BAB 1

INTEGRAL TAK TENTU

1.1 Definisi Integral

Jika f (x) adalah sebuah fungsi, dimana turunan dari f(x): f’(x)=f(x)

f’(x)=f(x)

𝑑 𝑓(𝑥)

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥)

Maka f(x) disebut anti turunanatau integral tidaktentudari f(x) ditulis∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

1.2 Rumus-rumusdasar integral

1. ∫𝑑 (𝑓(𝑥))

𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝑐

2. ∫ 𝑥𝑟 𝑑𝑥 =1

𝑟+1𝑥𝑟+1 + 𝑐

3. ∫(𝑢 + 𝑣) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑥 + ∫ 𝑣 𝑑𝑥

4. ∫ 𝑥𝑢 𝑑𝑢 =1

𝑚+1𝑢𝑚+1 + 𝑐 , m ≠ -1

5. ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑢 𝑑𝑥 , a = konstanta

6. ∫1

𝑢 𝑑𝑢 = |n|u|+c

7. ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 =𝑎𝑢

|𝑛𝑎 + 𝑐 , a > 0 dan a ≠ 1

8. ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝑐

9. ∫𝑑𝑢

√𝑎2+𝑢2 = 𝑎𝑟𝑐 sin

𝑢

𝑎+ 𝑐

10. ∫𝑑𝑢

𝑢√𝑢2+𝑎2 =

1

𝑎𝑎𝑟𝑐 sec

𝑢

𝑎+ 𝑐

11. ∫𝑑𝑢

𝑎2+𝑢2 =

1

𝑎𝑎𝑟𝑐 tan

𝑢

𝑎+ 𝑐

12. ∫𝑑𝑢

𝑎2+𝑢2 =

1

2𝑎𝑖𝑛 [

𝑎+𝑢

𝑎−𝑢] + 𝑐

13. ∫𝑑𝑢

𝑢2+𝑎2 =

1

2𝑎𝑖𝑛 [

𝑢−𝑎

𝑢+𝑎] + 𝑐

14. ∫𝑑𝑢

√𝑢2+𝑎2 = 𝑖𝑛 ( 𝑢 + √𝑢2 + 𝑎2) + 𝑐

15. ∫𝑑𝑢

√𝑢2+𝑎2 = 𝑖𝑛 ( 𝑢 + √𝑢2 + 𝑎2) + 𝑐

16. ∫ √𝑎2 − 𝑢2 𝑑𝑢 =1

2𝑢 √𝑎2 − 𝑢2 +

1

2𝑎2 𝑎𝑟𝑐 sin

𝑢

𝑎+ 𝑐

17. ∫ √𝑢2 + 𝑎2 𝑑𝑢 =1

2𝑢 √𝑢2 + 𝑎2 +

1

2𝑎2 𝑖𝑛 (𝑢 + √𝑢2 + 𝑎2) + 𝑐

18. ∫ √𝑢2 − 𝑎2 𝑑𝑢 =1

2𝑢 √𝑢2 − 𝑎2 −

1

2𝑎2 𝑖𝑛 |𝑢 + √𝑢2 − 𝑎2| + 𝑐

Contoh soal :

1. ∫(3𝑥7 − 4𝑥5 + 5𝑥3 − 6𝑥)𝑑𝑥 = 3

8𝑥8 −

2

3𝑥6 +

5

4𝑥2 + 𝑐

2. ∫(𝑥2 + 5)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2𝑑𝑥 + ∫ 5𝑑𝑥 =1

3𝑥3 + 𝑐, +5𝑥 + 𝑐 =

1

3𝑥3 + 5𝑥 + 𝑐

3. ∫1

𝑥3 dx = ∫ 𝑥−3 =

1

−2𝑥−2 + 𝑐

4. ∫(𝑥 − 3)2𝑑𝑥 = ∫(𝑥2 − 6𝑥 + 9)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2𝑑𝑥 − ∫ 6𝑥𝑑𝑥 + ∫ 9𝑑𝑥 = 1

3𝑥3 − 3𝑥2 +

9𝑥 + 𝑐

5. ∫ 2𝑥(𝑥2 −1

𝑥)𝑑𝑥 = ∫(2𝑥3 − 2)𝑑𝑥 =

1

2𝑥4 − 2𝑥 + 𝑐

6. ∫𝑥3−5𝑥2+6

𝑥2 𝑑𝑥 = ∫(𝑥 − 5 + 6 𝑥−2)𝑑𝑥 =

1

2𝑥4 − 2𝑥 + 𝑐

7. ∫𝑑𝑥

√1−𝑥2= 𝑎𝑟𝑐 sin 𝑥 + 𝑐

8. ∫𝑑𝑥

1+𝑥2= 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 + 𝑐

9. ∫𝑑𝑥

𝑥√𝑥2−1=arc sec x + c

10. ∫𝑑𝑥

4𝑥2+9=

1

6 𝑎𝑟𝑐 tan

2𝑥

3+ 𝑐

11. ∫𝑑𝑥

𝑥2−1=

1

2𝑖𝑛 [

𝑥−1

𝑥+1] + 𝑐

12. ∫𝑑𝑥

1−𝑥2=

1

2𝑖𝑛 [

1+𝑥

1−𝑥] + 𝑐

13. ∫𝑑𝑥

√4𝑥2+9=

1

2 𝑖𝑛 (2𝑥 + √4𝑥2 + 9) + 𝑐

14. ∫𝑑𝑥

√𝑥2−1= 𝑖𝑛 [ 𝑥 + √𝑥2 − 1 ] + 𝑐

15. ∫ √25 − 𝑥2 𝑑𝑥 =1

2𝑥 √25 − 𝑥2 +

25

2 𝑎𝑟𝑐 sin

𝑥

5+ 𝑐

16. ∫ √𝑥2 − 36 𝑑𝑥 = 1

2𝑥 √𝑥2 − 36 − 18 𝑖𝑛 [ 𝑥 + √𝑥2 − 36 ] + 𝑐

BAB 2

INTEGRAL TRIGONOMETRI

2.1 Rumus – rumusdasar

1. ∫ sin u du = − cos u + c

2. ∫ sin u du = sin u + c

3. ∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑖𝑛 [ sec 𝑢 ] + 𝑐

4. ∫ cot 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑖𝑛 [ sin 𝑢 ] + 𝑐

5. ∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑖𝑛 [ sec 𝑢 + tan 𝑢 ] + 𝑐

6. ∫ cosec 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑖𝑛 [ cosec 𝑢 + cot 𝑢 ] + 𝑐

7. ∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝑐

8. ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = −cot 𝑢 + 𝑐

9. ∫ cosec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝑐

10. ∫ cosec 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 = −cosec 𝑢 + 𝑐

2.2 HubunganDalamTrigometri

1. 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1

2. 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥

3. 1 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥

4. 𝑠𝑖𝑛2𝑥 =1

2 (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)

5. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =1

2 (1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)

6. sin 𝑥 cos 𝑥 =1

2𝑠𝑖𝑛2𝑥

7. sin 𝑥 cos 𝑦 =1

2(sin(𝑥 − 𝑦) + sin(𝑥 + 𝑦))

8. sin 𝑥 sin 𝑦 =1

2(cos(𝑥 − 𝑦) + cos(𝑥 + 𝑦))

9. cos 𝑥 cos 𝑦 =1

2(cos(𝑥 − 𝑦) + cos(𝑥 + 𝑦)

10. 1 − cos 𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛21

2𝑥

11. 1 + cos 𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠21

2𝑥

12. 1 ± sin 𝑥 = 1 ± cos (1

2𝑥 − 𝑥)

13. tan 𝑥 =sin 𝑥

cos 𝑥

14. cot 𝑥 =cos 𝑥

sin 𝑥

15. sec 𝑥 =1

cos 𝑥

16. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 =1

sin 𝑥

Contoh soal :

