11...como el de los planetas y satélites, o los proyectiles que se mueven en un plano o en el...

11ECUACIONES PARAMÉTRICASy COORDENADAS POLARES

INTRODUCCIÓN En este capítulo estudiaremos nuevas formas para definir curvas en el plano.En vez de visualizar una curva como la gráfica de una función o de una ecuación, considerare-mos un modo más general para representar a una curva como la trayectoria de una partícula enmovimiento, cuya posición cambia con el tiempo. Así, cada una de las coordenadas x y y de laposición de la partícula se convierte en una función de una tercera variable t. También podemoscambiar la forma en que se describen los puntos en el plano usando coordenadas polares, en vezdel sistema rectangular o cartesiano. Ambas herramientas son útiles para describir movimiento,como el de los planetas y satélites, o los proyectiles que se mueven en un plano o en el espacio.Además, revisaremos las definiciones geométricas y las ecuaciones estándar de parábolas, elip-ses e hipérbolas. Estas curvas reciben el nombre de secciones cónica o cónicas y describen lastrayectorias seguidas por proyectiles, planetas o cualquier otro objeto que se mueva bajo la solainfluencia de una fuerza gravitacional o electromagnética.

11.1 Parametrización de curvas pLanas

FIGURA 11.1 La curva o trayectoria trazadapor una partícula que se mueve en el plano xyno siempre es la gráfica de una función ode una ecuación.

610

En capítulos previos estudiamos las curvas como gráficas de funciones o de ecuaciones queincluyen a las dos variables x y y. Ahora presentaremos otra manera de describir una curva, alexpresar ambas coordenadas como funciones de una tercera variable t.

Ecuaciones paramétricasLa figura 11.1 muestra la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano xy. Observe quela trayectoria no pasa la prueba de la recta vertical, de manera que no se puede describir comola gráfica de la función de una variable x. Sin embargo, algunas veces la trayectoria se describecon un par de ecuaciones, x = J(t) y y = g(t), donde J y g son funciones continuas. Para estu-diar el movimiento, t generalmente representa el tiempo. Ecuaciones como éstas describen cur-vas más generales que las ecuaciones y = J(x) y, además de la gráfica de la trayectoria reco-rrida, indican la posición de (x, y) = (f(t), «o de la partícula en cualquier tiempo t.

DEFINICIÓN Si x y y están dadas como funciones

x = f(t), y = g(t)

en un intervalo J de valores t, entonces el conjunto de puntos (x, y) = (f(t), g(t»definido por estas ecuaciones es una curva paramétrica. Las ecuaciones son ecua-ciones paramétricas de la curva.

La variable t es un parámetro de la curva y su dominio J es el intervalo del parámetro.Si J es un intervalo cerrado, a ::s t ::s b, el punto (f(a), g(a» es el punto inicial de la curva, y(f(b), g(b» es el punto final. Cuando tenemos ecuaciones paramétricas y un intervalo para el

11 ECUACIONES PARAMÉTRICAS

y COORDENADAS POLARES

INTRODUCCIÓN En este capítulo estudiaremos nuevas formas para definir curvas en el plano. En vez de visualizar una curva como la gráfica de una función o de una ecuación, consideraremos un modo más general para representar a una curva como la trayectoria de una partícula en movimiento, cuya posición cambia con el tiempo. Así, cada una de las coordenadas x y y de la posición de la partícula se convierte en una función de una tercera variable t. También podemos cambiar la forma en que se describen los puntos en el plano usando coordenadas polares, en vez del sistema rectangular o cartesiano. Ambas herramientas son útiles para describir movimiento, como el de los planetas y satélites, o los proyectiles que se mueven en un plano o en el espacio. Además, revisaremos las definiciones geométricas y las ecuaciones estándar de parábolas, elipses e hipérbolas. Estas curvas reciben el nombre de secciones cónica o cónicas y describen las trayectorias seguidas por proyectiles, planetas o cualquier otro objeto que se mueva bajo la sola influencia de una fuerza gravitacional o electromagnética.

11.1 Parametrizadón de curvas pLanas

FIGURA 11.1 La curva o trayectoria trazada

por una partícula que se mueve en el plano xy

no siempre es la gráfica de una función o

de una ecuación.

610

En capítulos previos estudiamos las curvas como gráficas de funciones o de ecuaciones que incluyen a las dos variables x y y. Ahora presentaremos otra manera de describir una curva, al expresar ambas coordenadas como funciones de una tercera variable t.

Ecuaciones paramétricas

La figura 11 .1 muestra la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano xy. Observe que la trayectoria no pasa la prueba de la recta vertical, de manera que no se puede describir como la gráfica de la función de una variable x. Sin embargo, algunas veces la trayectoria se describe con un par de ecuaciones, x = Jet) y y = g(t), donde j y g son funciones continuas. Para estudiar el movimiento, t generalmente representa el tiempo. Ecuaciones como éstas describen curvas más generales que las ecuaciones y = j(x) y, además de la gráfica de la trayectoria recorrida, indican la posición de (x, y) = (J(t), g(t» de la partícula en cualquier tiempo t.

DEFINICIÓN Si x y y están dadas como funciones

x = J(t), y = g(t)

en un intervalo 1 de valores t, entonces el conjunto de puntos (x, y) = (J(t), g(t» definido por estas ecuaciones es una curva paramétrica. Las ecuaciones son ecuaciones paramétricas de la curva.

La variable t es un parámetro de la curva y su dominio 1 es el intervalo del parámetro. Si 1 es un intervalo cerrado, a ::s t::s b, el punto (J(a), g(a» es el punto inicial de la curva, y (J(b), g(b» es el punto final. Cuando tenemos ecuaciones paramétricas y un intervalo para el

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11.1 Parametrización de curvas planas 611

parámetro de la curva, se dice que hemos parametrizado la curva. Ambos, las ecuaciones y elintervalo constituyen la parametrización de la curva. Una curva dada puede representarse me-diante conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas. (Véase los ejercicios 19 y 20).

EJEMPLO 1 Dibuje la curva definida por las ecuaciones paramétricas

y = t + 1, -00 < t < co.

Solución Hacemos una pequeña tabla de valores (tabla ll.l), graficamos los puntos (x, y)y dibujamos una curva suave a través de ellos (figura 1l.2). A cada valor de t corresponde unpunto (x, y) sobre la curva, por ejemplo, a t = 1 corresponde el punto (1, 2) registrado en latabla 11.1. Si pensamos que la curva es la trayectoria de una partícula que se mueve, entoncesla partícula se desplaza a lo largo de la curva en la dirección de las flechas que se muestran enla figura 11.2. Si bien los intervalos de tiempo son iguales en la tabla, los puntos consecutivosdibujados a lo largo de la curva no están a las mismas distancias sobre el arco de la curva. Larazón es que la partícula reduce su velocidad mientras se aproxima al eje ya lo largo de la ramainferior de la curva conforme t aumenta, y luego acelera después de alcanzar el eje y en (O, 1)y moverse a lo largo de la rama superior. Como el intervalo de valores para t está compuestopor números reales, no existe un punto inicial ni uno final de la curva. _

TABLA11.1 Valoresde x = t2 y y = t + 1para algunos valoresseleccionados de t.

y

FIGURA11.2 La curva dada por las ecua-ciones paramétricas x = (2 YY = (+ J

(ejemplo 1).

-3-2-1

O1

23

t x

9

4

1

O1

49

-2-1

O123

4

y

t = O

~t =-3

EJEMPLO 2 Identifique geométricamente la curva del ejemplo 1 (figura 11.2) eliminando elparámetro t y obteniendo una ecuación algebraica en x y y.

Solución Resolvemos la ecuación y = t + 1 despejando el parámetro t y sustituyendo el re-sultado en la ecuación paramétrica de x. Esto da como resultado t = Y - 1 y

yx = f2 = (y - 1)2 = l -2y + l.

La ecuación x = y2 - 2y + 1 representa una parábola, como la mostrada en la figura 11.2.Algunas veces es muy difícil, o incluso imposible, eliminar el parámetro de un par de ecua-ciones paramétricas como lo hicimos aquí. _

__-+~~~f--l __~t~=~O~x(1, O)

EJEMPLO 3

(a) x = cos t,(b) x = a cos t,

t = 37T2

Grafique las curvas paramétricas

y = sent,y = asen t,

O :S t :S 277.

O :S t :S 277.

FIGURA11.3 Las ecuaciones x = cos (yy = sen t describen el movimiento sobre lacircunferencia x2 + y2 = 1. La flecha indicala dirección en la que crece t (ejemplo 3).

Solución

(a) Puesto que x2 + y2 = cos? t + sen? t = 1, la curva paramétrica se encuentra en la circun-ferencia unitaria x2 + y2 = l. Conforme t crece de O a 277, el punto (x, y) = (cos t, sen t)inicia su recorrido en (1, O) y traza la circunferencia completa una sola vez en sentido con-trario a las manecillas del reloj (figura 11.3).

y

__ -+~~~f--L __ ~¡~=~O-+ x (1 , O)

¡ = 37T 2

FIGURA 11.3 Las ecuaciones x = cos (y

y = sen t describen el movimiento sobre la circunferencia x 2 + y2 = l . La flecha indica

la dirección en la que crece t (ejemplo 3).


parámetro de la curva, se dice que hemos parametrizado la curva. Ambos, las ecuaciones y el intervalo constituyen la parametrización de la curva. Una curva dada puede representarse mediante conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas. (Véase los ejercicios 19 y 20).

EJEMPLO 1 Dibuje la curva definida por las ecuaciones paramétricas

y = 1+ 1, - 00 < I < oo .

Solución Hacemos una pequeña tabla de valores (tabla 1l.1 ), graficamos los puntos (x, y) y dibujamos una curva suave a través de ellos (figura 11.2). A cada valor de I corresponde un punto (x, y ) sobre la curva, por ejemplo, a I = 1 corresponde el punto (1 , 2) registrado en la tabla 11.1. Si pensamos que la curva es la trayectoria de una partícula que se mueve, entonces la partícula se desplaza a lo largo de la curva en la dirección de las flechas que se muestran en la figura 11 .2. Si bien los intervalos de tiempo son iguales en la tabla, los puntos consecutivos dibujados a lo largo de la curva no están a las mismas distancias sobre el arco de la curva. La razón es que la partícula reduce su velocidad mientras se aproxima al eje ya lo largo de la rama inferior de la curva conforme I aumenta, y luego acelera después de alcanzar el eje yen (O, 1) y moverse a lo largo de la rama superior. Como el intervalo de valores para I está compuesto por números reales, no existe un punto inicial ni uno final de la curva. _

y

t = O

---r~~~L-~(4~,-_71)~~L-L-~~~ x

t =~ (9,-2) ~ t = -3

FIGU RA 11.2 La curva dada por las ecuaciones para métricas x = (2 Y Y = ( + J

(ejemplo 1).

EJEMPLO 2 Identifique geométricamente la curva del ejemplo 1 (figura 1l.2) eliminando el parámetro I y obteniendo una ecuación algebraica en x y y.

Solución Resolvemos la ecuación y = I + 1 despejando el parámetro I y sustituyendo el re-sultado en la ecuación paramétrica de x . Esto da como resultado I = Y - 1 y

x = f2 = (y - 1)2 = l - 2y + l.

La ecuación x = y2 - 2y + 1 representa una parábola, como la mostrada en la figura 11.2. Algunas veces es muy difícil, o incluso imposible, eliminar el parámetro de un par de ecuaciones paramétricas como lo hicimos aquí. _

EJEMPLO 3 Grafique las curvas paramétricas

(a) x = cos 1,

(b) x = a cos 1,

Solución

y = sen/,

y = a sen 1,

O :S I :S 27T.

O :S t :S 27T .

(a) Puesto que X 2 + y2 = cos2 t + sen2 I = 1, la curva paramétrica se encuentra en la circunferencia unitaria X2 + y 2 = l. Conforme t crece de O a 27T, el punto (x , y) = (cos 1, sen 1) inicia su recorrido en (1, O) y traza la circunferencia completa una sola vez en sentido contrario a las manecillas del reloj (figura 1l.3).


612 Capítulo 11: Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

--------~~~--------~xO Inicio en

1=0

FIGURA11.4 Las ecuaciones x = Viy y = t Yel intervalo t :2: Odescriben elmovimiento de una partícula que traza lamitad derecha de la parábola y = x2

(ejemplo 4).

y

Y1=~(2,4)

t = 2P(t, p)

--------~~L---------~x

FIGURA11.5 La trayectoria definida porx = t,y = (2, -00 < t < 00es la parábolacompleta y = x2 (ejemplo 5).

(b) Para x = a cos t,y = asen t, O:S; t:s; 27T, tenemos que x? + y2 = a2 cos- t + a2 sen- t = a2.

La parametrización describe un movimiento que inicia en el punto (a, O), recorre una vezla circunferencia x2 + y2 = a2 en sentido contrario a las manecillas del reloj y regresa a(a, O) en t = 27T. La gráfica es una circunferencia de radio r = a con centro en el origeny cuyos puntos tienen coordenadas (a cos 1, asen 1). _

EJEMPLO 4 La posición P(x, y) de una partícula que se mueve en el plano xy está dada porlas ecuaciones y el intervalo del parámetro siguientes:

x = Vt, y = 1, t 2: O.

•

Identifique la trayectoria trazada por la partícula y describa el movimiento.

Solución Intentamos identificar la trayectoria eliminando t de las ecuaciones x = Vt yy = t. Con algo de suerte, obtendremos una relación algebraica reconocible entre x y y. En-contramos que

De manera que las coordenadas de la posición de la partícula satisfacen la ecuación y = x2;por lo tanto, la partícula se mueve a lo largo de la parábola y = x2.

Sin embargo, sería un error concluir que la partícula recorre toda la parábola y = x2 en sutrayectoria, sólo recorre la mitad de la parábola. La coordenada x de la partícula nunca es ne-gativa. La partícula inicia en (O, O) cuando t = O y sube en el primer cuadrante conforme Icrece(figura 11.4). El intervalo del parámetro es [0,00) Yno hay punto final. _

La gráfica de cualquier función y = J(x) se obtiene siempre mediante una parametrización na-tural x = t YY = J(t). El dominio del parámetro es, en este caso, el mismo que el dominio de lafunciónj.

EJEMPLO 5 La parametrización de la gráfica de la función J(x) = x2 está dada por

x = t, y = jet) = ?, -00 < t < oo.

Cuando t 2: O, esta parametrización da como resultado la misma trayectoria en el plano xy queteníamos en el ejemplo 4. Sin embargo, como el parámetro t también puede ser negativo, obte-nemos además la porción izquierda de la parábola; es decir, tenemos la curva parabólica com-pleta. Para esta parametrización no hay un punto inicial ni un punto final (figura 11.5). •

Observe que una parametrización también especifica cuándo (el valor del parámetro) lapartícula que se mueve a lo largo de la curva se ubica en un punto específico de ésta. En elejemplo 4, se llega al punto (2, 4) cuando I = 4; en el ejemplo 5, el punto se alcanza "antes",cuando t es igual a 2. Usted observará las implicaciones de este aspecto de la parametriza-ción cuando se considera la posibilidad de que dos objetos colisionen: deben estar exactamenteen la misma posición P(x, y) para algunos valores (posiblemente diferentes) de sus respectivosparámetros. Explicaremos más acerca de este aspecto de las parametrizaciones cuando estu-diemos la noción de movimiento en el capítulo 13.

EJEMPLO 6 Obtenga la parametrización de la recta que pasa por el punto (a, b) y que tieneuna pendiente m.

Solución La ecuación cartesiana de la recta es y - b = m(x - a). Si hacemos el parámetroI = x - a, entonces x = a + t YY - b = mt. Es decir,

x = a + t, y = b + mt, -00 < t < 00

parametrizan la recta. Esta parametrización difiere de aquella que se obtendria usando la téc-nica del ejemplo 5, cuando t = x. Sin embargo, ambas dan como resultado la misma recta .


y

--------~~~--------~ x O Inicio en

t = O

FIGURA 11.4 Las ecuaciones x = Vi y y = t Y el intervalo t :2: O describen el

movimiento de una partícula que traza la

mitad derecha de la parábola y = x2

(ejemplo 4).

y

--------~~~--------~x

FIGURA 11.5 La trayectoria definida por x = (, y = (2, -00 < t < 00 es la parábola

completa y = x2 (ejemplo 5) .

(b) Para x = a cos t, y = a sen t, O :s; t:s; 2'TT, tenemos que x2 + y2 = a2 cos2 t + a2 sen2 t = a2. La parametrización describe un movimiento que inicia en el punto (a, O), recorre una vez la circunferencia x2 + y = a2 en sentido contrario a las manecillas del reloj y regresa a (a, O) en t = 2'TT . La gráfica es una circunferencia de radio r = a con centro en el origen y cuyos puntos tienen coordenadas (a cos t, a sen t). _

EJEMPLO 4 La posición P(x, y) de una partícula que se mueve en el plano xy está dada por las ecuaciones y el intervalo del parámetro siguientes:

x = \Ít, y = t, t 2: O.

Identifique la trayectoria trazada por la partícula y describa el movimiento.

Solución Intentamos identificar la trayectoria eliminando t de las ecuaciones x = \Ít y y = t. Con algo de suerte, obtendremos una relación algebraica reconocible entre x y y . Encontramos que

y = t = (\Ít)2 = ~.

De manera que las coordenadas de la posición de la partícula satisfacen la ecuación y = X2;

por lo tanto, la partícula se mueve a lo largo de la parábola y = x2. Sin embargo, sería un error concluir que la partícula recorre toda la parábola y = x2 en su

trayectoria, sólo recorre la mitad de la parábola. La coordenada x de la partícula nunca es negativa. La partícula inicia en (O, O) cuando t = O y sube en el primer cuadrante conforme t crece (figura 11.4). El intervalo del parámetro es [0, 00) Y no hay punto final. _

La gráfica de cualquier función y = f(x) se obtiene siempre mediante una parametrización natural x = t Y Y = f(t)· El dominio del parámetro es, en este caso, el mismo que el dominio de la funciónj.

EJEMPLO 5 La parametrización de la gráfica de la función f(x) = x2 está dada por

x = t, y = f(t) = r, -00 < t < oo.

Cuando t 2: O, esta parametrización da como resultado la misma trayectoria en el plano xy que teníamos en el ejemplo 4. Sin embargo, como el parámetro t también puede ser negativo, obtenemos además la porción izquierda de la parábola; es decir, tenemos la curva parabólica completa. Para esta parametrización no hay un punto inicial ni un punto final (figura 11.5). •

Observe que una parametrización también especifica cuándo (el valor del parámetro) la partícula que se mueve a lo largo de la curva se ubica en un punto específico de ésta. En el ejemplo 4, se llega al punto (2, 4) cuando t = 4; en el ejemplo 5, el punto se alcanza "antes", cuando t es igual a 2. Usted observará las implicaciones de este aspecto de la parametrización cuando se considera la posibilidad de que dos objetos colisionen: deben estar exactamente en la misma posición P(x, y) para algunos valores (posiblemente diferentes) de sus respectivos parámetros. Explicaremos más acerca de este aspecto de las parametrizaciones cuando estudiemos la noción de movimiento en el capítulo 13.

EJEMPLO 6 Obtenga la parametrización de la recta que pasa por el punto (a , b) y que tiene una pendiente m.

Solución La ecuación cartesiana de la recta es y - b = m(x - a). Si hacemos el parámetro t = x - a, entonces x = a + t Y Y - b = mt. Es decir,

x = a + t, y = b + mt, - 00 < t < 00

parametrizan la recta. Esta parametrización difiere de aquella que se obtendría usando la técnica del ejemplo 5, cuando t = x . Sin embargo, ambas dan como resultado la misma recta .

•


TABLA 11.2 Valoresde x = t +(l/t) y y = t - (l/t) para algunosvalores seleccionados de t.

t lit x y

0.1 10.0 10.1 -9.90.2 5.0 5.2 -4.80.4 2.5 2.9 -2.ll.0 1.0 2.0 0.02.0 0.5 2.5 1.5

5.0 0.2 5.2 4.810.0 0.1 10.1 9.9

y

t = 1010

5

--~~~----L---------~---+x

-5

-10t = 0.1

FIGURA 11.6 La curvadex = t + (l/t),y = t - (l/t), t > O delejemplo7. (Lapartequesemuestraespara0.1 ::; t::; 10).

BIOGRAFÍA HISTÓRICA

Christian Huygens(1629-1695)


EJEMPLO 7 Dibuje e identifique la trayectoria trazada por el punto P(x, y) si

1Y = t - t'1

x = t + t' t> O.

Solución Hacemos una tabla de valores (tabla 11.2), graficamos los puntos y trazamos unacurva suave que pase a través de ellos, como en el ejemplo l. En seguida eliminamos el pará-metro t de las ecuaciones. El procedimiento es más complicado que el del ejemplo 2. Tomandolas diferencias entre x y y dadas por las ecuaciones paramétricas, tenemos

2t

Si sumamos las dos ecuaciones paramétricas, entonces

x + y = (t + +) + (t - +) = 2t.Eliminamos el parámetro t multiplicando estas dos últimas ecuaciones:

(x - y)(x + y) = (~)c2t) = 4,

o, si multiplicamos los términos del lado izquierdo, obtenemos la ecuación estándar de unahipérbola (se estudia en la sección 1l.6):

(1)

Por lo tanto, las coordenadas de todos los puntos P(x, y) descritas por las ecuaciones paramé-tricas satisfacen la ecuación (1). Sin embargo, la ecuación (1) no requiere que la coordenada xsea positiva. Así que hay puntos (x, y) sobre la hipérbola que no satisfacen la ecuación para-métrica x = t + (l/t), t > 0, para la cual x siempre es positiva. Es decir, las ecuacionesparamétricas no generan puntos sobre la rama izquierda de la hipérbola representada por laecuación (1), puntos donde la coordenada x sería negativa. Para valores positivos pequeños det, la trayectoria permanece en el cuarto cuadrante y sube hacia el primer cuadrante conforme tcrece, cruzando el eje x cuando t = 1 (véase la figura 11.6). El dominio del parámetro es (O, (0)

Yno hay punto inicial ni punto final de la trayectoria. _

Los ejemplos 4, 5 y 6 ilustran que una curva dada, o una parte de ella, se representan usan-do diferentes parametrizaciones. En el caso del ejemplo 7, la rama derecha de la hipérbola tam-bién se representa con la parametrización

x=~, y = t, -00 < t < 00,

la cual se obtiene al resolver la ecuación (1) para x:::::: ° y dejando que y sea el parámetro. Otraparametrización de la rama derecha de la hipérbola dada por la ecuación 1 es

x = 2 sec t, y = 2 tan t,7T 7T-- < t <-2 2·

Esta parametrización se obtiene de la identidad trigonométrica sec? t - tan? t = 1, de ma-nera que

x2 - l = 4 sec/ t - 4 tarr' t = 4(sec2 t - tan2 t) = 4.

Conforme t varía entre -7T /2 Y7T/2, x = sec t se mantiene positiva y y = tan t varía entre -00

e 00, así que P recorre la rama derecha de la hipérbola. Viene de la mitad inferior de la ramacuando t tiende a cero por la izquierda, llega a (2, O) cuando t = O, y entra al primer cuadran-te conforme t sigue creciendo hacia 7T/2. Ésta es la misma rama de la hipérbola de la cual semuestra una parte en la figura 11.6.


Cicloides


Topecicloidal

Cicloide. . . .FIGURA11.7 En el reloj de péndulo deHuygens, la lenteja del péndulo oscila enuna cicloide, de manera que la frecuenciaes independiente de la amplitud.

yP(x, y) = (at+ a cos e, a + a sen e)

~

~------------------~~~----~xO~--------at--------~

FIGURA11.8 La posición de P(x, y) en larueda que gira un ángulo t (ejemplo 8).

y

oFIGURA11.9 La curva cicloidex = a(t - sen t),y = a(l - cos t),para t 2:: o.

B(a7T,2a)

y

FIGURA11.10 Para estudiar el movimientoa lo largo de una cicloide invertida bajo la in-fluencia de la gravedad, volteamos de cabezala figura 11.9. Esto hace que el eje y apunteen la dirección de la fuerza gravitacionaly así, las coordenadas de y hacia abajo sonpositivas. Las ecuaciones y el intervalo delparámetro para la cicloide siguen siendo

x = a(t - sen t),y = a(l - cos t), t 2:: O.

La flecha indica la dirección de aumento de t.

El problema con un reloj de péndulo cuya lenteja oscila en un arco circular es que la frecuen-cia de la oscilación depende de la amplitud de ésta. Cuanto más amplia sea la oscilación, mástardará la lenteja del péndulo en regresar al centro (su posición más baja).

Esto no sucede si la lenteja oscila siguiendo la trayectoria de una cicloide. En 1673 ChristianHuygens diseñó un reloj de péndulo cuya lenteja oscilaba en una cicloide, curva que definiremosen el ejemplo 8. Huygens colgó la lenteja de un fino alambre restringido por topes que oca-sionaban que ésta se "jalara" hacia arriba cuando oscilaba alejándose del centro (figura 11.7).

EJEMPLO 8 Un rueda de radio a se mueve a lo largo de una recta horizontal. Obtenga lasecuaciones paramétricas de la trayectoria que recorre un punto P en la circunferencia de larueda. La trayectoria se llama cicloide.

Solución Tomamos el eje x como la recta horizontal, marcamos un punto P en la rueda, em-pezamos a mover la rueda con P en el origen y la rodamos hacia la derecha. Como parámetro,utilizamos el ángulo t que gira la rueda, medido en radianes. La figura 11.8 muestra la ruedaun poco después, cuando su base se encuentra a at unidades del origen. El centro de la rueda ese encuentra en (at, a) y las coordenadas de P son

x = at + a cos e, y = a + a sen é ,

Para expresar e en términos de t, observamos en la figura que t + e = 37T/2, de manera que

37Te = - - t2 .

Con esto se tiene

cos e = cos e; - t) sen e; - t)sen é-sen t, -cos t.

Las ecuaciones que buscamos son

x = at - asen t, y = a - a cos t.

Por lo general, éstas se escriben factorizando a a:

x = a(t - sen t), y = a(l - cos z). (2)

La figura 11.9 muestra el primer arco de la cicloide y parte del siguiente. •Braquistocronas y tautocronasSi volteamos de cabeza la figura 11.9, las ecuaciones (2) siguen siendo válidas y la curva re-sultante (figura 11.10) tiene dos propiedades físicas interesantes. La primera se relaciona conel origen O y el punto B en el fondo del primer arco. De todas las curvas suaves que unen estospuntos, la cicloide es la curva a lo largo de la cual una cuenta (como en un collar) sujeta sóloa la fuerza de la gravedad (sin fricción), se deslizará de O a B en el menor tiempo posible.Esto convierte a la cicloide en una braquistocrona o curva de tiempo más corto para estospuntos. La segunda propiedad es que, aunque la cuenta inicie su trayectoria hacia B desdeun punto intermedio de la curva, necesitará la misma cantidad de tiempo para llegar a B. Estohace a la cicloide una tautocrona, es decir, la curva con el mismo tiempo para O y B.


Cicloide . . . .

Tope cicloidal

FIGURA 11.7 En el reloj de péndulo de

Huygens, la lenteja del péndulo oscila en una cicloide, de manera que la frecuencia

es independiente de la amplitud.

y P(x, y) = (at + a cos e, a + a sen e)

~

-1------------------~~~~--~x o I<f--------at ----------ó>j

FIGURA 11.8 La posición de P(x, y) en la

rueda que gira un ángulo t (ejemplo 8).

y

o

FIGURA 11.9 La curva cicloide

x = a(t - sen t),y = a(l - cos t),

para t 2:: o.

S(a7/", 2a)

y

FIGURA 11.10 Para estudiar el movimiento

a lo largo de una cicloide invertida bajo la in

fluencia de la gravedad, volteamos de cabeza

la figura 1l.9. Esto hace que el eje y apunte

en la dirección de la fuerza gravitacional

y así, las coordenadas de y hacia abajo son

positivas. Las ecuaciones y el intervalo del

parámetro para la cicloide siguen siendo

x = a(t - sen t) ,

y = a(l - cos t), t 2:: O.

La flecha indica la dirección de aumento de t.

Cicloides

El problema con un reloj de péndulo cuya lenteja oscila en un arco circular es que la frecuencia de la oscilación depende de la amplitud de ésta. Cuanto más amplia sea la oscilación, más tardará la lenteja del péndulo en regresar al centro (su posición más baja) .

Esto no sucede si la lenteja oscila siguiendo la trayectoria de una cicloide. En 1673 Christian Huygens diseñó un reloj de péndulo cuya lenteja oscilaba en una cicloide, curva que definiremos en el ejemplo 8. Huygens colgó la lenteja de un fino alambre restringido por topes que ocasionaban que ésta se "jalara" hacia arriba cuando oscilaba alejándose del centro (figura 11.7).

EJEMPLO 8 Un rueda de radio a se mueve a lo largo de una recta horizontal. Obtenga las ecuaciones paramétricas de la trayectoria que recorre un punto P en la circunferencia de la rueda. La trayectoria se llama cicloide.

Solución Tomamos el eje x como la recta horizontal, marcamos un punto P en la rueda, empezamos a mover la rueda con P en el origen y la rodamos hacia la derecha. Como parámetro, utilizamos el ángulo t que gira la rueda, medido en radianes. La figura 11.8 muestra la rueda un poco después, cuando su base se encuentra a at unidades del origen. El centro de la rueda e se encuentra en (at, a) y las coordenadas de P son

x = at + a cos e, y = a + a sene.

Para expresar e en términos de t, observamos en la figura que t + e = 37T /2, de manera que

37T e = - - t 2 .

Con esto se tiene

cos e = cos e; -t) - sen t, sen e sen e; -t) - cos t.

Las ecuaciones que buscamos son

x = at - a sen t, y = a - a cos t.

Por lo general, éstas se escriben factorizando a a:

x = a(t - sen t), y = a(l - cost). (2)

La figura 11.9 muestra el primer arco de la cicloide y parte del siguiente. •

Braquistocronas y tautocronas

Si volteamos de cabeza la figura 11.9, las ecuaciones (2) siguen siendo válidas y la curva resultante (figura 11.10) tiene dos propiedades físicas interesantes. La primera se relaciona con el origen O y el punto B en el fondo del primer arco. De todas las curvas suaves que unen estos puntos, la cicloide es la curva a lo largo de la cual una cuenta (como en un collar) sujeta sólo a la fuerza de la gravedad (sin fricción), se deslizará de O a B en el menor tiempo posible. Esto convierte a la cicloide en una braquistocrona o curva de tiempo más corto para estos puntos. La segunda propiedad es que, aunque la cuenta inicie su trayectoria hacia B desde un punto intermedio de la curva, necesitará la misma cantidad de tiempo para llegar a B. Esto hace a la cicloide una tautocrona, es decir, la curva con el mismo tiempo para O y B .



¿Existen otras curvas braquistocronas que unan O y B, o la cicloide es la única? Podemosformular esta pregunta desde el punto de vista matemático de la siguiente manera. Al principio,la energía cinética de la cuenta es cero, puesto que su velocidad es cero. El trabajo que hace lagravedad cuando la cuenta se mueve de (O, O) a cualquier otro punto (x, y) en el plano, es rngy,y éste debe ser igual al cambio en la energía cinética. Es decir,

Por lo tanto, cuando la cuenta llega a (x, y), su velocidad tiene que ser

v = V2gy.Es decir,

dsdt

ds es la diferencial de longitud del arcoa lo largo de la trayectoria de la cuenta.

o

ds \11 + (dyjdx)2 dxdt = -- = ----==--V2gy V2gy

El tiempo TI que tarda la cuenta en deslizarse a lo largo de una trayectoria particular y = ¡(x)de O a B(aTT,2a) es

t:TJ=x=O

1 + (dyjdx)22gy dx. (3)

¿Qué curvas y = ¡(x), si las hay, minimizan el valor de esta integral?A primera vista, podríamos suponer que la línea recta que une O y B daría el tiempo más

breve, pero quizá no. Podría ser ventajoso que la cuenta cayera verticalmente al principio paraincrementar su velocidad más rápido. Con una velocidad mayor, la cuenta podría recorrer unatrayectoria más larga y aun así llegar primero a B. En realidad, esta idea es correcta. De acuerdocon una rama de las matemáticas conocida como cálculo de variaciones, la respuesta es que lacicloide original de O a B es la única braquistocrona para O y B.

Aun cuando la solución del problema de la braquistocrona está más allá del alcance deeste libro, podemos demostrar por qué la cicloide es una tautocrona. En la siguiente secciónmostraremos que la derivada dyf dx es simplemente la derivada dy/dt dividida entre la deri-vada dx/dt. Haciendo los cálculos de las derivadas y sustituyendo en la ecuación 3 (omitimosaquí los detalles de los cálculos), tenemos

¡X=G1T

Tcicloide =x=o

1 + (dyjdx)2 dx2gy

a2(2 - 2 cos t)!---'---------'--dt2ga( 1 - cos t)

De acuerdo con las ccuaciones (2),dxf dt = a(1 - cos r},dy] dt = asen Iy)' = a (1 - cos t)

Así, el tiempo que tarda una cuenta en deslizarse sin fricción por la cicloide hasta B, despuésde que se suelta desde el reposo en O, es TTv;;¡g.

