VECTORES EN EL ESPACIO (ℝ𝟑)

1. VECTORES EN EL ESPACIO (ℝ𝟑)

Se ha visto que cualquier punto en el plano se puede representar como un par ordenado de números reales. De manera análoga, cualquier punto en el espacio se puede representar por una terna ordenada de números reales (𝑥, 𝑦, 𝑧). Los

vectores de la forma (𝑥, 𝑦, 𝑧) constituyen el espacio ℝ𝟑. El espacio ℝ3 se llama también espacio de tres dimensiones o tridimensional, tiene tres rectas perpendiculares entre sí, a las que se llama el eje x, el eje y y el eje z.

Los tres ejes de nuestro sistema determinan tres planos coordenados, que se llama, plano xy, plano xz y yz.

2. Magnitud o norma de un vector en ℝ𝟑

La magnitud o norma de un vector 𝐯 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) en ℝ𝟑 es la longitud de cualquiera de sus representaciones

y se denota por ‖ ‖ y está dada por la formula ‖ ‖ = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2.

Ejemplo: Halla la norma del vector 𝐯 = (𝟐,−𝟕, 𝟑) Solución:

‖𝐯‖ = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = √22 + (−7)2 + 32 = √62

x

y

z

3. Operaciones con vectores en ℝ𝟑 y propiedades. a) Suma y resta: Se hace componente a componente. Es decir si 𝐮 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) y 𝐯 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2)

entonces: 𝐮 + 𝐯 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2) 𝐮 − 𝐯 = (𝑥1 − 𝑥2, 𝑦1 − 𝑦2, 𝑧1 − 𝑧2)

b) Producto por un escalar: si 𝐮 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) y 𝑘 ∈ ℝ, entonces 𝑘𝐮 = (𝑘𝑥1, 𝑘𝑦1, 𝑘𝑧1)

Parelelismo de vectores en ℝ𝟑: Dos vectores son paralelos entre si, si todas sus componentes son proporcionales.

Dado si 𝐮 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) y si 𝐯 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), 𝐮

𝐯↔

𝑥1

𝑥2=

𝑦1

𝑦2=

𝑧1

𝑧2= 𝑘 ∈ ℝ

Entonces 𝐮 = 𝑘𝐯

Propiedades:

Dados 𝐚, 𝐛 y 𝐜 vectores en ℝ𝟑 y 𝑘 es escalar.

𝐚 + 𝐛 es un vector en ℝ𝟑

𝐚 + 𝐛 = 𝐛 + 𝐚 (𝐚 + 𝐛) + 𝐜 = 𝐚 + (𝐛 + 𝐜) 𝐚 + 𝟎 = 𝟎 + 𝐚, donde el vector 𝟎 = (0, 0,0)

𝐚 + (−𝐚) = (−𝐚) + 𝐚 = 𝟎, al vector −𝐚 se el llama inverso aditivo de 𝐚.

𝑘(𝐚 + 𝐛) = 𝑘𝐚 + 𝑘𝐛 (𝑘1 + 𝑘2)𝐚 = 𝑘1𝐚 + 𝑘2𝐚, donde 𝑘1 y 𝑘1 son escalares.

𝑘1(𝑘1𝐚) = (𝑘1𝑘2)𝐚, donde 𝑘1 y 𝑘1 son escalares.

1𝐚 = 𝐚 0𝐚 = 𝟎

Ejemplo: Si 𝐚 = (1,1,2) y 𝐛 = (−2,1,0). Hallar 𝐚 + 𝐛, 𝐚 − 𝐛 y 3𝐚 + 2𝐛

𝐚 + 𝐛 = (1,1,2) + (−2,1,0) = (−1,2,2)

𝐚 − 𝐛 = (1,1,2) − (−2,1,0) = (3,0,2)

3𝐚 + 2𝐛 = 3(1,1,2) + 2(−2,1,0) = (3,3,6) + (−4,2,0) = (−1,5,6)

4. Vector unitario

Un vector unitario es un vector con magnitud o longitud 1. Si 𝐯 es un vector diferente de cero, entonces

𝐮 =𝐯

‖𝐯‖ es un vector unitario que tiene la misma dirección que 𝐯

Ejemplo: Encuentre un vector unitario que tenga la misma dirección que 𝐯 = (2,4, −3)

Solución:

‖𝐯‖ = √22 + 42 + (−3)2 = √29, entonces 𝐮 =(2,4,−3)

√29= (

2

√29,

4

√29,

−3

√29)

Existen tres vectores especiales en ℝ𝟑 que nos permiten representar otros vectores en el espacio de manera conveniente. Se denota el vector (1,0,0) por el símbolo i y el vector (0,1,0) con el símbolo j y el vector (0,0,1) con el símbolo k. Si 𝐯 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) es cualquier vector en el espacio, entonces (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑎𝐢 + 𝑏𝐣 + 𝑐𝐤

5. Dirección de un vector en ℝ𝟑

Ahora se puede definir formalmente la dirección de un vector en ℝ𝟑. No se puede definir como el ángulo 𝜃 que forma el vector con el eje x positivo.

