I. OBJETIVOComprobar experimentalmente la ecuacin matemtica de la trayectoria de un proyectil que es lanzado horizontalmente.

II. FUNDAMENTO TERICOProyectilUnproyectiles cualquier objeto lanzado en el espacio por la accin de unafuerza. Aunque unbalnarrojado es tambin un proyectil tcnicamente, el trmino se refiere generalmente a unarma.12Para los detalles matemticos referentes a latrayectoriade un proyectil, vaseecuaciones de movimiento.Balonesde ftbol opelotasde tenis podran considerarse proyectiles, pero el trmino suele estar referido aarmas.Flechas,dardosolanzasson armas lanzadas usando la fuerza mecnica aplicada por otro objeto. Otras armas utilizan la fuerza del aire comprimido para disparar.Pistolas,riflesy dems utilizan la fuerza expansiva de unos gases liberados por ciertas reacciones qumicas. Por lo general los proyectiles son de metal y ese recubrimiento les permite penetrar con facilidad en su objetivo.Hay proyectiles pensados para no ser letales, que suelen ser de materiales no muy densos, como (goma,plstico, etc.).Labalsticaanaliza la trayectoria del proyectil, las fuerzas que actan sobre el proyectil y el impacto que tiene el proyectil en el objetivo.

Movimiento de proyectilesCualquier objeto que sea lanzado en el aire con una velocidad inicialde direccin arbitraria, se mueve describiendo una trayectoria curva en un plano. Un proyectil es un objeto al cual se ha comunicado una velocidad inicial y se ha dejado en libertad para que realice un movimiento bajo la accin de la gravedad. Los proyectiles que estn cerca de la Tierra siguen una trayectoria curva muy simple que se conoce como parbola. Para describir el movimiento es til separarlo en sus componentes horizontal y vertical.

Por eso es importante explicar el movimiento de un proyectil como resultado de la superposicin de un movimiento rectilneo uniforme y uno uniformemente variado, estableciendo las ecuaciones de la curva representativa, tiempo de vuelo, tiempo mximo, altura mxima, alcance mximo, velocidad y coordenadas de posicin en el plano.

Vamos ahora a utilizar nuestros nuevos conocimientos para ver cmo podemos describir el movimiento de un objeto que se lanza con una determinada velocidad inicial en cualquier direccin. Empecemos por el caso ms simple de una bomba que se deja caer desde un avin. En la figura podemos contemplar la trayectoria de una bomba soltada desde un avin que vuela a 1000 m de altura con una velocidad de 600 km/h.Movimientos horizontal y vertical del proyectil se pueden estudiar separadamente, todo empieza a hacerse ms sencillo.PARTE HORIZONTAL DEL MOVIMIENTOSupongamos ahora que una vez soltado, el proyectil tiende a seguir llevando la misma velocidad que llevaba el avin y en la misma direccin. Pero el lector puede pensar: cmo es esto? El proyectil debera perder velocidad por dos razones:1. Por el rozamiento de aire2. Porque ya no hay ningn motor que lo impulse.Efectivamente, el proyectil pierde algo de velocidad por efectos de rozamiento con el aire, pero la segunda razn es errnea. Hay un principio de la naturaleza que a veces se denominaprincipio de inerciay que establece quelos cuerpos tienden a continuar en la misma direccin y con la misma velocidad que llevaban mientras no haya ninguna fuerza que se lo impida. En otras palabras, no hace falta que nada mueva al proyectil. Este tiende a continuar movindose por su propia inercia. Vamos a admitir de momento este principio y ms tarde discutiremos los que haya que discutir al respecto. Si despreciamos entonces el rozamiento del aire tenemos, que en la direccin horizontal la rapidez del proyectil es constante y podemos calcular la distancia horizontal que cubre en un determinado tiempo como (ec.[5])

Que no es ms que otra manera de expresar nuestraecuacin [1].MOVIMIENTO VERTICALEl movimiento vertical se convierte en una simple cada libre de un objeto como ya hemos estudiado. La distancia vertical cubierta por el proyectil viene dada por la expresin[3]que en este caso se convierte en (ec. [6]):

y su velocidad vertical en cada instante de tiempo t viene dada por laexpresin [2]v = g tNuestro ejemplo en concretoVamos a empezar por calcular la distancia a la que impacta el proyectil. Estar de acuerdo el lector que esto ocurre cuando el proyectil haya cado los 1000 metros desde los que fue lanzado, es decir, que podemos sustituir en laec. [6]

con lo que de paso hemos calculado el tiempo de cada del proyectil. Si ahora lo ponemos en la expresin[5]

donde 167 m/s es la velocidad del avin (600 km/h), obtenemos la distancia buscada.Nos preguntamos ahora con qu velocidad impacta el proyectil en el suelo. Aqu se nos presenta el problema de que tenemos una rapidez horizontal que sigue siendo de 167 m/s y una rapidez vertical que se calcula como:

Cmo se suman estas dos contribuciones para obtener la velocidad. La respuesta es mediante la ley de adicin vectorial. No se asuste el lector, pues el asunto es ms sencillo que lo que el nombre indica.