Suponga que en lugar de iniciar en O, el movimiento de la cuenta inicia en algún puntoinferior en la cicloide, un punto (xo, YO) correspondiente a un valor to > O del parámetro. Lavelocidad de la cuenta en cualquier punto posterior (x, y) en la cicloide es

v = V2g(y - YO) = V2ga(costo - cos z). y = a (1 - cos t)


¿Existen otras curvas braquistocronas que unan O y B, o la cicloide es la única? Podemos formular esta pregunta desde el punto de vista matemático de la siguiente manera. Al principio, la energía cinética de la cuenta es cero, puesto que su velocidad es cero. El trabajo que hace la gravedad cuando la cuenta se mueve de (O, O) a cualquier otro punto (x, y) en el plano, es mgy, y éste debe ser igual al cambio en la energía cinética. Es decir,

Por lo tanto, cuando la cuenta llega a (x, y), su velocidad tiene que ser

Es decir,

o

ds dt

v = v2gy.

ds es la diferencia l de longitud de l arco a lo largo de la trayectoria de la cuenta.

ds \11 + (dyjdx)2 dx dt = -- = ----==---

v2gy v2gy

El tiempo TI que tarda la cuenta en deslizarse a lo largo de una trayectoria particular y = ¡(x) de O a B(aTT, 2a) es

¡x =mr

TJ= x=O

1 + (dyj dx)2 2gy dx. (3)

¿Qué curvas y = ¡(x), si las hay, minimizan el valor de esta integral? A primera vista, podríamos suponer que la línea recta que une O y B daría el tiempo más

breve, pero quizá no. Podría ser ventajoso que la cuenta cayera verticalmente al principio para incrementar su velocidad más rápido. Con una velocidad mayor, la cuenta podría recorrer una trayectoria más larga y aun así llegar primero a B. En realidad, esta idea es correcta. De acuerdo con una rama de las matemáticas conocida como cálculo de variaciones, la respuesta es que la cicloide original de O a B es la única braquistocrona para O y B.

Aun cuando la solución del problema de la braquistocrona está más allá del alcance de este libro, podemos demostrar por qué la cicloide es una tautocrona. En la siguiente sección mostraremos que la derivada dy/ dx es simplemente la derivada dy/ dt dividida entre la derivada dx/ dt. Haciendo los cálculos de las derivadas y sustituyendo en la ecuación 3 (omitimos aquí los detalles de los cálculos), tenemos

¡X=G1T

Tcicloide = x=o

l + (dyj dx)2 dx 2gy

a 2(2 - 2 cos t) ----''-:-- - ----:'- dt 2ga( l - cos t)

De acuerdo con las ecuaciones (2), dxj dl = a( 1 - casI) , dyj dl = asenly )' = a (1 - cos i)

Así, el tiempo que tarda una cuenta en deslizarse sin fricción por la cicloide hasta B, después de que se suelta desde el reposo en O, es TTVajg.

Suponga que en lugar de iniciar en O, el movimiento de la cuenta inicia en algún punto inferior en la cicloide, un punto (xo, YO) correspondiente a un valor to > O del parámetro. La velocidad de la cuenta en cualquier punto posterior (x, y) en la cicloide es

v = V2g(y - YO) = V2ga(costo - cost). y = a ( 1 - cos i)


616 Capítulo 11: Ecuaciones para métricas y coordenadas polares

De igual forma, el tiempo que reqUiere la cuenta para deslizarse de (xo, YO) hacia abajo,hasta B, es

T = 17T

to

= jj1.7Tra¡7T sen (t/2) dt

= \jg to Vcos2(to/2) - cos2(t/2)

ra r=7T -2 du=\jgJt=to ~

a2(2 - 2 cos t) ~17T!--'---------'-----dt - -2ga(cos to - cos t) - g to

1 - cos t dtcos to - cos t

2 serr' (t/2)!-------------~~~---------dt(2 cos2 (to/2) - 1) - (2 cos2 (t/2) - 1)

u = cos (1/2)-2 du = sen (1/2) dt

e = cos (10/2)

jj [ ]1=7T= 2 !!:. +sen " %

g 1=10

ra [ -1 cos (t/2) ]7T= 2\jg -sen cos (to/2) to

= 2jj (-sen-1 O + sen" 1) = 7rjj.Éste es precisamente el tiempo que tarda la cuenta en deslizarse de O a B. La cuenta tarda elmismo tiempo para llegar a B, sin importar desde dónde inicie su desplazamiento. Las cuentasque inician simultáneamente desde O, A Y e en la figura 11.11, por ejemplo, llegarán a B almismo tiempo. Ésta es la razón por la que el movimiento del péndulo del reloj de Huygens esindependiente de la amplitud de la oscilación.

y

FIGURA 11.11 Las cuentas liberadas de

manera simultánea en la cicloide en O, AY e llegarán a B al mismo tiempo.

Ejercicios 11.1

Obtención de ecuaciones cartesianas a partir de ecuacionesparamétricasLos ejercicios 1 a 18 dan ecuaciones paramétricas e intervalos de parámetrosdel movimiento de una partícula en el plano xy. Identifique la trayectoria de lapartícula determinando una ecuación cartesiana para' ello. Grafique la ecua-ción cartesiana. (La gráfica variará con la ecuación empleada). Indique laporción de la gráfica seguida por la partícula y la dirección del movimiento.

1. x = 31, Y = 9r, -00 < I < 00

2. x = - VI, y = 1, 1;:::: O

3. x = 21 - 5, Y = 41 - 7, -00 < I < 00

4. x = 3 - 31, Y = 21, O $ I $ 1

5. x = cos 21, y = sen 21, O $ I $ -tt

6. x = cos (7r - 1), y = sen (7r - 1), O $ I $ -tt

7. x = 4 cos 1, y = 2 sen 1, O $ I $ 27r8. x = 4 sen 1, y = 5 cos 1, O $ I $ 27r

7r 7r9. x = sen 1, y = cos 21, -2 $ I $ 2

10. x = l + sen 1, y = cos I - 2, O $ I $ -tt

11. x = r, y = (6 - 21", -00 < I < 00t t - 2

12. x = t=l' y = t+!' -1 < t < )13. x = 1, Y = v'l"=7, -) $ t $ O14. x = \.11+1, y = VI, 1;:::: O

15. x = sec2 I - 1, Y = tan 1, -7r/2 < t < 7r/2

16. x= -sec t, y = tan 1, -7r/2 < t < 7r/2

17. x= -cosh 1, y = senh z, -00 < 1<00

18. x = 2 senh z, y = 2 COShl, -00 < t < 00

Obtención de ecuaciones paramétricas19. Obtenga las ecuaciones paramétricas y el intervalo del parámetro del

movimiento de una partícula que inicia en (a, O) y sigue la circunfe-rencia x2 + y = a2

a. una vez en el sentido de las manecillas del reloj.b. una vez en sentido contrario a las manecillas del reloj.c. dos veces en el sentido de las manecillas del reloj.d. dos veces en sentido contrario a las manecillas del reloj.(Hay muchas maneras de hacerlo, de manera que sus respuestaspueden ser diferentes de las presentadas al final del libro ).

20. Obtenga las ecuaciones paramétricas y el intervalo del parámetro delmovimiento de una partícula que inicia en (a, O) y que traza la elipse(x2/a2) + (y2lb2) = 1a. una vez en el sentido de las manecillas del reloj.b. una vez en sentido contrario a las manecillas del reloj.c. dos veces en el sentido de las manecillas del reloj.d. dos veces en sentido contrario a las manecillas del reloj.(Al igual que en el ejercicio 19, hay muchas respuestas correctas).

En los ejercicios 21 a 26, determine la parametrización de la curva.21. el segmento de recta con extremos en (-1, -3) Y (4,1)22. el segmento de recta con extremos en (-1,3) Y (3, -2)


23. la mitad inferior de la parábola x - 1 = y2

24. la mitad izquierda de la parábola y = x2 + 2x

25. el rayo ("la mitad de la recta") que inicia en el punto (2, 3) y que pasapor el punto (-1, -1)

26. el rayo ("la mitad de la recta") que inicia en el punto (- 1, 2) Y quepasa por el punto (O, O)

27. Obtenga las ecuaciones paramétricas y el intervalo del parámetro delmovimiento de una partícula que inicia en (2, O) y que traza la mitadde arriba de la circunferencia x2 + y2 = 4 cuatro veces.

28. Obtenga las ecuaciones paramétricas y el intervalo del parámetro delmovimiento de una partícula que se mueve a lo largo de la gráficay = x2 del siguiente modo: inicia en (O, O), se mueve hacia (3, 9) yluego viaja de ida y vuelta de (3, 9) a (- 3, 9) una infinidad de veces.

29. Obtenga las ecuaciones paramétricas del semicírculo

x2 + / = a2, y > O,

usando como parámetro la pendiente t = dyf dx de la tangente a lacurva en (x, y).

30. Obtenga las ecuaciones paramétricas de la circunferencia

~ + / = a2,

usando como parámetro la longitud del arco s medida en sentido con-trario a las manecillas del reloj del punto (a, O) al punto (x, y).

31. Obtenga la parametrización del segmento lineal que une los puntos(O, 2) Y (4, O) usando como parámetro el ángulo () de la siguientefigura.

y

2

--~-L------------~~--~x4

32. Obtenga la parametrización de la curva y = vX con punto final en(O, O) usando como parámetro el ángulo ()de la siguiente figura.

y

33. Obtenga la parametrización de la circunferencia (x - 2)2 + y2 = 1que inicia en (1, O) y se mueve una vez en el sentido de las manecillasdel reloj alrededor de la circunferencia, usando como parámetro elángulo central ()de la siguiente figura.

y

--~----~----~~----~--+xO


34. Obtenga la parametrización de la circunferencia x2 + y2 = 1 ini-ciando en (1, O) y moviéndose en sentido contrario al de las mane-cillas del reloj al punto final (O, 1), usando como parámetro el ángulo()de la siguiente figura.

y

(0,1)

-2--~~~~-----+----~~--+x(1, O)

35. La bruja de María Agnesi La forma de campana de la bruja deMaría Agnesi se puede construir del siguiente modo. Inicie con unacircunferencia de radio 1, con centro en el punto (O, 1), como semuestra en la figura. Seleccione un punto A sobre la recta y = 2Yconéctela con el origen con un segmento de recta. Llame B al puntodonde el segmento cruza a la circunferencia. Haga que P sea el pun-to donde la recta vertical que pasa por A cruce la recta horizontalque pasa por B. La bruja es la curva trazada por P conforme A semueve a lo largo de la recta y = 2. Obtenga las ecuaciones paramé-tricas y el intervalo del parámetro de la bruja, expresando las coor-denadas de P en términos de 1, el ángulo, medido en radianes, quehace al segmento OA con la parte positiva del eje x. Las siguientesigualdades (que usted debe usar) servirán de ayuda.

a. x = AQ b. Y = 2 - AB sen t

c. AB'OA = (AQi

y

--------------~~~~------------~xo

36. Hipocicloide Cuando un círculo rueda dentro de una circunferenciafija, cualquier punto P sobre la circunferencia del círculo que ruedadescribe una hipocicloide. Sea x2 + y2 = a2, la circunferencia fija, bel radio del círculo que rueda, y A(a, O) la posición inicial del punto Pque trazará la curva. Obtenga ecuaciones paramétricas para la hipo-cicloide, usando como parámetro el ángulo () formado por la partepositiva del eje x y la recta que une los centros de las circunferencias.En particular, si b = a/4, como se ve en la figura, demuestre que lahipocicloide es la astroide

x = a cos ' (), y = a serr' ().

y

23. la mitad inferior de la parábola x - I = y2

24. la mitad izquierda de la parábola y = X2 + 2x

25. el rayo ("la mitad de la recta") que inicia en el punto (2, 3) y que pasa por el punto ( - 1, -1)

26. el rayo ("la mitad de la recta") que inicia en el punto (- 1, 2) Y que pasa por el punto (O, O)

27. Obtenga las ecuaciones paramétricas y el intervalo del parámetro del movimiento de una partícula que inicia en (2, O) y que traza la mitad de arriba de la circunferencia x2 + y2 = 4 cuatro veces.

28. Obtenga las ecuaciones paramétricas y el intervalo del parámetro del movimiento de una partícula que se mueve a lo largo de la gráfica y = x2 del siguiente modo: inicia en (O, O), se mueve hacia (3, 9) y luego viaja de ida y vuelta de (3, 9) a (- 3, 9) una infinidad de veces.

29. Obtenga las ecuaciones paramétricas del semicírculo

x2 + / = a2, y > O,

usando como parámetro la pendiente t = dy j dx de la tangente a la curva en (x , y).

30. Obtenga las ecuaciones paramétricas de la circunferencia

~ + / = a2,

usando como parámetro la longitud del arco s medida en sentido contrario a las manecillas del reloj del punto (a , O) al punto (x, y).

31. Obtenga la parametrización del segmento lineal que une los puntos (O, 2) Y (4, O) usando como parámetro el ángulo e de la siguiente figura.

y

2

--~-L------------~~--~ x 4

32. Obtenga la parametrización de la curva y = Vx con punto final en (O, O) usando como parámetro el ángulo e de la siguiente figura.

y

y=Vx

/~ /" ti

--::--f<----'-'------------------+ x

33. Obtenga la parametrización de la circunferencia (x - 2)2 + y2 =

que inicia en (1, O) y se mueve una vez en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de la circunferencia, usando como parámetro el ángulo central e de la siguiente figura.

y

--~----~----~~----~~ x o


34. Obtenga la parametrización de la circunferencia x2 + y 2 = 1 iniciando en (1, O) y moviéndose en sentido contrario al de las manecillas del reloj al punto final (O, 1), usando como parámetro el ángulo e de la siguiente figura.

y

(0, 1)

--~~~~-----+----~~~x -2 (1 , O)

35. La bruja de María Agnesi La forma de campana de la bruja de María Agnesi se puede construir del siguiente modo. Inicie con una circunferencia de radio 1, con centro en el punto (O, 1), como se muestra en la figura. Seleccione un punto A sobre la recta y = 2 Y conéctela con el origen con un segmento de recta. Llame B al punto donde el segmento cruza a la circunferencia. Haga que P sea el punto donde la recta vertical que pasa por A cruce la recta horizontal que pasa por B. La bruja es la curva trazada por P conforme A se mueve a lo largo de la recta y = 2. Obtenga las ecuaciones paramétricas y el intervalo del parámetro de la bruja, expresando las coordenadas de P en términos de t, el ángulo, medido en radianes, que hace al segmento OA con la parte positiva del eje x. Las siguientes igualdades (que usted debe usar) servirán de ayuda.

a. x = AQ b. Y = 2 - AB sen t

c. AB 'OA = (AQi

y

--------------~~~~------------~ x o

36. Hipocicloide Cuando un círculo rueda dentro de una circunferencia fija, cualquier punto P sobre la circunferencia del círculo que rueda describe una hipocicloide. Sea X2 + y2 = a2, la circunferencia fij a, b el radio del círculo que rueda, y A(a, O) la posición inicial del punto P que trazará la curva. Obtenga ecuaciones paramétricas para la hipocicloide, usando como parámetro el ángulo e formado por la parte positiva del eje x y la recta que une los centros de las circunferencias. En particular, si b = aj 4, como se ve en la figura, demuestre que la hipocicloide es la astroide

x = a cos3 e, y = a sen3 e.

y



37. A medida que el punto N se mueve a lo largo de la recta y = a en lasiguiente figura, P se mueve de tal manera que OP = MN. Obtengalas ecuaciones paramétricas para las coordenadas de P como funcio-nes del ángulo t que forma la recta ON con la parte positiva del eje y.

y

A(D, a)

------------=-~~------------~x

38. Trocoides Una rueda de radio a gira sin patinarse a lo largo de unarecta horizontal. Determine ecuaciones paramétricas para la curva quedescribe el punto P ubicado sobre un rayo de la rueda a b unidadesdel centro. Como parámetro utilice el ángulo () que gira la rueda. Lacurva se denomina trocoide y es una cicloide cuando b = a.

Distancia usando ecuaciones paramétricas39. Determine el punto en la parábola x = t, Y = P, -00 < t < 00, más

cercano al punto (2, 1/2). (Sugerencia: Minimice el cuadrado de ladistancia como una función de t).

40. Encuentre el punto sobre la elipse x = 2 cos t, y = sen t, O ~ t ~ 27T

más cercano al punto (3/4, O). (Sugerencia: Minimice el cuadrado dela distancia como una función de t).

D EXPLORACIONES GRÁFICASSi tiene un graficador de ecuaciones paramétricas, en los ejercicios 41 a48, grafique las siguientes ecuaciones en los intervalos dados.

41. Elipse x = 4 cos t, y = 2 sen t, en

a. O ~ t ~ 27T b. O ~ t ~ 7T

c. -7T/2 ~ t ~ 7T/2.

42. Rama de una hipérbola x = sec t (introdúzcala como l/cos(t)),y = tan t (introdúzcala como sen(t)/cos(t)), ena. -1.5 ~ t ~ 1.5 b. -0.5 ~ t ~ 0.5

c. -0.1 ~ t ~ 0.1.

11.2 CáLcuLo con curvas para métricas

En esta sección aplicaremos el cálculo a curvas paramétricas. Específicamente, obtendremospendientes, longitudes y áreas asociadas con curvas parametrizadas.

Tangentes y áreasLa curva parametrizada x = f(t) YY = g(t) es derivable en t si f y g son derivables en t.En un punto de una curva parametrizada donde y también es una función derivable de x, lasderivadas dyf dt, dxf dt, y dyf dx están relacionadas por la regla de la cadena:

43. Parábola x = 2t + 3, Y = f2 - 1, -2 ~ t ~ 2

44. Cicloide x = t - sen t, y = I - cos t, en

a. O ~ t ~ 27T b. O ~ t ~ 47T

c. 7T ~ t ~ 37T.

45. Deltoide

x = 2 cos t + cos 2t, y = 2 sen t - sen 2t; O ~ t ~ 27T

¿Qué pasa si sustituye 2 por -2 en las ecuaciones para x y y? Gra-fique las nuevas ecuaciones y averígüelo.

46. Una curva bonita


¿Qué pasa si sustituye 3 por - 3 en las ecuaciones para x y y? Grafi-que las nuevas ecuaciones y averígüelo.

47. a. Epicicloide

x = 9 cos t - cos 9t, y = 9 sen t - sen 9t; O ~ t ~ 27T

b. Hipocicloide

x = 8 cos t + 2 cos 4t, y = 8 sen t - 2 sen 4t; O ~ t ~ 27T

c. Hipotrocoide

x = cos t + 5 cos 3t, y = 6 cos t - 5 sen 3t; O ~ t ~ 27T

48. a. x = 6 cos t + 5 cos 3t, y = 6 sen t - 5 sen 3t;O ~ t ~ 27T

b. x = 6 cos 2t + 5 cos 6t, y = 6 sen 2t - 5 sen 6t;O~t~7T

c. x = 6 cos t + 5 cos 3t, y = 6 sen 2t - 5 sen 3t;O ~ t ~ 27T

d. x = 6 cos 2t + 5 cos 6t, y = 6 sen 4t - 5 sen 6t;O~t~7T

dy dy dxdt = dx' dt .


37. A medida que el punto N se mueve a lo largo de la recta y = a en la siguiente figura, P se mueve de tal manera que OP = MN. Obtenga las ecuaciones paramétricas para las coordenadas de P como funciones del ángulo t que forma la recta ON con la parte positiva del eje y .

------""":o+~-------+x

38. Trocoides Una rueda de radio a gira sin patinarse a lo largo de una recta horizontal. Determine ecuaciones paramétricas para la curva que describe el punto P ubicado sobre un rayo de la rueda a b unidades del centro. Como parámetro utilice el ángulo (} que gira la rueda. La curva se denomina trocoide y es una cicloide cuando b = a.

Distancia usando ecuaciones paramétricas 39. Determine el punto en la parábola x = t, Y = P, -00 < t < 00, más

cercano al punto (2, 1/ 2). (Sugerencia: Minimice el cuadrado de la distancia como una función de t).

40. Encuentre el punto sobre la elipse x = 2 cos t, y = sen t, O ~ t ~ 27T más cercano al punto (3 / 4, O). (Sugerencia: Minimice el cuadrado de la distancia como una función de t) .

D EXPLORACIONES GRÁFICAS Si tiene un graficador de ecuaciones paramétricas, en los ejercicios 41 a 48, grafique las siguientes ecuaciones en los intervalos dados.

41. Elipse x = 4 cos t, y = 2 sen t, en

a. O ~ t ~ 27T

c. - 7T/ 2 ~ t ~ 7T/ 2.

42. Rama de una hipérbola x = sec t (introdúzcala como l/cos(t)),

y = tan t (introdúzcala como sen(t)/cos(t)), en

a. - 1.5 ~ t ~ 1.5

c. -0.1 ~ t ~ 0.1.

b. -0.5 ~ t ~ 0.5

11.2 Cálculo con curvas para métricas

43. Parábola x = 2t + 3, Y = f2 - 1, -2 ~ t ~ 2

44. Cicloide x = t - sen t, y = 1 - cos t, en

a. O ~ t ~ 27T

c. 7T ~ t ~ 37T .

45. Deltoide

b. O ~ t ~ 47T


¿Qué pasa si sustituye 2 por -2 en las ecuaciones para x y y? Grafique las nuevas ecuaciones y averígüelo.

46. Una curva bonita


¿Qué pasa si sustituye 3 por - 3 en las ecuaciones para x y y? Grafique las nuevas ecuaciones y averígüelo.

47. a. Epicicloide

x = 9 cos t - cos 9t, y = 9 sen t - sen 9t; O ~ t ~ 27T

b. Hipocicloide

x = 8 cos t + 2 cos 4t, y = 8 sen t - 2 sen 4t; O ~ t ~ 27T

c. Hipotrocoide

x = cos t + 5 cos 3t, y = 6 cos t - 5 sen 3i; O ~ t ~ 27T

48. a. x = 6 cos t + 5 cos 3t, y = 6 sen t - 5 sen 3t; O ~ t ~ 27T

b. x = 6 cos 2t + 5 cos 6t, y = 6 sen 2t - 5 sen 6t; O~t~7T

c. x = 6 cos t + 5 cos 3t, y = 6 sen 2t - 5 sen 3t; O ~ t ~ 27T

d. x = 6 cos 2t + 5 cos 6t, y = 6 sen 4t - 5 sen 6t; O~t~7T

En esta sección aplicaremos el cálculo a curvas paramétricas. Específicamente, obtendremos pendientes, longitudes y áreas asociadas con curvas parametrizadas.

Tangentes y áreas

La curva parametrizada x = f(t) y y = g(t) es derivable en t si f y g son derivables en t. En un punto de una curva parametrizada donde y también es una función derivable de x, las derivadas dy/ dt, dx/dt, y dy/dx están relacionadas por la regla de la cadena:

dy = dy. dx dt dx dt'


11.2 Cálculo con curvas para métricas 619

Si dx/ dt *- O, podemos dividir ambos lados de esta ecuación entre dx] dt y despejar dy/ dx.

dy dyl dt

dx dx/dt(1)

Fórmula paramétrica de dy/ dtSi existen las tres derivadas y dx/ dt *- O,

Si las ecuaciones paramétricas definen a y como una función dos veces derivable de x,podemos aplicar la ecuación (1) para la función dyf dx = y' para calcular d2y/dx2 como unafunción de t:

d2y d dy'f dtttx2 = dx (y') = dxidt ' Ecuación (1) con y' en vez de y

o

Fórmula paramétrica de d2y/dx2

Si las ecuaciones x = f(t), y = g(t) definen a y como una función dos veces derivablede x, entonces en cualquier punto donde dx/ dt *- O Yy' = dy/ dx,

d2y dy'{ dt

dx: dxf dt(2)

y

2

--+---r-I-------'--~ xEJEMPLO 1 Obtenga la tangente a la curva

x = sec t, y = tan t,1T 1T-- < t <-2 2'

FIGURA 11.12 La curva del ejemplo 1es la rama derecha de la hipérbolax2 - y2 = 1.

en el punto (V2, 1), donde t = 1T/4 (figura 11.12).

Solución La pendiente de la curva en t es

dy dyf dtdx dxf dt

Al igualar t a 1T/4 tenemos

sec2 t sec tsec t tan t tan t'

Ecuación (1)

dy I sec (1T/4)dx 1=7T/4 = tan (1T/4)

=V2=''21 v L..

La recta tangente es

y - 1 = V2 (x - V2)y = V2x - 2 + 1

y=V2x-l. •EJEMPLO 2 Obtenga d2y / dx2 como una función de t si x = t - t2, y = t - t3.

Solución1. Expresando y' = dy/ dx en términos de t.

dyy' =-

dxdyf dt

dxl dt1 - 3r1 - 2t

y

2

----+---+-~--~----~ x o

FIGURA 11.12 La curva del ejemplo 1 es la rama derecha de la hipérbola x2 - y2 = 1.


Si dx/ dt *- O, podemos dividir ambos lados de esta ecuación entre dx/ dt y despejar dy / dx.

Fórmula paramétrica de dy / dt

Si existen las tres derivadas y dx/ dt *- O,

(1) dy dy/dt

dx dx/ dt'

Si las ecuaciones paramétricas definen a y como una función dos veces derivable de x, podemos aplicar la ecuación (1) para la función dy/ dx = y' para calcular d 2y/dx 2 como una función de t:

d2y d dy'/dt d~ = dx (y') = dx/ dt ' Ecuación ( 1) con y ' en vez de y

Fórmula paramétrica de d 2y / dx 2

Si las ecuaciones x = Jet), y = g(t) definen a y como una función dos veces derivable de x, entonces en cualquier punto donde dx/ dt *- O Y y' = dy / dx,

d2y dy' / dt

dx/ dt'

EJEMPLO 1 Obtenga la tangente a la curva

17 17 x = sec t, y = tan t, - - < t < -

2 2 '

en el punto (V2, 1), donde t = 17/4 (figura 11.12).

Solución La pendiente de la curva en t es

dy dy/ dt sec2 t sec t dx dx/ dt sec t tan t tan r

Al igualar t a 17 / 4 tenemos

La recta tangente es

dy I sec (17/ 4) dx 1=7T/4 = tan (17/4)

= V2=''2 1 v L..

y - 1 = V2 (x - V2)

y = V2x - 2 + 1

y=V2x - l.

Ecuación ( 1)

EJEMPLO 2 Obtenga d 2y / dx2 como una función de t si x = t - t2, y = t - t 3 .

Solución

1. Expresando y' = dy / dx en términos de t.

dy dy/ dt 1 - 3F y' = -

dx dx/dt 1 - 2t

(2)

•



I Obtención de d2y/dx2 en términos de t1. Exprese y' = dy/ dx en términos de l.

2. Obtenga dy' / di.3. Divida dy' / di entre dx] di.

y

~~---------r--------~~x-1

-1

FIGURA11.13 La astroide del ejemplo 3.

y

p¡--~------------------------~xoFIGURA11.14 La curva suave e definidaparamétricamente por las ecuaciones x = J(I)YY = g(I), a ~ I ~ b. La longitud de la curvade A a B es aproximada por la suma de laslongitudes de la trayectoria poligonal (seg-mentos de línea recta) que inicia en A = Po,sigue a P, Yasí sucesivamente, hasta finalizarenB = P".

2. Derive y' con respecto a t.

dy' d (1 - 3(2)di = dt 1 - 2t

2 - 6t + 6(2

O - 2t?Regla de derivación de cocientes

3. Divida dy' / dt entre dx] dt.

d2y dy'/dt

dx2 dxf dt

(2 - 6t + 6(2)/0 - 2t)2

1 - 2t •2 - 6t + 6(2

O - 2t)3Ecuación (2)

EJEMPLO 3 Obtenga el área encerrada por la astroide (figura 11.13)

x = cos' t, y = serr' t, o :s; t :s; 27r.

Solución Por simetría, el área interior es 4 veces el área bajo la curva en el primer cuadran-te, donde O :s; t :s; 7r/2. Podemos aplicar la fórmula de la integral definida para área del capí-tulo 5, usando sustitución para expresar la curva y la diferencial dx en términos del parámetro t.Entonces,

A=411YdX

(""/2= 4 lo serr' t· 3 cos2 t sen t dt Sustituir y y dx

= 12171"/2 e - ~os2tYe + ~os2t) dt

3 { 71"/2= "2 lo (1 - 2 cos 2t + cos22t)(1 + cos 2t) dt

3 { 71"/2= "2 lo (1 - cos 2t - cos2 2t + cos' 2t) dt

4 (1 - cos 21)2sen f = 2

Desarrollar el término al cuadrado.

Multiplicar los términos.

3 [ r/2 r/2 r: ]="2 lo (1 - cos 2t) dt - lo cos/ 2t dt + lo cos" 2t dt

3 [( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) ]71"/2="2 t - "2sen 2t -"2 t + ¡sen 2t +"2 sen 2t - :3serr' 2t OSección 8.2,ejemplo 3

= i[(~-O - O - O) - ~ (~ + O - O - O) + ~ (O - O - O + O)]

37r8 .

Evaluar.

•Longitud de una curva definida en forma para métricaSea e una curva definida en forma paramétrica por medio de las ecuaciones

x = jet) y = g(t), a :s; t :s; b.y

Suponemos que las funciones f y g son continuamente derivables (es decir, que tienen pri-meras derivadas continuas) en el intervalo [a, b]. También suponemos que las derivadas l' (t)y g' (t) no son simultáneamente iguales a cero, lo cual evita que la curva e tenga esquinas opicos. Una curva como ésta se denomina curva suave. Subdividimos la trayectoria (o arco) ABen n partes en los puntos A = Po, P1, P2, ... , P; = B (figura 11.14). Estos puntos correspondena una partición del intervalo [a, b] en a = to < t1 < tz < ...< tn = b, donde Pk = (f(tk), g(tk)'


I Obtención de d 2y / dx2 en términos de t 1. Exprese y' = dy / dx en términos de t. 2. Obtenga dy' / dt.

3. Divida dy' / dt entre dx/ dt.

y

~~---------r--------~~ x -1

- 1

FIGURA 11.13 La astroide del ejemplo 3.

y

P I --r-------------------------~ x o FIGURA 11.14 La curva suave e definida paramétricamente por las ecuaciones x = f(t)

y y = g(t), a :5 t :5 b. La longitud de la curva de A a B es aproximada por la suma de las longitudes de la trayectoria poligonal (segmentos de línea recta) que inicia en A = Po, sigue a PI y así sucesivamente, hasta finalizar enB = Pu .

2. Derive y' con respecto a t.

dy' d (1 - 3[2) dt = dt l - 2t

3. Divida dy' / dt entre dx / dt.

2 - 6t + 6[2

O - 2t?

d2y dy' / dt

dX2 dx/ dt

(2 - 6/ + 6[2)/ 0 - 2t)2

1 - 2t

Regla de derivación de cocientes

2 - 6t + 6[2

O - 2t)3 Ecuación (2)

EJEMPLO 3 Obtenga el área encerrada por la astroide (figura 11.13)

x = cos3 t, y = sen3 t, o ::5 t ::5 27T.

•

Solución Por simetría, el área interior es 4 veces el área bajo la curva en el primer cuadrante, donde O ::5 t ::5 7T /2 . Podemos aplicar la fórmula de la integral definida para área del capítulo 5, usando sustitución para expresar la curva y la diferencial dx en términos del parámetro t. Entonces,

( r./2 = 4 J o sen3 t· 3 cos

2 t sen t dt Sustituir y y dx

= 12 1 7r/2 e -~os 2ty e + ~os 2t) dt 4 (1 - COS 2t)2 sen f = 2

3 { r./2 = 2" J o (1 - 2 cos 2t + cos2 2t)(1 + cos 2t) dt Desarrollar el término al cuadrado.

3 r/2

= 2" Jo (1 - cos 2t - cos2 2t + cos3

2t) dt Multiplicar los términos.

3 [ r/2 r/2 r/2 ]

= 2" Jo (1 - cos 2t) dt - Jo cos2

2t dt + Jo cos3

2t dt

3 [ ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) ]7r/2 = 2" t - 2" sen 2/ - 2" t + "4 sen 2t + 2" sen 2t - "3 sen3

2t o

= H (; -O - O - O) - ~ (~ + O - O - O) + ~ (O - O - O + O) ]

37T

8·

Longitud de una curva definida en forma para métrica

Sea e una curva definida en forma paramétrica por medio de las ecuaciones

x = f(t) y y = g(t) , a ::5 / ::5 b.

Sección 8.2, ejemplo 3

Evaluar.

•

Suponemos que las funciones f y g son continuamente derivables (es decir, que tienen primeras derivadas continuas) en el intervalo [a , b]. También suponemos que las derivadas f' (t) y g' (t) no son simultáneamente iguales a cero, lo cual evita que la curva e tenga esquinas o picos. Una curva como ésta se denomina curva suave. Subdividimos la trayectoria (o arco) AB en n partes en los puntos A = Po, PI, P2, ... , PI1 = B (figura 11 .14) . Estos puntos corresponden a una partición del intervalo [a , b] en a = to < ti < /2 < ... < tl1 = b, donde Pk = (f(tk), g(tk)).


