2 nÚmeros reales -...

2 NÚMEROS REALES

P A R A E M P E Z A R

Representa los números enteros �5, 8, �2, �7 y 3.

Escribe un ejemplo de cada una de las interpretaciones de fracción.

Partes de una cantidad: �15

� de los alumnos de mi clase usa gafas.

Cociente indicado de dos números enteros: �34

� � 3 : 4 � 0,25.

Un operador: �15

� de los alumnos de mi clase usa gafas. Si en mi clase somos 25 alumnos, �15

� � 25 � 5 alumnos usan gafas.

Halla tres fracciones equivalentes a �1326� con los numeradores mayores que el de ella, y otras tres con los

denominadores menores que el de ella.

Con numeradores mayores: �27

42�; �

13068

�; �14484

�

Con denominadores menores: �168�; �

142�; �

13

�

Para el paso de un tren sobre un río, se presenta el proyecto de un viaducto de 359 metros de longi-tud. Si se quieren sustentar sus arcos con 15 columnas, ¿en qué puntos habría que colocarlas para queestuvieran a la misma distancia unas de otras?

La distancia entre las columnas del viaducto se calcula dividiendo la medida total del viaducto entre el número de columnas a colocar.

�31559

� � 23,93 metros

Números reales

Ejercicio resuelto

Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales.a) �2,2727… c) 7,808008000…b) �3,54781781… d) � � 3,14159265…

a) Es un número racional, pues se trata de un número decimal periódico puro, cuyo período es 27.b) Es un número racional, pues se trata de un número decimal periódico mixto, cuyo anteperíodo es 54 y cuyo período es 781.c) Es un número irracional, puesto que no existe un grupo de números que se repita periódicamente a partir de una cifra dada,

es decir, no tiene período.d) Es un número irracional, puesto que no tiene período.

P A R A P R A C T I C A R

Escribe tres números decimales periódicos y tres números decimales no periódicos.

Las expresiones decimales de los números periódicos pueden ser:3,14141414…; 58,011011011011…; 100,3333333…Las expresiones decimales de los números no periódicos pueden ser:• 3,110 1100 11000 110000 11… Detrás de cada 11 se van colocando sucesivamente un cero, dos ceros, tres ceros…No existe ningún bloque de cifras que se repita.• 7,18 8 188 88 1888 888 18888 8888 1… Detrás de cada 1 se colocan sucesivamente 2, 4, 6, 8, 10… ceros.� � 3,141592… No es un número periódico y tiene infinitos decimales.

2.2

2.1

4

3

2

–7 –5 –2 0 3 8

1

26

Indica cuáles de los siguientes números son racionales y clasifícalos. Explica por qué los restantes no sonracionales.

a) 1,010010001… d) 3,0222…

b) 1,010101… e) �3�c) 1,223334444… f) �

38�

a) Es un número irracional, puesto que no existe un grupo de números que se repita periódicamente.b) Es un número racional, pues se trata de un número decimal periódico puro, cuyo período es 01.c) Es un número irracional, puesto que no existe un grupo de números que se repita periódicamente.d) Es un número racional, pues se trata de un número decimal periódico mixto, cuyo anteperíodo es 0 y cuyo período es 2.e) Es un número irracional, puesto que es una raíz no exacta.f) Es un número racional, puesto que es una raíz exacta.

Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales.

a) 1,353535… c) 7,807008000…

b) 3,545454… d) 5,070077000777…

a) Es un número racional, pues se trata de un número decimal periódico puro, cuyo período es 35.b) Es un número racional, pues se trata de un número decimal periódico puro, cuyo período es 54.c) Es un número irracional, puesto que no existe un grupo de números que se repita periódicamente.d) Es un número irracional, puesto que no existe un grupo de números que se repita periódicamente.

En la expresión para calcular la longitud de la circunferencia aparece un número que es irracional. ¿Cómose designa? ¿Cuáles son las primeras cifras?

Fórmula de la longitud de la circunferencia: 2�r.El número � (pi) es irracional.Valor aproximado: � � 3,14 15 92 65 35…Estas 10 cifras decimales son fáciles de recordar.

Ejercicio resuelto

Escribe los números naturales del 1 al 100 cuya raíz cuadrada es racional.

Tienen raíz racional: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 Son 10 números.

Escribe los números naturales del 1 al 1000, cuya raíz cúbica es un número natural. ¿Cuántos son?

Tienen como raíz cúbica un número natural: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000 Número de raíces: 10

Escribe los números enteros del 1 al 1 000 000, cuya raíz cúbica es un número entero. ¿Cuántos son?

Raíz cúbica más pequeña: 13 Raíz cúbica mayor: 1003

Cubos entre ambos: 1, 8, 27, 64, 125, 216… 1003. Número de cubos: 100

El número �2� � 1,414213562… es un número irracional.

Indica si el número 3�2� � 3 � (1,414213562…) es un número racional o irracional. Justifica tu respuesta.

El número 3�2� es irracional, puesto que tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

P A R A A P L I C A R

En una clase de 40 alumnos se realiza el siguiente experimento:

Cada alumno elegido al azar escribe una cifra en un papel que entrega al profesor; este las irá escri-biendo sucesivamente en una hoja sin que se enteren los restantes alumnos. ¿Aparecerá un número pe-riódico (racional) o no periódico (irracional)?

La probabilidad de que, al repetir este proceso indefinidamente, aparezca un bloque de cifras que se repita es prácticamente nula.Por tanto, se puede decir, y así es, que hay más números no periódicos que periódicos.

2.10

2.9

2.8

2.7

2.6

2.5

2.4

2.3

27

Una bola perfecta de acero tiene 180 centímetros de diámetro. ¿Cuál será la medida de la circunferen-cia máxima? ¿Cuál es el valor entero aproximado?

Circunferencia máxima: 2�r � 2�90 � 565,49 cm � 565 cm

El laboratorio de ciencias tiene forma rectangular. Las dimensiones son 12 metros de largo por 8 de an-cho. ¿Existe alguna medida en el laboratorio que no pueda expresarse mediante números racionales?

Son las medidas de las diagonales.

Se aplica el teorema de Pitágoras: 122 � 82 � 144 � 64 � 208.

La medida �208� m � 14,422… m es irracional, no puede expresarse por un número racional.

El círculo donde tienen que caer unos paracaidistas mide 30 metros de radio. ¿Cuánto mide el área delcírculo? Expresa el resultado con dos cifras decimales. ¿Es racional esta medida?

Medida del área del círculo: � r2 � �302 � 2827,44 cm2

La medida es irracional, ya que el número � también lo es.

Una fuente circular tiene 50 metros de radio. Calcula la longitud de la circunferencia y el área que ocu-pa. Las medidas de estas dos magnitudes, ¿son números racionales o irracionales?

a) Longitud de la circunferencia exterior: 2�50 � 100� � 314,159… m

b) Área que ocupa la fuente: � r2 � �502 � 7853,981… m2

Las medidas de estas magnitudes son números irracionales.

El número � � 3,1415926535…, que aparece en la longitud de la circunferencia y en el área del círculo,es un número irracional. ¿Lo será también el número que se obtiene al multiplicarlo por 100?

El número 100� � 100 � 3,14 15 92 65 35 … � 314, 15 92 65 35…

Si en � no existen períodos, tampoco pueden existir períodos en 100�, ya que a partir de la cuarta cifra los dos números tie-nen las mismas cifras decimales en ambos decimales.

El Ayuntamiento de un pueblo ha perforado un pozo, de sección circular, para obtener agua. Si tiene 30metros de profundidad y 4 metros de diámetro, ¿cuántos metros cúbicos enteros tiene de capacidad?¿Es un número exacto?

