1.3.circulo-mohr

7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr

1/23

Dpto. Fsica y Mecnica

Elvira Martnez Ramrez


2/23


3/23

Dada una figura, de rea A, se quiere

conocer las rectas R 1 y R2 queproporcionan el mximo y mnimovalor del momento de inercia, as como dichos valores de los momentosde inercia

Una recta R que proporcione un mximo (o mnimo) del

momento de inercia forma con el eje OX un ngulo


4/23

2 2

cos s 2 cosR OX OY XYI I I en P sen = +

2 2 cossen sen =

2 1(1 cos 2 )

2sen =

2 1cos (1 cos 2 )

2 = +

cos 2 22 2

OX OY OX OY

R XYI I I II P sen + = +


5/23

/ 2 = +

cossen =

1 2

( ) cos cosR R XY OX OY

P P sen I I sen sen = +

Si R1 es perpendicular a R2

cos sen=

1 2cos 2 2

2

OX OY R R XY

I IP P sen

= +

( ) cos 2sen + =


6/23

Si el producto de inercia respecto a dos rectas R1 y R2 es

nulo, se verifica

cos 2 2 02

OX OY

XY

I I

P sen

+ =

2

2

XY

OY OX

P

tg I I =

forma que se cumple

El momento de inercia respecto a dicha recta ser mximo

o mnimo


7/23

1 22 cos 2

2

OX OY R R XY

I IP sen P

= +

cos 2 22 2

OX OY OX OY

R XY

I I I II P sen

+ =

Reordenando las ecuaciones anteriores

Elevando al cuadrado cada ecuacin

2 2

2 2 2cos 2 2 2 cos 2 2

2 2 2

OX OY OX OY OX OY R XY XY

I I I I I II P sen P sen

+ = +

1 2

2

2 2 2 22 2 2 cos 2 cos 2

2 2

OX OY OX OY R R XY XY

I I I IP sen P sen P

= + +


8/23

1 2

2 2

2 2

2 2

OX OY OX OY

R R R XY

I I I I

I P P

+ + = +

Sumando las dos ecuaciones

C(a,b)

2 2 2

( ) ( )x a y b R + =

Donde y( )2 , 0OX OY I I

C + ( )

22

2OX OY I I

XYR P

= +


9/23

R

( ) 22

2 XY

II

PR OYOX

+=

2XY

P

2OX OY I I+

2OX OY I I

Calculamos el radio por aplicacin del teorema de Pitgoras


10/23

R

2XY

P

2

22

OX OY

XY XY

I IOX OY

P Ptg

I I

= =

2OX OY I I

Calculamos la tangente del ngulo


11/23


12/23

Elegir unos ejes y una escala apropiada para dibujar los

momentos y productos de inercia

Nombrar los ejes

P

Los momentos de inerciason siempre positivos, los

productos de inerciapueden ser positivos,negativos o nulos .

I


13/23

A(IOX, PXY)

B(IOY, - PXY)

A(IOY, PXY)

B(IOX, - PXY)

P P

I I

B(IOY, - PXY)

A(IOX, PXY)

PXY


14/23

P

A(IOX, PXY)

Suponiendo Pxy positivo e IOX>IOY

Dibujar los puntosA(IOX, PXY) y B (IOy, PXY).

I

B(IOY, - PXY)


15/23

Conectar los puntos Ay B, mediante una

lnea recta.

P

A(IOX, PXY)

I

B(IOY, - PXY)

C

El punto de corte con

el eje I es el centro dela circunferencia, C.


16/23

P

A(IOX, PXY)

XYP

I

B(IOY, - PXY)

2

OX OY I I

( )OX OY I I

C


17/23

Dibujar la circunferencia con

centro en C y radio R=CA=CB

( )2 2

2

OX OY I I

XYR P

= +

P

A(IOX, PXY)

XYP

Los puntos de corte dela circunferencia con eleje I, son los puntos Dy E

I

B(IOY, - PXY)

2

OX OY I I

( )OX OY I I

CE D


18/23

Los puntos de corte de

la circunferencia con eleje I, son los puntos Dy E (D>E)

max 2

OX OY I I

OYOD I I R

= = + +

P

A(IOX, PXY)

max 2

OX OY I II R+= +

I

B(IOY, - PXY)

2

OX OY I I

C

ROYI

E D


19/23

minOE I OC CE OC R= = = P

A(IOX, PXY)

m x 2

OX OY I I

iI R+

=

I

B(IOY, - PXY)

2

OX OY I I

C

ROYI

E D


20/23

P

A(IOX, PXY)2

2

OX OY

XY XY

I I

OX OY

P P

I I

=

XYP

La tangente del ngulo que forma CA con CD es

I

B(IOY, - PXY)

2

OX OY I IC E D

Que coincide con 2


21/23

P

A(IOX, PXY)

Para que la recta CA

(IOX) llegue a la rectaCD (Imax) tiene quegirar un ngulo 2 ensentido horario

I

B(IOY, - PXY)

CE D

Para que la recta CB(I

OY

) llegue a la rectaCE (Imin) tiene quegirar un ngulo 2 ensentido horario


22/23

P

A(IOX, PXY)

Un ngulo 2 en el crculo de Mohren sentido horario, se correspondecon un ngulo en la figura real

I

B(IOY, - PXY)

CE D2


23/23

El eje OX tiene que girar un ngulo en sentido antihorario para obtener larecta R1 que proporciona el mximo

valor del momento de inercia.

El eje OY tiene que girar un ngulo

en sentido antihorario para obtener larecta R2 que proporciona el mnimovalor del momento de inercia.

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