11.2 Cálculo con curvas paramétricas 621

Se unen los puntos sucesivos de esta subdivisión mediante segmentos de recta (figura 11.14).Un segmento representativo tiene longitud

y

1

1Lk 1 ¡).Yk

1_________ ...J/:;xk

Pk-I = (f(tk_,), g(tk-'))

i, = V(~Xk)2 + (~Yk)2

= V[f(tk) - !(tk-l )]2 + [g(tk) - g(tk-l)f

o

(véase la figura 11.15). Si ~tk es pequeña, la longitud Lk es aproximadamente igual a la longi-tud del arco Pk-lPk. De acuerdo con el teorema del valor medio, sabemos que existen númerostk*y tk**en [tk-" tk] tales que--r-----------------------~x

FIGURA11.15 El arco Pk-,Pk se aproximapor el segmento de recta que se muestraaquí, con una longitud de

i; = v(tud + (i1Yk)2.

~Xk = !(tk) - !(tk-l) = f'(tk*) Mk,

~Yk = g(tk) - g(tk-l) = g'(tt*) ~tk.

Suponiendo que la trayectoria de A a B se recorre exactamente una vez cuando t aumenta det = a a t = b, sin invertir la dirección del movimiento ni pasar dos veces por el mismo punto,una aproximación a la "longitud" de la curva AB es igual a la suma de todas las longitudes Li:

n n

2.Lk = 2. V(~Xk)2 + (~Yk)2k=l k=!

n

= 2. V[f'(t/)f + [g'(t/*)f Mk.k=!

Aunque la última suma de la derecha no es exactamente una suma de Riemann (ya que f' y g'se evalúan en diferentes puntos), puede demostrarse que su límite, conforme la norma de lapartición tiende a cero y el número de segmentos n --'> 00, es la integral definida

Por lo tanto, es razonable definir la longitud de la curva de A a B como esta integral.

DEFINICIÓN Si una curva e está definida en forma paramétrica por x = Jet) yy = g(t), a :S t :S b, donde f' y g' son continuas y no simultáneamente iguales a ceroen [a, b], y e se recorre sólo una vez conforme t se aumenta de t = a a t = b,entonces la longitud de e es la integral definida

Una curva suave e no pasa dos veces por el mismo lugar ni invierte la dirección del mo-vimiento durante el intervalo de tiempo [a, b], puesto que (f')2 + (g')2 > O en todo el in-tervalo. En un punto donde una curva regresa sobre sí misma, la curva no es derivable, o ambasderivadas deben ser simultáneamente igual a cero. Examinaremos este fenómeno en el capí-tulo 13, donde estudiaremos vectores tangentes a las curvas.

Si x = J(t) y y = g(t), Yutilizamos la notación de Leibniz, obtenemos el siguiente resul-tado para la longitud del arco:

(3)

¿Qué pasa si existen dos parametrizaciones diferentes para una curva e cuya longitudqueremos determinar? ¿Tiene importancia cuál utilicemos? La respuesta es que no, siemprey cuando la parametrización que seleccionemos cumpla las condiciones establecidas en ladefinición de la longitud de e (véase el ejercicio 41 como ejemplo).

y

1

: 6Yk 1

____ ____ _ -.J

t:uk

Pk- I = (fih- ,), g(tk- ' ))

--~-----------------------4 X o

FIGURA 11.15 El arco Pk- ,Pk se aproxima por el segmento de recta que se muestra aquí, con una longitud de

Lk = V(!:::.xd + (L1Yk)2.


Se unen los puntos sucesivos de esta subdivisión mediante segmentos de recta (figura 1l.14). Un segmento representativo tiene longitud

Lk = V(~Xk)2 + (~Yk)2

= V[f(tk) - !(tk-/ )]2 + [g(tk) - g(tk-l)f

(véase la figura 11.15). Si ~tk es pequeña, la longitud Lk es aproximadamente igual a la longitud del arco Pk- ,Pk. De acuerdo con el teorema del valor medio, sabemos que existen números tk * Y tk ** en [tk- " tk] tales que

~Xk = !(tk) - !(tk-/ ) = j'(tk* ) M b

~Yk = g(tk) - g(tk- l) = g'(tk**) ~tk.

Suponiendo que la trayectoria de A a B se recorre exactamente una vez cuando t aumenta de t = a a t = b, sin invertir la dirección del movimiento ni pasar dos veces por el mismo punto, una aproximación a la "longitud" de la curva AB es igual a la suma de todas las longitudes Lk:

n n

,LLk = ,L V(~Xk)2 + (~Yk)2 k=l k=l

n

= ,L V[j'(t/ )f + [g'(tk** )f M k. k= l

Aunque la última suma de la derecha no es exactamente una suma de Riemann (ya que f' y g' se evalúan en diferentes puntos), puede demostrarse que su límite, conforme la norma de la partición tiende a cero y el número de segmentos n ---'> 00, es la integral definida

Por lo tanto, es razonable definir la longitud de la curva de A a B como esta integral.

DEFINICIÓN Si una curva e está definida en forma paramétrica por x = fet) y y = g(t), a :S t :S b, donde f' y g' son continuas y no simultáneamente iguales a cero en [a, b], y e se recorre sólo una vez conforme t se aumenta de t = a a t = b, entonces la longitud de e es la integral definida

Una curva suave e no pasa dos veces por el mismo lugar ni invierte la dirección del movimiento durante el intervalo de tiempo [a , b], puesto que (f')Z + (g')2 > O en todo el intervalo. En un punto donde una curva regresa sobre sí misma, la curva no es derivable, o ambas derivadas deben ser simultáneamente igual a cero. Examinaremos este fenómeno en el capítulo 13, donde estudiaremos vectores tangentes a las curvas.

Si x = f(t) y y = g(t) , y utilizamos la notación de Leibniz, obtenemos el siguiente resultado para la longitud del arco:

(3)

¿Qué pasa si existen dos parametrizaciones diferentes para una curva e cuya longitud queremos determinar? ¿Tiene importancia cuál utilicemos? La respuesta es que no, siempre y cuando la parametrización que seleccionemos cumpla las condiciones establecidas en la definición de la longitud de e (véase el ejercicio 41 como ejemplo).


x = rcos t y y = r sen t, o :::; t :::;27T.


EJEMPLO 4 Usando la definición, determine la longitud de la circunferencia de radio r defi-nida en forma paramétrica por

Solución A medida que t varía de O a 27T, la circunferencia se recorre exactamente una vez;aSÍ, el perímetro es

127TL=

o

Encontramos que

dxdt

= r sen t,dydt = r cos t

y

(d)2 (dy)2Ir + dt = ?(sen2 t + cos2 t) = ?

Entonces

{27TL = lo v? dt = r [t]~7T = 27Tr. •

x = cos? t, y = serr' t,

EJEMPLO 5 Obtenga la longitud de la astroide (figura 1l.l3)

x = cos' t, y = serr' t

Solución En virtud de la simetría de la curva en relación con los ejes coordenados, su longi-tud es cuatro veces la longitud de la parte en el primer cuadrante. Tenemos

(~~Y+ (drY = V9cos2tsen2t(c~), 1

= V9 cos'' t serr' t

= 31cos t sen ti= 3 cos t sen t.

cos 1sen 1 ;;:: O para0:5 1:5 7r/2

Por lo tanto,

Longitud de la parte en el primer cuadrante = 17T/23 cos t sen t dt

3 r"= 2. lo sen 2t dt

3 ]7T/2 3= --cos 2t 2'

4 o

costsenl =

(1/2) sen 21

La longitud de la astroide es cuatro veces esto: 4(3/2) = 6 •


EJEMPLO 4 Usando la definición, determine la longitud de la circunferencia de radio r defi-nida en forma paramétrica por

x = reos t y y = r sen t, o :::; t :::; 27T.

Solución A medida que t varía de' O a 27T, la circunferencia se recorre exactamente una vez; así, el perímetro es

Encontramos que

y

Entonces

L=

dx dt

127T

o

- r sen t, dy dt = r eos t

(d)2 (dy )2 d~ + dt = ?(sen2 t + cos2 t) = ?

{27T L = Jo v? dt = r [tl~1T = 27Tr.

EJEMPLO 5 Obtenga la longitud de la astroide (figura 11.13)

x = cos3 t, y = sen3 t, O :::; t :::; 27T.

•

Solución En virtud de la simetría de la curva en relación con los ejes coordenados, su longitud es cuatro veces la longitud de la parte en el primer cuadrante. Tenemos

x = cos3 t, y = sen3 t

(~~y

(d;y [3 cos2 t( - sen t)]2 = 9 cos4 t sen2 t

Por lo tanto,

[3 sen2 t(cos t)]2 = 9 sen4 tcos2 t

(~~y + (d;y = V9cos2tsen2t(c~~~:~~~9 , 1

= V9 cos2 t sen2 t

= 31 cos t sen ti = 3 cos t sen t.

r/2

Longitud de la parte en el primer cuadrante = Jo 3 cos t sen t dt

3 r/2

= 2. Jo sen 2t dt

3 ]1T/2 = - -cos 2t

4 O

La longitud de la astroide es cuatro veces esto: 4(3/2) = 6

cos / sen / "" O para 0:5 / :5 71'/ 2

costsen/ =

( 1/ 2) sen 2/

•



BIOGRAFíA HISTÓRICA Longitud de una curva y = f(x)Gregory St. Vincent(1584-1667)

La fórmula de la longitud en la sección 6.3 es un caso especial de la ecuación 3. Dada una fun-ción continuamente derivable y = f(x), a :S x :S b, podemos asignar x = t como un parámetro.Entonces, la gráfica de la función f es la curva e definida paramétricamente por

x = t y y = jet), a :S t :S b,

un caso especial de lo que consideramos antes. Entonces,

dx = 1dt

y d; = f'(t).

De la ecuación (1), tenemos

dy dyf dtdx = dx/dt = f'(t),

de lo cual obtenemos

(~~y + (d;y = 1 + [f'(t)f

=1+[f'(x)f. f=x

Al sustituir en la ecuación (3), obtenemos la fórmula de la longitud de arco para la gráfica dey = f(x), lo cual es congruente con la ecuación (3) de la sección 6.3.

La diferencial de longitud de arcoDe acuerdo con la sección 6.3, podemos definir la función de la longitud del arco de una curvadefinida paramétricamente x = f(t) y g(t), a :S t :S b, como

s(t) = 1/V[f'(z)f + [g'(z)f dz.

Así, por el teorema fundamental del cálculo,

La diferencial de la longitud del arco es

(4)

La ecuación (4) a menudo se abrevia como

Justo como en la sección 6.3, podemos integrar la diferencial ds entre los límites apropiadospara obtener la longitud total de una curva.

He aquí un ejemplo donde usamos la fórmula de la longitud del arco para obtener el cen-troide de un arco.

EJEMPLO 6 Obtenga el centroide del arco en el primer cuadrante de la astroide delejemplo 5.

Solución Suponemos que la densidad de la curva es 8 = 1 Ycalculamos la masa y los mo-mentos de la curva alrededor de los ejes coordinados como lo hicimos en la sección 6.6.

BIOGRAFÍA HISTÓRICA

Gregory St. Vincent

(1584-1667)


Longitud de una curva y = f(x) La fórmula de la longitud en la sección 6.3 es un caso especial de la ecuación 3. Dada una función continuamente derivable y = f(x), a :S x :S b, podemos asignar x = t como un parámetro. Entonces, la gráfica de la función f es la curva e definida paramétricamente por

x = t y y = f(t) , a :S t :S b,

un caso especial de lo que consideramos antes. Entonces,

De la ecuación (1), tenemos

de lo cual obtenemos

dx = 1 dt

y d: = f'(t) .

dy dy/ dt dx = dx/dt = f'(t),

(~~ y + (d: Y = 1 + [f'(t)f

= 1 + [1' (x) f . t = x

Al sustituir en la ecuación (3), obtenemos la fórmula de la longitud de arco para la gráfica de y = f(x) , lo cual es congruente con la ecuación (3) de la sección 6.3.

La diferenciaL de Longitud de arco

De acuerdo con la sección 6.3, podemos definir la función de la longitud del arco de una curva definida paramétricamente x = f(t) y g(t), a s t s b, como

s(t) = 11

V [f' (z)]2 + [g/(z)f dz.

Así, por el teorema fundamental del cálculo,

La diferencial de la longitud del arco es

(4)

La ecuación (4) a menudo se abrevia como

Justo como en la sección 6.3, podemos integrar la diferencial ds entre los límites apropiados para obtener la longitud total de una curva.

Re aquí un ejemplo donde usamos la fórmula de la longitud del arco para obtener el centroide de un arco.

EJEMPLO 6 Obtenga el centroide del arco en el primer cuadrante de la astroide del ejemplo 5.

Solución Suponemos que la densidad de la curva es 8 = 1 Y calculamos la masa y los mo-mentos de la curva alrededor de los ejes coordinados como lo hicimos en la sección 6.6.



y

E(O, 1)

-4~--------~~~xO A(1, O)

FIGURA 11.16 El centroide (c.m.) del arcode astroide del ejemplo 6.

La distribución de masa es simétrica con respecto a la recta y = x, de manera que x = y.Un segmento típico de la curva (figura 11.16) tiene masa

dm = 1 . ds = ) (: )2

+ (:)2

dt = 3 cos t sen t dt.Delejemplo 5

La masa de la curva es

(7r/2 (,,/2 3M = lo dm = lo 3 cos t sen t dt = 2"' Otra vez delejemplo 5

•

(5)

El momento de la curva alrededor del eje x es

J ("'/2M; = Y dm = lo serr' t ·3 cos t sen t dt

1,,/2 St ]"/2= 3 sen" t cos t dt = 3. seno 5 o

Así, concluimos que

El centroide es el punto (2/5, 2/5).

Áreas de superficies de revolución

En la sección 6.4 obtuvimos fórmulas integrales para el área de una superficie cuando unacurva gira alrededor de un eje coordenado. Específicamente, encontramos que el área de lasuperficie es S = J 21Ty ds cuando se gira alrededor del eje x, y S = J 21TX ds cuando segira alrededor del eje y. Si la curva está parametrizada por las ecuaciones x = j(t) y y = g(t),a :::; t :::; b, donde f y g son derivables continuamente (f')2 + (g'f > O para [a, b],entonces la diferencial de longitud de arco ds está dada por la ecuación (4). Esta observaciónlleva a las siguientes fórmulas para el área de superficies de revolución de curvas parame-trizadas suaves.

Áreas de superficies por revolución de curvas parametrizadasSi una curva suave x = f(t) y y = g(t), a :::;t :::;b, se recorre una sola vez a medi-da que t aumenta de a a b, entonces las áreas de las superficies generadas al hacergirar la curva alrededor de los ejes coordenados son las siguientes.

1. Rotación alrededor del eje x (y 2: O):

S = lb 21Ty (~~y+ (:y dt

2. Rotación alrededor del eje y (x 2: O):

S = lb 21TX (~~y+ (:y dt (6)

Al igual que con la longitud, podemos calcular el área de superficie a partir de cualquier para-metrización que cumpla con los criterios establecidos.


B(O, 1)

y

, " (x, ji) = (cos3 1, sen3 1)

~t X dS

I I :y I

-1~--------~~--+X

O A(1 , O)

FIGURA 11.16 El centroide (c.m.) del arco

de astroide del ejemplo 6.

La distribución de masa es simétrica con respecto a la recta y = x, de manera que x = y. Un segmento típico de la curva (figura 11.16) tiene masa

dm = 1· ds = ) (~ ) 2

+ (:) 2

dt = 3 cos t sen t dt. Del ejemplo 5

La masa de la curva es

("'/2 ("'/2 3 M = Jo dm = Jo 3 cos t sen t dt = "2' Otra vez dcrejcmplo 5

El momento de la curva alrededor del eje x es

J ("'/2 Mx = Y dm = Jo sen3 t ·3 cos t sen t dt

= 3 sen4 t cos t dt = 3 . sen 1",/2 5t ]"'/2

o 5 o

Así, concluimos que

El centroide es el punto (2/ 5, 2/ 5).

Áreas de superficies de revolución

3 5"

•

En la sección 6.4 obtuvimos fórmulas integrales para el área de una superficie cuando una

curva gira alrededor de un eje coordenado. Específicamente, encontramos que el área de la

superficie es S = J 27Ty ds cuando se gira alrededor del eje x, y S = J 27TX ds cuando se

gira alrededor del eje y. Si la curva está parametrizada por las ecuaciones x = j{t) y y = g(t) ,

a :::; t :::; b, donde f y g son derivables continuamente (f')2 + (g' )2 > O para [a , b] ,

entonces la diferencial de longitud de arco ds está dada por la ecuación (4). Esta observación

lleva a las siguientes fórmulas para el área de superficies de revolución de curvas parame

trizadas suaves.

Áreas de superficies por revolución de curvas parametrizadas

Si una curva suave x = f(t) y y = g(t) , a :::; t :::; b, se recorre una sola vez a medida que t aumenta de a a b, entonces las áreas de las superficies generadas al hacer girar la curva alrededor de los ejes coordenados son las siguientes.

1. Rotación alrededor del eje x (y 2: O):

S = lb 27Ty (~~Y + (dtY dt (5)

2. Rotación alrededor del eje y (x 2: O):

S = lb 27TX (~~ y + (dtY dt (6)

Al igual que con la longitud, podemos calcular el área de superficie a partir de cualquier parametrización que cumpla con los criterios establecidos.



EJEMPLO 7 La parametrización estándar de la circunferencia de radio I con centro en elpunto (O,1) en el plano xy es

x = cos t, y = 1 + sen t, O ::; t ::; 2'Tr.

Utilice esta parametrización para obtener el área de la superficie barrida al hacer girar la cir-cunferencia alrededor del eje x (figura 11.17).

Solución Evaluamos la fórmula

s = lb 2'Try

r"= lo 2'Tr(l + sen t)V( -sen t)2 + (cos t? dt

l

La ecuación (5) para rotaciónalrededor del eje x;y = l + sen I 2: O(dX)2 (dy)2- + - dt

dt dt

FIGURA 11.17 En el ejemplo 7 se calcula

el área de la superficie de revolución barrida

por esta curva parametrizada.

{27r= 2'Trlo (1 + sen t) dt

Ejercicios 11.2

•

Tangentes a curvas parametrizadasEn los ejercicios 1 a 14, determine la ecuación de la recta tangente a la cur-va en el punto definido por el valor dado a t. Además, determine el valorde d2y/dx2 en este punto.

1. x = 2 cos t, y = 2 sen t, t = 71"/4

2. x = sen 271"t, y = cos 271"t, t = -1/6

3. x = 4 sen t, y = 2 cos t, t = 71"/4

4. x = cos t, y = V3 cos t, t = 271"/3

5. x = t, Y = Vt, t = 1/4

6. x = sec2t - 1, Y = tant, t = -7T/4

7. x = sect, y = tant, t = 71"/6

8. x = -~, y = v'3t, t = 3

9. x = 2? + 3, Y = t4, t = -1

10. x = I/t, Y = -2 + In t, t = l

11. x = t - sen t, y = 1 - cos t, t = 71"/3

12. x = cos t, y = 1 + sen t, t = 71"/2

1 t13. x =!+l' y = 1=1' t = 2

14. x = t + e', y = 1 - e', t = O

Parametrizaciones definidas implicitamenteSuponiendo que las ecuaciones de los ejercicios 15 a 20 definen a x y yimplícitamente como funciones derivables x = J(t) y y = g(t), determinela pendiente de la curva x = J(t) y y = g(t) para el valor dado de t.

15. x3 + 2? = 9, 2y3 - 3? = 4, t = 2

16. x = \15 - VI, y(t - 1) = Vt, t = 4

17. x + 2x3/2 = ? + t, yVt+1 + 2t'vY = 4, t = O

18. x sen t + 2x = t, t sen t - 2t = y, t = 71"

19. x = ? + t, Y + 2? = 2x +?, t = 1

20. t = In (x - t), y = te', t = O

Área21. Obtenga el área bajo un arco de la cicloide

x = a(1 - sen 1), y = a(l - cos t).

22. Obtenga el área acotada por el eje y y la curva

x = t -?, y = 1 + e-l.

23. Obtenga el área encerrada por la elipse

x = a cos t, y = b sen t, O:s t :S 271".

24. Obtenga el área debajo de y = x3 sobre [O, 1] usando las siguientesparametrizaciones.

a. x =?, y = t6 b. x =?, y = t

Longitudes de curvasObtenga las longitudes de las curvas de los ejercicios 25 a 30.25. x = cos t, y = I + sen t, O:s t :S 71"

26. x =?, y = 3?/2, O:s I:S V327. x = ?/2, y = (21 + 1)3/2/3, O:s t :S 4

28. x = (2t + 3)3/2/3, Y = t + ?/2, o s I :S 3

29. x = 8 cos t + 81 sen t 30. x = In (sec t + tan 1) - sen ty = 8 sen I - 8t cos 1, y = cos 1, O:s t :S 71"/3

O :S t :S 71"/2

Área de superficiesEn los ejercicios 31 a 34, encuentre las áreas de las superficies generadaspor la rotación de las curvas alrededor de los ejes indicados.

31. x = cos t y = 2 + sen t, O:s t :S 271"; eje x


Circunferenc ia y EJEMPLO 7 La parametrización estándar de la circunferencia de radio 1 con centro en el punto (O, 1) en el plano xy es

x = cos t, y = 1 + sen t, ° ::; t ::; 27r.

Utilice esta parametrización para obtener el área de la superficie barrida al hacer girar la circunferencia alrededor del eje x (figura 11.1 7).

Solución Evaluamos la fórmula

(dX)2 (dy)2 - + - dt dt dt

La ecuación (5) para rotación alrededor del eje x;

y = l + sen t 2: O

{27r = Jo 27r(l + sen t)V( - sen t)2 + Ccos t? dt

l

FIGURA 11.17 En el ejemplo 7 se calcula

el área de la superficie de revolución barrida

por esta curva parametrizada.

( 27r = 27r Jo (1 + sen t) dt

Ejerddos 11.2

Tangentes a curvas parametrizadas En los' ejercicios 1 a 14, determine la ecuación de la recta tangente a la cur

va en el punto definido por el valor dado a t. Además, determine el valor

de d 2y/dx2 en este punto.

1. x = 2 cos 1, y = 2 sen t, t = 71"/ 4

2. x = sen 271"1, y = cos 271"t, l = - 1/ 6

3. x = 4 sen t, y = 2cost, 1 = 71"/ 4

4. x = cos t, y = V3 cos 1, t = 271"/ 3

5. x = t, Y = Vt, t = 1/ 4

6. x = sec2 t - 1, Y = tant, t = - 7T/ 4

7. x = sect, y = tant, t = 71"/ 6

8. x = -~, y = V3t, t = 3

9. x = 2? + 3, Y = t4 , t = - 1

10. x = I/ t, Y = -2 + In t, t = 1

11 . x = t - sen t, y = 1 - cos t, I = 71"/ 3

12. x = cos 1, y = l + sen 1, t = 71"/ 2

1 I 13. x =!+l' y = 1=1' t = 2

14. x = t + el, y = 1 - el, I = O

Parametrizaciones definidas implicitamente Suponiendo que las ecuaciones de los ejercicios 15 a 20 definen a x y y implícitamente como funciones derivables x = J(I) Y Y = g(I), determine

la pendiente de la curva x = J(t) y y = g(t) para el valor dado de t.

15. x3 + 22 = 9, 2i - 3? = 4, I = 2

16. x = \15 - Vi, y(1 - 1) = Vt, t = 4

17. x + 2x3/2 = 2 + 1, y\l't+l + 21VY = 4, t = O

•

18. x sen I + 2x = 1, I sen I - 21 = y, t = 71"

19. x = ? + 1, Y + 2? = 2x +?, I = 1

20. l = In (x - t) , y = tel, t = O

Área 21. Obtenga el área bajo un arco de la cicloide

x = a(t - sen t), y = a(1 - cos t) .

22. Obtenga el área acotada por el eje y y la curva

x = t - ?, y = 1 + e-l.

23. Obtenga el área encerrada por la elipse

x = a cos t, y = b sen t, O ~ t ~ 271".

24. Obtenga el área debajo de y = x3 sobre [O, 1] usando las siguientes parametrizaciones.

a. x =?, y = t6 b. x =?, y = t9

Longitudes de curvas

Obtenga las longitudes de las curvas de los ejercicios 25 a 30.

25. x = cos 1, Y = t + sen t, O ~ t ~ 71"

26. x =?, y = 32/ 2, O ~ t ~ V3 27. x = 2 / 2, Y = (2t + 1)3/2/3, O ~ I ~ 4

28. x = (2t + 3)3/2/ 3, Y = t + 2 / 2, O ~ t ~ 3

29. x = 8 cos I + 8t sen I 30. x = In (sec t + tan t) - sen I y = 8 sen t - 8t cos 1, y = cos 1, O ~ t ~ 71"/ 3

O ~ t ~ 71"/ 2

Área de superficies En los ejercicios 31 a 34, encuentre las áreas de las superficies generadas por la rotación de las curvas alrededor de los ejes indicados.

31. x = cos 1, Y = 2 + sen 1, O ~ l ~ 271"; eje x



32. x = (2/3 )?/2, y = 2Vt, O::; t ::; V3; eje y

33. x = t + V2, y = (2/2) + V2t, -V2 ::; i s: V2; ejey34. x = In (sec t + tan t) - sen t, y = cos t, O ::; t ::; 7T/3; eje x

35. Tronco de un cono El segmento de recta que une los puntos (O, 1)Y (2, 2) se hace girar alrededor del eje x para generar el tronco de uncono. Determine el área de la superficie del tronco por medio de pa-rametrización x = 2t, Y = t + 1, O ::; t ::; 1. Verifique su resultado conla fórmula geométrica: Área = 7T(rl + r2) (altura inclinada).

36. Un cono El segmento de recta que une el origen con el punto (h, r)se hace girar alrededor del eje x para generar un cono de altura h y Yradio de la base r. Encuentre la superficie del cono con las ecuacionespara métricas x = ht, Y = rt, O ::; t ::; 1. Compruebe su respuesta conla fórmula de geometría: Área = 7Tr (longitud de generatriz).

Centroides37. Obtenga las coordenadas del centroide de la curva

x = cos t + t sen t, y = sen t - t cos t, O::; t ::; 7T/2.

38. Obtenga las coordenadas del centroide de la curvax = el cos t, y = el sen t, O::; t ::; 7T.

39. Obtenga las coordenadas del centroide de la curva

x = cos t, y = t + sen t, O::; t ::; 7T.

H 40. La mayoría de los cálculos de centroides para curvas se hacen concalculadora o una computadora que permita calcular integrales. Comoejemplo, determine, con precisión de centésimas, las coordenadas delcentroide de la curva

x =?, y = 32/2, O::; t ::; \13.

Teoría y ejemplos41. La longitud es independiente de la parametrización Para ilustrar

el hecho de que los números que obtenemos para la longitud sonindependientes de la manera en que parametrizamos las curvas(excepto por pequeñas restricciones que previenen el regreso haciaatrás mencionado anteriormente), calcule la longitud del semicírcu-lo y = ~ con estas dos parametrizaciones diferentes:

a. x = cos 2t, y = sen 2t, O::; t ::; 7T/2

b. x = sen 7Tt, y = cos 7Tt, -1/2::; t ::; 1/2

42. a. Demuestre que la fórmula cartesiana

para la longitud de la curva x = g(y), c ::; y ::; d (sección 6.3,ecuación 4), es un caso especial de la fórmula paramétrica delongitud

Use este resultado para obtener la longitud de cada curva.

b. x = i/2, O::; Y ::; 4/3

c. x = % l/3, O::; Y ::; 1

43. La curva con ecuaciones paramétricas

x = (l + 2 sen 8) cos 8, y = (1 + 2 sen 8) sen 8

se llama limacon (caracol) y se muestra en la siguiente figura. Deter-mine los puntos (x, y) y las pendientes de las rectas tangentes a estospuntos para

a. 8 = O. b. 8 = 7T/2. c. 8 = 47T/3.

y

3


x = t, Y = 1 - cos t, O::; t ::; 27T

se llama sinusoide y se muestra en la siguiente figura. Obtenga elpunto (x, y) donde la pendiente de la recta tangente esa. la más grande b. la más pequeña.

y

2.~

--:0+"'-----------="'2::'7T-~ x

H Las curvas de los ejercicios 45 y 46 se llaman curvas de Bowditcn ofiguras de Lissajous. En cada caso, determine el punto en el interiordel primer cuadrante donde la tangente a la curva es horizontal, asícomo la ecuación para las dos tangentes en el origen.

45. 46.y y x = sen 2t

y = sen 3tx = sen ty = sen2t

---t---ii-----l--~x ---~~--~--_*L---~x

47. Cicloide

a. Obtenga la longitud de un arco de la cicloide

x = a(t - sen t), y = a(l - cos t).

b. Obtenga el área de la superficie generada al hacer girar un arco dela cicloide del inciso (a) alrededor del eje x para a = l.

48. Volumen Obtenga el volumen generado al hacer girar la regiónacotada por el eje x y un arco de la cicloide

x = t - sen t, y = 1 - cos t

alrededor del eje x.

EXPLORACIONES CON COMPUTADORAEn los ejercicios 49 a 52 utilice un SAC y realice los siguientes pasos parala curva y el intervalo cerrado dados.

a. Grafique la curva junto con las poligonales que la aproximancuando se consideran particiones con n = 2, 4, 8 puntos delintervalo. (Véase la figura 11.14).


32. x = (2/ 3)P/2, Y = rVt, 0 $ 1$ V3; eje y

33. x = I + V2, y = (?-/ 2) + V2I, -V2 $ 1 $ V2; eje y

34. x = In (sec t + tan 1) - sen 1, y = cos 1, O $ I $ 7f/ 3; eje x

35. T.-onco de un cono El segmento de recta que une los puntos (O, 1) Y (2, 2) se hace girar alrededor del eje x para generar el tronco de un cono. Determine el área de la superficie del tronco por medio de parametrización x = 21, Y = I + 1, O $ t $ l. Verifique su resultado con la fórmula geométrica: Área = 7f(r ¡ + r2) (altura inclinada).

36. Un cono El segmento de recta que une el origen con el punto (h , r) se hace gi rar alrededor del eje x para generar un cono de altura h y Y radio de la base r . Encuentre la superficie del cono con las ecuaciones para métricas x = ht, y = rl, O $ I $ l . Compruebe su respuesta con la fórmula de geometría: Área = 7fr (longitud de generatriz).

Centroides 37. Obtenga las coordenadas del centroide de la curva

x = cos t + I sen 1, y = sen I - I cos 1, O $ I $ 7f/ 2.


x = el cos 1, y = el sen t, O $ I $ 7f.


x = COS 1, y = t + sen t, O $ I $ 7f.

H 40. La mayoría de los cálculos de centroides para curvas se hacen con calculadora o una computadora que permita calcular integrales. Como ejemplo, determine, con precisión de centésimas, las coordenadas del centroide de la curva

x = P, y = 3?-/2, 0 $ 1 $ \13.

Teoria y ejemplos 41. La longitud es independiente de la parametrización Para ilustrar

el hecho de que los números que obtenemos para la longitud son independientes de la manera en que parametrizamos las curvas (excepto por pequeñas restricciones que previenen el regreso hacia atrás mencionado anteriormente), calcule la longitud del semicírcu

lo y = ~ con estas dos parametrizaciones diferentes:

a. x = cos 21, y = sen 2t, O $ I $ 7f / 2

b. x = sen 7ft, y = cos 7f1, - 1/ 2 $ I $ 1/ 2

42. a. Demuestre que la fórmu la cartesiana

para la longitud de la curva x = g(y) , C $ y $ d (sección 6.3, ecuación 4), es un caso especial de la fórmula paramétrica de longitud

Use este resultado para obtener la longitud de cada curva.

b. x = i /2, O $ Y $ 4/ 3

c. x = % //3, O $ Y $ 1


x = (1 + 2 sen 8) cos 8, y = (l + 2 sen 8) sen 8

se llama limar;ol1 (caracol) y se muestra en la siguiente figura. Determine los puntos (x, y) y las pendientes de las rectas tangentes a estos puntos para

a. e = o. b. 8 = 7f/ 2. c. 8 = 47f/ 3 .

y

3


x = 1, Y = 1 - cos 1, O $ t $ 27f

se llama sil1usoide y se muestra en la siguiente figura. Obtenga el punto (x, y) donde la pendiente de la recta tangente es a. la más grande b. la más pequeña.

y

2

--~01-~--------------~~2~7T--~ X

H Las curvas de los ejercicios 45 y 46 se llaman curvas de Bowdilch o figuras de Lissajous . En cada caso, determine el punto en el interior del primer cuadrante donde la tangente a la curva es horizontal , así como la ecuación para las dos tangentes en el origen.

45.

y x = sen t y = sen 21

46.

-----+~---f.----~----~ x

y x = sen 21 y = sen 31

----~r_--~--~P---~ x

- 1

47. Cicloide

a. Obtenga la longitud de un arco de la cicloide

x = a(t - sen t), y = a(l - cos 1).

b. Obtenga el área de la superficie generada al hacer girar un arco de la cicloide del inciso (a) alrededor del eje x para a = 1.

48. Volumen Obtenga el volumen generado al hacer girar la región acotada por el eje x y un arco de la cicloide

x = I - sen 1, y = 1 - cos I

alrededor del eje x.

