UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PER FACULTAD DE INGENIERA CIVIL

REA DE ESTRUCTURAS

ANLISIS DE 2do ORDEN

No-Linealidad Geomtrica

(Efecto P-Delta)

Curso : Anlisis Estructural II

Ciclo : VIII

Docente : Ing. Ronald Santana Tapia

Huancayo - Per

2012

INTRODUCCIN

Una de las hiptesis del anlisis estructural de sistemas elsticos lineales es que las deformaciones son finitas, pero suficientemente pequeas en magnitud para poder establecer el equilibrio de la estructura en la configuracin no deformada sin incurrir en errores significativos.

Esta suposicin es generalmente vlida para el estado de servicio de estructuras y, por lo tanto, el anlisis de 1er orden es adecuado para determinar la respuesta de la estructura para este nivel de solicitaciones.

Sin embargo, cuando se debe determinar la capacidad de la estructura, ya sea en trminos de resistencia (nivel de diseo) o de deformacin (nivel de diseo o ltimo), necesariamente tenemos que considerar los efectos de las solicitaciones actuando en la configuracin deformada de la estructura, por lo tanto, estaremos hablando de un anlisis de 2do orden o conocido tambin como efecto P-delta.

Hasta ahora hemos analizado estructuras con un comportamiento lineal y elstico.

La no-linealidad se puede deber solamente a que el material no es lineal y estamos en el

caso de NO-LINEALIDAD FISICA.

Si en cambio la no-linealidad se debe a que los desplazamientos en la estructura no son

pequeos estamos en el caso de NO-LINEALIDAD GEOMETRICA.

Veamos los cuatro niveles de anlisis que podemos plantear:

ANLISIS ELSTICO:

1. Anlisis elstico de 1er Orden:

Las deformaciones de seccin y los desplazamientos de la estructura son

pequeos

El ms comnmente utilizado para diseo hoy en da. No considera ninguna de las

fuentes de no linealidad de estructuras. Matricialmente lo podemos expresar como

la solucin al problema:

, - * + * +

2. Anlisis elstico de 2do Orden:

Las deformaciones de seccin son pequeas y los desplazamientos de la estructura

no son pequeos

Considera los efectos de sobre esfuerzos y deformaciones de la estructura

provenientes de considerar el equilibrio de sta en la posicin deformada. No

incluye los efectos de la no-linealidad del material, pero permite determinar la

ANLISIS

ELSTICO

(lineal fisico)

1er Orden

(lineal geomtrico)

2do Orden

(no-lineal geomtrico)

INELSTICO

(no-lineal fisico)

1er Orden

(lineal geomtrico)

2do Orden

(no-lineal geomtrico)

estabilidad elstica de estructuras sometidas simultneamente a cargas verticales

(gravitacionales) y laterales (sismo). El problema debe plantearse en forma

incremental, debido a que el estado actual de la estructura depende de lo que haya

pasado anteriormente.

Entonces, tenemos que resolver el problema:

[ ] * + * +

En donde:

K : Matriz de rigidez elstica de la estructura.

Kg : Matriz de rigidez geomtrica de la estructura.

u :Vector de desplazamientos de la estructura.

du : Incremento de desplazamiento.

f :Vector de fuerzas externas de la estructura.

ANLISIS INELSTICO:

3. Anlisis inelstico de 1er Orden:

Las deformaciones de seccin no son pequeas y los desplazamientos de la

estructura son pequeos

Es el caso del anlisis de estructuras en rgimen anelstico (clculo plstico), donde

en ciertas zonas o secciones de la estructura se alcanza deformaciones muy

importantes que se traducen en la formacin de articulaciones plsticas, a pesar de

las cuales los desplazamientos de la estructura se mantienen pequeas y el

equilibrio puede seguir siendo analizado sin tenerlos en cuenta. Esta es una NO-

LINEALIDAD FSICA.

Similarmente al caso anterior, es necesario plantear el problema en trminos

incrementales de la siguiente forma:

, - * + * +

En donde:

K : Matriz de rigidez elstica de la estructura.