Volumen del pozo: � r2 � h � � � 22 � 30 � 376,9911… � 377 m3

El error cometido es mínimo. Este volumen, 377 m3, se puede considerar realmente exacto.

Luis tiene un tren eléctrico montado en una vía circular de 120 centímetros de radio. ¿Cuántos metrosrecorre en 50 vueltas? ¿Se puede decir que el resultado es prácticamente un número entero? ¿Cuál esel error cometido? ¿Qué se observa con relación al ejercicio anterior?

Camino recorrido: 50 � 2� � 1,20 � 376,991… m

La medida aproximada del recorrido se puede tomar como 377 m.

El error no llega a 1 cm.

Por tanto, el recorrido se puede considerar un número entero.

Ana dibuja un triángulo equilátero cuyo lado mide 20 centímetros. ¿Existe alguna medida en el trián-gulo equilátero que sea un número irracional?

a) Teorema de Pitágoras: h2 � 202 � 102 � 400 � 100 � 300

Valor de la altura: h � �300� � �100� � �3� � 10�3�b) El número �3� es irracional, luego también lo es el producto 10�3�, que es el valor de la altura.

La plaza mayor de un pueblo es cuadrada y tiene 150 metros de lado. ¿Cuál es el máximo trayecto quepuede recorrer un alumno sin cambiar de dirección? Aproxima este trayecto a un número entero. ¿Sepuede decir que es exacto?

La máxima distancia en línea recta está dada por una cualquiera de las dos diagonales de la plaza.

Cuadrado de la diagonal: 1502 � 1502 � 22 500 � 22 500 � 45 000.

Medida de la diagonal: 45 000 � 212,1320… m

Se puede tomar como medida exacta 212 m.

2.19

2.18

2.17

2.16

2.15

2.14

2.13

2.12

2.11

28

Aproximaciones y errores


Copia y completa la siguiente tabla, aproximando los números que aparecen en la columna de la izquierda.

Redondea los números que aparecen en la columna izquierda de la tabla.

Calcula � � �3� con dos decimales aproximando ambos números por defecto, por exceso y redondeándolos.¿En cuál de las sumas es menor el error absoluto?

Por defecto: � � �3� � 4,87

Por exceso: � � �3� � 4,88

Redondeo: � � �3� � 4,87

Error absoluto:

Por defecto: E1 � �4,87 � (� � �3�)� � �4,87 � 4,873643...� � ��0,00364...� � 0,00364...

Por exceso: E1 � �4,88 � (� � �3�)� � �4,88 � 4,873643...� � �0,006357...� � 0,006357...

Redondeo: E1 � �4,87 � (� � �3�)� � �4,87 � 4,873643...� � ��0,00364...� � 0,00364...

El menor error absoluto es la suma aproximada por defecto y el redondeo.

Redondea con cuatro cifras decimales el número áureo, � � �1 �

2�5��.

� � �1 �

2�5�� 1,6180

Ejercicio resuelto

Halla el error absoluto cometido al aproximar el número �83

� a los siguientes valores:

a) 2,6 b) 2,67

a) Ea � �2,6 � �83

�� 2,6 � 2,666...� � ��0,066...� � 0,0666... b) Ea � �2,67 � �83

�� 2,67 � 2,666...� � 0,00333...

Calcula el error absoluto cometido cuando se toman para �43

� las siguientes aproximaciones:

a) 1,3 b) 1,33 c) 1,333 d) 1,3333

Valor de 4/3 � 1,33333333…Errores:a) 1,333333… � 1,3 � 0,033333… c) 1,333333… � 1,333 � 0,00033333…b) 1,333333… � 1,33 � 0,0033333… d) 1,333333… � 1,3333 � 0,00003333…

2.25

2.24

2.23

2.22

2.21

2.20

29

Una cifra decimal Dos cifras decimales Tres cifras decimales

Por Por Por Por Por Pordefecto exceso defecto exceso defecto exceso

� 3,1 3,2 3,14 3,15 3,142 3,143

�3� 1,7 1,8 1,73 1,74 1,732 1,733

�17

� 0,1 0,2 0,14 0,15 0,142 0,143

Una cifra decimal Dos cifras decimales Tres cifras decimales

� 3,1 3,14 3,142

�3� 1,7 1,73 1,732

�17

� 0,1 0,14 0,143

Dado el número 53,2647, escribe:

a) Las mejores aproximaciones por defecto y por exceso, y los redondeos con una, dos y tres cifras de-cimales.

b) Los errores absolutos y relativos asociados a los redondeos.

a) Mejor aproximación por defecto: 53,264

Mejor aproximación por exceso: 53,265

Redondeo con una cifra decimal: 53,3

Redondeo con dos cifras decimales: 53,26

Redondeo con tres cifras decimales: 53,265

b) Errores absolutos: Errores relativos:

�53,2647 � 53,3� � 0,0353 �53,2647 � 53,3� / 53,2647 � 0,0000663

�53,2647 � 53,26� � 0,0047 �53,2647 � 53,26� / 53,2647 � 0,0000088

�53,2647 � 53,265� � 0,0003 �53,2647 � 53,265� / 53,2647 � 0,0000006

Halla los errores absoluto y relativo cometidos al redondear 0,8484… a las décimas, a las centésimas ya las milésimas.

Errores absolutos: Errores relativos:

�0,8484… � 0,8� � 0,0484848 �0,8484… � 0,8� / 0,8484… � 0,9428571

�0,8484… � 0,85� � 0,001515152 �0,8484… � 0,85� / 0,8484… � 1,001785714

�0,8484… � 0,858� � 0,000484848 �0,8484… � 0,848� / 0,8484… � 0,999428571

Para operar con el número � se elige la aproximación por exceso 3,1416. Este número es un valor apro-ximado muy popular. ¿Cuál es el error que se comete? ¿Está justificada la popularidad de este valor?

Valor aproximado de �: � � 3,14 16 00

Valor de � con 6 cifras decimales: � � 3,14 15 92…

Error por exceso: 3,14 16 00 � 3,14 15 92 � 0,000 008

El error por exceso es de unas 8 millonésimas.

Para la mayoría de los cálculos es más que suficiente.

De aquí la justificada popularidad de este valor de �.


Cuando se cambió la unidad monetaria en España, se utilizó la equivalencia que muestra la figura.

Estima el error cometido en la aproximación.

Valor de 1 euro: 1 euro � 166,386

Valor de 6 euros: 6 euros � 998,316

Error cometido: 1000 � 998,316 � 1,684

Una casa de campo tiene un depósito cúbico de agua cuya arista mide 10 m. ¿Cuál es el máximo tra-yecto que puede recorrer un simpático renacuajo sin cambiar de dirección? Expresa la solución por de-fecto y por exceso tomando dos decimales. ¿Son iguales?

La diagonal de un cubo mide: 10 � �3�.

Aproximación = 10 � 1,732 050 80… � 17,320 508…

Valor por exceso: 17,33 m

Valor por defecto: 17,32 m

Como se ve, los valores son casi iguales.

2.30

2.29

2.28

2.27

2.26

30

“6000 € equivalen a1 millón de las

antiguas pesetas”6 euros � 1000 pesetas

1 euro �166,386pesetas

Una buena aproximación al número � es la fracción —272—.

Si un jardín circular tiene 20 metros de radio, ¿qué errores absoluto y relativo se cometen al medir sucircunferencia tomando esta aproximación de �?

