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TRABAJO COLABORATIVO No. 1

CÁLCULO INTEGRAL

ASTRID ELENA MUÑOZ: 1061774916

MAGALY GERMANIA TONGUINO GUACAV!Z: "7"04#1$

MIGUEL %LORENCIO &ORTILLO 7'10#041

VI(UI YOLIMA CRUZ

T)*o+:

ALE,ANDER %LOREZ

100411 - $6

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOG/A E INGENIER/A ECBTI

JUNIO DE "016

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INTRODUCCIN

El Cálculo Integral es la rama de las Matemáticas muy utilizadas en Ciencias, Tecnología,

Ingeniería e Investigación, que requiere un trabajo sistemático y planiicado, para poder cumplir el

propósito undamental que es saber integrar, t!cnica que permite solucionar problemas de estos

campos" #or otra parte, la integración es necesaria para otros escenarios como las Ecuaciones$ierenciales, M!todos num!ricos, geometría dierencial, #robabilidad, Estadística avanzada y otras

áreas del conocimiento"

El Cálculo integral, pertenece al campo de ormación disciplinar y tiene carácter básico en

cualquier área del saber, debido a que los Ingenieros, %dministradores, Economistas, &ísicos,

'uímicos, por su puesto Matemáticos y demás proesionales requieren de esta área del saber"

#or ello en el siguiente trabajo se estudia la (nidad ) del curso perteneciente a *a Integración, donde

veremos temáticas como la Integración, la %nti derivada, Integral indeinida, propiedades de las

integrales indeinidas y la constante de integración, la Integral deinida y los Teoremas"

#ara su elaboración se contó con la lectura del material recomendado, los aportes de los integrantes delgrupo y la orientación de nuestro tutor"

%sí, los estudiantes pueden identiicar, comprender e interiorizar las temáticas que cubren el curso, con

el in de adquirir conocimientos matemáticos que den la capacidad de resolver problemas del cálculo,

desarrollando así los ejercicios propuestos en esta actividad"

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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

&ROBLEMAS &RO&UESTOS

*a anti derivada de una unción +- es otra unción g+- cuya derivada es +-" En algunos tetos la

anti derivada de recibe el nombre de integral indeinida de " *a anti dierenciación es el proceso

inverso a la dierenciación"

.allar la solución de las siguientes integrales paso a paso, teniendo en cuenta las propiedades de las

integrales indeinidas, las cuales son consecuencia de las aplicadas en la dierenciación"

&RIMERA &ARTE 2&UNTO 1 AL 43

1. ∫ x

3+ x−2

x2

dx

∫ x3

x2+

x

x2− 2

x2 dx

∫ x+1

x

− 2

x

2 dx

∫ xdx+∫ 1

x dy−∫ 2

x2 dy

x2

2 + ln| x|−2∫ x

−2dx

x2

2 + ln x−2

( x−1 )−1

+c

x2

2

+ ln x+2

1

1

x1+c

x2

2 + ln| x|+ 2

1 x1+c

x2

2 + ln| x|+ 2

x+c

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". ∫ sec

2( x )

√ tan( x )dx

u=tan x du=sec2 x

du

sec2 x=dx ∫ sec

2 x

√ u

du

sec2 x

∫ du

u1

2

=∫u12 du ¿ u

−1

2

−1

2 +1

+c

¿u

1

2

1

2

+c ¿2√ u+c ¿2√ tan x+c

$.

1+3 x¿2

¿¿ 3√ x¿¿

∫¿

3 x−√ x ¿2

¿¿ 3√ x¿¿∫¿

$esarrolla el binomio del numerador

√ x❑¿2

¿

¿( x

1

3 )(9 x

2−6 x √ x)+¿¿∫¿

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∫(9 x

2−6 x

1

3+ x )( x

1

3) dx

/epara entres integrales de racciones

∫ 9 x2

( x1

3 ) dx−6∫ x

3

2

( x1

3 ) dx+∫ x

( x1

3 )dx

0esta eponentes

9∫ x5

3 dx−6∫ x7

6 dx+∫ x2

3 dx

9( 38 ) x3

8−6 ( 613 ) x13

6 +( 35 ) x5

3

1 C

( 278 ) x3

8−(36

13) x

13

6 +( 35 ) x5

3

1 C

4. ∫ tan3 ( x ) dx

∫ tan3

+- dxes;

∫ tanm ( x ) dx=

tan−1+m( x)

−1+m −∫ tan

−2+m ( x ) dxdonde

2tan

2( x)2 3 ∫ tan ( x ) dx ,reesdribiendo tan ( x )=

senx

cosx

parala integral senx

cos x , sustituimos μ=cos ( x ) dμ=−sen ( x ) dx

¿ tan

2 ( x )2

— 1

μ dμ=

tan2( x)2

+ln / μ

M=3

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sustituyendo μ=cos ( x ) obtenemosque :

