98814179 el circulo de mohr fundamento y aplicaciones
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CONSEJO EDITORIAL
F. Josh Amonlo flologuere £ep•do, O..Re!"or #ensrol
R edro Jos$ D"o% Como&ho, O..'(!!rr!!for A!od$m(!o #enerol
R )or!o An"on(o *edo Sollnos, O.*'(!erre!"or Adm(n(sfro"(+o F(non!(ero#ensrol
. Lu(s Fren-(s!o So!"oue Ro+/do, O.*'(!srro!"or #/n!rol '0AD
D(re!"or de "o 0n(dod de ln+es"(go!(dn osgrodo
A(do )orfo */1o%ono 'o%eloEd("oro
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0n(+ors(dod Son"o Tomds
Cones<o ;d(for(ol
Correro 3 N= SJ 8>7
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s*ogo"d, D.C., Colom;(o
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CONTENIDO
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7
9J
@. rop(edodes geom$"r(!os de "ose!!(dn
S. C$l!ulo de esfuer%os en me!on(!o de suelos
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9. E
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PRE
SEN TACION
El !(r!ulo de )ohr ss uno do los po!os
!ons"ru!!(ones grdf(!os en (ngen(sr(o
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!(+(l ue no ho perd(do (mpor"on!(o !on
"o (n"rodu!!(dn de los !ol!ulodoros
los !ompu"odor/s. Lo ro%dr poro es"o
+(gen!(o se en!usn"ro en "o
(nformo!($n, s(muhdneomen"e generol
d!"ollodo, ue el !(r!ulo de )ohr sum(n(s"ro so;r/ d!"erm(nodos
pro;lemos en (ngen(er(o.
Los opl(!o!(ones d! es"o !ons"ru!!($n
grdf(!o "(/nen su fundomen"o en los
lees de "rons8 formo!($n de !(sr"os
er"(dodes mo"em/"(!os llomodos
"ensoros, o los ue el !(r!ulo de NGohr
repres/n"o !on sen!(lle% !lor(dod. 0no
d! sus !oro!"orls"(!os reds (mpor"on"es
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es ue, -unue se de uno
solu!(@n gr@£!o, su !ons"ru!!($n no/(ge, en "o moor(o de los
opl(!o!(ones, med(dos o es!olo. Ton
s6lo es ne!esor(o re!urr(r o relo!(on/s
"r(gonom$"r(!os elemen"oles poro
o;fener /!uo!(ones de (n"or$s on "o
solu!(dn de olgunos pro;lemos prop(os
de "o res(s"en!(o de mo"er(oles de Io
me!dn(!o d! su!los.
Es"o pu;l(!o!($n presen"o los usos mos
!omunes del !(r!ulo d! NGohr o "ro+$s
de "o solu8 !($n de mdlf(ples /Hor!(!(os
numdr(!os. En ello se d(s!u"en en de"olle
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el esfodo de esfuer%os en /" plono en
of espo!(o, los prop(edodes geom6fr(!os
de los se!!(ones olgunos opl(!o8
!(ones en me!dn(!o de suelos.
El ou"or ogrode!o /" (ngen(ero !(+(l Er(n)om, u(en d(gr"d !u(dodo•omen"/ el
monus!rr"o, of (ngen(ero )ono Com(lo
Torres, u(en re+(s$ !omplem!n"$ !on
+ol(osos sug!ron!(os es"o do!umen"o. 0n
ro!ono!(m(/n"o espe!(/l ol Depor"omen"o
do u;l(!o!(ones de "o 0n(8 +ers(dod
Son"o Tomds por su oudo (n+oluo;le.
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O"fo )ohr prssonf$ "o !ons"ru!!(dngrdf(!o ue lle+o su nom;rs en J 55>.