Longitud de la circunferencia: 2 � � � 20 � 125,66370…

Longitud aproximada de la circunferencia: 2 � � � 20 � 2 � �272� � 20 � 125,7142857142857…

Error absoluto: �125,66370… � 125,7142857142857…� � 0,050579…

Error relativo: �125,66370… � 125,7142857142857…� / 125,66370… � 0,000402

Los Siete Sabios de Grecia conocían la excelente aproximación del número irracional �2� dada por la frac-

ción �1172�. Comprueba este resultado para calcular la diagonal de una plaza cuadrada de 100 metros de

lado. ¿Se puede decir, realmente, que es una buena aproximación?

Medida de la diagonal de la plaza.

Ecuación: d2 � 1002 � 1002 � 1002 � 2

Valor de la diagonal: d � 100�2� � 141,4213… m

Valor con �2� � 17/12: d � 100 � 17/12 � 141,6666… m

El error cometido es: � 23,87 cm, que en 141,42… m es asumible.

Operaciones con números reales


Calcula las cinco primeras aproximaciones, por exceso y por defecto, de �2� � 3�2�.

Aproximaciones de �2�: �2� � 1,41 42 135…

1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142…

Aproximaciones de 3�2�: 3�2� � 4,2; 4,23; 4,242; 4,2426…

Realiza las operaciones �5� � �7� y �5� � �7� , por exceso y por defecto, utilizando las cinco primeras apro-ximaciones de cada término.

Aproximaciones de �5�: �5� � 2,23 60 67… 2; 2,2; 2,23; 2,236; 2,2360…

Aproximaciones de �7�: �7� � 2,64 57 51… 2; 2,6; 2,64; 2,645; 2,6457…

Aproximaciones de �5� � �7�: �5� � �7� � 4,88 18 19… 4; 4,8; 4,87; 4,881; 4,8818…

Realiza las siguientes operaciones con un orden de aproximación de dos cifras decimales, por exceso ypor defecto.

a) 2�2� � �10� b) �7� � �3�a) Por exceso: 2�2� � �10� � 6,00 b) Por exceso: �7� � �3� � 4,59

Por defecto: 2�2� � �10� � 5,99 Por defecto: �7� � �3� � 4,58

Ejercicio resuelto

Calcula la aproximación por redondeo a centésimas de �43

� � �7�. Haz también el cálculo directo con lacalculadora y compara los resultados.

�43

� � 1,3333...; �7� � 2,64575131...

Redondeando: �43

� � �7� � 1,33 � 2,64 � 3,97

Con calculadora: �43

� � �7� � 3,97908464… � 3,98

La diferencia es de 0,01.

2.36

2.35

2.34

2.33

2.32

2.31

31

Calcula las cinco primeras aproximaciones de —23

— � �2�

Ejercicio resuelto

Calcula, utilizando la forma fraccionaria, la suma 1,222… � 6,919191…

Si x � 1,222… = ⇒ 10x � 12,222…

Restando x: 9x � 11 ⇒ x � �191�

Si y � 6,919191… ⇒ 100y � 691,9191…

Restando y: 99y � 685 ⇒ y � �69895

�

Luego: x � y � �191� � �

69895

� � �11

9�

911

� � �69895

� � �89096

�

Halla, utilizando la forma fraccionaria, las sumas siguientes:

a) 0,333333… � 0,555555… b) 1,212121… � 0,666666…

a) 0,333 333… � 0,555 555… � 3/9 � 5/9 � 8/9

b) 1,21 21 21… � 0,666 666… � 120/99 � 6/9 � 120/99 � 66/99 � 186/99 � 1,87 87 87…

Las medidas de un rectángulo son:

Largo: 9,3333… cm

Ancho: 6,4444… cm

Expresa las medidas en forma fraccionaria y calcula su superficie exacta.

Largo: 9,3333… � (93 � 9)/9 � 84 / 9 cm

Ancho: 6,4444… � (64 � 6)/9 � 58 / 9 cm

Área del rectángulo: (84/9) � (58/9) � 4872 / 81 � 60,14 81 48… cm2

¿Puede suceder que el producto de dos números irracionales sea un número racional? En caso afirmati-vo, pon un ejemplo.

Se eligen los números irracionales �2� y �8�.

Producto: �2� � �8� � �2 � 8� � �16� � 4

El producto de dos números irracionales puede ser un número racional.


Una rotonda de circulación tiene 30 metros de radio exterior. Tomando la aproximación � � 3,1416, ha-lla la longitud de la circunferencia más externa, aproximando a dos cifras decimales.

Longitud de la circunferencia: 2�r � 2 � 3,1416 � 30 � 188,496 m � 188,50 m

Las columnas circulares que sostienen la plataforma de un puente tienen 4 metros de circunferencia.

a) ¿Cuánto mide el diámetro de cada columna? ¿Y el radio? Aproxima hasta las diezmilésimas.

b) Utilizando la misma aproximación, ¿cuánto mide el área de una sección?

a) Medida de la circunferencia: 2� � r � 4

Diámetro de la circunferencia: 2r � 4/� m

Luego el radio mide: r � 2/� m � 0,6366…m

b) Área de la sección: � � r2 � � � 4/�2 � 4/� m2 � 1,2732… m2

2.43

2.42

2.41

2.40

2.39

2.38

2.37

32

�23

� �2� �23

� � �2�

Por exceso 1; 0,7; 0,67; 0,667; 0,6667 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143 3; 2,01; 2,09; 2,081; 2,0809

Por defecto 0; 0,6; 0,66; 0,666; 0,6666 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142 2; 2,0; 2,08; 2,080; 2,0808

En geometría aparecen muchos números irracionales. Si el lado de un cuadrado mide 20 cm, ¿la medi-da de la diagonal es un número racional o irracional? Escribe el resultado con dos cifras decimales.

Sea d el valor de la diagonal.

Teorema de Pitágoras: d 2 � 202 � 202 � 800

Valor de la diagonal: d � �800� � �400� � �2� � 20�2� cm

Puesto que �2� es un número irracional, también lo es 20�2� y su valor aproximado: 20�2� � 28,28… cm.

Las dimensiones de un campo de fútbol son 100 m de largo por 80 de ancho. ¿Cuál es el máximo reco-rrido que puede hacer un jugador sin cambiar de dirección?

¿El resultado aproximado en metros se puede considerar exacto?

La máxima distancia en línea recta es la longitud de la diagonal del campo.

Teorema de Pitágoras: d 2 � 1002 � 802

Se opera: d 2 � 10 000 � 6400 � 16 400

Medida: d � 16 400 � 128,062… � 128 m

Error cometido: 0,062 � 6 cm

Por tanto, la medida de 128 m puede considerarse exacta.

Terna de valores fundamentales: 100 m, 80 m, 128 m

Los lados de una pizarra rectangular miden, teóricamente, �3� � �2� m. Calcula su perímetro y su área.¿Son también medidas irracionales?

a) Perímetro de la pizarra: 2�3� � 2�2� � 2(�3� � �2�) m b) Área de la pizarra: �2� � �3� � �6� m2

Ambas medidas, perímetro y área, son también irracionales.

Las tarjetas de biblioteca, el carné de identidad, las tarjetas bancarias, etc., suelen tener unas dimensio-

nes tales que su cociente es 1,6180… Este número tan especial es el número irracional �1 �

2�5��, llamado

número áureo. Compruébalo con algunas de estas tarjetas y compara los resultados con dicho número.

Dimensiones de la tarjeta de una biblioteca: 85 y 53 cm.

Comprobación del valor aproximado: 53 � 1,6180 � 85,754

Determina las medidas enteras de un mural rectangular para que su diagonal mida �13� m.

Los lados del mural pueden ser: 3 m y 2 m.

