DISEÑO INTEGRADO DE PROCESOS EN EL MARCO DEL CONTROL PREDICTIVO BASADO EN MODELOS

M. Francisco, P. Vega Dpto. Informática y Automática. E.T.S. Ingeniería Industrial. Universidad de Salamanca. Av. Fernando Ballesteros s/n, 37700 Béjar, Salamanca (España). Fax: +34 923 408127

e-mail: mfs@usal.es, pvega@usal.es

Resumen

En este trabajo se ha desarrollado el Diseño Integrado del proceso de fangos activados en una planta de depuración de aguas, incluyendo un controlador predictivo lineal multivariable con restricciones. La metodología aplicada permite obtener procesos óptimos desde el punto de vista económico que operan de forma dinámica eficiente alrededor de puntos de trabajo estacionarios. Matemáticamente se plantea como un problema de optimización con múltiples objetivos no lineal con restricciones cuya solución proporciona la planta y el sistema de control óptimo. Concretamente, los índices considerados para el diseño de la planta y del controlador incluyen las normas H∞ y las normas l1 de algunas matrices de transferencia del sistema en lazo cerrado, entre otras. El uso de modelos lineales para el control facilita la consideración de índices de funcionamiento convexos y simplifica el problema de optimización evitando la integración de las ecuaciones dinámicas del modelo. Palabras clave: Diseño Integrado, Control Predictivo, Controlabilidad, Optimización no lineal, Optimización con múltiples objetivos.

1. INTRODUCCIÓN El diseño y control de los procesos han sido tareas que generalmente se han venido realizando de forma secuencial, y el estudio de la controlabilidad del sistema resultante se lleva a cabo únicamente cuando la configuración del proceso y los parámetros óptimos han sido ya determinados. La metodología de Diseño Integrado permite la evaluación de los parámetros de la planta y el sistema de control al mismo tiempo, haciendo que el sistema diseñado sea más fácilmente controlable [4]. En la etapa de diseño, diversos índices de controlabilidad se evalúan junto con consideraciones económicas para producir una planta y un sistema de control óptimos. Muchos trabajos aplican técnicas de

Diseño Integrado, particularmente al diseño de procesos químicos tales como columnas de destilación o reactores químicos, destacando las interacciones entre diseño y control [7]. Estos trabajos también consideran el problema de la selección de la estructura del proceso resolviendo un problema de síntesis. Una completa revisión de avances en el área se presenta en [8]. Algunos ejemplos de Diseño Integrado aplicados al proceso de fangos activados se destallan en [2], donde la planta se diseña junto con controladores de tipo PI, incluyendo desigualdades lineales matriciales (LMI) para imponer condiciones de estabilidad y cierto comportamiento deseado en lazo cerrado; y en [10], donde se presenta un estudio del Diseño Integrado con controladores PI aplicado a diferentes estructuras de la planta. En [6] se utilizan técnicas de optimización global para resolver el mismo problema. Puesto que el proceso a diseñar posee una dinámica complicada, es interesante incluir controladores avanzados en el Diseño Integrado de este tipo de procesos. De esta forma se mejoraría notablemente el desempeño del control y podrían obtenerse plantas económicamente más rentables [10],[11]. En este trabajo se ha elegido un control predictivo lineal basado en modelos (MPC) como método de control avanzado. El uso de modelos lineales para el control facilita la consideración en el diseño integrado de índices de funcionamiento convexos y simplifica el problema de optimización. En [3] se plantea un método de diseño integrado de procesos de fangos activados y controladores predictivos considerando la integral cuadrática del error (ISE) y de los esfuerzos de las variables manipuladas como índices de desempeño del sistema en lazo cerrado. La necesidad de realizar la integración de las ecuaciones dinámicas del modelo para calcular la función de coste en cada iteración, hace que el tiempo de cálculo sea muy elevado. Por este motivo, en este trabajo se plantean índices compactos para el diseño de la planta y del controlador que incluyen las normas H∞ y l1 de

algunas matrices de transferencia del sistema en lazo cerrado, que permiten resolver el problema como uno de optimización estática, y se han aplicado a un proceso de fangos activados. Este trabajo está organizado de la siguiente manera. En primer lugar se plantea en líneas generales el problema de diseño integrado tal y como se ha abordado en este trabajo. En segundo lugar, se presenta la formulación del controlador predictivo presentando el método de sintonía automática desarrollado sobre el que descansa la metodología de Diseño Integrado presentada. A continuación se plantea el problema de Diseño Integrado y se resuelve para el proceso de fangos activados presentando algunos resultados, y finalizando con las conclusiones del trabajo.

