1. los problemas matemáticos - ceice.gva.es

Competencia matemática Propuestas 5

1. Los problemas matemáticos

Concepto de problema

Aspectos fundamentales a considerar

2. Tipos de problemas en primer ciclo de Primaria

Problemas aritméticos (aditivo-sustractivos)

De transformación o cambio

De combinación o composición de medidas

De comparación

De igualación

Índice de dificultad de los problemas aritméticos

Problemas geométricos

Problemas con geoplano

Problemas con puzzles: tangrams, pentaminós y policubos

Problemas lógicos y de estrategia

Problemas de recuento sistemático

Problemas de azar y probabilidad

Problemas topológicos

7

11

Competencia matemática Propuestas6

La resolución de problemasen el primer ciclo de Primaria

3. Fases en la resolución de un problema

Fase 1: Comprender el problema

Comprensión del enunciado

E.1. Enunciados orales

E.2. Enunciados gráficos

E.3. Enunciados con muy poco texto

E.4. Enunciados con texto

E.5. Enunciados con texto desordenado

E.6. Enunciados con información no útil

E.7. Enunciados incompletos

E.8. Enunciados con varias soluciones

E.9. Enunciados abiertos

E.10. Enunciados con muy pocos datos numéricos

E.11. Enunciados de investigación

Análisis del enunciado

Fase 2: Elaborar un plan de resolución

Fase 3: Ejecutar el plan

Fase 4: Comprobar el resultado

Estimación de la validez del resultado

Exactitud del resultado obtenido

Desarrollo de las fases mediante un ejemplo práctico

4. Conclusiones

5. Bibliografía

6. Páginas web

63

83

85

89


1. Los problemas matemáticos

Concepto de problema

Previamente distinguiremos entre ejercicios, problemas e inves -ti ga ciones matemáticas:

— Ejercicios: en su enunciado aparecen claramente los datos,la condición, las cantidades o los objetos que hay queencontrar, así como la estrategia a seguir en su resolución.Son actividades de aplicación de contenidos o algoritmosaprendidos o memorizados.

— Problemas: su enunciado ya no es tan explícito: la estrategiade resolución debe ser descubierta por la persona quequiere resolverlo. No se resuelven con la aplicación de unaregla.

— Investigaciones matemáticas: actividades abiertas donde nose dan criterios para abordarlas y que dejan mucha libertada quien las estudia, ya que incluso las incógnitas a resolverpueden depender de las interrogaciones que surjan a lolargo del proceso de la investigación.

Por tanto podemos afirmar que:

Las notas características que diferencian a los problemasmatemá ti cos de los ejercicios y las investigaciones nos vendríandadas en función de si realmente: representan un desafío y un

"Un problema es una situación,cuantitativa o de otra clase,a la que se enfrenta unindividuo o grupo, que requieresolución, y para la que no sevislumbra un medio o caminoaparente y obvio que conduzcaa la misma."



propósito a conseguir; son accesibles para quienes se enfrentanal problema; tienen interés y despiertan curiosidad y voluntadpara resolverlo a la vez que precisan del conocimiento dealgunas técnicas matemáticas sencillas para la resolución.

Como nos afirma Mª Antonia Canals, profesora emérita de laUniversitat de Girona, "los buenos problemas planteansituaciones nuevas, próximas a la realidad del alumno, e implicanun reto que te hace pensar, imaginar… Se adecúan al nivelevolutivo del alumno y admiten más de una solución".

Es importante resaltar que en la resolución de problemas: no hayun procedimiento general o regla que los alumnos puedanaprender y aplicar, que no se reduce sencillamente a un algoritmo,que no se puede enseñar paso a paso y que —siguiendo entérminos de negación— no están planteados simplemente parahacer cálculos, sino más bien para hacer pensar.

Por esto, es muy importante que los maestros dispongamos deuna buena selección de problemas y que éstos sean de calidad,que nos aprovisionemos de una gran variedad de ellos paraque, a la vez, nos permitan trabajar todos los enfoques posibles.También es requisito absolutamente imprescindible, facilitarcomo docentes la creación de un ambiente de clase que invitea los alumnos a explorar, arriesgarse, compartir experienciascon sus compañeros, preguntar a unos y a otros (incluido sumaestro). En definitiva, fomentar una verdadera participaciónactiva, responsable y creativa.

Aspectos fundamentales a considerar

En el caso del alumnado adscrito al primer ciclo de EducaciónPrimaria, debemos tener en cuenta la realización de un trabajoprevio de introducción a la resolución de problemas.


Por ello, en función de las características propias de su desarro-llo madurativo, procuraremos hacer dicha inclusión:

— Planteando situaciones problemáticas orales a través deljuego, buscando la participación de todos los alumnos yapoyándonos en materiales concretos tales como ábacos,regletas, bloques lógicos, policubos, etc.

— Presentando las situaciones problemáticas de formasignifica tiva y variada.

— Planteando problemas abiertos, enseñaremos a nuestrosalumnos que una misma situación se puede resolver dediversas formas.

— Trabajando la resolución de problemas de todas las formasposibles.

— Fomentando que los alumnos comenten los enunciadoscon sus compañeros.

— Ayudando y animando a los alumnos a que expresen elproblema con sus propias palabras.

— Enseñando a los alumnos a que se apoyen en dibujos ydiagramas antes de resolver el problema.

— Procurando que no todas las situaciones problemáticas serepresenten por escrito, para no producir rechazo por partedel alumno.

— Incitando a que sean los alumnos quienes inventen yplanteen situaciones problemáticas.


2. Tipos de problemas en el primer ciclo de Primaria

Todavía en la actualidad en muchas de nuestras escuelas, esmuy frecuente que a los alumnos se les propongan problemasmuy parecidos en su contenido, además de ser presentados enforma bastante repetitiva.

Bajo esta perspectiva, el problema propuesto deviene en unejercicio cuya resolución siempre implica el mismo procedimien -to (generalmente incluso una misma operación); circunstanciapor la cual el alumnado no interioriza el proceso de resolución,sino que "aprende" un procedimiento viciado y relacionado conla forma proposicional planteada.

Como nos afirma de nuevo la profesora Mª Antonia Canals y enconsonancia con el pensamiento expresado anteriormente: "elerror, de entrada, es que muchos alumnos, inseguros delante deun problema, intentan adivinar cuál es la operación que tienenque realizar, suma, resta, multiplicación… Y muchas veces sonlos propios maestros quienes les llevan a este error inicial deactitud con preguntas como ¿qué tienes que hacer, una suma ouna resta?. Este es el camino contrario al razonamiento."

Así, con demasiada frecuencia, cuando le sugerimos que nosexplique porqué se ha de utilizar o aplicar una u otra operación,frecuentemente no saben qué contestarnos.

En muchas ocasiones, cuandoal alumnado se le inquiere laresolución de un "nuevoproblema", sin pararse areflexionar demasiado en lainformación que le proporcionael texto —a veces, inclusocuestiona en voz alta¿maestro/a, éste es de sumar ode restar?—, el alumno aplica el"procedimiento operativorelacional aprendido" para daruna respuesta casi automática.



También es bastante habitual observar que cuando el alumnado"aprende" una determinada forma de presentación de los datos,ante una misma situación cuya forma se diferencie de laaprendida, no sepa cómo actuar.

Por todas estas, y muchas más razones que nuestroscompañeros/as docentes también habrán observado eintentado corregir (a través de su trabajo y experiencia), esfundamental que el profesorado explore todas las posibilidades—tanto en situaciones como en la presentación de datos—, quenos permiten las diferentes tipologías de problemas,especialmente en el ciclo inicial, cuando todavía el campo de lasposibles operaciones a realizar es bastante limitado, pero no asíla capacidad de razonamiento, intuición y deducción delalumnado que lo configura.

Problemas aritméticos (aditivo/sustractivos)

Englobamos en este apartado todos los problemas en los queaparecen datos numéricos que pueden resolverse mediante unaoperación aritmética: suma, resta, multiplicación y división.

Es muy importante que el docente sea consciente de que, para laresolución de estos problemas, los alumnos tienen que apoyarseen material manipulativo (fichas de colores, ábaco, regletas...) yen la expresión oral para, después, proceder a la expresión escritamediante dibujos, algoritmos… Así, aunque estos problemaspuedan resolverse mediante una operación aritmética sencilla, esconveniente y desde luego necesario en edades menores, que seresuelvan siempre primero de forma manipulativa (fase demodelado) y, posteriormente, formulen la operación aritméticaejercitando para ello el algoritmo correspondiente.


De esta manera, estaremos trabajando el concepto de la opera-ción que se trate y que siempre será más comprensible median-te la manipulación de materiales que a través del algoritmoestándar de la operación.

El pedagogo catalán impulsor de la escuela activa, AlexandreGali, transmitía la siguiente reflexión: "los problemas primerohay que pensarlos, hemos de pedir al niño que haga un trabajomental, que nos explique qué pasa, qué pasará, cómo cree quese resolverá la situación… antes de darle papel y lápiz para quehaga operaciones, de lo contrario podríamos caer en el error depensar que resolver problemas es hacer una operación o aplicaruna fórmula adecuada y ya está".

Pongamos un ejemplo:

Luisa tiene 5 caramelos y Antonio, 3. Para saber cuántos cara-melos tienen entre los dos podemos: (1) colocar 5 palitos a unlado y 3 palitos al otro, juntarlos y contarlos: 8 palitos; o (2)hacer la suma 5 + 3 = 8.

Nos parece evidente que la primera opción se aproxima más ala realidad descrita en el problema, por lo que la resolución esmás comprensible para el alumno. De hecho, la segunda opciónes una traducción a lenguaje matemático que presupone unareflexión previa (en abstracto) para decidir qué operación se hade realizar.

Por tanto, esta segunda opción conlleva un nivel de dificultadmucho más alto que la primera. Será un objetivo que tendre-mos que trabajar para lograr que nuestros alumnos lo alcancen,pero en ningún caso puede ser el procedimiento inicial, espe-cialmente cuando estamos hablando de alumnos de los prime-ros niveles.



Para trabajar los conceptos de suma (adición) y de resta(sustracción) habrá que presentar situaciones variadas contodos los verbos que impliquen o tengan que ver con esa idea.

Así, el concepto de suma tiene que ver con los verbos: juntar,unir, añadir, ganar, recoger, coger, etc.; y el de resta con losverbos: quitar, dar, repartir, perder, tirar, etc.

El docente utilizará diferentes recursos manipulables (ábacos,regletas, bloques lógicos, policubos, etc.) para trabajar estosconceptos, de manera que los niños realizen la descomposiciónde todos los números de una cifra de todas las maneras posibles.También reforzará el concepto de suma y resta con este materialmanipulable.