Medida de la diagonal por el teorema de Pitágoras: 32 � 22 � 9 � 4 � 13 m

La recta real. Valor absoluto


Expresa los números 2, 5, 8, 10 y 25, como suma de dos cuadrados. Representa cada uno en la recta real.

2 � 1 � 1 � 12 � 12

5 � 4 � 1 � 22 � 12

8 � 4 � 4 � 22 � 22

10 � 9 � 1 � 32 � 12

25 � 5 � 0 � 52 � 02

Ejercicio resuelto

Representa en la recta real el número �43

�.

Como el numerador es mayor que el denominador, se expresan ambos númeroscomo suma de un número entero y una fracción menor que 1:

�43

� � 1 � �13

�

Utilizando el teorema de Tales a partir del punto 1, representamos el punto requerido:

2.50

2.49

2.48

2.47

2.46

2.45

2.44

33

0 82 5 2510

1 20 4–3

Representa en la recta real los números racionales �13

� y �23

�.

Se divide una unidad elegida en tres partes iguales.

Se dibujan sucesivamente tres segmentos iguales a partir del origen.

También se puede dividir un segmento en partes iguales utilizando elteorema de Tales.

Representa gráficamente el número racional �131� en la recta real.

Se tiene: �131� � �

93

� � �23

� � 3 � �23

�.

El punto correspondiente está en el intervalo de la recta (3, 4).

El intervalo [3, 4] se puede dividir en 3 partes utilizando el teorema de Tales.

Al número fraccionario �23

� le corresponde la segunda división del intervalo [3, 4] dividido en tres partes.

Por tanto, la abscisa del número �131� es el punto A.

Representa en la recta real el número 0,666…, expresándolo previamente en forma fraccionaria.

Expresión fraccionaria: 0,666… = �69

� = �23

�

Por tanto, el punto correspondiente está en el intervalo de la recta (0, 1).

El intervalo [0, 1] se divide en 3 partes llevando sucesivamente el segmento OA 3 veces a partir del origen O.

El punto correspondiente al número �23

� es B, la segunda división.

Ejercicio resuelto

Representa en la recta real el número �3�.

No se puede escribir �3� como suma de cuadrados de dos números naturales, pero sí se puede descomponer como

�3� � �2 � 1� � �(�2�)2 �� 12�.

Así, para representar �3� se tiene que dibujar primero �2�.

Representa el número �20� en la recta real, utilizando el teorema de Pitágoras.

Se descompone el radicando en suma de cuadrados: 20 � 42 � 22.

Ahora se aplica el teorema de Pitágoras.

La abscisa del punto A es 4.

Se traza el segmento AB, de 2 unidades, perpendicular a la recta OA.

La hipotenusa OB � �42� � 22 � �20�Con centro en el punto O y radio OB se traza un arco que corta a la recta OAen C. El punto C tiene como abscisa �20�.

2.55

2√0 1 2–1 3√

2.54

2.53

2.52

0 11__3

__23

2.51

34

0 4___113

321

0 10,6

0,6 0,70,66

0 5204321

Expresa los números del 1 al 10 como suma o diferencia de cuadrados enteros. Señala las ternas de números que permiten construir un triángulo rectángulo donde se pueda aplicar elteorema de Pitágoras.

Ecuaciones pitagóricas:1 � 12 � 02 6 � 22 � 12 � 12 (no)2 � 12 � 12 7 � 22 � 22 � 12 (no)3 � 22 � 12 8 � 32 � 12

4 � 22 � 02 9 � 32 � 02

5 � 22 � 12 10 � 32 � 12

Halla los números naturales determinados por las siguientes expresiones:

a) ��6� � 8 c) ��4� � ��3�b) ��7� � ��3� d) ��8� � 1

a) ��6� � 8 � 6 � 8 � 14 c) ��4� � ��3� � 4 � 3 � 7

b) ��7� � ��3� � 7 � 3 � 4 d) ��8� � 1 � 8 � 1 � 7

¿Qué distancia hay entre los siguientes pares de números reales?

a) 1 y �1 c) �3 y �7

b) 2 y 3 d) 1 y ��12

�

a) 1 y �1; d(1, �1) � ��1 � 1� � 2 c) �3 y �7; d(�3, �7) � ��7 � (�3)� � 5

b) 2 y 3; d(2, 3) � �3 � 2� � 1 d) 1 y ��12

�; d�1, ��12

�� = ��12

� � 1� � �32

�


Tomás dice que ha encontrado dos números irracionales cuya suma es racional. ¿Es posible? Si lo es, bus-ca algún ejemplo, y si no, justifica la razón.

Si restamos a cualquier número racional uno irracional, obtenemos uno irracional. Por tanto, la suma de esos dos es racional.

� � (��) � 0

e(1 � e) � 1

�41� � (2 � �41�) � 2

Las dimensiones del suelo de un laboratorio rectangular son 9 y 12 m, respectivamente. Si una hormi-ga recorre la distancia máxima posible sin variar su dirección, ¿cuántos metros ha recorrido? ¿Es estamedida un número entero?

La distancia máxima es la diagonal del rectángulo.

Se aplica el teorema de Pitágoras en el rectángulo del suelo.

Diagonal: �(92 ��122)� � �(81 ��144)� � �225� � 15 m

Los lados y la diagonal del laboratorio miden: 9 m, 12 m, 15 m.

Las medidas son números enteros.

Inés quiere cortar un listón de madera que tenga, exactamente, �41� centímetros de largo. Si solo dis-pone de una regla que marca en centímetros, ¿cómo podrá obtener un resultado exacto?

Utilizando el teorema de Pitágoras, la hipotenusa del triángulo será �41�.

Los catetos de este triángulo rectángulo pueden ser 5 y 4.

Teorema de Pitágoras: 52 � 42 � 25 � 16 � 41

Por tanto, �41� cm es la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 4 cm.

Estíbaliz ha dibujado un rectángulo cuya diagonal mide �34� cm. ¿Cuáles son las medidas de los lados,si son números enteros?


Las medidas de los lados del rectángulo son 5 y 3 cm.

2.62

2.61

2.60

2.59

2.58

2.57

2.56

35

Un cuadro de la clase de Mónica tiene 100 cm de largo por 80 de ancho. Para que no se mueva el mar-co, le ha puesto por detrás un travesaño, de vértice a vértice opuesto. ¿Cuánto mide? ¿Qué número en-tero se puede tomar como medida?

Se aplica el teorema de Pitágoras.

Ecuación: 1002 � 802 � 10 000 � 6400 � 16 400

La medida del travesaño: �16400� cm � 128,032 cm � 128 cm.

Se puede tomar como medida entera 128 cm

Sabiendo que el área de un triángulo equilátero viene dada por la expresión A � �a2�

43�

�, razona si elárea de algún triángulo equilátero puede ser un número racional.

Basta tomar: a � ��3��.

Se aplica la fórmula del área del triángulo equilátero.

