula el dividendo de una división sabiendo que el divisor es Q ( x ) = 3x2 + 2x -1; el cociente, C ( x ) = -4 x + 2/3, y el resto, R ( x ) = -4/3 x + 5/3.

Comprueba, sin realizar la división, que C ( x ) = x2 + x −1 y R ( x ) = -3x + 1 son el cociente y el resto de la división:

2x4 − x3 − 4 x2 + x

2x2 − 3x + 1

Dados los polinomios:

P ( x ) = -10 x4 + 3x3 + x2 -5 x

Q ( x ) = -2x3 + x2 -1a) Comprueba que el polinomio Q ( x ) no es divisor

de P ( x ) .

b) Modifica P ( x ) para que lo sea.

104

105

106

107

a) P (x ) =3x6 -4 x5 -7x3 +5x +3

b) Q (x ) =-5x4 -2x3 -4 x2-3x +4

c) R (x ) =2x5 -5x3 + x2 +3x-1

d) S (x ) =-5x4 + x3 +2x2-x +3

117



104 Calcula el cociente y el resto de estas divisiones.

a) 3x2 - 2/15 x + 1/3( ) : 5 x - 3( ) c) 4 x3 −16 x2 + 10 x + 10( ) : 4 x2 − 6 x −5( )

b) −14 x3 −13x2 + 4 x + 1( ) : 7 x + 3( ) d) −x6 + x2 + 3x − 4( ) : x2 + 2( )

a) C ( x ) =3

5x +

1

3, R ( x ) =

4

3 c) C ( x ) = x −

5

2, R ( x ) = −

5

2

b) C ( x ) = −2x2 − x + 1, R ( x ) = −2 d) C ( x ) = −x4 + 2x2 − 3 , R ( x ) = 3x + 2

105 Calcula el dividendo de una división sabiendo que el divisor es Q ( x ) = 3x2 + 2x -1; el cociente, C ( x ) = -4 x + 2/3, y el resto, R ( x ) = -4/3 x + 5/3.

Teniendo en cuenta que: P ( x ) = Q ( x ) ⋅C ( x ) + R ( x ) , el dividendo será:

P ( x ) = 3x2 + 2x −1( ) ⋅ −4 x + 2 3( ) + −4 3 x + 5 3( ) = −12x3 − 6 x2 + 4 x + 1

106 Comprueba, sin realizar la división, que C ( x ) = x2 + x −1 y R ( x ) = -3x + 1 son el cociente y el resto de la división:

2x4 − x3 − 4 x2 + x

2x2 − 3x + 1

Para comprobarlo calcularemos el dividendo aplicando: P ( x ) = Q ( x ) ⋅C ( x ) + R ( x )

P ( x ) = 2x2 − 3x + 1( ) ⋅ x2 + x −1( ) + (−3x + 1) = 2x4 − x3 − 4 x2 + x

107 Dados los polinomios:

P ( x ) = -10 x4 + 3x3 + x2 -5 x

Q ( x ) = -2x3 + x2 -1a) Comprueba que el polinomio Q ( x ) no es divisor de P ( x ).

b) Modifica P ( x ) para que lo sea.

a) Realizamos la división para averiguar si el resto es cero o no:

−10 x4 + 3x3 + x2 −5 x −2x3 + x2 −1

10 x4 −5 x3 + 5 x 5 x + 1

− 2x3 + x2

2x3 − x2 + 1

1

El resto es 1 y por tanto Q ( x ) no es divisor de P ( x ) .

b) Para que fuese divisor, habría que modificar el término independiente: P ( x ) = −10 x4 + 3x3 + x2 −5 x −1

108 Realiza estas divisiones aplicando la regla de Ruffini.

a) −2x2 −7 x + 3

x + 4 b)

2x3 + 11x2 −10

x + 5 c)

3x4 −5 x2 −10

x − 2 d)

x6 − 60

x + 2

a) C ( x ) = −2x + 1, R ( x ) = −1 c) C ( x ) = 3x3 + 6 x2 + 7 x + 14 , R ( x ) = 18

b) C ( x ) = 2x2 + x −5 , R ( x ) = 15 d) C ( x ) = x5 − 2x4 + 4 x3 − 8 x2 + 16 x − 32 , R ( x ) = 4

109 Resuelve estos cocientes mediante la regla de Ruffini.

a) 25 + 10 x2 −15 x + 3x3( ) : x + 5( ) c) 3x + x4 + 2− x3( ) : 1+ x( )

b) 3− x2( ) : x − 2( ) d) −50 x + 20− 2x4( ) : 3 + x( )

a) C ( x ) = 3x2 −5 x + 10, R ( x ) = −25 c) C ( x ) = x3 − 2x2 + 2x + 1,R ( x ) = 1

b) C ( x ) = −x − 2, R ( x ) = −1 d) C ( x ) = −2x3 + 6 x2 −18 x + 4, R ( x ) = 8



110 Aplica la propiedad fundamental de la división y calcula el cociente y el resto.

a) 12x3 − 2x2 + 6( ) : 2x + 1( ) c) 12x4 − 2x3 − 2( ) : 3x + 1( )

b) 4 x2 −5( ) : 2x − 3( ) d) 4 x2 + x − 2( ) : 5 x − 2( )

a) Dividiendo por 2: 6 x3 − x2 + 3( ) : x + 12( ) → C ( x ) = 6 x2 − 4 x + 2, R ( x ) = 2 ⋅2 = 4

b) Dividiendo por 2: 2x2 − 52( ) : x − 3

2( )→ C ( x ) = 2x + 3, R ( x ) = 2 ⋅2 = 4

c) Dividiendo por 3: 4 x4 −2

3x3 −

2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ : x +

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟→ C ( x ) = 4 x3 − 2x2 +

2

3x −

2

9,R ( x ) = −

16

27⋅3 = −

16

9

d) Dividiendo por 5: 4

5x2 +

1

5x −

2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ : x −

2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟→ C ( x ) =

4

5x +

13

25, R ( x ) =

24

125⋅5 =

24

25

111 Determina el valor de m para que el polinomio P ( x ) = 3x4 - 2x3 + m sea múltiplo de x + 1.

P(x) será múltiplo de x + 1 si el cociente es exacto, si el resto vale cero. 3 −2 0 0 m