2. DISEÑO INTEGRADO DE PLANTA Y CONTROLADOR

El problema de Diseño Integrado consiste en determinar simultáneamente los parámetros de la planta y del controlador junto con un punto de trabajo estacionario, minimizando a su vez los costes de construcción y operación junto a otros objetivos de controlabilidad de la planta. EL problema puede plantearse matemáticamente como un problema de optimización no lineal con restricciones del tipo

{ }1 2min ( ), ( )

. . ( ) 0( ) 0

x

m

n

f x f x

s a g xh x

≤=

(1)

siendo f1 (x) y f2 (x) las funciones objetivo a minimizar. La primera refleja los costes de operación y de construcción de la planta y la segunda la controlabilidad y el rendimiento del sistema en lazo cerrado, gm(x) son m restricciones de proceso y del control, hn(x) las n ecuaciones del modelo y el vector x son las variables del proceso y parámetros de control que deben ser evaluadas en el diseño (volúmenes, superficies, caudales, horizontes de control, etc.) El punto clave consiste en expresar las propiedades de la planta en lazo cerrado de forma compacta y en función de los parámetros de diseño. La metodología utilizada en este trabajo sigue los pasos siguientes: - Definir una estructura de planta y de control.

- Definir el problema de optimización del diseño de la planta especificando f1 (x), el modelo no lineal de la planta hn(x) y el conjunto de restricciones gm(x). - Linealizar el modelo en torno a un punto de operación genérico de manera que las matrices de estado del sistema sean función de los parámetros de diseño. - Formular la operabilidad de la planta en términos de las matrices de transferencia del sistema en lazo cerrado para definir f2 (x) y algunas restricciones de controlabilidad contenidas en el conjunto gm(x). De cara a la resolución se procede de forma iterativa. En primer lugar, con una planta inicial fijada, el controlador se sintoniza. En el segundo paso la planta se diseña con el controlador obtenido en el paso anterior, iterando hasta que se cumple un criterio de convergencia consistente en que la disminución del coste a lo largo de varias iteraciones sea menor que una determinada cota. (Figura 1).

Dimensiones plantaPunto estacionario

Parámetros controlador

SINTONÍA DEL CONTROLADOR

Algoritmo en dos pasos (aleatorio + SQP)

DISEÑO DE PLANTA Algoritmo SQP

Figura 1. Algoritmo iterativo para Diseño Integrado

3. SINTONIA AUTOMATICA DEL CONTROLADOR MPC

3.1 FORMULACION DEL MPC El MPC considerado en este trabajo está basado en un modelo de la planta en el espacio de estados, y calcula las variables manipuladas resolviendo en línea el siguiente problema de optimización con restricciones en las entradas, en las predicciones y en los cambios de las variables manipuladas.

2

12

0

ˆmin ( ) ( ( | ) ( | ))

ˆ( ( | )) (2)

Hp

yu i HwHc

ui

V k W y k i k r k i k

W u k i k

Δ=

−

=

= ⋅ + − +

⋅ Δ +

∑

∑

+

)

donde k denota el período de muestreo actual, ˆ( |y k i k+ es la salida predicha en tiempo k+i, con

medidas hasta k, ( |r k i k)+ es la trayectoria de referencia, uΔ son los cambios en las variables manipuladas, Hp es el horizonte de predicción

máximo, Hw es el horizonte de predicción mínimo, Hc es el horizonte de control, Wu es un vector diagonal con los pesos asociados a los cambios de las variables manipuladas y Wy es otro vector diagonal con los pesos asociados a los errores de seguimiento de la referencia. La implementación del controlador está basada en la correspondiente Toolbox de MPC de Matlab® y algunas modificaciones basadas en [5]. El modelo interno de predicción es un modelo lineal discreto de la planta en el espacio de estados, obtenido linealizando las ecuaciones diferenciales del modelo del proceso. Se considera también que las trayectorias de referencia se aproximan al valor de consigna exponencialmente desde el valor actual de la salida, con Tref como constante de tiempo de la exponencial. Cuando el MPC es lineal y sin restricciones puede representarse mediante la matriz de transferencia, KMPC = (K1, K2, K3) de forma que el sistema en lazo cerrado correspondería al de la figura 2, donde aparecen explícitamente las perturbaciones de carga. La ley de control en forma matricial es