Área del triángulo equilátero: ��3��2

�3� / 4 � �3� � ��43��

34

�

Intervalos y semirrectas


Representa en la recta real los siguientes intervalos.

a) (�2, 7) b) (�3, �2] c) [�4, 0) d) [4, 9]

a) c)

b) d)

Representa en la recta real las siguientes semirrectas.

a) (�∞, 7) b) (�∞, �2] c) (�4, �∞) d) [4, �∞)

a) c)

b) d)

Decide si los siguientes conjuntos de números son intervalos o semirrectas, y escríbelos.

a) c)

b) d)

a) Intervalo (1, 4) b) Semirrecta (1, �∞) c) Intervalo (�1, 2] d) Semirrecta (�∞, 2]

Halla dos números racionales en cada uno de los siguientes intervalos.

a) (3, 4) b) ��1214�, �

1375�� c) ��

35

�, �45

�� d) ��

4�, �

�

3��

Respuestas libres. Por ejemplo,

a) �130�, �

131� b) �

14070

�, �14080

� c) �3510�, �

3530� d) �

190� , 1

2.68

0 20 1

0–1 20 1 4

2.67

0 4–3 –2 –1 0 1

–4 0 1–1 0 1 7

2.66

–1 0 1 4 9–3 1–2 0

–4 –3 –2 –1 0 1–2 0 7

2.65

2.64

2.63

36

Halla dos números irracionales en cada uno de estos intervalos.

a) (0, 1) b) (4, 5) c) (�, 4) d) (�2�, �3�)

Respuesta abierta. Por ejemplo,

a) �0,1�, �0,2� b) 4,101 001..., 4,202 002... c) � � �13

�, � � �12

� d) �2,1�, �2,2�

Representa en la recta y escribe el intervalo o semirrecta correspondiente a cada desigualdad.

a) �2 x b) x 4 c) x � 3 d) �1 � x

a) (�2, )

b) (� , 4]

c) [3, � )

d) (� , �1)

Ejercicio resuelto

Representa en la recta real �x � 2� 3.

La desigualdad puede escribirse así: �3 x � 2 3.

Si se suma 2 a cada término, resulta: �1 x 5.

El intervalo correspondiente es el (�1, 5).

Representa en la recta real estos intervalos.

a) �x � 4� 3 c) �x � 5� 1

b) �2x� 6 d) �2x � 1� 5

a) �x � 4� 7 → �7 x � 4 7 → �3 x 11 → [�3, 11]

b) �2x� 6 → �6 2x 6 → �3 x 3 → (�3, 3)

c) �x � 5� 1 → �1 x � 5 1 → �6 x �4 → (�6, �4)

d) �2x � 1� 5 → �5 2x � 1 5 → �4 2x 6 → �2 x 3 → [�2, 3]

Ejercicio resuelto

Representa en la recta real los intervalos en los que se cumple que �x � 3� � 5.

x � 3 � 5 → x � 2

�x � 3� � 5 → { o

x � 3 �5 → x �8

La solución es: (� , �8) (2, � ).

0–8

(–∞, –8) ∪ (2, +∞)

2

2.73

–2 2 310–1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1

–3 0 3

–3 –1 0 11

2.72

–1 0 5

(–1, 5)2.71

–1 0–2

–1 3 4210

–1 3 4210

–2 –1 0 –1

2.70

2.69

37

Representa los intervalos correspondientes a las siguientes expresiones.

a) �x � 2� � 4 b) �x � 2� � 1 c) �2x � 1� � 5

a) x � 2 � 4 →x � 6 La solución es: (� , �2] [6, � ).

�x � 2� � 4 → �o

x � 2 �4 → x �2

b) x � 2 � 1 →x � 3 La solución es: (� , 1) (3, � ).

�x � 2� � 1 → �o

x � 2 �1 → x 1

c) 2x � 1 � 5 → 2x � 6 → x � 3 La solución es: (� , �2] [3, � ).

�2x � 1� � 5 → � o

2x � 1 �5 → 2x �4 → x �2

Representa el intervalo correspondiente a esta expresión �x � �14

�� 32

�.

�x � �14

�� 32

� → ��32

� x � �14

� �32

� → ��54

� x �74

� → ��

45�, �

74

��


Problema resuelto

Se nos ha estropeado la tecla de la calculadora. ¿Cómo podremos hallar �29� con dos cifras decimales?

Se siguen estos pasos:

52 � 25 �29� (5, 6)

62 � 36 →

Así se tiene una aproximación por defecto y por exceso de �29� con dos cifras decimales.

Aproxima por tanteo con una y con dos cifras decimales estas raíces.

a) �1000� b) �3

10�a) b)

En un locutorio telefónico nos cobran por una llamada de t segundos un precio de 30 � 0,5t céntimos,pero no podemos hablar más de 5 minutos seguidos.

Calcula lo que puede durar una llamada si disponemos de las siguientes cantidades de dinero.

a) 0,28 euros b) 1 euro c) 2 euros

a) No se puede llamar, el coste mínimo es de 30 céntimos.

b) 30 � 0,5t � 100 → t � 140. Como máximo se puede hablar durante 140 segundos. t [0,140].

c) 30 � 0,5t � 200 → t � 340. Supera los 5 minutos. t [0,300].

2.78

23 � 8→ �

310� (2, 3)

33 � 27 2,13 � 9,261

→ �3

10� (2,1; 2,2)2,23 � 10,648 2,153 � 9,938375

→ �3

10� (2,15; 2,16)2,163 � 10,077696

312 � 961→ �1000� (31, 32)

322 � 1024 31,62 � 998,56

→ �1000� (31,6; 31,7)31,72 � 1004,89 31,622 � 999,8244

→ �1000� (31,62; 31,63)31,632 � 1000,4569

2.77

√2.76

–2 2 310–1–5 4

74

2.75

–3 –2 –1 1 3 420

–1 3 4210

–2 0 1 2 3 4 5 6–1

2.74

38

5,32 � 28,09→ �29� (5,3; 5,4)

5,42 � 29,16 5,382 � 28,9444

→ �29� (5,38; 5,39)5,392 � 29,0521

Sabiendo que las dimensiones de un campo de deporte se encuentran entre los 90 y los 120 metros delargo, y entre los 45 y los 90 metros de ancho, ¿entre qué valores se encuentra el área del campo?

Sean x la medida del largo e y la medida del ancho.Largo: 90 x 120Ancho: 45 y 90Área: 4050 xy 10 800El área de los distintos campos se encuentra entre el área mínima, 4050 m2, y el área máxima, 10 800 m2.

Un motorista se desplaza por una autopista a una velocidad entre 100 y 120 km/h. ¿Entre qué distan-cias se encontrará al cabo de tres horas?

Ecuación del espacio: E � v � t (velocidad � tiempo)Distancia máxima posible: 3 � 120 � 360 kmDistancia mínima posible: 3 � 100 � 300 kmSe encuentra entre 300 y 360 km.

Matemáticas aplicadas


Utiliza la calculadora o la hoja de cálculo Excel para realizar aproximaciones del número � utilizando losalgoritmos de Leibnitz y de Wallis.

Investiga en internet otros algoritmos para calcular las cifras decimales del número �.

Respuesta abierta.

Actividades finales

P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

Escribe dos números irracionales con las cifras 1 y 2.

a) Número decimal no periódicoNúmero: 1,12 112 1112 1112…Detrás de cada grupo de sucesivos unos (1) se coloca la cifra 2.No existe ningún bloque de cifras que se repita.

b) Número: 12 1122 111222 11112222… Cada bloque se forma por dos bloques seguidos: un bloque de unos y otro de doses. Los bloques tienen: 2, 4, 6, 8… cifras.

Escribe dos números irracionales con las cifras 0 y 1.

a) 0,01 011 0111 01111 01111…Detrás de cada 0 se colocan sucesivamente 1, 2, 3, 4, 5… unos.b) 7,10 110 1110 11110 111110… Delante de cada 0 se colocan sucesivamente 1, 2, 3, 4, 5… unos.

Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales:

a) 3,121121121... b) 4,030030003... c) 0,560056000560000... d) 2,34343434...a) Es racional, ya que tiene como período 121.b) Es irracional, ya que los grupos que se van formando no son iguales.c) Es irracional, ya que los grupos que se van formando no son iguales.d) Es racional, ya que las cifras son periódicas.