EXPLORACIONES CON COMPUTADORA En los ejercicios 49 a 52 utilice un SAC y realice los siguientes pasos para la curva y el intervalo cerrado dados.

a. Grafique la curva junto con las poligonales que la aproximan cuando se consideran particiones con 11 = 2, 4, 8 puntos del intervalo. (Véase la figura 11.14).


b. Obtenga la aproximación correspondiente a la longitud de lacurva sumando las longitudes de los segmentos de la poligonal.

c. Calcule la longitud de la curva usando una integral. Comparesus aproximaciones para n = 2, 4, 8 con el valor real de lalongitud dado por la integral. ¿Cómo se compara la longitudreal contra las aproximaciones cuando n aumenta? Expliquesu respuesta.

11.3 Coordenadas polares 627

I I49.x="3f, Y=2?' 0:5l:51

50. x = 2f - 16? + 25l + 5, Y = ? + t - 3,0:5l:56

51. x = t - COSt, y = I + sen t, -7r:5 t :5 -tt

52. x = e' cos t, y = e' sen t, 0:5 t :5 7r

11.3 Coordenadas poLares

~

p(r'8)

0,;,'0 (poi') .:

J------------- lXRayo inicial

FIGURA 11.18 Para definir las coordenadaspolares en el plano, iniciamos con un origen,llamado polo, y un rayo inicial.

~ .-L- ~x

Rayo inicial8=0

FIGURA 11.19 Las coordenadas polares noson únicas.

8 = 7r/6

En esta sección estudiaremos las coordenadas polares y su relación con las coordenadas car-tesianas. Usted verá que las coordenadas polares son muy útiles cuando se calculan muchasde las integrales múltiples estudiadas en el capítulo 15.

Definición de las coordenadas polaresPara definir las coordenadas polares, primero fijamos un origen O (llamado polo) y un rayoinicial desde O (figura 11.18). Luego se puede localizar cada punto P asignándole una pa-reja de coordenadas polares (r, (J) donde r es la distancia dirigida de O a P y (J es el ángulodirigido del rayo inicial al rayo OP.

Coordenadas polares

P(r, (J)/ '\

Distancia dirigida Angula dirigido delde O a P rayo inicial a OP

Como en trigonometría, (J es positivo cuando se mide en sentido contrario a las manecillasdel reloj, y negativo cuando se mide en el sentido de las manecillas del reloj. El ángulo aso-ciado con un punto dado no es único. Mientras que un punto en el plano tiene solamente unpar de coordenadas cartesianas, tiene, por otro lado, un número infinito de parejas de coorde-nadas polares. Por ejemplo, el punto a 2 unidades del origen a lo largo del rayo (J = 7T/ 6 tienecoordenadas polares r = 2, (J = 7T/ 6, pero tiene también coordenadas r = 2, (J = -117T / 6(figura 1l.19). En algunas situaciones permitimos que r sea negativa. Por esta razón, usamosla distancia dirigida en la definición de P(r, (J). El punto P(2, 77T/ 6) puede obtenerse girando77T/ 6 radianes en el sentido contrario a las manecillas del reloj a partir del rayo inicial y dosunidades hacia delante (figura 1l.20). También puede alcanzarse girando 7T/ 6 radianes en elsentido contrario a las manecillas del reloj a partir del rayo inicial y dos unidades hacia atrás.Así, el punto también tiene coordenadas polares r = -2, (J = 7T/6.

EJEMPLO 1 Obtenga todas las coordenadas polares del punto P(2, 7T/ 6).

r'------'----'--....,----.,--+x Solución Trazamos el rayo inicial del sistema coordenada, dibujamos el rayo desde el ori-gen que forma un ángulo de 7T/ 6 radianes con el rayo inicial, y marcamos el punto (2, 7T/ 6)(figura 1l.21). Después, encontramos los ángulos para los otros pares coordenadas de P enlos cuales r = 2 Y r = -2.

Para r = 2, la lista completa de los ángulos es

FIGURA 11.20 Las coordenadas polarespueden tener valores de r negativos.

7T 7T6' 6 ± 27T,

7T6 ± 47T,7T6 ± 67T,....


b. Obtenga la aproximación correspondiente a la longitud de la curva sumando las longitudes de los segmentos de la poligonal.

I I 49. x = "3f , y = 2(1, 0:5 l:5 I

c. Calcule la longitud de la curva usando una integral. Compare sus aproximaciones para n = 2, 4, 8 con el valor real de la longitud dado por la integral. ¿Cómo se compara la longitud real contra las aproximaciones cuando n aumenta? Explique su respuesta.

50. x = 2f - 16(1 + 25l + 5, Y = (1 + l - 3,

0:5l:56

51. x = l - COS l, y = 1 + sen l, - 7r:5 l :5 7r

52. x = el cos l , y = el sen l , 0:5 l :5 7r

11.3 Coordenadas poLares

/.

p(r,8)

Oei"," (polo) :

J------------- lX Rayo inicial

FIGURA 11.18 Para definir las coordenadas polares en el plano, iniciamos con un origen, llamado polo, y un rayo inicial.

"'---r-L--------+ x

Rayo inicial 8 = 0

FIGURA 11.19 Las coordenadas polares no son únicas.

8 = 7r/ 6

En esta sección estudiaremos las coordenadas polares y su relación con las coordenadas cartesianas. Usted verá que las coordenadas polares son muy útiles cuando se calculan muchas de las integrales múltiples estudiadas en el capítulo 15.

Definición de las coordenadas polares

Para definir las coordenadas polares, primero fijamos un origen O (llamado polo) y un rayo inicial desde O (figura 11.18). Luego se puede localizar cada punto P asignándole una pareja de coordenadas polares (r, 8) donde r es la distancia dirigida de O a P y 8 es el ángulo dirigído del rayo inicial al rayo OP.

Coordenad'as polares

P(r, 8)

/ "\ Distancia dirigida Angula dirigido del de O a P rayo inicial a OP

Como en trigonometría, 8 es positivo cuando se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj, y negativo cuando se mide en el sentido de las manecillas del reloj. El ángulo asociado con un punto dado no es único. Mientras que un punto en e! plano tiene solamente un par de coordenadas cartesianas, tiene, por otro lado, un número infinito de parejas de coordenadas polares. Por ejemplo, el punto a 2 unidades del origen a lo largo del rayo 8 = 7T / 6 tiene coordenadas polares r = 2, 8 = 7T / 6, pero tiene también coordenadas r = 2, 8 = -117T / 6 (figura 11.19). En algunas situaciones permitimos que r sea negativa. Por esta razón, usamos la distancia dirigida en la definición de P(r, 8). El punto P(2, 77T / 6) puede obtenerse girando 77T / 6 radianes en el sentido contrario a las manecillas de! reloj a partir del rayo inicial y dos unidades hacia delante (figura 11.20). También puede alcanzarse girando 7T / 6 radianes en el sentido contrario a las manecillas del reloj a partir del rayo inicial y dos unidades hacia atrás. Así, el punto también tiene coordenadas polares r = - 2, 8 = 7T / 6.

EJEMPLO 1 Obtenga todas las coordenadas polares del punto P(2, 7T / 6).

~'-----'-_L--::----::-~ x Solución Trazamos el rayo inicial del sistema coordenado, dibujamos el rayo desde el ori-

FIGURA 11.20 Las coordenadas polares pueden tener valores de r negativos.

gen que forma un ángulo de 7T / 6 radianes con el rayo inicial, y marcamos el punto (2, 7T / 6) (figura 11.21). Después, encontramos los ángulos para los otros pares coordenados de P en los cuales r = 2 Y r = - 2.

Para r = 2, la lista completa de los ángulos es

7T 7T 6' 6 ± 27T,

7T 6 ± 47T,

7T 6 ± 67T, .. . .



77r/6

(2,~) = (_2,_5;)= (-2, 7;)

~'--_+.-'-..L---=-_---:-:-:-~XRayo inicial

-57T/6

FIGURA 11.21 El punto P(2, 7T/6) tiene

un número infinito de pares de coordenadas

polares (ejemplo 1).

r=(l

~--+--~x

FIGURA 11.22 La ecuación polar de una

circunferencia es r = a.

(a) y

o 2

(b) y/

// 7Te = 4'-3,s; r s: 2

//

(e) y

---~------+x

FIGURA 11.23 Las gráficas de

desigualdades típicas en r y () (ejemplo 3).

Para r = - 2, la lista de ángulos es

57T6 '

57T-- ± 27T

6 '57T

-- ± 47T6 '

Las correspondientes parejas de coordenadas de P son

n = O, ±1, ±2, ...

y

(-2 - 57T + 2n7T), 6 ' n = O, ±1, ±2, ....

Cuando n = O, las fórmulas dan (2, 7T/ 6) Y (- 2, 57T/ 6). Cuando n(-2, 77T/6), Y así sucesivamente.

1, dan (2, 137T/6) Y

•Ecuaciones polares y gráficasSi se mantiene r fija en un valor constante r = a "i=- O, el punto P(r, e) permanecerá a la Iunidades del origen O. Como e varía sobre cualquier intervalo de longitud 27T, P describe unacircunferencia de radio la I con centro en O (figura I 1.22).

Si mantenemos e fija en un valor constante e = eo y hacemos que r varíe entre -00 y 00,

el punto P(r, e) describe una recta que pasa por O y que forma un ángulo de magnitud eocon el rayo inicial.

Ecuación GráficaCircunferencia con radio la I y centro en el origen O

Recta que pasa por O formando un ángulo eo con el rayo inicial

r=ae = eo

EJEMPLO 2

(a) r = 1 Y r = -1 son las ecuaciones para la circunferencia de radio 1 centrada en O.

(b) e = 7T/ 6, e = 77T/ 6, Y e = - 57T/ 6 son ecuaciones para la recta de la figura 1l.2l. •Las ecuaciones de la forma r = a y e = eo pueden combinarse para definir regiones,

segmentos y rayos.

EJEMPLO 3 Grafique los conjuntos de puntos cuyas coordenadas polares satisfacen las si-guientes condiciones.

7T(a) lSrs2 y oses-

2

(b) -3SrS2 y e = ~4

(c)27T 57T

(no hay restricción sobre r)-ses-3 6

Soludón Las gráficas se presentan en la figura 11.23. •Relación entre coordenadas polares y coordenadas cartesianasCuando usamos tanto el sistema de coordenadas polares como el cartesiano en un plano, colo-camos los dos orígenes juntos y tomamos el rayo polar inicial como el eje x positivo. El rayo



y

Rayo 8 =~I e = 'TT/2, r > O,se convierte en la parte positiva del eje y (figura 11.24). Entonces, los dos sis-temas de coordenadas están relacionados por las siguientes ecuaciones.

P(x, y) = P(r, 8)Ecuaciones que relacionan las coordenadas polares y cartesianas

x = r cos e, y = r sen e, ? = x2 + l, tan e = ~8 = O, r e. o-+------~~~~~--~--~~~xRayo inicial

Las primeras dos ecuaciones determinan unívocamente las coordenadas cartesianas x y y da-das las coordenadas polares r y e. Por otro lado, si x y y son conocidas, la tercera ecuación dados posibles elecciones de r (una positiva y otra negativa). Para cada (x, y) =F (O, O), existe unúnico e E [O, 2'TT] que satisface las dos primeras ecuaciones, cada una de las cuales da unarepresentación en coordenadas polares del punto cartesiano (x, y). Las otras representacionesen coordenadas polares para el punto pueden determinarse a partir de estas dos, como en elejemplo l.

FIGURA11.24 La manera usual pararelacionar coordenadas polares y cartesianas.

EJEMPLO 4 He aquí algunas ecuaciones equivalentes expresadas en términos tanto de coor-denadas polares como cartesianas.

Ecuación polar Equivalente cartesiano

rcos e = 2,;2. cos e sen e = 4

? cos2 e - ,;2. sen2 e =

r = 1 + 2rcos er = l - cos e

x = 2

xy = 4x2-l=1

l - 3x2 - 4x - l = Ox4 + l + a2l + 2x3 + 2xl - l = O

Algunas curvas se expresan mejor en coordenadas polares; otras no. •y EJEMPLO 5

11.25).Determine la ecuación polar para la circunferencia x2 + (y - 3)2 = 9 (figura

Solucióntesianas:

Aplicamos las ecuaciones que relacionan las coordenadas polares con las car-

FIGURA11.25 La circunferencia delejemplo 5.

x2 + (y - 3)2 = 9

x2 + l -6y + 9 = 9

x2 + l- 6y = O? - 6rsene = O

r = O O r - 6 sen e = Or = 6 sen é

Desarrollar (y - 3f

Cancelación----~~~--------+x

Incluye ambas posibilidades

•EJEMPLO 6 Sustituya las siguientes ecuaciones polares por ecuaciones cartesianas equiva-lentes e identifique sus gráficas.(a) r cos e = -4(b) ? = 4r cos e

4(e) r = 2cose - sen f

Solución Usamos las sustituciones r cos e = x, r sen e = y, r2 = x2 + y2.

(a) rcose = -4

La ecuación cartesiana es: rcos e = -4x = -4

La gráfica es: Recta vertical que pasa por x = 4 en el eje x

y

Rayo 8 = ~I P(x, y) = P(r, 8)

8 = O, r ~ O -+--------~~~~--+_-------+ x

Rayo inicial

FIGURA 11.24 La manera usual para

re lacionar coordenadas polares y cartesianas.

y :? + (y - 3)2 = 9

----~~~-------+x

FIGURA 11.25 La circunferencia del

ejemplo 5.


e = 'Tí / 2, r > O, se convierte en la parte positiva del eje y (figura 11 .24). Entonces, los dos sistemas de coordenadas están relacionados por las siguientes ecuaciones.

Ecuaciones que relacionan las coordenadas polares y cartesianas

x = r cos e, y = r sen e, ? = x2 + l, tan e = ~

Las primeras dos ecuaciones determinan unívocamente las coordenadas cartesianas x y y dadas las coordenadas polares r y e. Por otro lado, si x y y son conocidas, la tercera ecuación da dos posibles elecciones de r (una positiva y otra negativa). Para cada (x, y) =F- (O, O), existe un único e E [O, 2 'Tí ] que satisface las dos primeras ecuaciones, cada una de las cuales da una representación en coordenadas polares del punto cartesiano (x, y). Las otras representaciones en coordenadas polares para el punto pueden determinarse a partir de estas dos, como en el ejemplo l.

EJEMPLO 4 He aquí algunas ecuaciones equivalentes expresadas en términos tanto de coor-denadas polares como cartesianas.

Ecuación polar

rcos e = 2

,;2. cos e sen e = 4

? cos2 e - ,;2. sen2 e =

r = 1 + 2rcos e r = 1 - cos e

Equivalente cartesiano

x = 2

xy = 4

x2 - l =

l - 3x2 - 4x - 1 = O

x4 + l + ~l + 2x3 + 2xl - l = O

Algunas curvas se expresan mejor en coordenadas polares; otras no. • EJEMPLO 5 11.25).

Determine la ecuación polar para la circunferencia x2 + (y - 3)2 = 9 (figura

Solución tesianas:

Aplicamos las ecuaciones que relacionan las coordenadas polares con las car-

X2 + (y - 3)2 = 9

x2 + l - 6y + 9 = 9

X2 + l - 6y = O

? - 6r sen e = O

r = O o r - 6 sen e = O r = 6 sen e

Desarrol lar (y - 3f Cancelación

x2+/= ?

Incluye ambas posibilidades

• EJEMPLO 6 Sustituya las siguientes ecuaciones polares por ecuaciones cartesianas equiva-lentes e identifique sus gráficas .

(a) r cos e = - 4

(b) ? = 4r cos e 4

( c) r = 2 cos e - sen e Solución Usamos las sustituciones r cos e = x, r sen e = y, r 2 = x2 + y2

(a) rcose = -4

La ecuación cartesiana es: rcos e = -4

x = -4

La gráfica es: Recta vertical que pasa por x = 4 en el eje x



(b) ?- = 4r cos e

La ecuación cartesiana es: ?- = 4rcos ex2 + l = 4x

x2 - 4x + l = o~ - 4x + 4 + l = 4

(x - 2)2 + l = 4

Completando el cuadrado

4

La gráfica es: Circunferencia, radio 2, centro (h, le) = (2, O)

(e) r = 2 cos e - sen eLa ecuación cartesiana es:

La gráfica es:

Ejerddos 11.3

r(2 cos e - sen e) = 4

2r cos e - r sen e = 4

2x-y=4

y=2x-4

Recta, pendiente m = 2, intersección en y, b = -4 •

Coordenadas polares1. ¿Cuáles pares de coordenadas polares representan el mismo punto?

a. (3, O) b. (-3, O) c. (2,27r/3)

d. (2,77r/3) e. (-3,7T) f. (2,7T/3)

g. (-3,27r) h. (-2, -7T/3)2. ¿Cuáles pares de coordenadas polares representan el mismo punto?

a. (-2,7T/3) b. (2, -7T/3) c. (r,e)

d. (r,e + 7T) e. (-r, 13) f. (2, -27T/3)

g. (-r,e + 7T) h. (-2, 27T/3)

3. Grafique los siguientes puntos (dados en coordenadas polares).Luego, determine todas las coordenadas polares de cada punto.

a. (2,7T/2)

c. (-2, 7T/2)

b. (2, O)

d. (-2, O)

4. Grafique los siguientes puntos (dados en coordenadas polares).Luego, determine todas las coordenadas polares de cada punto.

a. (3,7T/4)

c. (3, -7T/4)

b. (-3, 7T/4)

d. (-3,-7T/4)

Coordenadas polares a coordenadas cartesianas

5. Encuentre las coordenadas cartesianas de los puntos del ejercicio l.

6. Obtenga las coordenadas cartesianas de los siguientes puntos (dadosen coordenadas polares).

a. (v2, 7T/4)

c. (0,7T/2)

b. (1, O)

d. (-v2, 7T/4)

e. (-3,57T/6)

g. (-1,77T)

f. (5, tan-1 (4/3»

h. (2\13,27r/3)

Coordenadas cartesianas a coordenadas polares7. Obtenga las coordenadas polares, ° :o; 13 < 27T Y r 2: 0, de los si-

guientes puntos dados en coordenadas cartesianas.

a. (1,1)

c. (\13, -1)

b. (-3, O)

d. (-3,4)

8. Obtenga las coordenadas polares, -7T :o; 13 < 7T Y r - 0, de lossiguientes puntos dados en coordenadas cartesianas.

a. (-2, -2)

c. (-\13,1)

b. (0,3)

d. (5,-12)

9. Determine las coordenadas polares, ° :o; 13 < 27T Y r :o; 0, de los si-guientes puntos dados en coordenadas cartesianas.

a. (3, 3)

c. (-1, \13)

b. (-1, O)

d. (4, -3)

10. Obtenga las coordenadas polares, -7T :o; 13 < 27T Y r :o; 0, de lossiguientes puntos dados en coordenadas cartesianas.

a. (-2, O)

c. (O, -3)

b. (1, O)

d. (,;, t)Gráficas en coordenadas polaresGrafique los conjuntos de puntos cuyas coordenadas polares satisfacen lasecuaciones y desigualdades de los ejercicios 11 a 26.

11. r = 2 12. ° :o; r :o; 2

13. r 2: 1 14. 1 :o; r :o; 2


11.4 Gráficas en coordenadas polares 631

19. e = 7T12, r;;" o

16. e = 27T/3, r:5-2

18. e = 117T/4, r;;,,-1

20. e = 7T12, r s: o

43. ?- + 2?- cos e sen e = 1 44. cos? e = sen2 e45. ?- = -4rcose 46. ?- = -6rsene

47. r=8sene 48. r = 3 cos e49. r = 2 cos e + 2 sen e 50. r = 2 cos e - sen e

51. r sen (e + ~) = 2 52. r sen e; - e) = 5

15. o :5 e :5 7T16, r >: o17. e = 7T/3, -1:5 r :5 3

21. o :5 e :5 7T, r = 1 22. o :5 e :5 7T, r = -1

23. 7T/4 :5 e :5 37T/4, 0:5 r :5 1

24. -7T/4:5 e :5 7T/4, -1:5 r :5

25. -7T12:5 e :5 7T12, 1:5 r:5 2

26. o :5 (J :5 7T12, 1:5 11'1 :5 2

Ecuaciones cartesianas a poLaresSustituya las ecuaciones cartesianas de los ejercicios 53 a 66 por las ecua-ciones polares equivalentes.

53. x = 7 54. Y = 1

57. r + l = 4

55. x = y

58. x2 -l =Ecuaciones poLares a cartesianasSustituya las ecuaciones polares de los ejercicios 27 a 52 por las ecuacio-nes cartesianas equivalentes. Luego, describa o identifique la gráfica.

27. r cos ñ = 2 28. rsene = -1

29. rsene = O 30. rcos e = o31. r = 4csce 32. r=-3sece33. r cos e + r sen e = 1 34. r sen e = r cos e35. ,.2 = 1 36. ?- = 4rsene

37. 5 38. ?- sen ze = 21'= sen e - 2 cos e39. r = cot e ese e 40. r = 4 tan e sec e41. r = ese e ¿coso 42. r sen (J = In r + In cos e

56. x - y = 3

x2 l59. 9 +"4 = 1

61. l = 4x

63. r + (y - 2)2 = 4

65. (x - 3)2 + (y + 1? = 4

60. xy = 2

62. r + xy + l = l

64. (x - 5? + l = 25

66. (x + 2)2 + (y - 5)2 = 16

67. Obtenga todas las coordenadas polares del origen.

68. Rectas verticales y horizontales

a. Demuestre que toda recta vertical en el plano xy tiene unaecuación polar de la forma r = a sec (J.

b. Determine la ecuación polar análoga de las rectas horizontalesen el plano xy.

11.4 Gráficas en coordenadas poLares

Con frecuencia es útil tener la gráfica de una ecuación en coordenadas polares. Esta seccióndescribe las técnicas para graficar estas ecuaciones usando simetrías y tangentes a la gráfica.

SimetríaLa figura 11.26 ilustra las pruebas estándar para simetría en coordenadas polares. El siguienteresumen señala cómo se relacionan los puntos simétricos.

Pruebas de simetría para gráficas polares1. Simetría con respecto al eje x: Si el punto (r, O)está en la gráfica, el punto (r, -O)

o (- r, 7T - O) se halla sobre la gráfica (figura 11.26a).2. Simetría con respecto al eje y: Si el punto (r, O) se encuentra sobre la gráfica, el

punto (r, 7T - O) 0(- r, -O) se halla sobre la gráfica (figura 11.26b).3. Simetría con respecto al origen: Si el punto (r, O) se encuentra sobre la gráfica,

entonces el punto (-r, O) o (r, 0+ 7T) se halla sobre la gráfica (figura 11.26c).



y

(r, -O)o (-r, 7T - O)

(a) Con respecto al eje x

(r, 7T - O) Yo (-r, -O) (r, e)

-----"'i"----_xo

(b) Con respecto al eje y

y

(r, O)

---~---~x

(-r, O) o (r, O + 7T)

(e) Con respecto al origen

FIGURA 11.26 Tres pruebas para la

simetría en coordenadas polares.

PendienteLa pendiente de una curva polar r = f(e) en el plano xy está dada por dyf dx, que no esr' = df/dO. Para entender por qué, consideremos f como la gráfica de las ecuacionesparamétricas

x = r cos e = feO) cos o, y = rsen e = feO) sen e.

Si f es una función derivable de e, entonces también lo son x y y, y cuando dx/ de =;f=. 0, pode-mos calcular dy / dx con la fórmula paramétrica

dy dy/dOdx dx/dO

dde (f(O)· sen e)dde (f(e)· cos e)

dfde sen o + f(e) cos e

dfde cos e - feO) sen e

Sección 11.2, ecuación ( I )con I = e

Regla de productos para derivadas

Por lo tanto, vemos que dyf dx no es lo mismo que dff dñ,

Pendiente de la curva r = feO)

dyldx (r,e)

l' (e) sen e + f(e) cos el' (e) cos e - f(e) sen e '

siempre y cuando dx/ de =;f=. ° en (r, e).

Si la curva r = f(e) pasa por el origen cuando e = eo, entonces f(eo) = 0, y la ecuación parala pendiente da

dy I 1'(00) sen eodx (O,e

o) = f'(Oo)coseo = taneo·

Si la gráfica de r = f(e) pasa por el origen cuando e = eo, la pendiente de la curva ahí es tan eo·La razón por la que decimos "pendiente en (O, (0)" Yno sólo "pendiente en el origen" es queuna curva polar puede pasar por el origen (o cualquier punto) más de una vez, con pendien-tes diferentes para distintos valores de O. Sin embargo, éste no es el caso de nuestro primerejemplo.

EJEMPLO 1 Grafique la curva r = 1 - cos e.

Solución La curva es simétrica con respecto al eje x porque

(r, e) en la gráfica ==:> r = - cos e

==:> r = 1 - cos (-e) cos O = cos s--fid

==:> (r, -e) en la gráfica.


y

(r,8)

------~----~~ x

( r, -8) o (-r, 71" - 8)

(a) Con respecto al eje x

(r, 71" - 8) Y o (-r, - 8) (r, 8)

------~--------~ x o

(b) Con respecto al eje y

y /(,,'j ------~------~ x / 0

(-1', 8) o (r, 8 + 71")

(c) Con respecto al origen

FIGURA 11.26 Tres pruebas para la

simetría en coordenadas polares.

Pendiente

La pendiente de una curva polar r = f(e) en el plano xy está dada por dy/ dx, que no es r ' = df/ de. Para entender por qué, consideremos f como la gráfica de las ecuaciones paramétricas

x = r cos e = f(e) cos e, y = r sen e = f(e) sen e .

Sifes una función derivable de e, entonces también lo son x y y, y cuando dx/ de =F O, podemos calcular dy/ dx con la fórmula paramétrica

dy dy/ de

dx dx/ de Sección 1 1.2, ecuación ( 1 ) con 1 = ()

d de (f(e)· sen e)

d de (f(e)· cos e)

df de sen e + f(e) cos e

df Regla de productos para derivadas

de cos e - f(e) sen e

Por lo tanto, vemos que dy/ dx no es lo mismo que df/ de.

Pendiente de la curva r = f (6)

dy I l' (e) sen e + f(e) cos e

dx (r, O) = l' (e) cos e - f(e) sen e '

siempre y cuando dx/ de =F O en (r, e).

Si la curva r = j(e) pasa por el origen cuando e = ea, entonces f(e o) = O, Y la ecuación para la pendiente da

dy I 1'(eo) sen ea dx (0,00) = l' (ea) cos ea = tan ea·

Si la gráfica de r = f(e) pasa por el origen cuando e = ea, la pendiente de la curva ahí es tan ea. La razón por la que decimos "pendiente en (O, ea),' y no sólo "pendiente en el origen" es que una curva polar puede pasar por el origen (o cualquier punto) más de una vez, con pendientes diferentes para distintos valores de e. Sin embargo, éste no es el caso de nuestro primer ejemplo.

EJEMPLO 1 Grafique la curva r = 1 - cos e.

Solución La curva es simétrica con respecto al eje x porque

(r, e) en la gráfica ==* r = - cos e

==* r = 1 - cos ( - e) cos () = eos s-()d

==* (r, -e) en la gráfica.


e r=l-eose

o o121

322

3

227T3

(a)

(l 27T) Y2' 3

(7T, 2)--+--------:2:-----,,--JI(L--->- x

(b)

r = 1 - eos e ~

(7T,2)~-----2---~~-+

(e)

FIGURA 11.27 Los pasos al graficarla cardioide r = 1 - cos e (ejemplo 1).La flecha señala la dirección de aumentode é.

11.4 Gráficas en coordenadas polares 633

A medida que (J crece de Oa 7T',cos (J disminuye de 1 a -1, y r = 1 - cos (J aumenta de unvalor mínimo de Oa un valor máximo de 2. Conforme (J crece de 7T'a 27T', cos (J crece de -1 a 1y r decrece de 2 a O.La curva empieza a repetirse cuando (J = 27T'porque el coseno tiene unperiodo de 27T'.

La curva deja el origen con pendiente tan(O) = O y regresa al origen con pendientetan(27T')= O.

Hacemos una tabla de valores de (J = O a (J = 7T',graficamos los puntos, dibujamos unacurva suave a través de ellos con una tangente horizontal en el origen y reflejamos la curvacon respecto al eje x para completar la gráfica (figura 11.27). La curva se llama cardioidedebido a su forma de corazón. _

EJEMPLO 2 Grafique la curva r2 = 4 cos (J.

Solución La ecuación r2 = 4 cos (J requiere que cos (J ~ O,de manera que obtenemos toda lagráfica completa variando (J de -7T'/2 a 7T'/2. La curva es simétrica con respecto al eje x porque

(r, (J) en la gráfica => ? = 4 cos (J

=> ? = 4 cos ( -(J) cos e = eos (- e)

=> (r, -(J) en la gráfica.

La curva también es simétrica con respecto al origen porque

(r, (J) en la gráfica => ? = 4 cos (J

=> (- r)2 = 4 cos (J

=> (-r, (J) en la gráfica.

Estas dos simetrías juntas implican simetria con respecto al eje y.La curva pasa por el origen cuando (J = -7T'/2 Y (J = 7T'/2. Tiene una tangente vertical

en ambos casos porque tan (J es infinita.Para cada valor de (J en el intervalo entre -7T'/2 Y 7T'/2, la fórmula r2 = 4 cos (J da dos

valores para r:

r=±2~.

Hacemos una pequeña tabla de valores, graficamos los puntos correspondientes y usamoscomo guía la información acerca de la simetría y las tangentes para conectar los puntos conuna curva suave (figura 11.28).

! e cos e r= :'::2YeosO!

o 1 :'::2

+'!! V3 = :'::1.9-6 2+'!! I = :'::1.7-4 v2+'!! I = :'::1.4-3 2+'!! o o-2

yr2 = 4 cos e

(a)

/Ciclo para r = -2Yeos e,

_'!! < e < '!!2 - - 2

\Ciclo para r = 2Yeos e,

-~ :5 e :5 ~

(b)

FIGURA 11.28 La gráfica de r2 = 4 cos e. Las flechas indican la dirección deaumento de e. Los valores de r en la tabla están redondeados (ejemplo 2). -http://gratislibrospdf.com/


o 7f4

-)

lNo hay raíces cuadradasde números negativos

(b) r

r = +Vsen 2e

(e) y

r2 = sen ze

FIGURA 11.29 Para trazar r = f(e) en elplano cartesiano re en (b), primero trazamos,.2 = sen 2e en el plano r2e en (a) y luegoignoramos los valores de e para los cualessen 2e es negativo. Los radios del dibujo en(b) cubren la gráfica polar de la lemniscataen (c) dos veces (ejemplo 3).

Ejercicios 11.4

Una técnica para graficarUna manera de graficar una ecuación polar r = i(8) es hacer una tabla de valores (r, 8), gra-ficar los puntos correspondientes y conectarlos en orden creciente de 8. Esto puede funcionarbien si hay suficientes puntos para revelar todos los lazos y las depresiones en la gráfica. Otrométodo de graficación que normalmente es más rápido y más confiable es

1. primero graficar r = i(8) en el plano cartesiano r8,2. luego, usar la gráfica cartesiana como una "tabla" y guía para bosquejar la gráfica en

coordenadas polares.

Este método es mejor que graficar primero los puntos, porque la gráfica cartesiana, aun-que se dibuje de prisa, revela de inmediato dónde r es positiva, negativa y dónde no existe, asícomo dónde es creciente o decreciente. He aquí un ejemplo.

EJEMPLO 3 Grafique la curva lemniscata

r2 = sen28.

Solución Empezamos por graficar r? (no r) como una función de 8 en el plano cartesianor28. Observe la figura 11.29a. Pasamos de allí a la gráfica de r = ±V sen 28. en el plano r8(figura l1.29b), y luego dibujamos la gráfica polar (figura l1.29c). La gráfica en la figura11.29b "cubre" dos veces la gráfica polar final de la figura 11.29c. Podríamos entonces haberusado cualquier ciclo, o bien, las dos mitades superiores o las dos mitades inferiores de la grá-fica. Sin embargo, la cobertura doble no está de más al graficar, y de este modo aprendimosun poco más acerca del comportamiento de la función. •

USO DE LA TECNOLOGÍA Graficación de curvas poLares en forma para métricaEn el caso de curvas polares complicadas, sería recomendable utilizar una calculadora gráficao una computadora para graficar la curva. Si el dispositivo no dibuja gráficas polares directa-mente, podemos convertir r = i(8) a la forma paramétrica usando las ecuaciones

x = rcos8 = i(8) cos8, y = rsen8 = i(8) sen8.

.Luego usamos el dispositivo para dibujar una curva parametrizada en el plano cartesiano xy.Puede ser necesario usar el parámetro t en vez de 8 para el dispositivo de graficación.

Grafique las lemniscatas de los ejercicios 13 a 16. ¿Qué simetrías tienenestas curvas?

Simetrías y gráficas polaresIdentifique las simetrías de las curvas en los ejercicios I a 12. Luego tracelas curvas. 13. r2 = 4 cos 2e

15. ? = +sen ze14. ? = 4 sen 2e

16. ? = -cos 2eI. 1'= + cose 2. r = 2 - 2 cos e

3. 1'= - sen é 4. 1'= + sen é

5. r = 2 + sen e 6. r= + 2 sen é

7. r = sen (e/2) 8. l' = cos(e/2)

9. ,;2 = cos e 10. ? = sen é

1I. 1'2= -sen e 12. 1'2= +cos f

Pendientes de curvas polaresObtenga las pendientes de las curvas de los ejercicios 17 a 20 en los pun-tos dados. Trace las curvas con sus tangentes en estos puntos.