−1 −3 5 −5 5

3 −5 5 −5 m + 5 m + 5 = 0 → m = −5

112 Calcula el valor de m para que el resto de la división −x4 + mx3 + 14( ) : x + 3( ) sea −4.

Realizamos la división aplicando la regla de Ruffini e igualamos el resto a −4:−1 m 0 0 14

−3 3 −2 6 −18

−1 m + 3 −2 6 −4 −3 ⋅ (m + 3) = −2 → m = −

7

3

113 Calcula cuáles de estos números son raíces del polinomio P ( x ) = 5 x3 + 3x2 -12x + 4 utilizando la regla de Ruffini.

a) x = 2 b) x = 1 c) x = −2 d) x = 4 e) x = −1

5 f) x =

2

5Serán raíces aquellos que tengan valor numérico nulo. Aplicando el teorema del resto, aquellos cuya división entre x − a tenga resto cero.

a) P (2) = 32 ≠ 0 → No es raíz. d) P (4 ) = 324 ≠ 0 → No es raíz.5 3 −12 4

2 10 26 28

5 13 14 32

5 3 −12 4

4 20 92 320

5 23 80 324

b) P (1) = 0 → Es raíz. e) P −1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

44

25≠ 0 → No es raíz.

5 3 −12 4

15 1

4

5−

56

25

5 4 −56

5

44

25

c) P (−2) = 56 ≠ 0 → No es raíz. f) P2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 0 → Es raíz.

5 3 −12 4

25 2 2 −4

5 5 −10 0

5 3 −12 4

1 5 8 −4

5 8 −4 0

5 3 −12 4

−2 −10 −14 52

5 7 −26 56

119



114 Comprueba si x + 1 es un factor de los siguientes polinomios.

a) P ( x ) = 3x3 - 2x2 + x + 6 c) R ( x ) = 5 x4 -5 x3 - 3x2 + 5 x - 2

b) Q ( x ) = 3x5 + 3x4 - x3 - x2 + 5 x + 5

x + 1 es factor de un polinomio si la división es exacta. Comprobamos el resto aplicando el teorema del resto:

a) Es factor, ya que el resto es cero: P (−1) = 3 ⋅ −1( )3 − 2 ⋅ −1( )2 + (−1) + 6 = 0

b) Es factor, ya que el resto es cero: Q (−1) = 3 ⋅ (−1)5 + 3 ⋅ (−1)4 − (−1)3 − (−1)2 + 5 ⋅ (−1) + 5 = 0c) Es factor, ya que el resto es cero: R (−1) = 5 ⋅ (−1)4 −5 ⋅ (−1)3 − 3 ⋅ (−1)2 + 5 ⋅ (−1)− 2 = 0

115 Determina cuánto tendría que valer m para que estas divisiones sean exactas.

a) 2x3 − x2 + mx − 6( ) : x − 3( ) b) 4 x3 + mx2 − x + 6( ) : x − 2( ) c) x4 −5 x2 + mx + 4( ) : x + 2( )

Aplicamos el teorema del resto e igualamos a cero el valor numérico para a.

a) P (3) = 0 → 2 ⋅33 − 32 + m ⋅3− 6 = 0 → m = −13

b) Q (2) = 0 → 4 ⋅23 + m ⋅22 − 2 + 6 = 0 → m = −9

c) R (−2) = 0 → −2( )4 −5 ⋅ −2( )2 + m ⋅ (−2) + 4 = 0 → m = 0

116 Averigua si x = −1 y x = 1 son raíces de los siguientes polinomios:

a) P (x ) =3x6 -4 x5 -7x3 +5x +3

b) Q (x ) =-5x4 -2x3 -4 x2-3x +4

c) R (x ) =2x5 -5x3 + x2 +3x-1

d) S (x ) =-5x4 + x3 +2x2-x +3

Observa las operaciones que has realizado y describe una estrategia rápida para determinar si 1 o −1 son raíces de un polinomio.

Aplicamos el teorema del resto, calculamos el valor numérico para 1 y −1 y comprobamos si es cero:

a) P (1) = 3 ⋅16 − 4 ⋅15 −7 ⋅13 + 5 ⋅1+ 3 = 3− 4−7 + 5 + 3 = 0 → Sí es raíz.

P (−1) = 3 ⋅ (−1)6 − 4 ⋅ (−1)5 −7 ⋅ (−1)3 + 5 ⋅ (−1) + 3 = 3 + 4 + 7−5 + 3 = 12 → No es raíz.

b) Q (1) = −5 ⋅14 − 2 ⋅13 − 4 ⋅12 − 3 ⋅1+ 4 = −5− 2− 4− 3 + 4 = −10 → No es raíz.

Q (−1) = −5 ⋅ (−1)4 − 2 ⋅ (−1)3 − 4 ⋅ (−1)2 − 3 ⋅ (−1) + 4 = −5 + 2− 4 + 3 + 4 = 0 → Sí es raíz.

c) R (1) = 2 ⋅15 −5 ⋅13 + 12 + 3 ⋅1−1 = 2−5 + 1+ 3−1 = 0 → Sí es raíz.

R (−1) = 2 ⋅ (−1)5 −5 ⋅ (−1)3 + (−1)2 + 3 ⋅ (−1)−1 = −2 + 5 + 1− 3−1 = 0 → Sí es raíz.

d) S (1) = −5 ⋅14 + 13 + 2 ⋅12 −1+ 3 = −5 + 1+ 2−1+ 3 = 0 → Sí es raíz.

S (−1) = −5 ⋅ (−1)4 + (−1)3 + 2 ⋅ (−1)2 − (−1) + 3 = −5−1+ 2−1+ 3 = −2 → No es raíz.

Se observa que si x = 1 es raíz, la suma de los coeficientes del polinomio es cero.

