2 esquemas volumenes_finitos
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1
HIDRÁULICA COMPUTACIONAL 2Máster en Ingeniería del Agua
Introducción al método de
volúmenes finitos
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
Luis Cea GómezGrupo de Ingeniería del Agua y del Medio Ambiente, GEAMAUniversidad de A Coruña
2
1. Introducción
2. Mallas de cálculo
3. El método de volúmenes finitos
3.1. La ecuación de convección-difusión
3.2. Propiedades de los esquemas numéricos
3.3. Esquemas centrados
INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE VOLÚMENES FINITOS
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
3.3. Esquemas centrados
3.4. Esquemas descentrados
4. Esquemas en volúmenes finitos para las 2D-SWE
3
� Volúmenes finitos� Impone conservación de forma natural� Flexibilidad geométrica� Resuelve ecuaciones en forma integral (ondas choque)� Discretización muy intuitiva (leyes físicas)
� Elementos finitos� Flexibilidad geométrica� Muy versátil (diferentes áreas de aplicación)
� Diferencias finitasMétodos numéricos
Introducción al método de volúmenes finitos
Introducción
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
� Diferencias finitas� Discretización sencilla� Problemático en geometrías complicadas
� Smoothed Particle Hydrodynamics� Adecuado para superficie libre compleja� Método sin malla. Lagrangiano� Coste computacional muy elevado� Todavía en desarrollo� Tendencia a creerse los resultados
� Otros
numéricos en CFD
4
Volúmenes finitos
Introducción al método de volúmenes finitos
Introducción
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
0A)u (ρA)u (ρA)u (ρA)u (ρ snwe =−+−
� Flujo a través de las aristas de las celdas
� Lo que sale de una celda entra en la celda de al lado
� Conservación de masa / momento
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Volúmenes finitos
Introducción al método de volúmenes finitos
Introducción
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
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Diferencias finitas
∆y 2
vv
x∆ 2
uu
yv
xu
0 1ji,1ji,j1,ij1,i −+++ −+
−≈
∂∂+
∂∂=
Introducción al método de volúmenes finitos
Introducción
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
Elementos finitos
( ) 0F =φ
( ) ( ) )(C incógnitas-nxfCx~j
n
1jjj∑
=
=φ
ecuaciones-n(0dV )~F(w n)1,iV
i ==⋅∫ φ
7
Smoothed Particle Hydrodynamics
Introducción al método de volúmenes finitos
Introducción
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
8
Smoothed Particle Hydrodynamics
Introducción al método de volúmenes finitos
Introducción
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
9
1. Introducción
2. Mallas de cálculo
3. El método de volúmenes finitos
3.1. La ecuación de convección-difusión
3.2. Propiedades de los esquemas numéricos
3.3. Esquemas centrados
INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE VOLÚMENES FINITOS
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
3.3. Esquemas centrados
3.4. Esquemas descentrados
4. Esquemas en volúmenes finitos para las 2D-SWE
10
Malla estructurada vs. Malla no estructurada
Introducción al método de volúmenes finitos
Mallas de cálculo
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
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Introducción al método de volúmenes finitos
Tipos de mallasMalla estructurada cartesiana Malla estructurada por bloques cartesiana
Malla estructurada curvilínea Malla estructurada por bloques
Mallas de cálculo
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
Malla no-estructurada cartesiana Malla no-estructurada triangular