( )1 2 3 1 2 3

ru K K K y K r K y K d

d

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ (3)

siendo Ki las matrices de transferencia entre la señal de control y las entradas (r,y,d) que dependen de los parámetros de sintonía del controlador (Wu, Hp, Hw,, Hc , Tref). En este trabajo la formulación elegida [5] hace que 2 1K K= − .

-

r + y u

d

K1 G

Gd

K3

Figura 2. Sistema en lazo cerrado con MPC Si tenemos en cuenta también las funciones de transferencia del sistema en lazo abierto, la respuesta del sistema en lazo cerrado puede obtenerse de

1

1 1

11 1

GKy r dGK GK

= ++ +

% ( )3 dd GK G d= +% (4)

Con el fin de establecer en las secciones siguientes las funciones objetivo para el diseño integrado de una posible planta y de su sistema de control,

definimos la matriz de transferencia de sensibilidad S’ (entre las perturbaciones de carga (d) y las salidas (y) así como la sensibilidad al control (M’) definida entre las perturbaciones (d) y las señales de control (u) cuando la referencia es nula. Su cálculo es directo con

3

11dGK GyS

d GK+′ = =

+ 3 1

11dK K GuM

d GK−′ = =+

(5)

3.2 SINTONÍA AUTOMÁTICA DEL MPC El procedimiento de sintonía automática de los parámetros del MPC se basa en la minimización de diferentes índices de desempeño dinámicos. El problema podría abordarse como

( )1 3

2,minK K

f x (6)

sujeto a un conjunto de restricciones. Básicamente se han considerado funciones que reflejan la atenuación de las perturbaciones de carga penalizando los esfuerzos de control, como por ejemplo, los índices H∞ de sensibilidad mixta basados en normas. En este trabajo se ha utilizado el siguiente índice:

( )21f x N∞

= (7)

siendo ′⎛ ⎞

= ⎜ ⎟′⋅⎝ ⎠

p

esf

W SN

W s M, ( , , )p c ux H H W= y Wp, Wesf

pesos adecuados. Las restricciones que se han considerado en este trabajo son restricciones sobre el rechazo de perturbaciones y restricciones basados en las normas l1 de las señales para evitar saturación de los actuadores:

1∞

′⋅ <pW S max1M u′ < max1

S y′ < (8)

El problema de optimización que se genera se puede plantear como un problema de optimización multiobjetivo considerando las dos últimas restricciones (8) como objetivos a cumplir, junto con el objetivo f21. Por lo tanto la función multiobjetivo final queda así:

2 21 22( ) ( , , )23f x f f f= donde 22 1

f M ′= ; 23 1f S ′= (9)

En este método los objetivos deben tratar de alcanzar valores objetivo prefijados previamente, que proporcionarán mayor o menor importancia a cada uno de ellos.

3.3 DESCRIPCION DEL ALGORITMO La principal dificultad a la hora de resolver este problema de optimización es que involucra variables enteras y reales. En la aplicación que presentamos se plantea un algoritmo en dos pasos consistente en una combinación de una búsqueda aleatoria basada en [9], y el método clásico de optimización por programación secuencial cuadrática (SQP). En un primer paso se sintonizan los horizontes con el método de optimización aleatoria, manteniendo los restantes parámetros constantes, y en el segundo paso, el método SQP se utiliza para sintonizar los pesos Wu del controlador, con los horizontes obtenidos en el paso anterior. Este proceso se repite iterativamente hasta que se cumple un cierto criterio de finalización.

4. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO DE FANGOS ACTIVADOS Y DEL MPC

4.1 DESCRIPCION DE LA PLANTA El proceso de fangos activados dentro de una planta de depuración de aguas residuales tomado como ejemplo responde a la estructura de la figura 3 y consiste en un tanque aerobio (reactor) y un decantador secundario. El fundamento del proceso consiste en mantener una población de microorganismos (biomasa) en el reactor, la cual elimine los desechos biodegradables (sustrato) cuando exista oxígeno disuelto proporcionado por las turbinas de aireación incorporadas al reactor. El agua que sale del reactor va hacia el decantador, donde los fangos activados se separan del agua limpia y se recirculan de nuevo al reactor para mantener allí un nivel de microorganismos adecuado. De forma genérica, “x” se utiliza para las concentraciones de biomasa (mg/l), “s” para las concentraciones de sustrato orgánico (mg/l), “c” para las concentraciones de oxígeno (mg/l) y “q” para los caudales (m3/h). Un modelo del sistema basado en primeros principios puede verse en [11]. El perfil de perturbaciones utilizado en las simulaciones dinámicas (Figura 4) ha sido determinado por el programa COST 624 y su benchmark [1].

CONTROLADOR PREDICTIVO

q2

qr1

qp

xir1 sir1

qi, si, xi

q12

x1,s1,c1 xd

xb

xr

s1 , qsal

fk1

c1

Figura 3. Estructura de la planta

4.2 PROBLEMA DE CONTROL El control de este proceso consiste mantener el sustrato en el efluente (s1) por debajo de un determinado límite legal a pesar de las importantes variaciones del caudal de entrada (qi) y de la concentración de sustrato en dicho caudal (si), que son las perturbaciones de entrada al sistema.

0 20 40 60 80 100 120 140 160300

350

400

450

500

550

600

si (m

g/l)

Figura 4. Perturbaciones de sustrato en el

influente.

Ref. s1

s1 qr1

Controlador

x1

PROCESO

qp

Figura 5. Estructura general del controlador.

La estructura general de un controlador multivariable aplicado al proceso de fangos activados puede verse en la figura 5. Se consideran dos variables manipuladas: caudal de recirculación (qr1) y caudal de purga (qp), y también dos salidas: sustrato (s1) y biomasa (x1). Aquí la concentración de biomasa no se controla, sino que únicamente se acota para un buen desempeño del proceso. Dado que la influencia de qr1 en el proceso es mucho mayor que la de qp, en este trabajo los resultados de diseño se han obtenido considerando únicamente la primera variable manipulada.

El MPC considerado está basado en un modelo de la planta en el espacio de estados discreto como el siguiente:

( 1) ( ) ( ) ( )( ) ( )

dx k Ax k Bu k B dy k Cx k

+ = + +⎧⎨

=⎩

k (10)

donde el vector de estados x(k), de entradas u(k) y de perturbaciones d(k), quedan definidos de la forma siguiente:

1 1 1( ) ( , , , , , )d b rx k s x x x x c= 1( ) ( )u k qr=

( ) ( , )i id k s q= y las matrices A, B, Bd y C son de dimensiones adecuadas.

5. DISEÑO DEL PROCESO DE FANGOS ACTIVADOS

El problema de diseño de la planta, que incluye como ya se comentó el problema de sintonía automática expuesto arriba, se plantea en este trabajo en función de un conjunto de objetivos definidos por:

1 1 1 2f w V w An n= ⋅ + ⋅

22 1f M ′= (11)

125

1d

Gf

G=

siendo V1n y An el volumen del reactor y el área del decantador normalizados adecuadamente. El propósito del objetivo f1 es minimizar costes de construcción y operación de la planta. El objetivo f22 trata de limitar el valor del control en presencia del peor caso de perturbaciones, y el objetivo f25, está relacionado con las funciones de transferencia de la planta y trata de conseguir una planta capaz de rechazar perturbaciones en el peor caso. El conjunto total de variables de optimización es: x=(s1,x1,c1,xd,xb,xr,,fk1,qr1,qp,V1,A), Estas variables están limitadas en el problema, y además se incluyen otras restricciones de controlabilidad y de proceso. • Tiempo de residencia y carga másica en los tanques aireados:

1

12

4 8Vq

≤ ≤ ; 1 1

1 1

0.001 0.06i i rq s q sV x+

≤ ≤ (12)

• Límites en la capacidad hidráulica y la edad de fangos en el decantador, y límites en las relaciones entre el caudal de entrada, el de recirculación y el de purga:

12 1.5d

qA

≤ ; 1 1324d r r

p r

V x A l xq x

+10≤ ≤ (13)

2

0.03 0.18pqq

≤ ≤ ; 20.1 0.9i

qq

≤ ≤ (14)

• Restricciones sobre las ecuaciones diferenciales no lineales de la planta para obtener una solución cercana a un estado estacionario (ε próximo a cero). Por ejemplo, la restricción sobre la derivada de la concentración s1 es la siguiente:

( )2

1 1 1 1 121 1 1

1 1 1kd d kd c

s

ds s x x qf k f k x sir s

dt k s s Vμ ε= − + + + −

+≤ (15)

Los pesos wi (i = 1, 2) de la función f1 han sido tomados del modelo CAPDET (Computer Aided Procedure for Design and Evaluation of Wastewater Treatment Systems), y tienen unos valores normalizados de w1=1; w2=3.1454.

6. RESULTADOS DE SINTONÍA En este apartado se presentan algunos resultados de sintonía automática considerando distintos pesos y objetivos. Para todos ellos el controlador que se ha utilizado es un MPC con restricciones aplicado al modelo no lineal de la planta, con periodo de muestreo de T=0.5, adecuado para representar la dinámica del proceso. Las perturbaciones si y qi se consideran medibles y escaladas para las simulaciones. La concentración de biomasa x1 es una variable únicamente restringida y no controlada. La planta es fija con dimensiones V1=7668 m3 y A=2970.88 m2; y un punto estacionario de trabajo definido por s1=58.445 y qr1=220.

6.1. Problema de sensibilidad mixta H∞ considerando los objetivos f21 y f22

En la tabla 1 se presentan resultados numéricos para tres casos de sintonía automática. En primer lugar se presenta una comparación para dos pesos Wp diferentes (casos 1 y 2) manteniendo Wesf constante.

126.6 32

0.0001psW

s+

=+

28 9.6

0.0001psW

s+

=+

En la Figura 6 se observa que el rechazo de las perturbaciones es mejor cuando se utiliza el peso Wp1 porque los anchos de banda de los sistemas en lazo cerrado permitidos en la sintonía automática son mayores que con Wp2

Figura 6. Comparación de las respuestas de sustrato y funciones de sensibilidad S’ para dos pesos Wp1 y Wp2 (caso 1: línea continua; caso 2: línea a trazos)

Tabla 1: Resumen de resultados para sintonía

automática del apartado 6.1 Caso 1 Caso 2 Caso 3 Wu 0.0023 0.0118 0.0011 Hp 9 8 6 Hc 2 3 2 Max(qr1) 1179.5 1092 1232 Max(s1) 64.2 65.52 63.94 N

∞ 1.44 1.04 0.73

1M ′ 3995 1946 4416

1S′ 6.47 14.44 5.39

pW S∞

′ 1.00 1.00 0.72 Pesos Wp1 Wp2, Wesf2 Wesf3 Tiempo computacional 3.44 0.81 1.66

En la figura 7 se presenta una comparación de resultados con dos pesos Wesf diferentes (casos 2 y 3), manteniendo ahora Wp constante.

2 2

0.2 0.025 0.0001esfsW

s s+

=+ +

3 2

0.02 0.0025 0.0001esfsW

s s+

=+ +

En dicha figura se puede ver que para el caso 3 los esfuerzos de control están más relajados que para el caso 2, produciendo un mejor rechazo de perturbaciones pero con mayor consumo energético.

Figura 7. Comparación de las respuestas de sustrato y las funciones de sensibilidad a los esfuerzos de

control para dos pesos Wesf2 y Wesf3 (caso 2: línea a trazos; caso 3: línea continua)

6.2. Problema de sensibilidad mixta H∞ considerando los objetivos f21 y f23

El Segundo planteamiento consiste en considerar la función objetivo f23 en vez de f22. En la figura 8 se presenta una comparación de las salidas de sustrato utilizando los pesos Wp del apartado anterior. En la tabla 2 se presentan los resultados numéricos correspondientes. Para el caso 4 el rechazo de perturbaciones es mejor que para el caso 5 porque Wp1 es menos restrictivo que Wp2.

