9/16/2010

M. Hube 1

1M. HubeICE 1302 2-2010

3. Anlisis de Tensiones

3.1 Concepto de tensiones.3.2 Ecuaciones de equilibrio.3.3 Transformacin de coordenadas.3.4 Tensiones y direcciones principales.3.5 El crculo de Mohr para el caso plano.

2

3.1 Concepto de Tensiones

ICE 1302 2-2010 M. Hube

1Fr

2Fr

4Fr

iFr

3Fr

Fr

n

1Fr

2Fr

3Fr

Plano de corte

: Fuerza de interaccin por unidad de rea A

Consideremos un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas en equilibrio.

Se define el vector tensin en un punto AFT

An

=

rr

0lim (Fuerza/rea)

Expresando el vector por componentes kTjTiTT nznynxn ++=r

9/16/2010

M. Hube 2

3ICE 1302 2-2010 M. Hube

Si hacemos calzar el eje x con el vector normal.

Vectorialmente

Tensin normal

Direccin del vector normal

kjiT xzxyxn ++=r

AFx

Ax

=

r

0limi

1Fr

2Fr

3Fr

jk

A Fr

Direccin de la tensin

Definimos

AFy

Axy

=

r

0lim

AFz

Axz

=

r

0lim

Tensiones tangencialeso de corte

4ICE 1302 2-2010 M. Hube

El estado de tensiones de un punto se expresa con el siguiente elemento elemento diferencial

y

xxy i

xz

z

yxyz

zy

zx

Cara positiva: superficie cuya normal coincide con los vectores unitarios .

j

k

Cara negativa: superficie cuya normal es opuesta a los vectores unitarios .

k,j,i

k,j,i

dxdz

dy

x

y

z

xy yx

xz zx

yz zy

Tensiones normales

Tensiones tangencialeso de corte

9/16/2010

M. Hube 3

5ICE 1302 2-2010 M. Hube

Convencin de signos para las tensiones

En cara positiva la tensin acta en direccin positiva de los ejes.En cara negativa la tensin acta en direccin negativa de los ejes.

Tensin positiva

Tensin negativa

Caso contrario al anterior

xj

ki

Tensiones positivas Tensiones negativas

xzy

yx

xz

xzzy

yx

6ICE 1302 2-2010 M. Hube

Las tensiones se pueden expresar como un tensor

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

=

333231

232221

131211

ij

Caso de Tensiones Planas

Cuando existen tensiones asociadas solo a 2 direcciones, podemos eliminar una direccin.

=

yyx

xyx

=

2221

1211

ij

Notacin indicial

Ejemplos PlacaMuro

El tensor de tensiones es simtrico

9/16/2010

M. Hube 4

7ICE 1302 2-2010 M. Hube

Y,X

3.2 Ecuaciones de Equilibrio

Estudiaremos el equilibrio para el caso de tensiones planas

x

dxx

xyxy

+

dyyyx

yx

+

dyy

yy

+

xy

yxy

dx

dy

x

y Supongamos tambin la existencia de fuerzas por unidad de volumen

0=+

+

Yyx

yxy

yxxy =

dxx

xx

+

0=+

+

X

yxyxx centroM

yF

xF

8ICE 1302 2-2010 M. Hube

Para el caso 3D se puede demostrar

0=+

+

+

Xzyxzxyxx

0=+

+

+

Y

zyxzyyxy

0=+

+

+

Zzyx

zyzxz

zxxz =

yxxy = Reciprocidad de las tensiones tangenciales

zyyz =

Usando notacin indicial

0=+ ij,ji x ndices repetidos en una variable (o en una multiplicacin de variables) implican sumatoria La coma indica derivada respecto a la coordenada especificada despus de la coma.

133122111111 xx ,,,j,j +++=+

1=iPara

9/16/2010

M. Hube 5

9

3.3 Transformacin de Coordenadas

ICE 1302 2-2010 M. Hube

Caso 2D

2sin2cos22' xy

yxyxx +

+

+=

2sin2cos22' xy

yxyxy

+=

2cos2sin2'' xy

yxyx +

=

xyx

xy

y

x

x

xy

y

Supongamos conocido el estado de tensiones segn los ejes cartesianos. Queremos conocer el estado de tensiones en un plano de orientacin cualquiera.

xdA

xF

yF

)2/( pi +X

10

Ejemplo 3.1

ICE 1302 2-2010 M. Hube

Se tiene el estado de tensiones que se indica. Determinar el estado de tensiones en ejes rotados a 30respecto al eje x.

2kgf/cm50=xy2kgf/cm100=x

2kgf/cm50=y

50

100

50

2kfg/cm201960sin5060cos2

501002

50100.

'x =

++

=

2kgf/cm803060sin5060cos2

501002

50100.

'y =+

+

=

2kg/cm958960cos5060sin2

50100.