17. Cardioide r = -1 + cos e; e = ±7f/2

18. Cardioide r = -1 + sen e; e = 0, -tt

19. Rosa de cuatro pétalos r = sen 2e; e = ±7f/4, ±31T/4

20. Rosa de cuatro pétalos r = cos 2e; e = 0, ±1T/2, 1T


Gráficas de HmaconesGrafique los lirnacones de los ejercicios 21-24. Limacon ("Lee-ma-sahn")es un arcaísmo francés que significa "caracol". Usted entenderá el nombrecuando grafique los limacones del ejercicio 2l. Las ecuaciones para los"limacones tienen la forma r = a ± b cos e o r = a :': b sen e. Hay cuatroformas básicas.

21. Limacones con un lazo interior

1a. r = "2 + cose b. r = ~ + sen é

22. Cardioides

a. r = 1 - cos e b. r=-l+sene

23. Limacones con concavidades

3 b. r = 2_ sen éa. r = "2 + cos e 2

24. Limacones ovalados

a. r = 2 + cos e b. r = -2 + sen é

Gráficas de curvas y regiones polares25. Trace la región definida por las desigualdades - 1 :S r :S 2 Y

-71"/2:S e:s 71"/2.

26. Trace la región definida por las desigualdades O :S r :S 2 sec e y-71"/4:S e:s 71"/4.

En los ejercicios 27 y 28, bosqueje la región definida por ladesigualdad.

27. O :S r :S 2 - 2 cos e 28. O :S ? :S cos e

11.5 Áreas y longitudes en coordenadas polares 635

o 29. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene la misma gráfica quer = 1 - cos e?

a. r = - I - cos eb. r = I + cos eConfirme su respuesta con el álgebra.

¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene la misma gráfica que r = cos 2e?

a. r = -sen (2e + 71"/2)

b. r = -cos (e/2)

30.O

31.Confirme su respuesta con el álgebra.

Una rosa dentro de una rosa Grafique la ecuación r = I - 2 sen 3e.La nefroide de Freeth Grafique la nefroide de Freeth:032.

O er=I+2sen"2.

33. Rosas Grafique las rosas r = cos me para m = 1/3,2,3 y 7.

Espirales Las coordenadas polares son ideales para definir las es-pirales. Grafique las siguientes espirales.

a. r = e

034.

Ob. r = -ec. Una espiral logaritmica: r = e8/IO

d. Una espiral hiperbolica: r = 8/ee. Una hipérbola equilátera: r = ±10/Ve

(Use diferentes colores para las dos ramas).

11.5 Áreas y Longitudes en coordenadas poLares

y

--~~----~------------------~XoFIGURA 11.30 Para deducir una fórmulapara el área de la región OTS, aproximamosla región con sectores circulares en formade abanico.

Esta sección muestra cómo calcular el área de regiones planas y longitudes de curvas en coor-denadas polares. Las ideas detrás de las definiciones son las mismas que antes, pero las fórmu-las son diferentes para coordenadas polares y para coordenadas cartesianas.

Área en el planoLa región OTS de la figura 11.30 está acotada por los rayos 8 = a y 8 = f3, y la curva r = f(8).Aproximamos la región con n sectores circulares en forma de abanico y que no se traslapan,con base en una división P del ángulo TOS. El sector típico tiene un radio rk = f(8k) Yun án-gulo central de tl8k radianes. Su área es tl8k/27T veces el área de un CÍrculo de radio rk, o

El área de la región OTS es aproximadamente

Sif es continua, esperamos que las aproximaciones mejoren conforme la norma de la par-tición P tiende a cero, donde la norma de P es el valor más grande de tl8k_ Esto nos lleva a lasiguiente fórmula que define el área de la región:



y

FIGURA 11.31 La diferencial del área dApara la curva r = f(O).

y

--~~----------~~x

FIGURA 11.32 La cardioide del ejemplo l.

y

~~----------------~XoFIGURA 11.33 El área de la regiónsombreada se calcula restando el área dela región entre rl Yel origen del áreade la región entre r2 Yel origen.

FIGURA 11.34 La región y los límites deintegración del ejemplo 2.

Área de la región en forma de abanico entre el origen y la curvar = f( e), O'. :s; e :s; f3

ff3 lA = l; 2.?de.

Ésta es la integral de la diferencial del área (figura 1l.31)

EJEMPLO 1 Encuentre el área de la región en el plano, acotada por la cardioider = 2(1 + cos e).

Solución Graficamos la cardioide (figura 1l.32) y determinamos que el radio OP barre laregión exactamente una vez cuando e varía de O a 2'TT. Por lo tanto, el área es

¡o=211" 1 f211"1le=o 2. r2 de = lo 2..4(1 + cos ef de

r11"= lo 2(1 + 2 cos e + cos2 e) de

= 1211"(2 + 4 cos e + 2 1 + ~os 2e) de

f211"= lo (3 + 4 cos e + cos 2e) de

[sen ze ]211"

= 3e + -l sen f + -2- o = 6'TT - O = 6'TT. •Para hallar el área de la región como la de la figura 11.33, la cual se encuentra entre dos cur-

vas polares rl = rl(e) Yr: = r2(e) desde e = a hasta e = f3, restamos la integral de (l/2)rI2 dede la integral (1/2)ri de. Esto trae consigo la siguiente fórmula.

¡f3 ¡f3 ¡f312 12 122A = " 2. rz de - a 2. rl de = a 2. (r2 - rl ) de (1)

EJEMPLO 2 Obtenga el área de la región que se encuentra dentro de la circunferencia r = 1Yfuera de la cardioide r = 1 - cos e.

Solución Trazamos la región para determinar sus fronteras y obtener los límites de integra-ción (figura 1l.34). La curva exterior es ri = 1, la curva interior es rl = 1 - cos e, y e varíade - 'TT/2 a 'TT/2. El área, a partir de la ecuación 1, es


y

P(r, e)

--:o+""_""-L_-~.L-_---+ X

FIGURA 11.31 La diferencial del área dA

para la curva r = f(e) .

y r = 2(1 + cos e)

2~· P(r, e)

-~~-----~4~x

FIGURA 11.32 La cardioide del ejemplo 1.

y

(J = C/.

~~--------~x

FIGURA 11.33 El área de la región

sombreada se calcula restando el área de

la región entre 1'] y el origen del área

de la región entre r2 Y el origen.

FIGURA 11.34 La región y los límites de

integración del ejemplo 2.

Área de la región en forma de abanico entre el origen y la curva r = f( e), a :s; e :s; f3

Ésta es la integral de la diferencial del área (figura 1l.31)

EJEMPLO 1 Encuentre el área de la región en el plano, acotada por la cardioide r = 2(1 + cos e).

Solución Graficamos la cardioide (figura 11.32) y determinamos que el radio OP barre la región exactamente una vez cuando e varía de O a 2'TT'. Por 10 tanto, el área es

= 127T 2(1 + 2 cos e + cos2 e) de

= 127T (2 + 4 cos e + 2 1 + ~os 2e) de

= 127T(3 + 4 cos e + cos 2e) de

[sen 2e ]27T

= 3e + 4 sen e + - 2- o = 6'TT' - O = 6'TT'. •

Para hallar el área de la región como la de la figura 11 .33, la cual se encuentra entre dos curvas polares r] = 1'] (e) y r2 = r2(e) desde e = a hasta e = {3, restamos la integral de (1 / 2)r] 2 de de la integral (1 / 2)ri de. Esto trae consigo la siguiente fórmula.

Área de la región O :s; r)(e) :s; r :S; r2(e), a :s; e :s; f3

1 2 1 2 1 22 ¡ f3 ¡ f3 ¡ f3 A = " 2' r2 de - " 2' r) de = " 2' (r2 - r¡ ) de (1)

EJEMPLO 2 Obtenga el área de la región que se encuentra dentro de la circunferencia r = 1 Y fuera de la cardioide r = 1 - cos e.

Solución Trazamos la región para determinar sus fronteras y obtener los límites de integración (figura 11.34). La curva exterior es r2 = 1, la curva interior es r[ = 1 - cos e, y e varía de - 'TT' /2 a 'TT' /2. El área, a partir de la ecuación 1, es



17T/21A = 2" (rl - r?) dO

-7T/2(7T/2 1

= 2lo 2" (r} - r?) ae{7T/2

= lo (1 - (1 - 2cosO + cos20)) dO

{7T/2 {7T/2 (= lo (2 cos O - cos2 O) dO = lo 2 cos O -

[Osen 20 ]7T/2 -tt2senO----- =2--

2 4 o 4'

Simetría

Cuadrado de r\.

•El hecho de que podamos representar un punto de diferentes maneras en coordenadas polaresdemanda mayor cuidado para identificar cuando un punto está en la gráfica de una ecuación polary para determinar los puntos en los cuales las gráficas polares se intersecan. (En el ejemplo 2necesitamos los puntos de intersección). En coordenadas cartesianas, siempre podemos obtenerlos puntos donde dos curvas se cruzan resolviendo simultáneamente sus ecuaciones. En coorde-nadas polares es diferente. Las soluciones simultáneas pueden revelar algunos puntos de inter-sección y otros no, de manera que algunas veces es dificil obtener todos los puntos de intersec-ción de las dos curvas polares. Una manera de identificados es graficar las ecuaciones.

Longitud de una curva polarPodemos obtener una fórmula en coordenadas polares para la longitud de una curvar = feO), (X ::::; O ::::;(3,parametrizando la curva como

x = r cos O = feO) cos O, y = rsenO = f(O) sen é, (2)

La fórmula paramétrica de longitud, la ecuación (3) de la sección 11.2, da entonces la longitudcomo

{/3 (dx)2 (dy)2L = la dO + dO ae.

Esta ecuación se convierte en

cuando las ecuaciones (2) se sustituyen por x y y (ejercicio 29).

y

Longitud de una curva polarSi r = feO) tiene derivada continua para (X ::::; O ::::;(3y si el punto P(r, O) traza la curvar = feO) exactamente una sola vez al variar O de (X a {3,entonces la longitud de lacurva es

-----+----~~--~~~---+x

( )

22 dr

r + dO dO. (3)

r = 1 - cos e

EJEMPLO 3 Obtenga la longitud de la cardioide r = 1 - cos O.

FIGURA 11.35 Cálculo de la longitud de

una cardioide (ejemplo 3).

Solución Dibujamos la cardioide para determinar los límites de integración (figura 11.35).El punto P(r, O) traza la curva una sola vez, en sentido contrario a las manecillas del reloj, con-forme O va de Oa 27r, de manera que éstos son los valores que tomamos para (X y {3.

y

r = 1 - cos e

e ____ -+ ____ ~~--~~-L--~ x

FIGURA 11.35 Cálculo de la longitud de

una cardioide (ejemplo 3).


17T/ 2l

A = 2" (rl - r?) de - 7T/2

17T/ 2 l

= 2 - (rl - r?) de o 2

Simetría

{7T/2 = Jo (1 - (1 - 2 cos e + cos2 e)) de Cuadrado de rl.

{7T/2 2 {7T/2 ( 1 + ~os 2e) de = Jo (2 cos e - cos e) de = Jo 2 cos e -

[e sen 2e ]7T/2 7T

2sene- -- -- = 2--2 4 o 4' •

El hecho de que podamos representar un punto de diferentes maneras en coordenadas polares demanda mayor cuidado para identificar cuando un punto está en la gráfica de una ecuación polar y para determinar los puntos en los cuales las gráficas polares se intersecan. (En el ejemplo 2 necesitamos los puntos de intersección). En coordenadas cartesianas, siempre podemos obtener los puntos donde dos curvas se cruzan resolviendo simultáneamente sus ecuaciones. En coordenadas polares es diferente. Las soluciones simultáneas pueden revelar algunos puntos de intersección y otros no , de manera que algunas veces es dificil obtener todos los puntos de intersección de las dos curvas polares. Una manera de identificarlos es graficar las ecuaciones.

Longitud de una curva polar

Podemos obtener una fórmula en coordenadas polares para la longitud de una curva r = f(e), a ::S e ::S f3 , parametrizando la curva como

x = r cos e = f(e) cos e, y = r sen e = f(e) sen e, (2)

La fórmula paramétrica de longitud, la ecuación (3) de la sección 11 .2, da entonces la longitud como

{/3 (dx)2 (dy )2 L = le, dO + dO dO .

Esta ecuación se convierte en

cuando las ecuaciones (2) se sustituyen por x y y (ejercicio 29).

Longitud de una curva polar Si r = feO) tiene derivada continua para a ::S O ::S f3 y si el punto P(r, e) traza la curva r = f(e) exactamente una sola vez al variar O de a a f3, entonces la longitud de la curva es

2 dr ( )

2

r + dO dO. (3)

EJEMPLO 3 Obtenga la longitud de la cardioide r = 1 - cos O.

Solución Dibujamos la cardioide para determinar los límites de integración (figura 11.35). El punto P(r, O) traza la curva una sola vez, en sentido contrario a las manecillas del reloj , conforme O va de O a 27T, de manera que éstos son los valores que tomamos para a y f3.



Con

r = 1 - cos e, drde = sen e,

tenemos

(1 - cos e)2 + (sen e)2

- 2 cos e + cos2 e + sen2 e = 2 - 2 cos e~

y

(27rlo \12 - 2 cos e de

1 - cos o = 2 scrr' (0/2)

sen (0/2) ~ o para O os O os 27T

[e ]27T-4cos"2 o = 4 + 4 = 8. •

y

4. Dentro de la cardioide r = a(l + cos O), a > O

5. Dentro de un pétalo de una rosa de cuatro pétalos r = cos 20

6. Dentro de un pétalo de una rosa de tres pétalos r = cos 30

y

Ejerddos 11.5

Obtención de áreas polaresObtenga las áreas de las regiones de los ejercicios 1 a 8.

1. Limitada por la espiral r = O para O ::; O ::; 7T

·~--------------~~---+x(7T, 7T) O

2. Limitada por la circunferencia r = 2 sen O para 7T / 4 ::; O ::; 7T /2

y

O

7. Dentro de un lazo de la lemniscata r2 = 4 sen 20

8. Dentro de una rosa de seis pétalos r2 = 2 sen 30

Obtenga las áreas de las regiones en los ejercicios 9 a 16.

9. Compartida por las circunferencias r = 2 cos O y r = 2 sen (J

10. Compartida por las circunferencias r = l Y r = 2 sen O11. Compartida por la circunferencia r = 2 Y la cardioide r = 2( l - cos O)

12. Compartida por las cardioides r = 2(1 + cos O) y r = 2(1 - cos O)

13. Dentro de la lemniscata r2 = 6 cos 20 y fuera de la circunferencia

r= vi

________ ~~~~-L ~x

3. Dentro del óvalo del limacon r = 4 + 2 cos O


Con

tenemos

y

Ejerddos 11.5

Obtención de áreas polares Obtenga las áreas de las regiones de los ejercicios 1 a 8.

1. Limitada por la espiral r = e para O :S e :S 7T

y

--4---------------~~---+ x

2. Limitada por la circunferencia r = 2 sen e para 7T / 4 :S e :S 'ir / 2

y

________ -="+= __ --L-____ ~ X

3. Dentro del óvalo dellima90n r = 4 + 2 cos e

r = 1 - cos e, dr de = sene,

(l - cos ef + (sen e)2

- 2 cos e + cos2 e + sen2 e = 2 - 2 cos e ~

( 21T Jo Y2-2coS8d8

1 - cos () = 2 scn2 (()/ 2)

sen (()/ 2) 2: O para O :s () :S 27T

[e ]21T

-4 cos"2 o = 4 + 4 = 8.

4. Dentro de la cardioide r = a(1 + cos e), a> O

5. Dentro de un pétalo de W1a rosa de cuatro pétalos r = cos 2e 6. Dentro de un pétalo de una rosa de tres pétalos r = cos 3e

y

\\ r = cos31J

-~~X

Ú 7. Dentro de un lazo de la lemniscata r2 = 4 sen 2e 8. Dentro de una rosa de seis pétalos r 2 = 2 sen 3e

Obtenga las áreas de las regiones en los ejercicios 9 a 16.

9. Compartida por las circunferencias r = 2 cos e y l' = 2 sen e 10. Compartida por las circunferencias l' = 1 Y l' = 2 sen e

•

11. Compartida por la circunferencia r = 2 Y la cardioide r = 2(1 - cos e)

12. Compartida por las cardioides r = 2(1 + cos e) y r = 2(1 - cos e)

13. Dentro de la lemniscata 1'2 = 6 cos 2e y fuera de la circunferencia

l' = vi


14. Dentro de la circunferencia r = 3a cos e y fuera de la cardioider = a(1 + cos e), a > O

15. Dentro de la circunferencia r = -2 cos e y fuera de la circunferenciar=l

16. Dentro de la circunferencia r = 6 Y sobre la recta r = 3 ese e17. Dentro de la circunferencia r = 4 cos e y a la derecha de la recta ver-

tical r = sec e18. Dentro de la circunferencia r = 4 sen e y debajo de la recta horizontal

r=3csce19. a. Obtenga el área de la región sombreada en la siguiente figura.

y r=tane-TI <e < TI2 2

-1

20.

b. Parece que la gráfica de r = tan e, -7T /2 < 1:1< 7T/2 es asin-tótica a las rectas x = 1 Yx = -1. ¿Es así? Explique las razonesde su respuesta.

El área de la región que se encuentra dentro de la curva cardioider = cos e + 1 Yfuera de la circunferencia r = cos e no es

1 t"2)0 [(cose + 1)2 - cos2e] de = 7T.

¿Por qué no? ¿Cuál es el área? Fundamente su respuesta.

Obtención de longitudes de curvas polaresDetermine las longitudes de las curvas de los ejercicios 21 a 28.

21. La espiral r = e2, O $ e $ Vs22. La espiral r = eB/V2, O $ e $ 7T

23. La cardioide r = 1 + cos e24. La curva r = a sen? (e/2), O $ e $ 7T,a > O

25. El segmento parabólico r = 6/(1 + cos e), O $ e $ 7T/2

26. El segmento parabólico r = 2/0 - c~s e), 7T/2 $ e $ 7T

11.6 Secciones cónicas

11.6 Secciones cónicas 639

27. La curva r = cos3(1:I/3), O $ e $ 7T/4

28. La curvar = VI + sen Zé, O $ e $ 7TV2

29. La longitud de la curva r = f(e), ex $ e $ fJ Suponiendo quelas derivadas que sean necesarias son continuas, demuestre cómo lassustituciones

x = j(e) cos e, y = j(e) sen e

(ecuaciones 2 en el texto) transforman

(f3 (dx)2 (dy)2L = le, dO + dO ae

en

30. Perímetros de circunferencias Como es usual, cuando vemos unanueva fórmula, es buena idea aplicada sobre objetos familiares paraaseguramos de que produce resultados consistentes con la experien-cia pasada. Use la fórmula de la longitud de la ecuación (3) paracalcular el perímetro de las siguientes circunferencias (a > O).

a. r = a b. r = a cos e c. r = a sen eTeoría y ejemplos31. Valor promedio Si f es continua, el valor promedio de la coorde-

nada polar r sobre la curva r = f(e), a $ e $ f3, respecto a e estádado por la fórmula

1 (f3"prom = f3 - a)a j(e) de.

Use esta fórmula para encontrar el valor promedio de r con respectoa e sobre las siguientes curvas (a > O).

a. La cardioide r = a(1 - cos e)

b. La circunferencia r = a

c. La circunferencia r = a cos e, -7T /2 $ e $ 7T/2

32. r = f(e) versus r = 2f(l:I) ¿Se puede establecer alguna relaciónentre las longitudes de las curvas r = f(I:I), a $ e $ f3, Y r = 2f(e),a $ e $ f3? Argumente su respuesta.

En esta sección revisaremos y definiremos geométricamente las parábolas, las elipses y las hi-pérboles, y derivaremos sus ecuaciones cartesianas estándar. Estas curvas se \laman seccionescónicas, o simplemente cónicas, porque se forman cortando un cono doble con un plano(figura 11.36). Este método geométrico era la única manera que tenían los matemáticos grie-gos para describirlas, pues no contaban nuestras herramientas de coordenadas cartesianas opolares. En la siguiente sección expresaremos las cónicas en coordenadas polares.

Parábolas

DEFINICIONES El conjunto formado por todos los puntos en un plano que equi-distan de un punto fijo dado y una recta fija dada en el plano es una parábola. Elpunto fijo es el foco de la parábola. La recta fija es la directriz.

14. Dentro de la circunferencia r = 3a cos e y fuera de la cardioide r = a(1 + cos e), a > O

15. Dentro de la circunferencia r = - 2 cos e y fuera de la circunferencia r = l

16. Dentro de la circunferencia r = 6 Y sobre la recta r = 3 csc e 17. Dentro de la circunferencia r = 4 cos e y a la derecha de la recta ver

tical r = sec e 18. Dentro de la circunferencia r = 4 sen e y debajo de la recta horizontal

r=3csce

19. a. Obtenga el área de la región sombreada en la siguiente figura.

y r=tane _TI < e< TI

2 2

-_~I------~~~----~---+ X

b. Parece que la g ráfica de r = tan e, -7T / 2 < e < 7T / 2 es asintótica a las rectas x = 1 Y x = - 1. ¿Es as í? Explique las razones de su respuesta.

20. El área de la región que se encuentra dentro de la curva cardioide r = cos e + 1 Y fuera de la circunferencia r = cos e no es

1 t -r; 2)0 [(cose + 1)2 - cos2 e] de = 7T.

¿Por qué no? ¿Cuál es el área? Fundamente su respuesta.

Obtención de longitudes de curvas polares Determine las longitudes de las curvas de los ejercicios 21 a 28.

21. La espiral r = e2, O s e s v5 22. La espira l r = e8/V2, O S e s 7T

23. La cardioide r = 1 + cos e 24. La curva r = a sen2 (e / 2), O s e s 7T, a > O

25. El segmento parabólico r = 6/(1 + cos e), O s e s 7T/2

26. El segmento parabólico r = 2/ 0 - cos e), 7T/ 2 s e s 7T

11.6 Secciones cónicas


27. La curva r = cos3(e/3) , O s e s 7T / 4

28. La curva r = VI + sen 2e, O s e s 7T V2 29. La longitud de la curva r = f(e), O' s e s (3 Suponiendo que

las derivadas que sean necesarias son continuas, demuestre cómo las sustituciones

x = feO) cos e, y = f (e) sen e

(ecuaciones 2 en el texto) transforman

en

30. Perímetros de circunferencias Como es usual, cuando vemos una nueva fórmula , es buena idea aplicarla sobre objetos familiares para asegurarnos de que produce resu ltados consistentes con la experiencia pasada. Use la fórmula de la longitud de la ecuación (3) para calcular el perímetro de las siguientes circunferencias (a > O).

a. r = a b. r = a cos O c. r = a sen e

Teoría y ejemplos 31. Valor promedio Si f es continua, el valor promedio de la coorde

nada polar r sobre la curva r = feO) , a S e s {3, respecto a e está dado por la fórmula

1 { f3 rprom = {3 - a ) a f(e) de.

Use esta fórmula para encontrar el valor promedio de r con respecto a e sobre las siguientes curvas (a > O).

a. La cardioide r = a(1 - cos e)

b. La circunferencia r = a

c. La circunferencia r = a cos e, - 7T / 2 s e s 7T / 2

32. r = feO) versus r = 2f(e) ¿Se puede establecer alguna relación entre las longitudes de las curvas r = f(e) , a s e s {3, y r = 2f(e), a s e s {3? Argumente su respuesta.

En esta sección revisaremos y definiremos geométricamente las parábolas, las elipses y las hipérboles, y derivaremos sus ecuaciones cartesianas estándar. Estas curvas se llaman secciones cónicas, o simplemente cónicas, porque se forman cortando un cono doble con un plano (figura 11.36). Este método geométrico era la única manera que tenían los matemáticos griegos para describirlas, pues no contaban nuestras herramientas de coordenadas cartesianas o polares. En la siguiente sección expresaremos las cónicas en coordenadas polares.

Parábolas

DEFINICIONES El conjunto formado por todos los puntos en un plano que equidistan de un punto fijo dado y una recta fija dada en el plano es una parábola. El punto fijo es el foco de la parábola. La recta fija es la directriz.



Circunferencia: planoperpendicular al eje del cono

Elipse: plano oblicuo aleje del cono

Punto: plano a travésdel vértice del cono

Parábola: plano paraleloal lado del cono

Hipérbola: plano que cortalas dos mi tades del cono

(a)

Una recta: el planoes tangente al cono

Par de rectas que se intersecan

(b)

FIGURA 11.36 Las secciones cónicas estándar (a) son las curvas en las cuales un plano corta a un cono doble. Las hipérbolas constan de dos

partes, llamadas ramas. El punto y las rectas que se obtienen al hacer pasar el plano por el vértice del cono (b) son secciones cónicas degeneradas.

y

se encuentraa la mitad de la -::::......¡.-=-+------+xdistancia entre ladirectriz y el foco. P

Directriz: y = -p Q(x, -p)

FIGURA 11.37 Forma canónica de la

parábola x2 = 4py,p > o.

Si el foco I está en la directriz L, la parábola es la recta que pasa por I y es perpendicu-lar a L. Esto se considera un caso degenerado y, de aquí en adelante, se supondrá que I no estáen L.

La ecuación más simple para una parábola se obtiene cuando su foco se encuentra en unode los ejes y su directriz es perpendicular a éste. Por ejemplo, suponga que el foco está en elpunto 1(0, p) en la parte positiva del eje y, y que la directriz es la recta y = - p (figura 11.37).En la notación de la figura, un punto P(x, y) está en la parábola si y sólo si PF = PQ. A partirde la fórmula de la distancia

LPF = V(x - 0)2 + (y - p? = Vx2 + (y _ p)2

PQ = V(x - x)2 + (y - (-p)? = V(y + p?

Cuando igualamos estas expresiones, elevamos al cuadrado y simplificamos, obtenemos

o ~ = 4py. Forma canónica (1)

Estas ecuaciones revelan la simetría de la parábola con respecto al eje y. Al eje y lo llamamoseje de la parábola (una forma abreviada de "eje de simetría").

El punto donde una parábola cruza su eje es el vértice. El vértice de la parábola x2 = 4pyestá en el origen (figura 11.37). El número positivo p es la distancia focal de la parábola.


Ci rcunferencia: plano perpendicular al eje del cono

Elipse: plano oblicuo al eje del cono

Punto: plano a través del vértice del cono

(a)

Parábola: plano paralelo al lado del cono

Una recta: el plano es tangente al cono

(b)

Hipérbola: plano que corta las dos mi tades del cono

Par de rectas que se intersecan

FIGURA 11.36 Las secciones cónicas estándar (a) son las curvas en las cuales un plano corta a un cono doble. Las hipérbolas constan de dos

partes, ll amadas ramas. El punto y las rectas que se obtienen al hacer pasar el plano por el vértice del cono (b) son secciones cónicas degeneradas.

y

-=-=-_ ==---+----_ x distancia entre la directriz y el foco. p

Directriz: y = - p Q(x,-p)

FIGU RA 11.37 Forma canónica de la

parábola X2 = 4py, P > o.

L

Si el foco f está en la directriz L, la parábola es la recta que pasa por f y es perpendicular a L. Esto se considera un caso degenerado y, de aquí en adelante, se supondrá que f no está enL.

La ecuación más simple para una parábola se obtiene cuando su foco se encuentra en uno de los ejes y su directriz es perpendicular a éste. Por ejemplo, suponga que el foco está en el punto feO, p) en la parte positiva del eje y , y que la directriz es la recta y = -p (figura 11.37). En la notación de la figura, un punto P(x, y) está en la parábola si y sólo si PF = PQ. A partir de la fórmula de la distancia

PF = V(x - 0)2 + (y - p)2 = Vx2 + (y _ p)2

PQ = V (x - x)2 + (y - ( - p))2 = V (y + P f . Cuando igualamos estas expresiones, elevamos al cuadrado y simplificamos, obtenemos

o ~ = 4py. Forma canónica (1)

Estas ecuaciones revelan la simetría de la parábola con respecto al eje y. Al eje y lo llamamos eje de la parábola (una forma abreviada de "eje de simetría").

El punto donde una parábola cruza su eje es el vér tice. El vértice de la parábola x2 = 4py está en el origen (figura 11.37). El número positivo p es la distancia focal de la parábola.



Si la parábola abre hacia abajo, con su foco en (O, - p) y con directriz en la recta y = p,entonces las ecuaciones (1) se convierten en

:l-y=--

4p y x2 = -4py.

Intercambiando las variables x y y, obtenemos ecuaciones similares para parábolas que se abrena la derecha o a la izquierda (figura 11.38).

y y

-----~~~o-4-~x

Vértice

---~~~~---~x

Directrizx=p

Directrizx =-p

Vértice

(a) (b)

FIGURA 11.38 (a) La parábcla j-' = 4px. (b) La parábola y = -4px.

EJEMPLO 1 Obtenga el foco y la directriz de la parábola y2 = lOx.

Solución Determinamos el valor de p en la ecuación estándar de la parábola y2 = 4px:

Vértice

4p = 10, de manera que

Vértice Luego, determinamos el foco y la directriz para este valor de p:

Foco:

FIGURA 11.39 Puntos en el eje focal de

una elipse. Directriz: x = -p o 5x =-- 2· •Elipses

y

b DEFINICIONES Una elipse es el conjunto de puntos en un plano cuyas distancias ados puntos fijos en el plano tienen una suma constante. Los dos puntos fijos son losfocos de la elipse.

La recta que pasa por los focos de una elipse es el eje focal. El punto que está enel eje a la mitad de la distancia de los focos es el centro. Los puntos donde el ejefocal y la elipse se cruzan son los vértices de la elipse (figura 11.39).

--f-..,..::==-----....,..>-::---+--t-=a~ x

FIGURA 11.40 La elipse definida por la

ecuación PF¡ + PF2 = 2a es la gráfica de

la ecuación (x2 / a2) + eyz / b2) = 1, dondeb2 = a2 _ e2

Si los focos están en F¡( -e, O)y F2(c, O) (figura 11AO), y PF¡ + PF2 se denota por 2a,entonces las coordenadas de un punto P sobre la elipse satisfacen la ecuación

Vértice Vértice

FIGURA 11.39 Puntos en el eje focal de

una elipse.

y

b

FIGURA 11.40 La elipse definida por la

ecuación PF¡ + PFl = 2a es la gráfica de

la ecuación (x2 / al) + (y2 / b2) = 1, donde

b2 = a2 - e2.


Si la parábola abre hacia abajo, con su foco en (O, - p) Y con directriz en la recta y = p, entonces las ecuaciones (1) se convierten en

y} y =- -

4p y y} = -4py.

Intercambiando las variables x y y, obtenemos ecuaciones similares para parábolas que se abren a la derecha o a la izquierda (figura 11.38).

Directriz x =-p

Vértice

y y

Directriz x=p

Vértice

----~~~.-------_+x ----~-i~+_--+x

(a) (h)

FIGURA 11.38 (a) La parábolay = 4px. (b) La parábolay = -4px.

EJEMPLO 1 Obtenga el foco y la directriz de la parábola y = 10x.

Solución Determinamos el valor de p en la ecuación estándar de la parábola y2 = 4px:

4p = 10, de manera que

Luego, determinamos el foco y la directriz para este valor de p:

Foco:

Directriz: x = - p o

Elipses

DEFINICIONES Una elipse es el conjunto de puntos en un plano cuyas distancias a dos puntos fijos en el plano tienen una suma constante. Los dos puntos fijos son los focos de la elipse.

La recta que pasa por los focos de una elipse es el eje focal. El punto que está en el eje a la mitad de la distancia de los focos es el centro. Los puntos donde el eje focal y la elipse se cruzan son los vértices de la elipse (figura 1l.39).

•

Si los focos están en F¡( - e, O) y F2(c, O) (figura 11.40), y PF¡ + PF2 se denota por 2a, entonces las coordenadas de un punto P sobre la elipse satisfacen la ecuación

V(x + c)2 + l + V(x - c)2 + l = 2a .



Para simplificar esta ecuación, movemos el segundo radical al lado derecho, elevamos al cua-drado, despejamos el radical que queda y elevamos otra vez al cuadrado para obtener

(2)

Puesto que PF¡ + PF2 es mayor que la longitud F¡F2 (la desigualdad del triángulo para eltriángulo PF¡F2), el número 2a es mayor que 2e. De acuerdo con esto, a > e y el númeroa2 - e2 en la ecuación (2) es positivo.

Los pasos algebraicos que conducen a la ecuación (2) se pueden revertir para demostrarque todos los puntos P cuyas coordenadas satisfacen una ecuación de esta forma con O < e < atambién satisfacen la ecuación PF¡ + PF2 = 2a. Por lo tanto, un punto está en la elipse si ysólo si sus coordenadas satisfacen la ecuación (2).