En función de la/s operación/es que se deban realizar, clasifica-remos los problemas aritméticos en:

— Problemas aditivo/sustractivos (aquellos que se puedenresolver mediante la adición o la sustracción.

— Problemas multiplicativos (aquellos que se pueden resolvermediante la multiplicación o la división).

Tomando en consideración que las presentes orientacionesvan dirigidas de modo preferencial al profesorado del primerciclo de educación primaria y, dado que tanto la multiplicacióncomo la división son contenidos conceptuales y procedimenta-les de segundo y tercer ciclo respectivamente, incidiremos demanera más sistemática en los ya mencionados problemas adi-tivo/ sustractivos.

A continuación pasamos a ver en detalle cada una de estasmodalidades.

Clasificaremos los problemasaritméticos aditivo/sustractivo

(en función de los datos y de lasituación que se plantea en el

enunciado) en cuatrotipologías: problemas de

transformación o cambio,problemas de combinación o

composición de medidas,problemas de comparación y

problemas de igualación.


Problemas de transformación o cambio

En ciclos superiores se utilizan estos tipos de problemasaumentando su dificultad mediante el procedimiento depresentar más de una transformación en el mismo enunciado.

Este tipo de problema vendría definido por el esquemasiguiente, en el que conoceríamos dos datos y tendríamos queaveriguar el tercero.

Son aquellos en los que seproduce una transformación de una situación inicial a unasituación final y "la incógnitadel problema" puede sercualquiera de los treselementos que intervienen: la situación inicial, latransformación o situaciónfinal.

Transformación

Situación inicial Situación final

Ello implica que existen tres problemas distintos con índices dedificultad diferente, según tengamos que calcular la situaciónfinal, la situación inicial o la transformación producida.

Como la transformación puede ser creciente (con aumento) odecreciente (con disminución), este tipo de problemas genera 6modelos de problemas posibles a los que llamamos T1 a T6,como se indica en siguiente tabla:

Tipo de Situación Transformación Situación

transformación inicial final

T1 Conocida Conocida ¿?

T2 creciente Conocida ¿? Conocida

T3 ¿? Conocida Conocida

T4 Conocida Conocida ¿?

T5 decreciente Conocida ¿? Conocida

T6 ¿? Conocida Conocida



Veamos con más detalle estos modelos de problemas:

Tipo T. 1. Transformación creciente. Incógnita: situación final

Ejemplo: Ana tiene 37 cromos de una colección de naturaleza.Su padre le regala 8 cromos más. ¿Cuántos cromos "tieneahora" Ana?

Este modelo de problema puede resolverse básicamente de tresformas:

• Añadimos los 8 cromos a los 37 iniciales de formamanipulativa, utilizando cualquier recurso didáctico parapresentar esta cantidad (canicas, lápices, gomas, etc.) ycontamos, incluso, cromos reales que tengamos en nuestro"rincón matemático".

37 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 45

8

• Podemos resolverlo con material manipulativo como es elábaco, lo que resulta muy didáctico, pues obliga al alumnoa pasar por la decena neta. Este aspecto es muy prácticopara el cálculo mental. La representación gráfica de laresolución sería la siguiente: a 37 se le añade 8, pero enprimer lugar, se añaden 3 para obtener 40 (decena neta)y, a continuación, 5, obteniendo 45.

+ 8 cromos

Ana: 37 cromos Ana: ¿...? cromos


37 + 8 = 37 + 3 + 5 = 40 + 5

+ ¿? cromos

Ana: 17 cromos Ana: 29 cromos

• O bien, a los 37 cromos iniciales le sumamos los 8regalados, mediante la utilización del pensamientomatemático global que identifica la cantidad de objetosdescifrados en el intelecto con la expresión numéricagráfica y simbólica adecuada:

37 + 8 = 45

Tipo T. 2. Transformación creciente. Incógnita: transformación

Ejemplo: Ana tiene 17 cromos. Su padre le regala en sucumpleaños varios cromos nuevos. Al juntarlos todos, Ana tiene29. ¿Cuántos cromos le regaló su padre?

Este modelo de problema puede resolverse básicamente de seisformas:



• Añadimos cromos a 17, de uno en uno, hasta llegar a 29,mediante el procedimiento manipulativo ya expuesto en laprimera forma de resolución del ejemplo anterior:

17 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 29

12

• Con el ábaco: Tenemos 17 cromos. Para obtener 29,debemos añadir 3 en primer lugar para obtener 20(completar decena) y, a continuación, 9. Así tenemos los29. En total hemos añadido 12 cromos.

17 + 3 + 9 = 29

• A los 29 cromos finales vamos quitando de uno en uno,manipulativamente o contando, hasta llegar a 17 y luegocontamos cuántos cromos hemos quitado:

29 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 17

12

• A los 29 cromos finales vamos quitando de uno en uno,manipulativamente o contando, los 17 cromos iniciales y losque quedan son los que hemos añadido:

29 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 - ... - 1 – 1 – 1 – 1 – 1 12

17


• Si utilizamos el ábaco, debemos colocar la cantidad total de29 cromos y, a continuación, ir quitando hasta quedarnoscon los 17 iniciales. Seguidamente, quitamos en primer lugarlos 9 cromos de la tercera fila y, a continuación 3 cromosde la segunda, por lo que, en total, hemos quitado 12cromos.

• A los 29 cromos finales le restamos los 17 cromos iniciales:

29 – 17 = 12

Tipo T. 3. Transformación creciente. Incógnita: situación inicial

Ejemplo: A Ana su padre le ha comprado 8 cromos de unacolección de naturaleza. Si ahora tiene 19 cromos, ¿cuántoscromos tenía Ana antes?

29 - 9 - 3 = 17

+ 8 cromos

Ana: ¿…? cromos Ana: 19 cromos




• Separamos o quitamos, ya sea manipulativamente ocontando, del total de 19 cromos, los 8 regalados,quedando los cromos que Ana tenía antes del regalo.

19 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 11 cromos

8

• Con el ábaco: Colocamos los 19 cromos que tiene Ana. Acontinuación, quitamos los 8 cromos que le ha compradosu padre para quedarnos con los cromos que tenía alprincipio.

19 - 8 = 11

• A los 19 cromos finales le restamos los 8 que le regalaron:

19 – 8 = 11

Tipo T. 4: Transformación decreciente. Incógnita: situación final

Ejemplo: Luisa tenía 26 galletas y le dio 7 galletas a su amiga

Rosa. ¿Cuántas galletas le quedan a Luisa?

- 7 galletas

Luisa: 26 galletas Luisa: ¿? galletas


26 - 6 - 1 = 19

• A las 26 galletas iniciales le restamos las 7 galletas regaladas

26 - 7 = 19


• Quitamos las 7 galletas a las 26 iniciales, ya sea manipulati-vamente o contando:

26 – 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 19

7

• Con el ábaco: Colocamos las 26 galletas y, a continuación,para quitar las 7 galletas que da Luisa a su amiga Rosa,quitamos primero 6 galletas y nos quedan 20 (completardecena). Seguidamente, volvemos a quitar 1, quedando las19 galletas.



Tipo T. 5: Transformación decreciente. Incógnita: transformación

Ejemplo: Luisa tenía 26 galletas y le dio unas cuantas a su amigaRosa. Si ahora le quedan 21 galletas, ¿cuántas galletas le dio aRosa?

- ¿…? galletas

Luisa: 26 galletas Luisa: 21 galletas

Este modelo de problema puede resolverse básicamente decinco formas:

• A las 26 galletas iniciales le vamos quitando galletas una auna, ya sea manipulativamente o contando, hasta quequeden 21 y, luego, calculamos las galletas quitadas:

26 – 1 - 1 - 1 - 1 - 1 21

5

• A las 21 galletas finales le vamos añadiendo galletas una auna, ya sea manipulativamente o contando, hasta llegar alas 26 iniciales y, luego, calculamos las galletas añadidas:

21 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 26

5

• A las 26 galletas iniciales le quitamos las 21 galletas finalesy quedarán las galletas que recibió Rosa:

26 - 1 - 1 - 1 - ... - 1 - 1 5

21


- 7 galletas

Luisa: ¿…? galletas Luisa: 22 galletas

• Con el ábaco: Debemos colocar las 26 galletas y quitar lasgalletas necesarias para que nos queden 21. La cantidadquitada, 5 galletas, sería la solución.

26 - 5 = 21

• A las 26 galletas iniciales le restamos las 21 finales:

26 - 21 = 5

Tipo T. 6: Transformación decreciente. Incógnita: situación inicial

Ejemplo: Luisa tenía un paquete con galletas y le dio 7 a suamiga Rosa. Si en el paquete le han quedado 22 galletas,¿cuántas galletas tenía al principio?




• A las 22 galletas finales le añadimos las 7 galletasentregadas a Rosa, ya sea manipulativamente o contando,y obtendremos las galletas iniciales:

22 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 29

7

• Con el ábaco: colocamos las 22 galletas que le hanquedado en el paquete a Luisa y, a continuación, leañadimos las 7 que le da a Rosa i así obtenemos las galletasque había al principio, o sea, 29 galletas.

22 + 7 = 29

• A las 22 galletas finales le sumamos las 7 galletas regaladas:

22 + 7 = 29

Problemas de combinación o composición de medidas

En este tipo de problemas no interviene ninguna transformaciónque suponga un cambio, sino que "dos o más medidas secombinan para obtener una tercera".

En una situación típica de combinación: en una clase hay 10 niñosy 12 niñas, en total, 22 alumnos. Las dos primeras cantidades se

Ello implica la existenciaal menos de 3 magnitudesdiferentes, las dos iniciales

y una tercera que "engloba" semánticamente

a las anteriores.


refieren a dos magnitudes diferentes (niños y niñas) y la terceracantidad se refiere a una magnitud (alumnos) que engloba a lasdos primeras.

Este tipo de problema vendría definido por el siguiente esquemaen el que CP1 y CP2 serían las cantidades parciales y CG lacantidad global.

CP1 CP2

CG

El orden en que se presentan las cantidades parciales es irrele-vante y no existe diferencia entre que se ignore la CP1 o la CP2.Por ello, sólo hay dos modelos de problemas de combinación,según la incógnita sea la cantidad global o una cantidad parcial,como se recoge a continuación:

Modelo Cantidad parcial Cantidad parcial Cantidad global

1 2

C1 Conocida Conocida ¿ … ?

C2 Conocida ¿ … ? Conocida

¿ …? Conocida Conocida

Veamos con más detalle estos modelos:

Tipo C.1. La incógnita es la cantidad global

Ejemplo: En el parque hay una pajarera con 15 canarios y 9periquitos. ¿Cuántos pájaros hay en total en la pajarera?