Si x = −1 es raíz, la diferencia entre la suma de los coeficientes de términos de grado impar y la suma de los coeficientes de los términos de grado par, es cero.

117 Sea el polinomio: P ( x ) = 2x3 + mx2 + nx + 2a) Averigua los valores de m y n para que tenga como raíces x = 2 y x = −1.

b) ¿Tiene alguna otra raíz? ¿Cuál?

a) Serán raíces si sus valores numéricos valen cero:

P (2) = 0 → 2 ⋅23 + m ⋅22 + n ⋅2 + 2 = 0 → 4m + 2n = −18

P (−1) = 0 → 2 ⋅ −1( )3 + m ⋅ −1( )2 + n ⋅ (−1) + 2 = 0 → m− n = 0

Resolvemos el sistema obtenido: 2m + n = −9

m− n = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ m = n = −3

b) Factorizamos el polinomio aplicando la regla de Ruffini para x = 2 y x = −1.

P ( x ) = ( x + 1) ⋅ ( x − 2) ⋅ (2x −1) Tiene una tercera raíz: x =1

2



118 Considera el polinomio: P ( x ) = 3x3 − 6 x2 + mx − 4. Calcula m para que sea divisible por x − 2.

La división debería ser exacta, por el teorema del resto, P (2) = 0 : 3 ⋅23 − 6 ⋅22 + m ⋅2− 4 = 0 → m = 2

119 Expresa estos polinomios de grado 2 como producto de factores, si es posible.

a) P ( x ) = 15 x2 + 11x + 2 c) R ( x ) = -4 x2 + 15 x - 9

b) Q ( x ) = -3x2 + 2x -7 d) S ( x ) = 3x2 -15 x - 42

Buscamos las raíces del polinomio hallando las soluciones de la ecuación de segundo grado asociada:

a) 15 x2 + 11x + 2 = 0 → x =−11± 121−120

30→

x1 = −1

3→ 3x + 1

x2 = −2

5→ 5 x + 2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

→ P ( x ) = (3x + 1) ⋅ (5 x + 2)

b) −3x2 + 2x −7 = 0 → x =−2 ± 4− 84

−6=

2 ± −80

6 → No tiene raíces reales, no se puede factorizar.

c) −4 x2 + 15 x − 9 = 0 → x =−15 ± 225−144

−8→

x1 =3

4→ 4 x − 3

x2 = 3 → x − 3

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

→ R ( x ) = (−1) ⋅ (4 x − 3) ⋅ ( x − 3)

d) 3x2 −15 x − 42 = 0 → x =15 ± 225 + 504

6→

x1 = 7 → x −7

x2 = −2 → x + 2

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪→ S ( x ) = 3 ⋅ ( x −7) ⋅ ( x + 2)

120 Factoriza estos polinomios sacando factor común todo lo que sea posible y aplicando después las identidades notables.

a) P ( x ) = 50 x3 + 40 x2 + 8 x c) R ( x ) =4

27x2 −

10

9x +

25

12

b) Q ( x ) = 24 x5 -54 x3 d) S ( x ) =125

9x3 -

5 x

4

a) P ( x ) = 2x ⋅ 25 x2 + 20 x + 4( ) = 2x ⋅ 5 x + 2( )2 c) R ( x ) =1

3⋅

4

9x2 −

10

3x +

25

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

1

3⋅

2

3x −

5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

b) Q ( x ) = 6 x3 ⋅ 4 x2 − 9( ) = 6 x3 ⋅ (2x + 3) ⋅ (2x − 3) d) S ( x ) = 5 x ⋅25

9x2 −

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 5 x ⋅

5

3x +

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

5

3x −

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

121 Factoriza al máximo los siguientes polinomios. ¿Cuáles son sus raíces?

a) P x( ) = x3 −5 x2 + 7 x − 3 c) R x( ) = −7 x6 − 42x5 − 21x4 + 70 x3

b) Q x( ) = 5 x3 −7 x2 − 28 x + 12 d) S x( ) = 5 x5 + 55 x4 + 205 x3 + 305 x2 + 150 x

a) P ( x ) = x −1( )2 ⋅ ( x − 3) → Raíces: 1 (doble), 3

b) Q ( x ) = ( x + 2) ⋅ (5 x − 2) ⋅ ( x − 3) → Raíces: −2, 2

5, 3

c) R ( x ) = −7 x3 ⋅ ( x + 5) ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x −1) → Raíces: 0 (triple), −5, −2, 1

d) S ( x ) = x ⋅ ( x + 5) ⋅ ( x + 3) ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x + 1) → Raíces: 0, −5, −3, −2, −1

122 Termina de factorizar estos polinomios.

a) P x( ) = 10 x2 − 3x −1( ) ⋅ 6 x2 + 5 x − 4( ) c) R x( ) = 16 x4 − 81( ) ⋅ x2 + 2x − 3( )

b) Q x( ) = x2 + 10 x + 25( ) ⋅ 18 x2 − 9 x − 2( ) d) S x( ) = x2 −9

25x

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ 9 x2 + 6 x + 1( )

a) P ( x ) = (2x −1) ⋅ (5 x + 1) ⋅ (2x −1) ⋅ (3x + 4) = (5 x + 1) ⋅ 2x −1( )2 ⋅ (3x + 4)

b) Q ( x ) = x + 5( )2 ⋅ (3x − 2) ⋅ (6 x + 1)

c) R ( x ) = (4 x + 9) ⋅ (4 x − 9)[ ] ⋅ ( x + 3) ⋅ ( x −1)[ ]

d) S ( x ) = x ⋅ x −9

25

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ 3x + 1( )2

121



123 Comprueba si son equivalentes.

a) 3x2 + 7 x + 2

3x2 + x y

x + 2

x b)

x3 − 3x2

x2 − 2x − 3 y

x2

x + 1Multiplicamos en cruz y comprobamos si los productos son iguales.

a) Son equivalentes puesto que:

3x2 + 7 x + 2( ) ⋅ x = 3x3 + 7 x2 + 2x 3x2 + x( ) ⋅ ( x + 2) = 3x3 + 7 x2 + 2x

b) Son equivalentes puesto que:

x3 − 3x2( ) ⋅ ( x + 1) = x4 − 2x3 − 3x2 x2 − 2x − 3( ) ⋅ x2 = x4 − 2x3 − 3x2

124 Factoriza y simplifica.

a) 9 x2 + 6 x + 1

3x2 + x b)

1− x3

x2 −1 c)

−x3 + 5 x2 + x −5

x3 − 3x2 − 9 x −5 d)

−5 x4 + 25 x3 − 30 x2

5 x2 − 30 x + 45

a) 9 x2 + 6 x + 1

3x2 + x=

(3x + 1) ⋅ 3x + 1( )

x ⋅ 3x + 1( )=

3x + 1

x c)

−x3 + 5 x2 + x −5

x3 − 3x2 − 9 x −5=

( x + 1) ⋅ ( x −1) ⋅ ( x −5)

( x + 1) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x −5)=

x −1

x + 1

b) 1− x3

x2 −1=−x2 − x −1( ) ⋅ ( x −1)

( x + 1) ⋅ ( x −1)=−x2 − x −1

x + 1 d)

−5 x4 + 25 x3 − 30 x2

5 x2 − 30 x + 45=−x2 ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x − 3)

( x − 3) ⋅ ( x − 3)=−x3 + 2x2

x − 3

125 Escribe estas fracciones con común denominador hallando el mínimo común múltiplo.

a) 2x + 1

x2 − 3x −10 y

5 x − 2

x2 − x − 6 b)

x + 5

6 x2 + 12x y

2− 3x

9 x − 9 x2

a) Hallamos el mínimo común múltiplo:

x2 − 3x −10 = ( x + 2) ⋅ ( x −5)

x2 − x − 6 = ( x + 2) ⋅ ( x − 3)

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ m.c.m. x2 − 3x −10, x2 − x − 6( ) = ( x + 2) ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x −5) = x3 − 6 x2 − x + 30


(2x + 1) ⋅ ( x − 3)

( x + 2) ⋅ ( x −5) ⋅ ( x − 3)=

2x2 −5 x − 3

x3 − 6 x2 − x + 30

(5 x − 2) ⋅ ( x −5)

( x + 2) ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x −5)=

5 x2 − 27 x + 10

x3 − 6 x2 − x + 30

b) Hallamos el mínimo común múltiplo:

6 x2 + 12x = 2 ⋅3 ⋅ x ⋅ ( x + 2)

9 x − 9 x2 = 3 ⋅3 ⋅ x ⋅ (1− x )

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ m.c.m. 6 x2 + 12x , 9 x − 9 x2( ) = 2 ⋅3 ⋅3 ⋅ x ⋅ ( x + 2) ⋅ (1− x ) = −18 x3 −18 x2 + 36 x


( x + 5) ⋅3 ⋅ (1− x )

2 ⋅3 ⋅3 ⋅ x ⋅ ( x + 2) ⋅ (1− x )=−3x2 −12x + 15

−18 x3 −18 x2 + 36 x

(2− 3x ) ⋅2 ⋅ ( x + 2)

2 ⋅3 ⋅3 ⋅ x ⋅ ( x + 2) ⋅ (1− x )=

−6 x2 − 8 x + 8

−18 x3 −18 x2 + 36 x

126 Calcula y simplifica si es posible.

a) 3x−4x2−x

−5x +1x2

b) 3x +2x−1

−2x2

x2−2x +1

c) x

x +4−

xx−4

+32

x2−16

d) x−12x−

x +22x +1−

5x−2

4 x2−1



a) 3x − 4

x2 − x−

5 x + 1

x2=

(3x − 4) ⋅ x

x2 ⋅ ( x −1)−

(5 x + 1) ⋅ ( x −1)

x2 ⋅ ( x −1)=

3x2 − 4 x( )− 5 x2 − 4 x −1( )

x2 ⋅ ( x −1)=−2x2 + 1

x2 ⋅ ( x −1)=−2x2 + 1

x3 − x2

b) 3x + 2

x −1−

2x2

x2 − 2x + 1=

(3x + 2) ⋅ ( x −1)

x −1( )2−

2x2

x −1( )2=

3x2 − x − 2( )− 2x2

x −1( )2=

x2 − x − 2

x −1( )2=

x2 − x − 2

x2 − 2x + 1

c) x −1

2x−

x + 2

2x + 1−

5 x − 2

4 x2 −1=

( x −1) ⋅ (2x + 1) ⋅ (2x −1)

2x ⋅ (2x + 1) ⋅ (2x −1)−

( x + 2) ⋅2x ⋅ (2x −1)

2x ⋅ (2x + 1) ⋅ (2x −1)−

(5 x − 2) ⋅2x

2x ⋅ (2x + 1) ⋅ (2x −1)=

=4 x3 − 4 x2 − x + 1( )− 4 x3 + 6 x2 − 4 x( )− 10 x2 − 4 x( )

2x ⋅ (2x + 1) ⋅ (2x −1)=−20 x2 + 7 x + 1

8 x3 − 2x

d) x

x + 4−

x

x − 4+

32

x2 −16=

x ⋅ ( x − 4)

( x + 4) ⋅ ( x − 4)−

x ⋅ ( x + 4)

( x + 4) ⋅ ( x − 4)+

32

( x + 4) ⋅ ( x − 4)=

=x2 − 4 x( )− x2 + 4 x( ) + 32

( x + 4) ⋅ ( x − 4)=

−8 x + 32

( x + 4) ⋅ ( x − 4)=−8 ⋅ ( x − 4)

( x + 4) ⋅ ( x − 4)=−8

x + 4

127 Resuelve.

a) x2 + x

x2 − 2x + 1⋅

x −1

x2 c)

x4 −1

x4 + x2⋅

x4

x2 −1

b) x2 − 9

x2 + 2x − 3:

x + 3

x2 − x d)

3x2 −12

2x + 1:

x4 −16

12x2 − 3

a) x ⋅ ( x + 1)

x −1( )2⋅

x −1

x2=

x ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x −1)