Si

b=~ , (3)

entonces a2 - e2 = b2 y la ecuación (2) toma la forma

(4)

La ecuación (4) indica que esta elipse es simétrica con respecto al origen y a ambosejes coordenadas. Además, permanece dentro del rectángulo acotado por las rectas x = ±a yy = ±b. La elipse cruza los ejes en los puntos (±a, O)y (O, ±b). Las tangentes en estos puntosson perpendiculares a los ejes porque

Obtenida de la ecuación (4) por mediode la derivación implícita

es cero si x = Oe infinita si y = O.El eje mayor de la elipse en la ecuación (4) es el segmento de recta de longitud 2a que une

los puntos (±a, O). El eje menor es el segmento de recta de longitud 2b que une los puntos(O, ±b). El mismo número a es el semieje mayor, el número b el semieje menor. El número e,obtenido de la ecuación (3) como

es la distancia del centro al foco de la elipse. Si a = b, la elipse es una circunferencia.

2 2 Y~ + L = l16 9 (0,3)

Vértice(-4, O) (4, O)

\ /--~~~----~----~~-+~X

E3EMPLO 2 La elipse

(5)

(0,-3)

(figura 11.41) tiene

El semieje mayor: a = V16 = 4, semieje menor:

Distancia del centro al foco: e = \Il6=9 = V7Focos: (±e, O) = (± V7, O)

Vértices: (±a, O) = (±4, O)Centro: (O,O).

FIGURA 11.41 Una elipse con su eje mayorhorizontal (ejemplo 2). •

Si intercambiamos x y y en la ecuación (5), tenemos la ecuación

x2 l9+16= 1. (6)

El eje mayor de esta elipse es ahora vertical en vez de horizontal, con los focos y vértices enel eje y. No hay confusión en el análisis de las ecuaciones (5) y (6). Si encontramos las inter-secciones en los ejes coordenadas, sabremos cuál es el eje mayor porque es el más grandede los dos.


? 2 Y ~+L=I 16 9 (0,3)

(0, -3)

FIGURA 11.41 Una elipse con su eje mayor horizontal (ejemplo 2).

Para simplificar esta ecuación, movemos el segundo radical al lado derecho, elevamos al cuadrado, despejamos el radical que queda y elevamos otra vez al cuadrado para obtener

(2)

Puesto que PF1 + PF2 es mayor que la longitud FIF2 (la desigualdad del triángulo para el triángulo PF1F2), el número 2a es mayor que 2e. De acuerdo con esto, a > e y el número a2 - e2 en la ecuación (2) es positivo.

Los pasos algebraicos que conducen a la ecuación (2) se pueden revertir para demostrar que todos los puntos P cuyas coordenadas satisfacen una ecuación de esta forma con O < e < a también satisfacen la ecuación PF1 + PF2 = 2a. Por lo tanto, un punto está en la elipse si y sólo si sus coordenadas satisfacen la ecuación (2).

Si

b=~ , (3)

entonces a2 - e2 = b 2 y la ecuación (2) toma la forma

(4)

La ecuación (4) indica que esta elipse es simétrica con respecto al origen y a ambos ejes coordenados. Además, permanece dentro del rectángulo acotado por las rectas x = ±a y y = ±b. La elipse cruza los ejes en los puntos (±a, O) y (O, ±b). Las tangentes en estos puntos son perpendiculares a los ejes porque

es cero si x = O e infinita si y = O.

dy

dx Obtenida de la ecuación (4) por medio de la derivación implícita

El eje mayor de la elipse en la ecuación (4) es el segmento de recta de longitud 2a que une los puntos (±a, O). El eje menor es el segmento de recta de longitud 2b que une los puntos (O, ±b). El mismo número a es el semieje mayor, el número b el semieje menor. El número e, obtenido de la ecuación (3) como

es la distancia del centro al foco de la elipse. Si a = b, la elipse es una circunferencia.

EJEMPLO 2 La elipse

(figura 11.41) tiene

El semieje mayor: a = Vi6 = 4, semieje menor: b = -v9 = 3

Distancia del centro al foco: e = -ví6=9" = V7 Focos: (±e, O) = (± V7, O)

Vértices: (±a, O) = (±4, O)

Centro: (O, O).

Si intercambiamos x y yen la ecuación (5), tenemos la ecuación

~ l 9+1(5= l.

(5)

•

(6)

El eje mayor de esta elipse es ahora vertical en vez de horizontal , con los focos y vértices en el eje y. No hay confusión en el análisis de las ecuaciones (5) y (6). Si encontramos las intersecciones en los ejes coordenados, sabremos cuál es el eje mayor porque es el más grande de los dos.


FIGURA 11.42 Puntos en el eje focal deuna hipérbola.

y

x=-a x=a

-----W1---~----~~--~x

FIGURA 11.43 Las hipérbolas tienen dosramas. Para puntos en la rama derecha de lahipérbola mostrada aquí, PF¡ - PF2 = 2a.Para los puntos en la rama izquierda de lahipérbola mostrada aquí, PF2 - PF¡ = 2a.Entonces hacemos b = ~.


Ecuaciones en forma canónica para las elipses con centro en el origen

x2+1=1a2 b2

Foeos sobre el eje x: (a > b)

Distancia del centro al foco: e = Va2 - b2

Focos: (±e, O)

Vértices: (±a, O)

x2 1--+--=b2 a2

(a > b)Foeos sobre el eje y:


Focos: (O, ±e)

Vértices: (O, ±a)

En cada caso, a es el semieje mayor y b es el semieje menor.

Hipérbolas

DEFINICIONES La hipérbola es el conjunto de puntos en un plano, cuyas distan-cias a dos puntos fijos del plano tienen diferencia constante. Los dos puntos fijos sonlos focos de la hipérbola.

La recta que pasa por los focos de una hipérbola es el eje focal. El punto queestá en el eje focal a la mitad de la distancia entre los focos es el centro de la hi-pérbola. Los puntos donde el eje focal y la hipérbola se cruzan son los vértices(figura 11.42).

Si los focos están en F¡( -e, O)y F2(e, O)(figura 11.43) y la diferencia constante es 2a, en-tonces el punto (x, y) está en la hipérbola si y sólo si

V(x + e)2 + 1 - V(x - e? + 1 = ±2a. (7)

Para simplificar esta ecuación, movemos el segundo radical al lado derecho, elevamos al cua-drado, despejamos el radical que queda y elevamos otra vez al cuadrado, para obtener

1. (8)

Hasta el momento, esta ecuación se parece a la de la elipse. Pero ahora a2 - e2 es negativoporque 2a, al ser la diferencia de dos lados del triángulo PF¡F2, es menor que 2e, el tercer lado.

Los pasos algebraicos que conducen a la ecuación (8) se pueden revertir para demostrarque todo punto P cuyas coordenadas satisfacen la ecuación de esta forma con O< a < e tam-bién satisfacen la ecuación (7). Por lo tanto, un punto está en la hipérbola si y sólo si sus coor-denadas satisfacen la ecuación (8).

Si denotamos por b a la raíz cuadrada positiva de e2 - a2,

b=~ , (9)

entonces, a2 - e2 = - b2 y la ecuación (8) se escribiría en forma compacta así:

(10)

FIGURA 11.42 Puntos en el eje focal de una hipérbola.

y

x = - a x =a

----~4_--~----~~---+ x

FIGURA 11.43 Las hipérbolas tienen dos ramas. Para puntos en la rama derecha de la hipérbola mostrada aquí, PF¡ - PF2 = 2a.

Para los puntos en la rama izquierda de la hipérbola mostrada aquí, PF2 - PF¡ = 2a.

Entonces hacemos b = ~.


Ecuaciones en forma canónica para las elipses con centro en el origen

Focos sobre el eje x: x2+1= 1 a2 b2

(a > b)


Focos: (±e, O)

Vértices: (±a, O)

x2 I - +-= b2 a2

(a > b) Focos sobre el eje y :


Focos: (O, ±e)

Vértices: (O, ±a)

En cada caso, a es el semieje mayor y b es el semieje menor.

Hipérbolas

DEFINICIONES La hipérbola es el conjunto de puntos en un plano, cuyas distancias a dos puntos fijos del plano tienen diferencia constante. Los dos puntos fijos son los focos de la hipérbola.

La recta que pasa por los focos de una hipérbola es el eje focal. El punto que está en el eje focal a la mitad de la distancia entre los focos es el centro de la hipérbola. Los puntos donde el eje focal y la hipérbola se cruzan son los vértices (figura 11.42).

Si los focos están en F¡( -e, O) y F2(e, O) (figura 11.43) y la diferencia constante es 2a, entonces el punto (x, y) está en la hipérbola si y sólo si

V(x + e)2 + I - V(x - e? + I = ±2a. (7)

Para simplificar esta ecuación, movemos el segundo radical al lado derecho, elevamos al cuadrado, despejamos el radical que queda y elevamos otra vez al cuadrado, para obtener

1. (8)

Hasta el momento, esta ecuación se parece a la de la elipse. Pero ahora a2 - e2 es negativo porque 2a, al ser la diferencia de dos lados del triángulo PF¡F2, es menor que 2e, el tercer lado.

Los pasos algebraicos que conducen a la ecuación (8) se pueden revertir para demostrar que todo punto P cuyas coordenadas satisfacen la ecuación de esta forma con O < a < e también satisfacen la ecuación (7). Por lo tanto, un punto está en la hipérbola si y sólo si sus coordenadas satisfacen la ecuación (8).

Si denotamos por b a la raíz cuadrada positiva de e 2 - a2,

b=~ , (9)

entonces, a2 - e2 = - b2 y la ecuación (8) se escribiría en forma compacta así:

(10)



Las diferencias entre la ecuación (10) y la ecuación para una elipse (ecuación 4) son el signomenos y la nueva relación

De la ecuación (9)

Como en la elipse, la hipérbola es simétrica con respecto al origen y a los ejes coor-denados. Cruza el eje x en los puntos (±a, O). Las tangentes en estos puntos son verticalesporque

Obtenida de la ecuación (10) por medio dederivación implícita

es infinita cuando y = O. La hipérbola no tiene intersecciones con el eje y; de hecho, ningunaparte de la curva está entre las rectas x = -a y x = a.

Las rectas

son las dos asíntotas de la hipérbola definida por la ecuación (10). La manera más rápida dedeterminar las ecuaciones para las asíntotas es sustituir el 1 en la ecuación (10) por O y despejaryen la nueva ecuación:

'-------r--'asíntotashipérbola O por 1

EJEMPLO 3 La ecuación

y=Ysx¿/2 ¿

¿

"/x2 l/ ---=1/ 4 5

/

x2 I---= 14 5

(11)

------~~~~~--------~x

es la ecuación (10) con a2 = 4 Yb2 = 5 (figura 11.44). Tenemos

Distancia entre el centro y el foco: c = Va2 + b2 = \14"+5 = 3Focos: (±c, O) = (±3, O), Vértices: (±a, O) = (±2, O)Centro: (O, O)

x2 IAsíntotas: - - - - O4 5- •Vso y = ±--2-x.

Si intercambiamos x y y en la ecuación (11), los focos y los vértices de la hipérbola resul-tante estarán en el eje y. Encontraremos las asíntotas del mismo modo que antes, pero ahora susecuaciones serán y = ±2x/Vs.

FIGURA 11.44 La hipérbola del ejemplo 3

y sus asíntotas.

Ecuaciones en forma canónica para las hipérbolas con centro en el origen

2 1Focos en el eje x:~ - -- = Focos en el eje y:

a2 b2

Distancia entre el centro y el foco: c = Va2 + b2

Focos: (O, ±c)Vértices: (O, ±a)

I x2Asíntotas: - - - = O o y = ±Q.x

a2 b2 b

Distancia entre el centro y el foco: e = Va2 + b2

Foco: (±c, O)

Vértices: (±a, O)

r y2 bAsíntotas: - - - = O o y = ±(ix

a2 b2

Observe la diferencia en las ecuaciones para las asíntotas (en la primera bf a, en la segunda a/b).


-------.~~~~ __ ------~x

FIGURA 11.44 La hipérbola del ejemplo 3

y sus asíntotas.

Las diferencias entre la ecuación (10) y la ecuación para una elipse (ecuación 4) son el signo menos y la nueva relación

De la ecuación (9)

Como en la elipse, la hipérbola es simétrica con respecto al origen y a los ejes coordenados. Cruza el eje x en los puntos (±a, O). Las tangentes en estos puntos son verticales porque

dy

dx Obtenida de la ecuación (10) por medio de derivación implícita

es infinita cuando y = O. La hipérbola no tiene intersecciones con el eje y; de hecho, ninguna parte de la curva está entre las rectas x = -a y x = a.

Las rectas

son las dos asíntotas de la hipérbola definida por la ecuación (10). La manera más rápida de determinar las ecuaciones para las asíntotas es sustituir el 1 en la ecuación (10) por O y despejar yen la nueva ecuación:

hipérbola

EJEMPLO 3 La ecuación

O por 1

X2 I 4 - 5= 1

'---------r--'

asíntotas

es la ecuación (10) con a2 = 4 Y b2 = 5 (figura 11.44). Tenemos

Distancia entre el centro y el foco: c = Va2 + b2 = -v'4+5 = 3

Focos: (±c, O) = (±3, O), Vértices: (±a, O) = (±2, O)

Centro: (O, O)

Asíntotas: X2 I -- - = O 4 5

Vs o y = ±-2- x .

(11)

• Si intercambiamos x y yen la ecuación (11), los focos y los vértices de la hipérbola resul

tante estarán en el eje y . Encontraremos las asíntotas del mismo modo que antes, pero ahora sus

ecuaciones serán y = ±2x/ Vs.

Ecuaciones en forma canónica para las hipérbolas con centro en el origen

2 I Focos en el eje x:~ - -- = Focos en el eje y:

a2 b2

Distancia entre el centro y el foco: c = Va2 + b2

Foco: (±c, O)

Vértices: (±a, O)

Asíntotas: x2 _ I = O o y = ±% x a2 b2

Distancia entre el centro y el foco : c = Va2 + b2

Focos: (O, ±c)

Vértices: (O, ±a)

Asíntotas: o y = ±Q.x b

Observe la diferencia en las ecuaciones para las asíntotas (en la primera b/ a, en la segunda a/ b).



Cambiamos las cónicas usando los principios revisados en la sección 1.2, sustituyendo xpor x + h y Y por Y + k.

EJEMPLO 4 Demuestre que la ecuación x2 - 41 + 2x + 8y - 7 = O representa unahipérbola. Encuentre su centro, asíntotas y focos.

Solución Reducimos la ecuación a la forma canónica completando el cuadrado en x y ycomo sigue:

(~ + 2x) - 4(l - 2y) = 7

(x2 + 2x + 1) - 4(l - 2y + 1) = 7 + 1 - 4

(x + 1)2-'------,----'--- (y - 1)2 = l.

4

Ésta es la forma canónica de la ecuación (10) de una hipérbola con x sustituida por x + 1 YY reemplazada por y - l. La hipérbola se desplaza una unidad a la izquierda y una unidad haciaarriba, y tiene su centro en x + 1 = O YY - 1 = O, o x = -1 YY = l. Aún más,

de manera que las asíntotas son las dos rectas

x + 1-- - (y - 1) = O2

y x ; 1 + (y _ 1) = O.

Los focos trasladados tienen coordenadas ( -1 ± Vs, 1). •

Ejerddos 11.6

Identificación de gráficasRelacione las parábolas de los ejercicios 1 a 4 con las siguientes ecua-ciones:

Haga corresponder cada sección cónica de los ejercicios 5 a 8 con una deestas ecuaciones:

y 2.

x2 l x2

4+9= 1, -+l= 1,2

l ~ l--~= 1, --- 1.4 4 9

x2 = 2y, x2 = -6y, l = 8x, y2 = -4x.

Luego determine el foco y la directriz de cada parábola.

1. y

-+-----+x -----I--~x

Luego, determine los focos y vértices de las secciones cónicas. Si la sec-ción cónica es una hipérbola, determine también sus asíntotas.

5. y 6. y

---I-+-+-~x -+--+--+ ...•x

3. y 4. y



7. 8.y y

---+-_x--+-----l-----+_x

ParábolasEn los ejercicios 9 a 16 se dan ecuaciones de parábolas. Obtenga el focoy la directriz de cada parábola. Luego dibuje la parábola. Incluya el foco yla directriz en su dibujo.

9. i = l2x 10. x2 = 6y

Y = 4x2

x = 2i

11. x2 = -8y

14. Y = -8x212. i = -2x

15. x = -3i

13.

16.

ElipsesLos ejercicios 17 a 24 presentan ecuaciones de elipses. Exprese cadaecuación en su forma canónica. Luego dibuje la elipse. Incluya los focosen su dibujo.

17. 16x2+ 25i = 400

19. 2x2 + i = 2

21. 3~ + 2i = 6

23. 6x2 + 9i = 54

18. 7x2 + 16i = 112

.20. 2x2 + i = 4

22. 9~ + 10i = 90

24. l69x2 + 25i = 4225

Los ejercicios 25 y 26 tienen información acerca de los focos y vérticesde elipses con centro en el origen del plano xy. En cada caso, determinela ecuación en la forma canónica a partir de la información dada.

25. Focos: (± Vi O) Vértices: (±2, O)

26. Focos: (O, ±4) Vértices: (O, ±5)

HipérboLasLos ejercicios 27 a 34 tienen ecuaciones para hipérbolas. Exprese cadaecuación en su forma canónica y determine las asíntotas de las hipérbolas.Luego dibuje la hipérbola, incluyendo sus asíntotas y focos.

27. ~ -i = 1 28. 9x2 - 16i = 144

29. i-x2=8 30. i- ~ = 444.

31. 8x2 - 2i = 16 32. i - 3x2 = 3

33. 8i - 2x2 = 16 34. 64x2 - 36i = 2304

Los ejercicios 35 a 38 tienen información acerca de los focos, los vérticesy las asíntotas de hipérbolas con centro en el origen del plano xy. En todoslos casos determine la ecuación en forma canónica de la hipérbola a partirde la información dada.

35. Focos: (O, ±V2) 36. Focos: (±2, O)

Asíntotas: Asíntotas: 1y = ±x y = ±--xv337. Vértices: (±3, O) 38. Vértices: (O, ±2)

Asíntotas: 4Asíntotas: ±lxy = ±3x y=

2

DespLazamiento de secciones cónicasSería útil que revisara la sección 1.2 antes de resolver los ejercicios 39a 56.

39. La parábola y = 8x se desplaza 2 unidades hacia abajo y I unidada la derecha para generar la parábola ()I + 2)2 = 8(x - 1).

a. Obtenga el vértice, el foco y la directriz de la nueva parábola.

b. Grafique el nuevo vértice, foco y directriz y bosqueje laparábola.

40. La parábola x2 = -4y se desplaza I unidad hacia la izquierda y3 unidades hacia arriba para generar la parábola(x + 1)2 = -4()1- 3).

a. Determine el vértice, foco y directriz de la nueva parábola.

b. Trace el nuevo vértice, foco y directriz y bosqueje laparábola.

41. La elipse (x2/ 16) + ()I2/9) = 1 se desplaza 4 unidades hacia la de-recha y 3 unidades hacia arriba para generar la elipse

(x - 4)2 (y - 3)216 + 9 l.

42.

a. Obtenga los focos, los vértices y el centro de la nueva elipse.

b. Trace los nuevos focos y vértices, y bosqueje la elipse.

La elipse (x2/9) + ()I2/25) = 1 se desplaza 3 unidades hacia la iz-quierda y 2 unidades hacia abajo para generar la elipse

(X+3)2 (y+2?9 + 25

1.

a. Obtenga los focos, vértices y centro de la nueva elipse.

b. Trace los nuevos focos, vértices y centro, y bosqueje la elipse.

43. La hipérbola (x2/ 16) - ()I2/9) = I se desplaza 2 unidades hacia laderecha para generar la hipérbola

(x - 2?16

l9

1.

a. Determine el centro, los focos, los vértices y las asíntotas de lanueva hipérbola.

b. Grafique el centro, los focos, los vértices y las asíntotas nuevosy bosqueje la hipérbola.

La hipérbola cY/4) - (x2/5) = l se desplaza 2 unidades hacia abajopara generar la hipérbola

(y + 2)24

~5

l.

a. Obtenga el centro, los focos, los vértices y las asíntotas de lanueva hipérbola.

b. Trace el centro, los focos, los vértices y las asíntotas nuevos ybosqueje la hipérbola.

Los ejercicios 45 a 48 incluyen ecuaciones para parábolas y definen cuán-tas unidades hacia arriba o hacia abajo y a la derecha o a la izquierda se vaa desplazar cada parábola. Determine la ecuación para la parábola nueva yencuentre el vértice, el foco y la directriz nuevos.

45. y2 = 4x, izquierda 2, abajo 3 46. y2 = -12x, derecha 4, arriba 3

47. x2 = 8y, derecha 1, abajo 7 48. x2 = 6y, izquierda 3, abajo 2


Los ejercicios 49 a 52 presentan ecuaciones para elipses e indican cuántasunidades hacia arriba o hacia abajo y a la derecha o a la izquierda se des-plaza cada elipse. Determine una ecuación para la nueva elipse y encuen-tre los focos, los vértices y el centro nuevos.

x2 149. (5 + 9 = 1,

X2

50. ~ + 1= 1,

x2 151. 3+2= 1,

izquierda 2, abajo 1

derecha 3, arriba 4

derecha 2, arriba 3

x2 152. 16 + 25 = 1, izquierda 4, abajo 5

Los ejercicios 53 a 56 presentan ecuaciones para hipérbolas e indicancuántas unidades hacia arriba o hacia abajo y a la derecha o a la izquierdase desplaza cada hipérbola. Determine una ecuación para la hipérbolanueva y encuentre el centro, los focos, los vértices y las asíntotas nuevos.

2 253. :¡- - ~ 1, derecha 2, arriba 2

x2 154. 16 - 9 = 1, izquierda 2, abajo I

55.1- x2 = 1,

156. 3- x2 = 1,


derecha 1, arriba 3

Obtenga el centro, los focos, los vértices, las asíntotas y el radio, comoproceda, de las secciones cónicas de los ejercicios 57 a 68.

57. x2 + 4x + 1 = 12

58. 2x2 + 21 - 28x + 12y + 114 = O

59. x2 + 2x + 4y - 3 = O 60.1- 4y - 8x - 12 =0

61. x2 + 5y2 + 4x = l 62. 9~ + 61 + 36y = O

63. x2 + 21 - 2x - 4y = - l

64. 4x2 + 1 + 8x - 2y = -1

65. x2 - 1- 2x + 4y = 4

67. 2x2 - 1 + 6y = 3

66. x2.- 1+ 4x - 6y = 6

68. 1 - 4x2 + 16x = 24

leona y ejemplos69. Si se dibujan rectas paralelas a los ejes coordenadas que pasen por

un punto P sobre la parábola y = 1oc, k > O, la parábola divide la re-gión rectangular acotada por estas rectas y los ejes en dos pequeñasregiones, A y B.

a. Si las dos regiones más pequeñas giran alrededor del eje y,demuestre que generan sólidos cuyos volúmenes tienen unaproporción de 4: l.

b. ¿Cuál es la razón de los volúmenes generados cuando las regionesgiran alrededor del eje x?

y

l=kx

B

p

~O~--------------~--+x


70. Los cables de los puentes colgantes describen parábolas El cabledel puente colgante ilustrado en la figura soporta una carga uniformede w libras por ft horizontal. Puede demostrarse que si H es la tensiónhorizontal del cable en el origen, entonces la curva del cable satisfacela ecuación

dy wdx = lix.

Demuestre que el cable cuelga en forma de parábola resolviendoesta ecuación diferencial sujeta a la condición inicial y = O cuandox = O.

71. Anchura de una parábola en el foco Demuestre que el número 4pes el ancho de la parábola x2 = 4py (p > O) en el foco, comprobandoque la recta y = p corta la parábola en los puntos que están separados4p unidades.

72. Las asíntotas de (x2/a2) - (y2/b2) = 1 Demuestre que la distanciavertical entre la recta y = (b/ a)x y la mitad superior de la rama

derecha y = (b/a)'V~ - a2 de la hipérbola (x2/a2) - (y2/b2) = 1

tiende a cero, comprobando que

lím (Qx - Q~) = Q lím (x - V~ - a2) = O.x-.oo a a a x~oo

Resultados análogos se obtienen para las partes restantes de la hipér-bola y las rectas y = -:!::.(b/a)x.

73. Área Obtenga las dimensiones del rectángulo de mayor área que sepuede inscribir en la elipse x2 + 4y = 4 con lados paralelos a los ejescoordenadas. ¿Cuál es el área del rectángulo?

74. Volumen Obtenga el volumen del sólido generado al girar la re-gión interior de la elipse 9x2 + 4y2 = 36 alrededor de (a) el eje x,(b) el eje y.

75. Volumen La región "triangular" en el primer cuadrante acotadapor el eje x, la recta x = 4 Y la hipérbola 9x2 - 4y2 = 36 gira alre-dedor del eje x para generar un sólido. Determine el volumen de esesólido.

76. Tangentes Demuestre que las tangentes a la curva y2 = 4px desdecualquier punto de la recta x = -p son perpendiculares.

77. Tangentes Determine las ecuaciones para las tangentes a la circun-ferencia (x - 2)2 + (y - 1)2 = 5 en los puntos donde la circunferen-cia cruza los ejes coordenadas.

78. Volumen La región acotada a la izquierda por el eje y, a la derechapor la hipérbola x2 - y2 = 1, y arriba y abajo por las rectas y = -:!::.3gira alrededor del eje x para generar un sólido. Obtenga el volumendel sólido.

79. Centroide Determine el centroide de la región acotada por abajopor el eje x y por arriba por la elipse (x2/9) + (y2/ 16) = l.

80. Área de superficies La curva y = W+l, O oS X oS ví, quees parte de la rama superior de la hipérbola y - x2 = 1, gira alre-dedor del eje x para generar una superficie. Obtenga el área de lasuperficie.

Los ejercicios 49 a 52 presentan ecuaciones para elipses e indican cuántas unidades hacia arriba o hacia abajo y a la derecha o a la izquierda se desplaza cada elipse. Determine una ecuación para la nueva elipse y encuentre los focos, los vértices y e l centro nuevos.

49. ~ + ~ = 1, izquierda 2, abajo 1

derecha 3, arriba 4

derecha 2, arriba 3


Los ejercicios 53 a 56 presentan ecuaciones para hipérbolas e indican cuántas unidades hacia arriba o hacia abajo y a la derecha o a la izquierda se desplaza cada hipérbola. Determine una ecuación para la hipérbola nueva y encuenh'e el centro, los focos, los vértices y las asíntotas nuevos.

x2 / 53. "4 - 5' 1, derecha 2, arriba 2


55. / - x2 = 1, izquierda 1, abajo 1

/ 56. "3 - x2 = 1, derecha 1, arriba 3

Obtenga el centro, los focos, los vértices, las asíntotas y el radio, como proceda, de las secciones cónicas de los ejercicios 57 a 68 .

57. X2 + 4x + / = 12

58. 2x2 + 2/ - 28x + 12y + 114 = O

59. X2 + 2x + 4y - 3 = O

61. x2 + 5/ + 4x = 1

63. x2 + 2/ - 2x - 4y =

64. 4x2 + / + 8x - 2y =

65. x2 - / - 2x + 4y = 4

67. 2x2 - / + 6y = 3

- 1

- 1

60. / - 4y - 8x - 12 =0

62. 9~ + 6/ + 36y = O

66. x2 . - / + 4x - 6y = 6

68. l - 4x2 + 16x = 24

leona y ejemplos 69. Si se dibujan rectas paralelas a los ejes coordenados que pasen por

un punto P sobre la parábola y = loe, k > O, la parábola divide la región rectangular acotada por estas rectas y los ejes en dos pequeñas regiones, A y B.

a. Si las dos regiones más pequeñas giran a lrededor del eje y, demuestre que generan sólidos cuyos volúmenes tienen una proporción de 4 : l .

b. ¿Cuál es la razón de los volúmenes generados cuando las regiones giran alrededor del eje x?

)'

l =kx p

B

~01---------------L---+ x


70. Los cables de los puentes colgantes describen parábolas El cable del puente colgante ilustrado en la figura soporta una carga uniforme de w libras por ft horizontal. Puede demostrarse que si H es la tensión horizontal del cable en el origen, entonces la curva del cable satisface la ecuación

71.

72.

dy w dx = fix .

Demuestre que el cable cuelga en forma de parábola resolviendo esta ecuación diferencial sujeta a la condición inicial y = O cuando x = O.

)'

~~±±±:±~=:=lJ=.p~~e~E:::±:::c~g±±:ante~_) x

Anchura de una parábola en el foco Demuestre que el número 4p es el ancho de la parábola x2 = 4py (p > O) en el foco, comprobando que la recta y = p corta la parábola en los puntos que están separados 4p unidades.

Las asíntotas de (x2/ al) - (y2/b2) = 1 Demuestre que la distancia vertical entre la recta y = (b/ a)x y la mitad superior de la rama

derecha y = (b/a) v'~ - a2 de la hipérbola (x2/a2) - (y2 / b2) = l

tiende a cero, comprobando que

lím (Q, x -Q,~) = Q, lím (x - v'~ - a2 ) = O. x~oo a a a x~oo

Resultados análogos se obtienen para las partes restantes de la hipérbola y las rectas y = -:!::. (b /a)x.

73. Área Obtenga las dimensiones del rectángulo de mayor área que se puede inscribir en la elipse X2 + 4y2 = 4 con lados para lelos a los ejes coordenados. ¿Cuál es el área del rectángulo?

74. Volumen Obtenga el volumen del sólido generado al girar la región interior de la elipse 9x2 + 4y2 = 36 alrededor de (a) el eje x,

(b) el eje y.

75. Volumen La regIO n "triangular" en el primer cuadrante acotada por el eje x, la recta x = 4 Y la hipérbola 9x2 - 4y2 = 36 gira alrededor del eje x para generar un sólido. Determine el volumen de ese sólido.

76. Tangentes Demuestre que las tangentes a la curva y2 = 4px desde cualquier punto de la recta x = -p son perpendiculares.

77. Tangentes Determine las ecuaciones para las tangentes a la circunferencia (x - 2)2 + (y - 1)2 = 5 en los puntos donde la circunferencia cruza los ejes coordenados.

78. Volumen La región acotada a la izquierda por el eje y, a la derecha por la hipérbola x2 - y2 = 1, Y arriba y abajo por las rectas y = -:!::.3 gira alrededor del eje x para generar un sólido. Obtenga el volumen del sólido.

79. Centroide Determine el centroide de la región acotada por abajo por el eje x y por arriba por la elipse (x2/9) + (y2/ 16) = l .

80. Área de superficies La curva y = W+l', O oS X oS v2, que es parte de la rama superior de la hipérbola y - X2 = 1, gira alrededor del eje x para generar una superficie. Obtenga el área de la superficie.



81. Propiedad reflectora de las parábolas En la figura se muestra unpunto típico P(xo, Yo) en la parábola y2 = 4px. La recta L es tangente ala parábola en P. El foco de la parábola está en f(P, O).El rayo L' quese extiende de P hacia la derecha es paralelo al eje x. Para compro-bar que la luz que va de f a P se reflejará a lo largo de L', demos-tramos que f3 es igual a a. Establezca esta igualdad realizando lossiguientes pasos.

a. Demuestre que tan f3 = 2p/yo.

b. Demuestre que tan 4> = yo/(xo - p).

c. Use la identidad

Esta propiedad de reflexión de las parábolas se usa en aplicacio-nes como faros para automóviles, radiotelescopios y antenas satelitalesde televisión.

y

L

-I-<ó-~-L------>xtan 4> - tan f3

tan a = -----'---,-----'--::-1 + tan 4> tan f3

para demostrar que tan a = 2p/yo.

Puesto que a y f3 son agudos, tan f3 = tan a implica que f3 = a

11.7 Secciones cónicas en coordenadas poLares

Las coordenadas polares son importantes en astronomía e ingeniería astronáutica porque laselipses, parábolas e hipérbolas que se obtienen como trayectorias del movimiento de satélites,lunas, planetas y cometas pueden describirse con una sola ecuación coordenada polar relati-vamente sencilla. Desarrollaremos aquí esa ecuación después de presentar el concepto de laexcentricidad de una sección cónica. La excentricidad revela el tipo de sección cónica (circun-ferencia, elipse, parábola o hipérbola) y el grado al cual es "aplastada" o aplanada.

ExcentricidadAun cuando la distancia c entre el centro y el foco no aparece en la ecuación

(a > b)

.de una elipse, podemos determinar e a partir de la ecuación c = Va2 - b2. Si fijamos ay variamos e sobre el intervalo O ::S C ::S a, las elipses resultantes variarán de forma. Si e = O,son circunferencias (pues a = b) y se aplanan cuando c aumenta. Si e = a, los focos y vérticesse traslapan y la elipse degenera en un segmento de recta. Ahora vamos a considerar la razóne = cia. Esta razón también la usamos en las hipérbolas; sólo que en este caso, e es iguala Va2 + b2 en vez de Va2 - b2, y definimos estas razones con el término, un poco familiar,de excentricidad.

La excentricidad de la hipérbola (x2/a2) - cY/b2) = 1 es

Va2 + b2

aee=-=a

DEFINICIÓNLa excentricidad de la elipse (x2 / a2) + (y2 / b2) = 1 (a > 1) es

Va2 - b2

aee=-=a

La excentricidad de una parábola es e = l.


