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APUNTES DE ALGEBRA LINEAL MARCEL SAINTARD VERA SEGUNDO SEMESTRE 2011 Para Curso ÁLGEBRA II- USACH Material N°9

1

2.8.0.- Espacios Vectoriales con Producto Interior: Con el propósito de establecer criterios de medición (para longitud y ángulo) se incorpora a la estructura de Espacio Vectorial V(K), la idea o noción de Producto Interior, es decir, para construir una teoría de medición en un Espacio Vectorial, se precisa de una tercera operación vectorial, el producto interno (p.i.). Teóricamente, en cada espacio vectorial se puede definir uno o más productos interiores que conducirán a sendas métricas o teorías de medida en ese espacio vectorial. Nosotros veremos sólo algunas métricas en matrices Mn(R) y en R n(R) pero, dejando sentada la existencia de muchas otras, debemos consignar que se puede estudiar espacios vectoriales con producto interior sobre R y sobre C (Complejos). En el caso de los complejos las definiciones que veremos se complicarían por cuanto se requiere corregir las imperfecciones que produce la ausencia de orden en C a través de la conjugación compleja. Lo mencionaremos en ocasiones.

2.8.1 Definición de Productos Interiores o Internos: Esta operación tiene la novedad de exigir un resultado escalar cuando se opera dos vectores:

p.i. : V×V K (v,w) <v, w> = k

Ejemplos: 1) En F(R), espacio vectorial de las funciones reales consideremos el subespacio vectorial CI(R) de las funciones continuas en I = [ a, b], por ejemplo, f: [ 0, 1] R, f(x) = (x2 – 1)

Se definición como p.i. habitual: <f, g> = ( ) ( )∫ ⋅b

a

dxxgxf

CI ×CI : R (f, g) <f, g >

2) En Mn(R), se define un p.i. habitual de dos modos equivalentes por su resultante métrico: <A, B >= tr(At·B) o bien <A, B> = tr (A·Bt)

donde tr(A) =∑=

n

1iiia

3) En R n(R), el más habitual p.i. es el llamado p.i. euclidiano o producto punto:

∀ x = (x1, x2, ...,xn), y = (y1, y2, ...,yn)∈R n: <x, y> =∑=

⋅n

1iii yx

o también: x·y = ∑=

⋅n

1iii yx = x1·y1 + x2·y2 + ...... + xn·yn.


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Definición: Sea K el cuerpo de los reales (o de los complejos) y V(K) un espacio vectorial. Un producto interior sobre V es una función que asigna a cada par v, w de V un escalar <v,w> de K de modo que, ∀ u, v, w∈V; α∈K:

a) <u + v, w> = <u, w> + <v, w>

b) <αv, w> = α<v, w>

c) <v, v> ≥ 0

d) <u, v> = <v, u>, cuando K = R

Observaciones: a) La exigencia d), cuando el cuerpo es C, se presenta con el complejo conjugado para el escalar resultante del producto interior, esto se escribe, <u, v> = >< uv, , donde z es el complejo conjugado del complejo z.

b) Note que las condiciones a) y b) se pueden fundir expresándose como una única condición: <αu +β v, w> = α<u, w> + β<v, w>. Y en el caso complejo: <w, αu +β v> = α <w, u> + β <w, v>.

c) Más aún, se puede observar que lo anterior significa que el p.i. respeta las c.l. de V, es decir, se puede generalizar:

<∑=

m

1kkkuα , w> = [ ]∑

=

><m

1kkk wu ,·α

Ejemplo: En R3, el p.i. euclidiano quedaría expresado como:

∀ x = (x1, x2, x3); y = (y1, y2, y3)∈R 3: <x, y> = x1·y1 + x2·y2 + x3·y3; y cumple con:

a) <αu +β v, w> = <(αu1 + βv1, αu2 + βv2, αu3 + βv3),(w1, w2, w3)>

= (αu1 + βv1)w1 + (αu2 + βv2)w2 + (αu3 + βv3)w3

= αu1w1 + βv1w1 + αu2w2 + βv2w2 + αu3w3 + βv3w3

= αu1w1 + αu2w2 + αu3w3 + βv1w1 + βv2w2 + βv3w3

= α(u1w1 + u2w2 + u3w3) + β(v1w1 + v2w2 + v3w3)

= α<u, w> + β<v, w>

∴ <αu +βv, w> = α<u, w> + β<v, w>.

b) <v, v> = (v1)2 + (v2)2 + (v3)2 ≥ 0, evidentemente. c) <u, v> = u1·v1 + u2·v2 + u3·v3 = v1·u1 + v2·u2 + v3·u3 = <v, u>.

