aplicaciones del teorema fundamental del cálculo · tfc y aplicaciones una aplicación más...

TFC y aplicaciones Una aplicación más

Aplicaciones del

Teorema Fundamental del Cálculo

MEng. Alejandro Arceo

Institución: ITC

Cálculo Integral

Villa de Álvarez, Colima, Febrero de 2016.

A. Arceo ..:: CÁLCULO INTEGRAL :: Aplicaciones del TFC


Outline

1 Aplicaciones del Teorema Fundamental del Cálculo.

Objetivos

Breve análisis

Diferentes enfoques del TFC

2 Una aplicación más



Objetivos

Objetivos

Conocer los diferentes enfoques que tiene el Teorema Fundamentaldel Cálculo en situaciones de la vida real.

Resolución de estas situaciones.



Breve análisis

Recordemos que F ′(x) representa la proporción / velocidad de

cambio de y = F (x) con respecto a la variable x.

Ahora, F (b)− F (a) es el cambio en y cuando x aumenta de a a b.

Ejemplo:Si y = F (x) indica el volumen de agua en un tanque al tiempo x,entonces, F (b)− F (a) representa

la cantidad que cambió el volumen de agua en el tanque entre el tiempox = a y x = b.

F (b)− F (a) =v



Breve análisis

Recordemos que F ′(x) representa la proporción / velocidad de

cambio de y = F (x) con respecto a la variable x.

Ahora, F (b)− F (a) es el cambio en y cuando x aumenta de a a b.

Ejemplo:Si y = F (x) indica el volumen de agua en un tanque al tiempo x,entonces, F (b)− F (a) representa

la cantidad que cambió el volumen de agua en el tanque entre el tiempox = a y x = b.

F (b)− F (a) =vA. Arceo ..:: CÁLCULO INTEGRAL :: Aplicaciones del TFC


Breve análisis

Por el TFC,

F (b)− F (a) =∫ b

a

F ′(x) dx




Si V (t) es el volumen de agua en un depósito al tiempo t, entoncesV ′(t) es la velocidad a la cuál el agua fluye hacia dentro (afuera)del recipiente al tiempo t:∫ t2

t1

V ′(t) dt = V (t2)− V (t1)

es el cambio en la cantidad de agua en el depósito entre el tiempot1 y t2.




Si un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con posicións(t), entonces, s′(t) es la velocidad con la que se mueve y∫ t2

t1

s′(t) dt = s(t2)− s(t1)

indica el desplazamiento del objeto durante el tiempo t1 al tiempot2.




Si la aceleración de un objeto está dada por a(t) = v′(t), entonces∫ t2

t1

a(t) dt = v(t2)− v(t1) = A1 −A2 +A3

es el cambio en la velocidad en el tiempo t1 al tiempo t2.




Ejemplo 1:

La velocidad al tiempo t de una partícula que se mueve en línea

recta está dada por la función v(t) = t3 − t medida en m/s.

Encuentra el desplazamiento de la partícula durante el periodo de

tiempo 0 6 t 6 1.

Solucíon: El desplazamiento de la partícula es:

s(1)− s(0) =

∫ 1

0v(t) dt =

∫ 1

0(t3 − t) dt

=

[t4

4− t2

2

]10

=1

4− 1

2= −1

4.

←− 25 cm




Ejemplo 1:




tiempo 0 6 t 6 1.


s(1)− s(0)

=

∫ 1

0v(t) dt =

∫ 1

0(t3 − t) dt

=

[t4

4− t2

2

]10

=1

4− 1

2= −1

4.

←− 25 cm




Ejemplo 1:




tiempo 0 6 t 6 1.


s(1)− s(0) =

∫ 1

0v(t) dt

=

∫ 1

0(t3 − t) dt

=

[t4

4− t2

2

]10

=1

4− 1

2= −1

4.

←− 25 cm




Ejemplo 1:




tiempo 0 6 t 6 1.


s(1)− s(0) =

∫ 1

0v(t) dt =

∫ 1

0(t3 − t) dt

=

[t4

4− t2

2

]10

=1

4− 1

2= −1

4.