1. ∫ sin 1

2 x dx = 2 ∫ sin

1

2 x −

1

2 dx = −2 𝑐𝑜𝑠

1

2 x + c

2. ∫ cos 3x dx = 1

3∫ cos 3x − 3. dx =

1

3sin 3x + c

3. ∫ tan 2x dx = 1

2∫ tan 2x. 2 =

1

2𝑖𝑛 [ sec 2𝑥 ] + 𝑐

4. ∫ (sin x + cos x)𝑑𝑥 = ∫ sin x dx + cos x dx = − cos 𝑥 + sin 𝑥 + 𝑐

5. ∫ (2 cos x + 3 sin x)𝑑𝑥 = ∫ 2 cos x dx − ∫ 3 sin x dx = 2 sin 𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐

6. ∫ (2 𝑠𝑒𝑐2 x − 2 tan x. sec 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑠𝑒𝑐2 x dx − ∫ 5 tan sec x dx

= 2 sin 𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐

= 2 tan x – 5 sec x + c

7. ∫ 𝑐𝑜𝑠 (2 x − π)𝑑𝑥 = 1

2sin(2𝑥 − π) + c

8. ∫ 2 𝑠𝑒𝑐2 5𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐2 5x dx = 2 (1

5tan 5𝑥 + 𝑐) =

2

5tan 5𝑥 + 𝑐

9. ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 (2𝑥 +1

4π) dx = −

1

2cot (2𝑥 +

1

4π) + c

10. ∫ 5 𝑡𝑎𝑛 (3𝑥). 𝑠𝑒𝑐(3𝑥) = 5 ∫ tan (3x). sec (3x) = 5 (1

3sec 3𝑥 + 𝑐)

= 5

3sec 3𝑥 + 𝑐

11. ∫ 𝑐𝑜𝑡 5 (𝑥 −1

2π) . cosec (𝑥 −

1

2π) dx = cosec (𝑥 −

1

2π) + 𝑐

12. ∫(𝑠𝑖 𝑥 − cos 𝑥)2 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 2 sin 𝑥 𝑐𝑜𝑥 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥

= 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 2 sin 𝑥 𝑐𝑜𝑥 𝑥

= 1 –sin 2x

∫( 1 –sin 2 x) dx = x – (-1

2cos 2 𝑥) + 𝑐

= x + 1

2cos 2 𝑥 + 𝑐

13. ∫ 𝑐𝑜𝑠23𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (1

2+

1

2cos 6𝑥) 𝑑𝑥 cos 2 x = 2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1

=∫1

2𝑑𝑥 + ∫

1

2 𝑐𝑜𝑠 6𝑥 𝑑𝑥 cos 2 x =

1

2(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)

= 1

2𝑥 +

1

2.

1

6sin 6𝑥 + 𝑐 cos 2 3x =

1

2(1 + 𝑐𝑜𝑠6𝑥)

= 1

2𝑥 +

1

12sin 6𝑥 + 𝑐 =

1

2+

1

2𝑐𝑜𝑠6𝑥

14. ∫ sin 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫1

2sin 4𝑥 𝑑𝑥 sin 2x = 2 sinxcosx

= 1

2 (−

1

4cos 4𝑥) + 𝑐

= −1

8cos 4𝑥 + 𝑐

15. ∫ sin 5𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫1

2(sin 7𝑥 + sin 3𝑥) 𝑑𝑥

Ingat : sinx cosx= 1

2sin(𝑥 + 𝑦) + sin (𝑥 − 𝑦) Maka

= 1

2∫ 𝑠𝑖𝑛 7𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 𝑑𝑥

= 1

2(−

1

7cos 7𝑥 −

1

3cos 3𝑥) + 𝑐

= -1

14cos 7𝑥 −

1

6cos 3𝑥 + 𝑐

16. ∫ 2 cos 10𝑥. cos 4𝑥 𝑑𝑥 = ∫(cos 14𝑥 + cos 6𝑥) 𝑑𝑥

Ingat cosx cosy=1

2cos(𝑥 + 𝑦) cos(𝑥 − 𝑦) Maka

= 1

14sin 𝑥 +

1

6sin 6𝑥 + 𝑐

17. ∫ 𝑠𝑖𝑛3𝑥 . 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥

Misalkan : U = cos x du = - sin x dx

∫ 𝑠𝑖𝑛3𝑥 . 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 . 𝑐𝑜𝑠2𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1

𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥

= ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥

= - ∫(1 − 𝑢2) 𝑢2 𝑑𝑢 = − ∫( 𝑢2 − 𝑢4) 𝑑𝑢

= ∫( 𝑢2 − 𝑢4) 𝑑𝑢

= 1

5 𝑢5 −

1

3 𝑢3 + 𝑐 =

1

5 𝑐𝑜𝑠5𝑥 −

1

3 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑐

18. ∫ 𝑠𝑖𝑛4𝑥 . 𝑐𝑜𝑠7𝑥 𝑑𝑥

U = sin x du = cos x dx

= ∫ 𝑠𝑖𝑛4𝑥 . 𝑐𝑜𝑠7𝑥 𝑑𝑥

= ∫ 𝑠𝑖𝑛4𝑥 . 𝑐𝑜𝑠6𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

= ∫ 𝑢4(1 − 𝑢2 )3𝑑𝑢

= ∫ 𝑢4(1 − 3𝑢2 + 3𝑢4 − 𝑢6)𝑑𝑢

= ∫( 𝑢5 − 3𝑢6 + 3𝑢8 − 𝑢10)𝑑𝑢

= 1

6 𝑢6 −

3

7 𝑢7 +

3

9 𝑢9 −

1

11 𝑢11𝑥 + 𝑐

19. ∫ 𝑠𝑖𝑛5𝑥 𝑑𝑥

U = cosx du = - sin x dx

= ∫ 𝑠𝑖𝑛5𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥

= ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 )2 sin 𝑥 𝑑𝑥

= - ∫(1 − 𝑢 2 )2𝑑𝑢 = ∫(1 − 2𝑢 2 + 𝑢4)𝑑𝑢

= - (u-2

3 𝑢3 +

1

5 𝑢5) + 𝑐

=- 1

5 𝑐𝑜𝑠5𝑥 +

2

3 𝑐𝑜𝑠3𝑥 − cos 𝑥 + 𝑐

20. ∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥 𝑠𝑒𝑐4 𝑥 𝑑𝑥

U = tan x du = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥

= ∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥 (1 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥) 𝑠𝑒𝑐4 𝑥 𝑑𝑥

= ∫ 𝑢2 (1 + 𝑢2) 𝑑𝑢

= ∫ (𝑢4 + 𝑢2) 𝑑𝑢

= 1

5 𝑢5 +

1

3 𝑢3 + 𝑐

= 1

5 𝑡𝑎𝑛5 +

1

3 𝑡𝑎𝑛3𝑥 + 𝑐

21. ∫ 𝑡𝑎𝑛3𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥

U = sex x du = sec x tan x dx

= ∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥 sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥

= ∫ (𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 1) sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥

= 1

3 𝑢3 − 𝑢 + 𝑐

= 1

3 𝑠𝑒𝑐3𝑥 − sec 𝑥 + 𝑐

22. ∫ sin 7𝑥 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫1

2(sin( 7 + 3) 𝑥 + sin (7 − 3) 𝑥 𝑑𝑥

= 1

2 (sin 10𝑥 + sin 4𝑥) 𝑑𝑥

= 1

2 (−

1

10cos 10𝑥 −

1

4cos 4𝑥) + 𝑐

= 1

40(2 cos 10𝑥 + 5 cos 4𝑥) + 𝑐

23. ∫ sin 7𝑥 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫1

2(cos(7 − 3) 𝑥 − cos (7 + 3) 𝑥 )𝑑𝑥

= 1

2 (cos 4𝑥 − cos 10𝑥) 𝑑𝑥

= 1

2 (

1

4sin 4𝑥 −

1

10sin 10𝑥) + 𝑐

= 1

40(5 sin 4𝑥 − 2 sin 10𝑥) + 𝑐

24. ∫ cos 7𝑥 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫1

2(cos(7 − 3) 𝑥 + cos (7 + 3) 𝑥 )𝑑𝑥

= 1

2 (cos 4𝑥 ∓ cos 10𝑥) 𝑑𝑥

= 1

2 (

1

4sin 4𝑥 +

1

10sin 10𝑥) + 𝑐

= 1

40(5 sin 4𝑥 + 2 sin 10𝑥) + 𝑐

Latihan Soal-soal

25. ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥

26. ∫ 𝑐𝑜𝑠2(3𝑥) 𝑑𝑥

27. ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥

28. ∫ 𝑠𝑖𝑛3𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥

29. ∫ sin 2𝑥 cos 5𝑥 𝑑𝑥

30. ∫ cos 4𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥

31. ∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥 𝑑𝑥

32. ∫ sin 2𝑥 cos 3𝑥 𝑑𝑥

BAB III

TEKNIK PENGINTEGRALAN DENGAN SUBSTITUSI

Contoh Soal

1. ∫ 𝑋2

4√𝑋3+2𝑑𝑥

Misalkan : u = 𝑥3 + 2 du = 3 dx dx = 1

3 𝑥2𝑑𝑢

= ∫ 𝑋2

4√𝑋3+2𝑑𝑥 = ∫

𝑋2

4√𝑢.

1

3 𝑋2𝑑𝑢

= 1

3∫ 𝑢

1

4 𝑑𝑢

= 1

3∫

1

4√4𝑑𝑢

= 1

3.

4

3 𝑢

3

4 = 4

9 𝑢

3

4 + 𝑐 = 4

9 (𝑥3 + 2 )

3

4 + 𝑐

2. ∫ 𝑋2

1− 2𝑥3𝑑𝑥

Misalkan : u = 1- 2𝑥3 du = −6𝑥2𝑑𝑢 dx =- 1

6𝑥2 𝑑𝑢

= ∫ 𝑋2

1− 2𝑥3𝑑𝑥 = ∫

𝑋2

𝑢. ( −

1

6𝑥2) 𝑑𝑢

= −1

6∫

1

𝑢𝑑𝑢

= −1

6 |𝑛|𝑢|| + 𝑐

= −1

6|𝑛|1 − 2𝑥3| + 𝑐

3. ∫(𝑥3 + 2 )23𝑥2𝑑𝑥

Misalkan : U = 𝑥3 + 2 dx = 1

3𝑥2𝑑𝑢 du = 3𝑥2𝑑𝑥

.∫(𝑥3 + 2 )23𝑥2𝑑𝑥 = ∫ 𝑢23𝑥2.1

3𝑥2𝑑𝑢

= ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 −1

3𝑢3 + 𝑐

= 1

3(𝑥3 + 2)3 + 𝑐

4. ∫ 3𝑥3 √1 + 2𝑥2𝑑𝑥

Misalkan U = 1 - 2𝑥2 du = -4x dx dx = - 1

4𝑥𝑑𝑢

.∫ 3𝑥3 √1 + 2𝑥2𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥 √𝑢.−1

4𝑥𝑑𝑢

= −3

4∫ √𝑢 . 𝑑𝑢

= −3

4.

2

3𝑢

3

2 + 𝑐

= −6

12(1 − 2𝑥2)

3

2 + 𝑐

5. ∫ 𝑠𝑒𝑐 √𝑥𝑑𝑥

√𝑥

Misalkan : U = √𝑥 du = 1

2√𝑥 dx = 2√𝑥𝑑𝑢

.∫ 𝑠𝑒𝑐 √𝑥𝑑𝑥

√𝑥 = ∫

sec 𝑢

√𝑥. 2√𝑥𝑑𝑢

= 2|n|sec u + tan u|+c

= 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢

= 2 |n|sec√𝑥 + 𝑡𝑎𝑛√𝑥| + 𝑐

6. ∫𝑥

𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)𝑑𝑥

Misalkan : U = 𝑥2 du = 2x dx dx = 1

2𝑥𝑑𝑢

.∫𝑥

𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)𝑑𝑥 = ∫

𝑥

𝑐𝑜𝑠2.𝑢.

1

2𝑥𝑑𝑢

= ∫𝑥

𝑐𝑜𝑠2.𝑢. 𝑑𝑢

= 1

2∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑢 𝑑𝑢

= 1

2tan 𝑥2 + 𝑐

= 1

2tan 𝑢 + 𝑐

7. ∫6𝑒

1𝑥

𝑥2𝑑𝑥

Misalkan : U = 1

𝑥 du = −

1

𝑥2𝑑𝑥 dx = −𝑥2𝑑𝑢

.∫6𝑒

1𝑥

𝑥2𝑑𝑥 = − ∫

6𝑒u

𝑥2𝑥2𝑑𝑢

= −6𝑒u + 𝑐

= − ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢

= −6𝑒1

𝑥 + 𝑐

8. ∫ 𝑥3 √𝑥4 + 11 𝑑𝑥

Misalkan : U = 𝑥4 + 11 du = 4𝑥3𝑑𝑥 dx = 1

4𝑥3du

.∫ 𝑥3 √𝑥4 + 11 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥3 . √𝑢.1

4𝑥3 𝑑𝑥

= 1

4.

2

3𝑢

3

2 + 𝑐

= 1

6𝑢

3

2 + 𝑐

= 1

6(𝑥4 + 11)

3

2 + 𝑐

SUBSTITUSI DENGAN RUMUS BAKU FUNGSI ALJABAR

1. ∫𝑑𝑢

√𝑎𝑢−𝑢2= 𝑠𝑖𝑛−1(

𝑢

𝑎) + c

2. ∫𝑑𝑢

u√𝑢2−𝑎2=

1

𝑎𝑠𝑒𝑐−1 (

|𝑢|

𝑎) + c =

1

𝑎𝑐𝑜𝑠−1 (

𝑎

|𝑢|) + c

3. ∫𝑑𝑢

𝑎2+𝑢2=

1

𝑎𝑡𝑎𝑛−1 (

𝑢

𝑎) + c

Contoh :

1. ∫3

√5−9𝑥2𝑑𝑥 = ∫

𝑑𝑢

√𝑎𝑢−𝑢2= 𝑠𝑖𝑛−1(

𝑢

𝑎) + c

Misalkan : u = 3x du = 3 dx dx = 1

3du

= ∫3

√5−𝑢2.

1

3du = ∫

1

√5−𝑢2du = 𝑠𝑖𝑛−1 (

𝑢

√5) + c = 𝑠𝑖𝑛−1 (

3x

√5) + c

2. ∫𝑒𝑥

4+9𝑒2𝑥𝑑𝑥 = ∫

𝑑𝑢

𝑎2−𝑢2=

1

𝑎𝑡𝑎𝑛−1 (

𝑢

𝑎) + c

Misalkan : u = 3𝑒𝑥 du =3𝑒𝑥𝑑𝑥 dx = 1

3𝑒𝑥du

= ∫𝑒𝑥

4+𝑢2.

1

3𝑒𝑥du =

1

3∫

1

4+𝑢2du =

1

3.