Note que en R 3, la operatoria concreta de p.i. sería, por ejemplo:

1º) <(3, –2, 1), (2, 7, –4)> = 3·2 + (–2)·7 + 1·(–4) = –12

2º) <(3, –2, 1), (4, 3, –6) )> = 3·4 + (–2)·3 + 1·(–6) = 0


3

Verifique Ud. que los tres ejemplos de p.i. definidos más arriba, cumplen las condiciones para ser producto interior.

2.8.2.- Norma de un Vector: Para lograr una métrica vectorial y angular resulta útil saber que un

p.i. sobre un cierto espacio vectorial puede ser determinado también por otra función llamada forma cuadrática que a cada vector v le asigna su forma cuadrática. Para esto se define la Norma del vector v.

Definición: ∀ v∈V, se define la norma de v como: vvv ,=

Observación: Con la definición de producto interior y de norma de un vector se podrá

imponer a un espacio vectorial un p.i. que defina en él la 'longitud' de un vector, el 'ángulo' entre vectores y la 'ortogonalidad' vectorial.

Definición: Llamaremos Espacio con producto interno a todo espacio vectorial sobre R (o sobre C) con un producto interior < , > definido sobre ese espacio.

Teorema 8.1.-

Si V(K) es un espacio con producto interno, entonces ∀ v, w∈V; α∈K : a) vα = |α|· v b) v > 0, ∀ v ≠ 0 y V0 = 0. c) |<v, w>| ≤ v w . (Desigualdad de Schwarz)

d) wvwv +≤+ . (Desigualdad Triangular) Demostración: Las afirmaciones a) y b) se desprenden directamente de la definición de norma,

hágalas Usted. Para la afirmación c):

1º) Si w = 0V, entonces < v, w > = v w = 0

2º) Si w ≠ 0, siempre podemos definir: u = v – 2w

wv, w vector para el cual

<u, w> = 0. (Verifíquelo Usted) Y luego, 0 ≤ u 2 = < v –

2w

wv, w, v – 2w

wv, w > y desarrollando el p.i. se

obtiene: u 2 = <v, v> – 2w

vwwv >><< ,,

∴ 2

222

w

wvwv ><− , ≥ 0

y de aquí, 2wv >< , ≤ 22 wv

y, finalmente: |<v, w>| ≤ v · w .

0


4

Para probar la desigualdad triangular, usamos la parte c): 2wv + = 22 wwv2v +><+ , ≤ 22 wwv2v +⋅+

∴ 2wv + ≤ ( )2wv + , con lo cual obtenemos wv + ≤ wv + . Normalización de v ∈ V, cualquiera: Si se define un vector normal o unitario como aquel cuya norma es uno, entonces normalizar a un vector v∈V, consistirá en ponderarlo por el recíproco de su norma construyendo un nuevo vector que llamaremos el normal asociado a v.

Notación: vv1v ⋅=ˆ (vector unitario o de norma uno)

Por ejemplo: Averigüemos, en cada caso si el vector es unitario y si no lo es,

normalicémoslo.

1)

−

21

21

21

21 ,,, en R4, con el p.i. Euclidiano. Notemos que v∈V será

unitario o normal ssi <v,v>=1. Veamos 1

41

41

41

41

21

21

21

21

21

21

21

21

=+++=

−

− ,,,,,,,

∴ este vector es unitario en R4 con el p.i. Euclidiano.

2) En M2(R) con p.i. < A, B > = tr (A·Bt), para A =

−1141

Como <A,B> =∑∑= =

2

ji

2

1kjkik ba , se tiene

<A,A> = ( )∑ ∑= =

+++=2

ji

2

1k

222

221

212

211

2ik aaaaa

∴ 19111611141

1141

=+++=

−

−,

∴A =

−1141

no es unitario pues 19A =

Su normalización sería:

−=

1141

191A


5

2.8.3. Vectores Ortogonales.

Definición: Diremos que u y v∈V con p.i., son ortogonales (⊥) si y sólo si < u, v> = 0.

Ejemplo: En R2, (2,3) y (6,−4) son ortogonales, pues <(2, 3),(6, –4)> = 12 – 12 = 0. Propiedades Básicas:

a) 0v ⊥ v, ∀ v∈V.

b) Si <u, v> = 0, ∀ v∈V, entonces u = 0v.

c) u ⊥ v ⇒ v ⊥ u, ∀u, v∈V.

d) u ⊥v ∧ v ⊥w no implica que u ⊥w, ∀u, v, w∈V.