Definición: la dirección de un vector 𝐯 en ℝ𝟑 se define como el vector unitario 𝐮 =𝐯

‖𝐯‖

6. Producto escalar de dos vectores en ℝ𝟑

Sea 𝐮 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) y 𝐯 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) dos vectores en ℝ𝟑. Entonces el producto escalar (producto punto o producto interno) de 𝐮 y 𝐯 denotado por 𝐮 ∙ 𝐯 esta dado por: 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2. Ejemplo: Si 𝐮 = (3,1,−2) y 𝐯 = (−1,4,0) encontrar el producto interno de 𝐮 ∙ 𝐯

𝐮 ∙ 𝐯 = (3)(−1) + (1)(4) + (−2)(0) = −3 + 4 + 0 = 1 Propiedades:

Dados 𝐮, 𝐯 y 𝐰 vectores en ℝ𝟑 y 𝑘 es escalar. a) 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝐯 ∙ 𝐮 b) 𝐮 ∙ (𝐯 + 𝐰) = 𝐮 ∙ 𝐯 + 𝐮 ∙ 𝐰 c) 𝐮 ∙ (𝑘𝐯) = (𝑘𝐮) ∙ 𝐯 = 𝑘(𝐮 ∙ 𝐯) d) 𝐮 ∙ 𝐮 ≥ 0 e) 𝐮 ∙ 𝐮 = ‖𝐮‖𝟐

Criterios de vectores ortogonales: Dos vectores no nulos 𝐮 y 𝐯 en ℝ3 son ortogonales si y solo si 𝐮 ∙ 𝐯 = 0

7. Angulo que forman dos vectores en ℝ𝟑

La fórmula es la misma que en el plano ℝ𝟐

cos𝜃 =𝐮 ∙ 𝐯

‖𝐮‖‖𝐯‖

Ejemplo: Si 𝐮 = (3,−1,2) y 𝐯 = (−4,0,2). Hallar el ángulo entre ellos Obtenemos primero el producto punto 𝐮 ∙ 𝐯 = (3)(−4) + (−1)(0) + (2)(2) = −12 + 0 + 4 = −8 Hallamos la norma de 𝐮 y 𝐯

‖𝐮‖ = √32 + (−1)2 + 22 = √14

‖𝐯‖ = √(−4)2 + 02 + 22 = 2√5

Reemplazando en la formula tenemos: cos 𝜃 =−8

(√14)(2√5)= −0.48

cos 𝜃 = −0.48 como es negativo el coseno está en el segundo cuadrante. 𝜃 = 118.7°

8. El productor vectorial. Producto cruz Hasta aquí el único producto de vectores que se ha considerado ha sido el producto escalar o producto punto. Ahora se define un nuevo producto, llamado producto cruz (o producto vectorial), que está definido solo en

ℝ𝟑 Definición: Sea 𝐮 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) y 𝐯 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) dos vectores en ℝ𝟑. Entonces el producto cruz (producto vectorial) de 𝐮 y 𝐯 denotado por 𝐮 × 𝐯, en un nuevo vector definido por:

𝐮 × 𝐯 = (𝑦1𝑧2 − 𝑧1𝑦2, 𝑧1𝑥2 − 𝑥1𝑧2, 𝑥1𝑦2 − 𝑦1𝑥2) Note que el resultado del producto cruz es un vector, mientras que el resultado del producto punto es un escalar. Una manera practica de obtener el resultado de la operación producto cruz entre dos vectores es resolver el siguiente determinante:

𝐮 × 𝐯 = |𝐢 𝐣 𝐤𝑥1 𝑦1 𝑧1

𝑥2 𝑦2 𝑧2

|

Donde |𝐢 𝐣 𝐤𝑥1 𝑦1 𝑧1

𝑥2 𝑦2 𝑧2

| = 𝐢 |𝑦1 𝑧1

𝑦2 𝑧2| − 𝐣 |

𝑥1 𝑧1

𝑥2 𝑧2| + 𝐤 |

𝑥1 𝑦1

𝑥2 𝑦2|

Ejemplo: Sea 𝐮 = (1,2, −1) y 𝐯 = (2,−1,0) dos vectores en ℝ𝟑. Encontrar el producto cruz 𝐮 × 𝐯

𝐮 × 𝐯 = |𝐢 𝐣 𝐤1 2 −12 −1 0

| = 𝐢 |2 −1

−1 0| − 𝐣 |

1 −12 0

| + 𝐤 |1 22 −1

|

𝐮 × 𝐯 = ((2)(0) − (−1)(−1))𝐢 − ((1)(0) − (−1)(2))𝐣 + ((1)(−1) − (2)(2))𝐤

𝐮 × 𝐯 = −𝐢 − 2𝐣 − 5𝐤 = (−1,−2,−5) Propiedades:

