1.- figuras planas. perÍmetros y Áreas las figuras ......las figuras planas más importantes son...

2º ESO - UNIDADES 10 y 11.– MEDIDAS. TEOREMA DE PITÁGORAS. SEMEJANZA. TEOREMA DE TALES---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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1.- FIGURAS PLANAS. PERÍMETROS Y ÁREASLas figuras planas más importantes son los triángulos, cuadriláteros, polígonos y la circunferencia.

Medida del perímetro de una figuraEl perímetro de una figura plana es la suma de todos sus lados. En el caso del círculo el perímetro esla longitud de la circunferencia. El perímetro se mide en unidades de longitud.

Para pasar de unas unidades de longitud a otras podemos usar el siguiente esquema:

Si queremos pasar de km a cm multiplicamos por 10 cinco veces, o sea por 100 000 = 105

Ejemplo: 2,3 km = 2,3 . 105 cm = 230 000 cm

Si queremos pasar de mm a hm dividimos entre 10 cuatro veces, o sea entre 10 000 = 104.

Eso equivale a multiplicar por 10–4

Ejemplo: 78 400 mm = 78 400 . 10–4 hm = 7,84 hmMedida del área o superficie de una figura

El área o superficie de una figura plana es la medida de la región que encierran sus lados.El área se mide en unidades de superficie.

Para pasar de unas unidades de superficie a otras podemos usar el siguiente esquema:

Si queremos pasar de km2 a m2 multiplicamos por 100 tres veces, o sea por 1000 000 = 106

Ejemplo: 0,5 km2 = 0,5 . 106 m2 = 500 000 m2

Si queremos pasar de dm2 a dam2 dividimos entre 100 dos veces, o sea entre 10 000 = 104.

Eso equivale a multiplicar por 10–4

Ejemplo: 12 506 000 dm2 = 12 506 000. 10–4 dam2 = 1250,6 dam2

ACTIVIDADESHaz las actividades de la Plataforma SM del Apartado 1 repasando y practicando primero

en el enlace de tu curso “Teoría y actividades interactivas” de la web de tu profesor1.- Resuelve tú los siguientes apartados:a) Pasa a metros: 1) 7500 mm 2) 0,84 km 3) 150 dm 4) 865,2 cm 5) 3,5 dam 6) 0,75 hmb) Pasa a metros cuadrados: 1) 3,84 km2 2) 150 dm2 3) 86500 cm2 4) 3,5 dam2 5) 0,75 hm2


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2.- ÁNGULOS Y TRIÁNGULOSObjetivo 1.- Resolver problemas que requieran el cálculo de medidas angulares, de longitud y superficie en figuras triangulares, en especialaquellos que usen el teorema de Pitágoras realizando los cambios de unidades necesarios

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

Ángulo recto Ángulo llano Ángulo agudoMide menos de 90º

Ángulo obtusoMide más de 90º

Ángulos complementariosSon los que suman 90º

Ángulos suplementariosSon los que suman 180º

SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULOEn todo triángulo la suma de los tres ángulos vale 180º

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

EquiláteroTiene los lados iguales

IsóscelesTiene dos lados iguales y otro desigual

EscalenoTiene los tres lados desiguales

Triángulo rectánguloTiene un ángulo recto

Acutángulo u oblicuánguloTiene los tres ángulos agudos

ObtusánguloTiene un ángulo obtuso

Fíjate bienEl triángulo equilátero tiene los 3 ángulos iguales y cada ángulo mide 60º

En el triángulo isósceles los ángulos de la base son iguales y pueden ser agudos u obtusos

En el triángulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios


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TEOREMA DE PITÁGORASEn todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

a2 = b2 + c2 “a” es la hipotenusa “b” y “c” son los catetos

ÁREA DE UN TRIÁNGULOEl área de un triángulo es igual a base por altura dividido entre 2

A = b h2

ACTIVIDADES

1 Halla los valores de los ángulos desconocidos:a

40º

110º

b

cd

2 Si alineamos sobre una recta un triángulo equilátero, un triángulo rectángulo y un triángulo isósceles

forman la siguiente figura:

Sabiendo que el ángulo G mide 45º y el ángulo K mide 70º, ¿cuánto miden los demás ángulos?