Tabla 2: Resumen de resultados para sintonía automática del apartado 6.2

Caso 4 Caso 5 Wu 0.0019 0.0091 Hp 9 10 Hc 2 4 Max(qr1) 1185.5 1096.6 Max(s1) 64.17 65.33 N

∞ 4.41 1.87

1M ′ 4053.5 1983.7

1S′ 6.24 13.1

pW S∞

′ 0.95 0.97

Pesos Wp1 Wp2 Tiempo computacional 10.8 5.89

Figura 8. Comparación de las respuestas de sustrato para dos pesos Wp1 y Wp2 (caso 4: línea continua;

caso 5: línea a trazos) En las últimas filas de todas las tablas se presenta el tiempo de cálculo en minutos referido a un ordenador Pentium IV a 2.4 GHz. Este tiempo es relativamente reducido puesto que para calcular las normas del sistema no se necesitan realizar simulaciones no lineales del proceso.

7. RESULTADOS DE DISEÑO INTEGRADO

Una vez vistos algunos resultados parciales de sintonía automática del MPC, en la tabla 3 se recogen resultados de diseño integrado de planta y MPC para distintos pesos Wp:

126.6 32

0.0001psW

s+

=+

233.3 40

0.0001psW

s+

=+

Wp2 es más restrictivo sobre S’ en magnitud, por lo que la planta resultante rechaza mejor las

perturbaciones y sus dimensiones son mayores (Figura 9).

Tabla 3: Resultados de Diseño Integrado

Wp1 Wp2

Wu 0.0027 0.00042 Hp 10 10 Hc 2 4 V1 7262 7307 A 1857 1857 S1r 70 70 Max(s1) 78.66 76.49 Max(qr1) 870.69 1021.3 Coste planta= f1 (x) 1.5127 1.5177 Tiempo computacional 10.06 8.28

Figura 9. Comparación de las respuestas de sustrato con Wp1 (línea discontinua) y Wp2 (línea continua)

Tabla 4: Resultados de Diseño Integrado con distintos valores objetivo

Valores objetivo

para f1 0.3 0.7 1.6

Wu 0.00066 0.0027 0.0021 Hp 7 10 10 Hc 4 2 2 V1 5268 7262 9305 A 1936 1857 1873 Max(s1) 84.37 78.66 78.95 Max(qr1) 205.31 870.69 1116 Coste planta= f1 (x) 1.3682 1.5127 1.7548 Tiempo computacional 9.87 10.06 10.14

Finalmente, la tabla 4 muestra una comparación en la que los valores objetivo fijados para f1 varían, manteniéndose constantes los restantes. Se ve que tienen gran influencia en los costes de la planta (dimensiones) y también en el controlador. Como es lógico, el rechazo de perturbaciones es peor si se pesan más los costes de la planta (figura 10).

Figura 10. Comparación de las respuestas de sustrato (s1) y controles (qr1) con valor objetivo 0.3 para f1

(línea discontinua) y 1.6 (línea continua)

8. CONCLUSIONES En este trabajo se ha desarrollado un procedimiento de Diseño Integrado para obtener una planta óptima para el proceso de fangos activados y su controlador MPC sintonizado. Se observa que el Diseño Integrado proporciona plantas más controlables que el procedimiento de diseño clásico. Las respuestas para los diseños en lazo cerrado con MPC muestran un buen comportamiento para las variables de interés. Cuando se aplica el procedimiento de Diseño Integrado, la planta diseñada es capaz de rechazar las perturbaciones con unidades de proceso óptimas en cuanto a costes. Este es un resultado importante porque así se pueden obtener plantas óptimas con menores costes y mayor rechazo de perturbaciones. El problema resuelto también garantiza el cumplimiento del modelo dinámico no lineal de la planta, así como todas las restricciones de operación y de proceso. La metodología propuesta aquí es general, pudiéndose considerar otros criterios de desempeño. El uso de modelos linealizados también permite la especificación de criterios convexos resolubles fácilmente dentro del marco de las desigualdades lineales matriciales (LMI).

Agradecimientos Los autores desean agradecer la financiación recibida del MEC a través del proyecto de investigación DPI2006-15716-C02-01. Referencias [1] Copp, J.B. (2002). The COST Simulation

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