Figura 6.Representacin del instante de impacto de la bomba contra el suelo.Si nos fijamos en lafigura 6podemos ver como el truco para calcular la verdadera velocidad a partir de la rapidez horizontal y vertical no es ms que la aplicacin del teorema de Pitgoras a nuestro caso particular. Es decir, tenemos que calcular el valor de la hipotenusa del tringulo que se muestra en lafigura 6como

Otra cosa que nos podra interesar es el ngulo con el que se produce la cada de la bomba. El truco consiste en ver la relacin existente entre los lados del tringulo, es decir, 140/167. Este nmero nos da lo que se denomina en matemticas la tangente del ngulo. Por tanto, para calcular el ngulo no tenemos ms que hacer la tangente inversa de esta cantidad y obtenemos unos 40.Por ltimo me gustara sealar el tipo de curva que sigue un proyectil en su movimiento. Todos hemos odo en la retransmisin de un partido de ftbol al locutor diciendo aquello de: "el baln describe una bonita parbola". La parbola es una curva matemtica que se obtiene fcilmente si uno coge en un eje horizontal y pinta marcas igualmente espaciadas y en un eje vertical donde pinta rayas espaciadas cantidades que se multiplican sucesivamente por 1,4,9,16... veces la unida elegida. Esto es, segn los cuadrados de los enteros. De forma general una parbola es una curva que relaciona la distancia vertical y con distancia horizontal x de la forma

Siendoa, b, cnmeros cualesquiera.Para ver que efectivamente nuestro proyectil sigue una curva de este tipo solamente tenemos que eliminar el tiempotde las ecuaciones[5]y[6]y obtener una relacin entre la distancia recorrida verticalmente y la cubierta horizontalmente. Quede esto como ejercicio para los lectores ms interesados en la matemtica del asunto.Ecuaciones de la trayectoria del movimiento de un proyectilUtilizaremos las siguientes hiptesis simplificadoras: El alcance del proyectil es suficientemente pequeo como para poder despreciar la curvatura de la superficie terrestre (la aceleracin gravitatoriaes normal a dicha superficie); La altura que alcanza el proyectil es suficientemente pequea como para poder despreciar la variacin del campo gravitatorio terrestre con la altura; La velocidad del proyectil es suficientemente pequea como para poder despreciar la resistencia que presenta el aire a su movimiento; No tendremos en cuenta el efecto de rotacin de la Tierra que, como veremos ms adelante, tiende a desviar el proyectil hacia la derecha de su trayectoria cuando el movimiento tiene lugar en el hemisferio Norte.Supongamos que se dispara el proyectil con una velocidad inicialque forma un ngulocon la horizontal. Escogeremos el planoxycoincidiendo con el plano de la trayectoria (definido pory), con el ejeyvertical y dirigido hacia arriba y el origen O coincidiendo con la posicin de disparo del proyectil. Tenemos:(1)(2)(3)La componente horizontal de la velocidad permanece invariable, pero la componente vertical cambia en el transcurso del tiempo. En la figura 1 se observa que el vector velocidad inicialforma un ngulo inicialrespecto al ejex; el nguloque forma la velocidad con la horizontal, que coincide con la pendiente de la trayectoria, cambia conforme avanza el proyectil.Integrando las ec. (3) y teniendo en cuenta las condiciones iniciales (2)(4)Mediante nueva integracin de (4), con las condiciones iniciales (1), obtenemos el vector de posicin del proyectil:(5)Estas dos ecuaciones constituyen las ecuaciones paramtricas de la trayectoria. Si eliminamos el tiempo entre las expresiones de las componentes x e y del vector de posicin con las ecuaciones que dan las posicionese, obtendremos la ecuacin algebraica de la trayectoria, esto es:(6)