CG = ¿…? pájaros

CP1 = 15 canarios CP2 = 9 periquitos



Este tipo de problema puede resolverse básicamente de tresformas:

• Representar manipulativa o gráficamente los 15 canarios ylos 9 periquitos. A continuación, los juntamos todos ycontamos cuántos pájaros hay en total:

1 + …. + 1 + 1 15 canarios 1 + …. + 1 + 9 periquitos

1 + 1 + …. + 1 + 1 + 1 24 pájaros

• A una de las cantidades parciales se le añade, de formamanipulativa, gráficamente o contando, la otra cantidadparcial y se obtiene la cantidad global:

15 canarios + (1 + 1 + … + 1 + 1) 24 pájaros

9 periquitos

• Se suman las cantidades parciales y se obtiene la cantidadglobal:

15 (canarios) + 9 (periquitos) = 24 (pájaros)

Tipo C.2. La incógnita es una de las partes

Ejemplo: En el parque municipal hay una pajarera con 22pájaros. Si 15 de ellos son canarios y el resto periquitos, ¿cuántosperiquitos hay en la pajarera?

CG = 22 pájaros

CP1 = 15 canarios CP2 = ¿…? periquitos


Este tipo de problemas se resuelve básicamente de dos formas:

• A la cantidad parcial conocida se le añaden elementosuno a uno, de forma manipulativa o contando, hasta llegara la cantidad global. Basta con calcular lo que hemosañadido:

15 canarios + 1 + 1 + … + 1 + 1 22 pájaros

7 periquitos

• A la cantidad global conocida se le quita, de formamanipulativa o contando, la cantidad parcial conocida,obteniéndose la otra cantidad parcial:

22 pájaros - 1 - 1 – 1 - … - 1 - 1 7 periquitos

15 canarios

Problemas de comparación

Cuando hablamos de este tipo de problemas establecemos unacomparación entre algunas de las cantidades que intervienen enel problema.

Este tipo de problemas viene definido por el siguiente esquema:

D

CR CC

En función del tamaño de CR y CC pueden darse dos situaciones:

— Si CR < CC la comparación se denomina creciente

A una de las cantidades que secomparan se le denomina"cantidad de referencia" (CR),y a la otra "cantidadcomparada" (CC). La terceracantidad que interviene es la"diferencia" (D) que hay entrelas cantidades comparadas.

Mod. Tipo de Cantidad Cantidad Diferencia

comparación de Referencia Comparada

Comp1 Conocida Conocida ¿ … ?

Comp2 creciente Conocida ¿ … ? Conocida

Comp3 ¿ …? Conocida Conocida

Comp4 Conocida Conocida ¿ … ?

Comp5 decreciente Conocida ¿ …? Conocida

Comp6 ¿ … ? Conocida Conocida



Ejemplo: Luis tiene 7 cromos (CR) y Manuel tiene 12 cromos

(CC). Por tanto Manuel tiene 5 cromos más (D) que Luis.

— Si CR > CC la comparación se denomina decreciente

Ejemplo: Luis tiene 13 cromos (CR) y Manuel tiene 9 cromos

(CC). Por tanto Manuel tiene 4 cromos menos (D) que Luis.

La incógnita puede ser cualquiera de las tres cantidadespresentes, por lo que consideramos tres modelos decomparación creciente y otros tres decreciente, es decir 6,modelos diferentes; como se indica en la siguiente tabla dereferencia:

Veamos con más detalle estos modelos y los principales proce-dimientos de resolución:

Tipo Comp. 1. Comparación creciente. Incógnita: diferencia

Ejemplo: Juan tiene 12 años y Ana tiene 5 años. ¿Cuántos añostiene Juan más que Ana?


D: CC ¿ … ? años > CR

CR 5 años CC 12 años

Este tipo de problemas se resuelve básicamente de cuatro formas:

• Representamos gráficamente o mediante materialesmanipulativos los 12 años de Juan y debajo hacemos lomismo con los 5 años de Ana. Luego procedemos a contarlos años de más que tiene Juan.

CC = Juan � � � � � � � � � � � � 7

CR = Ana � � � � �

• A los 5 años de Ana le vamos añadiendo años uno a uno,de forma manipulativa o contando, hasta llegar a los 12 deJuan. Luego calculamos los años añadidos para averiguarla diferencia.

5 años + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 12 años

7 años

• A los 12 años de Juan le vamos quitando años uno a uno,de forma manipulativa o contando, hasta llegar a los 5 deAna. Luego calculamos los años quitados para averiguar ladiferencia.

12 años - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 5 años

7 años

• A los años de Juan le restamos los años de Ana, resultan-do la diferencia entre ambos.

12 - 5 = 7



Tipo Comp. 2. Comparación creciente. Incógnita: cantidad

comparada

Ejemplo: Ana tiene 5 años y Juan tiene 7 años más que Ana.¿Cuántos años tiene Juan?

D: CC 7 años > CR

CR 5 años CC ¿ … ? años

Este tipo de problemas se resuelve básicamente de tres formas:

• A los 5 años de Ana le añadimos, de forma manipulativa ocontando, los 7 años de más que tiene Juan y, luego,calculamos el total:

Ana: 5 años Diferencia: 7 años

� � � � � + � � � � � � �

Juan: 12 años

• A los 5 años de Ana le añadimos, de forma manipulativa ocontando, los 7 años de más que tiene Juan y, luego,calculamos el total:

5 años + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 12 años

Diferencia

• A los años de Ana le sumamos los años de más que tieneJuan, obteniendo la edad de éste.

5 + 7 = 12


Tipo Comp. 3. Comparación creciente. Incógnita: cantidad de

referencia

Ejemplo: Juan, que ha cumplido 12 años, tiene 7 años más queAna. ¿Cuántos años tiene Ana?

D: CC 7 años > CR

CR ¿ … ? años CC 12 años


• Representamos gráficamente o mediante materialesmanipulativos los 12 años de Juan, separamos los 7 añosde menos que tiene Ana y lo que nos queda es la edad deAna.

Diferencia

Juan: 12 años � � � � � � � � � � � �

Ana 5 años

• A los 12 años de Juan le quitamos, de forma manipulativao contando, los 7 años de más que tiene Juan y luegocalculamos el total:

12 años - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 5 años

• A los años de Juan le restamos los años de más que tieneJuan, obteniendo la edad de éste.

12 - 7 = 5



Tipo Comp. 4. Comparación decreciente. Incógnita: diferencia

Ejemplo: Juan tiene 13 años y Ana tiene 5 años. ¿Cuántos añostiene Ana menos que Juan?

D: CC ¿ … ? años < CR

CR 13 años CC 5 años

Este tipo de problemas se resuelve básicamente de cuatroformas:

• Representamos gráficamente o mediante materialesmanipulativos los 13 años de Juan y, debajo, hacemos lomismo con los 5 años de Ana. Luego podemos contar losaños de menos que tiene Ana.

CR = Juan � � � � � � � � � � � � � 8

CC = Ana � � � � �

• A los 5 años de Ana le vamos añadiendo años, de formamanipulativa o contando, uno a uno hasta llegar a los 12 deJuan. Luego contamos los años añadidos para averiguar ladiferencia.

5 años + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 13 años

8 años

• A los 13 años de Juan le vamos quitando años uno a uno,de forma manipulativa o contando, hasta llegar a los 5 deAna. Luego calculamos los años quitados para averiguar ladiferencia.

13 años - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 5 años

8 años


• A los años de Juan les restamos los años de Ana, resul-tando la diferencia entre ambos.

13 - 5 = 8

Tipo Comp. 5. Comparación decreciente. Incógnita: cantidad

comparada

Ejemplo: Juan tiene 12 años y Ana tiene 7 años menos que Juan.¿Cuántos años tiene Ana?

D: CC 7 años < CR

CR 12 años CC ¿ … ? años


• Representamos gráficamente o mediante materialesmanipulativos los 12 años de Juan, separamos los 7 añosde menos que tiene Ana y lo que nos queda es la edad deAna.

Diferencia

Juan: 12 años � � � � � � � � � � � �

Ana 5 años

• A los 12 años de Juan le quitamos, manipulativamente ocontando, los 7 años de más que tiene Juan y luegocontamos el total:

12 años - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 5 años



• A los años de Juan le restamos los años de más que tieneJuan y obtenemos la edad de éste.

12 - 7 = 5

Tipo Comp. 6. Comparación decreciente. Incógnita: cantidad

de referencia

Ejemplo: Ana tiene 5 años y 7 años menos que Juan. ¿Cuántosaños tiene Juan?

D: CC 7 años < CR

CR ¿ … ? años CC 5 años


• A los 5 años de Ana le añadimos, de forma manipulativa ocontando, los 7 años de más que tiene Juan y luegocalculamos el total:

Ana: 5 años Diferencia: 7 años

� � � � � + � � � � � � �

Juan: 12 años

• A los 5 años de Ana le añadimos, de forma manipulativa ocontando, los 7 años de más que tiene Juan y luegocalculamos el total:

5 años + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 12 años

Diferencia

• A los años de Ana les sumamos los años de más que tieneJuan, resultando la edad de éste.

5 + 7 = 12


Problemas de igualación

Los problemas de igualación suelen presentarse como un tipode problemas aritméticos diferente de los anteriores y así serecoge en mucha de la bibliografía consultada.

Por nuestra parte consideramos que, en realidad se trata deproblemas de comparación, como los modelos estudiados en elapartado anterior pero, eso sí, con pequeñas diferencias en laformulación del enunciado.

Lo veremos más claro con unos ejemplos: Ángel tiene 8 canicasy Paula, 5. ¿Cuántas canicas tiene Ángel más que Paula?(problema de comparación). Ángel tiene 8 canicas y Paula, 5.¿Cuántas canicas necesita Paula para tener las mismas queÁngel? (problema de igualación).

En ambos casos la situación es la misma: hay una comparaciónentre dos cantidades diferentes y las respectivas preguntas(cuántas tiene más y cuántas necesita para tener lo mismo)tienen idéntica respuesta (la diferencia entre las cantidades, esdecir, 3 canicas).

Pese a lo anterior, dado que la diferente forma de plantear lapregunta puede añadir dificultad, hemos decidido mantenereste tipo de problemas que podrían presentarse de seis formasdistintas, como se recoge en la tabla siguiente, semejante a la delos modelos de problemas de comparación.

La igualación puede ser creciente o decreciente según haya queañadir o quitar a la cantidad de referencia para igualar lacantidad comparada.

Así pues, sin ánimo de ser reiterativos y a modo de conclusión,podemos afirmar que en este tipo de problemas una de las

Cuando se analiza un problemade comparación y otro deigualación, comprobamos quela situación que plantean y lasolución es la misma. La diferencia más significativaestriba en la "forma" en que seexpresa la pregunta.

