1.1 función cuadratica

FUNCIN CUADRTICA.

Cuando los elementos de un conjunto mediante una regla de correspondencia definida por una ecuacin de segundo grado en llamamos funcin de segundo grado o cuadrtica.

Definicin.

La funcin definida por la ecuacin

En donde x representa la incgnita, y

a es el coeficiente del trmino cuadrtico

b es el coeficiente del trmino lineal.

c es el trmino independiente.

GRFICAS QUE SE PRODUCEN EN UNA FUNCIN CUADRTICA.

La grfica que se produce en una funcin cuadrtica es una cnica llamada parbola, abre sobre el eje y.

y=x2

Cuando a es positivo, la parbola se abre hacia arriba.

y=

Cuandoparbola se abre hacia abajo.

Vrtice

FUNCIN CUADRTICA.

Cuando los elementos de un conjunto x y los elementos de un conjunto mediante una regla de correspondencia definida por una ecuacin de segundo grado en

segundo grado o cuadrtica.

La funcin definida por la ecuacin f(x)=y=ax2+bx+c se llama funcin cuadrtica.representa la incgnita, y a, b y c son constantes.

es el coeficiente del trmino cuadrtico, a 0 .

es el coeficiente del trmino lineal.

es el trmino independiente.


La grfica que se produce en una funcin cuadrtica es una cnica llamada parbola,

y=-x2

Cuando a es negativo, la parbola se abre hacia abajo.

y=2x2

El valor numrico de que tan abierta o cerrada es la parbola.

y los elementos de un conjunto y se asocian mediante una regla de correspondencia definida por una ecuacin de segundo grado en x, la

se llama funcin cuadrtica.


La grfica que se produce en una funcin cuadrtica es una cnica llamada parbola, que se

y=4x2

El valor numrico de a indica que tan abierta o cerrada es la

y=x2+x y=x2-

Si el coeficiente del trmino lineal positivo la parbola se desplaza hacia la izquierda y si b es negativo se desplaza hacia la derecha.

VRTICE, MXIMOS Y MNIMOS DE UNA FUNCIN CUADRTICA.

En la grfica de una funcin cuadrticacuales se presentan a continuacin:

Races

Vrtice, se encuentra un punto mnimo de la funcin.

y

-x

coeficiente del trmino lineal b es se desplaza hacia la

es negativo se desplaza

y=x2+x+2 y=x

El coeficiente del trmino independiente nos indica en qu punto tiene interseccin la parbola con el eje y.


En la grfica de una funcin cuadrtica se pueden identificar algunos puntos impcuales se presentan a continuacin:

, se encuentra un punto mnimo de la funcin.

Vrtice, se encuentra un punto mximo de la funcin.

x

y

x

y

+x+2 y=x2+x-2

El coeficiente del trmino independiente c, en qu punto tiene interseccin la


se pueden identificar algunos puntos importantes, los

Races

, se encuentra un punto mximo de la funcin.

x

y

x

EL VRTICE.

El vrtice es un punto que forma parte de la de y) el valor mnimo o mximo de la funcin. En ese punto se puede trazar un eje que hace simtrica la grfica de la funcin, el cual es llamado

El vrtice al ser un punto que forma parte de la parbola se representa por medio de una coordenada V(h, k), donde: V representa al vrtice. h representa el valor de su abscisa (valor de k representa el valor de su ordenada (valor de

El valor de h se puede calcula

El valor de k se debe obtener sustituyendo el valor de

MXIMOS Y MNIMOS EN UNA FUNCIN CUADRTICA.

Existe un punto mximo en una funcin

Existe un punto mnimo en una funcin cuando la curva pasa de

Se dice que una funcin es crecienteque pertenecen al intervalo I, donde x

Se dice que una funcin es deque pertenecen al intervalo I, donde x

La curva pasa de creciente a decreciente.