81. Propiedad reflectora de las parábolas En la figura se muestra un punto típico P(xo, Yo) en la parábola y = 4px. La recta L es tangente a la parábola en P. El foco de la parábola está en f(P , O). El rayo L' que se extiende de P hacia la derecha es paralelo al eje x. Para comprobar que la luz que va de f a P se reflejará a lo largo de L', demostramos que f3 es igual a a . Establezca esta igualdad realizando los siguientes pasos.

Esta propiedad de reflexión de las parábolas se usa en aplicaciones como faros para automóviles, radiotelescopios y antenas satelitales de televisión.

y

L

a. Demuestre que tan f3 = 2p/ y o.

b. Demuestre que tan 4> = Yo/ (xo - p).

c. Use la identidad

tan 4> - tan f3 tan a = - ---'-- -:----'-_::c

1 + tan 4> tan f3

-1---<ó-~--1----~ x

para demostrar que tan a = 2p/yo.

Puesto que a y f3 son agudos, tan f3 = tan a implica que f3 = a

11.7 Secciones cónicas en coordenadas poLares

Las coordenadas polares son importantes en astronomía e ingeniería astronáutica porque las elipses, parábolas e hipérbolas que se obtienen como trayectorias del movimiento de satélites, lunas, planetas y cometas pueden describirse con una sola ecuación coordenada polar relativamente sencilla. Desarrollaremos aquí esa ecuación después de presentar el concepto de la excentricidad de una sección cónica. La excentricidad revela el tipo de sección cónica (circunferencia, elipse, parábola o hipérbola) y el grado al cual es "aplastada" o aplanada.

Excentricidad

Aun cuando la distancia e entre el centro y el foco no aparece en la ecuación

(a > b)

. de una elipse, podemos determinar e a partir de la ecuación e = Va2 - b2 . Si fijamos a

y variamos e sobre el intervalo ° :s e :s a, las elipses resultantes variarán de forma. Si e = 0, son circunferencias (pues a = b) y se aplanan cuando e aumenta. Si e = a, los focos y vértices se traslapan y la elipse degenera en un segmento de recta. Ahora vamos a considerar la razón e = e/ a. Esta razón también la usamos en las hipérbolas ; sólo que en este caso, e es igual

a Va2 + b2 en vez de Va2 - b2

, y definimos estas razones con el término, un poco familiar, de excentricidad.

DEFINICIÓN La excentricidad de la elipse (x2 / a2) + (y2 / b2) = 1 (a > 1) es

e e=(j =

Va2 - b2

a

La excentricidad de la hipérbola (x2 / a2) - cY / b2) = 1 es

e e=(j =

Va2 + b2

a

La excentricidad de una parábola es e = l.


--+--+-iI>-------,,-+----::=-' .•...-+---!--+x para cualquier punto P en ella, donde F es el foco y D es el punto más cercano a P en la direc-D

2triz. Para una elipse, puede demostrarse que las ecuaciones que sustituyen a la ecuación (1) son

yDirectriz 1

ax =--e b

Directriz 2ax =-e

FIGURA 11.45 Focos y directrices de la

elipse (x2/a2) + (jl/b2) = 1. La directriz 1

corresponde al foco F¡ y la directriz 2

al foco F2.

Directriz 1x =_~e

y Directriz 2x=~ e

--~~~~+--+1-~--~X

FIGURA 11.46 Focos y directrices de lahipérbola (x2/a2) - (jl/b2) = 1. No importa

donde esté P en la hipérbola, PF¡ = e . PD¡y PF2 = e . PD2.

11. 7 Secciones cónicas en coordenadas polares 649

Mientras que una parábola tiene un foco y una directriz, cada elipse tiene dos focos y dosdirectrices. Éstas son las rectas perpendiculares al eje mayor a distancias ±a/ e del centro.La parábola tiene la propiedad de que

PF = I'PD (1)

PF¡ = e'PD¡, (2)

Aquí, e es la excentricidad, P es cualquier punto en la elipse, F¡ y F2 son los focos, y D¡ YD2son los puntos en las directrices más próximos a P (figura 11.45).

En ambas ecuaciones (2) la directriz y el foco deben corresponder; es decir, si usamos ladistancia de P a F¡, también debemos usar la distancia de P a la directriz del mismo extremode la elipse. La directriz x = =ü] e corresponde a F¡(-e, O),y la directriz x = a/ e correspondeaF2(e, O).

Como en la elipse, es posible demostrar que las rectas x = ±a/ e actúan como directricesde la hipérbola y que

PF¡ = e'PD¡ (3)y

Aquí, P es cualquier punto en la hipérbola, F¡ y F2 son los focos, y D¡ YD2 son los puntos máspróximos a P en las directrices (figura 11.46).

Tanto en la elipse como en la hipérbola, la excentricidad es la razón de la distancia entrelos focos y la distancia entre los vértices (porque e/ a = 2e/2a).

distancia entre los focosExcentricidad = --===::..::.=....::..:.:=-=-=.::....::.::...:..=-=--

distancia entre los vértices

En una elipse, los focos están más cerca entre sí que los vértices, y la razón es menor que l. Enuna hipérbola, los focos están más lejos entre sí que los vértices, y la razón es mayor que l.

La ecuación "foco-directriz" PF = e . PD unifica la parábola, la elipse y la hipérbola dela siguiente manera: suponga que la distancia PF entre un punto P y un punto fijo F (el foco) esun múltiplo constante de su distancia a una recta fija (la directriz). Es decir, suponga que

PF = e'PD, (4)

donde e es la constante de proporcionalidad. Así, la trayectoria seguida por P es

(a) una parábola si e = 1,(b) una elipse de excentricidad e si e < 1, Y(e) una hipérbola de excentricidad e si e > 1.

No hay coordenadas en la ecuación (4) y, cuando tratamos de expresada con coordenadas, elresultado varía dependiendo del tamaño de e. Por lo menos eso es lo que pasa en las coordena-das cartesianas. Sin embargo, como veremos, en coordenadas polares la ecuación PF = e . PDse traduce en una sola ecuación sin importar el valor de e.

Dados el foco y la directriz correspondiente de una hipérbola con centro en el origen yfocos sobre el eje x, podemos usar las dimensiones que se especifican en la figura 11.46 paradeterminar e. Al conocer e podemos deducir la ecuación cartesiana para la hipérbola a partir dela ecuación PF = e . PD, como en el siguiente ejemplo. Podemos encontrar las ecuaciones paraelipses con centro en el origen y los focos en el eje x de un modo similar, por medio de las di-mensiones que se muestran en la figura 11.45.

Directriz 1 a

x =--e

y

b

Directriz 2 a

x =-e


Mientras que una parábola tiene un foco y una directriz, cada elipse tiene dos focos y dos directrices. Éstas son las rectas perpendiculares al eje mayor a distancias ±a/ e del centro. La parábola tiene la propiedad de que

PF = l·PD (1)

-+--+_i�>------n+---=+--+---!--+ x para cualquier punto P en ella, donde F es el foco y D es el punto más cercano a P en la direc-D

2 trizo Para una elipse, puede demostrarse que las ecuaciones que sustituyen a la ecuación (1) son


elipse (x2 / a2) + (Y / b2) = l. La directriz 1

corresponde al foco F¡ y la directriz 2

al foco F2.

Directriz 1 y Directriz 2

x = -~ x = ~

1-~---ofI P(x, y)

- - _""'-1-+----=-+--++-+---+ X


hipérbola (x2/ a2) - (Y/b2) = 1. No importa

donde esté P en la hipérbola, PF¡ = e . PD¡

y PF2 = e . PD2.

PF¡ = e·PD¡ , (2)

Aquí, e es la excentricidad, P es cualquier punto en la elipse, F¡ y F2 son los focos, y D¡ Y D2

son los puntos en las dírectrices más próximos a P (figura 11.45). En ambas ecuaciones (2) la directriz y el foco deben corresponder; es decír, si usamos la

distancia de P a F¡ , también debemos usar la distancia de P a la directriz del mismo extremo de la elipse. La directriz x = - al e corresponde a F¡ ( - e, O), y la directriz x = a/ e corresponde aF2(e, O).

Como en la elipse, es posible demostrar que las rectas x = ±a/ e actúan como directrices de la hipérbola y que

PF¡ = e ·PD¡ y (3)

Aquí, P es cualquier punto en la hipérbola, F¡ y F2 son los focos, y D¡ Y D2 son los puntos más próximos a P en las directrices (figura 11.46).

Tanto en la elipse como en la hipérbola, la excentricidad es la razón de la distancia entre los focos y la distancia entre los vértices (porque e/ a = 2e/ 2a).

distancia entre los focos Excentricidad = --=====-==....::..:.:=-=-=-=--=--=-=-=-=distancia entre los vértices

En una elipse, los focos están más cerca entre sí que los vértices, y la razón es menor que 1. En una hipérbola, los focos están más lejos entre sí que los vértices, y la razón es mayor que 1.

La ecuación "foco-directriz" PF = e . PD unifica la parábola, la elipse y la hipérbola de la siguiente manera: suponga que la distancia P F entre un punto P y un punto fijo F (el foco) es un múltiplo constante de su distancia a una recta fija (la directriz). Es decir, suponga que

PF = e·PD,

donde e es la constante de proporcionalidad. Así, la trayectoria seguida por P es

(a) una parábola si e = 1,

(b) una elipse de excentricidad e si e < 1, y

(c) una hipérbola de excentricidad e si e > 1.

(4)

No hay coordenadas en la ecuación (4) y, cuando tratamos de expresarla con coordenadas, el resultado varía dependiendo del tamaño de e. Por lo menos eso es lo que pasa en las coordenadas cartesianas. Sin embargo, como veremos, en coordenadas polares la ecuación PF = e . PD se traduce en una sola ecuación sin importar el valor de e.

Dados el foco y la directriz correspondiente de una hipérbola con centro en el origen y focos sobre el eje x, podemos usar las dimensiones que se especifican en la figura 11.46 para determinar e. Al conocer e podemos deducir la ecuación cartesiana para la hipérbola a partir de la ecuación PF = e . PD, como en el siguiente ejemplo. Podemos encontrar las ecuaciones para elipses con centro en el origen y los focos en el eje x de un modo similar, por medio de las dimensiones que se muestran en la figura 11.45.


650 CapítuLo 11: Ecuaciones paramétricas y coordenadas poLares

y

x = 1

EJEMPLO 1 Determine la ecuación cartesiana para la hipérbola con centro en el origen quetiene un foco en (3, O)Yla recta x = 1 como la directriz correspondiente.

Solución Primero usamos las dimensiones mostradas en la figura 11.46 para determinar laexcentricidad de la hipérbola. El foco es

(e, O) = (3, O), así que e = 3.

La directriz es la rectaa

x = e = 1, por lo tanto a = e.

Cuando se combina con la ecuación e = e/a, que define la excentricidad, resulta

e 3e = a = e' y e = vide manera queFIGURA 11.47 La hipérbola y directriz del

ejemplo 1. Conociendo e podemos deducir la ecuación que necesitamos a partir de la ecuaciónPF = e . PD. En la notación de la figura 11.47, tenemos

PF = e·PD

V(x - 3)2 + (y - 0)2 = V3 [x - 11x2 - 6x + 9 + l = 3(x2 - 2x + 1)

2~-l=6

~ l3-6=l.

Ecuación (4)

e = V3

•Ecuaciones poLares

Directriz Para obtener ecuaciones polares para elipses, parábolas e hipérbolas, colocamos un foco en elorigen y la directriz correspondiente a la derecha del origen a lo largo de la recta vertical x = k(figura 11.48). En coordenadas polares, esto hace que

----·rlD

PF= r

-----ll---',-'--"----+-----,k+ x

FIGURA 11.48 Si se coloca una seccióncónica con su foco en el origen y la directrizperpendicular al rayo inicial y a la derechadel origen, podemos obtener su ecuaciónpolar a partir de la ecuación foco-directriz dela cónica.

y

PD = k - FE = k - rcos e.

x=kLa ecuación foco-directriz de la cónica PF = e . PD se convierte entonces en

r = e(k - reos e),

de la cual se puede despejar r para obtener la siguiente expresión.

Ecuación polar de una cónica con excentricidad e

ker = ---'-'---1 + e cos e' (5)

donde x = k > Oes la directriz vertical.

EJEMPLO 2 Tenemos aquí ecuaciones polares de tres cónicas. Los valores de la excentrici-dad que identifican a la cónica son los mismos tanto para las coordenadas polares como paralas coordenadas cartesianas.

1e = 2:

e = 1 :

kr = ----'-'---2 + cos e

kr = ...,.-----''----:-1 + cos e

2kr = -----1 + 2 cos e •

elipse

parábola

e = 2: hipérbola


y

FIGURA 11.47 La hipérbola y directriz del ejemplo 1.

Directriz

FIGURA 11.48 Si se coloca una sección cónica con su foco en el origen y la directriz perpendicular al rayo inicial y a la derecha del origen, podemos obtener su ecuación polar a partir de la ecuación foco-directri z de la cónica.

EJEMPLO 1 Determine la ecuación cartesiana para la hipérbola con centro en el origen que tiene un foco en (3, O) Y la recta x = 1 como la directriz correspondiente.

Solución Primero usamos las dimensiones mostradas en la figura 11.46 para determinar la excentricidad de la hipérbola. El foco es

(e, O) = (3, O), así que e = 3 .

La directriz es la recta

a x = e = 1, por lo tanto a = e.

Cuando se combina con la ecuación e = e/ a, que define la excentricidad, resulta

e 3 e = a = e' y e = vi de manera que

Conociendo e podemos deducir la ecuación que necesitamos a partir de la ecuación PF = e . PD. En la notación de la figura 11.47, tenemos

Ecuaciones polares

PF = e 'PD

V(x - 3)2 + (y - 0)2 = V3 Ix - 11 x2 - 6x + 9 + l = 3(x2 - 2x + 1)

2~- l = 6

~ l 3-6"=l.

Ecuación (4)

e = V3

•

Para obtener ecuaciones polares para elipses, parábolas e hipérbolas, colocamos un foco en el origen y la directriz correspondiente a la derecha del origen a lo largo de la recta vertical x = k (figura 11.48). En coordenadas polares, esto hace que

PF = r

y

PD = k - FE = k - reos e.

La ecuación foco -directriz de la cónica PF = e . PD se convierte entonces en

r = e(k - reos e),

de la cual se puede despejar r para obtener la siguiente expresión.

Ecuación polar de una cónica con excentricidad e

ke r = ----'=----1 + e cos e'

donde x = k > O es la directriz vertical.

(5)

EJEMPLO 2 Tenemos aquí ecuaciones polares de tres cónicas. Los valores de la excentricidad que identifican a la cónica son los mismos tanto para las coordenadas polares como para las coordenadas cartesianas.

1 elipse

k e = 2: r =

2 + cos e e = 1 : parábola

k r =

1 + cos e e = 2: hipérbola r=

2k 1 + 2 cos e •


Directrizx=k

FIGURA 11.50 En una elipse con semiejemayor a, la distancia del foco a la directrizes k = (a/ e) - ea, de manera queke = a(l - e2).

11.7 Secciones cónicas en coordenadas polares 651

Usted puede ver variaciones de la ecuación (5), dependiendo de la ubicación de la direc-triz. Si la directriz es la recta x = - k a la izquierda del origen (el origen es un foco), susti-tuimos la ecuación (5) por

ker = -----'=---1 - ecos () .

Ahora, el denominador tiene un (-) en vez de un (+). Si la directriz es una de las rectas y = ko y = - k, las ecuaciones tendrán funciones senos en vez de coseno s, como se muestra en lafigura 11.49.

r = kel+ecosO

r = kel-ecosO

------<t-t--t--~x

Directriz x = -k(a) (b)

ker = :-1 -+--'e""'s'--e-n"-;;Oy

r = ke1 - e sen O

y\ rlc/n el origen

~Y=-k(d)

Directriz y = k

(e)

FIGURA 11.49 Ecuaciones para secciones cónicas conexcentricidad e > 0, pero diferentes posiciones de la directriz.Las gráficas muestran una parábola, de manera que e = l.

EJEMPLO 3 Obtenga la ecuación para la hipérbola con excentricidad 3/2 y directriz x = 2.

Solución Usamos la ecuación (5) con k = 2 Ye = 3/2:

2(3/2)r= --- __--1 + 0/2) cos ()

6r = -::---::---::-2 + 3 cos () .o •

EJEMPLO 4 Obtenga la directriz de la parábola

25r = ------la + la cos ().

Solución Dividimos el numerador y el denominador entre la para dar a la ecuación la formaestándar:

5/2r = ---__,_1 + cos () .

Ésta es la ecuaciónker = __ c.:..::..- __

1 + ecos ()

donde k = 5/2 Ye = l. La ecuación para la directriz es x = 5/2. •A partir del diagrama de la elipse de la figura 11.50, vemos que k está relacionada con la

excentricidad e y el semieje mayor a por la ecuaciónak = e - ea.

Directriz x = k

-1----. -- ---=+---+-+-- x

FIGURA 11.50 En una elipse con semieje

mayor a, la distancia del foco a la directriz

es k = (a /e) - ea, de manera que ke = a(l - e2).


Usted puede ver variaciones de la ecuación (5), dependiendo de la ubicación de la di rectriz. Si la directriz es la recta x = - k a la izquierda del origen (el origen es un foco), sustituimos la ecuación (5) por

ke r = - --'-'-----1 - ecos 8 .

Ahora, el denominador tiene un (- ) en vez de un (+ ). Si la directriz es una de las rectas y = k o y = - k, las ecuaciones tendrán funciones senos en vez de cosenos, como se muestra en la figura 11.49.

r = ke l+ ecosO

---~t-t----t--~ x

(a)

r = ke l +e senO

y

Directriz y = k

(e)

r = ke 1 - ecosO

(b)

r = ke l -esen O \JZ el "''0"

Di rectriz y = - k

(d)

FIGURA 11.49 Ecuaciones para secciones cónicas con

excentricidad e > O, pero diferentes posiciones de la directriz. Las gráficas muestran una parábola, de manera que e = l.

EJEMPLO 3 Obtenga la ecuación para la hipérbola con excentricidad 3/ 2 y directriz x = 2.

Solución Usamos la ecuación (5) con k = 2 Y e = 3/ 2:

20/ 2) r = - - - - - - -

1 + 0 / 2) cos 8 6 r = - - -'----- -

2 + 3 cos 8 . • o

EJEMPLO 4 Obtenga la directriz de la parábola

25 r = -1""0- +- -'--1 O-=--c-o-s --::-8 .

Solución Dividimos el munerador y el denominador entre 10 para dar a la ecuación la forma estándar:

5/ 2 r =

1 + cos 8 .

Ésta es la ecuación

ke r =

1 + ecos 8

donde k = 5/ 2 Y e = 1. La ecuación para la directriz es x = 5/2. • A partir del diagrama de la elipse de la figura 11.50, vemos que k está relacionada con la

excentricidad e y el semieje mayor a por la ecuación

a le = e - ea.



A partir de ésta podemos obtener ke = a(l - e2). Sustituyendo ke en la ecuación (5) pora(1 - e2), encontramos la ecuación polar estándar de una elipse.

Ecuación polar de una elipse con excentricidad e y sernieje mayor a

a(l - e2)r=

1 + ecos 8(6)

Observe que cuando e = 0, la ecuación (6) se convierte en r = a, lo cual representa una cir-cunferencia.

Rectasy

Supongamos que la perpendicular del origen a la recta L encuentra a L en el punto Po(ro, 80),con ro 2: ° (figura 11.51). Entonces, si P(r, 8) es otro punto cualquiera sobre L, los puntos P,Po YO son los vértices de un triángulo rectángulo del cual podemos obtener la relación

ro = r cos (8 - 80).

FIGURA11.51 Podemos obtener unaecuación polar de la recta L interpretandola relación ro = r cos (O - 00) en eltriángulo rectángulo OPoP.

La ecuación polar estándar para rectasSi el punto Po(ro, 80) es el pie de la perpendicular del origen a la recta L y ro 2: 0,entonces una ecuación para L es

rcos (8 - 80) = ro.

~~--~--L-------~---+X

(7)

Por ejemplo, si 80 = tt /3 Yro = 2, encontramos que

r cos (8 - f) = 2

r (cos 8 cos f + sen 8 sen ;) = 2

1 V32rcos8 + Trsen8 = 2, o x + V3y = 4.

Circunferenciasy Para obtener la ecuación polar para una circunferencia de radio a con centro en Po(ro, 80), ha-

cemos que P(r, 8) sea un punto sobre la circunferencia y aplicamos la ley de los cosenos parael triángulo OPoP (figura 11.52). Esto da

r

Si la circunferencia pasa por el origen, entonces ro = a y esta ecuación se simplifica a~~--~~--------------~X

FIGURA11.52 Podemos obtener la ecua-ción polar para esta circunferencia aplicandola ley de los cosenos al triángulo OPoP.

a2 = a2 + ? - 2ar cos (8 - 80)? = 2arcos (8 - 80)

r = 2a cos (8 - 80)'

Si el centro de la circunferencia se encuentra sobre la parte positiva del eje x, 80 = ° y obte-nemos una mayor simplificación

r = 2a cos 8. (8)


y

~F---~--L-------~---+ X

FIGURA 11.51 Podemos obtener una

ecuación polar de la recta L interpretando

la relación ro = reos (O - 00) en el

triángulo rectángulo OPoP.

y

r

~o~~~~l---------------+ X

FIGURA 11.52 Podemos obtener la ecua

ción polar para esta circunferencia aplicando

la ley de los cosenos al triángulo OPoP.

A partir de ésta podemos obtener ke = a(1 - e2) . Sustituyendo ke en la ecuación (5) por a(1 - e2), encontramos la ecuación polar estándar de una elipse.

Ecuación polar de una elipse con excentricidad e y semieje mayor a

a(l - e2 ) r=

l + e cos e (6)

Observe que cuando e = O, la ecuación (6) se convierte en r = a, lo cual representa una circunferencia.

Rectas

Supongamos que la perpendicular del origen a la recta L encuentra a L en el punto Po(ro, eo), con ro 2: O (figura 11.51). Entonces, si P(r, e) es otro punto cualquiera sobre L , los puntos P, Po Y O son los vértices de un triángulo rectángulo del cual podemos obtener la relación

ro = r cos (e - eo).

La ecuación polar estándar para rectas

Si el punto Po(ro, eo) es el pie de la perpendicular del origen a la recta L y ro 2: O, entonces una ecuación para L es

rcos (e - eo) = ro. (7)

Por ejemplo, si eo = 'Tf / 3 Y ro = 2, encontramos que

r cos (8 - f) = 2

r (cos ecos f + sen 8 sen f) = 2

l V3 2rcose + Trsene = 2, o x + V3y = 4.

Circunferencias

Para obtener la ecuación polar para una circunferencia de radio a con centro en Po(ro, eo), hacemos que P(r, e) sea un punto sobre la circunferencia y aplicamos la ley de los cosenos para el triángulo OPa? (figura 11.52). Esto da

Si la circunferencia pasa por el origen, entonces ro = a y esta ecuación se simplifica a

a2 = a2 + ? - 2ar cos (e - eo)

? = 2arcos (8 - eo)

r = 2a cos (e - eo).

Si el centro de la circunferencia se encuentra sobre la parte positiva del eje x, eo = O y obtenemos una mayor simplificación

r = 2a cos e. (8)


11.7 Secciones cónicas en coordenadas polares 653

Si el centro de la circunferencia está en el eje y positivo, O = -tt /2, cos (O - -tt /2) = sen O,y la ecuación r = 2a cos (O - Oa) se convierte en

r = 2a sen é. (9)

Las ecuaciones para circunferencias que pasen por el origen con centros sobre la parte ne-gativa de los ejes x y y se pueden obtener sustituyendo r por =r en las ecuaciones anteriores.

EJEMPLO 5 Aquí hay varias ecuaciones polares dadas por las ecuaciones (8) y (9) para cir-cunferencias que pasan por el origen y tienen sus centros sobre los ejes x o y.

Centro EcuaciónRadio (coordenadas polares) polar

3 (3, O) r = 6 cos O2 (2, n/2) r = 4 sen O

1/2 (-1/2, O) r= -cos O1 (-1, n/2) r= -2 sen é

•

Ejercicios 11.7

21. 8~ - 21 = 16

23. 81 - 2.x2 = 1622. 1- 3~ = 3

24. 64~ - 361 = 2304

Elipses y excentricidadEn los ejercicios 1 a 8, determine la excentricidad de la elipse. Luego, en-cuentre y grafique los focos y las directrices de la elipse.

1. 16x2 + 251 = 400 2. 7~ + 161 = 112

3. ~ + 1= 2 4. ~ + 1= 4

5. 3x2 + 21 = 6 6. 9~ + 101 = 90

7. 6x2 + 91 = 54 8. 169x2 + 251 = 4225

En los ejercicios 9 a 12 se indican los focos o vértices y las excentrici-dades de elipses con centro en el origen del plano xy. En cada caso, deter-mine la ecuación estándar de la elipse en coordenadas cartesianas.

9. Focos: (O, ±3) 10. Focos: (±8, O)Excentricidad: 0.5 Excentricidad: 0.2

11. Vértices: (O, ±70) 12. Vértices: (± 10, O)Excentricidad: 0.1 Excentricidad: 0.24

En los ejercicios 13 a 16 se indican los focos y las directrices correspon-dientes de elipses centradas en el origen del plano xy. En cada caso, uselas dimensiones de la figura 11.45 para encontrar la excentricidad de laelipse. Luego determine la ecuación estándar de la elipse en coordenadascartesianas.

13. Foco: ('V'5,0).. 9

Directriz: x = 'V'5

15. Foco: (-4, O)

14. Foco: (4, O)

D·· 16irectnz: x = "3

16. Foco: ( - \12, O)Directriz: x = - 2 \12

En los ejercicios 25 a 28 se indican las excentricidades y los vértices o fo-cos de hipérbolas con centro en el origen del plano xy. En cada caso, de-termine la ecuación canónica de la hipérbola en coordenadas cartesianas.

25. Excentricidad: 3 26. Excentricidad: 2Vértices: (O, ± 1) Vértices: (±2, O)

27. Excentricidad: 3 28. Excentricidad: 1.25Focos: (±3, O) Focos: (O, ±5)

Excentricidad y directricesEn los ejercicios 29 a 36 se indican las excentricidades de secciones cóni-cas con un foco en el origen junto con la directriz correspondiente a esefoco. Obtenga la ecuación polar de cada sección cónica.

29. e = 1, x=2 30. e = 1, y=231. e = 5, Y = -6 32. e = 2, x=4

33. e= 1/2, x= l 34. e= 1/4, x = -2

35. e= 1/5, y = -10 36. e = 1/3, y=6

Parábolas y elipsesTrace las parábolas y las elipse s de los ejercicios 37 a 44. Incluya la direc-triz que corresponde al foco en el origen. Marque los vértices con las coor-denadas polares apropiadas y marque también los centros de las elipses.

37. 1 38. 6r=1 + cos e r=

2 + cos e39. 25 40. 4r=

10 - 5 cos e r= 2 - 2 cos e41. 400 42. 12r=

16 + 8 sen e r=3+3sene

43.8

44. 4r= r=2-2senO 2 - sen é

Directriz: x = -16

Hipérbolas y excentricidadEn los ejercicios 17 a 24, determine la excentricidad de la hipérbola. Lue-go, encuentre y grafique los focos y las directrices de la hipérbola.

17. ~ -1 = 1 18. 9~ - 161 = 144

19. 1- x2 = 8 20. 1-~= 4



RectasDibuje las rectas de los ejercicios 45 a 48 y encuentre las ecuaciones car-tesianas correspondientes.

45. r cos (O - .¡) = V2

47. rcos (O - 2;) = 346. r cos (O + 3; ) = 1

48. r cos (O + f ) = 2

Obtenga la ecuación polar de la forma r cos (O - 00) = ro para cada unade las rectas de los ejercicios 49 a 52.

49. V2x + V2y = 6 50. V3x - y = 151. Y = -5 52. x = -4

CircunferenciasTrace las circunferencias de los ejercicios 53 a 56. Obtenga las coorde-nadas polares de sus centros e identifique sus radios.

53. r = 4 cos O 54. r = 6 sen O55. r = -2 cos O 56. r = -8 sen O

Obtenga las ecuaciones polares de las circunferencias en los ejercicios 57a 64. Trace todas las circunferencias en el plano de coordenadas y marquesus ecuaciones cartesianas y sus coordenadas polares.

57. (x - 6)2 + l = 36

59. x2 + (y - 5)2 = 25

61. x2 + 2x + l = O

63. Y + l + y = O

58. (x + 2)2 + l = 4

60. x2 + (y + 7)2 = 49

62. x2 - 16x + l = O2 ? 464. x + y- - "3 y = O

Ejemplos de ecuaciones polaresO Grafique las rectas y secciones cónicas de los ejercicios 65 a 74.

65. r = 3 sec (O - 7r/3)67. r = 4 sen é

69. r = 8/(4 + cos O)71. r = 1/(1 - sen O)

73. r = l/O + 2 sen O)

66. r = 4 sec (O + 7r/6)68. r = - 2 cos O70. r = 8/(4 + senO)

72. r = 1/(1 + cos O)

74. r = 1/( I + 2 cos O)

Preguntas de repasoCapitulo

1. ¿Qué es una parametrización de una curva en el plano xy? ¿Una fun-ción y = f(x) siempre tiene parametrización? ¿Son únicas las para-rnetrizaciones de una curva? Dé ejemplos.

2. Indique algunas parametrizaciones típicas de rectas, circunferencias,parábolas, elipses e hipérbolas. ¿Cómo podría diferir la curva para-metrizada de la gráfica de su ecuación cartesiana?

3. ¿Qué es una cicloide? ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas típi-cas para las cicloides? ¿Qué propiedades fisicas hacen importantesa las cicloides?

4. ¿Cuál es la fórmula de la pendiente dy / dx de una curva parametrizadax = f(t), Y = g(t)? ¿Cuándo se aplica la fórmula? ¿Cuándo puede unoesperar encontrar d2yjdx2 también? Dé ejemplos.

5. ¿Cómo puede encontrar el área acotada por una curva parametrizaday uno de los ejes coordenados?

6. ¿Cómo se obtiene la longitud de una curva parametrizada suavex = f(t), Y = g(t), a :s t :s b? ¿Qué tiene que ver suavidad con lalongitud? ¿Qué más necesita saber acerca de la parametrizaciónpara obtener la longitud de la curva? Dé ejemplos.

75. Perihelio y afelio Un planeta viaja alrededor de su sol en una tra-yectoria elíptica cuyo semieje mayor tiene una longitud a. (Véase lafigura más adelante).

a. Demuestre que r = a(l - e) cuando el planeta está más cerca alsol y que r = a(l + e) cuando está más lejos del sol.

b. Use los datos de la tabla del ejercicio 76 para encontrar qué tancerca y qué tan lejos pasa cada planeta de nuestro Sistema Solardel Sol y qué tanto se aleja de él.

AfeJio Perihelio(más lejos (más cercadel Sol) del Sol)

\f------------=-a -------.,Pla~"'" I76. Órbitas planetarias Use los datos de la siguiente tabla y la

ecuación (6) para obtener las ecuaciones polares de las órbitas delos planetas.

Semieje mayorPlaneta (unidades astronómicas) Excentricidad

Mercurio 0.3871 0.2056

Venus 0.7233 0.0068

Tierra 1.000 0.0167

Marte 1.524 0.0934

Júpiter 5.203 0.0484

Saturno 9.539 0.0543

Urano 19.18 0.0460

Neptuno 30.06 0.0082

7. ¿Cuál es la función de longitud de arco para una curva parametrizadasuave? ¿Cuál es su diferencial de longitud de arco?

8. ¿En qué condiciones puede encontrar el área de la superficie gene-rada por la rotación de una curva x = f(t), Y = g(t), a :s t :s b, al-rededor del eje x? ¿Y alrededor del eje y? Dé ejemplos.

9. ¿Cómo obtiene el centroide de una curva suave parametrizadax = fet), y = get), a :s t s: b? Dé ejemplos.

10. ¿Qué son las coordenadas polares? ¿Cuáles ecuaciones relacionanlas coordenadas polares con las coordenadas cartesianas? ¿Por quédesearía cambiar de un sistema coordenado al otro?

11. ¿Qué consecuencias tiene la falta de unicidad de las coordenadaspolares para graficar? Dé un ejemplo.

12. ¿Cómo grafica las ecuaciones en coordenadas polares? Incluya ensu discusión la simetría, la pendiente, el comportamiento en el origeny el uso de gráficas cartesianas. Dé ejemplos.

13. ¿Cómo obtiene el área de una región O :s r1(0) :s r :s r2(0),a :s O :s f3, en el plano de coordenadas polares? Dé ejemplos.


14. ¿En qué condiciones puede encontrar la longitud de una curvar = f(e), IX ::; e ::; {3, en el plano de coordenadas polares? Dé elejemplo de un cálculo típico.

15. ¿Qué es una parábola? ¿Cuáles son las ecuaciones cartesianas paralas parábolas cuyos vértices están en el origen y sus focos están en losejes coordenadas? ¿Puede encontrar el foco y la directriz de tal pará-bola a partir de su ecuación?