Tipo de Cantidad de Cantidad Diferencia

igualación referencia comparada

I. 1 Conocida Conocida ¿?

I. 2 creciente Conocida ¿? Conocida

I. 3 ¿? Conocida Conocida

I. 4 Conocida Conocida ¿?

I. 5 decreciente Conocida ¿? Conocida

I. 6 ¿? Conocida Conocida



cantidades (C. referencia) se debe modificar —aumentando odisminuyendo— para igualarse con la otra cantidad (C.

comparada). De esta manera se combinarían un problema decambio y otro de comparación.

A continuación, incluimos un ejemplo de cada tipo de problemade igualación y proponemos al lector que, siguiendo las pautasde resolución indicadas en los problemas de comparación,intente aplicarlas a estos modelos, lo que le servirá comoejercicio práctico y le permitirá comprobar por si mismo elacierto o error de nuestra tesis.

Tipo I. 1. Igualación creciente. Incógnita: diferencia

Ejemplo: Ángel tiene 8 canicas y Paula, 5. ¿Cuántas canicasnecesita Paula para tener las mismas que Ángel?

Tipo I. 2. Igualación creciente. Incógnita: cantidad comparada

Ejemplo: Ángel tiene 8 canicas. Si a Paula le diesen 3, entoncestendría las mismas canicas que Ángel. ¿Cuántas canicas tienePaula?


Tipo I. 3. Igualación creciente. Incógnita: cantidad de referencia

Ejemplo: Ángel y Paula tienen una bolsa de canicas, Paula tiene5 en la suya. Si a Paula su abuelo le regala 3 canicas más, tendríalas mismas que Ángel. ¿Cuántas canicas tiene Ángel?

Tipo I. 4. Igualación decreciente. Incógnita: diferencia

Ejemplo: Ejemplo: Julia tiene 12 tebeos de Mortadelo y Filemóny Raúl 17. ¿Cuántos tebeos tendría que regalar Raúl a suhermano para tener los mismos que Julia?

Tipo I. 5. Igualación decreciente. Incógnita: cantidad comparada

Ejemplo: Remigio tiene 12 tebeos de Mortadelo y Filemón. SiRaúl regalase a su hermano 5 tebeos, tendría los mismos queRemigio. ¿Cuántos tebeos tiene Raúl?

Tipo I. 6. Igualación decreciente. Incógnita: cantidad de referencia

Ejemplo: Julia y Raúl tienen tebeos de Mortadelo y Filemón ensu habitación. Raúl tiene 17, y si le diese 5 tebeos a su hermano,tendría los mismos que Julia. ¿Cuántos tebeos tiene Julia?

Índice de dificultad de los problemas aditivo/sustractivos

El siguiente cuadro hace referencia a los niveles de dificultad,relacionados con los porcentajes de éxito en la resolución de losdiferentes tipos de problemas aditivos de una sola etapa.



Tipo de Incógnita Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4

problema

Transformación Cantidad Xcreciente final

Transformación Cantidad Xdecreciente final

Transformación Cantidad de Xcreciente transformación

Transformación Cantidad de X*decreciente transformación

Transformación Cantidad Xcreciente inicial

Transformación Cantidad Xdecreciente inicial

Combinación Todo X

Combinación Parte X

Comparación Diferencia X*creciente

Comparación Diferencia X*decreciente

Comparación Cantidad Xcreciente comparada

Comparación Cantidad Xdecreciente comparada

Comparación Cantidad de X*creciente referencia

Comparación Cantidad de X*decreciente referencia


Problemas geométricos

En este tipo de problemas se trabajan fundamentalmenteconceptos geométricos —topológicos— mediante la relación deformas, tamaños, posiciones...

De esta forma, y teniendo en cuenta el nivel educativo en queestamos trabajando (primer ciclo de educación primaria), losposibles componentes aritméticos como arista, vértice, ángulos...que aparezcan en ellos, pasarían a un segundo plano. Eso sí, lamanipulación de materiales concretos ha de ser el referente y ejefundamental metodológico utilizado para su resolución.

Problemas con geoplanos

El geoplano permite la resolución de situaciones problemáticasa través de la manipulación, lo que ayuda al alumno aenfrentarse con cercanía y facilidad a estas situaciones.

El geoplano fue inventado por el matemático pedagogo egipcioGaleb Gattegno (1911-1988) para enseñar geometría a niñospequeños. Consiste en una superficie plana en la que se dispone,de manera regular, una serie de puntos.

Dependiendo de cómo estén colocados estos puntos se distin-guen varios tipos de geoplanos, aunque los que más se utilizan sonel geoplano triangular, el cuadrado o cuadrangular y el circular.

Triangular Cuadrangular Circular



Todas las actividades propuestas se realizarán sobre ungeoplano cuadrado (3x3, 4x4, 5x5,...) que podemos suplir física -mente con una plantilla cuadriculada, en la que iremos anotando(DIBUJANDO) los resultados de las actividades.

En la actualidad disponemos de "geoplanos virtuales" en páginasweb de las referenciadas, de forma que arrastrando con el ratóny/o con un simple "clic", obtenemos el resultado deseado.


Plantilla Geoplano Cuadrangular

Alumno/a: Actividad:



Ejemplo: Realiza en el geoplano y contesta: ¿cuántos puntosnecesitas para formar un triángulo? ¿Y para un cuadrado? ¿Ypara un rectángulo?

Ejemplo: En un geoplano 4x4, forma todos los cuadrados que sepuedan, escribe la solución y coméntala con tus compañeros delgrupo.

Ejemplo: Haz en tu geoplano una figura como la de la muestra


Ejemplo: A continuación te proponemos la siguiente actividadque debes plasmar en la plantilla cuadriculada: En un geoplano2x2 (geoplano de 4 puntos) se puede trazar un polígono de treslados y otro de cuatro lados. ¿De cuántos lados se pueden trazarpolígonos en un geoplano 3x3 y 4x4?

Ejemplo: ¿Cuántos cuadrados puedes hacer en un geoplano 2x2,3x3, 4x4 y 5x5? Calcula el lado y el perímetro de cada cuadrado.

Problemas con Puzles: Tangrams , Pentaminós y Policubos

Tangrams

El más conocido es el tangram chino, en el que el puzzle estácompuesto de 7 piezas de diferentes formas geométricas (5triángulos, 1 cuadrado y 1 romboide).

Cuando las piezas se juntan adecuadamente, forman uncuadrado, tal como se puede ver en el dibujo situado al margen.

A partir de estas piezas y adaptándonos a la edad de los alumnos,podemos proponer diferentes tipos de problemas. Si bien, en



principio y con el objetivo de que el alumnado vayafamiliarizándose con el referido recurso, deberíamos sugerirles—como si de un juego se tratara— la construcción de figurasconocidas y "divertidas" —ejemplificadas más abajo— a la vez queotras que, a buen seguro, serán capaces de imaginar y construir.

Seguidamente habrá que proponerles la construcción de figurasmás difíciles, respetando siempre dos reglas fundamentales: (1)Utilizar la totalidad de las piezas del tangram en cada una de lasconstrucciones y (2) no superponer ninguna de las piezas.

Veamos unos ejemplos:


Pentaminós

Con relación a los pentaminós debemos señalar, en primer lugar,su propio significado. Cuando hablamos de pentaminós, nosestamos refiriendo a todas las figuras posibles (en total 12) quese pueden componer con cinco cuadrados unidos entre si poruno de sus lados. Para su manipulación y fácil manejo, sonfabricados generalmente en PVC.

Este material está aconsejado para construir o consolidar elconocimiento matemático sobre el principio de conservación decantidad y no de forma.

Es decir, para utilizar diferentes unidades de superficie, encontrarfiguras con superficie idéntica pero diferente forma o de igualforma y superficie ("el doble", "la mitad"...); y para construirfiguras con igual superficie y observar la del perímetro máximo.

Previamente debemos explicar a nuestros alumnos el significadode esos conceptos (como se indica a continuación), lo quefacilitará su posterior reconocimiento y comprensión.

Dos cuadrados unidos por un lado forman un dominó.



Tres cuadrados forman triminós.

Cuatro cuadrados, tetraminós.

Veamos, a modo de ejemplo, el planteamiento de una sencillasituación problemática:

Intenta buscar los doce pentaminós que existen. Contrúyeloscon cartulina. ¿Cuantos de estos pentaminós formarían una cajasin tapa?

La tarea propuesta pretende la búsqueda sistemática de losdoce pentaminós diferentes:


Para ello, puede ser adecuada alguna estrategia heurística, comopartir de los tetraminós y añadir cuadrados a cada cara,descartar aquellos que se repiten. A partir de ahí, se le puedepedir al alumno que construya cuadrados o rectángulos con lasdiferentes piezas.

El rectángulo de 6x10 resultará el más interesante de obtener,pues existen 2339 soluciones posibles.

Policubos

Un policubo es una agregación de cubos idénticos; de formaque cada cubo tiene, como mínimo, una cara en común con otrocubo. Los cubos son interesantes generadores de figuras espa-ciales.

Tras un primer contacto, la tarea propuesta pretende que losalumnos trabajen la composición y descomposición del 10 endos sumandos, una tarea que colabora con la automatizacióndel cálculo mental. Para ello, hay que pedirles orden en laidentificación de las soluciones, para determinarlas todas sinrepetir. Se trata de ir conduciendo la tarea hacia la completasistematización.

El colorido y versatilidad deeste material lo haceespecialmente atractivo a losniños que, de manerainmediata, construyen figuras a su antojo.



Como actividad previa y sugerente, podemos pedirles queutilicen piezas de dos colores para construir un tren de longitud10. ¿De cuántas formas distintas puede hacerse? Ahora utilizacubitos de tres colores. ¿Qué combinaciones distintas puedesrealizar para conseguir trenes de longitud 10?

Veamos ahora el planteamiento de alguna de las posibles tareasproblemáticas que se le pueden sugerir al alumnado.

Utiliza los cubos para resolver estos problemas:

Ejemplo: Estructuras de cuatro. Coge cuatro cubos y construyeesta estructura. Ahora coge otros cuatro y haz otra estructuradiferente. ¿Cuántas estructuras distintas se pueden hacer concuatro cubos?

Ejemplo: Construir escaleras. Utiliza los cubos para construirestas escaleras.


Anota aquí cuantos cubos te han hecho falta.

Ejemplo: Escaleras dobles. Utiliza ahora los cubos para construirestas escaleras.

Número de escalones 1 2 3 4 5 6 7 8

Número de cubos 1 3

Anota aquí cuántos cubos te han hecho falta.