Punto mximo.

es un punto que forma parte de la parbola, el cual tiene como ordenada (valor ) el valor mnimo o mximo de la funcin. En ese punto se puede trazar un eje

que hace simtrica la grfica de la funcin, el cual es llamado eje de simetra.l vrtice al ser un punto que forma parte de la parbola se representa por medio de una

representa el valor de su abscisa (valor de x). representa el valor de su ordenada (valor de y).

se puede calcular con la frmula h=x=2ab

.

se debe obtener sustituyendo el valor de h en la funcin

MXIMOS Y MNIMOS EN UNA FUNCIN CUADRTICA.

en una funcin cuando la curva pasa de creciente a decreciente.

en una funcin cuando la curva pasa de dec

una funcin es creciente en un intervalo I, si para cada par de valores xdonde x1

CEROS O RACES DE UNA FUNCIN.

Le llamamos ceros o raz de una funcin a los valores ecuacin cuadrtica se haga corta al eje x Una funcin puede o no tener directamente de grado del polinomio, como se muestra a continuacin.

Sin raz, no corta al eje x.

2 races x1=-1.73 y x2=1.73

3 racesx

CEROS O RACES DE UNA FUNCIN.

Le llamamos ceros o raz de una funcin a los valores de x que cumplen o satisfacen que la ecuacin cuadrtica se haga cero. Las races representan los puntos en los que la grfica

puede o no tener races, el nmero de races que hay en una funcin depende olinomio, como se muestra a continuacin.

1 raz, x=-2

3 races; x1=-2.95, x2=-1.2 y x3=0.88

4 races; x3=0.75 y x

que cumplen o satisfacen que la Las races representan los puntos en los que la grfica

, el nmero de races que hay en una funcin depende olinomio, como se muestra a continuacin.

1 raz, x=0

x1= -1.15, x2= -0.33, =0.75 y x4=1.72

CEROS O RACES DE UNA FUNCIN CUADRTICA.

Las ecuaciones cuadrticas se clasifican, segn sus coeficientes en:

Incompletas. Si en la ecuacinentonces, se trata de una ecuacin cuadrtica incompleta.

Ejemplos: x2=0 b=0 y c=0

x2+2x=0 c=0

x2+3=0 b=0

Completas. Si en la ecuacin entonces se trata de una ecuacin cuadrtica completa.

Ejemplos: x2+2x+4=0 2x2+x-3=0

RACES DE UNA ECUACIN CUADRTICA INCOMPLETA.

Para obtener las races de una ecuacin cuadrtica incompleta tenemos tres casos:

Caso 1. Cuando la ecuacin cuadrtica tiene la forma

Para que la ecuacin se haga cero se requiere buscar un nmero por otro distinto a cero (en este caso por El valor para x2 que conduce a esto es nicamente el

Para cualquier ecuacin de la forma ax

Esto se puede observar grficamente como a continuacin se muestra

y=2x2

Raz x=0

RACES DE UNA FUNCIN CUADRTICA.

Las ecuaciones cuadrticas se clasifican, segn sus coeficientes en:

Si en la ecuacin ax2+bx+c=0 el valor de b y/o c se trata de una ecuacin cuadrtica incompleta.

Si en la ecuacin ax2+bx+c=0 el valor de a, b c entonces se trata de una ecuacin cuadrtica completa.

3=0 3x2-4x+2=0

RACES DE UNA ECUACIN CUADRTICA INCOMPLETA.


Cuando la ecuacin cuadrtica tiene la forma ax2=0

Para que la ecuacin se haga cero se requiere buscar un nmero x2 en este caso por a), nos d como producto cero

que conduce a esto es nicamente el cero, as que:

de la forma ax2=0 tiene como nica raz o solucin: x=0

Esto se puede observar grficamente como a continuacin se muestra

y=-Raz x=0

b y/o c son nulos (es cero),

son distintos de cero,


que al ser multiplicado nos d como producto cero.