El conjunto de todas las anti derivadas de +- se llama integral indeinida de respecto a , y se denota

por el símbolo ∫ f ( x)dx= F ( x)+C " 0esolver las siguientes integrales indeinidas4

'. ∫√ 2+9

3√ x

3

√ x2

dx

$e allí se tiene4

u= x2 du=2 x dx

#ara obtener41

2∫ 1

√ 3−u2

du

/acando el actor de 5 para el radical, se tiene41

2∫

1

√ 3

√3−u

3

2

du

6 a7ora se tendría41

2√ 3∫ 1

❑√3−u

3

2du

%7ora la integral se obtiene de∫ 1

√3−u

3

2du

que sustituiremos por4

s=u

3 y ds=

1

√ 3du .

tan2 x

2 +ln /cos ( X )/+∁

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1

2∫ 1

√ 1−s2

ds

/in embargo debemos integrar

1

√ 1−s2

de la cual se obtienesin

−1 (s ):

#ara inalizar, remplazamos u por su valor inicial"

1

2 sin

−1 ( s)+c=1

2 sin

−1( u

√ 3 )+c

6 por 8ltimo el valor de u que corresponde a x2:

1

2 sin

−1

( x2

√ 3 )+c

6. ∫ x

√ 3− x4

dx

∫ x

√ 3− x4

dx

u= x2

du=2 x d x

#ara obtener4

12∫ 1

√ 3−u2

du

/acamos el actor de 5 para el radical4

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1

2∫ 1

√ 3

√3−u

3

2du

1

2√ 3∫ 1

❑√3−u

3

2du

*a integral se obtiene de

∫ 1

√3−

u

3

2du

/e sustituye

s=u

3 y ds=

1

√ 3du .

1

2∫ 1

√ 1−s2

ds

/e debe integrar

1

√ 1−s2 9bteniendo

sin−1 (s ):

0eemplazamos u por su valor inicial"

1

2 sin

−1 ( s)+c=1

2 sin

−1( u

√ 3 )+c

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#or 8ltimo el valor de u que corresponde a x2:

1

2sin

−1( x2

√ 3 )+c

7. ∫sen (4 x ) cos (3 x )dx

∫ sen (4 x+3 x )+sen (4 x−3 x )+sen(4 x−3 x)

2 dx

sen (4 x+3 x )+sen (4 x−3 x ) dx

(¿)1

2∫ ¿

∫ sen (4 x+3 x ) dx

#or sustitución4

u=4 x+3 x du=7dx

/ustituir4

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u=4 x+3 x

d

dx(4 x+3 x )

d

dx (4 x )+

d

dx(3 x )

.allando la constante y derivando4

d

dx (4 x )=4

d

dx (3 x )=3

¿7

∫ sen (4 x ) cos (3 x )dx

(samos la siguiente identidad4

∫ sen (4 x+3 x )+sen (4 x−3 x )+sen(4 x−3 x)

2 dx

.allamos la constante y aplicamos regla de la suma4

sen (4 x+3 x )+sen (4 x−3 x ) dx(¿)1

2∫ ¿

$esarrollamos primera integral4

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∫ sen (4 x+3 x ) dx

#or sustitución4

u=4 x+3 x du=7dx

/ustituir4

u=4 x+3 x

d

dx

(4 x+3 x )

d

dx (4 x )+

d

dx(3 x )

.allando la constante y derivando4

d

dx (4 x )=4

d

dx (3 x )=3

¿7

Entonces4

du=7dx

dx=1

7 du

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du

dx=7

∫

sen(u)

7 du=

1

7∫sin

(u ) du

¿1

7(−cos (u ))

¿1

7(−cos ( 4 x+3 x ))=

−1

7 cos(7 x )

$esarrollamos segunda integral4

∫ sen (4 x−3 x ) dx=−cos( x)

/impliicando4

∫ sen ( x )dx

¿−cos( x )

(−¿1

7cos (7 x )−cos ( x))+C

1

2∫¿

#. ∫cos

3 ( t )+1

cos2 (t )

dt =¿

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∫ cos3 (t )

cos2 (t )

dt +∫ 1

cos2 (t )

dt aplcamosinversade 1

cos1 (t )

quees sec2(t )=¿

∫cos ( t ) dt +∫ sec

2

(t ) dt =¿

sen+( t )+ tan (t )

(n teorema generalmente posee un n8mero de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de

antemano" *uego eiste una conclusión, una airmación lógica o matemática, la cual es verdadera bajo

las condiciones dadas" El contenido inormativo del teorema es la relación que eiste entre las