Se pretende trabajar con los conceptos de rotación, simetría,similitud y diferencia, desde un punto de vista geométrico, deconservación del volumen y de progresiones. Hay que animar alos niños a crear la mayor cantidad posible de estructuras y que,luego, las clasifiquen según la forma. El maestro debe discutir larelación entre el número de escalones y el número de cubos.¿Son capaces de deducir cuántos cubos serán necesarios encada escalera antes de construirla?

Número de escalones 1 2 3 4 5 6

Número de cubos 1 4



Problemas lógicos y de estrategia

Veamos algunas propuestas (con tareas y situaciones proble-máticas concretas), de entre la gran variedad y diversidad deejemplos que podemos encontrar.

Ejemplo de juego de estrategia: Coger fichas. Colocamos en lamesa diez fichas. Juegan dos jugadores y cada jugador puedecoger una o dos fichas cada vez que le toque a él. El jugador quecoja la última ficha pierde la partida.

Este tipo de problemas ayudanal alumnado a desarrollar la

lógica y la estrategia, aspectosde importancia significativa

para enfrentarse a multitud desituaciones en la vida real y

que, en general, no estánsiendo trabajados desde el

inicio de la escolarización. Sinembargo, posteriormente serán

muy valorados.

Buscad la forma de actuar para ganar siempre la partida:

Un nuevo ejemplo: Juego del 31. Juegan por turnos dos jugado-res. El primero dice un número del 1 al 5. El segundo jugadorsuma, al número del primer jugador, un número del 1 al 5 y diceel resultado. Así van jugando alternativamente. Gana el primeroque diga 31.

Después de jugar varias partidas, comenzando en primer lugaruno cada vez; averiguad si tiene ventaja alguno de los jugadores.

Averiguad la forma de jugar (estrategia) para ganar siempre —sila hay—.

2 + 4 = 6

__ + 3 = 9

9 + __

__ __

__ __ = 31


Se conocen como cuadradosmágicos aquellos que, al sumar el valor de los mismosen horizontal, vertical odiagonal, obtenemos siempreun resultado numéricocoincidente.

Dentro de éstos problemas lógicos y de estrategia, tambiénpodemos considerar los cuadrados mágicos.

Veamos un primer ejemplo sencillo: Coloca en un cuadro de3x3 los números del 1 al 9, de manera que todas las líneas(horizontales, verticales y diagonales) sumen 15.

8 3 4

1 5 9

6 7 2

7 4

8

12

El cuadrado más antiguo que se conoce es el que expresa lasolución a la cuestión planteada por un matemático hindú 1.000años antes de Cristo.

Ahora completa los datos que faltan en este cuadrado para quesea un cuadrado mágico (las filas, las columnas y las diagonalestienen que sumar lo mismo).

Veamos si eres capaz de completar también los cuadradosmágicos que te presentamos y que también sumarán 15. Ánimo,seguro que lo consigues.



Dentro de esta tipología incluímos los sudokus. ¿Sabes lo que esun sudoku? Es un rompecabezas matemático de colocación quese popularizó en Japón en 1986 y que se dio a conocer en elámbito internacional en 2005.

El juego original consta de 9x9 celdas dividido en subcuadrículasde 3x3 con las cifras del 1 al 9, partiendo de algunos números yadispuestos en algunas de las celdas. No se debe repetir ningunacifra en una misma fila, columna o subcuadrícula.

6 2

1 9

8 3

4

4 1 3

2

2

3

3

2 9

7 3

1 8

El objetivo es rellenar unacuadrícula 4x4, dividido en

subcuadrículas de 2x2 dondedebes poner las cifras del 1 al 4sin repetir ninguna cifra en una

misma fila, columna osubcuadrícula.

4

2 3

2

2

3

2


Ejemplo de Balanzas: hemos de representar balanzas en las queaparecen distintos objetos, algunos de ellos con el peso marca-do y el alumnado tiene que deducir el peso de algún objeto quefigure en la balanza.

Veamos un caso concreto: Fíjate bien en los objetos que hay enestas dos balanzas e intenta averiguar cuánto pesa el radio -casete. Después, ordena los objetos según su peso.

Los enigmas son ejercicios que hacen trabajar la mente ydesarrollan el pensamiento lógico, así como el método detrabajo necesario para resolverlos, que pasa por los tresestadios básicos de este ciclo: la manipulación, la comunicaciónoral y la representación escrita.

Es muy importante que los alumnos "discutan" sus resolucionescon sus compañeros, por parejas o en pequeños grupos, paraafianzar sus razonamientos.

A

2 1

3

> >

∫ SSS

SS



Tres exploradores van por la selva. Tienen que atravesar un ríomuy peligroso y es imposible hacerlo a nado. En la otra orilla haydos niños con una canoa a los que les piden ayuda para cruzarel río. Los niños aceptan pero les comentan que la canoa es muyfrágil y que sólo admite en cada viaje el peso de los dos niños oel de un adulto. Intenta ayudarles a resolver esta situación.

Por último y dentro del presente apartado, consideraremos eltrabajo con proposiciones.

Veamos un caso concreto: escribe al lado de cada frase, si esverdadero (V) o falso (F) lo que nos dice.

— Si llueve, las calles estarán mojadas

— Si estoy en 2º de primaria, entonces tengo más de 5años

— Si sumo dos números menores que 10, la suma esmenor que 10

— Si el suelo está mojado, entonces es que ha llovido

— Si tengo carné de conducir, entonces tengo coche

— Si a una cantidad le quito otra, el resultado serámenor que la primera cantidad

— Si tengo un número par de cromos, entonces puedohacer un número exacto de parejas

— Si mido más de 2 m, entonces juego a baloncesto

Las proposicionessirven para estimular el

razonamiento, la comprensiónoral, la argumentación y el

debate ente los alumnos.

�

�

��

�

��


Con este tipo de problemas loque intentamos es desarrollaren los alumnos su capacidadpara actuar de formasistemática, ya que es la únicaforma de estar seguro dehaber hallado todas lassoluciones.

Problemas de recuento sistemático

En este apartado entrarían aquellas situaciones problemáticasque tienen varias soluciones para las que es necesario realizarrecuentos.

Veamos un ejemplo: Halla todas las formas posibles de pagar 50céntimos de euro utilizando monedas de 10 y 20 céntimos deeuro.

Para resolver este tipo de problema el alumno debe aprender aejecutar dos pasos fundamentales: (1) delimitar para cada varia-ble el número máximo de ocurrencias y (2) elaborar una tablaque permita recoger todas las combinaciones posibles de lasvariables que manejemos.

Así, en el ejemplo anterior el número máximo de monedas de 10c. que se pueden usar es 5, ya que 6 o más darían un resultadosuperior a los 50 céntimos buscados. Por la misma razón, elnúmero máximo de monedas de 20 céntimos es 2, ya que 3daría un resultado superior a 50 céntimos.

Una vez delimitado el campo de ocurrencias posibles sabemosque sólo podemos usar hasta 5 monedas de 10 c. y hasta 2monedas de 20 c.; y no perdemos el tiempo con combinacionesque de antemano sabemos que no cumplirán las condicionesdel enunciado.

Concretado el primer paso, iniciaremos la elaboración de latabla con la intención expresa de recoger todas las combinacio-nes halladas en el paso primero.

En nuestro ejemplo debemos contemplar todas las combinacio-nes posibles de las monedas de 10 c. (0, 1, 2, 3, 4 y 5) con lasmonedas de 20 c. (0, 1 y 2).

Monedas Monedas Total

de 10 c. de 20 c.

0 0 0 céntimos

0 1 20 céntimos

0 2 40 céntimos

1 0 10 céntimos

1 1 30 céntimos

1 2 50 céntimos

2 0 20 céntimos

2 1 40 céntimos

2 2 60 céntimos

3 0 30 céntimos

3 1 50 céntimos

3 2 70 céntimos

4 0 40 céntimos

4 1 60 céntimos

4 2 80 céntimos

5 0 50 céntimos

5 1 70 céntimos

5 2 90 céntimos



Ya sólo falta emparejar cada valor del primer grupo con todoslos del segundo y calcular los resultados.


Problemas de azar y probabilidad

Tradicionalmente, se pensaba que los conceptos que giranalrededor de la idea de azar y probabilidad no estaban alalcance de los niños antes de llegar a la etapa de las operacionesformales. Esta idea ha sido superada, en tanto en cuanto se hademostrado que, si bien los niños no son capaces de medir yasignar una probabilidad a un suceso aleatorio, sí que tienencapacidad para distinguir entre fenómenos aleatorios ydeterministas, así como para comprender cuándo un sucesotiene más facilidad de ocurrencia que otro, y por tanto, asumirla idea de azar.

Veamos algunas sugerencias a modo de propuesta:

Ejemplo: Plon Chiribicú. Hay una cancioncilla usada para hacersorteos que se le llama plon chiribicú y, según los niños y niñasde Alicante, dice así: plon chiribicú chiribicá chiribicuri curifachiribicuri curifero ¿cuántos hijos tiene el…?

Un grupo de niños inicia la canción, asociando cada expresión auno de los participantes. Al finalizar, el niño o niña cuyo ordencoincide con la última expresión, dice (canta) un número del 1 al20 y se vuelve a contar hasta que se llega a ese número.

Ejemplo: en una clase de primero han jugado 20 veces y le hatocado 15 veces al mismo niño. ¿Crees que han jugado bien?¿Por qué crees que habrá sido?

Jugad a sortear algo bastantes veces a ver si ocurre algoparecido.

En esta actividad los alumnos se percatan de que si se empiezasiempre por una determinada persona, la canción se acabasiempre en el mismo, por lo que si este repite el número el



sorteo lo gana la misma persona. La aleatoriedad se puede versesgada por esta actuación, por lo que el maestro intentaráacercarse a provocar este comportamiento.

Ejemplo: la carrera de caballos.

Se necesita un tablero (cuadrícula con los números del 1 al 12 enla primera fila), dos dados de seis caras, numerados del uno alseis y fichas de varios colores. Puedes jugar con tus amigos,pero con la condición de que a cada jugador le corresponda unaficha de un color diferente.

a) Cada jugador coloca su ficha en la salida de cualquiera delas pistas. Lo mejor es elegir las pistas por turnos, para quecada uno pueda jugar en todas las pistas a lo largo de lasdistintas partidas. Recuerda que en la salida de cada pistasolo debe haber una ficha. Ahora, podéis empezar a jugar.Tirad el dado por turnos y sumad los dos números quesalgan. Si el número resultado de la suma, su valor coincidecon el de tu pista, entonces mueve tu ficha a una casillahacia delante. El que gana es el primero que cruza la meta.

b) Cuando termine la partida, discute el resultado con tusamigos. ¿Creéis que es justo el juego?

c) Jugad otra vez, pero ahora piensa con cuidado qué pistavas a elegir. Cuando hayáis terminado la segunda partida,comentad entre vosotros todo aquello que habéis descu-bierto.

