cálculo i, gieai (teorema fundamental del Álgebra) un polinomio de grado n con coeﬁcientes...

Cálculo I, GIEAI

Rafael Bravo de la Parra

U. D. Matemáticas, Universidad de Alcalá

Curso 2014-15

Rafael Bravo de la Parra Cálculo I

Tema1 Tema2 Tema3 Reales Complejos

Índice

1 TEMA 1: Conjuntos de números: operaciones y representación.

2 TEMA 2: Funciones: operaciones y representación. Funcioneselementales.

3 TEMA 3: Límites de funciones. Funciones continuas



Índice

1 TEMA 1: Conjuntos de números: operaciones y representación.Números enteros, racionales y reales.Números complejos.





Números enteros, racionales y reales.

Números naturales

N = {0, 1, 2, 3, . . .}

Números enteros

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

Números racionales

Q =

{mn

: m ∈ Z, n ∈ Z− {0}}

Desarrollos decimales finitos o infinitos periódicos.

Números reales

R

Todo tipo de desarrollos decimales.Los desarrollos decimales infinitos no periódicos corresponden a los números irracionales, losreales que no son racionales: I = R \Q.



Índice

1 TEMA 1: Conjuntos de números: operaciones y representación.Números enteros, racionales y reales.Números complejos.





Forma binómica y operaciones.

Números complejos

C = {z = a + bi : a, b ∈ R}

1 Unidad imaginaria i, i2 = −1

2 Parte real:Re z = a ∈ R3 Parte imaginaria: Im z = b ∈ R

Suma y producto de números complejos

z1 = a1 + b1i y z2 = a2 + b2i

SUMA: z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i

PRODUCTO: z1 · z2 = (a1 · a2 − b1 · b2) + (a1 · b2 + b1 · a2)i

R ⊂ C y las operaciones de C extienden a las deR.



Conjugado. Cociente.

Complejo conjugado

El complejo conjugado de z = a + bi es z̄ = a− bi.

1 La suma de los conjugados es el conjugado de la suma: z̄1 + z̄2 = z1 + z2.

2 El producto de los conjugados es el conjugado del producto: z̄1 · z̄2 = z1 · z2.

3 Producto de un número por su conjugado: z · z̄ = a2 + b2 ∈ R.

Cociente de números complejos

z1 = a1 + b1i y z2 = a2 + b2i

z1

z2=

z1 · z̄2

z2 · z̄2=

1a2

2 + b22(z1 · z̄2) =

a1 · a2 + b1 · b2

a22 + b2

2+−a1 · b2 + b1 · a2

a22 + b2

2i

El inverso de un número complejo z = a + bi 6= 0:

1z

=1

a2 + b2 z̄ =a

a2 + b2 −b

a2 + b2 i



Módulo y argumento de un número complejo

Módulo de un número complejo

El módulo del número complejo z = a + bi es el número positivo (o 0 si z = 0):|z| =

√a2 + b2

Se tiene por tanto z · z̄ = |z|2.

Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo z = a + bi es el ángulo que comienza en elsemieje real positivo y termina en el segmento que une el origen con el punto (a, b).Se representa por arg z.Se considera también argumento a cualquier otro ángulo que se diferencie delanterior en un múltiplo de 2π.El valor del argumento entre 0 y 2π se obtiene mediante la fórmula:

arg z =

arctg ba si a > 0 y b ≥ 0

π2 si a = 0 y b > 0

arctg ba + π si a < 0

3π2 si a = 0 y b < 0

arctg ba + 2π si a < 0 y b ≤ 0



Forma polar

Forma polar de un número complejo

Sea el número complejo z = a + bi, llamamos r = |z| a su módulo y θ = arg z a suargumento:

a = r cos θb = r sen θ

y asíz = r(cos θ + i sen θ)

Producto y cociente en forma polar

Sean z1 = a1 + b1i = r1(cos θ1 + i sen θ1) y z2 = a2 + b2i = r2(cos θ2 + i sen θ2)

z1 · z2 = r1r2 (cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2))

es decir

El módulo del producto es el producto de los módulos: |z1 · z2| = |z1| · |z2|El argumento del producto es la suma de los argumentos:arg(z1 · z2) = arg(z1) + arg(z2)

Si z2 6= 0z1

z2=

r1

r2(cos(θ1 − θ2) + i sen(θ1 − θ2))



Potencias y raices enteras de un número complejo

Potencia entera de un número complejo

Sea el número complejo z = a + bi = r(cos θ + i sen θ) y n ∈ N:

zn = (a + bi)n = rn(cos nθ + i sen nθ)

Raíz entera de un número complejo

Sea el número complejo z = a + bi = r(cos θ + i sen θ) y n ∈ N:Si z 6= 0 entonces z tiene n raíces n-ésimas distintas wk, (wk)

n = z.

Todas las raíces n-ésimas tienen el mismo módulo: |wk| = n√|z|

y argumentos:

arg(wk) =θ

n+

2πn

k con k = 0, 1, 2, . . . , n− 1.

Teorema (Teorema Fundamental del Álgebra)

Un polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene n raices (contando lasrepeticiones).