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Tamaño de malla
Aspecto fundamental en CFD al que muchas veces no se le presta la atención merecida
Malla más fina en:� contornos pared� recirculaciones� discontinuidades
Ventaja para mallas no estructuradas
Multigrid methods
Introducción al método de volúmenes finitos
Mallas de cálculo
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
13
Convergencia en malla
Malla 1
Introducción al método de volúmenes finitos
Mallas de cálculo
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
14
Tamaño de malla
Introducción al método de volúmenes finitos
Mallas de cálculo
Convergencia en malla
Malla 2
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15
Introducción al método de volúmenes finitos
Mallas de cálculo
Convergencia en malla
Malla 3
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16
Introducción al método de volúmenes finitos
Mallas de cálculo
Convergencia en malla
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
17
1. Introducción
2. Mallas de cálculo
3. El método de volúmenes finitos
3.1. La ecuación de convección-difusión
3.2. Propiedades de los esquemas numéricos
3.3. Esquemas centrados
INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE VOLÚMENES FINITOS
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
3.3. Esquemas centrados
3.4. Esquemas descentrados
4. Esquemas en volúmenes finitos para las 2D-SWE
18
� Consistente� si tiende a la ecuación diferencial cuando ∆x � 0
� Conservativo � si conserva la masa, el momento, etc. en ausecia de términos fuente
� Transportividad (transportivity ) � si tiene en cuenta la dirección en la que se transmite la información
� Acotado (boundedness)
Propiedades de los esquemas numéricos
Introducción al método de volúmenes finitos
Volúmenes finitos
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Profesor: Luis Cea
� Acotado (boundedness) � sin términos fuente no se generan máximos ni mínimos locales
� Estabilidad � si no es generan oscilaciones numéricas a partir de errores infinitesimales
� Orden de precisión
Boundedness
para un esquema lineal (ai no depende de U)
Boundedness � aj positivos, ai>= sumatorio aj ∑ −=≤+=
≥
iji
iiii
j
saa
ssbS
a
0
0
φ
19
Sxxx
u
t jjj
j +
∂∂Γ
∂∂=
∂∂
+∂∂ φφφ
La ecuación de convección-difusión 3D
( ) ( ) ∫∫∫ +∇Γ⋅∇=⋅⋅∇+−+
iii VVVi
ni
1ni dV SdV dVV∆t
φφφφu
n1n −+ φφ
Introducción al método de volúmenes finitos
Volúmenes finitos
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
( ) ( )( ) iii
ni
1ni VS V∆t
+⋅∇Γ=⋅⋅+−
∑∑∈∈
+
ii Kjij
Kjij nnu φφφφ
20
ii1/2i1/2ii
ni
1ni ∆xSFFx∆t
=−+∆−−+
+ φφ
∂φ
Sxxx
ut
+
∂∂Γ
∂∂=
∂∂+
∂∂ φφφ
Introducción al método de volúmenes finitos
Volúmenes finitos
La ecuación de convección-difusión 1D
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
( )1/2i
1/2i 1/2i xΓu F
+++
∂∂−= φφ
i
i1i1/2i
1/2i ∆xxΓ
φφφ −Γ=
∂∂ +
++
Convección Difusión
21
Esquema centrado de orden 2
( )22
uuuu 1ii1ii
1/2i1/2i1/2i++
+++++
==φφφφ
∆x
2
2ux
∆t1ii1i1i1i
ni
1ni −+−+
+ +−Γ=
−+∆
− φφφφφφφ
Independiente de Φ
Introducción al método de volúmenes finitos
Volúmenes finitos
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
� Esquema numéricamente inestable
� Permite oscilaciones de Φ en la solución
Independiente de Φi
22
Esquema descentrado de orden 1
0u si
0u si
1/2i1i1/2i
1/2ii1/2i
<=
>=
+++
++
φφφφ
( ) ( )1ii1i21ii
ni
1ni 2
∆x
Γ
∆xu
∆t −+−
+
+−+
−+− φφφφφφφ
( )0cteu >=
Introducción al método de volúmenes finitos
Volúmenes finitos
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
� Esquema numéricamente estable