Para ayudar a los niños en sus deducciones se pueden hacerpreguntas del estilo: ¿Por qué no se ha movido la ficha de lapista 1? ¿Cuáles son las mejores pistas? ¿Dónde es preferible nocolocar las fichas? ¿Observas alguna forma especial en la posi-ción final de las fichas? ¿Hay alguna pista que no se ajuste a esteesquema?


Aquí se pretende trabajarlas ideas básicas de laprobabilidad, el énfasis delconjunto de dos números y laimportancia del tamaño dela muestra.

M E T A

�

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� � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � � �

� � � � � � � � � � �

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



Ejemplo: dados raros.

En muchos juegos se utilizan los dados para hacer sorteos.Vamos a sortear entre los cuatro componentes de vuestroequipo un premio. Para ello pegaremos en cada cara de un dadode madera unas pegatinas en las que pondremos los númerosdel 1 al 4. Como el cubo tiene seis caras, pondremos el número4 en tres de las caras, para que no quede ninguna cara libre.

Ahora, cada uno elige un número. Vais a tirar el dado muchasveces y contad quien gana cada vez que se tira el dado. ¿Hayalguien que gana más veces que el resto?

A continuación, construiremos otro dado diferente. Vamos acoger dos cubos de madera y los vamos a pegar por una cara.Después les ponemos una pegatina en cada una de las seiscaras y tenemos "un cubo un poco alargado".

Problemas topológicos

Son propuestas para afianzar conceptos topológicos como:arriba, abajo, encima, debajo, derecha, izquierda, delante, detrás…

Ejemplo: Colócate en la casilla de salida y realiza el siguienterecorrido: dos casillas hacia abajo, una a la izquierda, una haciaabajo, tres a la derecha y dos hacia abajo. ¿Has alcanzado eltrofeo? Escribe dos recorridos distintos que alcancen el trofeo.

1

2

3

%


Ejemplo: Sitúate en la cuadrícula y, partiendo de la casilla dondeestá la bicicleta, escribe un recorrido de, al menos, 4movimientos, indicando hacia dónde se realizan (arriba, abajo,derecha, izquierda), hasta alcanzar el trofeo.

S

%

b


3. Fases en la resolución de problema

Revisando la abundante literatura sobre resolución deproblemas encontramos, en casi todos los casos, que losautores coinciden en describir el proceso de la resolución de unproblema como una serie de pasos, etapas o fases —como lasdenominaremos nosotros—, que se presentan con un orden queha ser seguido por el alumno para alcanzar la meta deseada, osea, la resolución del problema.

Estas coincidencias desaparecen cuando se trata de fijarcuántas son esas fases y cómo denominarlas.

Por nuestra parte, pese a que consideramos muy valiosa la pro-puesta de los profesores Luis Puig y Fernando Cerdán (1988) ensu libro Problemas aritméticos escolares, nos hemos decantadopor una propuesta más simple, basada en los planteamien tos deG. Polya (1987) en Cómo resolver y plantear problemas.

Seguidamente analizaremos cada una de estas fases.


El problema suele presentarse al alumno mediante un texto querecibe el nombre de "enunciado". El enunciado suele estarformado por una serie de frases habitualmente escritas, aunque

Estas fases serían lassiguientes: (1) comprenderel problema, (2) buscarestrategias de resolución, (3) aplicar la estrategia elegiday (4) comprobar la validez dela solución hallada.



en muchos casos, y sobre todo en los primeros cursos, elenunciado puede presentarse de forma oral o incluso de formagráfica.

Comprensión del enunciado

La comprensión del problema significa, en primer lugar, lacomprensión del enunciado y, por tanto, está íntimamenteligada a la capacidad de comprensión oral, escrita o gráfica delalumno.

Esta es una circunstancia que el profesor debe tener muy encuenta y adecuar el grado de dificultad formal del enunciado alnivel alcanzado en cada momento por el alumno en su procesode aprendizaje lecto-escritor.

Consideramos que es fundamental que se trabajen losdiferentes tipos de enunciados y las múltiples variaciones quecada uno de esos tipos ofrecen a los docentes. Con ello, no sólopotenciamos la comprensión de los enunciados, sino queademás evitamos el aburrimiento de los alumnos y latransformación de los problemas —como consecuencia de larepetición de los enunciados— en meros ejercicios cuyaresolución el alumno memoriza e intenta aplicar, sin ningunareflexión, a cualquier problema que se le presente.

Con el ánimo de ayudar a los docentes en su esfuerzo por sercreativos a la hora de formular los enunciados de los problemasy sin pretensión alguna de exhaustividad, indicamos algunas delas muchas variaciones que puede adoptar el enunciado de unproblema, para posteriormente ver con detalle cada una deesas variaciones y algunas propuestas para ser trabajadas enel aula.

La comprensión del problema,es decir, "la comprensión del

enunciado de un problema esbásica para la resolución del

mismo". Ello requiere untrabajo específico para

distinguir y comprender losdatos que se dan en el

enunciado del problema y lapregunta o preguntas que seespera que contestemos, seacual sea el tipo de problema

que se presente.


E.1. Enunciados orales

Utilizando las variadas situaciones problemáticas que se dan enla vida diaria de la escuela, se plantearán y se resolveránoralmente a través de la intervención del grupo clase o bien, enprimer lugar, por grupos y a continuación, su puesta en común.

Ejemplos de posibles situaciones problemáticas:

Ejemplo: José y Amparo están jugando en el recreo con canicas.Amparo tiene 7 canicas y José, 4. ¿Cuántas canicas le faltan aJosé para tener las mismas que Amparo?

Ejemplo: Toni tiene que pintar 6 dibujos en una ficha. Si ya hapintado 2 dibujos, ¿cuántos le faltan por pintar?

E.2. Enunciados gráficos

Debido a que los alumnos se encuentran en un periodo inicial deaprendizaje en lecto-escritura y no poseen dominio sobre ella,es conveniente resolver problemas que les sean presentados enforma gráfica, donde el alumno, a la vista de un dibujo ofotografía, verbaliza una situación problemática o varias y lasresuelve.

Ejemplo de posibles respuestas de los alumnos:

- Mi madre compró 6 huevos y se le rompieron 2. ¿Cuántoshuevos le quedan para hacer la cena?

- Al abrir el frigorífico me he encontrado 4 huevos enteros y2 rotos. ¿Cuántos huevos había en el frigorífico?

- …



Ejemplo de posibles respuestas de los alumnos:

- En una partida de bolos lancé la bola y tiré al suelo 4 bolos.Si en total había 12 bolos, ¿cuántos no cayeron al suelo?

- En una partida de bolos mi amigo José lanzó la bola y tiró 4bolos. Quedaron en pie 8, ¿cuántos bolos hay en la partida?

- …

E.3. Enunciados con muy poco texto

Los alumnos, o el maestro, apoyándose en el dibujo y la infor-mación que se les da, inventan situaciones problemáticas.

Ejemplo de posibles situaciones problemáticas:

- ¿Quién es el niño mayor?

- ¿Quién es el menor?

- ¿Cuántos años tienen entre los tres niños?.

- Si juntamos los años que tienen Beatriz y Samuel. ¿Cuántosle faltan para tener los de Víctor?

Ejemplo:

- Rosa va al supermercado a comprar con su madre: sicompran 1 pollo, 1 docena de huevos, y 1 bolsa de pan demolde. ¿Cuánto se han gastado?

- Si compramos todos los productos que hay en el cartel,¿cuánto nos gastaríamos?

- ¿Cuántos productos podríamos comprar con 10 euros? Hazun listado de todas las posibilidades.

Víctor

10 años

Beatriz

4 años

Samuel

2 años


E.4. Enunciados con texto

Centrándonos en los problemas de texto, proponemos distintasformas de trabajarlos para facilitar su comprensión y solución.

Trabajar frases que significan lo mismo pero dichas de otra forma.

Ejemplo:

- Pablo es más bajo que Isabel

- Isabel es

- Isabel tiene más años que Pablo

- Pablo tiene

- Pablo tiene más hermanos que Isabel

- Isabel tiene

- Pablo es más gordo que Isabel

- Isabel es

Comprender la situación propuesta

Ejemplo: Juan es más bajo que Pedro, pero más alto que Ana.Ordénalos por altura.

Ejemplo: Paula, Jorge y Marta comieron alimentos diferentes enel desayuno. Uno/a comió magdalenas, otro/a galletas y elotro/a tostadas. Paula no comió magdalenas ni tostadas. Jorgeno comió magdalenas. ¿Qué desayunó cada uno?

Identificar datos y pregunta

Una vez planteado oralmente el problema o posteriormenteleído por parte del alumno, se le pide que identifique los datosdel problema y la pregunta.



Ejemplo: José tiene 19 globos rojos, María 12 globos amarillos.¿Cuántos globos tienen entre los dos?

Datos: ¿Cuántos globos tiene José?

¿Cuántos globos tiene María? Lo que sabemos

¿Qué pregunta el problema? Lo que nos preguntan

Identificar la información necesaria

Ejemplo: Rosa está mirando un catalogo de material escolar.Quiere comprar un estuche, una regla y una agenda. Para sabercuánto le costará lo que quiere comprar, necesita (marca conuna X):

Las páginas que tiene el catalogo �La dirección de la papelería �El precio de la regla �El nombre del dueño de la papelería �El precio de la agenda �La cantidad de dinero que tiene en la hucha �El precio del estuche �

Traducir con sus propias palabras la situación problemática

Ejemplo: En el parque hay 48 palomas y 14 pavos reales.¿Cuántos pavos reales harían falta para que haya los mismosque palomas?

Pues... que hay 14 pavos y quiero que haya los mismosque palomas, es decir, 48. ¿Cuántos pavos faltan?


Relacionar el concepto operacional con el verbo que expresa laacción (de una lista dada) necesaria para resolver el problema

Ejemplo: La madre de Rosa compra 12 m de tela para hacer undisfraz y le sobran 3 m ¿Cuántos metros de tela ha utilizado parahacer el disfraz a Rosa ?

El alumno lee el enunciado y se le dice que elija de las siguientesacciones —juntar, repartir, quitar— la que cree que debe realizarpara resolverlo.

Dramatizar o representar la situación problemática mediante undibujo o gráfico

Ejemplo: Juan hace una colección de cromos de coches decarreras. Tiene 16 cromos y la colección es de 30 coches.¿Cuántos cromos le faltan?

Juan tiene � Le faltan �

��

Ejemplo: Los alumnos de 2º de primaria de nuestro colegio sehan ido de excursión en un autobús de dos pisos, si en el 2º pisoiban 29 alumnos y en el 1er. piso iban 14 alumnos más que en elsegundo, ¿cuántos alumnos de 2º de primaria se fueron deexcursión?

