momento angular · 2020. 5. 21. · momento angular –sistema de partícula = 𝑖=1 𝑛 𝑖 =...
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Momento Angular21-05
Momento Angular
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑟
𝑝𝐿
Momento Angular
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑟
𝑝𝐿
𝐿 = 𝑟. 𝑝. 𝑠𝑒𝑛∅
Momento Angular
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑟
𝑝𝐿
𝐿 = 𝑟. 𝑝. 𝑠𝑒𝑛∅∅
Momento Angular
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑟
𝑝𝐿
𝐿 = 𝑟.𝑚𝑣. 𝑠𝑒𝑛∅∅
Momento Angular
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑟
𝑝𝐿
𝐿 = 𝑟.𝑚𝑣. 𝑠𝑒𝑛∅∅
Momento Angular
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑟
𝑝𝐿
𝐿 = 𝑟.𝑚𝑣. 𝑠𝑒𝑛∅∅
Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)𝑑
𝑑𝑡
Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚
𝑑
𝑑𝑡( 𝑟 × 𝑣)
Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚
𝑑
𝑑𝑡 𝑟 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 ×
𝑑 𝑣
𝑑𝑡+𝑑 𝑟
𝑑𝑡× 𝑣)
Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚
𝑑
𝑑𝑡 𝑟 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 ×
𝑑 𝑣
𝑑𝑡+𝑑 𝑟
𝑑𝑡× 𝑣)
Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚
𝑑
𝑑𝑡 𝑟 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 ×
𝑑 𝑣
𝑑𝑡+𝑑 𝑟
𝑑𝑡× 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑎 + 𝑣 × 𝑣)
Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚
𝑑
𝑑𝑡 𝑟 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 ×
𝑑 𝑣
𝑑𝑡+𝑑 𝑟
𝑑𝑡× 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚 𝑟 × 𝑎 + 𝑣 × 𝑣 =
Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚
𝑑
𝑑𝑡 𝑟 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 ×
𝑑 𝑣
𝑑𝑡+𝑑 𝑟
𝑑𝑡× 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚 𝑟 × 𝑎 + 𝑣 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 × 𝑎)
Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚
𝑑
𝑑𝑡 𝑟 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 ×
𝑑 𝑣
𝑑𝑡+𝑑 𝑟
𝑑𝑡× 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚 𝑟 × 𝑎 + 𝑣 × 𝑣 = 𝑚 𝑟 × 𝑎 = 𝑟 × 𝐹𝑅𝑒𝑠
Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚
𝑑
𝑑𝑡 𝑟 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 ×
𝑑 𝑣
𝑑𝑡+𝑑 𝑟
𝑑𝑡× 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚 𝑟 × 𝑎 + 𝑣 × 𝑣 = 𝑚 𝑟 × 𝑎 = 𝑟 × 𝐹𝑅𝑒𝑠
Quem é?
Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑟 × 𝐹𝑅𝑒𝑠 = 𝜏
Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑟 × 𝐹𝑅𝑒𝑠 = 𝜏
𝜏𝑅𝑒𝑠 =𝑑
𝑑𝑡𝐿
Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑟 × 𝐹𝑅𝑒𝑠 = 𝜏
Lembrando (mostrando similaridade):
𝜏𝑅𝑒𝑠 =𝑑
𝑑𝑡𝐿
Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑟 × 𝐹𝑅𝑒𝑠 = 𝜏
Lembrando (mostrando similaridade): 𝐹𝑅𝑒𝑠 =𝑑
𝑑𝑡 𝑝
𝜏𝑅𝑒𝑠 =𝑑
𝑑𝑡𝐿
Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑟 × 𝐹𝑅𝑒𝑠 = 𝜏
Lembrando (mostrando similaridade): 𝐹𝑅𝑒𝑠 =𝑑
𝑑𝑡 𝑝
𝜏𝑅𝑒𝑠 =𝑑
𝑑𝑡𝐿 Rotação
Transalação
Momento angular – sistema de partícula
𝑑
𝑑𝑡𝐿 =
𝑖=1
𝑛𝑑𝑙𝑖𝑑𝑡
Momento angular – sistema de partícula
𝑑
𝑑𝑡𝐿 =
𝑖=1
𝑛𝑑𝑙𝑖𝑑𝑡=
𝑖=1
𝑛
𝜏
Momento angular – sistema de partícula
𝑑
𝑑𝑡𝐿 =
𝑖=1
𝑛𝑑𝑙𝑖𝑑𝑡=
𝑖=1
𝑛
𝜏
𝜏𝑅𝑒𝑠 =𝑑
𝑑𝑡𝐿
Momento angular – sistema de partícula
𝑑
𝑑𝑡𝐿 =
𝑖=1
𝑛𝑑𝑙𝑖𝑑𝑡=
𝑖=1
𝑛
𝜏
𝜏𝑅𝑒𝑠 =𝑑
𝑑𝑡𝐿
“O torque externo resultante que age sobre um sistema de partículas é
igual à taxa de variação com o tempo do momento angular total L do
sistema.”