Definiciones: 1º) Diremos que S ={ }k

1iiS = es un conjunto normal, ssi <si, si> = 1, ∀ i = 1, 2, ..., k.

Notación: S = { }k

1iiS =ˆ

2º) Diremos que S = { }k1iiS = es un conjunto ortogonal ssi <si, sj> = 0, ∀ i ≠ j.

Notación: S⊥ = { }k1iiS =

3º) Diremos que S ={ }k1iiS = es un conjunto ortonormal ssi <si, sj> =

=≠

jisi1jisi0

,,

.

Notación: S ⊥ = { }k

1iiS =ˆ

Observación: Si el conjunto es una base B, entonces B , B⊥, B ⊥ serán bases normal, ortogonal y ortonormal respectivamente

Ejemplo: a) Las bases canónicas en Rn y en Mn son ortonormales.

b) En R4,

−

−

−

−=⊥ 2

121

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21B ,,,,,,,,,,,,,,,ˆ es base ortonormal;

pero B⊥ = {(1, –1,1,1), (1,1, –1,1), (1, 1, 1, –1), (–1, 1, 1, 1)} es sólo base ortogonal.

3

2 6

− 4

y

x


6

2.8.3.1.- Teoremas Adicionales de Ortogonalidad:

a)

Demostración: Sea ∑=

k

1iiivα = 0v, ∀vi∈S, αi∈IK. Luego, para cada j variando de 1 a k,

<vj, ∑=

k

1iiivα > = <vj, 0v> = 0

∴∑=

><k

1iiji vv ,α = 0, pero <vj, vi> =

=

≠

jivji0

2

j si,si,

∴ 2jj vα = 0, con jv ≠ 0 ya que S no tiene vectores nulos.

∴αj = 0, para cada j variando de 1 a k. Luego, S es l.i.

b)

c) Consecuencia: ⊥S es s.e.v. ortogonal con <S>, se dice que ⊥S y <S> son s.e.v. complementos

ortogonales.

Pues: 1º) ⊥S ∩ <S> = {0v}

2º) ⊥S + <S> = V

∴tenemos una suma directa: ⊥S ⊕ <S>

(note que la unión de sus bases será base de V.)

Ejemplo: Sea S = {(1, 2, 1, –1)}⊆R4. Obtenga ⊥S y una base para R4, a partir de S.

Respuesta: Sea (x, y, z, u)∈ ⊥S , luego: <(x, y, z, u), (1, 2, 1, –1)> = 0

∴ x + 2y + z – u = 0

u = x + 2y + z = 0 , ∀x, y, z∈IR

∴(x, y, z, x + 2y + z) ∈ ⊥S ,∀x, y, z∈IR

lo cual significa que ⊥S = <{(1, 0, 0, 1),(0, 1, 0, 2), (0, 0, 1, 1)}> es el s.e.v. complemento ortogonal de <S>.

Y una base para R4, sería: BR4

= {(1, 2, 1, –1), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 2), (0, 0, 1, 1)}

Un conjunto ortogonal en V(K), es un conjunto l.i., si no contiene al vector nulo. Es decir, [S ={ }k

1iiS = ⊆ V, con vi ⊥ vj; cuando i≠ j; 0v∉S] ⇒ S es l.i.

Si w∈V es ortogonal con cada vector de S⊆V entonces w es ortogonal con cada vector de <S>. (Consecuencia de lo anterior) El conjunto de todos los vectores ortogonales a un conjunto S no vacío, es un s.e.v de V y se le llama s.e.v. ortogonal a S. Notación: ⊥S .


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2.8.3.2. Teoremas con Norma. Ya hemos visto que en Espacios Vectoriales con p.i. sobre R, la norma o longitud de un

vector v∈V es vvv ,= y hemos dicho que se cumple:

1.- v ≥ 0, ∀ v∈V; v = 0 ⇒ v = 0v. 2.- vα = |α|· v ∀α∈ R, v∈V.

3.- |<v, w>| ≤ v · w . 4.- wvwv +≤+ , ∀ v, w∈V.

5.- vv1v ⋅=ˆ , vector unitario. 6.- 2v = <v, v>∀ v∈V.