=0 tiene como nica raz o solucin: x=0

Esto se puede observar grficamente como a continuacin se muestra:

-3x2

Raz x=0


Para encontrar las races hay que considerar lo siguiente:

Como en el primer y segundo trmino de la ecuacin aparece ecuacin nos queda como:

x(ax+b)=0

El primer miembro de la ecuacin tiene dos factores,

El producto de estos dos factores debe sernecesario que cualquiera de estos dos factores sea cero, es decir:

x=0 ax+b=0

Si x=0 la ecuacin se satisface y por lo tanto

Si ax+b=0, la ecuacin tambin se satisface, sx para el que ax+b=0.

Este valor se determina despejando de la siguiente manera:

Por lo tanto, las races de una ecuacin cuadrtica de la forma


y=x2+2x=0 ax2+bx=0

Al comparar las ecuaciones a=1 y b=2

x2=a

b =

12

= -2

x1=0

x2=-2

Cuando la ecuacin cuadrtica tiene la forma ax2+bx=0.

Para encontrar las races hay que considerar lo siguiente:

Como en el primer y segundo trmino de la ecuacin aparece xecuacin nos queda como:

El primer miembro de la ecuacin tiene dos factores, x y ax+b

oducto de estos dos factores debe ser igual a cero, para que esto se cumpla necesario que cualquiera de estos dos factores sea cero, es decir:

ax+b=0

la ecuacin se satisface y por lo tanto es una raz o solucin

cuacin tambin se satisface, slo basta determinar cul es el valor de

Este valor se determina despejando x de la expresin ax+b=0,de la siguiente manera:

a

bx =

una ecuacin cuadrtica de la forma ax2+bx=0 y


las ecuaciones a=1 y b=2

2 x1=0

y=-2x2 ax2

Al comparar las ecuaciones a=

x1=0 x2=

x1=0 x1=0

x2=a

b

x, se debe factorizar y la

ax+b.

igual a cero, para que esto se cumpla es necesario que cualquiera de estos dos factores sea cero, es decir:

es una raz o solucin.

lo basta determinar cul es el valor de

ax+b=0, quedando despejado

+bx=0 son:


2+3x=0 +bx=0

las ecuaciones a=-2 y b=3

a

b =

2-3

= +1.5

x2=1.5


Las races se obtienen al despejar manera:

x2=a

c sacamos raz cuadrada

Esto se puede observar grficamente como a continuacin se muestra.

y=2x2+1=0 ax2+c=0


x1=+a

c =

21

como

a

c

La ecuacin no tiene races o solucin.

y

Cuando la ecuacin cuadrtica tiene la forma ax2+c=0

Las races se obtienen al despejar x de la ecuacin ax2+c=0, quedando de la siguiente

sacamos raz cuadrada x1=+a

c x2= -

a

c


las ecuaciones a=2 y c=1

no es 0

La ecuacin no tiene races o solucin.

y=4x2 ax2


x=a

c =

x1=+21

y

x1=-21

x

quedando de la siguiente

siempre que a

c 0


2-1=0

2+c=0

las ecuaciones a=4 y c=-1

41

=

41 =

21

y x2=-21

x1=+21

y

x

Ejemplos resueltos. Ejemplo 1. Construir la grfica de la siguiente funcin ycoordenadas de su vrtice y sus races.Solucin x y= x2-3 -3 ( -3 )2-3= 9-3= 6 -2 (-2 )2-3= 4-3=1 -1 (-1 )2-3= 1-3= -2 0 (0 )2-3= 0 -3= -3 1 ( 1 )2-3= 1-3= -2 2 ( 2 )2-3= 4-3=1 3 ( 3 )2-3= 9-3= 6

Dominio + x

Rango 3y

La ecuacin de la funcin es que; a=1, b=0 y c= -3.

El vrtice V(h, k)

h=x=2ab

= 02(1)

0=

Para encontrar k= ax2+c k=x

Por lo que las coordenadas del

Para encontrar sus races.