1

2𝑡𝑎𝑛−1 (

𝑢

2) + c

= 1

6𝑡𝑎𝑛−1 (

3𝑒𝑥

2) + c

BAB IV

INTEGRAL FUNGSI EKSPONEN

𝑒𝑥 = 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑝𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡/𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑒𝑘𝑠𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑛𝑔𝑎𝑘𝑎𝑡 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖

(𝑥2 + 16)11𝑝𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖

𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 = ∫ 𝑒𝑢du = 𝑒𝑢 + 𝑐

∫ 𝑎𝑢du =𝑎𝑢

|𝑛|𝑎|+ 𝑐

Contoh soal :

1. ∫ 𝑒2𝑥

Misalkan : u = 2x du = 2 dx dx = 1

2du

= ∫ 𝑒𝑢.1

2du =

1

2∫ 𝑒𝑢. du =

1

2𝑒𝑢 =

1

2𝑒2𝑥 + 𝑐

2. ∫ 𝑥 𝑒−𝑥2𝑑𝑥

Misalkan : u = −𝑥2 du = - 2x dx dx = 1

2du

= ∫ 𝑥 𝑒𝑢 1

2x du = −

1

2∫ 𝑒𝑢 + 𝑐 =

1

2. 𝑒−𝑥

2+ 𝑐

3. ∫ 𝑥 𝑒𝑥2

𝑑𝑥

Misalkan : u = 𝑥2 du = 2x dx 2x dx=du dx=1

2𝑥du

= ∫ 𝑥 𝑒𝑥2

𝑑𝑥 = 𝑥 . 𝑒𝑢 .1

2𝑥du =

1

2𝑒𝑢 du =

1

2𝑒𝑥

2 + c

4. ∫𝑒𝑥

1+𝑒𝑥𝑑𝑥

Misalkan : u = 1 + 𝑒𝑥 du = 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 =𝑑𝑢

𝑒𝑥

=∫𝑒𝑥

𝑢.

𝑑𝑢

𝑒𝑥= ∫

𝑑𝑢

𝑢= |𝑛|𝑢|+𝑐 = |𝑛|1 + 𝑒𝑥| + c

5. ∫ 𝑒sin 𝑦 cos 𝑦 𝑑𝑦

Misalkan : u = sin y du = cos y dy dy=𝑑𝑢

cos 𝑦

= ∫ 𝑒𝑢. cos 𝑦 .𝑑𝑢

cos 𝑦= 𝑒𝑢. 𝑑𝑢 = 𝑒sin 𝑦 + 𝑐

6. ∫ 10cot 3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 𝑑𝑥

Misalkan : u = cot 3x du = −1

3𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 𝑑𝑥

−1

3𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 dx =

𝑑𝑢

−1

3𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 3𝑥

= ∫ 10cot 3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 10𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 𝑑𝑢

−1

3𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 3𝑥

= ∫ 10𝑢𝑑𝑢

−1

3

= −3. 10𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2

+ 𝑐

7. ∫ 𝑒−𝑥 𝑑𝑥

Misalkan : u = -x du =-dx dx =-du

=∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = −𝑒−𝑥 + 𝑐 = −𝑒𝑢 + 𝑐

8. ∫ 𝑒3𝑥 𝑑𝑥

Misalkan : u=3x du = 3 dx dx = 1

3du

= 𝑒𝑢.1

3du =

1

3𝑒3𝑥 + 𝑐

9. ∫ 𝑎2𝑥

Misalkan : u = 2x du = 2 dx dx = 𝑑𝑢

2

= ∫ 𝑎𝑢 .𝑑𝑢

2=

1

2𝑎2𝑥 + 𝑐

10. ∫ 𝑒3 cos 2𝑥 − sin 2𝑥 𝑑𝑥

Misalkan : u = 3 cos 2𝑥 du = -3.2 sin 2x = -6 sin2x dx

dx = 𝑑𝑢

−6 sin 2𝑥

=𝑒𝑢. sin 2𝑥.𝑑𝑢

−6 sin 2𝑥= 𝑒𝑢.

𝑑𝑢

−6= 𝑒𝑢. −

1

6+ 𝑐 = −

1

6𝑒3 cos 2𝑥 + 𝑐

11. ∫ 𝑒4𝑥𝑑𝑥

Misalkan : u = 4x du = 4 dx

4 dx =du

dx = 𝑑𝑢

4

= ∫ 𝑒𝑢.𝑑𝑢

4=

1

4𝑒𝑢 + 𝑐 =

1

4𝑒4𝑥 + 𝑐

12. ∫ 𝑒−𝑥2+2𝑥𝑑𝑥

Misalkan : u = −𝑥2 + 2 du = -2x dx

-2x dx = du

dx = 𝑑𝑢

−2𝑥

= ∫ 𝑒𝑢. 𝑥𝑑𝑢

−2𝑥= −

1

2𝑒𝑢 + 𝑐 = −

1

2𝑒−𝑥

2+2 + 𝑐

13. ∫ 𝑒tan 2𝑥𝑠𝑒𝑐22𝑥𝑑𝑥

Misalkan : u = tan 2𝑥 du = 2sec22xdx

2sec22xdx=du

dx = 𝑑𝑢

2𝑠𝑒𝑐22𝑥

= ∫ 𝑒𝑢. 𝑠𝑒𝑐2 2𝑥𝑑𝑥𝑑𝑢

𝑠𝑒𝑐22𝑥=

1

2𝑒4 + 𝑐 =

1

2𝑒𝑡𝑎𝑛2𝑥+2 + 𝑐

14. ∫ 𝑒2𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑑𝑥

Misalkan : u =2𝑠𝑖𝑛3𝑥 du = 2.3cos3xdx

6cos3xdx=du

dx = 𝑑𝑢

6𝑐𝑜𝑠3𝑥

= ∫ 𝑒𝑢. 𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑑𝑢

6𝑐𝑜𝑠3𝑥= ∫ 𝑒𝑢.

𝑑𝑢

6=

1

6𝑒2𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝑐

Bila Integral, adalahRasionalkecualibentukakar :

1. √𝑎𝑢 + 𝑏𝑛

, substitusi 𝑎𝑢 + 𝑏 = 𝑧𝑛

akanmenggantikanbentukitudengan integral rasional.

2. √𝑞 + 𝑝𝑢 + 𝑢2, substitusi 𝑞 + 𝑝𝑢 + 𝑢2 = (𝑧 − 𝑢)2

akanmenggantikannyadengan integral rasional.

3. √𝑞 + 𝑝𝑢 − 𝑢2=√(𝛼 + 𝑢)(𝛽 − 𝑢)

substitusi𝑞 + 𝑝𝑢 − 𝑢2 = (𝛼 + 𝑢)2𝑧2

atau𝑞 + 𝑝𝑢 − 𝑢2 = (𝛽 − 𝑢)2𝑧2

akanmenggantikannyadengan integral rasional.

Contoh :

1. Carilah∫𝑑𝑥

𝑥√1−𝑥

Substitusi 1 − 𝑥 = 𝑧2

Maka𝑥 = 1 − 𝑧2 sehingga dx = -2 z dx

∫𝑑𝑥

𝑥√1 − 𝑥= ∫

−2 𝑧 𝑑𝑥

(1 − 𝑧2)𝑧= −2 ∫

𝑑𝑧

1 − 𝑧2= −2

1

2|𝑛|

1 + 𝑧

1 − 𝑧+ 𝑐

= −|𝑛|1 + 𝑧

1 − 𝑧+ 𝑐

2. Tentukan∫𝑑𝑥

(𝑥−2)√𝑥+2

Jawab :

Substitusi 𝑥 + 2 = 𝑧2 maka 𝑥 = 𝑧2 − 𝑧 sehingga dx = -2 z dx

Jadi∫𝑑𝑥

(𝑥−2)√𝑥+2= ∫

2𝑧 𝑑𝑧

(𝑧2−2−2)𝑧= ∫

2𝑧 𝑑𝑧

(𝑧2−4)𝑧= 2 ∫

𝑑𝑧

𝑧2−4= 2.

