Download - 1.3.Circulo-Mohr
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
1/23
Dpto. Fsica y Mecnica
Elvira Martnez Ramrez
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
2/23
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
3/23
Dada una figura, de rea A, se quiere
conocer las rectas R 1 y R2 queproporcionan el mximo y mnimovalor del momento de inercia, as como dichos valores de los momentosde inercia
Una recta R que proporcione un mximo (o mnimo) del
momento de inercia forma con el eje OX un ngulo
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
4/23
2 2
cos s 2 cosR OX OY XYI I I en P sen = +
2 2 cossen sen =
2 1(1 cos 2 )
2sen =
2 1cos (1 cos 2 )
2 = +
cos 2 22 2
OX OY OX OY
R XYI I I II P sen + = +
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
5/23
/ 2 = +
cossen =
1 2
( ) cos cosR R XY OX OY
P P sen I I sen sen = +
Si R1 es perpendicular a R2
cos sen=
1 2cos 2 2
2
OX OY R R XY
I IP P sen
= +
( ) cos 2sen + =
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
6/23
Si el producto de inercia respecto a dos rectas R1 y R2 es
nulo, se verifica
cos 2 2 02
OX OY
XY
I I
P sen
+ =
2
2
XY
OY OX
P
tg I I =
forma que se cumple
El momento de inercia respecto a dicha recta ser mximo
o mnimo
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
7/23
1 22 cos 2
2
OX OY R R XY
I IP sen P
= +
cos 2 22 2
OX OY OX OY
R XY
I I I II P sen
+ =
Reordenando las ecuaciones anteriores
Elevando al cuadrado cada ecuacin
2 2
2 2 2cos 2 2 2 cos 2 2
2 2 2
OX OY OX OY OX OY R XY XY
I I I I I II P sen P sen
+ = +
1 2
2
2 2 2 22 2 2 cos 2 cos 2
2 2
OX OY OX OY R R XY XY
I I I IP sen P sen P
= + +
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
8/23
1 2
2 2
2 2
2 2
OX OY OX OY
R R R XY
I I I I
I P P
+ + = +
Sumando las dos ecuaciones
C(a,b)
2 2 2
( ) ( )x a y b R + =
Donde y( )2 , 0OX OY I I
C + ( )
22
2OX OY I I
XYR P
= +
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
9/23
R
( ) 22
2 XY
II
PR OYOX
+=
2XY
P
2OX OY I I+
2OX OY I I
Calculamos el radio por aplicacin del teorema de Pitgoras
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
10/23
R
2XY
P
2
22
OX OY
XY XY
I IOX OY
P Ptg
I I
= =
2OX OY I I
Calculamos la tangente del ngulo
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
11/23
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
12/23
Elegir unos ejes y una escala apropiada para dibujar los
momentos y productos de inercia
Nombrar los ejes
P
Los momentos de inerciason siempre positivos, los
productos de inerciapueden ser positivos,negativos o nulos .
I
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
13/23
A(IOX, PXY)
B(IOY, - PXY)
A(IOY, PXY)
B(IOX, - PXY)
P P
I I
B(IOY, - PXY)
A(IOX, PXY)
PXY
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
14/23
P
A(IOX, PXY)
Suponiendo Pxy positivo e IOX>IOY
Dibujar los puntosA(IOX, PXY) y B (IOy, PXY).
I
B(IOY, - PXY)
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
15/23
Conectar los puntos Ay B, mediante una
lnea recta.
P
A(IOX, PXY)
I
B(IOY, - PXY)
C
El punto de corte con
el eje I es el centro dela circunferencia, C.
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
16/23
P
A(IOX, PXY)
XYP
I
B(IOY, - PXY)
2
OX OY I I
( )OX OY I I
C
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
17/23
Dibujar la circunferencia con
centro en C y radio R=CA=CB
( )2 2
2
OX OY I I
XYR P
= +
P
A(IOX, PXY)
XYP
Los puntos de corte dela circunferencia con eleje I, son los puntos Dy E
I
B(IOY, - PXY)
2
OX OY I I
( )OX OY I I
CE D
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
18/23
Los puntos de corte de
la circunferencia con eleje I, son los puntos Dy E (D>E)
max 2
OX OY I I
OYOD I I R
= = + +
P
A(IOX, PXY)
max 2
OX OY I II R+= +
I
B(IOY, - PXY)
2
OX OY I I
C
ROYI
E D
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
19/23
minOE I OC CE OC R= = = P
A(IOX, PXY)
m x 2
OX OY I I
iI R+
=
I
B(IOY, - PXY)
2
OX OY I I
C
ROYI
E D
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
20/23
P
A(IOX, PXY)2
2
OX OY
XY XY
I I
OX OY
P P
I I
=
XYP
La tangente del ngulo que forma CA con CD es
I
B(IOY, - PXY)
2
OX OY I IC E D
Que coincide con 2
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
21/23
P
A(IOX, PXY)
Para que la recta CA
(IOX) llegue a la rectaCD (Imax) tiene quegirar un ngulo 2 ensentido horario
I
B(IOY, - PXY)
CE D
Para que la recta CB(I
OY
) llegue a la rectaCE (Imin) tiene quegirar un ngulo 2 ensentido horario
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
22/23
P
A(IOX, PXY)
Un ngulo 2 en el crculo de Mohren sentido horario, se correspondecon un ngulo en la figura real
I
B(IOY, - PXY)
CE D2
-
7/26/2019 1.3.Circulo-Mohr
23/23
El eje OX tiene que girar un ngulo en sentido antihorario para obtener larecta R1 que proporciona el mximo
valor del momento de inercia.
El eje OY tiene que girar un ngulo
en sentido antihorario para obtener larecta R2 que proporciona el mnimovalor del momento de inercia.