UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

INTRODUCCION:

El teorema fundamental del cálculo consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas.

Esto significa que toda función continua integrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella

misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominado análisis matemático o cálculo.

1.1 MEDICION APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS

Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras.

EJEMPLOS DE FIGURAS AMORFAS:

1.2 NOTACION SUMATORIA (NOTACION SIGMA)

En nuestro desarrollo de la integral definida se empleara sumas de muchos números. Para expresar dichas sumas en forma compacta, es conveniente usar la notación de suma, (notación sumatoria o notación sigma).

DEFINICION:

El nombre de esta notación se denomina de la letra griega:

(Sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de "suma").

La notación sigma :

DONDE:

La ecuación anterior se lee la "suma de desde

hasta ."

Indica una suma.K es el índice de la suma o variable de la sumatoria.Los números 1 y n indican sus valores extremos.

NOTA: Se puede utilizar cualquier variable como índice de suma; “i,j y k”

EJEMPLOS CON LA NOTACION SIGMA.

1.∑i=1

6

i

2.∑i=0

5

(i+1)

3.∑j=3

7

j2

4.∑k =1

n1n(k 2+1)

5.∑i=1

n

f (x i)∆ x

6.∑i=1

4

i2(i−3)

7.∑i=0

32i

( i+1)

PARA REALIZAR EN CLASE

Calcule la siguientes Series:

1.

CALCULO INTEGRAL Página 1

DEFINICION DE AMORFA:

Sin forma determinada. (del griego, prefijo a, negación, y la palabra morfo,

forma; literalmente, sin forma.)

El sumatorio o la sumatoria es un operando matemático que permite representar sumas de muchos sumandos.

UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

2.

3.

4.

Exprese cada suma en notación sigma:

1.

2.

PROPIEDADES DE LAS SUMAS:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. ∑i=1

n

c=cn

Evaluacion de una suma aplicando las propiedades.

∑i=1

ni+1n2

SOLUCION:

1n2 ∑

i=1

n

(i+1)1

n2 , factor constante fuera de

la suma. (3)

1n2 (∑

i=1

n

(i)+∑i=1

n

(1)) Escribir como dos sumas. (1)

1n2 ( n (n+1)

2+n) Aplicar propiedades. (4 y 7)

1n2 ( n2+3 n

2 ) Simplificar

n+32n

Simplificar

PARA REALIZAR EN CLASE

1. 2. 3.

4. 5.

1.3 SUMAS DE RIEMANN

En matemáticas, la suma de Riemann es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

SUMA DE RIEMANN :

Sea f una funcion definida en el intervalo cerrado [a,b] y sea ∆ una particion de [a,b] dada por:

Rp=∑i=1

n

f (w¿¿ i)∆ xi ¿

DONDE:w i=es algún numero en [ x¿¿ i−1 , x i]¿ para

i=1,2,…..,n.

∆ x i= es el ancho del i-esimo subintervalo.

METODOS: Hay cuatro métodos comunes para computar una suma de Riemann:

Izquierdo Derecho Medio Trapezoidal.

APROXIMACION CON LA SUMA DE RIEMANN

CALCULO INTEGRAL Página 2

UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

El área por debajo de una curva puede ser aproximada con la suma de Riemann:

Area=∑k=1

n

f (w¿¿k )∆ xk ¿

DONDE:w k=es algún numero en [ x¿¿ i−1 , x i]¿ para

i=1,2,…..,n.

∆ xk= es el ancho del i-esimo subintervalo.

Dadaf ( x )=10−x2 ,

con 1/4 ≤ x ≤3, encontrar la

suma de riemann para la función f en [ 1/4,3 ] para la partición.

Dada:

x0=14

, x1=1 , x2=112

, x3=134

, x4=214

, x5=3

w1=12

,w2=114

, w3=134

, w4=2 , w5=234

SOLUCION: A rea=∑k=1

5

f (w¿¿k )∆ xk ¿

f (w ¿¿1)∆ x1+ f (w¿¿2)∆ x2+ f (w¿¿3)∆ x3+ f (w¿¿4 )∆ x4+ f (w¿¿5)∆ x5¿¿¿¿¿

¿ f ( 12 )( 3

4 )+f (1 14 )( 1

2 )+ f (1 34 )( 1

4 )+f (2 )( 12 )+ f (2 3

4 )( 34)

¿( 394 )( 3

4 )+( 13516 )( 1

2 )+( 11116 )( 1

4 )+(6 )( 12 )+( 39

16 )( 34)

¿ 11716

+13532

+ 11164

+3+ 11764

=57932

=18.093

PARA REALIZAR EN CLASE

Dadaf ( x )=8−x2/2, encontrar la suma de riemann para la

función f en [ 0,6 ] para la partición. Dada:

x0=0 , x1=1.5 , x2=2.5 , x3=4.5 , x4=5 , x5=6

w1=1 , w2=2 , w3=3.5 ,w4=5 ,w5=5.5

1.4. DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA

Si “F” se define en el intervalo cerrado [a,b] y el límite:

Entonces “f “es integrable en [a,b] y el limite se denota por:

NOTA: -Una integral definida es un número, en tanto que una integral indefinida es una familia de funciones.