Es"o pu;l(!o!($nes un
homsn
o He o
su /n
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ESFUERZOS EN
ELPLANO
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B. DED0CCION DE LASEC0ACIONES
F0NDA)ENTALES
Se mos"rord o !on"(nuo!($n !$mo
med(onfo el !(r!ulo de )ohr es pos(;le
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o;"ener los epro8 s(onss ue psrm("en
"o "ronsformo!($n de esfuer%os en el
plono en un pun"o !uolu(ero.
re+(omen"e es opor"uno re!ordor ue2
El es"odo d! osfu!r%os en un punfo
!s On(!o. Lo "ronsformo!($n d!
!sfuer%os perm("e o;"!n!r los
esfu!(os en do"erm(nodos
d(ro!!(onos, pero no ho ue
ol+(dor uo d(8 !hos esfu!r%os son
!omponen"esK de un esfuor%o
dn(!o. ($nsese en lo des!ompos(•
!(dn de fuer%os, por eH/mplo,
Cuondo uno fuer%o o!"$o so;re un
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!uerpo, esfo fuer%o /s On(!o, p6ro
puede sor dos!ompues"o on +or(os
!ompon/n"os. Lo m(smo su!ede
!on los esfuer%os.
; Los relo!(ones empleodos en "o
"ronsformo!($n ds esfuer%os sond(feren"es de ou/•
IIos usodos en lo d6s!ompos(!($n
de fuer%os.
Los esfuer%os son "ensor!s "ofuer%os
En !uolu(er es"odo de osfuer%os
en un pun"o, es s(smpre pos(;le
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or(en"or los plo(os de referen!(o d!
mor!ro "o" ue los esfuer%os
!or"onfes seon !ero.
d Los d(r/!!(on!s d! los !sfuer%os
normolss os( o;"!n(dos <!s deem,
ou!llos poro los !uoles el osfu!r%o
!or"on"e !s !/re se llomon
d(rs!!(on!s pr(n!(pol!s los
esfuer%os normoles!orrespond(en"es s/ llomon
esfuer%os pr(n!(poles.
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Cons(d$rese ohoro un memen"o !omoel (ndM!odo en "o f(guro s(gu(on"o,
some"(do o un
es"odo de esf uer %o
s plo
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no2
Con+en!($n de "o "/or(o ds "o
elos"(!(dod2 son pos("(+os los esfuer%os
r(ormoles de "ro!!(on <en Jos opl(!o!(ones
de "o m/!on(!o de su/los se empleoro
"o !on+/n!(dn !onfror(o. ssron pos("(+os
los esfuer%os normoles de !omp/ss(on,
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u(l(;r
(o. n
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Seo
P de "o !oro AC,
Del e u(l(;r(o o lo forgo d! los •(•s ? ,
Q,
Iguolmen"e d• Z Fig -0
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Iden"(dodos "r(gonom$"r(!os
cos'8
—.ieii'8 =
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c
os28
Sus"("uendo
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I, B. LI RC "J I.C( DF "•" CJ 0R
PIan
I <B.7 O(re!!($n d• los
esfuer%os pr(n!(polos
El su;(nd(!e se ref(!re o los esfu!r%ospr(n!(poles
D(r!!!($n d!l esfuer%o !or"on"e m$(mo
Del !dl!ulo d(feron!(ol
P o × ian >5,- - >M,
su;lnd(!e , 8 !or"on"!md(mo
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<B.@
Esfu•r%ospr(n
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!(pol!s
P
Esfuer%onormolmd(mo
o, P Esfuer%onormol m(n(mo
=(F <I.4 Esfu!r%o-or"on"• m6A(mo
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2. REPRESENTACIQNGRAFICA DE
LEYES DE
TRANSFORACION DEESFUERZOS!CIRCULO DE O"R#
Los e!uo!(ones de O,, 9, , son los
e!uo!(ones porom$fr(!os d! un !(r!ulo.
Es"o lle+$ o O""o )ohr o presen"er el
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m$fodo grdfl!o ue lle+o su nom;r!.
oro "o !orre!"o opl(!o!($n del !(r!ulo
de )ohr es (mpor"on"e es"o;le!er ur"o
!on+en!($n de s(gnos. Lo "eor(o de "o
elosf(!(dod empleo "o s(gu(en"o2
o Son pos("(+os los esfuer%osnormoles de "ro!!(dn son r(ego"(+os losesfu/r%os normo8
les de !ompres(dn. En los
opl(!o!(on/s del !lr!ulo de )ohr o
"o me!dn(!o de suelos se empleor$
en os"o pu;l(!o!($n "o !on+en!($n
!on"ror(o <son pos("(+os los esf+er%os
normoles de !ompres($r".