3 Una escalera larga de 10 m se apoya en la parte más alta de una casa. Si la distancia del pie de laescalera a la base de la casa es de 4,5 m, ¿cuál es la altura de la casa?

4 Tres pueblos A, B, C y D están unidos por carreteras rectas, según la figura

Halla la distancia entre los pueblos a) A y D b) A y C

5 Un jardín tiene forma de triángulo rectángulo isósceles de 12 m de hipotenusaa) ¿Cuánto mide cada cateto? b) ¿Cuántos metros de alambre necesitamos para vallarlo?c) ¿Cuánto vale a razón de 60 €/m2?

6 Un pañuelo tiene forma de triángulo equilátero. La altura del triángulo es 21 cma) Calcula el lado del triángulo b) ¿Cuál es su superficie?


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Haz las actividades de la Plataforma SM del Apartado 2 repasando y practicando primeroen el enlace de tu curso “Teoría y actividades interactivas” de la web de tu profesor

7.- Resuelve tú los siguientes apartados:

a) El alumnado de Alcornocal va a estudiar al instituto de Cieloazul. El camino para el transporte escolarde Alcornocal a Cieloazul, debe pasar actualmente por Buenabrisa.La Consejería de Obras Públicas y Transportes ha proyectado un túnel bajo el monte que permitiráconectar directamente Alcornocal con Cieloazul.Cuando se termine la obra del túnel que conectará directamente Alcornocal con Cieloazul.

Observa la figura y calcula cuántos kilómetros se ahorrarán

b) El teleférico de la ciudad A sale de la base de una montaña sube hasta su cima y acaba en la ciudad C.Observa el siguiente esquema y calcula:

1) ¿Qué distancia recorre el teleférico desde la ciudad A hasta la cima?

2) ¿Qué distancia hay entre las ciudades A y C?

c) Halla el perímetro y la superficie de un triángulo rectángulo isósceles de 40 cm de hipotenusa

d) Calcula el perímetro y área de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 2,6 dm cada uno y laaltura mide 24 cm

e) Una señal de tráfico con forma de triángulo equilátero tiene 28 cm de altura.Halla su perímetro y su área.


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3.- CUADRILÁTEROSObjetivo 2.- Resolver problemas que requieran el cálculo de medidas angulares, de longitud y superficie en figuras cuadrangulares usandofórmulas y la descomposición en figuras simples conocidas realizando los cambios de unidades necesarios

Paralelogramos: Son los que tienen los lados paralelos dos a dos

Rectángulo

A = b h

Romboide

A = b h

Cuadrado

A = a2

Rombo

A = D d

2D = diagonal mayord = diagonal menor

Trapecios: Son los que tienen dos lados paralelos, llamados bases, y otros dos no paralelos.

Área del trapecio: A = (B b) h

2

siendo B = base mayor b = base menor h = altura

Trapecio rectángulo Trapecio isósceles Trapecio escaleno

Trapezoides: Son los que tienen los cuatro lados no paralelos

ACTIVIDADES1 Claudia juega con una cuerda formando un rectángulo de 30 cm de largo y 20 cm de ancho.Después, transforma la figura en un cuadrado con igual perímetro. Haz un dibujo que represente cadasituación. ¿Cuál tiene mayor superficie?

2 Los padres de Javier han decidido hacer reformas en la habitación de su hijo y quieren conocer el costeque les va a suponer cambiar el suelo. Disponen del plano de la habitación.Necesitan saber la superficie de la habitación (4,2 m de ancho y 4,55 m de largo) para determinar cuántaslosas han de comprar, teniendo en cuenta que las losas son de forma rectangularde 60 cm x 35 cm.a) Calcula la superficie de la habitación.

b) Calcula cuántas losas sería necesario usar para enlosar la habitación.