Ahora, gracias a la ortogonalidad (v⊥w ⇔ <v, w> = 0), se puede agregar:

7.- Teoremas de Pitágoras: ∀v, w∈V, espacio vectorial con p.i., Si v⊥w entonces 222 wvwv +=+ .

Demostración: 2wv + = <v + w, v + w> = <v + w, v> + <v + w, w> = <v, v> + <w, v> + <v, w> + <w, w>, pero <v, w> = 0 = 2v + 2w

∴ 222 wvwv +=+

8.- Diagonales en paralelogramo: ∀v, w∈V, espacio vectorial con p.i.,

2wv + + 2wv − = 2 2v +2 2w

Demostración: Es análoga a la anterior, hágala desarrollando 2wv + y 2wv − . Haga un dibujo para visualizar la situación.

9.- Coeficiente de Fourier (proyección de un vector sobre otro):

Sea w∈V, no nulo. ∀ v∈V, espacio vectorial con p.i., ∃! α∈R /(v − αw) ⊥ w. Es fácil probar que α existe y que tiene la forma: α =

2w

wvwwwv ,

,,

= .

Demostración: Para que v – αw sea ⊥ con w, exigimos que <v – αw, v> = 0.

∴<v, w> – α<w, w> = 0, y luego α =ww

vw,

, existe por construcción

si w ≠ 0v. Se define a este escalar α como la componente de v sobre w, y se le anota: c =

2w

wv, .

También a c se le llama coeficiente de Fourier para v, con respecto a w. Además, cw es la proyección de v sobre w, luego,

2w

wv, ·w es la proyección de v

sobre w.

w

v

v + w


8

Observación: Note que si w = u fuese unitario (normal), la proyección de v sobre w sería simplemente <v, u > u .

Ejemplo: En Rn, con ej = (0, 0, ... 0 ,1 , 0, ..., 0), j-ésimo vector de la base canónica, la proyección de x = (x1, x2, ... , xn) sobre ej, sería simplemente el vector proyección <x, ej > = xj·ej = (0, 0, ... 0 ,xj , 0, ..., 0).

10.- Angulo entre vectores: Si el ángulo formado por v y w mide α, entonces se deduce de lo anterior que cos α =

wvwv, .(haga un dibujo)

Demostración: En el triángulo que forman los dos vectores v y w, cuyos lados serán de medidas v , w y wv − , aplicamos la ley del coseno para el ángulo α, resultando:

2wv − = v 2 + w 2 − 2 v · w cos α, y despejando cos α,

2 v · w cos α = v 2 + w 2 − 2wv −

= v 2 + w 2 −[ v 2 − 2<v, w> + w 2]

= 2<v, w>

De donde resulta obvio que cos α = wvwv, .

11.- Ortogonalidad a un conjunto de vectores:

Si S = { }m1iiv = es un conjunto ortogonal en V, espacio vectorial con p.i., entonces,

para cualquier vector v∈V, no generado por S (v∉< S >), existe el vector

∑=

−m

1iiivcv que es ortogonal a cada vector de S.

Demostración: Hágala Usted mismo sabiendo que los vectores de S son ortogonales todos entre sí: <vi,vj> = 0, si i ≠ j), y que ci es el coeficiente de Fourier para cada vi de S sobre v

Consecuencia: Diremos que la proyección de v sobre S, o sobre <S>, es ∑=

m

1iiivc .

Si S = { }m1iiu =ˆ es base ortonormal de <S> entonces a ∑

=

><m

1iii uuv ˆˆ,

se le llama proyección ortogonal de v sobre <S> y anotamos PrvS. Además, es consecuencia directa de este teorema Nº11 el importante Teorema de Gram-Schmidt que permite construir una base ortogonal a partir de una base ordenada cualquiera en cualquier subespacio o espacio con p.i.


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2.8.4.- Teorema de Gram-Schmidt: Proceso de Ortogonalización.

Todo s.e.v. W de V tiene al menos una base ortogonal que se puede construir a través del proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt, a partir de una base cualquiera de V.

Demostración: Se usa el Principio de Inducción Matemática de carácter fuerte que consiste en: 1º) Verificar para el primer elemento. 2º) Suponer verdadero para los elementos anteriores a un m–ésimo elemento; y, 3º) Demostrar para ese m–ésimo elemento. Hagámoslo.

Sea B = { }m1iiv = una base ordenada cualquiera de W ≤ V.