2.85

2.84

2.83

2.82

2.81

2.80

2.79

39

Algoritmo de Leibnitz ��

4� � 1 � �

13

� � ... � �19

� ��

4� � 1 � �

13

� � ... � �111� �

�

4� � 1 � �

13

� � ... � �113�

Algoritmo de Wallis ��

2� � �

21

� ... �65

� ��

2� � �

21

� ... �67

� ��

2� � �

21

� ... �87

�

Algoritmo de Leibnitz 3,33968… 2,97604… 3,28373…

Algoritmo de Wallis 1,70666… 1,46285… 1,671836…

*

Un aula de planta rectangular tiene como medidas de las aristas 6 metros de largo, 5 de ancho y 4 dealto. Calcula las medidas de las diagonales de las paredes y del suelo, e indica si son números raciona-les o irracionales.

Datos: 6 y 5 mTeorema de Pitágoras: d 2 � 62 � 52 � 61Medida de la diagonal: �61�, es irracional.

Diagonales de las paredes laterales:Datos: 6 y 4 mTeorema de Pitágoras: d 2 � 62 � 42 � 52Medida de la diagonal: �52�, es irracional.

Diagonales de las paredes del frente y trasera:Datos: 5 y 4 mTeorema de Pitágoras: d 2 � 52 � 42 � 41Medida de la diagonal: �41�, es irracional.

¿Cuántos números reales existen comprendidos entre 5,187246 y 5,187247? Escribe tres de ellos.

Existen infinitos números.5,1872467 5,187246567 5,1872464789

El número � � 3,141592653589… es un número irracional. ¿Es también irracional el número 1000�? Jus-tifica tu respuesta.

El número 1000� � 314,1 592 653 589…Si quitamos del número � las tres primeras cifras, las restantes forman un número irracional, ya que el caso contrario sería ra-cional y a partir de una cifra se repetirían periódicamente, y, por tanto, también lo sería 100�, ya que coinciden salvo las tresprimera cifras.Por tanto, por reducción al absurdo, se verifica la afirmación de que 100� es irracional.

Calcula el error absoluto que se comete cuando se toman las siguientes aproximaciones del número irra-cional �3� � 1,7320508075…

a) Aproximación a unidades por exceso b) Aproximación a décimas por defecto

a) Aproximación a unidades por exceso: 2 Aproximación a unidades por defecto: 1Error máximo cometido, menor que 1 unidad

b) Aproximación a décimas por exceso: 1,8 Aproximación a décimas por defecto: 1,7Error máximo cometido, menor que 1 décima

Una aproximación de �2� es el número racional �1172�. Halla los errores absoluto y relativo que se come-

ten cuando se toma una aproximación con tres cifras decimales.

17/12 � 1,416666666… �2� � 1,4142135 17/12 � �2� � 0,002453…Error absoluto: 0,002… Error relativo con tres cifras: (17/12 � �2�)/�2� � 0,003

El número � � 3,1415926535… es irracional y se ha escrito con 10 cifras decimales correctas. Hay nú-meros fraccionarios muy populares que aproximan al número �:

—272—, —

315153

—, —721206

—

¿Cuál de las tres fracciones se aproxima más al valor de � que se ha dado inicialmente con 10 cifras de-cimales?

Para comparar estos valores se expresan los números con 10 cifras decimales, para ver hasta dónde coinciden.

� � 3,14 15 92 65 35… (11 cifras correctas)

22/7 � 3,14 28 57 14 28… (3 cifras correctas)

355/113 � 3,14 15 92 92 03… (7 cifras correctas por exceso)

710/226 � 3,14 15 92 20 35… (7 cifras correctas por defecto)

Como se ve, el número que más se aproxima es 355/113, ya que coinciden en las 6 primeras cifras decimales, pero su error esmenor que 710/226. Este número fraccionario, 355/113, es el más sencillo y que más se aproxima.

2.91

2.90

2.89

2.88

2.87

2.86

40

*

Copia en tu cuaderno y rellena los recuadros vacíos con los símbolos o �, según sea necesario en cada caso:

a) �16

� � 0,166667 b) 1,732051 � �3� c) 1,333334 � �43

� d) �3

5� � 1,709976

a) �16

� 0,166667 b) 1,732051 � �3� c) 1,333334 � �43

� d) �3

5� 1,709976

Representa en la recta real el número racional �161�.

Se tiene: �161� � 1 � �

56

�.

El punto correspondiente está en el intervalo de la recta (1, 2).

Se divide esa unidad elegida en seis partes iguales y se cogen cinco.

Representa en la recta real el número áureo, � � �1 �

2�5��.

� � �1 �

2�5��

12

� � ��25�

�

Se representa la fracción �12

�, la fracción ��25�

� y se añade a la anterior.

Se dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 2 y 1 cm.

La hipotenusa medirá: h2 � 22 � 12 � 4 � 1 � 5 ⇒ Valor de la hipotenusa � �5�.

Se divide el segmento hallado entre dos.

Ordena de menor a mayor los siguientes números reales:

�� 2�5� �23

� �25203

� �3,15 0,67�

Represéntalos gráficamente en la recta real.

�3,15 �� 23

� 0,67� �

25203

� 2�5�

Representa en la recta real �40�. A continuación, representa �41� de dos formas distintas.

a) Descomponiendo: 41 � 52 � 42.

b) Descomponiendo: 41 � (�40�)2 � 12.

Comprueba que se obtiene el mismo punto de la recta.

a)

b)

La planta de una sala de teatro con forma rectangular mide 20 metros de largo por 15 de ancho. Ave-rigua de manera gráfica cuál es la máxima distancia entre dos puntos de la misma.

La máxima distancia, x, es la que hay entre dos vértices opuestos.

Teorema de Pitágoras: x2 � 202 � 152 � 625

Máxima distancia de la base: �625� � 25 cm

2.97

XO

1

401

Y

41

O

2

412 X

Y

2.96

_4 51 4320_3 _2 _1

_3,14

_3,15

0,67

0,66

4,47

4,46

2.95

2.94

0 ___116

21

2.93

2.92

41

Dibuja un cuadrado cuyo lado a mida �10� cm.

Se trata de dibujar un cuadrado cuyos lados midan: a � �10� cm.Triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 y 1 cm.El cuadrado de la hipotenusa mide: 32 � 12 � 9 � 1 � 10.El valor del lado a � 10 es igual al valor de la hipotenusa.

Calcula las medidas de los lados y el área de un triángulo equilátero cuya altura mide �75� cm.

Sea 2x la medida del lado.Por tanto, el semilado mide x.Ecuación: (2x)2 � x2 � 75 Se opera: 3x2 � 75.Valor de x: x � 5, luego el lado mide 2x � 10.Área del triángulo equilátero: (2x)2�3� / 4 � 100�3� /4 � 25�3� cm2 � 43,3012…Valor aproximado: 25�3� � 43,30 12 70… cm2

¿Se puede dibujar exactamente una circunferencia de radio �17� centímetros?

Se trata de dibujar un segmento que va a ser el radio y cuya medida sea r � �17�.Se dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4 y 1 cm.El cuadrado de la hipotenusa medirá: h2 � 42 � 12 � 16 � 1 � 17 Valor de la hipotenusa � radio � �17� cm.