2º piso 29

1er. piso 14 + 29

Total alumnos:



Sustituir los datos dados por otros más sencillos que le permitansimplificar el problema y resolverlo con más facilidad

Ejemplo: En un invernadero hay 764 rosas rojas. Cuando van arecogerlas se encuentran con 149 rosas marchitas, ¿cuántasrosas quedan en buen estado?

Ejemplo: En un invernadero hay 5 rosas rojas. Cuando van arecogerlas se encuentran con 2 rosas marchitas, ¿cuántas rosasquedan en buen estado?

Inventar preguntas que tengan sentido en relación con unconjunto de informaciones dadas para el problema

Ejemplo: Paula cumple 8 años y en su fiesta de cumpleaños hay12 globos blancos, 15 amarillos y 9 rojos. ¿Cuántos globos hay entotal? ¿Cuántos globos amarillos hay más que rojos? Si juntamoslos globos rojos y blancos, ¿cuántos hay más que amarillos?

Inventar problemas que tengan las mismas estructuras queotros ya resueltos

Ejemplo: La madre de Elisa tiene 35 años y es 28 años mayorque su hija. ¿Cuántos años tiene Elisa?

El padre de mi amigo Manuel tiene 29 años y es 21 añosmayor que su hijo. ¿Cuántos años tiene Manuel?

Elegir la expresión que resuelve el problema correctamenteentre varias dadas

Ejemplo: Para llenar una garrafa de aceite he echado 9 litros enprimer lugar y, después, 7 litros. ¿Cuántos litros caben en lagarrafa? Elige la operación que nos da la respuesta correctamarcando con una cruz en el cuadrado.

9 – 7 litros � 9 + 7 litros �


Ejemplo: Francesc tiene 11 años y su madre, 49. ¿Cuántos añosle lleva su madre a Francesc?

49 + 11 � 49 - 11 �

Ante una situación problemática de transformación, estimar si elresultado final aumenta o disminuye

Ejemplo: En casa de Irene hay un frutero con 16 frutas. Si en lamerienda con sus amigas se comen 7 frutas, ¿cuántas quedaránen el frutero? ¿creéis que al final habrá más frutas o menos?

Ejemplo: José tiene 17 cromos y su hermano le regala 5 más.¿Cuántos cromos tendrá ahora José? ¿Tendrá más o menos?

Inventar problemas a partir de esquemas de resolución dada lasituación problemática

Ejemplo: Escribe el enunciado de un problema que se resuelvacon la siguiente operación (presentadas de distintas formas):

16 + 8 =1 6

+ 8

S.I. S.F.8

+16

S.I.

S.F.

16 8

+



Buscar posibles problemas a partir de la solución

La respuesta es: 18 años

María tiene 8 años más que su hermano David. Si este tiene 10años, ¿cuántos años tiene María?

Marta, Luis y Rosa tienen 6 años cada uno. ¿Cuántos años tienenentre los tres?

E.5. Enunciados con el texto desordenado

Que ordene un problema que se presenta desordenado paraque tenga sentido y pueda resolverse.

Ejemplo: [¿Cuántos tomates quedan en la caja?] [24 tomates][tiramos 6 porque se han podrido] [Una caja tiene]

Ejemplo-Respuesta: Una caja de tomates tiene 24 tomates.Tiramos 6 porque se han podrido. ¿Cuántos tomates quedan enla caja?

E.6. Enunciados con información no útil

Que sepa descubrir datos que no son útiles para la resolucióndel problema:

Ejemplo: En un tren que viaja a 90 Km/h van 86 pasajeros, sibajan 32 pasajeros, ¿cuántos quedan en el tren?

Ejemplo: Un jugador de baloncesto de 2 m de altura realiza enla primera hora del entrenamiento 35 tiros a canasta y, en lasegunda hora, 41. ¿Cuántos tiros a canasta ha realizado en las 2horas de entrenamiento?


E.7. Enunciados incompletos

Los alumnos han de leer atentamente el enunciado y analizarlocríticamente, comentar qué les parece y si es posible obteneruna solución.

Ejemplo: Un edificio tiene 12 pisos y en cada uno hay 5 viviendas.¿Cuántas personas viven en el edificio?

Ejemplo: En la fiesta de cumpleaños de Ana hay 6 compañerosy 7 compañeras de clase. ¿Cuántos años cumple Ana?

Ejemplo: En la pescadería un kilo de salmón costaba hoy 5euros, ayer costaba 6 euros. ¿Cuánto costará mañana?

Ejemplo: En un estanque hay 14 patos y 8 cisnes. Si se van 9patos y algunos cisnes, ¿cuántos cisnes quedan?

E.8. Enunciados con varias soluciones

El alumno tiene que escribir todas las soluciones que encuentrepara resolver el problema.

Ejemplo: En una bolsa de tela negra hay varias canicas de colorrojo y varias de color azul. Si meto la mano sin mirar y saco doscanicas, ¿de cuántos colores posibles saldrán las canicas?

Ejemplo: Llevo en el bolsillo del pantalón varias monedas de 2euros, 1 euro y 50 céntimos. Si meto la mano sin mirar y sacotres, ¿cuánto dinero puedo sacar?

Ejemplo: En la heladería venden unos cucuruchos con tres bolasde helado. Se pueden elegir 2 sabores o 3: chocolate, fresa yvainilla. ¿Cuántos cucuruchos distintos se pueden formar? Si la



bola de chocolate cuesta 50 céntimos y la de fresa, 75 céntimos,escribe al lado de cada helado lo que cuesta. ¿Cuánto dineroobtendrá la heladería si vende todos los helados que hemosformado?

E.9. Enunciados abiertos

Este tipo de problema permite al alumnado libertad absolutapara su resolución, puesto que hay distintas maneras pararesolverlos. Es el alumno el que debe tomar las decisiones queconsidere más apropiadas.

Además, este tipo de problemas, al tener varias soluciones, esasequible a "todo" el alumnado, permitiendo así desarrollar supropia iniciativa.

Ejemplo: Si el perímetro de una figura es 12, ¿cuál es la figura?

Ejemplo: Tres pastelitos de nata y tres pastelitos de hojaldre noshan costado 15 euros. ¿Cuánto vale cada uno?

E.10. Enunciados sin casi datos numéricos

Ejemplo: Tres amigos quieren disputar un pequeño torneo detenis y tienen que jugar un partido entre cada uno de ellos.¿Cuántos partidos tendrán que jugar? Si son 4 amigos, ¿cuántospartidos jugarán?

E.11. Enunciados de investigación

Ejemplo: En un cuadrado de 3x3, pon una ficha en cadacuadrícula e investiga cuántas puedes poner sin que haya tresen raya (formando una línea). Averigua lo mismo con uncuadrado de 4x4.

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Análisis del enunciado

Es conveniente que los alumnos se acostumbren a plantearseestas cuestiones ante cualquier problema, a modo de protocolo,dejando constancia escrita de los resultados del análisispormenorizado.

También es muy importante que se apoyen en algún dibujo,esquema o gráfico para representar el enunciado y de estaforma identificar más fácilmente los datos y comprender mejorel problema.

Incluso, sobre todo en el caso de los alumnos de menor edad, esaconsejable que el alumno "dramatice" o exprese con suspropias palabras el enunciado o lo comente con algúncompañero ya que ello le obligará a reflexionar sobre lasituación y a entenderla mejor.


Una vez identificados los datos, comprendida la situación ypuesto en claro qué es lo que hay que averiguar, el alumno debeplantearse qué acciones debe realizar. Es decir, debe elaborarun plan de actuación, una estrategia que le permita llegar, desdelos datos conocidos a la solución requerida.

Y debemos dejar muy claro a nuestros alumnos que suele habermúltiples estrategias o formas de resolver un problema.

De hecho, una de las prácticas más interesantes cuando esta-mos resolviendo un problema colectivamente, consiste en noconformarnos con obtener la solución de una determinadaforma e insistir a los alumnos en que piensen en resolver el pro-blema utilizando estrategias diferentes.

Una vez que el alumno hacomprendido la situación quese le plantea, debe realizar unanálisis pormenorizado de lainformación que ofrece elenunciado y obtener respuestaa una serie de interrogantes,tales como: ¿qué datosaparecen?, ¿qué es lo que senos pide?, ¿todos los datos quese nos ofrecen son relevantes?,¿algún dato es innecesario?,¿tenemos todos los datosnecesarios?, ¿cómo será lasolución?, ¿podemos hacer unaestimación del resultado?

En esta fase, como en lasrestantes, es muy importanteque sepamos combinar eltrabajo individual de cadaalumno con el trabajo engrupo. Esta fase de elaboracióndel plan se prestaespecialmente al intercambiode ideas, al debate y, endefinitiva, al trabajocooperativo.



Esta práctica dotará a nuestros alumnos de un rico bagaje deestrategias usadas previamente de las que podrán hacer usoante un problema nuevo.

Podría parecer que recurrir a las experiencias previas contradicenuestras propias palabras cuando preveníamos contra lacostumbre de repetir modelos de problemas que terminaban enser aprendidos de memoria y convertidos en meros ejercicios.Lo que proponemos no es que los alumnos aprendan "modelos"de problemas y su resolución, sino que aprendan estrategias deresolución, que comprueben que problemas diferentes puedenser resueltos con una misma estrategia y que todo problema essusceptible de ser resuelto con estrategias diferentes.

Y cuando hablamos de estrategias de resolución nos referimos,por ejemplo, a:

— Modelización. Crear representaciones plásticas del enuncia-do y los datos del problema, al principio mediante objetosmanipulables y, sucesivamente, avanzar en el proceso desimbolización, pasando por dibujos, gráficos y esquemasde relaciones entre los datos. Estas estrategias de modeli-zación están especialmente indicadas en los primeros cursos. También puede pedirse a los alumnos de cursosposteriores que resuelvan el problema con más de unaestrategia y que, en ese caso, la primera sería la modeliza-ción.

— Técnicas de ensayo y error. Suponer el problema resueltocon cantidades elegidas en el rango (conjunto de valores)marcado por una previa estimación de la solución.Aplicando sucesivamente las soluciones estimadas al pro-blema, comprobaremos qué cantidades se acercan más acumplir las condiciones del problema hasta encontrar unacantidad que las cumpla exactamente. Esa será la solución.


— Operación aritmética: Si hemos identificado en el enuncia-do alguna operación aritmética (suma, resta, multiplicacióno división), aplicaremos a los datos los algoritmos corres-pondientes para obtener la solución.