; El esfuer%o !or"onfe I,, <A8!oropos("(+e, 8d(re!!($n pos(f(+o espos("(+o s( "(ende o
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produ!(r unoro"o!(dndelelsmsn"oonsonf(doon"(horor(
o.! De !on ;
el ee de los ordenodosserd Kpos("(+o ho!(o o;oUo.
:(pM4"es(s2 Todo ssfodo de esfuor%osdes!r("o en ss"s do!umsnfo ssen!usnfro sn ou(l(;r(o.
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Esfuer%os normoles pos("(+os
Esfueuos normoleV neg/"(Wos
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Esfu
er%o!or"onlepos("(+o
Esfuer%
o!or"onfenego"(+o
No"o!($n2 InP Esfuer%o !or"or"e ueo!"uondo en lo !oro ? "(ene "o d(re!!($ndel e e Q.
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N$"ese ue poro def(n(r el s(gno del
esfuer%o !orfon"e ;os"o Ion s$lo f(Hor el
s(gno de Ip. Lo !on+sn!($n de
"o "eor(o do "o /los"(!(dod
supone ue 9 /s pos("(+o
s( o!"o en lo !oro os(f(+g
del eHe ? "(ene "o d(re!!(dn pos("(+o del
eHe Q. O "o !on"ror(o2 9 es pos("(+o s(
o!"L(o
on lo !oro negof(+o d/ ? en lo d(re!!(6nnego"(+o de Q.
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#(ro on"(horor(o
Esfuer%o plono2 X P LJ
Re"ornondo o los e!uo!(ones poro D,, 9,
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S( se sle+on of !uodrodo los epres(on!sdeM9,
I,,,, se sumon, s/ o;"(ene2
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$ 2
En es"o o!uo!(dn CT , M9,, % son!ono!(dos o,, Y, ,,los (n!dgn("os. Es"o e!uo!($n
Es"o es "o e!uo!($n de un !(r!ulo derod(o R !on !en"ro en (C, 0).
D•f(n(•ndo2
1J.6 A;!(so
d!l!!n"roC d!lC(r!ulo
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d!)ohr
>
C Y = <B.9
RP Rod(o d•lCfr!ulo d! )ohr
Q sus"("uendo en O,,
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Represeo"o!(on grdf(!o
Coo%&&os &)
!*o%o+.e,cci%c-
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so;re "o
!on+en!(@n dos(gnos
Esfodo dessf+er%os ene" plono
A "o [orgo de es"o pu;l(!o!($n seemp"eon dos !Mn+en!(onss
de s(gnos ue, en "odo !oso,
conducen o los m(smos resulfodos.
J Lo !on+en!($n de s(gnos de "o "eorlo
de "o elos"(!(dod
S/ supone ue los esfuer%os
normoles d! "ro!!($n son
pos(J(+oS. fl[ s(slemo de
eHes !oordenodos O 9
es el s(guM/n"e2
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Coordos
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EI g(r
olume s" g
;le
!Mr!ulo
@ohr
el m
ser("(d
Esfu/r%os normo"es de "ro!!(on pos("(+os
7 Lo !on+en!(6n de s(gnos de "ome!dn(!o ds suelos
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Con+er"!(on. Son pos("(+os "os esfuer%os
normoles ds !ompres(on.
ES"o !on+en!($n "(ene su or(ger" en elhe!ho de ue los suelos esJ"n some"(dosfund!(men8
"olmen"s o esfuer%os de !ompres(@r. Els(s"emo de eHes !oordenodos O
9es
s" s(gu(er""e.