1

2.2|𝑛|

𝑧−2

𝑧+2=

1

2|𝑛|

√𝑥+2−2

√𝑥+2+2| + 𝑐

BAB 5

SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

Integral yang mengandung√𝑎2 − 𝑏2𝑥2, √𝑎2 + 𝑏2𝑥2, √𝑏2𝑥2 − 𝑎2

Dapatdirubahkedalambentuklain yang

menyangkutfungsitrigometripeubahbarusebagaiberikut:

Untuk Dapat Untukmendapatkan

- √𝑎2 − 𝑏2𝑥2 𝑥 =𝑎

𝑏sin 𝑧 𝑎√1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑧 = 𝑎 cos 𝑧

- √𝑎2 + 𝑏2𝑥2 𝑥 =𝑎

𝑏tan 𝑧 𝑎√1 + 𝑡𝑎𝑛2𝑧 = 𝑎 sec 𝑧

- √𝑏2𝑥2−𝑎2 𝑥 =𝑎

𝑏sec 𝑧 𝑎√𝑠𝑒𝑐2𝑧 − 1 = 𝑎 tan 𝑧

Example

1. ∫𝑑𝑥

𝑥2√4+𝑥2 mengacu 𝑎2 + 𝑏2 berarti

𝑎2 = 4

𝑎 = 2

𝑥 =𝑎

𝑏tan 𝑧

𝑥 =2

1tan 𝑧

𝑥 = 2 tan 𝑧

2 tan 𝑧 = 𝑥

tan 𝑧 =𝑥

2

√4 + 𝑥2

𝑧

2

𝑥 v

√4 + 𝑥 = 2 sec 𝑧

Mengacu pada

𝑎√1 + tan2 𝑧 = 𝑎 sec 𝑧

= 2 sec 𝑧

𝑥 = 2 tan 𝑧 𝑑𝑥 = 2 sec2 𝑧 𝑑𝑧

2. ∫𝑑𝑥

𝑋√9+4𝑥2 a = 3 mengacu 𝑎2 + 𝑏2

∫𝑑𝑥

𝑥2√4+𝑥2 = ∫

2 sec2 𝑧 𝑑𝑧

(2 tan 𝑧)2(2 sec 𝑧)

=∫2 sec2 𝑧 𝑑𝑧

(4 tan2 𝑧)(2 sec 𝑧)

= ∫2 sec 𝑧 sec 𝑧

4 tan2 𝑧 2 sec 𝑧𝑑𝑧

= 1

4∫

sec 𝑧

tan2 𝑧𝑑𝑧

= 1

4∫

1

cos 𝑧

sin2 𝑧

cos2 𝑧

𝑑𝑧

= 1

4∫

1

cos 𝑧×

cos2 𝑧

sin2 𝑧𝑑𝑧

= 1

4∫

cos 𝑧

sin2 𝑧𝑑𝑧

∫𝑑𝑥

𝑥2√4+𝑥2 =

1

4∫ sin−2 𝑧 cos 𝑧 𝑑𝑧

𝑢 = sin 𝑧

𝑑𝑢 = cos 𝑧 𝑑𝑧

cos 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑑𝑢

𝑑𝑧 = 𝑑𝑢

cos 𝑧

∫𝑑𝑥

𝑥2√4+𝑥2 =

1

4∫ 𝑢−2 cos 𝑧

𝑑𝑢

cos 𝑧

= 1

4− 𝑢−1 + 𝑐

= −1

4𝑢−1 + 𝑐

= −1

4sin−1 𝑧 + 𝑐

= −1

4 sin 𝑧+ 𝑐

= −√𝟒+𝒙𝟐

𝟒𝒙

𝑎2 = 9

𝑏2 = 4

𝑏 = 2

𝑥 =

𝑑

𝑏tan 𝑧

𝑥 =3

2tan 𝑧

2𝑥 = 3 tan 𝑧

3 tan 𝑧 = 2𝑥

tan 𝑧 =2𝑥

3

𝑥 =3

2tan 𝑧

𝑑𝑥 =3

2𝑠𝑒𝑐2𝑧 𝑑𝑧

𝑠𝑒𝑐2𝑧 𝑑𝑧

√9 + 4𝑥2

𝑧

3

2𝑥 v

3. ∫√9+4𝑥2

𝑥𝑑𝑥 mengacu ke 𝑎2 − 𝑏2

Mengacu pada rumus

𝑎 = √1 + 𝑡𝑎𝑛2𝑧 = 𝑎 sec 𝑧

√9 + 4𝑥2 = 3 sec 𝑧

∫𝑑𝑥

𝑥√9+4𝑥2 = ∫

3

2𝑠𝑒𝑐2𝑧 𝑑𝑧

3

2tan 𝑧.3 sec 𝑧

=∫sec 𝑧.sec 𝑧

3 tan 𝑧.3 sec 𝑧𝑑𝑧

= ∫1

3.

sec 𝑧

tan 𝑧𝑑𝑧

= 1

3∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑧 𝑑𝑧

= 1

3∫

1

cos 𝑧

sin2 𝑧

cos2 𝑧

𝑑𝑧

= 1

4|𝑛|𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑧 − cot 𝑧| + 𝑐

= 1

3|𝑛|

√9+4𝑥2−3

𝑋| + 𝑐

Ket :

Sin = cosec

Tan = cot

Cos = sec

𝑎2 = 9 𝑎 = 3

𝑏2 = 4 𝑏 = 2

𝑥 =𝑎

𝑏sin 𝑧

𝑥 =3

2sin 𝑧

2𝑥 = 3 sin 𝑧

3 sin 𝑧 = 2𝑥

sin 𝑧 =2𝑥

3

𝑑𝑥 =3

2cos 𝑧 𝑑𝑧

Mengacupadarumus

𝑎 = √1 + 𝑠𝑖𝑛2𝑧 = 𝑎 cos 𝑧

√9 − 4𝑥2 = 3 cos 𝑧

3

𝑧

√9 + 4𝑥2

2𝑥 v

∫√9 − 𝑥2

𝑥𝑑𝑥 = ∫

3 cos 𝑧.3

2cos 𝑧 𝑑𝑧

3

2sin 𝑧

= ∫3𝑐𝑜𝑠2𝑧

sin 𝑧𝑑𝑧 = 3 ∫

(1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑧)

sin 𝑧

= 3 ∫1

sin 𝑧− 3 ∫

1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑧

sin 𝑧𝑑𝑧 = 3 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑑𝑧 − 3 ∫ sin 𝑧 𝑑𝑧

= 3|𝑛|𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑧 − cot 𝑧| + 𝑐 ingat rumus

= 3|𝑛|𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑧 − cot 𝑧| + cos 𝑧 + 𝑐