Se trata del caso 3. Cuando la ecuacin cuadrtica tiene la forma

x1=+a

c =+

13

= 3 =+1.73

x2= -a

c

= -1.73

Recordemos que los valores xen la grfica representan los puntos donde la curva corta con el eje

siguiente funcin y =f(x)= x2-3, estableciendo su dominio, rango, las coordenadas de su vrtice y sus races.

(x, y) (-3,6) (-2,1) (-1,-2) (0,-3) (1,-2) (2,1) (3,6)

x2-3=0, al comparar con la ecuacin del

=x2-3 sustituimos el valor de x, por lo que

Por lo que las coordenadas del Vrtice son (0,-3).

Cuando la ecuacin cuadrtica tiene la forma ax2

+1.73

los valores x1=1.73 y x2=-1.73, son los puntos que satisfacen la ecuacin, en la grfica representan los puntos donde la curva corta con el eje x.

y

3, estableciendo su dominio, rango, las

tipo ax2+c=0, tenemos

por lo que k=(1)(0)2-3= -3

2+c=0

1.73, son los puntos que satisfacen la ecuacin,

x

Ejemplo 2. Un baln de ftbol americano es pateado por un jugador, de manera que la trayectoria descrita por el baln est representada por la funcin f(tvuelo en segundos. Elabora la grfica de la funcin rango, punto mximo que alcanza el baln y los puntos donde se pateo y

Dominio 5x0 Rango

La ecuacin de la funcin es tenemos que; a=-1, b=5 y c=0.

El vrtice V(h, k)

h=t=2ab

= 5.225

)1(25

==

Para encontrar k=ax2+bx, en nuestro casok=-(2.5)2+5(2.5)=-6.25+12.5= Vrtice (2.5, 6.25) El punto mximo se encuentre en el vrtice de la funcin.

Los puntos donde se pate y cay el baln representan las races de la ecuacin.

Se trata del caso 2. Cuando la ecuacin cuadrtica tiene la forma

x1=0 es el punto donde se pate

x2= 515

=

=

a

b Es el punto donde cay el

Podemos observar los resultados en la grfica

t f(t)= -t2+5t -2 -(-2)2 + 5(-2)= -4-10= --1 -(-1)2 + 5(-1)= -1-5= - 60 -(0)2 + 5(0)= 0 1 -(1)2 + 5(1)= -1+5= 4 2 -(2)2 + 5(2)= -4+10= 6 4 -(4)2 + 5(4)= -16+20= 45 -(5)2 + 5(5)= -25+25= 0

Un baln de ftbol americano es pateado por un jugador, de manera que la trayectoria representada por la funcin f(t)= -t2+5t, donde t es el tiempo de

Elabora la grfica de la funcin f(t)= -t2+5t, estableciendo su dominio, , punto mximo que alcanza el baln y los puntos donde se pateo y

25.6y0

-t2+5t=0, al comparar con la ecuacin del tipo 0.

5

en nuestro caso k=-t2+5t=0 sustituimos el valor de 5= 6.25

El punto mximo se encuentre en el vrtice de la funcin.

y cay el baln representan las races de la ecuacin.

Cuando la ecuacin cuadrtica tiene la forma ax2

se pate el baln.

Es el punto donde cay el baln.

Podemos observar los resultados en la grfica anterior.

( t, f(t) ) -14 ( -2,-14) 6 ( -1,-6)

( 0,0 ) (1 , 4 )

( 2, 6 ) 16+20= 4 ( 4, 4 ) 25+25= 0 ( 5, 0 )

Vrtice (2.5, 6.25)

y

Un baln de ftbol americano es pateado por un jugador, de manera que la trayectoria +5t, donde t es el tiempo de

tableciendo su dominio, , punto mximo que alcanza el baln y los puntos donde se pateo y cay el baln.

+5t=0, al comparar con la ecuacin del tipo ax2+bx=0,

sustituimos el valor de t, por lo que

El punto mximo se encuentre en el vrtice de la funcin.

y cay el baln representan las races de la ecuacin. 2+bx=0

Vrtice (2.5, 6.25)

x

1.1 función cuadratica

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