III. MATERIALES E INSTRUMENTOS

CronmetroElcronmetroes unrelojcuya precisin ha sido comprobada y certificada por algn instituto o centro de control de precisin. La palabra cronmetro es unneologismode etimologagriega: Cronoses el Titan del tiempo, -metrones hoy un sufijo que significaaparato para medir.1Con normalidad se suele confundir el trmino cronmetro y crongrafo; el primero como se ha especificado es todo reloj que ha sido calificado como tal por algn organismo de observacin de la precisin de mecanismos o calibres. En la actualidad el Control Oficial Suizo de Cronmetros (COSC) es el organismo que certifica la mayor parte de los cronmetros fabricados. Durante al menos dos semanas, en diferentes posiciones y temperaturas se prueba el comportamiento y diferencias obtenidas respecto a los criterios y desviaciones mximas permitidas. Para mayor informacin de dichas desviaciones consultar la pgina oficial del COSC: www.cosc.chLos relojes certificados como cronmetros van acompaados normalmente de un atestado de cronometra y por una mencin en la esfera. Segn informa el COSC en su pgina web se certifican como cronmetros un milln de relojes al ao lo que representa slo un 3% del total de la fabricacin suiza.Un crongrafo es un reloj que, mediante algn mecanismo de complicacin, permite la medicin independiente de tiempos. Normalmente, en su versin analgica van provistos de un pulsador de puesta en marcha y paro as como otro segundo pulsador de puesta a cero.Ejemplo de cronmetro de pulsera: Rolex Oyster Perpetual Datejust. Fue el primer reloj de pulsera con indicacin de fecha en una ventanilla abierta sobre la esfera. Ejemplo de reloj con funcin de crongrafo: Omega Speedmaster Professional. Fue el crongrafo elegido por la Nasa para acompaar a los astronautas en las misionesApoloque culminaron con la llegada del hombre a la luna. Ejemplo de reloj cronmetro con funcin de crongrafo: Breitling Navitimer, primer reloj en incorporar una regla de clculo logartmica para la realizacin de clculos relativos a consumos de carburante, distancias recorridas, multiplicaciones, divisiones, reglas de tres, etc.

Regla patrn

Accesorios del soporte universal

Tubo de NicolaRelacionalavelocidadterminalyngulodeinclinacin, determinalaviscosidaddeunfluido

Rampa de lanzamiento de proyectil

Papel carbn

IV. PROCEDIMIENTOMovimiento parablico Se dispone de una rampa con canal gua que permite lanzar una billa en cada parablica con velocidad inicial horizontal El proyectil debe ser colocado en la parte superior del canal gua de modo que se deslice por su propio peso, evitando en lo posible impulsarlo con la mano La disposicin de la rampa se muestra en la fig 1 Coloque en el piso del papel blanco y sobre el papel carbn Con una plomada establezca el pie de la vertical del punto final del canal gua. Deje cae la billa y determine las diferentes alturas Y, (por lo menos 8) , la distancia horizontal X que se desplaza. Repita en cada caso 3 veces (3 impactos) y anote el promedio en la tabla 1 Grafique Y con X. Grafique Y con . En ella mediante el mtodo de mnimos cuadrados, determine la velocidad inicial horizontal. Completa la tabla II, complete para cada caso la velocidad vertical con Vy= Interprete el resultado anterior y caracterice el movimiento

V. DATOS EXPERIMENTALES

Y(cm)X(cm)Vy(cm/s)

2525.922.36

3028.123.70

3529.826.45

4032.628.28

4535.730.00

5037.331.62

5539.533.16

604134.64

INTERPRETE EL RESULTADO ANTERIOR CARACTERICE EL MOVIMIENTO:

Graficando las alturas y las distancias caracterizamos el movimiento y hallamos la grafica xy:

Grafica Y con X :

VI. CUESTIONARIO

1. Un grifo deja caer gotas de agua a intervalos iguales de tiempo. Cuando Determinada gota B empieza a caer libremente, la gota precedente A ha descendido ya 0.3m. Determinar la distancia que habr descendido la gota A durante el tiempo en que la distancia entre A y B haya aumentado en 0.9m.

2.

Un hombre de pie en una ladera que forma un ngulo con la horizontal lanza una piedra con una rapidez vo con un ngulo sobre la horizontal. (a) Probar que la piedra llega a una distancia s, en la parte inferior de la pendiente, tal que

(b)Mostrar que para valores dados de vo y , el mayor valor de s se obtiene con = 45- y viene dado por s=

DERIVANDO RESPECTO A

VII. BIBLIOGRAFA

Fsica general y experimental Fsica experimental