� No genera oscilaciones de Φ en la solución
� Muy difusivo
( )( )
( )1ii1i21i1ini
1ni 2
∆x
∆t Γ
∆x 2
∆tu
∆x 2
∆tu −+−+
+ +−
++−−= φφφφφφφ
Difusión numéricaDiscretización centrada de orden 2 2
∆xu n =Γ
23
� Hybrid upwind scheme
� Power-law scheme
� QUICK
Otros esquemas
Introducción al método de volúmenes finitos
Volúmenes finitos
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
24
0∆x
FF∆t
ww 1/2i1/2ini
1ni =−+− −+
+
( ) ( )i1i1ii1/2i ww∆t 2∆x
FF21
F −−+= +++ ( )n1i
n1i
ni ww
21
w +− +=
Esquema de Lax-Friedrichs (muy difusivo)
wF
A∂∂=
equivalente a centrado con:
� Condicionalmente estable (CFL<1)
Otros esquemas
Introducción al método de volúmenes finitos
Volúmenes finitos
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
0Asi FF
0AsiFF
1/2i1i1/2i
1/2ii1/2i
<=>=
+++
++
Esquema descentrado de Godunov
� Monótono (CFL<1)
( ) ( )i1i1/2i1ii1/2i wwA21
FF21
F −−+= ++++
25
0∆x
FF∆t
ww 1/2i1/2ini
1ni =−+− −+
+
wF
A∂∂=
Esquema de Lax-Wendroff de 2 pasos
� Condicionalmente estable (CFL<1)
Otros esquemas
Introducción al método de volúmenes finitos
Volúmenes finitos
)F(wF)F(F∆x∆t
21
)w(w21
w LW21/2i1/2ii1i
n1i
ni
LW21/2i +++++ =→−−+=
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
� No monótono
Esquema centrado de Godunov
)F(wF)F(F∆x∆t
)w(w21
w GC1/2i1/2i
ni
n1i
n1i
ni
GC1/2i +++++ =→−−+=
� Condicionalmente estable (CFL < 0.707)� Monótono para 0.5 < CFL < 0.707� Oscilatorio para CFL < 0.5
26
Otros esquemas
Esquema FORCE
−−+= +++
∆x1
)F(F∆x∆t
21
)w(w21
w i1in
1ini
LW21/2i
Introducción al método de volúmenes finitos
Volúmenes finitos
0∆x
FF∆t
ww 1/2i1/2ini
1ni =−+− −+
+
wF
A∂∂=
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
−−++= ++++ )w(w∆t∆x
F)2F(wF41
F ni
n1i1i
LW21/2ii
force1/2i
� Condicionalmente estable (CFL<1)� Monótono (CFL<1)
27
0x
F(w)tw =
∂∂+
∂∂
[ ]1/2i1/2ini
1ni FF
∆x∆t
ww −++ −−=
Métodos conservativos
Introducción al método de volúmenes finitos
Volúmenes finitos
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
Fi+1/2 Flujo a través de las aristas de las celdas
Lo que sale de una celda entra en la celda de al lado
Conservación de masa / momento
28
0xq
th =
∂∂+
∂∂
Ejemplo: Conservación de masa 1D
0∆x
qq∆t
hh 1/2i1/2ini
1ni =−+− −+
+
uhq ⋅=
Introducción al método de volúmenes finitos
Volúmenes finitos
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
? q ¿ 1/2i+
29
Ejemplo: Conservación de masa 1D
Introducción al método de volúmenes finitos
Volúmenes finitos
0xq
th =
∂∂+
∂∂
0∆x
qq∆t
hh 1/2i1/2ini
1ni =−+− −+
+
uhq ⋅=
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
+
+
++
=+
++
++
+
otras
h2uu2
uhuh2uu
2hh
q
i1ii
1i1iii
1ii1ii
1/2i
Centrado
Centrado
Descentrado
30
0∆x 2
uhuh∆t
hh 1i1i1i1ini
1ni =−+− −−++
+
Ejemplo: Esquema centrado 1D
� Esquema numéricamente inestable
� Permite oscilaciones de h en la solución
Independiente de hi
Introducción al método de volúmenes finitos
Volúmenes finitos
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
1n1i
n1i
1n1i
n1i
ni
1ni hu
∆x 2∆t
hu∆x 2∆t
hh +++
+−−
+ −+=
Coef. negativo � esquema NO monótono� puede generar oscilaciones (inestabilidades)
31
Ejemplo: Esquema descentrado 1D
0∆x
qq∆t
hh 1/2i1/2ini
1ni =−+− −+
+
0xq
th =
∂∂+
∂∂
Introducción al método de volúmenes finitos
Volúmenes finitos
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
32
Ejemplo: Esquema descentrado 1D
0∆x
qq∆t
hh 1/2i1/2ini
1ni =−+− −+
+
>
= + 0usiqq 1/2ii
0xq
th =
∂∂+
∂∂
Introducción al método de volúmenes finitos
Volúmenes finitos
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
<
=++
++ 0usiq
q1/2i1i
1/2ii1/2i