7ipótesis y la tesis o conclusión"

TERCERA &ARTE 2&UNTO 9 AL 1"3

9. 55+ 5 5o+ 8o 5 ;)<=>< f ( x )= x √ x2+16 < 5 <*+5o ?0 $@.

f ¿ 1

b−a∫

a

b

f ( x ) dxa=a=0b=3

x√ x2+16

dxu= x2+16 : du=2 xdx →

du

2 2 d1

3∫0

3

❑ sustitucion

1

3∫0

3

√ u du

2

/acamos la constante e integramos

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1

6 [2u3

2

3 ]0

3

0emplazamos u

1

6 [ 23 ( x2+16)3

2 ]0

3

Evaluamos en el intervalo

1

6

[2

3

(32+16)3

2−3

2

(02+16)3

2

]❑

❑

/impliicamos

1

6 [23 (125 )−2

3(64 )] 1

6 [2503 →122

18 →

61

9 ]

El valor medio de la unción

f ( x )= x √ x2+16es

61

9

10. S )o< ) 5 o5=>< 8)<5 =*)5 7 85 855o< ) 5 o5=>< <*+o *

* o+ 5 5 =+=8<*o Ho<<=5 p (t )=e0.023 t . E<=)<*+ 5 o5=>< +o8o

*++ < 5o +>H8o $0 Fo.

&+8+ o

;uscamos la cantidad promedio de la población del problema de t2< a t25<

#ara ello 7acemos uso de la ecuación4 p+t-2=> e0,023t

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/egundo paso la anterior ecuación nos arroja datos de millones al tener en cuenta la población inicial

de siete mil millones con t2<" Entonces aplicamos el teorema del valor medio y este resultado parcial

nos da4

?p21

30−0∫0

30

7∗e0,023 t

dt

%plicando vp27

30 +e0,023 t

0,023 -

T+=+ o resolviendo el valor promedio +?p-

7

30 (0.023) @e0,023 t (30)

1−

e0,023 t (0 )

1 A

0esultado 2 )<,<B)

Tenemos que la población mundial +en promedio- en 5< aos será )<<B) millones de seres 7umanos"

11. /i ( x )=∫1

x3

cos (t ) dt . $eterminard

dx =

d

dx∫1

x3

cos (t )dt .

/ea # ∫1

X 3

cos ( t )=sen ( x3 )−sen (1 )

*uegod

dx =3 X

2∗cos( X 3)

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%demás

cos (t ) dt =¿3 X 2∗cos ( X

3)

d

dx∫1

X 3

¿

/e puede concluir

3 X 2∗cos ( X

3 ) →dp

dx=3 X

2∗cos ( X 3)

1". %plicar el segundo Teorema undamental del cálculo para resolver4 ∫0

!

4

sen3 (2 x ) cos (2 x ) dx

:∫0

! 4

sen3 (2 x )cos (2 x ) dx

1

8sen4

2 x∫0

!

4

¿ 1

8[1,0 ]=1

8

CONCLUSIONES

• $el anterior trabajo se puede concluir que el Cálculo Integral es más comprensible cuando se 7a

manejado el cálculo dierencial, pues es como las operaciones matemáticas de la suma y la resta

las cuales se oponen" El cálculo integral nos permite identiicar, comprender e interiorizar grandes

conocimientos en esta área, que son necesarios para el correcto desenvolvimiento del estudiante en

su vida personal, proesional, laboral y social"

• Evidentemente el desarrollo de las integradas es más complejo que las derivadas #or este motivo

se 7ace indispensable el uso de t!cnicas que permitan calcular el valor de las integrales, donde

gracias a las 7erramientas que nos orece el internet se 7a podido ver algunas t!cnicas de ellas,

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siendo estas algunas de las ormas más elementales de dar solución al cálculo de integrales, así

abriendo camino en este curso de cálculo integral

• % trav!s de dic7a actividad se logra adquirir nuevas 7abilidades, destrezas y conocimientos que

nos ayudan a ortalecer nuestro proceso de aprendizaje, enocándose en la solución de problemas,

vistos desde dierentes ángulos, en este caso representados con derivadas y su reverso anti

derivadas"

BIBLIOGRA%/A

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7ttp4GGcampus<5"unad"edu"coGecbti<FGmodGbooHGvie"p7pJid2KLK

• 7ttp4GGjulioproe"net

• ulio #roe, <)F, julio proe"net ,recuperado de 7ttp4GGjulioproe"netGJs2integral1indeinida

• Módulo de Calculo Integral

• 0ondón $urán, orge Eliecer" <)<, ;ogotá $" C" $ocumento #$& (niversidad Dacional %bierta

y a $istancia N (D%$"

http://julioprofe.net/?s=integral+indefinida

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