Momento angular – corpo rígido girando
Momento angular – corpo rígido girando
Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90
Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90 = 𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖
Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90 = 𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖
𝐿 =
𝑖=1
𝑛
𝑙𝑖
Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90 = 𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖
𝐿 =
𝑖=1
𝑛
𝑙𝑖 =
𝑖=1
𝑛
𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖
Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90 = 𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖
𝐿 =
𝑖=1
𝑛
𝑙𝑖 =
𝑖=1
𝑛
𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖 V=ωR
Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90 = 𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖
𝐿 =
𝑖=1
𝑛
𝑙𝑖 =
𝑖=1
𝑛
𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖 V=ωR
𝐿 =
𝑖=1
𝑛
∆𝑚𝑖𝜔𝑟𝑖𝑟𝑖
Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90 = 𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖
𝐿 =
𝑖=1
𝑛
𝑙𝑖 =
𝑖=1
𝑛
𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖 V=ωR
𝐿 =
𝑖=1
𝑛
∆𝑚𝑖𝜔𝑟𝑖𝑟𝑖 =𝜔
𝑖=1
𝑛
∆𝑚𝑖𝑟𝑖2
Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90 = 𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖
𝐿 =
𝑖=1
𝑛
𝑙𝑖 =
𝑖=1
𝑛
𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖 V=ωR
𝐿 =
𝑖=1
𝑛
∆𝑚𝑖𝜔𝑟𝑖𝑟𝑖 =𝜔
𝑖=1
𝑛
∆𝑚𝑖𝑟𝑖2 = 𝜔 𝑟2𝑑𝑚
Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝐿 = 𝜔 𝑟2𝑑𝑚
𝐿 = 𝐼𝜔
Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝐿 = 𝜔 𝑟2𝑑𝑚
𝐿 = 𝐼𝜔
𝑝 = 𝑚𝑣
Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝐿 = 𝜔 𝑟2𝑑𝑚
𝑳 = 𝐼𝝎
𝑝 = 𝑚𝑣
rotação
translação
Torque e velocidade angular
Rotação e Translação
Translação Rotação
Força 𝐹 Torque 𝜏(= 𝑟 × 𝐹)
Momento Linear 𝑝 Momento Angular 𝐿(= 𝑟 × 𝑝)
Momento Linear 𝑝 = 𝑀. 𝑣𝐶𝑀 Momento angular 𝐿 = 𝐼𝜔
Segunda Lei de Newton 𝐹𝑟𝑒𝑠 =
𝑑 𝑝
𝑑𝑡
Segunda Lei de Newton 𝜏𝑟𝑒𝑠 =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
Lei de Conservação 𝑝 constante Lei de Conservação 𝐿 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Rotação e Translação
Translação Rotação
Força 𝐹 Torque 𝜏(= 𝑟 × 𝐹)
Momento Linear 𝑝 Momento Angular 𝐿(= 𝑟 × 𝑝)
Momento Linear 𝑝 = 𝑀. 𝑣𝐶𝑀 Momento angular 𝐿 = 𝐼𝜔
Segunda Lei de Newton 𝐹𝑟𝑒𝑠 =
𝑑 𝑝
𝑑𝑡
Segunda Lei de Newton 𝜏𝑟𝑒𝑠 =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
Lei de Conservação 𝑝 constante Lei de Conservação 𝐿 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Conservação do Momento Angular
Conservação do Momento Angular
𝜏𝑟𝑒𝑠 =𝑑𝐿
𝑑𝑡
Conservação do Momento Angular
𝜏𝑟𝑒𝑠 =𝑑𝐿
𝑑𝑡
Se o torque for nulo L é constante!
Conservação do Momento Angular
𝜏𝑟𝑒𝑠 =𝑑𝐿
𝑑𝑡
Se o torque for nulo L é constante!
𝐼𝑖 . 𝜔𝑖 = 𝐼𝑓 . 𝜔𝑓
Conservação do Momento Angular
𝜏𝑟𝑒𝑠 =𝑑𝐿
𝑑𝑡
Se o torque for nulo L é constante!
𝐼𝑖 . 𝜔𝑖 = 𝐼𝑓 . 𝜔𝑓
Exemplo
Uma barata de massa m está sobre um disco de massa 6m e raio R. O disco gira como um carrossel em tornodo eixo central, com velocidade angular de 1,5 rad/s. A barata está inicialmente a uma distância r=0,8R docentro do disco, mas rateja até a borda. Trate a barata como se fosse uma partícula. Qual é a velocidadeangular do inseto ao chegar à borda do disco?