16. ¿Qué es una elipse? ¿Cuáles son las ecuaciones cartesianas para laselipses con centro en el origen y focos en uno de los ejes coordena-das? ¿Cómo obtendría los focos, los vértices y las directrices de taleselipses a partir de su ecuación?

Ejercicios de prácticaCapítulo

Identificación de ecuaciones paramétricas en el planoEn los ejercicios 1 a 6 se incluyen las ecuaciones paramétricas y los inter-valos del parámetro para el movimiento de una partícula en el plano xy.Identifique la trayectoria de la partícula, obteniendo para ello una ecua-ción cartesiana. Grafique la ecuación cartesiana e indique la dirección delmovimiento y la parte de la trayectoria trazada por la partícula.

1. x = t/2, Y = t + 1; - 00 < t < 00

2. x = Vi, y = 1 - Vi; t ~ O

3. x = (1/2) tan t, y = (1/2) sec t; -71"/2 < t < 71"/2

4. x = - 2 cos t, y = 2 sen t; O::; t ::; 71"

5. x = -cos t, y = cos? t; O::; t ::; 71"

6. x = 4 cos t, y = 9 sen t; O::; t ::; 271"

Obtención de ecuaciones paramétricas y rectas tangentes7. Obtenga las ecuaciones paramétricas y el intervalo del parámetro del

movimiento de una partícula en el plano xy que traza la elipse 16x2 +9y = 144 una sola vez en sentido contrario a las manecillas del reloj.(Hay muchas maneras de hacerla).

8. Obtenga las ecuaciones paramétricas y el intervalo del parámetro deldesplazamiento de una partícula que inicia en el punto (- 2, O) en elplano xy y traza la circunferencia x2 + y2 = 4 tres veces en el sentidode las manecillas del reloj. (Hay muchas maneras de hacerlo).

En los ejercicios 9 y 10, determine la ecuación para la recta en el plano xy

que es tangente a una curva en el punto correspondiente al valor dado de t.

También determine el valor de d2y / dx' en ese punto.

9. x = (1/2) tan t, y = (1/2) sec t; t = 71"/3

10. x = 1 + I/?, Y = 1 - 3/t; t = 211. Elimine el parámetro para expresar la curva en la forma y = f(x).

a. x = 4?, Y = f - 1 b. x = cos t, y = tan t

12. Obtenga las ecuaciones paramétricas de las siguientes curvas.

a. Recta que pasa por (1, - 2) con pendiente 3

b. (x - 1)2 + (y + 2i = 9

c. y = 4x2 - x

d. 9x2 + 41 = 36

Longitudes de curvasObtenga las longitudes de las curvas de los ejercicios 13 a 19.

13. Y = xl/2 - O/3)X3/2, 1::; x ::; 4

14. x = 1/3, 1::; Y ::; 8

Capítulo 11 Ejercicios de práctica 655

17. ¿Qué es una hipérbola? ¿Cuáles son las ecuaciones cartesianas paralas hipérbolas con centro en el origen y focos en uno de los ejes coor-denados? ¿Cómo obtendría los focos, los vértices y las directrices detales hipérbolas a partir de su ecuación?

18. ¿Qué es la excentricidad de una sección cónica? ¿Cómo clasificaríalas cónicas de acuerdo con su excentricidad? ¿Cómo están relacio-nadas la forma de una elipse y su excentricidad?

19. Explique la ecuación PF = e . PD.

20. ¿Cuáles son las ecuaciones están dar para rectas y secciones cónicasen coordenadas polares? Dé ejemplos.

15. Y = (5/12)x6/5 - (5/8)x4/5, 1::; x ::; 32

16. x = (J/12) + (l/y), 1::; y::; 2

17. x = 5cost - cos5t, y = 5sent - sen5t, O::; i s: 71"/2

18. x = f - 6?, y = f + 6?, O::; t ::; 1

19. x = 3 cos e, y = 3 sen (J,

20. Obtenga la longitud del lazo acotado por x = t2, y = (t3/3) - t que

se muestra en la figura. El lazo inicia en t = - v3 y termina en

t= v3.y

1

----+---'---'--+--'-----~x

-1

Áreas de superficiesObtenga las áreas de las superficies generadas por la rotación de las cur-vas de los ejemplos 21 y 22 alrededor de los ejes indicados.

21. x = ?/2, y = 2t, O::; t ::; V5; eje x

22. x = r + 1/(2t), y = 4"\Ít, l/Vi::; t s: 1; ejey

Ecuaciones polares a cartesianasTrace las rectas de los ejercicios 23 a 28. También determine la ecuacióncartesiana para cada recta.

23. rcos (e +~)= 2v325. r = 2 sec e27. r = -(3/2) ese e

24. rcos (e - 3:) = V;26. r = - v2 sec e28. r = (3 v3) ese e

14. ¿En qué condiciones puede encontrar la longitud de una curva r = f(e), IX ::; e ::; (3, en el plano de coordenadas polares? Dé el ejemplo de un cálculo típico.

15. ¿Qué es una parábola? ¿Cuáles son las ecuaciones cartesianas para las parábolas cuyos vértices están en el origen y sus focos están en los ejes coordenados? ¿Puede encontrar el foco y la directriz de tal parábola a partir de su ecuación?

16. ¿Qué es una elipse? ¿Cuáles son las ecuaciones cartesianas para las elipses con centro en el origen y focos en uno de los ejes coordenados? ¿Cómo obtendría los focos , los vértices y las directrices de tales elipses a partir de su ecuación?

CapituLo Ejercicios de práctica

Identificación de ecuaciones paramétricas en el plano En los ejercicios 1 a 6 se incluyen las ecuaciones paramétricas y los intervalos del parámetro para el movimiento de una partícula en el plano xy . Identifique la trayectoria de la partícula, obteniendo para ello una ecuación cartesiana. Grafique la ecuación cartesiana e indique la dirección del movimiento y la parte de la trayectoria trazada por la partícula.

1. x = 1/ 2, Y = 1 + 1; - 00 < 1 < 00

2. x = Vi, y = 1 - Vi; t ;::, O

3. x = (1 / 2) tan t, y = (1 / 2) sec 1; -71'/ 2 < 1 < 71'/ 2

4. x= -2 cos t, y=2sen t; O ::; 1 ::; 71'

5. x= -cos t, y = cos2 t; O ::; 1::; 71'

6. x = 4 cos 1, y = 9 sen t; O ::; t ::; 271'

Obtención de ecuaciones paramétricas y rectas tangentes 7. Obtenga las ecuaciones paramétricas y el intervalo del parámetro del

movimiento de una partícula en el plano xy que traza la elipse 16x2 + 9y = 144 una sola vez en sentido contrario a las manecillas del reloj. (Hay muchas maneras de hacerlo).

8. Obtenga las ecuaciones paramétricas y el intervalo del parámetro del desplazamiento de una partícula que inicia en el punto (-2, O) en el plano xy y traza la circunferencia x2 + y2 = 4 tres veces en el sentido de las manecillas del reloj. (Hay muchas maneras de hacerlo).

En los ejercicios 9 y 10, determine la ecuación para la recta en el plano xy

que es tangente a una curva en el punto correspondiente al valor dado de t.

También determine el valor de d 2y / dx2 en ese punto.

9. x = (1 /2) tan t, y = (1/2) sec t; t = 71'/3

lO. x = 1 + 1/2, Y = 1 - 3/1; t = 2

11. Elimine el parámetro para expresar la curva en la forma y = f(x).

a. x = 42, Y = f - 1 b. x = cos t, y = tan t

12. Obtenga las ecuaciones paramétricas de las siguientes curvas.

a. Recta que pasa por (1, - 2) con pendiente 3

b. (x - 1)2 + (y + 2i = 9

c. y = 4X2 - x

d. 9x2 + 41 = 36

Longitudes de curvas Obtenga las longitudes de las curvas de los ejercicios 13 a 19.

13. Y = x l/2 - (I / 3)X3/2, 1 ::; x ::; 4

14. x = 1 /3 , 1::; Y ::; 8

Capítulo 11 Ej ercicios de práctica 655

17. ¿Qué es una hipérbola? ¿Cuáles son las ecuaciones cartesianas para las hipérbolas con centro en el origen y focos en uno de los ejes coordenados? ¿Cómo obtendría los focos, los vértices y las directrices de tales hipérbolas a partir de su ecuación?

18. ¿Qué es la excentricidad de una sección cónica? ¿Cómo clasificaría las cónicas de acuerdo con su excentricidad? ¿Cómo están relacionadas la forma de una elipse y su excentricidad?

19. Explique la ecuación PF = e . PD.

20. ¿Cuáles son las ecuaciones estándar para rectas y secciones cónicas en coordenadas polares? Dé ejemplos.

15. Y = (5/ 12)x6/ 5 - (5/ 8)x4/ 5, 1 ::; x ::; 32

16. x = Ci / 12) + (l / y) , 1::; y::; 2

17. x = 5cosl - cos5t, y = 5sent - sen5t, O::; t ::; 71' / 2

18. x = f - 62, Y = f + 62, O ::; t ::; 1

19. x = 3 cos e, y = 3 sen 8, O ::; 8 ::; 371' 2

20. Obtenga la longitud del lazo acotado por x = t 2, y = (t 3/ 3) - t que

se muestra en la figura. El lazo inicia en t = - \13 y termina en

{= \13. y

1 '7 t = O

"'- x O

~ -1 t <0\

Áreas de superficies Obtenga las áreas de las superficies generadas por la rotación de las curvas de los ejemplos 21 y 22 alrededor de los ejes indicados.

21. x = 2 / 2, y = 21, O::; ( ::; V5; ejex

22. x = r + 1/ (2t), y = 4Vt, 1/ \/2::; t::; 1; ejey

Ecuaciones polares a cartesianas Trace las rectas de los ejercicios 23 a 28. También determine la ecuación cartesiana para cada recta.

23. rcos (e + f) = 2\13

25. r = 2 sec e 27. r = - (3/ 2) csc e

24. rcos (e - 3:) = v¡ 26. r = - v2 sec e 28. r = (3 \13) csc e



Determine las ecuaciones cartesianas para las circunferencias de los ejer-cicios 29 a 32. Trace cada circunferencia en el plano coordenada y anotesus ecuaciones cartesiana y polar.

29. r = -4 sen e31. r=2V2cose

30. r = 3 V3 sen e32. r = -6 cos e

Ecuaciones cartesianas a polaresObtenga las ecuaciones polares de las circunferencias de los ejercicios 33a 36. Trace cada circunferencia en el plano coordenada y anote sus ecua-ciones cartesiana y polar.

33. x2 + i + 5y = O

35. x2 + i - 3x = O

34. ¿ + i - 2y = O

36. x2 + i + 4x = O

Gráficas en coordenadas polaresGrafique las regiones definidas por las desigualdades en coordenadas po-lares de los ejercicios 37 y 38.

37. O :S r :S 6 cos e 38. -4 sen e :S r :S O

Relacione cada gráfica de los ejercicios 39 a 46 con la ecuación apropiadaeligiendo entre los incisos (a) a 1). Hay más ecuaciones que gráficas, demanera que algunas ecuaciones no serán emparejadas.

a. r = cos 2e b. r cos e = 6C. r = I - 2 cos e

d. r = sen 2e e. r = e f. ,). = cos 2e

i. r = 2l - cos e

1. r = 2 cos e + l

g. r = I + cos e h. r = I - sen ej. ? = sen Zf k. r = + sen f

39. Rosa de cuatro pétalos 40. Espiral

y y

-t---f--'+''--+-+-~ x

41. Limacon

y

42. Lemniscata

-*-+----f-- ....•x

43. Circunferencia 44. Cardioide

y

---7'"¡.....;:--- ..•.x

45. Parábola 46. Lemniscatayy

----t1I---- ....•x -~=__-+~=-- ..•.x

Área en coordenadas polaresDetermine las áreas de las regiones en el plano de coordenadas polares de-scritas en los ejercicios 47 a 50.

47. Acotada por el lirnacon r = 2 - cos e48. Acotada por un pétalo de la rosa de tres pétalos r = sen 3e

49. Adentro de la "figura de un ocho" r = 1 + cos 2e y afuera de la cir-cunferencia r = l

50. Adentro de la cardioide r = 2(1 + sen e) y afuera de la circunferenciar = 2 sen e

Longitud en coordenadas polaresObtenga las longitudes de las curvas dadas por las ecuaciones en coorde-nadas polares de los ejercicios 51 a 54.

51. r = -) + cos e52. r = 2sene + 2cose, O:S e:s TT/2

53. r = 8sen3(e/3), O:s e:s TT/4

54. r = VI + cos2e, -TT/2:S e :S TT/2

Gráficas de secciones cónicasTrace las parábolas de los ejercicios 55 a 58. Incluya el foco y la directrizen todos los dibujos.

55. ¿ = -4y

57. i = 3x

56. ¿ = 2y

58. i = -(8/3)x

Determine las excentricidades de las elipses e hipérbolas de los ejercicios59 a 62. Incluya los focos, los vértices y las asíntotas (cuando sea ade-cuado) en su dibujo.

59. 16¿ + 7i = 112

61. 3¿ -i = 3

60. ¿ + 2i = 4

62. 5i - 4¿ = 20

En los ejercicios 63 a 68 se presentan ecuaciones para secciones cónicas yse indican las unidades que se desplaza la curva hacia arriba o hacia abajoy hacia la izquierda o hacia la derecha. Determine la ecuación para lanueva sección cónica y determine los focos, los vértices, los centros y lasasíntotas nuevos, cuando sea apropiado. Si la curva es una parábola, deter-mine también la nueva directriz.

63. x2 = -12y, derecha 2, arriba 3

64. i = 10x, izquierda 1/2, abajo I

x2 i65. 9 + 25 = 1, izquierda 3, abajo 5

x2 i66. 169 + 144 = 1, derecha 5, arriba 12

67. ~ - ~ 1, derecha 2, arriba 2V2

68. ~ - ~ = 1, izquierda 10, abajo 3

Identificación de secciones cónicasComplete los cuadrados para identificar las secciones cónicas en los ejer-cicios 69 a 76. Obtenga los focos, los vértices, los centros y las asíntotas(cuando sea apropiado). Si la curva es una parábola, determine tambiénla nueva directriz.

69. ¿ - 4x - 4i = O 70. 4¿ - i + 4y = 8

71. i - 2y + 16x = -49 72. ¿ - 2x + 8y = - 17

73. 9x2 + 16i + 54x - 64y = -1

74. 25x2 + 9i - 100x + 54y = 44

75. x2 + i - 2x - 2y = O 76. x2 + i + 4x + 2y = 1


Determine las ecuaciones cartesianas para las circunferencias de los ejercicios 29 a 32. Trace cada circunferencia en el plano coordenado y anote sus ecuaciones cartesiana y polar.

29. r = -4 sen O

31. r = 2\12 cos O

30. r = 3 yI3 sen O

32. r = - 6cosO

Ecuaciones cartesianas a polares Obtenga las ecuaciones polares de las ci rcunferencias de los ejercicios 33 a 36. Trace cada circunferencia en e l plano coordenado y anote sus ecuaciones cartesiana y polar.

33. x2 + ; + 5y = O 34. r + ; - 2y = O

35. x2 + ; - 3x = O 36. r + ; + 4x = O

Gráficas en coordenadas polares Grafique las regiones definidas por las desigualdades en coordenadas polares de los ejercicios 37 y 38.

37. O :5 r :5 6 cos O 38. - 4 sen O :5 r :5 O

Relacione cada gráfica de los ejerc icios 39 a 46 con la ecuación apropiada e ligiendo entre los incisos (a) a 1). Hay más ecuaciones que gráficas, de manera que algunas ecuaciones no serán emparejadas.

a. r = cos 20

d. r = sen 20

g. r = 1 + cos O

j. ? = sen 20

39. Rosa de cuatro pétalos

y

41. Limayon

y

b. rcos 0=

e. r = O

h. r = I - senO

k. r = -senO

40. Espiral

6 C. r = I - 2 cos O

f. ,;1. = cos 20

. 2 l. r = I - cosO

1. r = 2 cos 0+ 1

y

- I--+- .>.f"-- +---f-->-X

42. Lemniscata

- *--lf--- - -+_X

43. Circunferencia

y

----:--+-=--__>_ x

45. Parábola

y

----tt------+ X

44. Cardioide

46. Lemniscata

y

Área en coordenadas polares Determine las áreas de las regiones en e l plano de coordenadas polares descritas en los ejercicios 47 a 50.

47. Acotada por ellima<,:on r = 2 - cos O

48. Acotada por un pétalo de la rosa de tres pétalos r = sen 30

49. Adentro de la " figura de un ocho" r = I + cos 20 y afuera de la circunferencia r = I

50. Adentro de la cardioide r = 2( 1 + sen O) y afuera de la circunferencia r = 2 sen O

Longitud en coordenadas polares Obtenga las longitudes de las curvas dadas por las ecuaciones en coordenadas polares de los ejerc ic ios 51 a 54.

51. r = - 1 + cos O

52. r = 2senO + 2cosO, 0 :5 e :5 71"/ 2

53. r = 8 sen3 (e/3), 0 :5 e :5 71"/ 4

54. r = \h + cos 20, - 71"/ 2 :5 e :5 71"/ 2

Gráficas de secciones cónicas Trace las parábolas de los ejercicios 55 a 58. Incluya el foco y la directriz en todos los dibujos.

55. r = - 4y 56. r = 2y

57. ; = 3x 58. ; = -(8/ 3)x

Determine las excentricidades de las elipses e hipérbolas de los ejercicios 59 a 62. Incluya los focos, los vértices y las asíntotas (cuando sea adecuado) en su dibujo.

59. 16r + 7; = 112

61. 3r -; = 3

60. X2 + 2; = 4

62. 5; - 4x2 = 20

En los ejercicios 63 a 68 se presentan ecuaciones para secciones cónicas y se indican las unidades que se desplaza la curva hacia arriba o hacia abajo y hac ia la izquierda o hacia la derecha. Determine la ecuación para la nueva sección cónica y determine los focos , los vértices, los centros y las as íntotas nuevos, cuando sea apropiado. Si la curva es una parábola, determine también la nueva directri z.

63. x2 = -12y, derecha 2, arriba 3

64. l = 10x, izquierda 1/2, abajo 1

X2 l 65. 9 + 25 = 1, izquierda 3, abajo 5

~¿. ; 66. 169 + 144 = 1, derecha 5, arriba 12

; r _ r: 67. 8 - 2 - 1, derecha 2, arriba 2 v2

~¿. ; 68. 36 - 64 = 1, izquierda 10, abajo 3

Identificación de secciones cónicas Complete los cuadrados para identificar las secciones cónicas en los ejercicios 69 a 76. Obtenga los focos , los vértices, los centros y las asíntotas (cuando sea apropiado). Si la curva es una parábola, determine también la nueva directriz.

69. r - 4x - 4; = O

71. ; - 2y + 16x = -49

70. 4x2 - l + 4y = 8

72. ~¿. - 2x + 8y = - 17

73. 9~¿' + 16l + 54x - 64y = - 1

74. 25~¿' + 9; - 100x + 54y = 44

75. x2 + l - 2x - 2y = O 76. x2 + l + 4x + 2y = 1


Cónicas en coordenadas polaresGrafique las secciones cónicas cuyas ecuaciones en coordenadas polaresse indican en los ejercicios 77 a 80. Dé las coordenadas polares de los vér-tices y, en el caso de las elipses, también para los centros.

77. r = 2 78. r = 8+ cos é 2 + cos é

79 r = 6 80. r = 12. - 2 cos O 3 + sen O

En los ejercicios 81 a 84 se indican las excentricidades de secciones cóni-cas con un foco en el origen del plano de coordenadas polares, junto con ladirectriz para ese foco. Obtenga una ecuación polar para cada seccióncónica.

81. e = 2, r cos O = 2

83. e = 1/2, r sen é = 2

82. e = 1, r cos O = -4

84. e = 1/3, rsen O = -6

Teoría y ejemplos85. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar la región

acotada por la elipse 9x2 + 4y2 = 36 alrededor de (a) el eje x, (b) elejey.

Capítulo 11 Ejercicios adicionales y avanzados 657

86. La región "triangular" en el primer cuadrante acotada por el eje x,la recta x = 4 Y la hipérbola 9x2 - 4y2 = 36 se hace girar alrededordel eje x para generar un sólido. Obtenga el volumen del sólido.

87. La región "triangular" en el primer cuadrante acotada por el eje x,la recta x = 4 Y la hipérbola 9x2 - 4y2 = 36 se hace girar alrededordel eje x para generar un sólido. Obtenga el volumen del sólido.

kr = -----''-----1 + ecos O

en la ecuación cartesiana

88. Espirales de Arquímedes La gráfica de una ecuación de la formar = añ, donde a es una constante diferente de cero, se denomina es-piral de Arquímedes. ¿Existe algo especial acerca del ancho de lasvueltas sucesivas de una espiral?

Capitulo Ejercicios adicionales y avanzados

Determinación de secciones cónicas1. Determine la ecuación para la parábola con foco en (4, O) Y directriz

x = 3. Trace la parábola junto con su vértice, foco y directriz.

2. Obtenga el foco, el vértice y la directriz de la parábola

~ - 6x - 12y + 9 = O.

3. Determine la ecuación para la curva que traza el punto P(x, y) si ladistancia de P al vértice de la parábola x2 = 4y es el doble de la dis-tancia de P al foco. Identifique la cur:-a.

4. Un segmento de recta de longitud a + b va del eje x al eje y. El puntoP en el segmento está a a unidades de uno de los extremos y a b uni-dades del otro extremo. Demuestre que P traza una elipse cuando losextremos del segmento se deslizan a lo largo de los ejes.

5. Los vértices de una elipse de excentricidad 0.5 están en los puntos(O, :t:2). ¿Dónde se encuentran los focos?

6. Obtenga la ecuación para la elipse de excentricidad 2/3 que tiene a larecta x = 2 como una directriz y el punto (4, O) como el foco corres-pondiente.

7. El foco de una hipérbola está en el punto (O, -7) Y la directriz co-rrespondiente es la recta y = - 1. Determine la ecuación para la hi-pérbola si su excentricidad es (a) 2, (b) 5.

8. Obtenga una ecuación para la hipérbola con focos en (O, -2) Y(O,2)que pasa por el punto (12, 7).

9. Demuestre que la recta

es tangente a la elipse b2x2 + a2y2 - a2b2 = ° en el punto (XI, YI) enla elipse.


b2XXI - a2YYI - a2b2 = °es tangente a la hipérbola b2x2 - a2y2 - a2b2 = ° en el punto (XI, YI)en la hipérbola.

Ecuaciones y desigualdades¿Qué puntos en el plano xy satisfacen las ecuaciones y desigualdades enlos ejercicios 11 a 16? Dibuje una figura para cada ejercicio.

11. (x2 -1 - l)(~ + 1 - 25)(x2 + 41 - 4) = °12. (x + y)(x2 + 1 - 1) = O

13. (~/9) + (1/16) :5 1

14. (~/9) - (//16) :5 1

15. (9x2 + 4/ - 36)(4x2 + 9/ - 16) :5 O

16. (9x2 + 4/ - 36)(4x2 + 91 - 16) > O

Coordenadas polares17. a. Obtenga la ecuación en coordenadas polares para la curva

x = e2f cos t, y = e2f sen t; - 00 < t < oo .

b. Determine la longitud de la curva de t = Oa t = 27T.

18. Obtenga la longitud de la curva r = 2 sen ' (0/3), O :5 O :5 37T,en elplano de coordenadas polares.

En los ejercicios 19 a 22 se indican las excentricidades de secciones cóni-cas con un foco en el origen del plano de coordenadas polares, junto con ladirectriz de ese foco. Obtenga la ecuación polar para cada sección cónica.

19. e = 2, r cos e = 2 20. e = 1, rcosO = -4

21.e=I/2, rsenO=2 22.e=I/3, rsenO=-6

Cónicas en coordenadas polares Grafique las secciones cónicas cuyas ecuaciones en coordenadas polares se indican en los ejercicios 77 a 80. Dé las coordenadas polares de los vértices y, en el caso de las elipses, también para los centros.

77. r = + 2cosO 78. r = 2 + 8cos O

79. 6 12

80. r = 3 + sen O r= - 2 cos O

En los ejercicios 81 a 84 se indican las excentricidades de secciones cónicas con un foco en el origen del plano de coordenadas polares, junto con la directriz para ese foco. Obtenga una ecuación polar para cada sección cónica.

81. e = 2, reos O = 2

83. e = 1/ 2, rsenO = 2

Teoria y ejemplos

82. e = 1, rcosO = - 4

84. e = 1/ 3, rsenO = -6

85. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar la región acotada por la elipse 9x2 + 4y2 = 36 alrededor de (a) el eje x, (b) el eje y.

Capítu lo 11 Ejercicios adicionales y avanzados 657

86. La región "triangular" en el primer cuadrante acotada por el eje x, la recta X = 4 Y la hipérbola 9X2 - 4y = 36 se hace girar alrededor del eje X para generar un sólido. Obtenga el volumen del sólido.

87. La región "triangular" en el primer cuadrante acotada por el eje x, la recta X = 4 Y la hipérbola 9x2 - 4y = 36 se hace girar alrededor del eje X para generar un sólido. Obtenga el volumen del sólido.

k r = -----''-----1 + e cos O

en la ecuación cartesiana

(1 - e2)~ + 1 + 2kex - k = O.

88. Espirales de Arquímedes La gráfica de una ecuación de la forma r = aO, donde a es una constante diferente de cero, se denomina espiral de Arquímedes. ¿Existe algo especial acerca del ancho de las vueltas sucesivas de una espiral?

Capitulo Ejercicios adicionales y avanzados

Determinación de secciones cónicas 1. Determine la ecuación para la parábola con foco en (4, O) Y directriz

x = 3. Trace la parábola junto con su vértice, foco y directriz.

2. Obtenga el foco, el vértice y la directriz de la parábola

~ - 6x - 12y + 9 = O.

3. Determine la ecuación para la curva que traza el punto P(x, y) si la distancia de P al vértice de la parábola x2 = 4y es el doble de la distancia de P al foco. Identifique la cur~a.

4. Un segmento de recta de longitud a + b va del eje x al eje y . El punto P en el segmento está a a unidades de uno de los extremos y a b unidades del otro extremo. Demuestre que P traza una elipse cuando los extremos del segmento se deslizan a lo largo de los ejes.

5. Los vértices de una elipse de excentricidad 0.5 están en los puntos (O, ::t:2). ¿Dónde se encuentran los focos?

6. Obtenga la ecuación para la elipse de excentricidad 2/ 3 que tiene a la recta x = 2 como una directriz y el punto (4, O) como el foco correspondiente.

7. El foco de una hipérbola está en el punto (O, -7) Y la directriz correspondiente es la recta y = - l . Determine la ecuación para la hipérbola si su excentricidad es (a) 2, (b) 5.

8. Obtenga una ecuación para la hipérbola con focos en (O, - 2) Y (O, 2) que pasa por el punto (12, 7).


es tangente a la elipse b2x2 + a2y2 - a2b2 = ° en el punto (XI, YI) en la elipse.


b2XX I - a2YY I - a2b2 = °

es tangente a la hipérbola b2x2 - a2y - a2b2 = ° en el punto (X I, YI) en la hipérbola.

Ecuaciones y desigualdades ¿Qué puntos en el plano xy satisfacen las ecuaciones y desigualdades en los ejercicios II a 16? Dibuje una figura para cada ejercicio.

11. (~ - 1 - I)(~ + 1 - 25)(~ + 41 - 4) = ° 12. (x + y )(x2 + 1 - 1) = O

13. (~/9) + (1/16) :5 1

14. (~/9) - (// 16) :5 I

15. (9x2 + 4/ - 36)(4x2 + 9/ - 16) :5 O

16. (9x2 + 4/ - 36)(4x2 + 9/ - 16) > O

Coordenadas polares 17. a. Obtenga la ecuación en coordenadas polares para la curva

x = e2f cos t, y = e2r sen t; - (X) < t < oo .

b. Determine la longitud de la curva de t = O a t = 27T.

18. Obtenga la longitud de la curva r = 2 sen3 (0/3), ° :5 O :5 37T, en el plano de coordenadas polares.

En los ejercicios 19 a 22 se indican las excentricidades de secciones cónicas con un foco en el origen del plano de coordenadas polares, junto con la directriz de ese foco. Obtenga la ecuación polar para cada sección cónica.

19. e = 2, rcosO = 2 20. e = 1, rcosO = -4

21.e=I/2, rsenO=2 22.e=I/3 , rsenO=-6



Teoria y ejemplos23. Epicicloides Cuando un CÍrculo rueda por fuera, a lo largo de una

circunferencia de otro CÍrculo fijo, cualquier punto P sobre la circun-ferencia del CÍrculo que rueda describe una epicicloide, como semuestra en la figura. Suponga que el centro del CÍrculo fijo es el ori-gen O y que tiene radio a.

y

Sea b el radio del círculo rodante y sea A(a, O) la posición inicial delpunto P que traza la curva. Determine las ecuaciones paramétricas dela epicicloide, usando como parámetro el ángulo 8 que forma el eje xpositivo con la recta que pasa por los centros de los CÍrculos.

24. Obtenga el centroide de la región acotada por el eje x y el arco de lacicloide

x = ait - sen t), y = a(1 - cos t); 0:5 t :5 27f.

El ángulo entre el radio vector y la recta tangente a una curva de coor-denadas polares En coordenadas cartesianas, cuando queremos analizarla dirección de una curva en un punto, usamos el ángulo cp medido ensentido contrario a las manecillas del reloj desde la parte positiva del eje xhasta la recta tangente. En coordenadas polares, es más convenientecalcular el ángulo !f;del radio vector a la recta tangente (véase la siguientefigura). El ángulo cp se puede calcular entonces a partir de la relación

cp = 8 + lp,

la cual obtenemos de la aplicación del teorema del ángulo exterior al trián-gulo de la figura

y

r = fiel

\~P(r ..8)~

r

-o,-t<"-----'-------7"'-------L----'.-~ X

Suponga que la ecuación para la curva está dada en la formar = f(8), donde f(8) es una función derivable de 8. Entonces

x = r cos 8 y Y = r sen 8

son funciones derivables de 8 con

dx drd8 = - r sen 8 + cos 8 d8 ..

dy drd8 = r cos 8 + sen 8 d8 .

Puesto que !f;= cp - 8 de la ecuación (1),

tan cp - tan 8tan!f;=t an(cp-8) = I -1.• 8'+ tan '1-' tan

Además,

dy dy/d8tan ó = dx = dx/d8

debido a que tan cp es la pendiente de la curva en P. También,

ytan8=:x.

De aqui que

dy/d8 Y dy dx----dx/d8 x x d8 - Y d8

tan!f; =y dy/d8 dx dy

(4)

1 +--- x d8 +Y d8x dx/d8

El numerador de la última expresión en la ecuación (4) se obtiene de lasecuaciones (2) y (3)

De manera similar, el denominador es

(1) Cuando sustituimos estas ecuaciones en (4), obtenemos

tan!f; = _r_.dr/d8

(5)

Ésta es la ecuación que usamos para obtener !f;como una función de 8.

25. Tomando como referencia la figura, demuestre que el ángulo f3 entrelas tangentes de dos curvas en el punto de intersección se puede ob-tener de la fórmula

tan!f;2 - tan !f;¡tanf3 = I + tan!f;2tan!f;¡' (6)

(2)

¿Cuándo se intersecarán las dos curvas en ángulos rectos?

26. Obtenga el valor de la tangente de!f; para la curva r = sen" (8/4).

27. Obtenga el ángulo entre el radio vector a la curva r = 2a sen 38 ysu tangente cuando 8 = tt / 6.

O 28. a. Grafique la espiral hiperbólica r8 = 1. ¿Qué parece ocurrirle a !f;cuando la espiral da vuelta alrededor del origen?

b. Confirme su descubrimiento del inciso (a) de manera analítica.

29. Las circunferencias r = \1:3 cos 8 y r = sen 8 se intersecan en el

punto (\1:3/2, -tt/3). Demuestre que sus tangentes son perpendicu-

lares en este punto.

30. Obtenga el ángulo en el cual la cardioide r = a(1 - cos 8) cruza elrayo 8 = tt /2.(3)


Capítulo 11 Proyectos de aplicación tecnológica 659

Capitulo Proyectos de aplicación tecnológica

Módulo Mathematica/Maple:

Rastreo por radar de un objeto en movimientoParte 1: Convierta coordenadas polares a coordenadas cartesianas.

Ecuaciones paramétricas y polares de un patinador artísticoParte 1: Visualice posición, velocidad y aceleración para analizar el movimiento definido por medio de ecuaciones paramétricas.Parte 11: Determine y analice las ecuaciones de movimiento de un patinador artístico que traza una curva polar.

Capítulo 11 Proyectos de aplicación tecnológica

Capitulo Proyectos de aplicación tecnológica

Módulo Mathematicaj Maple:

Rastreo por radar de UII objeto ell movimiento Parte 1: Convierta coordenadas polares a coordenadas cartesianas.

Ecuaciolles paramétricas y polares de UII patinador artístico Parte 1: Visualice posición, velocidad y aceleración para analizar el movimiento definido por medio de ecuaciones paramétricas. Parte 1I: Determine y analice las ecuaciones de movimiento de un patinador artístico que traza una curva polar.

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11...como el de los planetas y satélites, o los proyectiles que se mueven en un plano o en el...

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