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l BJ[. NB< llf(
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Esfu!(%os normol!s d!!ompr!s($n
pos("(+os
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0no ro"o!($n
onf(horor(o en el
esfodo de esfuer%os
reol,
!orrespo
nds o
uno
ro"o!($n
on"(horor(oen !l
C(r!ulo
de )ohr
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/.0CQOSE CONSTRUYEEL CIRCULODE O"R1
o# S,-o% e - s3s,e4o &e ees coo%&eo&os !o5sc3sos 6
es-e%os o%4o9es: o%&eo&os
=es-e%os co%,o,es# os*-,os co%%es*o&ie,eso os;oo%cs &o&os*o%o : ; (
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5# U3% os *-,os ( ) Y co -
so<4c,o &+ %oc,o. E *-,o &e
co%,e &e ese se<4e,o &e
%eco co e oo &e os o5scisos
&o>s s, cc%%,%o C &e ci%c-o.
c# Co co,%o o C se ,%oo -
ci%c-o ?-e &e5e *oso% *o% os*-,os ( ) Y. Es,c es s, ci%c-o &e
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@. EL SIGNODEL
ANGULOEN ELCIRCULO
DEO"R
R+<o <ee%+ C-o&o os &%<-,os se
4i&+ co ;&%,ice e s, ce%o &e
ci%c-o &e ;Bo% e se,i&o &e9 <i%o
&e e,e4e,o es i<;o o se>&o &c
<i%o e e ci%c-o &e Bo%: o ?-e o
s- ;e &-*ico e ;oo% &e &%i<-o
%o,o&o: Es &ee4
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. CARACTERISTICAS
DEL CIRCULO
DE O"R
0no +gnfgUg £\el !(r!ulo de )ohr es ue
sum(n(s"ro (nformo!($n glo;ol !omple"o
del !s"o8 do de esfuer%os en un pun"o.
As(, por !Hemplo, poro !l !s"odo de
!sfu!r%os en el plono (nd(!odo en "o
£guro s(gu(en"e, of !fr!ulo de JGGohr
(nd(!o2
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o ]CudnBo +olsn los esfusr%ospr(n!(poles !u/l e• •u o•(onfo!($n
<d(s"on!(• OA Y OB !! ; fCudn"o +ole el
esfuer%o !or"on"emd(mo !u$l essu or(en"o!($nf
! @Cudnfo +olen los esfuer%osnormol !orfon"e s( el s(s"emo deeHes de !oordenodos
?8Q se g(ro un dngulo OF
£s"odo dsssfuer%osen el
plono
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Coordenodos
Su;lnd(!os
P r(n!(p/l
C(r!ulo de )ohr
Coron!($nde s(gnos
d! "o
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feor(o de
loslosf(!(dod
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I !os>o Yr sMn>o
Esfuer%onormol o "oforgo d•I •H•?
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CI CI Y r Rod(od•I !lr!ule de )ohr
h(o"os2 J A los esfuer%os nes
pr(r!(poles.
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O Of se les homo esfue(%ospr(n!(poles o sus d(r!!!(ones,
d(re!!(o8 El md(mo esfuer%o normol es Of. El
mln(mo esfuer%o normol es O . Elssfue(%o !or"on8
"e oso!(odo o es"os esfuer%os es
s(empre !ero.
7 El /sfuor%o !or"on(e m$(mo /s
(guol of rod(o del !(r&ulo d!
N"ohr, / (g0 ^ >^ 0n /sfuor%onormol (guol o CI
!or"on"e md(mo.
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S( PC9 , s" !fr!ulo de )ohr se
!on+(/rfe en unpun"o no s/ generon
ssfuer%os !or"on"es.
S(
YOP
sl !en"ro del!(r!ulo de)ohh£r
!o(n!(de !on eloF(
3/
•n de
!oordenodosC9N
9 se "(!ne on"on!ss un es"odo deesfuer%os s(m(l/r ol es"odo deesfue(%os de cooo-
(e puro.
Lo sumo de los esfu/r%os normoles
so;re plonos mu"uomen"e
perpend(!uloros /s (guol o uno
!ons"on"e. o, Yo. P o,, Yo P of Yo
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!or"s"on"e <(n+or(on"e d!