3 Calcula cuál es el precio de un mantel cuadrado de 2 m de diagonal si el m2 de tela cuesta 15 €.


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4 El próximo 28 de febrero es festivo, es el día de Andalucía. En mi instituto lo celebraremos el día 27 yyo voy a ser el alumno responsable de las actividades de mi clase.La bandera de Andalucía es la tradicional formada por tres franjas horizontales – verde, blanca y verde –de igual anchura.Tengo que coordinar la elaboración de una bandera de Andalucía: hecha de globos blancos y verdes parael aula, sin escudo. Cada franja de la bandera de globos del aula tendrá una altura de 40 cm y unalongitud de 1 metro y 80 centímetros. Hemos visto que queda bien rellena colocando, para cada una delas tres franjas, dos globos de ancho y doce globos de largo.a) ¿Cuántos globos de cada color (verde y blanco) nos harán falta?b) ¿Cuál es el valor medio de la superficie que ocupa cada globo en la bandera?

5 Un jardín rectangular mide el triple de largo que de ancho y se ha rodeado con una tela metálicade 48 m. ¿cuál es su superficie?

6 Calcula el área de un rombo de 6 cm de diagonal menor y 7 cm de lado

7 Una parcela tiene forma de trapecio isósceles de 30 m de altura, base mayor 100 m y lados noparalelos 50 m. Se ha rodeado con una valla.

1) ¿Cuánto mide la valla? 2) ¿Cuál será su precio a razón de 20,50 €/m2?

8 Calcula, en cm2, el área de la siguiente figura sabiendo que el rectángulo mide 80 cm x 0,4 m y laaltura del triángulo es 3 dm



a) Calcula las áreas de las siguientes figuras, en m2, haciendo primero un dibujo representativo:1) Un cuadrado de 0,05 km de lado2) Un trapecio isósceles, siendo la base mayor 12 cm, la base menor 8 cm y la altura 6 cm3) Un rectángulo de 5000 mm de largo y 300 cm de ancho4) Un rombo cuyas diagonales miden 300 mm y 72 cm, respectivamente

b) Se quiere embaldosar una habitación rectangular de 4,4 m de largo por 3,2 m de ancha con baldosascuadradas de 40 cm de lado. ¿Cuántas baldosas son necesarias?


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c) Una parcela tiene forma de rectángulo de 30 m de altura. La diagonal del rectángulo mide 50 m.1) Si quiero rodear la parcela con una alambrada, ¿cuántos metros de alambre necesito?2) ¿Cuánto valdrá la parcela a razón de 10,50 €/m2?

d) Un patio rectangular mide 12 m de largo y 15 m de diagonal. Calcula:1) ¿Cuánto mide de ancho? 2) ¿Cuántas losas cuadradas de 60 cm de lado se necesitan para enlosarlo?

e) Calcula el perímetro y el área de un cuadrado de 10 cm de diagonal

f) Mi familia tiene un pequeño terreno rectangular en el campo, doble de largo que de ancho.Recientemente mi padre y mi madre se encargaron de vallar todo el terreno y necesitaronexactamente 120 metros de tela metálica. ¿Cuál es la superficie del terreno?

g) En una catedral hay una ventana de cristal con forma de rombo de 30 cm de lado y 48 cm de diagonalmayor. ¿Cuántos cm2 de cristal se necesitan para construir la ventana?

h) Un terreno con forma de trapecio isósceles tiene 425 m de base mayor, 209 m de base menor y cadauno de los lados oblicuos mide 229 m. Calcula el precio del mismo a razón de 40 €/m2.

i) Dado el siguiente trapecio isósceles 1) Calcula x 2) Halla la base menor

4.- POLÍGONOS. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULOObjetivo 3.- Resolver problemas que requieran el cálculo de medidas angulares, de longitud y superficie en polígonos regulares ycircunferencias realizando los cambios de unidades necesarios

PolígonoEs una figura geométrica limitada por segmentos, llamados lados.

Los polígonos tienen nombres específicos según el número de lados: Triángulo (3 lados) ;cuadrilátero (4 lados) ; pentágono (5 lados) ; hexágono (6 lados); heptágono (7 lados);octógono (8 lados) ; eneágono (9 lados); decágono (10 lados) ; undecágono (11 lados);

dodecágono (12 lados) ; …. ; icoságono (20 lados) ; …Polígono irregular

Lados y ángulos desigualesPolígono regular

Lados y ángulos iguales

Área de polígono regular: A = P a

2P = perímetro , a = apotema


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Circunferencia y círculo

L = 2 rLa circunferencia es la línea que bordea, el círculo es la región que encierra la circunferencia.