33
Ejemplo: Esquema descentrado 1D
0∆x
qq∆t
hh 1/2i1/2ini
1ni =−+− −+
+
>
= + 0usiqq 1/2ii
0xq
th =
∂∂+
∂∂
0qqhh 1ii
ni
1ni =−+− −
+
Introducción al método de volúmenes finitos
Volúmenes finitos
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
<
=++
++ 0usiq
q1/2i1i
1/2ii1/2i 0
∆xqq
∆thh 1iiii =−+− −
34
Ejemplo: Esquema descentrado 1D
0∆x
qq∆t
hh 1/2i1/2ini
1ni =−+− −+
+
>
= + 0usiqq 1/2ii
0xq
th =
∂∂+
∂∂
0qqhh 1ii
ni
1ni =−+− −
+
Introducción al método de volúmenes finitos
Volúmenes finitos
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
<
=++
++ 0usiq
q1/2i1i
1/2ii1/2i 0
∆xqq
∆thh 1iiii =−+− −
( )21ii1i1i1i
ni
1ni
∆x
q2qq2∆x
x 2qq
∆thh −+−+
+ +−=∆−+−
35
Ejemplo: Esquema descentrado 1D
0∆x
qq∆t
hh 1/2i1/2ini
1ni =−+− −+
+
>
= + 0usiqq 1/2ii
0xq
th =
∂∂+
∂∂
0qqhh 1ii
ni
1ni =−+− −
+
Introducción al método de volúmenes finitos
Volúmenes finitos
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
<
=++
++ 0usiq
q1/2i1i
1/2ii1/2i 0
∆xqq
∆thh 1iiii =−+− −
( )21ii1i1i1i
ni
1ni
∆x
q2qq2∆x
x 2qq
∆thh −+−+
+ +−=∆−+−
2
2
xq
2∆x
xq
th
∂∂=
∂∂+
∂∂
Difusión numérica
36
0∆x
qq∆t
hh n1i
ni
ni
1ni =−+− −
+
Ejemplo: Esquema descentrado 1D
0∆x
qq∆t
hh 1n1i
1ni
ni
1ni =−+− +
−++
n1i
n1i
ni
ni
1ni hu
∆x∆t
u∆x∆t
1hh −−+ +
−= 1n1i
n1i
ni
ni
1ni hu
∆x∆t
hu∆x∆t
1h +−−
+ +=
+⋅
Discretización Explicita Discretización Implicita
Introducción al método de volúmenes finitos
Volúmenes finitos
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
1i1iiii hu∆x
u∆x
1hh −−+
−=1i1iiii hu
∆xhu
∆x1h −−+=
+⋅
ni
ni
ni u
∆x∆t1u
∆x∆t
CFL0u∆x∆t
1 <→<=→>− Restricción sobre el paso de integración temporal
Condición CFLCourant-Friedrichs-Levy
Esquema monótono (estable)Coeficientes positivos
37
Esquemas descentrados de Godunov
[ ]1/2i1/2ini
1ni FF
∆x∆t
ww −++ −−=
0))(x/tF(wF 1/2i1/2i == ++ Flujo numérico
0x
F(w)tw =
∂∂+
∂∂
Introducción al método de volúmenes finitos
Volúmenes finitos
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
0))(x/tF(wF 1/2i1/2i == ++ Flujo numérico
(x/t)w 1/2i+ solución del problema de Riemann
><
=
=∂+∂
+ 0x ifw
0x ifww(x,0)
0F(w)w
n1i
ni
xt
38
Esquemas descentrados de Godunov
Riemann Solvers
(0))F(wF 1/2i1/2i ++ = aproximado(x/t)w 1/2i+
� Primera opción resolver el problema de Riemann de forma exacta (no analítico)
� Resolventes de Riemann aproximadas (approximate Riemann solvers )
� Aproximar el estado de Riemann
Introducción al método de volúmenes finitos
Volúmenes finitos
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
1/2iF+ aproximar el flujo directamente
� Aproximar el flujo de Riemann
Roe Esquema de Roe
HLL Harten - Lax - van Leer (mucha difusión en discontinuidades de contacto, vórtices)
HLLC Harten - Lax - van Leer Contact
( ) ( )i1i1/2i1ii1/2i wwA21
FF21
F −−+= ++++
39
1. Introducción
2. Mallas de cálculo
3. El método de volúmenes finitos
3.1. La ecuación de convección-difusión
3.2. Propiedades de los esquemas numéricos
3.3. Esquemas centrados
INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE VOLÚMENES FINITOS
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
3.3. Esquemas centrados
3.4. Esquemas descentrados
4. Esquemas en volúmenes finitos para las 2D-SWE
40
∑=∂∂
+∂∂+
∂∂
kk
yx Gy
F
xF
tw
Ecuaciones de aguas someras en forma vectorial y conservativa
=
+=
=h
q
F2
gh
h
q
q
Fq
h
w yx
y
y
22x
x
xx
∂∂
∂∂−=
−−=
∂∂
∂=j
je
j3xb,2
b1 x
Uhν
x
0
G
τ
τ
0
GxZ
gh-
0
G
� Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas
� Definido en un dominio 2D
Introducción al método de volúmenes finitos
Esquemas numéricos para 2D-SWE
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