Calcula la distancia existente en la recta real entre los siguientes pares de números.

a) �2 y 5 b) 5 y �121� c) �3 y �4 d) �3 y �

43

�

a) �2 y 5; d(�2, 5) � �5 � (�2)� � 7 b) 5 y �121�; d�5, �

121��

121� � 5� � �

12

�

c) �3 y �4; d(�3, �4) � ��4 � (�3)� � 1 d) �3 y �43

�; d��3, �43

�� 43

� � (�3)� � �133�

Indica a qué intervalos o semirrectas corresponden las siguientes expresiones:

a) x � 3 b) �2x � 5� 7 c) 2x � 5 7 d) �3x � 1� � 5

a) x � 3; [3, � ) b) �2x � 5� 7; �1 x 6; [�1, 6]

c) 2x � 5 7; x 6; (� , 6] d) �3x � 1� � 5; x � 2 y x ��43

�

Expresa, mediante desigualdades y gráficamente en la recta real, los siguientes intervalos y semirrectas:

a) [�1, ��) b) (�2, 0] c) (��, 3) d) [4, 8]

a) [�1, � ) c) (� 3)

x � �1 x 3

b) (�2, 0] d) [4, 8]

�2 x 0 4 x 8

Representa en la recta real el intervalo A � [�2, 5] y la semirrecta B � (3, ��). Si existe algún inter-valo de puntos común a ambos, hállalo.

El intervalo de puntos en común es el (3, 5].

0 350_2

2.104

80 4_2 0_1

30_1 0

2.103

2.102

2.101

2.100

2.99

0

10

3 10

2.98

42

El índice de masa corporal (IMC) de una persona se calcula dividiendo su peso en kilogramos entreel cuadrado de su estatura en metros. Si el IMC de Carlos es, aproximadamente, de 33 kg/m2 y mide1,79 metros, ¿en qué intervalo se encuentra su peso, suponiendo que el error en el IMC es menor deuna décima?

Sea x el peso, si el error es menor de una décima: 32,9 IMC 33,1.

32,9 � �1,

x79�; x � 58.891 Kg 33,1 � �

1,x79� x � 59.249 Kg

Luego el peso se encuentra en el intervalo (58,891; 59,249).

P A R A R E F O R Z A R

Indica a qué conjuntos pertenecen estos números.

Aproxima por defecto y por exceso con una, dos y tres cifras decimales el número �44�.

�44� � 6,633249571…

Aproximaciones por defecto: Aproximaciones por exceso:

Aprox. con una cifra decimal: �44� � 6,6 Aprox. con una cifra decimal: �44� � 6,7

Aprox. con dos cifras decimales: �44� � 6,63 Aprox. con dos cifras decimales: �44� � 6,64

Aprox. con tres cifras decimales: �44� � 6,633 Aprox. con tres cifras decimales: �44� � 6,634

Representa en la recta real los números �192� y �26�.

�192� � �

34

�. Se divide una unidad elegida en cuatro partes iguales.

Se dibujan sucesivamente cuatro segmentos iguales a partir del origen y se cogen tres.

También se puede dividir un segmento en partes iguales utilizando el teorema de Tales.

�26�Se dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 1 cm.

El cuadrado de la hipotenusa medirá: h2 � 52 � 12 � 25 � 1 � 26.

Valor de la hipotenusa � �26� cm.

Halla los errores absoluto y relativo cometidos al aproximar 0,333… � 0,4646… por 0,3 � 0,5 � 0,8.

Valor exacto: 0,333… � 0,4646… � 0,7979 Valor aproximado: 0,3 � 0,5 � 0,8

Error absoluto: �0,7979… � 0,8� � 0,002020 Error relativo: �0,7979… � 0,8� / 0,7979… � 0,00253

Calcula �2� � �8�, redondeando a las milésimas.

�2� � �8� � 4,2426407… � 4,243

2.110

2.109

0 6

26

4321 5

0 2__34

1

2.108

2.107

2.106

2.105

43

N Z Q I

2,555 x

�64� x

3,0111… x

� x

�73

� x

��

318� x x

� x

Representa los siguientes intervalos e indica de qué tipo es en cada caso.

a) (0, 3) b) [�1, 1] c) [�3, 3) d) (3, 5]

Representa en la recta real los intervalos en los que se cumplen estas expresiones:

a) �x� 3 c) �x� � � 0,7222 e) �x � 2� �1

b) �x� � 4 d) �x � 1� 1 f) �x � 2� � 8

a) �3 x 3: c) El valor absoluto de un número e) El valor absoluto de un númerotiene que ser siempre positivo, tiene que ser siempre positivo,por lo que esta desigualdad nunca por lo que esta desigualdad podrá ser cierta. nunca podrá ser cierta.

b) x � 4: d) 0 x 2 f) x � 6:x �4: x �10:

Escribe el intervalo que se describe en cada frase.

a) Los números reales mayores que 2 y menores o iguales que 5b) Los números reales menores que �4c) Los números reales mayores o iguales que �3d) Los números reales mayores o iguales que �4 y menores o iguales que �1

a) (2, 5] b) (� , �4] c) [�3, ) d) [�4, �1]

Representa las siguientes semirrectas y clasifícalas según su tipo:

a) (3, ��) b) (��, �1) c) [2, ��) d) (��, 2]

Las medidas de la circunferencia máxima de los balones de baloncesto oscilan entre 75 cm y 78 cm. ¿Podrías indicar entre qué valores varía el radio de dichos balones?

Radio mínimo: 75 � 2�r, de donde r � 75 : 2� � 11,94 cm Radio máximo: 78 � 2�r, de donde r � 78 : 2π � 12,42 cm

P A R A A M P L I A R

Escribe un número irracional con cada par de números.

a) 1 y 5 b) 2 y 3 c) �9 y 8 d) 1 y 7 e) 15 y 3 f) �2 y 2

Los números pueden ser:a) 1,5 115 1115 11115…b) 2,3 233 2333 23333…c) �9,8 988 9888 98888…d) 1,7 1177 111777 11117777…e) 1,5 3 1515 3 151515 3 15151515 3…

Los números son irracionales, ya que los bloques que se forman nunca son iguales.f) No se puede formar un número irracional con �2 y 2, ya que los bloques que forman serán siempre iguales.

Se inscribe un cuadrado en una circunferencia de 20 centímetros de radio. Responde a las siguientescuestiones:

a) ¿Cuál es la expresión de la medida del lado?b) ¿Es racional o irracional?

a) La diagonal de un cuadrado es el diámetro de una circunferencia.Sea x el valor del lado ⇒ x2 � x2 � 402 ⇒ 2x2 � 1600 ⇒ x2 � 800 � 400 � 2.Valor del lado: 20�2� centímetros

b) El número 20�2� es irracional.

2.117

2.116

2.115

0 20 20_10 3

2.114

2.113

60_10 _2 2200_4 4

3_3 0

2.112

50 33_3 00_1 10 3

2.111

44

Escribe un número irracional comprendido entre �15

� y �14

�.

Expresión decimal: �15

� � 0,20, �14

� � 0,25

Número irracional: �15

� � 0,20 0,2 21 211 2111… �14

� � 0,25

Una noria gira a razón de dos revoluciones por minuto. Determina el camino recorrido en 5 minutospor una de las canastillas, si el radio de la noria mide 30 metros. Expresa el resultado en metros, conuna aproximación de centímetros.

Una revolución equivale a 2� radianes.

Número de radianes en 5 minutos: 2 � 5 � 2� � 20� radianes

Camino recorrido: 20� � 30 � 600� � 1885,95559 metros

Valor aproximado: 1886 m

La plaza mayor de un pueblo es un cuadrado de 35 metros de lado. Escribe la longitud de su diago-nal, con una aproximación por defecto de dos decimales.¿Cuál es el error absoluto cometido?