ACTIVIDADES1 Se desea instalar el escudo de un club de baloncesto en forma de hexágono regular de 0,2 m deapotema. ¿Qué superficie, en dm2, cubrirá en la pista de baloncesto?

2 Una plaza de toros tiene un diámetro es de 5 460 cm.a) Halla cuántos metros de valla se necesitan para rodearla b) ¿Cuál es la superficie de la plaza?

3 Calcula el área de la zona sombreada:


4.- Resuelve tú los siguientes apartados:a) Calcula el área, en cm2, de las siguientes figuras haciendo primero un dibujo representativo:1) Un octógono regular de 3,5 cm de lado y 3 cm de apotema 2) Un círculo de 200 mm de diámetro

b) Un hexágono regular tiene 12 cm de apotema. ¿Cuánto mide el lado del hexágono?

c) Una celdilla de abeja tiene forma hexagonal de 6 mm de apotema.¿Cuál es la superficie de un panal que tiene 30 celdillas iguales?

d) Una pizza tiene un diámetro de 0,12 m. Halla su superficie y su perímetro

e) Calcula el área de la siguiente figura sabiendo que el rectángulo mide 30 cm x 20 cm


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5.- FIGURAS SEMEJANTES. TRIÁNGULOS SEMEJANTESObjetivo 4.- Reconocer si dos figuras son o no semejantes, calcular e interpretar su razón de semejanza y obtener la figura semejanteconocidos los lados y ángulos de la figura original y la razón de semejanza en diversos contextos.

Figuras semejantesDos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y las medidas de ambas son

proporcionales.Ejemplo:

Las figuras F1 y F2 son semejantes porque:

- Los ángulos de la figura F1 son iguales a los de F2

- Las medidas son proporcionales, pues: 10 8 6 4 25 4 3 2 .

Esto significa que los lados de la figura F2 se obtienen multiplicando por 2 los lados de F1.

Fíjate bienSi dos figuras F1 y F2 son semejantes, las medidas de la figura F2 se obtienen multiplicando lascorrespondientes medidas de F1 por un mismo número positivo k, llamado razón de semejanza.La razón de semejanza también se puede calcular dividiendo una medida de la figura F2 entre lacorrespondiente medida de F1.

Si k > 1, entonces F2 es más grande que F1. Si k < 1, entonces F2 es más pequeña que F1

Triángulos semejantesDos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales o tienen los lados

correspondientes proporcionales. No es necesario comprobar las dos cosas a la vez


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ACTIVIDADES

1 Calcula los lados y ángulos que faltan

2 Una fotografía de 7,5 cm de ancho y 10 cm de largo se reduce a un ancho de 6 cm.Determina el largo de la foto reducida y la razón de semejanza

3 Calcula la anchura del río:


4.- Resuelve tú los siguientes apartados:a) Calcula los lados y ángulos que faltan sabiendo que son semejantes y la razón de semejanza es 0,8

b) ¿Son semejantes un triángulo isósceles y un triángulo equilátero? Razónalo

c) Averigua si las siguientes parejas de triángulos son semejantes y explica por qué:

1) 2)

d) Calcula la altura del árbol en los siguientes casos:

1) 2)

e) Dos rectángulos son semejantes. El primero mide 10 cm de largo y 4 cm de ancho.El segundo mide 6 cm de ancho. Halla la razón de semejanza y el largo del 2º rectángulo


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6.- ESCALAS EN MAPAS, PLANOS Y MAQUETASObjetivo 5.- Resolver problemas de escalas en planos, mapas y maquetas en diversos contextos

MapaEs la representación gráficareducida de una zona geográfica(una provincia, región, país, etc)

PlanoEs la representación gráficareducida de elementos talescomo una ciudad, una vivienda,un circuito de carreras, etc

MaquetaEs la representación gráficareducida de cualquier objeto. Porejemplo, un edificio, un avión,un barco, un automóvil, etc

EscalasAl realizar una representación mediante un mapa, plano o maqueta las dimensiones se reducen en lamisma proporción: Lo que representamos es semejante a la realidad.Si un plano está hecho a escala E 1 : 250, entonces 1 cm del plano corresponde a 250 cm de la realidad.La razón de semejanza plano-realidad es 250/1 = 250

ACTIVIDADES1 La distancia real, en línea recta, entre dos pueblos de Granada es de 18 km.