Km : Matriz de reduccin plstica de la estructura.

u :Vector de desplazamientos de la estructura.

du : Incremento de desplazamiento.

f :Vector de fuerzas externas de la estructura.

4. Anlisis inelstico de 2do Orden:

Las deformaciones de seccin y los desplazamientos no son pequeos

Considera tanto la no-linealidad del material como la no-linealidad geomtrica. En

trminos generales, provee la presentacin ms adecuada del comportamiento real

de la estructura ante cargas.

El problema a resolver se puede representar como:

[ ] * + * +

En donde:

K : Matriz de rigidez elstica de la estructura.

Kg : Matriz de rigidez geomtrica de la estructura.

Km : Matriz de reduccin plstica de la estructura.

u :Vector de desplazamientos de la estructura.

du : Incremento de desplazamiento.

f :Vector de fuerzas externas de la estructura.

ANLISIS DE 2do ORDEN CON EFECTO P-DELTA

(No-Linealidad Geomtrica)

Anlisis Estructural Convencional: (anlisis de 1er Orden)

En los anlisis de estructuras planas que realizamos con los mtodos convencionales

clsicos, las ecuaciones de equilibrio se plantean en la estructura no deformada, es decir

con referencia a la geometra inicial, esto es posible si los desplazamientos laterales son

pequeos.

Sea la estructura de la fig. 1:

H

El vector de fuerzas internas en los extremos de cada elemento en eje local, considera el

equilibrio con la orientacin lineal inicial del elemento, fig. 2:

Anlisis Estructural con Efecto P : (anlisis de 2do Orden)

Cuando los desplazamientos laterales son considerables, las ecuaciones de equilibrio deben

formularse considerando la orientacin de los elementos con la geometra deformada (no-

linealidad geomtrica), agregando fuerzas correctivas adecuadas.

Sea la estructura fig. 3, sin cargas y sin deformarse. Ahora bien, se le somete a la accin de

dos cargas w y H debiendo la estructura deformarse hasta encontrar su equilibrio y

estabilidad, fig. 4. Es en este estado deformado donde debe en rigor, plantearse las

ecuaciones de equilibrio, considerando el momento adicional causado por las fuerzas

axiales (P) en los extremos de los elementos actuando a travs de la posicin desplazada de

estos ().

H

El anlisis de 2do Orden se desarrolla incrementalmente o por aproximaciones sucesivas,

con un criterio de convergencia y control de los efectos que podran ser a) esfuerzos

internos de los elementos , b) control de las deformaciones de la estructura.

Cuando se habla en general del efecto de segundo orden sobre los esfuerzos se utiliza

normalmente el termino Efecto P-delta.

Los efectos de segundo orden afectan los esfuerzos tanto en columnas como en vigas y

conexiones.

Los momentos de segundo orden no tienen necesariamente la misma distribucin que los

de primer orden. Por lo tanto, el uso de factores de amplificacin para considerar estos

efectos debe hacerse con mucho cuidado de las hiptesis consideradas cuando se

derivaron estos factores.

El principio de superposicin de causas y efectos ya no es aplicable. Para considerar los

efectos de segundo orden en el anlisis es necesario aplicar todas las acciones al mismo

tiempo, magnificadas por sus respectivos factores si se est utilizando el mtodo de diseo

por estados lmites (a la rotura).

MATRIZ DE RIGIDEZ DE BARRAS

(Con Efecto P-Delta)

Para un anlisis de 1er Orden:

Para un anlisis de 1 Orden:

1 = 2 = 3 = 4 = 1

MATRIZ DE RIGIDEZ DE BARRAS

(CASO GENERAL)

DX = Xj Xi Cx = cos =DX

L

DY = Yj Yi Cy = sen =DY

L

L = DX2 + DY2

Para un anlisis de 2do Orden:

Para un anlisis de 2 Orden:

[ ( )

]

, ( )-

Adems:

( )

)

Donde:

N: Fuerza axial del elemento (a compresin se asume positivo)

Criterio de Convergencia:

|

| ".i"iteracinlaparaelementodelaxialFuerza:

e

i e"" N

.orden1deanalisiselparaelementodelaxialFuerza:e0 e"" N