( x −1) ⋅ ( x −1) ⋅ x ⋅ x=

x + 1

x2 − x

b) ( x + 3) ⋅ ( x − 3)

( x + 3) ⋅ ( x −1):

x + 3

x ⋅ ( x −1)=

( x + 3) ⋅ ( x − 3) ⋅ x ⋅ x −1( )( x + 3) ⋅ ( x −1) ⋅ ( x + 3)

=x2 − 3x

x + 3

c) x2 + 1( ) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x −1)

x2 ⋅ x2 + 1( )⋅

x4

( x + 1) ⋅ ( x −1)=

x2 + 1( ) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x −1) ⋅ x2 ⋅ x2

x2 ⋅ x2 + 1( ) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x −1)= x2

d) 3 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 2)

2x + 1:

x2 + 4( ) ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 2)

3 ⋅ (2x + 1) ⋅ (2x −1)=

3 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 2) ⋅3 ⋅ 2x + 1( ) ⋅ (2x −1)

2x + 1( ) ⋅ x2 + 4( ) ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 2)=

18 x − 9

x2 + 4

128 Calcula respetando la jerarquía.

a) 2

x:

x + 3

x⋅

x + 3

2 c)

2

x−

1

x −1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

1

x − 2+

x

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) 2

x:

x + 3

x⋅

x + 3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ d)

3

x⋅

x + 2

x −1+

2

x:

x −1

x + 1

a) 2

x:

x + 3

x⋅

x + 3

2=

2 ⋅ x ⋅ ( x + 3)

x ⋅ ( x + 3) ⋅2= 1

b) 2

x:

x + 3

x⋅

x + 3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

2

x:

( x + 3) ⋅ ( x + 3)

x ⋅2=

2 ⋅ x ⋅2

x ⋅ ( x + 3) ⋅ ( x + 3)=

4

x2 + 6 x + 9

c) 2

x−

1

x −1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

1

x − 2+

x

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

2 ⋅ ( x −1)− x

x ⋅ ( x −1)

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

2 + x ⋅ ( x − 2)

2 ⋅ ( x − 2)

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

( x − 2) ⋅ x2 − 2x + 2( )

x ⋅ ( x −1) ⋅2 ⋅ ( x − 2)=

x2 − 2x + 2

2x2 − 2x

d) 3

x⋅

x + 2

x −1+

2

x:

x −1

x + 1=

3 ⋅ ( x + 2)

x ⋅ ( x −1)+

2 ⋅ ( x + 1)

x ⋅ ( x −1)=

5 x + 8

x2 − x

123



Sugerencias didácticasEn esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación adaptada de la realidad, el cálculo del presupuesto de una ventana, en la que intervienen los polinomios y fracciones algebraicas.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las competen-cias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Comunica, Resuelve, Piensa y razona, Representa, Utiliza el lenguaje matemático, Modeliza, Utiliza las TIC o Argumenta.

Para finalizar la sección se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Cooperación guiada o estructurada, de O’Donnell y Dansereau.

Los alumnos elaborarán una expresión algebraica que calcule el precio de un envase concreto según sus dimensiones y el material del que esté hecho. Con ayuda de una tabla y de una gráfica, podrán indicar qué tipo de envase es el más económico.

¿Cómo se realizará la tarea? Los alumnos se agruparán por parejas y leerán parte del texto. Uno de los alumnos de la pareja repetirá la información sin ayuda del texto para comprobar que lo ha comprendido. El otro alumno le comentará lo que piensa sin ayuda del texto. Continuarán leyendo el resto del texto e intercambiarán los roles.

Soluciones de las actividadesEn el taller de Óscar se fabrican ventanas de aluminio de todo tipo. Para elaborar un ventanal rectangular fijo, se necesitan dos tipos de aluminio, uno más resis-tente para los tramos verticales y otro menos resistente para los tramos horizontales. Además, hay que elegir el tipo de cristal que se desea poner.

Matemáticas vivas. El precio de una ventana

3 MATEMÁTICAS VIVAS

70 71

3El precio de una ventana

En el taller de Óscar se fabrican ventanas de aluminio de todo tipo. Para elaborar un ventanal rectangular fijo, se necesitan dos tipos de aluminio, uno más resistente para los tramos verticales y otro menos resistente para los tramos horizontales. Además, hay que elegir el tipo de cristal que se desea poner.

COMPRENDE

Fíjate en los precios de los dos tipos de aluminio y en el de los cristales.

a. ¿De qué depende el precio de la ventana? ¿Qué datos necesitas conocer?

b. Calcula cuánto costaría un ventanal que midiese 120 cm de ancho por 150 cmde alto con cristal simple. Explica cómo lo haces.

c. ¿Y si midiese 150 cm de ancho y 120 cm de alto? ¿Tendría la misma superficie?

d. ¿Qué es más barato: una ventana más larga o una más alta?

1

COMUNICA

RESUELVE

PIENSA Y RAZONA

RELACIONA

Encuentra una fórmula que permita calcular los precios del ventanal variando las dimensiones.

a. ¿Cuántas variables necesitas incluir en la expresión? Defínelas. Haz un esquema del ventanal con sus dimensiones y di lo que necesitas medir.

b. Escribe un polinomio que permita calcular el precio del marco. ¿Qué grado tiene?

c. Escribe un monomio que permita calcular la superficie del cristal. Modifícalo para que te dé el precio si se encarga cristal doble. ¿De qué grado es? ¿Por qué?

d. Utiliza las dos expresiones anteriores para encontrar un polinomio que permita calcular el precio de un ventanal con cristal doble dependiendo de las dimensiones.

e. Elabora una hoja de cálculo que determine los precios al introducir las dimensiones. Escribe el largo y el ancho en las dos primeras columnas para hallar el valor numérico del polinomio en la tercera.