←− 25 cm




Ejemplo 1:




tiempo 0 6 t 6 1.


s(1)− s(0) =

∫ 1

0v(t) dt =

∫ 1

0(t3 − t) dt

=

[t4

4− t2

2

]10

=1

4− 1

2= −1

4.

←−

25 cm




Ejemplo 1:




tiempo 0 6 t 6 1.


s(1)− s(0) =

∫ 1

0v(t) dt =

∫ 1

0(t3 − t) dt

=

[t4

4− t2

2

]10

=1

4− 1

2= −1

4.

←− 25 cm




Si [C](t) es la concentración del producto de una reacción químicaal tiempo t, entonces, la velocidad de reacción es [C]′(t) y∫ t2

t1

[C]′(t) dt = [C](t2)− [C](t1)

es el cambio en la concentración de C del tiempo t1 al tiempo t2.




Si la masa de una barra medida de izquiera a derecha desde elpunto a hasta el punto x 6 b es dada por m(x), entonces, ladensidad lineal es ρ(x) = m′(x) y se tiene∫ b

a

ρ(x) dx = m(b)−m(b)

es la masa del segmento de la barra de longitud b− a.




Si la velocidad de crecimiento de una población es n′(t), entonces,∫ t2

t1

n′(t) dt = n(t2)− n(t1)

es el cambio en la población en el periodo de tiempo t1 a t2.




Si C(x) es el costo de producir x unidades de petróleo, el costomarginal es C ′(x). Así que,∫ x2

x1

C ′(x) dx = C(x2)− C(x1)

es el incremento en el costo cuando la producción incrementa de x1a x2.



Outline

1 Aplicaciones del Teorema Fundamental del Cálculo.

Objetivos

Breve análisis


2 Una aplicación más



Ejemplo 2La siguiente gráfica muestra el consumo de energía de la Ciudad deMéxico del 15 de Septiembre, donde P es medida en megawatts en thoras. Encuentre la energía consumida en ese día.



SolucíonLa potencia es la velocidad de cambio de la energía, así que,∫ 24

0

P (t) dt

=

∫ 24

0

E′(t) dt = E(24)− E(0)

es la cantidad total de energía gastada ese día. Enseguida, se aproxima laintegral mediante sumas de Riemann: 12 rectángulos de base 2.∫ 24

0

P (t) dt ≈ R12 =

12∑k=1

2P (2k − 1)

= (2)(440 + 400 + 420 + 620 + 790 + 840 +

850 + 840 + 810 + 690 + 670 + 550)

= 15, 840.




0

P (t) dt =

∫ 24

0

E′(t) dt = E(24)− E(0)

es la cantidad total de energía gastada ese día.

Enseguida, se aproxima laintegral mediante sumas de Riemann: 12 rectángulos de base 2.∫ 24

0

P (t) dt ≈ R12 =

12∑k=1

2P (2k − 1)

= (2)(440 + 400 + 420 + 620 + 790 + 840 +

850 + 840 + 810 + 690 + 670 + 550)

= 15, 840.




0

P (t) dt =

∫ 24

0

E′(t) dt = E(24)− E(0)

es la cantidad total de energía gastada ese día. Enseguida, se aproxima laintegral mediante sumas de Riemann: 12 rectángulos de base 2.

∫ 24

0

P (t) dt ≈ R12 =

12∑k=1

2P (2k − 1)

= (2)(440 + 400 + 420 + 620 + 790 + 840 +

850 + 840 + 810 + 690 + 670 + 550)

= 15, 840.




0

P (t) dt =

∫ 24

0

E′(t) dt = E(24)− E(0)

es la cantidad total de energía gastada ese día. Enseguida, se aproxima laintegral mediante sumas de Riemann: 12 rectángulos de base 2.∫ 24

0

P (t) dt ≈ R12 =

12∑k=1

2P (2k − 1)

= (2)(440 + 400 + 420 + 620 + 790 + 840 +

850 + 840 + 810 + 690 + 670 + 550)

= 15, 840.


aplicaciones del teorema fundamental del cálculo · tfc y aplicaciones una aplicación más...

Documents