/sfuor%os.
9 Los esfuer%os pr(n!(poles o!urron enplonos mu"uomen"e
perpend(!ulores.
Los e!uo!(ones do "ronsformo!($n
de esfuer%os su represen"o!($n
grdf(!o, es"o es, el !(r!ulo de )ohr,
se opl(!on o !uolu(er mo"sr(ol,
puos hon s(do o;f/n(dos o por"(r de!ons(dero!(ones de eu(l(;r(o.
9) Los plonos de esfuer%o !or"on"e
md(mo o!urrsn o @4$
s plonos pr(n!(poles.
0} En es"o pu;l(!o!($n se "omo !omo
referen!(o "o d(r/!!(/n
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de los esfuer%os normoles no los
plonos <o 3_ so;rs los us
$s"os o!"on.
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.EHEPLOS
NURICOS.ESTADO DEESFUERZOS EN
EL PLANO
EHERCICIO H.I
Di5-o% e ci%c-o &e o% *o%o
co&o -o &o os cosos i&ico&os&e es-e%os e e *oo.
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Co;eci& *osi,i; os o%4
Coso ,. *-%o
Coo%&eo&os
Coso 2.Co4*%esi*-%o
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Coo%&eo&os
X 10. 0)
Y (-of, 0)
2
Gi%c-o &e
o%
C%c-o &eo%
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Coso 7. Tro!!(6n en dos sen"(des<*(o(ol
Esf uer
%ospr(n!MpoIe
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sen
(odoslosd(re!!(one
s.
El!(r!ulode `
•Gohrse!or(+sr "e
enur
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pun"o.
Coso @. Compr/s(6n en dos sen"(dos
<*(o(ol
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Coordsnodos
J^CEsfuer%os pr(n!(poles en"odos los direccones,
El!(r!
ulode)ohrse!on
+(er"eenunpun"o,
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Coso 4. 9ro!!(6n • Compr!s($n
Coordenodos
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Coso 6. Cor"on"• puro
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Coso 9. Cor"on"! puro
C(r!ul
rn u%" "Ion MIJDM` purf`r Mfe`-`r a.
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Cose 5. Esfuer%o !or(on"o reds •sfuer%osnormoles o lo forgo del eH! Q
Coordenodos
C(r!ulode )ohr
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En los s(gu(en"es pro;lenFos s! "ro"o
de def(n(r el es"odo de esfuer%o plono
en ue se e(F!ue(Ffro u(n ol!me"F"o
("%f(n("es(mo" s( los esfuer%os o oue es"o
sorneJ(do se (nd(!es en e[ "Fr!ulo d!
l+Gohr !orr!spond(!n"e.
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Coordenodos
EHer!(!(o J
.>.>
C(r!ulo do NGohr Es"odo ;(o(ol M"s es"uer%os
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C"r!ulode`•Go""
floorderFodos
Cs"odo deesfuer%oV d!"ro!!(on
puro
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C
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Clr!ulo de)ohr
Coordenodos
Esfodo deesfuer%os de
!or"orr"epuro
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Es"odo ;(o(olde esfuer%os
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C(r!ule de)ohr
EJERCICIO B.7
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o;"ener los s!uo!(onesde "ronsformo!(Mn de es8
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fuer%os !orrespond(en"es o los
pr(n!(poles of !or"on"emd(mo.
I. Tro!r(6n puro
6 $ngulo or;r"ror(o
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E
sfuemos
pr(n!(pol!s
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Esfusr%o
s
!or"on"es
md(mos
Coso 7.4sfu•r%os
;(o(ol!s de(ro!-($n
Coordenodos
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Esfuer%ospr(n!(pol!s
esfuer%o!or"on"e puro
Clr!ulo de)ohr
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F2 B. f( I R f( L[ I.C( I" f. ) CIII b
>
=W.. P=M # oA # ov $ cc# o,,# -
e
> K>r,, Su;lnd(!e " --
esfuer%o
pnn!(pol
! Esfu•"os !or"on"•s md(mos
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T , # C% # & Su;(nd(!e ! 8
esfuer%o !or"on"e
por !ons(gu(enfe6, Y 6
P @4^
Coso 42 Dodos los esfuer%ospr(n!(poles, e;"en•r o,. of. %
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of, of P Esfuer%os pr(n!(poles
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o: = J0. - ‹›r -c”F. EJ: :.:—J.. J
K
L
K .