Valor de la diagonal: �(352 �� 352)� � 35�2� � 49,4974…

Valor de la diagonal por defecto: 49,49 m

Error absoluto cometido: 0,0074…

¿Qué aproximación está más cerca del valor de la hipotenusa del triángulo de la figura, 5,385 ó 5,386 cen-tímetros? ¿Cuánto más cerca?

h2 � �52 � 2�2� ⇒ h � 5,385164807 centímetros

La aproximación que está más cerca es 5,385.

5,385 está a 0,000165 centímetros de h, y 5,386 está a 0,000835 cm.

La aproximación 0,385 está 0,0006701 centímetros más cerca.

Expresa mediante intervalos o semirrectas los conjuntos de los números reales que cumplen las si-guientes condiciones:

a) Están a más de 3 unidades de distancia del �4.

b) Están a una distancia del 2 igual o menor que 3.

a) x �7 y x � �1 b) x 2 y �1 x 5

Indica los intervalos que representan los siguientes dibujos.

a) c)

b) d)

a) (�2, 0] c) [2, 5]

b) [�1, 0) d) (�4, �1)

0_ 1_ 4_ 1 0

2 50_ 2 0

2.123

2.122

5

2h

2.121

2.120

2.119

2.118

45

P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

Errores en la medida

El Ayuntamiento de una localidad quiere plantar césped artificial en el campo de fútbol que hay en elpolideportivo municipal.

Los técnicos miden las longitudes del campo con una cinta métrica que les permite asegurar que losverdaderos valores no pueden diferir en más de 0,25 metros.

a) ¿Entre qué valores están comprendidas las verda-deras medidas del largo y el ancho del campo defútbol?

b) ¿Entre qué valores estará comprendida la verdade-ra área del campo?

c) Si las verdaderas medidas son 70,66 y 110,32 me-tros, indica los errores absolutos y relativos de lasmedidas tomadas.

Calcula el error relativo que se cometería al tomar como área del campo 7800 m2.

a) Largo: [110, 110,5]. Ancho: [70,5, 71]

b) Sean x la medida del largo e y la medida del ancho.

Largo: 110 x 110,5

Ancho: 70,5 y 71

Área: 7755 xy 7845,5

El área se encuentra entre el área mínima, 7755 m2, y el área máxima, 7845,5 m2.

c) Errores del ancho: Ea � �70,66 � 70,75� � 0,09; Er � �70,66 � 70,75� / 70,66 � 0,001274...

Errores del largo: Ea � �110,32 � 110,25� � 0,07; Er � �110,32 � 110,25� / 110,32 � 0,0006345...

Error relativo del área: Er � �729.2112 � 7800� / 729.2112 � 0,0006143...

Representación de números reales.

En la gráfica de abajo aparecen representados los números reales A, B y C.

a) Escribe la expresión exacta de los números A y B.

b) De los siguientes números reales, ¿cuál piensas que se corres-ponde con C?

2,75 ��5� �

2�10�� 2,75

�

c) Calcula la distancia exacta entre A y B.

a) El número A es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son 1 y 2:

La hipotenusa medirá: h2 � 12 � 22 � 1 � 4 � 5 ⇒ h � �5�.

El número B es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son 1 y 3:

La hipotenusa medirá: h2 � 12 � 32 � 1 � 9 � 10 ⇒ h � �10�b) C corresponde a A más la distancia media de A a B; por tanto:

C � �5� � ��5� �

2�10��

�5� �

2�10��.

c) Distancia entre A y B: Dist � ��5� � �10��

1

0

2

3

1 2 3A B C

2.125

2.124

46

A U T O E V A L U A C I O N

Indica si son irracionales las raíces cuadradas de los siguientes números:

a) 60 b) 625 c) 92 d) 65

El único número que tiene raíz exacta es 625: �625� � �25.

Los demás son irracionales, ya que no tienen raíz exacta.

Ordena los siguientes números de menor a mayor.

�10� 3,1416 � ��

516� 3,141414… 3

��

516� 3 3,141414… � 3,1416 �10�

Dibuja un segmento cuya longitud mida exactamente �13� centímetros.


Ecuación: �13� � �(32 ��22)�Se dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 y 2 unidades.

Medida aproximada de la hipotenusa: �13� � 3,60555… cm

En una circunferencia de radio 10 cm se ha inscrito un cuadrado. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?

El diámetro es la diagonal del cuadrado.

Sea x el valor del lado.

Ecuación: x2 � x2 � 100

Se simplifica: x2 � 50

Medida del lado: x � �50� � 5�2�

Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales.

a) �35

� c) �5� e) 632

b) �4 d) 0,75 f) 3,070070007…

a, b, d y e son números racionales.

c y f son números irracionales.

Representa el intervalo cerrado más pequeño, de extremos números enteros, en cuyo interior se en-cuentran los siguientes números irracionales.

a) �35� c) �10�b) �24� d) �899�a) 5 �35� 6, es decir, (5, 6)

b) 4 �24� 5, es decir, (4, 5)

c) 3 �10� 4, es decir, (3, 4)

d) 29 �899� 30, es decir, (29, 30)

¿Qué diferencia hay entre los números racionales e irracionales según su expresión decimal?

Los números racionales tienen expresión periódica, y los irracionales no.

El lado de un triángulo equilátero mide 12 centímetros. Calcula la altura y el área del triángulo.

Altura h del triángulo: h2 � 122 � 62 � 144 � 36 � 108

Medida de la altura: h � 6�3�Área del triángulo: 6 � 6�3� � 36�3� centímetros

2.A8

2.A7

0 3 30

2.A6

2.A5

2.A4

0

13

4321

2.A3

2.A2

2.A1

47

Representa en la recta real y escribe en forma de intervalo los números que verifican estas relaciones:

a) 3 x 7 c) x 2

b) x � �4 d) �3 x 2

a) c)

b) d)

Indica qué intervalos o semirrectas equivalen a las siguientes expresiones.

a) �x � 3� 10 b) �x � 7� � 11

a) �x � 3� 10

Intervalos: �10 x � 3 10; �13 x 7 ⇒ [�13, 7]

b) �x � 7� � 11

Intervalos: �11 x � 7; �4 x ⇒ (� �4)

x � 7 � 11; x � 18 ⇒ (18, � )

2.A10

20_3_4 0

200 3 7

2.A9

48

Entretenido

L A S D O S J A R R A S

Al final, ¿qué hay más, zumo en la jarra de leche o leche en la jarra de zumo?

En las dos jarras hay la misma proporción de mezcla. Vamos a verlo.

Para fijar ideas vamos a suponer que en una de las jarras hay 1 litro de leche, y en la otra, 1 litro de zumo. Y vamos a suponer que elcontenido de cada vaso es de 250 ml.

El bloqueo de este problema surge al pensar que hay más leche en la del zumo que zumo en la de la leche porque primero echamosel 100% de leche y luego no echamos el 100% de zumo.

Para resolverlo vamos a hacer un dibujo. Cada cuadrado de la cuadrícula representa 50 ml.

Al comienzo: Pasamos 250 ml de leche a la de zumo: Pasamos 250 ml de mezcla (200 mlde zumo y 50 ml de leche) a la jarra de leche:

1 litro de 1 litro de 750 ml de 1250 ml de 1 litro de 1 litro deleche zumo leche mezcla mezcla mezcla

Al final, cada jarra tiene 800 ml del contenido que tenía al principio y 200 ml del contenido de la otra jarra.

49

Las dos jarrasson iguales

y contienen igualcantidad de líquido

Voy a pasarun vaso de leche

a la jarra de zumo ydespués un vaso de lamezcla resultante a la

jarra de leche.

2 nÚmeros reales -...

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