( ) i
3
1kik,L yyxxi
ni
1ni AGdLn~Fn~FA∆t
wwi
∑∫=
+
=++−
Flujo convectivo Término fuente
Discretización temporal y espacial
+
2
gh
h
qh
h
qq2h
q22
yyxy
∂∂
∂∂−
∂∂
−
∂∂∂
j
je
j
jjyb,b
x
Uhν
x
xxτ
yZ
gh-
x
41
( ) ∑∫∈
≈+i
i KjijRLijL yyxx )n,w,(wFdLn~Fn~F
Flujo numérico
Esquemas descentrados de GodunovFlujo convectivo
Introducción al método de volúmenes finitos
Esquemas numéricos para 2D-SWE
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
Estado medio de cada celda
Flujo normal entre celdas
Fij Proyección 1D del flujo normal entre celdas
42
( ) ∑∫∈
≈+i
i KjijRLijL yyxx )n,w,(wFdLn~Fn~F
Flujo numérico
( ) yyxxLRLRRL
ij nFnFZwwA21
2ZZ
F +=−−+=
Esquemas descentrados de GodunovFlujo convectivo
Introducción al método de volúmenes finitos
Esquemas numéricos para 2D-SWE
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
LR22
Centrado Upwind Flujo normal
Matriz |A| de descentramiento� Roe (1986) con regularización de Harten (1983)
� HLL. Harten – Lax – van Leer
� HLLC . Harten – Lax – van Leer - Contact
43
Extensión a orden 2
Esquemas tipo WAFWeight Averaged Flux
Esquemas tipo MUSCLMonotone Upstram Scheme for Conservative Laws
Introducción al método de volúmenes finitos
Esquemas numéricos para 2D-SWE
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
44
[ ]waf1/2-i
waf1/2i
ni
1ni FF
∆x∆t
ww −−= ++ x∆1β x∆2β
λ=tx /
2
t∆
t∆
A B C• ••
Extensión a orden 2 Esquemas tipo WAF
Introducción al método de volúmenes finitos
Esquemas numéricos para 2D-SWE
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
t
0
niq
niq
n1iq +
n1iq +
1/2ix + 2
x∆−2
x∆
)(A wc)(121
)(A wc)(121
F n1i
ni
waf1/2i ++ ⋅−+⋅+=
WAF ~ Lax-Wendroff si c<1
45
1. Se realiza una reconstrucción lineal de las variables en cada celda a partir del valor medio en la celda y del gradiente
Extensión a orden 2 Esquemas tipo MUSCL
Introducción al método de volúmenes finitos
Esquemas numéricos para 2D-SWE
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
2. Extrapolación lineal de las variables conservadas de los nodos a las aristas
3. Los valores extrapolados se utilizan en vez de los valores nodales en el esquema de Godunov correspondiente (Roe, van Leer, HLL, ...)
( ) ∑∫∈
≈+i
i KjijiJIjijL yyxx )n,w,(wFdL n~Fn~F
46
Extensión a orden 2
Orden 2 . Oscilaciones espúrias
Introducción al método de volúmenes finitos
Esquemas numéricos para 2D-SWE
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
Esquemas de alta resolución� Orden 2 excepto en discontinuidades� Sin oscilaciones espúrias � Alta resolución en discontinuidades
47
Extensión a orden 2
Lax-Wendroff Godunov-Upwind
Introducción al método de volúmenes finitos
Esquemas numéricos para 2D-SWE
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
48
)w,...,w,...,H(ww nri
ni
nsi
1ni +−
+ =
j todopara 0wH
nj
≥∂∂
Esquema monótono
∑=+
j
njj
1ni waw
Esquema monótono
lineal no Esquema(w)aa
lineal Esquemactea
jj
j
→=
→=
Introducción al método de volúmenes finitos
Esquemas numéricos para 2D-SWE
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
j
j todopara 0aj ≥Esquema lineal monótono
Teorema de GodunovEsquemas lineales monótonos son de primer orden
( ) ( )( ) ( )n
i1n
i
ni
1ni
1ni
1ni
ni
ni
qminqmin
qmaxqmax
i qwi qw
≥
≤
∀≥→∀≥
+
+
++
Esquema monótono
49
Extensión a orden 2 Esquemas de alta resolución TVD
Propiedad TVDTotal Variation Diminishing
)TV(u )TV(uTVD
uu)TV(u
n1n
i
ni
n1i
n
<→
−=
+
+∑
Introducción al método de volúmenes finitos
Esquemas numéricos para 2D-SWE
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