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.
.M
No,ese ?-e 32: o = 3 c% =cos,+,s !*%o*ie&o& &eio%ioo &e es-e%os#.
EHERCICIO H.@
U ee4s,o 3>i,esi4o es,&so4e,i&o o os es-s%os o . 3% :%i&ico&os e co&o -o &e
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POS /FC3CIOS /U T, FICOS3IB&,O&OS O O,, F,UQ3C/,.
Eco,%o%A
o# Los es-e%os *%i%,ci*KK Y -
o%ie,oci&
5# LOS es-e%os co%,o%,S T,OViP Y U OF,
,,OC,O,
P-%o I so-cG &e os
eWe%cicios 4e% cos
*%ese&os o co,io-ocio- se
e4*eo%ci ,o co;eociXo &+
si<os &e o ,eo%io &e ,o
eosici&o&: es,o es. so
*osi,i;es os es-e%6 Vos
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o%4oes &e ,%occi&%: A&e4&s
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Circulo de Ntohr
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C(rMulo de )o Esfu•r%os p%(n!(polos
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EHer!(!(o J .4.7S( el elemen"o en esfuer%o plono es"$
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EHer!(!(o J .4.7
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En sentido hororio o por de ,
Cfrculo de Ntohr
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! £sfuer%e !or"om/ md(mo
En sen"Fdo horor(o o por"(r de _.
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Es,o&o %es-,o,e
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Es de!(r, los dos solu!(ones produ!er(los m(smos esfu!r%os pr(n!(poles
pero en plonos
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oro el !oso ds esfuer%os en el plono(nd(!odo, en!on"ror el +olor d! o, eldngulo ue
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formo el esfuer%o pnn!(pol !on el eHe ? s(
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P_ H8D
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[_=H@._
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B. INTROD0CClON
0n elemen"o de mofer(ol !omo el
(nd(!odo /n "o f(guro s(gu(srfe se
en!uenfro en un /s"odo de esfuer%o
"r(o(ol, pues od!mds de los osfuer%os
oso!(odos o los d(re!!(ones .r opore8
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!en ohoro os er%os an "o d(r/!!(on
%
Es"od
o de esf uer %os en
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el
espo!
(o
Solo smuesn losesfues so;los
!oros
pos(f(s del!u;o
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el/meol.
O*SER'ATION
En es"s !op("ulo se deno"on
los eU/s do !oorderodS
!on los le"ros m(fTuSCulos r,
G. 8, poro d(f/ren!(orlos de los
!omponenfes de esfu/r%os
,Q. F, X
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CON'£NC"ON DE SI#NOS OE LAT£ORfA DE
LA ELASTfCIDAD
o Ssfuer%os normoles pos("(+os2son posr"(+os los esfuer%osnormoles de "ro!!(on.
; Esfu/r%os !or"on"es pos("(+os2 son
pos("(+os los !sfuer%os !or"o n"es
ue o!"uondo so8 ;re un&F !oro
pos("F+o del elemen"o de referen!(o
<!u;o "(er(en "o d(r/!!(or" pos("(+e
del eHe !oordenodo. Son fom;($n
pos("(+os los esfuer%os !or"on"es
ue o!"uondo so;ro ur(o !oro
nego"(+o d/" !u;o, "(onen "o
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d(re!"(on negof(+o del o ! de
!oordenodos.
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os es-e%os ?-e se <ee%o e
- *oo o5ic-o c-)o &i%ecci&e e es*ocio ;iee &e,e%4io&o
*o% os cos4os &i%ec,o%es &e o
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o%4o Ha o *oo: es &ee4 *o% ".