Consiste en poner en práctica la estrategia prevista, pero no deforma irreflexiva. Hay que valorar en todo momento cómo seestá llevando a cabo el proceso y si cada paso se adecúa alobjetivo marcado.

Al mismo tiempo hay que estar atentos a toda nuevainformación que pueda descubrirse o deducirse de los pasos yarealizados. Si la nueva información aparece, hay que ver cómoencaja con los datos previos y si debemos o no replantearnos laestrategia.

Hay que ser perseverante y aplicar la estrategia elegida hastaalcanzar la solución. Y si llegásemos a la conclusión de que laestrategia elegida no es adecuada, no hay que desanimarse niabandonar; tan sólo es cuestión de replantearnos la estrategia.

Esta es una idea que debemos conseguir que cale en losalumnos: la buena noticia es que casi todos los problemasmatemáticos que se les presenten tienen solución; sólo hay queencontrarla.


Los alumnos deben habituarse a no dar por bueno cualquierresultado obtenido, sino a comprobar siempre si ese resultadoconstituye la solución buscada del problema.

También es muy importanteque el alumno se acostumbre adejar constancia escrita de lospasos, deducciones yoperaciones realizados. Esta precaución facilita laexplicación posterior de cómose ha resuelto el problema ysirve de hilo conductor pararepasar lo realizado a labúsqueda de un posible error.



Consideramos que es conveniente que dicha comprobaciónincluya dos pasos sucesivos: la estimación de la validez delresultado y la comprobación de la exactitud del resultado.

Estimación de la validez del resultado

Estimar la validez del resultado consiste en comprobar si éstepertenece al rango de valores "posibles".

Cuando en la primera fase hablábamos del análisis delenunciado, citábamos, entre otros interrogantes, el de¿podríamos hacer una estimación del resultado? Lo que nosplanteábamos era que debemos acostumbrar al alumno a quereflexione y, a partir de los datos del enunciado, establezca unrango de resultados "posibles".

Una vez hecho esto, si el resultado obtenido no está incluido enel rango de la estimación previa, debemos sospechar que algono está bien hecho: o hemos cometido un error en la aplicaciónde la estrategia o en los cálculos realizados (y hemos deacostumbrar a los alumnos a que repasen lo realizado), o tal vezel error existió al establecer la estimación del resultado.

Exactitud del resultado obtenido

De cualquier forma, nunca estaremos totalmente seguros dehaber hallado la solución si no damos un paso más ycomprobamos la exactitud del resultado.

El primer paso consiste en repetir los cálculos utilizando unprocedimiento diferente. En algunos casos es útil sustituir eldato ignorado por el resultado obtenido y comprobar si lasrelaciones entre los datos se mantienen y las condiciones delproblema se cumplen.


Y por último, hallada la solución, estimulemos a los alumnos paraque busquen otra forma de resolver el problema, para queapliquen una estrategia diferente.

Desarrollo de las fases mediante un ejemplo práctico

Desarrollamos seguidamente una propuesta didáctico-metodológica concreta para trabajar con el alumnado las cuatrofases de resolución expuestas con anterioridad, explicitandocada una de las secuencias que llevaremos a cabo y con laintención expresa de conseguir resolver un problema aritméticotípico con éxito.

Problema: Los alumnos de 3º de primaria de nuestro colegio sehan ido de excursión en un autobús de dos pisos. Si en el primerpiso iban 29 alumnos y en el segundo iban 14 más que en elprimero, ¿cuántos alumnos de 3º de primaria se fueron deexcursión?


a) Comprender el enunciado.

"Un grupo de alumnos van de excursión en un autobús y que-remos saber cuántos alumnos son."

b) Analizar el enunciado.

¿Qué es lo que se nos pide?: "Hay que saber cuántos alumnosvan en el autobús".

¿Hay algún dato innecesario?: "No importa de qué curso seanlos alumnos, por tanto es innecesario el dato: Son alumnos de3º de primaria".

¿Qué hace falta para saber cuántos niños van en una autobús de2 pisos?: "Saber cuántos alumnos hay en cada piso del autobús".

¿Qué datos aparecen en elenunciado?

- Son alumnos de 3º deprimaria

- El autobús tiene 2 pisos- En el primer piso van 29

alumnos- En el segundo piso van 14

alumnos más que en el primerpiso



¿Sabemos cuántos alumnos van en el piso primero?: "Si, en elprimer piso hay 29 alumnos".

¿Sabemos cuántos alumnos hay en el segundo piso?: "No sabe-mos exactamente cuántos son".

¿Y necesitamos el dato de cuántos alumnos van en el segundopiso?: "Sí".

Por tanto, la pregunta del problema era:"Saber cuántos alumnosvan en el autobús".

Pero nos falta un dato: "Saber cuántos alumnos van en el segun-do piso".

Y para conseguir resolver el problema, ¿qué habrá que averi-guar primero?: "El dato que falta".

c) Hacer estimaciones sobre posibles resultados.

¿Es posible que en el segundo piso vayan 25 alumnos? "No, por-que los datos dicen que hay más que en el primer piso, y si enel primer piso hay 29, en el segundo piso tiene que haber 30 omás alumnos".

¿Es posible que en el segundo piso vayan 75 alumnos? Enprimer lugar, "redondeamos las cantidades a la decena superior"para pasar seguidamente a razonar del siguiente modo: "en elprimer piso hay 29, es decir unos 30 alumnos"; "en el segundopiso hay 14, o sea, unos 20 alumnos más que en el primer piso,o lo que es lo mismo, unos 20 alumnos más que los 30 delprimer piso." Por tanto, "como 20 alumnos más que 30 son 50,nos encontramos con que en el segundo piso tiene que haber—como máximo— 50 alumnos."

En definitiva, ¿cuántos alumnos esperamos en el segundo piso?:"Entre 30 y 50 alumnos".


Ahora bien, si en el segundo piso suponemos que habrá entre30 y 50 alumnos, ¿cuántos podemos esperar que vayan en todoel autobús? Siguiendo con el redondeo a la decena superior, "enel primer piso hay unos 30 alumnos"; "en el segundo piso hayentre 30 y 50 alumnos"; "en el autobús habrá entre 60 alumnos(30 del primer piso más 30 del segundo piso) y 80 alumnos (30del primer piso y 50 del segundo piso)".

En definitiva, ¿qué resultados del problema podrían ser válidos?"Cualquier resultado entre 60 y 80 alumnos".


Al analizar el problema hemos encontrado que tenemos que darrespuesta a la pregunta: "¿Cuántos alumnos viajan en elautobús?" Sin embargo para llegar a dar la respuesta adecuada,disponemos ya de un dato conocido y que nos lo proporcionael propio enunciado del problema cuando nos dice que en elprimer piso van 29 alumnos.

Pero, necesitamos otro dato: "saber cuántos alumnos hayexactamente en el segundo piso".

Ahora bien, llegados a este punto en la fase de elaboración delplan de resolución y antes de continuar en la búsqueda de larespuesta, que no de la solución adecuada —tras haber idoanalizando cada uno de los interrogantes planteados—, seríaconveniente hacer un pequeño gráfico (mediante el dibujo delautobús de 2 pisos) para facilitar la representación y expresiónde los datos conocidos hasta el momento presente.

Seguimos adelante con nuevos interrogantes. ¿Cómo podemossaber cuántos alumnos hay en el segundo piso? "Si hay 14alumnos más que en el primer piso, bastaría añadir esos 14alumnos a los 29 del primer piso".

Segundo piso: 14 alumnos másque en el primer piso

Añadir 14 alumnos a los 29alumnos del primer piso

Primer piso: 29 alumnos



Pero, cuando calculemos cuántos alumnos hay en los dos pisos¿cómo sabremos el total de alumnos que viajan en el autobús?"Sólo habría que juntar los alumnos de cada piso para obtenerel total".


a) Para calcular los alumnos del segundo piso hay que añadir 14alumnos a los 29 del primer piso. Podemos hacerlo sumando14 a 29:

29 alumnos + 14 alumnos = 43 alumnos hay en el 2º piso

b) Para calcular los alumnos que viajan en el autobús hay quesumar a los que van en el primer piso (dato facilitado en elenunciado) aquellos situados en el segundo piso (en elprimer piso viajan 29 alumnos y en el segundo, 43).

En total: 29 alumnos + 43 alumnos = 72 alumnos hay en elautobús


a) Revisar las estimaciones previas

El primer resultado, el de los alumnos del segundo piso, debíaestar entre 30 y 50. El resultado obtenido, 43 alumnos, "es unresultado posible".

El resultado final, el número de alumnos que viajan en elautobús debía estar entre 60 y 80. El resultado obtenido, 72alumnos, "es un resultado posible".

b) Comprobar la exactitud de los resultados

Como hemos utilizado algoritmos de suma para realizar loscálculos, deberíamos repetirlos utilizando un procedimientodiferente, por ejemplo, utilizando una calculadora o un ábaco.

Por tanto nuestro planconsiste en:

- "Calcular primero cuántosalumnos viajan en el segundo

piso" y, para conseguirlo,"añadiremos 14 alumnos a los29 alumnos del primer piso."

- "Luego intentaremos darrespuesta a la pregunta del

problema", es decir, el total dealumnos que viajan en el

autobús, y para conseguirlo"sumaremos los alumnos del

primer piso y los del segundo piso."

Por todo ello, tan solo cuando hayamos verificadola exactitud de los cálculos

realizados y comprobado quelos datos obtenidos son

coherentes con la situacióndescrita en el enunciado,

estaremos razonablementeseguros de haber resuelto

correctamente el problema.


4. Conclusiones

En toda la etapa educativa obligatoria y, aún más, durante eldesarrollo del primer ciclo de la Educación Primaria, elprofesorado debe acompañar de manera sistemática a todos ycada uno de sus alumnos hacia el logro de una estructuraciónde la mente que facilite, de una manera constante, el análisis desituaciones problemáticas, su planificación, resolución y estudiode la viabilidad de todas y cada una de las soluciones obtenidas.

Hemos de ser conscientes, como docentes, de que la resoluciónde problemas favorece una serie de capacidades que no sonexclusivas del mundo matemático y que, a la vez, lacomprensión y consolidación de esas destrezas adecuadas, concierta garantía de éxito, es un proceso lento y progresivo.

Són elementos clave de un aprendizaje de las matemáticas congarantias de equidad i calidad: la buena actitud del profesorado,que trabaja la resolución de problemas de forma planificada ybién estructurada, junto con el conocimiento y la experimen -tación de los diferentes tipos de problemas desplegados y desus distintas propuestas, detalladas en las páginas anteriores,junto con un ambiente de la clase favorecededor de la investi -gación y la cooperación.


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Configuraciones puntuales:

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Conteo y agrupamiento de unidades:

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Descomposiciones numéricas:

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