= = 3|𝑛|3−√9−4𝑥2

𝑥| + √9 − 4𝑥2 + 𝑐

4. ∫𝑥2

√𝑥2−4𝑑𝑥

𝑎2 = 4 𝑎 = 2

𝑏 = 1

𝑥 =2

1sec 𝑧

𝑥 = 2 sec 𝑧

2 sec 𝑧 = 𝑥

sec 𝑧 =𝑥

2

sec 𝑧 =1

𝑐𝑜𝑠

𝑥

𝑧

2

√𝑥2 − 4 v

Mengacu√𝑏2𝑥2 − 𝑎2

𝑥 =𝑎

𝑏sec 𝑧

𝑑𝑥 = 2 sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑧

√𝑥2 − 4 = 2 tan 𝑧

Mengacu

𝑎√𝑠𝑒𝑐2𝑧 = 𝑎 tan 𝑧

- ∫𝑥2

√𝑥2−4𝑑𝑥 = ∫

(2 sec 𝑧)2.2 sec 𝑧 tan 𝑧

2 tan 𝑧𝑑𝑧

= ∫ 4𝑠𝑒𝑐2 𝑧. sec 𝑧 𝑑𝑧

= ∫ 4𝑠𝑒𝑐3𝑧 𝑑𝑧

= sec 𝑧 tan 𝑧 + 2|𝑛| sec 𝑧 + tan 𝑧| + 𝑐

= 1

2𝑥√𝑥2 − 4 + 2|𝑛|𝑥 + √𝑥2 − 4| + 𝑐

5. ∫𝑑𝑥

√9+4𝑥2

- ∫𝑑𝑥

√9+4𝑥2= ∫

3

2𝑠𝑒𝑐2𝑧

3 sec 𝑧𝑑𝑧 = ∫

3

2𝑠𝑒𝑐2𝑧

3𝑑𝑧 = ∫

1

2sec 𝑧 𝑑𝑧 =

1

2∫ sec 𝑧 𝑑𝑧

= 1

2|𝑛| sec 𝑧 + tan 𝑧| + 𝑐

= 1

2|𝑛|

√9+4𝑥2

3+

2𝑥

3| + 𝑐

= 1

2|𝑛|

√9+4𝑥2+2𝑥

3| + 𝑐

6. ∫𝑥𝑑𝑥

√𝑥2+16= ∫

𝑥𝑑𝑥

√16+𝑥2

𝑎2 = 9 𝑎 = 3

𝑏2 = 1 𝑏 = 2

𝑥 =𝑑

𝑏tan 𝑧

𝑥 =3

2tan 𝑧

𝑑𝑥 =3

2𝑠𝑒𝑐2𝑧 𝑑𝑧

√9 + 4𝑥2 = 𝑎 sec 𝑧 = 3 sec z

√9 + 4𝑥2

𝑧

3

2𝑥 v 2𝑥 = 3 tan 𝑧

3 tan 𝑧 = 2𝑥

tan 𝑧 =2𝑥

3

𝑎2 = 16 𝑎 = 4

𝑏2 = 1 𝑏 = 1

𝑥 =𝑎

𝑏tan 𝑧

𝑥 =4

1tan 𝑧

𝑥 = 4 tan 𝑧

4 tan 𝑧 = 𝑥

tan 𝑧 =𝑥

4

√16 + 𝑥2

𝑧

4

𝑥 v

- ∫𝑥𝑑𝑥

√𝑥2+16= ∫

4 tan 𝑧.4𝑠𝑒𝑐2𝑧 𝑑𝑧

4 sec 𝑧= ∫ tan 𝑧. 4 sec 𝑧 𝑑𝑧

= ∫ 4 tan 𝑧 sec 𝑧 𝑑𝑧 = 4 sec 𝑧 + 𝑐

= √16+𝑥2

4+ 𝑐

= √16 + 𝑥2 + 𝑐

7. ∫𝑥2

√9+2𝑥2𝑑𝑥

𝑎2 = 9 𝑎 = 2

𝑏2 = 3 𝑏 = √2

𝑥 =3

√2sin 𝑧

√2𝑥 = 3 sin 𝑧

3 sin 𝑧 = √2𝑥

sin 𝑧 =√2𝑥

3

𝑎√1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑧 = 𝑎 cos 𝑧

√9 − 2𝑥2 = cos 𝑧

𝑑𝑥 =3

√2cos 𝑧 𝑑𝑧

3

√2sin 𝑧 = 𝑥

sin 𝑧 =𝑥

3√2=

3√2

2

3

𝑧

√9 + 2𝑥2

√2𝑥

v

BAB 6

INTEGRAL PARSIAL/BAGIAN

Jika pengintergralan dengan substitusi tidak berhasil, maka menggunakan integral

parsial. Teknik integral parsial didasarkan pada pengintegralan rumus turunan hasil dua

fungsi.

Jika u dan v adalah fungsi x yang dapat diturunkan.

d (uv) = u. dv + v du

u dv = d (uv) – v du

∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢

Catatan :

1. Integral yang diberikan harus dipisahkan menjadi 2 bagian u, du, dx dan dv.

2. Yang dipilih dv harus yang dapat segera diintegrasi.

3. ∫ 𝑣 𝑑𝑢 tidak boleh lebih sulit dari pada ∫ 𝑢. 𝑑𝑣

Contohsoal :

1. ∫ 𝑥. sin 𝑥 𝑑𝑥

Mislakan : u = x dv = sin x du = dx v = ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥

- ∫ 𝑥. sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢

= −𝑥. cos 𝑥 − ∫ − cos 𝑥

= −𝑥. cos 𝑥 + sin 𝑥 + 𝑐

2. ∫ 𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥

Mislakan :u = x dv = cos x du = dx v = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥

- ∫ 𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

= 𝑥 sin 𝑥 − ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥

= 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝑐

3. ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑑𝑥

- ∫ sin 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥

Mislakan : U = sin x dv = sin x du = cos x dx

v = ∫ sin 𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥

- ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 − cos 𝑥 + ∫ cos 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

= −sin 𝑥. cos 𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑𝑥

=−sin 𝑥. cos 𝑥 + ∫(1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥) 𝑑𝑥

= −sin 𝑥. cos 𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥

2 ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = −sin 𝑥. cos 𝑥 + 𝑥 + 𝑐

2 ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = −1

2sin 2𝑥 + 𝑥 + 𝑐

2 ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = −1

2sin 2𝑥 + 𝑥 + 𝑐

∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = −1

2.1

2sin 2𝑥 +

1

2𝑥 + 𝑐

= −1

4sin 2𝑥 +

1

2𝑥 + 𝑐

4. ∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sec 𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥

Mislakan :U = sec x du = sec x tan x dx

dv = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 v = ∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥

- ∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = sec x tan x - ∫ 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 sec 𝑥 𝑑𝑥

= sec x tan x - ∫(𝑠𝑒𝑐2 − 1) sec 𝑥 𝑑𝑥

= sec x tan x - ∫(𝑠𝑒𝑐3 − sec 𝑥) 𝑑𝑥

= sec x tan x - ∫ 𝑠𝑒𝑐3 + ∫ sec 𝑥 𝑑𝑥

2 ∫ 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 tan 𝑥 + ∫ sec 𝑥 𝑑𝑥

= sec 𝑥 tan 𝑥 + |𝑛| sec 𝑥 + tan 𝑥 | + 𝑐

∫ 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = 1

2{sec 𝑥 tan 𝑥 + |𝑛| sec 𝑥 + tan 𝑥| + 𝑐}

= 1

2sec 𝑥 +tan 𝑥 +

1

2|𝑛| sec 𝑥 + tan 𝑥| + 𝑐}

BAB 7

INTEGRAL PECAHAN PARSIAL

- Sebuahfungsi f (x) =𝑓 (𝑥)

𝑔 (𝑥), dimana f (x) dan g(x) adalah polonomial

Disebutpecahanrasional

Jika :

- derajat f(x) lebihkecildariderajat g(x), f(x) disebutnaik.

- Derajat f(x) lebihbesardariderajat g(x), f(x) disebuttidaknaik.

Contohsoal :

1. Factor linear yang berlainan

1. ∫𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑐2𝑠𝑒𝑐2−4

a. Uraianpenyebutnya𝑥2 − 4 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

= 1

𝑥2−4=

𝐴

𝑥−2+

𝐵

𝑥+2 hilangkan pecahan sehingga diperoleh :dikalikan (x-

2)(x+2)3

I = A (x+2)+B (x-2)

b. Tentukankonstanta A dan B

Nilai-nilai yang diperolehadalahnilai x yang

menyebabkanpenyebutdalampecahanparcialmenjadi0 ;yaitu x = -2 dan x = 2

Subtitusi

X= -2 x = 2

I = A (x+2)+B (x-2) I = A (x+2)+B (x-2)

I = A (-2+2)+B (-2-2) I = A (2+2)+B (2-2)

I = -4 B I = 4 B

B =- 1

4 B =

1

4

c. 1

𝑥2−4=

𝑎

x−2+

𝑏

x+4 jadi

=

1

4

x−4+

1

4

x+4

2. Carilah∫(𝑥+1)

𝑥3+𝑥2−6𝑥𝑑𝑥

a. 𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥 = 𝑥(𝑥2 + 𝑥 − 6)

= x (x − 2)(𝑥 + 3)

- (𝑥+1)

𝑥3+𝑥2−6𝑥=

𝑥+1

𝑥3+𝑥2−6𝑥=

𝑎

x+

𝑏

x−2+

𝑐

x+3

X + 1 = 𝑎(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) + 𝑏𝑥(𝑥 + 3) + 𝑐𝑥(𝑥 − 2

b. X = 0 x = 2 x = -3

X = 0

I = -6a a(0-2)(0+3)+b.0(0+3)+c.0(0-2)