DONDE:

c i=a+i(∆ x )El ancho del subintervalo mas grande de la partición ∆ es la

norma de la partición y se denota por medio de ‖∆‖.

Particion ordinaria ‖∆‖=∆ x=b−a

n∆ x i=∆ x

Particion general

b−a‖∆‖

≤ n

HALLAR LA INTEGRAL DEFINIDA: ∫−2

1

2 xdx

La solución f(x)=2x es integrable en el intervalo [-2,1]

SOLUCION:

CALCULO INTEGRAL Página 3

lim ¿‖∆‖→ 0∑i=1

n

f (c i)∆ x i ¿

lim ¿‖∆‖→ 0∑i=1

n

f (c i)∆ x i=∫a

b

f ( x )dx ¿

UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

lim ¿‖∆‖→ 0∑i=1

n

f (c i)∆ x i ¿

lim ¿n → ∞∑i=1

n

f (c i)∆ xi ¿

f ( c i)=funció n

c i=a+i(∆ x )∆ x i=∆ x=¿b=1 , a=−2

∆ x i=∆ x=1+23

=3n

c i=−2+i( 3n )=−2+3 i /n

lim ¿n → ∞∑i=1

n

f (c i)∆ xi=∑i=1

n

f (−2+3 i /n)( 3n )¿

∑i=1

n

2 (−2+3 i /n)( 3n )=∑

i=1

n

(6n )(−2+3 i /n)

6n∑i=1

n

(−2+3 i /n)

6n¿

6n¿

¿ 6n [−2n+ 3

n ( n2+n2 )]=6

n [−2 n+( 3 n2+3 n2 n )]

¿ 6n [−2n+ 3 n2

2 n+3 n

2 n ]¿ 6

n [−2n+ 3 n2

+ 32 ]=−12+9+ 9

n

lim ¿n → ∞(−12+9+ 9n )=−12+9=−3¿

PARA REALIZAR EN CLASE:Hallar la integral indefinida.

1.∫4

10

6 dx2.

∫0

3

( x+2 ) dx

LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA DE UNA REGIÓN:

Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a,b], entonces el área de la región acotada por la grafica de f del “eje x” y las rectas verticales x=a y x=b está dada por :

Área:

∫a

b

F (x¿)dx ¿

Escribir la integral: f ( x )=4 x−x2

∫0

4

(¿4 x−x2)dx¿

Ejemplo de áreas de figuras geométricas comunes.

Dibujar la region correspondiente a cada integral definida. Evaluar después cada integral utilizando una formula geométrica.

a.

∫1

3

4 dxb.∫

0

3

(x+2)dx c.∫−2

2

√4−x2 dx

Rectangulo Trapezoide semicirculo

A=lwA=1

2(h ) (a+b ) A=1

2π r2

¿2∗4=8 ¿ 12

(3 ) (2+5 )=21 /2¿ 12

π (2)2=2π

1.5. TEOREMA DE EXISTENCIA Y 1.6. PROPIEDADES

Definicion de dos integrales definidas especiales:

1. Si f esta definida en x=a, entonces se define:

∫a

a

f ( x )dx=0

2. Si f es integrable en [a,b], entonces se define:

CALCULO INTEGRAL Página 4

UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

∫b

a

f ( x )dx=−∫a

b

f ( x ) dx

3. Propiedades aditiva de intervalos:Si f es integrable en los tres intervalos cerrados determinados por “a,b y c.”

∫a

b

f ( x )dx=∫a

c

f ( x )dx+∫c

b

f (x ) dx

4. Propiedades de las integrales definidas: si f y g son integrables en [a,b] y k es una constante entonces las funciones “k” y “f” y “f±g” son integrables en [a,b]:

∫a

b

kf (x ) dx=k∫a

b

f ( x )dx

∫a

b

¿¿

∫1

3

(−x2+4 x−3¿)d x¿, Utilizando los siguientes

valores:

∫1

3

x2=26 /3 ,∫1

3

xdx=4 ,∫1

3

dx=2

SOLUCION:

∫1

3

(−x2¿)dx+∫1

3

(4 x¿)dx+∫1

3

(−3¿)dx¿¿¿

−∫1

3

( x2¿)dx+4∫1

3

(x¿)dx−3∫1

3

dx ¿¿

−263

+4 ( 4 )−3 (2 )=4/3

1.7. FUNCION PRIMITIVA (ANTIDERIVADAS)

Suponer que se decide encontrar una función f cuya derivada es :

f ( x )=3 x2

d /dx (x3)=3 x2

EJEMPLO:

2 x→ esla derivada de x2

3 x2→ esla derivada de x3

Definicion de una antiderivada o primitiva

Se dice que una función f es una antiderivada o primitiva de f, en un intervalo I si:

F ´ ( x )=f (x )Ejemplo:

F1 ( x )=x3 , F2 ( x )=x3−5 , F3 ( x )=x3+97

Son todas antiderivadas de: f ( x )=3 x2

F ( x )=x3+C es una antiderivada de “f.”

Diferenciales:

y=3 x2−2 x+1dy=6 xdx−2 dx=(6 x−2 ) dx

dy=f ( x ) dx

∫ f ( x )dx=F ( x )+C

PARTES DE UNA INTEGRAL

∫ f ( x )dx=F ( x )+CLa antiderivada o primitiva de f con respecto a “x”.

Donde:f(x)=integrandodx=variable de integraciónC=constante de integración

F es una antiderivada o primitiva de f en un intervalo.La integral indefinida es sinónimo de antiderivada.

REGLAS BASICAS DE INTEGRACION:

1.8. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.

CALCULO INTEGRAL Página 5

ecuacion diferencial

antiderivada

derivada

Integral original

reescribir integrarSimplific

ar

UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Se ha visto ya dos de las principales ramas del cálculo: el cálculo diferencial y el cálculo integral. El teorema fue enunciado por Newton y Leibniz.

De manera informal, el teorema establece que la derivación y la integración (definida) son operaciones inversas, asi como la división y la multiplicación.

El teorema fundamental del calculo establece que los procesos de limite (utilizandos para definir la derivada y la integral definida).

El teorema fundamental del calculo

Si una funcion f es continua en el intervalo cerrado y F es una antiderivada de f en el intervalo cerrado, entonces:

∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a)

1.9. CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS.

REPASO: INTEGRACION Y ANTIDERIVADA

A lo largo de esta unidad, se ha estado utilizando es signo de integral para denotar una antiderivada o primitiva y una integral definida.

Antiderivada: ∫ f ( x )dx

Integración definida: ∫

a

b

f (¿ x )dx ¿

CALCULOS:

∫−2

1

2 xdx ∫4

10

6 dx ∫0

3

( x+2 ) dx

∫0

4

(¿4 x−x2)dx¿∫1

3

(−x2+4 x−3¿)dx ¿ ∫1

3

4 dx

1.10. INTEGRALES IMPROPIAS

Es la concideracion de un intervalo infinito de integración.

Si f es continua para toda “x” x≥a, entonces:

∫a

∞

f ( x )dx= limb →∞

∫a

b

f ( x )dx

Si f es continua para toda “x” x≤b, entonces:

∫−∞

b

f ( x ) dx= lima→−∞

∫a

b

f ( x )dx

Si f es continua para todos los valores de x, entonces:

∫−∞

∞

f ( x ) dx= lima→−∞

∫a

0

f ( x )dx+ limb→ ∞

∫0

b

f (x ) dx

EJEMPLO:

∫−∞

2dx

(4−x)2

¿ lima →−∞

∫−∞

2dx

( 4−x )2=¿ lim

a→−∞∫a

2dx

(4−x )2=¿¿¿

lima →−∞

∫a

2

(4−x)−2dx=¿−∫a

2

u−2du=−[ u−1

−1 ]=1u¿

u=4−x

du=−1

lima →−∞ [ 1

4−x ]2a= lima→−∞ [ 1

4−2− 1

4−a ]lim

a →−∞ [ 12− 1

4−a ]=12−0=1/2

CALCULO INTEGRAL Página 6

UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

∫−∞

+∞

xdx= lima→−∞

∫a

0

xdx+ limb → ∞

∫0

b

xdx

x2

2 ]0a+ x2

2 ]b0=[ (0)2

2−

(a)2

2 ]+[ (b)2

2−

(0)2

2 ]¿ [−(a)2

2 ]+[(b)2

2 ]= lima →−∞

−a2

2+ b2

2=no existe

CALCULO INTEGRAL Página 7