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Co4*oe,es
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Si eso s-ce&e se ,iee - *oo
e e c-o os es-e%os
co%,o,es !?-e so os coe>cie6
,es &e os oV*%csioes &e os
*%o&-c,os &e os ;o%io5es ..'.
# so ce%o. Es,e *oo &e>e ,o
o%ie,ocio &e os es-e%os
*%ici*oes ) os ees osocio&os o
es,e *oo so os ebes *%ici*oes
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A&s4Xs: osco4*oe,ss&s oses-e%os
*%ici*oes so
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7.
ESFUERZOS
PRINCIPALES
C-o&o ,o &i%+cciX &e os e+s&e coo%&so&os .%: .. coici&eco o &i%ecciX &e os
es-e%os
*%ici*oes !os
es-e%osco%,o,es % =%
es-e%os (. 7: Z
se co;ie%,e
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Re*%ese,oci3 )si<i>co&o &s ,oec-ociX
= %:. soce%o# os
co4*oe,es&e os
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En geome"r(o onol("(!o s/ !ono!e unoe!uo!($n de es"/ "(po !omo uno e!uo!($n!uodr$"(!o
Lo o!uo!(dn puede "ener2
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Todos los coa/icien/os son pos("(+os
Lo formo !ondn(!o de "o e!uo!(dn e•M
Los (n"ers/!!(ones de "o o!uo!($n de "oel(pse !on los eH!s JD. I^. X son2 Y o,2 o,,
W o,
AC rC %Co,. o,F Y o,•
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Lo el(pso(de de /sfuor%os es el lugor
goom$"r(!o de los e"remos del esfuer%oresu""onfe R <el pun"o `.
Nd"ese ue s( por e omplo of • •sn"on!es se f(ene un el(pso(de de
re+olu!($n.
! :(p!r;olo(d• d• uno hoHo•
Lo h(per;olo(de de uno ho o se o;"(/ne s(dos de los !oef(!(enls de "o o!uo!(dn
son pos("(8
+os uno n/go"(+o.
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#r $f(!omen"
e2
,
N(p$r;ole d! uno hoHo
E!uo!($n2
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E(s"s "om;($n el h(per;olo(de de doshoes !uendo en "o e!uo!($n se "(enen
dos !oef(!(en8
"os negof(+os uno pos("(+o2
Lo esf/ro de /sfusr%os s/ o;"(ene!uondo o, 8 ofP ofP a
Y
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Esf erode
esf uer %os
/2.8 2) pot
consi&uionts ) + Y' + Z'=
9i:
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<>."6
E!u
o!(dn!
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u
o
solu!(
$n
sum(n
(slr o
el+olor
de los"resesfue%Ms
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pr(r!(
oles
Los "res ro(!es de 4 los +olores delos esfuer%os pr(r!(poles.
Esfuer%o Cor"on"s )$(mo
Seon G , >, 7 los sHes pr(n!(poles de un
plono dodo, en odo "oi 3•• • . o , o
se !or+(er"er en esfuer%ospr(n!(poles.
En"on!es2
.S Esfuer%o pnn!(pol,
of P Esfuer%o normol of plono
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Q ele+ondo of !uodrodo "o s!uo!(dn<>.42
El !uodrodo del esfuer%o !orfon"e ueo!"o so;re el p(ono pnn!(pol es2
Q sus"("uendo enIh2
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Lod^(re!!M
d/ los
dV-ordens .M. . !om8
!(de !o"o
d(rs!!(;d! lososfu!r%prFn!(p
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Eco,%o% os 4XVi4os +s-s%osco%,o,es co%%es*o&ie,es oes,o&o ,%ioVio &e es-e%os
i&ico&o.
Co;eci& so
*osi,i;os os es-e%oso%4oes &e %occi&.
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Ci%c-o &e o%
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5. H # Poo *o%oeo o ee V !o =/#
Ci%c-o &e o%
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;.> Esfuer%os en un plono !uonormol formo un $ngulo de
6c horor(o !onel eHe ."
<o P 6
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=0’!
2
;.7 Esfuer%o en un plono !uo normolformo un
dngulo de 7^ on"(horor(o !on eleHe .r
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