A =- 1

6 -2 a. 3 a = -6a

X = 2

X+1 = a(x-2)(x+3)+bx(x+3)+cx(x-2)

2+1 = a(2-2)(2+3)+bx(2+3)+cx(2-2)

3 = a. 0. 6 + 2b (5) + 2c.0

3 = 10 b

10b = 3

B = 3

10

X = -3

X+1 = a(x-2)(x+3)+bx(x+3)+cx(x-2)

-3+1 = a(-3-2)(-3+3)+bx(-3+3)+cx(-3-2)

-2 = 5. 0. 6 + -3b. 0 + 15c

-2 = 15c

15 c = -2

∫𝑑𝑥

𝑥2 − 4=

1

4∫

𝑑𝑥

x − 4−

1

4∫

𝑑𝑥

x + 4

=1

4|𝑛|𝑥 − 2 |−

1

4| 𝑛|𝑥 + 2| + 𝑐

c = −2

15

c. ∫(𝑥+1)

𝑥3+𝑥2−6𝑥 𝑑𝑥 =

−1

6∫

𝑑𝑥

x+

3

10−

2

15∫

𝑑𝑥

x+3

= −1

6|𝑛|𝑥|+|𝑛|𝑥 − 2| −

2

15|𝑛|𝑥 + 3| + 𝑐

3. Faktor Linear yang berulang

- Untuk factor yang tidakdapatdireduksi𝑎2 + bx − 𝑐 yang muncul sekali

dalam penyebut pecahan rasional yang baik, terdapat pecahan parcial

tunggal berbentuk 𝑎𝑥+𝑏

𝑎𝑥2+b+𝑐 dimana A dan B adalah konstanta :

Yang harusditentukan

1. ∫𝑥3+𝑥2+𝑥+2

𝑥4+3𝑥2+2

Lanjutanlatihansoal integral parsial

4. ∫ 𝑥 𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥

5. ∫ 𝑥 𝑒x 𝑑𝑥

∫(3𝑥 + 5)

𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 1

𝑢 = 𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑢 = 1

𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 1

2𝑥2

6. ∫ 𝑒x cos 𝑥 𝑑𝑥

7. ∫ 𝑥2 𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥

8. ∫ 𝑥2 sin 𝑥

9. ∫ √1 + 𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑒x 𝑑𝑥 𝑣 = ∫ 𝑒x 𝑑𝑥 = 𝑒x

𝑢 = 𝑒x 𝑑𝑢 = 𝑒x 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑣 = sin 𝑥

𝑢 = in x 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑥=

1

𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑥2𝑑𝑥 𝑣 =1

3𝑥3

𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑢 = 2x dx

𝑑𝑣 = sin 𝑥 𝑣 = − cos 𝑥

𝑢 = x 𝑑𝑢 = dx

𝑑𝑣 = √1 + 𝑥 𝑣 = ∫ √1 + 𝑥 𝑑𝑥 =2

3(1 + 𝑥)

3

2 = ∫(1 + 𝑥)1

2

BAB 8

INTEGRAL TERTENTU

- Definisi : integral tertentudarisudutfungsi f (x) terhadap x

Dari x = a hingga x = b

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎

𝑏= 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) F = anti turunan f

- Sifat-sifat :

1. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎= 0

2. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎= − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑎

𝑏

3. ∫ 𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎= 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎 c = konstanta

4. ∫ [ 𝑓(𝑥) ± 𝑔 (𝑥)] =𝑏

𝑎∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ±

𝑏

𝑎∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

5. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑐

𝑎= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑐

𝑎

𝑏

𝑎

Contoh :

1. ∫ 2𝑥 𝑑𝑥2

1

2. ∫ 3 𝑑𝑥4

0

3. ∫ 𝑥2 + 2𝑥 − 1 𝑑𝑥2

0

4. ∫1

𝑥3

2

1𝑑𝑥

5. ∫ √𝑥13

0𝑑𝑥

6. ∫ (2𝑥2 − 𝑥31

−1)𝑑𝑥

7. ∫𝑑𝑥

x+2

−10

−6

8. ∫ (8

1𝑥

1

3 + 𝑥4

3)𝑑𝑥

9. ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥𝜋

20

10. ∫ (sin 𝑥 − cos 𝑥) 𝑑𝑥𝜋

0

11. ∫ 2 sin 2 𝑥 𝑑𝑥𝜋

2𝜋

4

12. ∫ 3 sin 𝑥 𝑑𝑥𝜋

0

13. ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥3

4𝜋𝜋

2

14. ∫𝑑𝑥

𝑥2−9

2

−1

15. ∫ sin2𝜋

0

1

2𝑡 𝑑𝑡

16. ∫ 2(2

1𝑥2 − 1)

BAB 9

LUAS DAERAH BIDANG RATA

A. DAERAH DIATAS SUMBU X

Jika y = f (x) menentukanpersamaansebuahkurvapadabidang x y

danjikakontinudantidak negative padaselang (interval) a cx < b lihatlahdaerah R yang

dibatasiolehgrafik-grafikdari y=f(x) x=a, x=b dan y=0.

Terlihatbahwa R terletakdibawah y=f(x) antara x=0 dan y=b denganluasdaerah, A(R)

ditentukanoleh:

A(R) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎

𝑏

Contohsoal :

- Tentukanluasdaerah R dibawahkurva 𝑦 = 𝑥4 − 2𝑥3 + 2 antara x=-1 dan x=2

A(R) = ∫ (𝑥4 − 2𝑥3 + 2)𝑑𝑥2

−1 = (3

2

5−

16

3+ 4) =

51

10 satuan luas atau satuan

kuadrat

= (𝑥5

5−

𝑥4

2+ 2𝑋)

B. Daerah dibawahsumbu x

Luasdinyatakanolehbilangan yang tidak negative Jikagrafik y=f(x)

terletakdibawahsumbu x, maka∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏

𝑎 adalah bilangan negatif, sehingga tidak

dapat menggambarkansuatuluas. Akan tetapibilanganituadalah negative

untukluasdaerah yang dibatasioleh y=f(x), x=a, x=b, dan y=0.

Contohsoal :

- Tentukanluasdaerah R yang dibatasioleh𝑥2

3− 4

Sumbu x. X=-2 dan x=3

- A(R) = ∫ (𝑥2

3− 4) 𝑑𝑥 =

3

−2∫ (−

𝑥2

3− 4) 𝑑𝑥

3

−2

= [−𝑥3

9+ 4𝑥] = [−

27

9+ 12] − [

8

9− 8] =

145

9

Y = 0

Y = 𝑥2

3=

12

3

X=0

Y=-4

C. Luasdaerah yang terletakdibawahfungsi y=f(x), diatassumbu x dandiantara x=a

hingga x=b, dapatdicaridengancara.

Membagidaerahdari x=a hingga x=b menjadi n bagian.

Luassetiappersegipanjangadalahf(xk) ∆k x.

Jadijumlah n buahpersegipanjang yang didekatiadalah:

∑ 𝐹 (𝑋𝑘)𝑛𝑘=1 ∆𝑘 𝑥 limit dari jumlah ini adalah ∫ 𝑓(𝑥)𝑎

𝑏𝑑𝑥 yang merupakan luas dari

daerah tersebut.

Jikasuatudaerahdibatasiolehfungsi f(x) dan g(x), makaluasdaerahtersebut.

Latihansoal :

1. Cariluasdaerah yang dibatasiolehkurva𝑦 = 𝑥2 sumbu x dari x = 1 sampai x =

3.

2. Carilahluas yang terletakdiatassumbu x dandibawahparabola 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2.

3. Carilahluas yang dibatasioleh parabola 𝑥 = 8 + 2𝑦 − 𝑦2, sumbu y garis y = -

1 dan y = 3

4. Carilahluas yang dibatasi parabola 𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 + 6

Sumbu x dangaris x = 2 dan x = 6

5. Carilahluaskurva𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥 dan sumbu x.

6. Carilahluas yang dibatasi parabola 𝑥 = 4 − 𝑦2 dan sumbu y.

7. Carilahluaspotonganterkecildarilingkaran𝑥2 + 𝑦2 = 25 oleh garis x = 3.

8. Carilahluas yang dibatasioleh parabola 𝑦 = 6𝑥 − 𝑥2 dan 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥

9. Tentukanluasdaerah yang dibatasiolehkurva𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2

Sumbu x = 0 dan x = 1.