¿Qué distancia, en cm, habrá entre ellos en un mapa a escala 1 : 600 000 ?

2 ¿Qué distancia real medida en kilómetros hay entre dos ciudades que están separadas por 12 cm en unmapa a escala 1 : 500 000?

3 Yo vivo en la capital y he viajado a Villamar para ver a mi primo que está de vacaciones en la costa.Me han dado el siguiente plano de la ciudad:


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Según me explicó mi primo, desde la parada del Metro de la calle Almería hasta la parada de Taxis de lacalle Granada (parte superior del plano), yendo en línea recta por la calle Baza, hay 560 metros.Mi primo me ha conseguido un plano más pequeño para que me sea más fácil llevarlo en el bolsillo:

a) ¿A qué escala está hecho este plano?b) Si en el plano la calle Almería mide 9,5 cm, ¿cuál es su longitud real?



a) En un mapa a escala 1 : 200 000, la distancia entre dos ciudades es 24 cm.Determina la distancia real, en km, entre ambas ciudades.

b) ¿Cuánto medirá sobre un mapa a escala 1 : 500 000 una calle que tiene 200 m de longitud?

c) En el plano de la vivienda de Rocío, su habitación es de 15 cm x 18 cm.Calcula las dimensiones reales si se sabe que el plano tiene una escala 1 : 21

d) La verdadera distancia de La Coruña a Gijón, en línea recta, es de 220 km.En un mapa la medimos con la regla y resulta ser de 11 cm. Halla la escala del mapa

e) ¿Cuál es la escala de un mapa si se sabe que 81,25 km en la realidad vienen representadospor 3,25 cm en el mapa?


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7.- TEOREMA DE THALES. DIVISIÓN DE SEGMENTOSObjetivo 6.- Usar el teorema de Thales para resolver problemas de cálculo de longitudes en diversos contextos y para dividir un segmentoen partes igualesObjetivo 5.- Resolver problemas de escalas en planos, mapas y maquetas en diversos contextos

Teorema de ThalesSi varias rectas paralelas son cortadas por dossecantes, los segmentos determinados sonproporcionales

a b a ba´ b´ a´ b´

Triángulos en posición de ThalesDos triángulos están en posición de Thales sitienen un vértice común y los lados opuestos aeste vértice son paralelos.

Ejemplo:

Los triángulos ABC y AB´C´están en posición de Thales.

Estos triángulos siempre son semejantesporque tienen los ángulos iguales

División de un segmento en partes igualesUna aplicación del teorema de Thales es la división de un segmento en partes iguales

ACTIVIDADES1 Calcula las medidas desconocidas en las siguientes figuras:

a) b)

2 Usa el teorema de Thales para representar de forma exacta la fracción 35



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3.- Resuelve tú los siguientes apartados:a) Calcula el valor de “x” en las siguientes figuras:

1) 2)

b) Usando el teorema de Thales, calcula la medida del segmento EF :

c) Calcula las medidas “x” e “y” en la siguiente figura:

d) Los triángulos de la figura están en posición de Thales y, por tanto, son semejantes.

1) Explica por qué son semejantes 2) Calcula la razón de semejanza 3) Calcula el valor de x

e) Dibuja tres segmentos y usa el teorema de Thales para dividir el primero en 7 partes iguales, elsegundo en 3 partes iguales y el tercero en 11 partes iguales

ACTIVIDADES DEL LIBRO (UNIDADES 10 y 11)Apartado 2 (Ángulos y triángulos) : Unidad 10: 25, 32 y 33

Apartado 4 (Polígonos. Circunferencia y círculo) : Unidad 10: 71

Apartado 5 (Figuras semejantes. Triángulos semejantes) : Unidad 11: 3 y 29

Apartado 6 (Escalas en mapas, planos y maquetas) : Unidad 11: 51, 52 y 58

Apartado 7 (Teorema de Thales. División de segmentos) : Unidad 11: 5, 34 y 37

1.- figuras planas. perÍmetros y Áreas las figuras ......las figuras planas más importantes son...

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