1º) Sea w1 = v1. Construyamos w2 = v2 – c1v1, con c1 =11

12

vvvv

,, ,

coeficiente de Fourier de v2 sobre v1, de modo que w2 ⊥ v1 y así el conjunto {w1, w2} será ortogonal.

2º) Suponemos que esta construcción de wk es posible hacerla hasta

obtener el conjunto ortogonal { } 1m1ikw −

= con wk = ∑−

=

−1k

1iiik vcv ,∀ k ≤ m.

3º) Demostramos, usando la propiedad Nº11 anterior, que el último

vector wm = ∑−

=

−1m

1iiim vcv es ortogonal a cada vector de { } 1m

1ikw −= , y, por

lo tanto el conjunto total { }m1ikw = resulta ortogonal.

De este modo, queda demostrado que hemos construido una base ortogonal para W, pues, por teorema a) del acápite 2.8.3.1.-, todo conjunto ortogonal sin vector nulo es l.i.

Luego, B⊥ = { }m1iiw = será base ortogonal de W ≤ V.

Observación: Si al final del proceso se normaliza cada vector obteniendo los nuevos vectores kw =

kw1 wk, se construirá una base ortonormal para W.

Opcionalmente, se puede normalizar en cada paso del proceso, obteniendo

uk = kw sucesivamente y simplificando cada wk = ∑−

=

><−1k

1iiikk uuvv , .

El proceso de ortonormalización quedaría:

1º) 1u = 1v

1 v1

2º) w2 = v2 - <v2,u1>u1, y normalizamos 2u = 2w

1 w2

Y así sucesivamente, para el k-ésimo vector, con k variando de 3 a m: kº) wk = vk – [<vk,u1>u1 + <vk,u2>u2 + ........ + [<vk,uk – 1>uk – 1

y normalizamos ku = kw

1 wk

Con todo lo cual hemos construido la base ortonormal B ⊥ = { }m1iiu =ˆ


10

Ejemplo: Aplique el proceso de Gram-Schmidt para ortogonalizar y ortonormalizar la base B = {(1,0, 0, 1), (0, 2, −1, 1), (1, 1, 1, 0)} de W≤ R4.

Además, para v = (2, 3, 0, 4) que no está en W (Verifíquelo), obtenga su proyección ortogonal sobre W.

Respuesta: 1º) Al normalizar v1 = (1,0,0,1), obtenemos 1u = ),,,(),,,(

10011001 = (

21 ,0, 0,

21 )

2º) w2 = v2 − <v2, 1u > 1u

= (0, 2, −1, 1) − <(0, 2, −1, 1),(2

1 , 0, 0, 2

1 )> (2

1 , 0, 0, 2

1 )

= (0, 2, −1, 1) − 2

1 (2

1 , 0, 0, 2

1 ) = (0, 2, −1, 1) − (21 , 0, 0,

21 )

= (−21 , 2, −1,

21 ) =

21 (−1, 4, −2, 1)

y normalizamos 2u = ),,,(),,,(

12411241

−−−− = (

221− ,

224 ,

222− ,

221 )

3º) w3 = v3 − <v3, 1u > 1u − <v3, 2u > 2u

= (1, 1, 1, 0)− 2

1 (2

1 , 0, 0, 2

1 ) − 221 (

221− ,

224 ,

222− ,

221 )

= (1, 1, 1, 0)− (21 , 0, 0,

21 ) − (

221− ,

224 ,

222− ,

221 )

= (116 ,

119 ,

1112 ,

116

− ) = 113 (2, 3, 4,−2)

y normalizamos 3u = 3w

1 w3 = ),,,(),,,(

24322432

−− = (

332 ,

333 ,

334 ,

332− )

B ⊥ = {(2

1 , 0, 0, 2

1 ),(221− ,

224 ,

222− ,

221 ),(

332 ,

333 ,

334 ,

332− )}

es base ortonormal

Ahora, para v = (2, 3, 0, 4) obtengamos su proyección ortogonal sobre W. Probemos que v ∉W verificando que v es l.i. respecto de B.

Si escalonamos

−

4032011111201001∼

−−

20301110

11201001

∼

−−

200033001110

1001

Se concluye que B∪ {v} es l.i. y luego v ∉W.

La proyección ortogonal de v sobre W es ∑=

><3

1iii uuv ˆˆ, , luego,

PrvW = <v, 1u > 1u + <v, 2u > 2u + <v, 3u > 3u

= 2

61u +

2214

2u + 335

3u = (38 ,3,

32

− , 3

10 ).

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