'y'x =

+=

Solucin:

20.1980.30 95.89

= 30

20.19 80.30

9/16/2010

M. Hube 6

11ICE 1302 2-2010 M. Hube

Caso 3D

xx

y

z

xy

xzz

zy

zx

y

yzyx

x

y

z

Supongamos conocido el estado de tensiones segn los ejes cartesianos. Queremos conocer el estado de tensiones en un plano de orientacin cualquiera.

n

nlnm

Plano de rea y vector normal n

Definamos 2 vectores y contenidos en el plano inclinado

0 = ln0 =mn0 =ml

l m

knjninn zyx ++=

kljlill zyx ++=kmjmimm zyx ++=

Los 3 vectores cumplen

zdA

xdA

ydA

ndA

La relacin de reasxnx ndAdA =

yny ndAdA =

znz ndAdA =

12ICE 1302 2-2010 M. Hube

[ ]

=

z

y

x

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zyxn

n

n

n

nnn

jijin nn =

nF

Realizando equilibrio

nntn =

lF [ ]

=

z

y

x

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zyxnl

lll

nnn

lntnl

=

mF [ ]

=

z

y

x

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zyxnm

m

m

m

nnn

mntnm

=

[ ] [ ]mlnntnmnln

~

=

Matricialmente

El tensor de tensiones en las direcciones TT xyztnlm =

=

mmlmn

lml

nmnln

nlm

ln

=

zzz

yyy

xxx

mlnmlnmln

T Matriz de rotacin

jijinl ln =

jijinm mn =

jlklikij TT =

mln ,,

9/16/2010

M. Hube 7

13ICE 1302 2-2010 M. Hube

Para el caso particular en 2D

i

nj

mjsenin cos +=

jisenm cos +=

=

cossinsincos

T

TT xyt

nl =

=

yyx

xyxxy

Luego

22'

sincossin2cos yxyxx ++=

22'

coscossin2 yxyxy sen +=

( ) cossinsincoscos 22' yxyxxy sen ++=

Obtenemos las mismas ecuaciones que antes

14

3.4 Tensiones y Direcciones Principales

ICE 1302 2-2010 M. Hube

Caso 2D

x

xy

y

Para un estado de tensiones plano, existe un ngulo de rotacin donde la tensin es mxima.

2sin2cos22' xy

yxyxx +

+

+=

0' =

dd x

yx

xy

=

22tan 1

012 =

( )222,1 22 xyyxyx

+

+=

En la direccin de las tensiones principales la tensin de corte es cero.

xy

y

y

x x

11

1

2

2

Tensiones principales

212pi +=

9/16/2010

M. Hube 8

15ICE 1302 2-2010 M. Hube

Esfuerzo de Corte Mximo

xy

yx

22tan 3

=

La direccin de corte mximo est orientada a 45% de la direccin principal

2cos2sin2 xy

yx'y'x +

=

0'' =

dyx

( )22max 2 xy

yx

+

=

12tan2tan 13 =

Adems

13 22 413pi +=

11

1

2

2

o4513 += max

Direccin principal Direccin de corte mximo

La tensiones normales en esta direccin son iguales

16

Ejemplo 3.2

ICE 1302 2-2010 M. Hube

Determinar las tensiones y direcciones principales para el estado de tensiones siguiente.

2kgf/cm50=xy

2kgf/cm100=x2kgf/cm50=y

50

100

50

Solucin:

( )22

2,1 50250100

250100

+

+=2

1 kg/c14.115 m=2

2 kg/c14.65 m=

( )22

max 50250100

+

+= 2max kg/cm14.90=

501001002tan 1 +

= = 85.161= 15.732

Tensin mxima

Corte mximo

)50(2501002tan

+= = 15.283

14.11514.65

14.65 14.11585.16

14.90

0.25

15.28

0.25 0.25

0.25

9/16/2010

M. Hube 9

17ICE 1302 2-2010 M. Hube

Caso 3D

Tenemos que buscar una plano donde los esfuerzos tangenciales sean cero.

0 = nntn

0 == nl tnl 0 == nmtnm

nn = Problema de valores y vectores propios

( ) 0det = I

321 ,, Tensiones principales

Luego

Las direcciones principales son los vectores propios asociados a cada direccin

( ) 0 = nILa solucin no trivial se obtiene resolviendo

Tensin de corte mxima ( )lnmax t Sujeto a lnt 2

31

=max

18

Ejemplo 3.3

ICE 1302 2-2010 M. Hube

Determinar las tensiones y direcciones principales para el siguientes estado de tensiones.

=

800005050050100

xy

14.1151 =

14.652 =

85.16

Solucin:

[ ]100 =tm23 kg/cm80=

21 kg/c14.115 m=

22 kg/c14.65 m=

[ ]0290.0957.0 =tn[ ]0957.0290.0 =tl

Tensiones principales plano xy

9/16/2010

M. Hube 10

19

3.5 El Crculo de Mohr para el caso plano

ICE 1302 2-2010 M. Hube

De la ecuacin de transformacin de coordenadas

2sin2cos22' xy

yxyxx +

=

+

2cos2sin2'' xy

yxyx +

=

( ) ( )222''

2

' 22 xyyx

yxyx

x

+

=+

+ Ecuacin de un crculo

y

( )2222 xy

yxR

+

=

R1

2

max

C

2yxC

+=Centro

Radio

x

Dimetro representa un estado de tensiones

RC +=1

RC =2

20ICE 1302 2-2010 M. Hube

Convencin de signos

Las tensiones en 3D tambin se pueden representar utilizando 3 crculos de Mohr. Esto no lo veremos en el curso.

Para

xy

x

y

0>xy

Se dibuja hacia abajo de x

Para 0

9/16/2010

M. Hube 11

21

Ejemplo 3.4

ICE 1302 2-2010 M. Hube

Dibujar el crculo de Mohr para el siguiente estado de tensiones2kgf/cm50=xy2kgf/cm100=x 2kgf/cm50=y

100

50

14.652 = 50

14.90max =

25

50

14.1151 =

32

12

14.11514.65

14.65 14.115= 85.161

14.90

0.25

= 15.283

0.25 0.25

0.25

50

100

50