2

REPRESENTA

MODELIZA

UTILIZA LAS TIC

REFLEXIONA

Ruth está reformando su casa y quiere colocar en el salón un gran ventanal con aislamiento acústico que ilumine la estancia y que ocupe una superficie de 3 m2. Ha pedido presupuesto y le han dicho que el precio dependerá de las dimensiones de su ventana.

a. Si la superficie de la ventana está fijada, ¿qué relación hay entre el alto y el ancho? Tantea con varios valores y escribe una fórmula que relacione ambas medidas.

b. A partir de la fórmula anterior consigue una expresión algebraica que diga cómo se calcula la altura del ventanal si conocemos la anchura.

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

c. Reescribe el polinomio anterior que calculaba el precio de la ventana y adáptalo a las nuevas condiciones y al precio del tipo de cristal. Sustituye la altura por la fórmula que la relaciona con la anchura. ¿Cuántas variables necesitas ahora? ¿Es un polinomio?

d. Reduce la expresión a una única fracción.

e. Ruth tiene pensado abrir un hueco en la pared de entre 1,5 m y 2,5 m de ancho. Con la ayuda de una hoja de cálculo y la expresión anterior calcula el precio de distintas opciones.

f. Representa gráficamente los datos obtenidos en la tabla.

g. Observa las posibilidades y elige una buena opción. ¿Cuáles te parecen mejores? ¿En qué te has fijado?

3

RESUELVE

MODELIZA

UTILIZA LAS TIC

REPRESENTA

ARGUMENTA

TRABAJO

COOPERATIVO

TAREAObservad este folleto de un taller que fabrica envases para líquidos. Todos los envases son prismas rectos de base cuadrada y tienen una capacidad de 1 L. Elaborad una expresión algebraica que permita calcular el precio del envase teniendo en cuenta lo que cuestan los materiales y dependiendo de cómo varía el lado de la base.

Organizad en una tabla los distintos valores de la expresión y, con ayuda de una gráfica, decidid cuál parece el envase más barato.

Escribe un monomio que permita calcular la superficie del cristal. Modifícalo para que te dé el precio si se

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO



Comprende

1 Fíjate en los precios de los dos tipos de aluminio y en el de los cristales.

a) ¿De qué depende el precio de la ventana? ¿Qué datos necesitas conocer?

b) Calcula cuánto costaría un ventanal que midiese 120 cm de ancho por 150 cm de alto con cristal simple. Explica cómo lo haces.

c) ¿Y si midiese 150 cm de largo y 120 cm de ancho? ¿Tendría la misma superficie?

d) ¿Qué es más barato: una ventana más larga o una más alta?

a) El precio de la ventana depende de las dimensiones de la ventana, el largo y el ancho, y del tipo de cristal que se utilice. Necesitamos conocer esas dimensiones, en metros, así como los metros cuadrados necesarios del tipo de cristal elegido.

b) Los precios de cada tipo de perfil de aluminio vienen dados en metros. Transformamos las medidas, dadas en centímetros, en metros y calculamos el precio de cada clase dependiendo de la longitud necesaria. Hay que tener en cuenta que la ventana tiene dos tramos verticales y dos horizontales:

Ancho (18 €/m) → 120 cm = 1,2 m, precio: (2 ⋅1,2) ⋅18 = 43,20 €

Alto (30 €/m) → 150 cm = 1,5 m, precio: (2 ⋅1,5) ⋅30 = 90 €

El precio del cristal viene dado en metros cuadrados. Determinamos la superficie del vano de la ventana y con esa medida se calcula el precio del cristal dependiendo del tipo de cristal:

Cristal → Simple (100 € /m2), precio: (1,2 ⋅1,5) ⋅100 = 180 €

El precio total sería la suma de estas tres partes: 43,20 + 90 + 180 = 313,20 €.

c) Si la ventana estuviese dispuesta al revés la superficie sería la misma pero el precio del aluminio variaría por ser más baja:

Ancho (18 €/m) → 150 cm = 1,5 m, precio: (2 ⋅1,5) ⋅18 = 54 €

Alto (30 €/m) → 120 cm = 1,2 m, precio: (2 ⋅1,2) ⋅30 = 72 €

El precio total sería: 54 + 72 + 180 = 306 €

d) Con las mismas medidas, es más barata una ventana si es más larga que alta y no al revés pues los tramos verticales, que son más caros, serían más cortos aunque el horizontal sea más largo.

Relaciona

2 Encuentra una fórmula que permita calcular los precios del ventanal variando las dimensiones.

a) ¿Cuántas variables necesitas incluir en la expresión? Defínelas. Haz un esquema del ventanal con sus dimensiones y di lo que necesitas medir.

b) Escribe un polinomio que permita calcular el precio del marco. ¿Qué grado tiene?

c) Escribe un monomio que permita calcular la superficie del cristal. Modifícalo para que te dé el precio si se encarga cristal doble. ¿De qué grado es? ¿Por qué?

d) Utiliza las dos expresiones anteriores para encontrar un polinomio que permita calcular el precio de un ventanal con cristal doble dependiendo de las dimensiones.

e) Elabora una hoja de cálculo que determine los precios al introducir las dimensiones. Escribe el largo y el ancho en las dos primeras columnas para hallar el valor numérico del polinomio en la tercera.

a) En una fórmula que determinase el precio total del ventanal habría que incluir dos variables: el largo y el ancho.

b = ancho de la ventana (metros) a = alto de la ventana (metros)

Comprobar que los alumnos han dibujado un rectángulo como el de la ilustración, aunque sea más esquemático, situando en el alto y el ancho, así como los datos de los precios para cada tramo. En el interior del rectángulo podrán incluir la fórmula de la superficie dependiendo de a y b: a ⋅ b

b) Para calcular el precio del marco utilizamos el siguiente polinomio de primer grado:

Q (a,b ) = 2 ⋅30 ⋅ a + 2 ⋅18 ⋅ b = 60a + 36b

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c) Como tenemos que multiplicar base por altura, la superficie del cristal viene dado por un monomio de grado dos: M (a,b ) = a ⋅ b

Si elegimos el cristal doble, el precio sería: Q (a,b ) = 160 ⋅ a ⋅ bd) Fijándonos en las expresiones anteriores, el precio total del ventanal es la suma de ambas:

P (a,b ) = Q (a,b ) + S (a,b ) = (60a + 36b ) + (160ab ) = 160ab + 60a + 36b

e) La tabla elaborada con la hoja de cálculo quedaría:

Podrían poner cualquier pareja de datos e ir viendo cómo varían los precios.