10. Tentukanluasdaerah yang dibatasiolehgaris𝑦 =1

4𝑥 − 2 sumbu x

Garis x = 4 dansumbu y.

11. Tentukanluasdaerah yang dibatasiolehkurva𝑦 = 𝑓(𝑥) = − sin 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋

Dan sumbu x.

12. Tentukanluas yang dibatasikurva𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2, garis x = 0 dan diatas garis y

= 1.

BAB 10

VOLUME BENDA PUTAR

Benda putardibentukdenganmemutarsuatubidangdaftarsekelilingsebuahgaris yang

disebutsumbuputarpadabidangdatar.

Volume bendaputar yang terbentukolehperputarankurva y =

f(x) mengelilingisumbux ,dari x = a, sampai x = b.

Diperolehdengan :

- Membagidaerahmenjadi n bagianpersegipanjang

(gambardiatas) masing-masingdenganlebar Δ x.

- Jikadiputarmengelilingisumbu x makaakanterbentukcakramdenganjari-jari y

dantinggi Δ x.

Sehingga volume untuksetiapcakramadalah𝜋 𝑦2𝛥 𝑥

Maka volume bendaputar∫ 𝜋 𝑦2𝑑𝑥 =𝑏

a∫ 𝜋 𝑦2(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

a

Jikadaerahdibatasiolehfungsi f (x) dan g(x), maka volume daerahtersebut.

∫ 𝜋 [𝑦2(𝑥) − 𝑔2(𝑥)]𝑑𝑥𝑏

a

Apabiladaerahdiputarmengelilingisumbu y,

makadigunakanmetoderumahsiputdenganrumus :

𝑣 = 2𝜋 ∫ 𝑥 𝑦 𝑑𝑥𝑏

a

Contoh :

1. Carilah volume bendaputar yang terbentukolehperputarandaerahdikuadran 1 yang

dibatasioleh parabola 𝑦2 = 8𝑥 dan latus rectumnnya (x = 2) sekeliling sumbu x.

2. Carilah volume benda yang terbentukkarenaperputarandaerah yang dibatasi

Oleh𝑦2 = 8𝑥 , latus rectum (x = 2) sekeliling latus rectum.

3. Cari volume benda yang diperolehdenganmemutarellips.

4. Cari volume benda yang diperolehdenganmemutardaerahantara𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6

Dan y = 0 mengelilingisumbu y.

5. Carilah volume benda yang dibatasiolehkurva𝑦 =1

√𝑥

sumbu x garis x = 1 dangaris x = 4 diputarmengelilingisumbu y.

6. Tentuka volume bendaputar, jikadibatasiolehgrafik𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2sumbu x

dansumbu y diputar 360⁰ terhadapsumbu x dansumbu y.

7. Hitung volume bendaputar yang dibatasiolehkurva𝑦 = 𝑥2 sumbum x,0 ≤ 𝑥 ≤ 2

diputar terhadap sumbu x.

8. Hitung volume bendaputar yang terbentukjikadaerah yang dibatasiolehkurva𝑦 =

𝑥2

Dan 𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 diputar terhadap sumbu x.

BAB 11

PANJANG BUSUR

Jika A (a,c) dan B(b,d) duatitik yang terletakpadakurva y = f(x) dengan f(x)

danturunannya f’(x) masing-masing continue dalamselang a ≤ x ≤ b.

Makapanjangbusur AB adalah :

𝑠 = ∫ 𝑑𝑠𝑎𝑏

= ∫ √1 + (𝑑𝑦

𝑑𝑥)2𝑑𝑥

𝑎

𝑏

JikaA(a,c) dan B(b,d) duatitikpadakurva x=g(y) dengan g(y)

danturunannya g’(y), masing-masing continue dalamselang c ≤ x ≤ d makapanjangbusur

AB adalah.

𝑠 = ∫ 𝑑𝑠𝑎𝑏

= ∫ √1 + (𝑑𝑦

𝑑𝑥)2𝑑𝑥

𝑑

𝑐

Jika A (U=U₁) dan B (U=U₂) duatitikpadakurva yang

didefinisikandenganpersamaanparameter

X = f(u) dan y = g(u)

Makapanjangbusur AB adalah.

𝑠 = ∫ 𝑑𝑠𝑎𝑏

= ∫ √(𝑑𝑥

𝑑𝑢)2 + (

𝑑𝑦

𝑑𝑢)2𝑑𝑢

𝑈₁

𝑈₂

Contohsoal :

1. Caripanjangbusurkurva𝑦 = 𝑥3

2dari x = 0 sampai x = 5

2. Caripanjangbusurkurva𝑥 = 𝑡2 𝑦 = 𝑡3dari t = 0 sampai t = 4

3. Caripanjangbusurkurva𝑥 = 3𝑦3

2 − 1 dari y = 0 sampai y = 4

4. Tentukanpanjanggarisdenganpersamaan y = x+1 x = 1 sampai x = 5

BAB 12

INTEGRAL RANGKAP

0 Merupakandaerahtertutuppadabidang x ◦y

Yang dibatasikurvatertutup c

Daerah D dibagimenjadi n daerah

Daerah bagianke-I (I = 1, 2, …)denganluas ∆

Titik A (xi, yi) merupakansebarangtitik

Dalambagiandaerahke-i

Sedangkan di adalah diameter yang terpanjang

Padadaerahbagianke-i

Ditentjumlah

∑ 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) ∆𝑖 𝐴 = 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) ∆2 𝐴 + 𝑓(𝑥2, 𝑦2)∆2 𝐴 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)∆𝑛 𝐴

Jikalim𝑛→0

∑ f(xi, yi) ∆𝑖 𝐴𝑛𝑖=1 ada , maka limit itu ditulis :

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = lim𝑛→∞

∑ f(xi, yi) ∆𝑖 𝐴

𝑛

𝑖=1

Contohsoal :

1. ∫ ∫ 𝑑𝑦 𝑥

𝑥21

0𝑑𝑥 =

1

6

2. ∫ ∫ 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥2+𝑥

2𝑥2−2

2

−1=

9

4

3. ∫ ∫ (𝑥 + 𝑦) 3𝑦

𝑦

2

1𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 14

4. ∫ ∫ (2𝑥 + 3𝑦) 2

1

3

0𝑑𝑥 𝑑𝑦 =

45

2

5. ∫ ∫ (2𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦3

0

2

1=

45

2

6. ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦4

0

8

0=

128

3+ 128 =

896

3

7. ∫ ∫ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦3

0

2

1= 9

8. ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 𝑑𝑦2

1

4

2=

70

3

9. ∫ ∫ 𝑑𝑥 𝑑𝑦2

1

1

0= 1

10. ∫ ∫ 𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦8−𝑦

𝑦

4

2=

32

3

11. ∫ ∫ (𝑦 + 𝑦3) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 √𝑥

𝑥

1

0=

70

60

12. ∫ ∫𝑦

3

20

2

1

𝑥

𝑦2𝑑𝑥 𝑑𝑦 =

3

4

13. ∫ ∫ 𝑥𝑥

𝑥21

0𝑦2𝑑𝑦 𝑑𝑥 =

1

40

14. ∫ ∫ 𝜌34𝑐𝑜𝑠ѳ

2

𝜋2

0𝑑𝜌 𝑑ѳ = 10𝜋

15. ∫ ∫ 𝜌𝑐𝑜𝑠ѳ

0

𝜋

0𝑠𝑖𝑛ѳ 𝑑𝜌 𝑑ѳ =

1

3