� No se generan extremos locales� Los máximos locales no aumentan� Los mínimos locales no disminuyen
Teorema de HartenEsquema Monótono � Esquema TVD (condición suficiente, no necesaria)
Coeficientes Positivos � TVD (condición suficiente pero no necesaria )
50
Extensión a orden 2 Esquemas de alta resolución TVD tipo MUSCL
)w(wα ww ijiIj −⋅≤−
0)ww()w(w ijiIj >−⋅−
Limitadores de pendiente
Se imponen 2 condiciones:
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Esquemas numéricos para 2D-SWE
Asignatura: Hidráulica Computacional 2
Profesor: Luis Cea
0)ww()w(w ijiIj >−⋅−
( )[ ]( )[ ])w(wα),w-(wmax 0,min∆0)w(w
)w(wα),w-(wmin 0,max∆0)w(w
ijiIj*iij
ijiIj*iij
−⋅=→<−
−⋅=→>−
MinmodLimitador 0.5α
SuperbeeLimitador 1α
→=→=
51
i
b22
xz
ghgh21
hUxt
hU∂∂−=
+∂∂+
∂∂ ( )
ii
b2
xh
ghxz
ghhUxt
hU∂∂−
∂∂−=
∂∂+
∂∂
� Equivalentes en flujo gradualmente variado
Formulación A Formulación B
xF xF
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Profesor: Luis Cea
� Diferentes en ondas de choque, resaltos hidráulicos
� Formulación A más precisa si hay choques / cambios de régimen
� Formulación B más sencilla / menos problemas con términos fuente
Preferible formulación A
52
i
b22
xz
ghgh21
hUxt
hU∂∂−=
+∂∂+
∂∂
Formulación A
Condiciones hidrostáticas
bzgh
hgh
∂−=∂
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Discretización descentrada de términos fuente
i
b
xgh
xgh
∂−=
∂
Descentrado Centrado
Errores en el equilibrio si fondo irregular
53
Discretización descentrada del flujo convectivo:� estabiliza el esquema, pero� introduce difusión numerica en las ecuaciones
Discretización descentrada de términos fuenteVázquez-Cendón (1994), Bermúdez et al. (1998)
Ld� Discretización descentrada para términos fuente en general
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Profesor: Luis Cea
∑∈
−≈iKj
ij1-ijij
ijij
i
Cii S
2
Ld
A
1SS
� Correcciones de orden 2 para pendiente del fondo
iIKj
ijij
ii
*i S
~
2
Ld
A
1SS
i
∑∈
−≈
54
Término fricción fondo
A. Discretización explicita
qqCxz
ghgh21
hUxt
hUf
i
b22 ⋅−∂∂−=
+∂∂+
∂∂
qq CIh gρ
τf
b ⋅==7/3
2
f hn g
C =
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n
i
ni
nif,
ni
ni
ni
1ni qq CSC∆t
qq ⋅−=+−+
Inestabilidades si fricción importante, valores negativos
( ) ( )ni
ni
n
i
nif,
ni
1ni SC∆tq C1qq +−⋅+−⋅=+
55
Término fricción fondo
B. Discretización semi-implicita
qqCxz
ghgh21
hUxt
hUf
i
b22 ⋅−∂∂−=
+∂∂+
∂∂
qq CIh gρ
τf
b ⋅==7/3
2
f hn g
C =
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n
i
1ni
nif,
ni
ni
ni
1ni q q CSC∆t
qq ++
−=+−
( ) ( )ni
ni
ni
n
i
nif,
1ni SC∆tqqC∆t1q +−⋅+=⋅⋅++
Siempre positivo ���� no genera Inestabilidades
56
Término difusivo (laminar / turbulento)
A. Discretización explicita
Introducción al método de volúmenes finitos
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B. Discretización semi-implicita||tot DDD += ⊥
( )ix,jx,D UUΓD −=⊥⊥
( )Vx,Bx,D|| UUΓD||
−=
57
Contornos tipo pared
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Condición de deslizamiento libre
0y
ε0
y
k
0τ0V
ww
ww
=∂∂=
∂∂
==
Condición de no deslizamiento
2
2
ww
ww
y
kνε0k
0V0U
∂∂==
==
malla de pared muy fina
1y ≈+malla de pared gruesa
100y >>+
58
� Discretización del fondo en escalones de altura constante
� Parametro εwd para definir el frente seco-mojado
� Redefinición del fondo� Condición de reflexión en el frente qn=0
Tratamiento del frente seco-mojado
jb,i Zwse <
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Profesor: Luis Cea
� Condición de reflexión en el frente qn=0� Flujos normales = 0 en el frente
� No se redefine el fondo � No se aplica condición de reflexión
jb,i Zwse >