Reflexiona

3 Ruth está reformando su casa y quiere colocar en el salón un gran ventanal con aislamiento acústico que ilumine la estancia y que ocupe una superficie de 3 m2. Ha pedido presupuesto y le han dicho que el precio dependerá de las dimensiones de su ventana.

a) Si la superficie de la ventana está fijada, ¿qué relación hay entre el largo y el ancho? Tantea con varios valores y escribe una fórmula que relacione ambas medidas.

b) A partir de la fórmula anterior consigue una expresión algebraica que diga cómo se calcula la altura del ventanal si conoce-mos la anchura.

c) Reescribe el polinomio anterior que calculaba el precio de la ventana y adáptalo a las nuevas condiciones y al precio del tipo de cristal. Sustituye la altura por la fórmula que la relaciona con la anchura. ¿Cuántas variables necesitas ahora? ¿Es un po-linomio?

d) Reduce la expresión a una única fracción.

e) Ruth tiene pensado abrir un hueco en la pared de entre 1,5 m y 2,5 m de largo. Con la ayuda de una hoja de cálculo y la expresión anterior calcula el precio de distintas opciones.

f) Representa gráficamente los datos obtenidos en la tabla.

g) Observa las posibilidades y elige una buena opción. ¿Cuáles te parecen mejores? ¿En qué te has fijado?

a) Si la superficie ya está fijada en 3 m2 la relación entre el ancho y el alto es: a ⋅ b = 3

b) Si conocemos el ancho, b, la altura viene dada por la expresión: a =3

bc) Al sustituir el alto por la expresión anterior y el precio del cristal por el del que tiene aislamiento acústico el precio total viene

dado por:

P (b ) = 220 ⋅3

b⋅ b + 60 ⋅

3

b+ 36b = 660 + 60 ⋅

3

b+ 36b

Es una expresión algebraica que solo depende de una variable y que no es un polinomio porque aparece un cociente.

d) Reduciendo a común denominador y sumando:

P (b ) =660b

b+

180

b+

36b2

b=

660b + 180 + 36b2

b=

36b2 + 660b + 180

b

e) La tabla realizada con la hoja de cálculo quedaría:



f) Si le pedimos a GeoGebra que represente los datos obtenidos, con el ancho en el eje de abscisas y el precio total en el de ordenadas, obtenemos la siguiente gráfica:

g) Las mejores opciones teniendo en cuenta los precios y las dimensiones son entre 2 y 2,5 metros de ancho. Para que la ven-tana no quede muy estrecha la mejor opción sería 2 metros de ancho que corresponde con 1,5 metros de alto.

Trabajo cooperativo

Los alumnos deben trabajar con las fórmulas del área del cuadrado para las bases y de los rectángulos para las caras laterales. Se obtiene la expresión:

Área de las bases → 2 ⋅ x2

Área de las cuatro caras laterales → 4 ⋅ x ⋅hComo el envase es de 1 litro = 1 dm3 = 0,001 m3 siendo h la altura y si tomamos como variable x, longitud del lado de la base (metros):

x2 ⋅h = 0,001→ h =0,001

x2

Así se obtienen los precios:

Precio de las dos bases → 80 ⋅ 2x2( ) = 16 x2

Precio de las cuatro caras laterales → 60 ⋅ 4 ⋅ x ⋅0,001

x2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

0,24

x

Precio total → 16 x2 +0,24

x=

16 x3 + 0,24

xDeberían realizar una tabla con esta expresión y representar los puntos obtenidos para determinar el envase con el precio más barato.

TAREAObservad este folleto de un taller que fabrica envases para líquidos. Todos los envases son prismas rectos de base cuadrada y tienen una capacidad de 1 L. Elaborad una expresión algebraica que permita calcular el precio del envase teniendo en cuenta lo que cuestan los materiales y dependiendo de cómo varía el lado de la base.

Organizad en una tabla los distintos valores de la expresión y, con ayuda de una gráfica, decidid cuál parece el envase más barato.

127



a) −2xy ⋅ ( y + x )

y + x( )2=−2xy

y + x b)

x2 + 2( ) ⋅ 4 x3 + 3 y( )

4 x3 + 3 y( ) ⋅ 4 x3 − 3 y( )=

x2 + 2

4 x3 − 3 y

Cálculo mental. Estrategia para multiplicar dos binomiosSugerencias didácticasPara finalizar la unidad se trabaja una estrategia de cálculo mental para calcular productos de binomios sencillos prestando atención a las operaciones que se realizan con los coeficientes y sistematizándolas.


CM1. Calcula mentalmente estos productos.

a) ( x - 3) ◊ ( x -7) c) ( x - 4) ◊ ( x + 1) e) ( x + 4) ◊ ( x + 3)

b) ( x -1) ◊ ( x - 9) d) ( x + 3) ◊ ( x - 2) f) ( x + 1) ◊ ( x + 2)

a) x 2 − (3 + 7) x + 3 ⋅ 7 = x 2 − 10x + 21 d) x 2 − (−3 + 2) x + (−3) ⋅ 2 = x 2 + x − 6

b) x 2 − (1 + 9) x + 1 ⋅ 9 = x 2 − 10x + 9 e ) x 2 − (−4 − 3) x + (−4) ⋅ (−3) = x 2 + 7x + 12

c) x 2 − (4 − 1) x + 4 ⋅ (−1) = x 2 − 3x − 4 f ) x 2 − (−1 − 2) x + (−1) ⋅ (−2) = x 2 + 3x + 2

CM2. Revisa el método anterior y modifícalo para calcular mentalmente estos productos.