Dados 𝐮, 𝐯 y 𝐰 vectores en ℝ𝟑 y 𝑘 es escalar. a) 𝐮 × 𝟎 = 𝟎 × 𝐮 = 𝟎 b) 𝐮 × 𝐯 = −(𝐯 × 𝐮) c) (𝑘𝒖) × 𝐯 = 𝑘(𝐮 × 𝐯) d) 𝐮 × (𝐯 + 𝐰) = (𝐮 × 𝐯) + (𝐮 × 𝐰) e) (𝐮 × 𝐯) ∙ 𝐰 = 𝐮 ∙ (𝐯 × 𝐰) f) 𝐮 ∙ (𝐮 × 𝐯) = 𝐯 ∙ (𝐮 × 𝐯) = 𝟎 (Es decir 𝐮 × 𝐯 es ortogonal a 𝐮 y 𝐯) g) Dados 𝐮 y 𝐯 vectores diferentes de cero, entonces 𝐮 y 𝐯 son paralelos si y solo si 𝐮 × 𝐯 = 𝟎

De las propiedades anteriores se puede volver a establecer que:

“el producto cruz 𝐮 × 𝐯 es ortogonal tanto a 𝐮 como a 𝐯”

Se sabe que 𝐮 × 𝐯 es ortogonal a 𝐮 como a 𝐯, pero siempre habra dos vectores unitarios ortogonales a 𝐮 y a 𝐯. Para saber cual tiene la direccion de 𝐮 × 𝐯 se usa la regla de la mano derecha. Se coloca la mano derecha de manera que el indice apunte en la direccion de 𝐮 y el dedo medio en la direccion de 𝐯, entonces el pulgar apuntará en la direccion 𝐮 × 𝐯.

9. Aplicaciones del producto cruz Teorema: Si 𝜃 es el angulo entre 𝐮 y 𝐯, entonces: ‖𝐮 × 𝐯 ‖ = ‖𝐮‖‖𝐯‖ sen 𝜃 Existe una interpretación geométrica interesante del teorema anterior que lo observamos en la siguiente aplicación: a) Calculo del área del paralelogramo sustentado por dos vectores:

b) Calculo del área del triángulo sustentado por dos vectores El área del triángulo sustentado por dos vectores 𝐮 y 𝐯, es la mitad del área del paralelogramo sustentado por los vectores, es decir:

v

u

uxv

El área del paralelogramo que tiene

lados adyacentes 𝐮 y 𝐯 es igual a:

‖𝐮‖‖𝐯‖ sen 𝜃 = ‖𝐮 × 𝐯 ‖

Entonces:

𝐴𝑝 = ‖𝐮 × 𝐯 ‖

𝐴𝑡 =1

2‖𝐮 × 𝐯 ‖

c) Calculo del volumen del paralelepípedo sustentado por tres vectores

Ejemplo: halla el área del triángulo sustentado por los vectores 𝐮 = (1,2, −1) y 𝐯 = (2,−1,0) Solución

𝐮 × 𝐯 = |𝐢 𝐣 𝐤1 2 −12 −1 0

| = −𝐢 − 2𝐣 − 5𝐤

𝐴𝑡 =1

2‖𝐮 × 𝐯 ‖ =

1

2‖(−1,−2,−5)‖ =

1

2√(−1)2 + (−2)2 + (−5)2 =

√30

2

Ejemplo: Hallar el area del triangulo que tiene por vertices los puntos (1, −2,0), (1,1,1) y (−2,0,1) Solucion: Primero se forman dos vectores entre los puntos dados, tomando arbitrariamente el orden de los puntos; luego se procede de manera analoga a lo mencionado anteriormente.

En este caso 𝑣1 = 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (1 − 1,1 + 2,1 − 0) = (0,3,1)

𝑣2 = 𝑃1𝑃3⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (−2 − 1,0 + 2,1 − 0) = (−3,2,1)

𝑣1 × 𝑣2 = |𝐢 𝐣 𝐤0 3 1

−3 2 1| = 𝐢 − 3𝐣 − 9𝐤

‖𝑣1 × 𝑣2‖ = √(1)2 + (−3)2 + (−9)2 = √91

𝐴𝑡 =1

2‖𝑣1 × 𝑣2‖ =

√91

2

Ejemplo: hallar el volumen del paralelepipedo sustentado por los vectores 𝐮 = (1,−2,1), 𝐯 = (2,0, −1) y 𝐰 = (1,2,3) Solución:

𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = |(𝐮 × 𝐯) ∙ 𝐰| = |1 −2 12 0 −11 2 3

| = 1 |0 −12 3

| − (−2) |2 −11 3

| + 1 |2 01 2

| = 2 + 14 + 4 = 20 𝑢3

𝑉 = |(𝐮 × 𝐯) ∙ 𝐰|

Triple producto escalar