a) (2x - 3) ◊ ( x -1) c) (5 x + 1) ◊ ( x - 3)

b) ( x -1) ◊ (3x + 2) d) (3x + 1) ◊ ( x + 3)

a) (2x − 3) ⋅ ( x −1) = (2 ⋅1) ⋅ x2 + 2 ⋅ (−1) + (−3) ⋅1( ) ⋅ x + (−3) ⋅ (−1) = 2x2 −5 x + 3

b) ( x −1) ⋅ (3x + 2) = (1⋅3) ⋅ x2 + 1⋅2 + (−1) ⋅3( ) ⋅ x + (−1) ⋅2 = 3x2 − x − 2

c) (5 x + 1) ⋅ ( x − 3) = (5 ⋅1) ⋅ x2 + 5 ⋅ (−3) + 1⋅1( ) ⋅ x + 1⋅ (−3) = 5 x2 −14 x − 3

d) (3x + 1) ⋅ ( x + 3) = (3 ⋅1) ⋅ x2 + (3 ⋅3 + 1⋅1) ⋅ x + 1⋅3 = 3x2 + 10 x + 3

Sugerencias didácticasEn la sección Avanza de esta unidad se trabaja con las expre-siones algebraicas con dos variables que solo se sugirieron al comienzo. Con estas actividades se extienden las operaciones y propiedades trabajadas con polinomios y fracciones de una variable a dos.


A1. Factoriza estos polinomios todo lo que sea posible.

a) −2xy2 − 2x2 y c) 4 x5 + 3x2 y + 8 x3 + 6 y

b) y2 + 2xy + x2 d) 16 x6 − 9 y2

a) −2xy2 − 2x2 y = −2xy ⋅ ( y + x )

b) y2 + 2xy + x2 = y + x( )2

c)

d) 16 x6 − 9 y2 = 4 x3 + 3 y( ) ⋅ 4 x3 − 3 y( )

A2. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

a) −2xy2 − 2x2 y

y2 + 2xy + x2 b)

4 x5 + 3x2 y + 8 x3 + 6 y

16 x6 − 9 y2

4 x5 + 3x2 y + 8 x3 + 6 y = 4 x5 + 8 x3 + 3x2 y + 6 y == 4 x3 ⋅ x2 + 2( ) + 3 y ⋅ x2 + 2( ) = x2 + 2( ) ⋅ 4 x3 + 3 y( )

Avanza. Expresiones algebraicas con dos variables


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Para calcular con rapidez el producto de dos binomios de la forma x − a, nos fijamos en cómo se realiza el producto:

( x - a) ◊ ( x -b ) = x2 -ax-bx + ab = x2 -(a + b )x + ab

El coeficiente principal es 1, el coeficiente de grado 1 coincide con el opuesto de a + b, y el término independiente es ab.

Por ejemplo:

( x - 4) ◊ ( x - 6) = x2 -( 4 + 6)x + 4 ◊ 6 = x2 -10 x + 24

( x - 2) ◊ ( x + 5) = x2 -(2-5)x + 2 ◊ (-5) = x2 + 3x-10

CM1. Calcula mentalmente estos productos.

a) ( x - 3) ◊ ( x -7) d) ( x + 3) ◊ ( x - 2)

b) ( x -1) ◊ ( x - 9) e) ( x + 4) ◊ ( x + 3)

c) ( x - 4) ◊ ( x + 1) f) ( x + 1) ◊ ( x + 2)

CM2. Revisa el método anterior y modifícalo para calcular mentalmente estos productos.

a) (2x - 3) ◊ ( x -1) c) (5 x + 1) ◊ ( x - 3)

b) ( x -1) ◊ (3x + 2) d) (3x + 1) ◊ ( x + 3)

CÁLCULO MENTAL Estrategia para MULTIPLICAR DOS BINOMIOS

AVANZA Expresiones algebraicas con dos variables

Para factorizar polinomios y simplifi car fracciones con dos variables, utilizamos algunos de los métodos que conocemos para expresiones de una sola variable: sacar factor común y aplicar identidades notables.

Factorización de polinomios

❚ Sacando factor común P x , y( ) = −5 y3 + 10 xy − y2 + 2x

10x y + 2x -5y3 - y2 = 2x ◊ 5 y + 1( )- y2 ◊ 5 y + 1( )

2x ⋅ 5y + 1( )− y2 ⋅ 5y + 1( )= 2x − y2( ) ⋅ 5y + 1( )

P x , y( ) = 2x − y2( ) ⋅ 5 y + 1( )

¿Se trata del cuadrado de una diferencia?

1 Agrupamos los términos según tengan una u otra variable y sacamos factor común en los términos que sea posible.

2 Comprobamos si coincide algún factor en los sumandos obtenidos.

❚ Buscando identidades notables

1 Observamos si el polinomio puede coincidir con el desarrollo de alguna de las identidades notables.

2 Identifi camos los términos y transformamos las sumas en productos.

Simplifi cación de fracciones algebraicas

1 Factorizamos numerador y denominador con los procedimientos anteriores.

2 Dividimos entre los factores comunes de ambos términos.

A1. Factoriza estos polinomios todo lo que sea posible.

a) −2xy2 − 2x2 y

b) y2 + 2xy + x2

c) 4 x5 + 3x2 y + 8 x3 + 6 yd) 16 x6 − 9 y2

A2. Simplifi ca las siguientes fracciones algebraicas.

a) −2xy2 − 2x2 y

y2 + 2xy + x2

b) 4 x5 + 3x2 y + 8 x3 + 6 y

16 x6 − 9 y2

Q x , y( ) = 4 x2 − 4 xy2 + y 4

4 x2 − 4 xy2 + y 4 = 2x( )2 − 2 ⋅2x ⋅ y2 + y2( )2 = 2x − y2( )2

Q x , y( ) = 2x − y2( )2

−5 y3 + 10 xy − y2 + 2x

4 x2 − 4 xy2 + y 4=

2x − y2( ) ⋅ 5 y + 1( )

2x − y2( )2

2x - y2( ) ◊ 5 y + 1( )2x - y2( ) ◊ 2x - y2( )

=5 y + 1( )

2x - y2( )

3 olinomios racciones aleraicas 3 polinomios y fracciones

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