Fórmula de Euler

Fórmula de Euler

ei θ = cos θ + i sen θ

Asíz = a + bi = r(cos θ + i sen θ) = r ei θ

Operaciones

z1 = r1 ei θ1 y z2 = r2 ei θ2

Producto:z1 · z2 = r1 ei θ1 r2 ei θ2 = r1r2 ei (θ1+θ2)

Cociente:z1/z2 = r1 ei θ1/(r2 ei θ2 ) = r1/r2 ei (θ1−θ2)

Potencia:zn =

(r ei θ

)n= rn ei nθ


Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición

Índice






Índice



Definiciones y gráficas.Operaciones: suma, producto y cociente. Funciones racionales.Funciones trascendentes: trigonométricas y exponenciales.Composición de funciones: función inversa, logaritmos ytrigonométricas inversas.




Terminología sobre funcionesDefinición

Una función f de un conjunto A en un cojunto B es una regla que asigna a cadaelemento x de A exactamente un elemento, llamado imagen de x y denotado f (x), delconjunto B.

Notación: f : A −→ B.

El conjunto A se denomina dominio de f .

Si una función f está expresada mediante una fórmula y no se especifica sudominio, éste es el mayor subconjunto de números reales x para los que f (x) esun número real.

dom f = {x ∈ R : f (x) ∈ R}Dos funciones expresadas mediante la misma fórmula si tienen distintosdominios se consideran funciones distintas.

El conjunto de todos los elementos y ∈ B para los que existe un x ∈ dom f talque y = f (x) se denomina rango, o imagen, de f .

rango f = {y ∈ B : existe x ∈ dom f con y = f (x)}El rango de f no tiene por qué coincidir con B.

A x se le denomina variable independiente y a y variable dependiente.



Gráficas de funciones

Definición

En el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares del plano, la gráfica deuna función f es el conjunto de puntos de coordenadas (x, f (x)) donde x pertenece aldominio de f .

graf f = {(x, f (x)) ∈ R2 : x ∈ dom f}

Se puede decir que y = f (x) es la ecuación de la gráfica de f .

Si tenemos una curva en el plano, ésta puede ser la gráfica de una función si ysólo si cada recta vertical (paralela al eje y) corta a la curva como mucho en unpunto.

El dominio de una función es la proyección ortogonal de su gráfica sobre el ejex.

El rango de una función es la proyección ortogonal de su gráfica sobre el eje y.



Índice







Operaciones aritméticas

Definición

Si f y g son dos funciones, entonces la suma f + g, la diferencia f − g, el productofg y el cociente f/g se definen como sigue:

(f + g)(x) = f (x) + g(x) con dom (f + g) = dom f ∩ dom g(f − g)(x) = f (x)− g(x) con dom (f − g) = dom f ∩ dom g(fg)(x) = f (x)g(x) con dom (fg) = dom f ∩ dom g(f/g)(x) = f (x)/g(x) con dom (f/g) = {x ∈ dom f ∩ dom g : g(x) 6= 0}

Funciones polinomiales y racionales

Una función polinomial tiene la forma:f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a2x2 + a1x + a0

donde los coeficientes ai (i = 0, 1, . . . , n) son números reales.El dominio de f es todoR = (−∞,∞).

Una función racional se define mediante el cociente de dos polinomios p(x) yq(x):

f (x) =p(x)

q(x)El dominio de f es {x ∈ R : q(x) 6= 0}, todos los números reales salvo lasraices del polinomio denominador.



Índice







Funciones trigonométricas

Función seno: f (x) = sen x

dom f = R y rango f = [−1, 1].

f (x) se define como el seno de un ángulo de x radianes.

f es una función impar, f (−x) = −f (x). La gráfica es simétrica respecto delorigen.

f es una función periódica de periodo 2π, f (x + 2π) = f (x).




Función coseno: f (x) = cos x

dom f = R y rango f = [−1, 1].

f (x) se define como el coseno de un ángulo de x radianes.

f es una función par, f (−x) = f (x). La gráfica es simétrica respecto del eje y.

f es una función periódica de periodo 2π, f (x + 2π) = f (x).




Función tangente: f (x) = tan x

dom f = R− {π2 + kπ : k ∈ Z} y rango f = R.

f (x) se define como la tangente de un ángulo de x radianes.

f es una función impar, f (−x) = −f (x). La gráfica es simétrica respecto delorigen.

f es una función periódica de periodo π, f (x + π) = f (x).




Tabla de valores conocidos del seno, coseno y tangente

x 0π

6π

4π

3π

22π3

3π4

5π6

π

sen x 012

√2

2

√3

21

√3

2

√2

212

0

cos x 1

√3

2

√2

212

0 −12−√

22−√

32−1

tan x 0

√3

31

√3 No existe −

√3 −1 −

√3

30



Funciones exponenciales

Sea b ∈ R, b > 0 y b 6= 1 entonces una función exponencial tiene laforma

f (x) = bx

Al número b se le denomina base y x es el exponente.

Propiedades de las potencias

Suponemos a > 0, b > 0 y x, x1, x2 ∈ R:

i) bx1 · bx2 = bx1+x2 ii)bx1

bx2= bx1−x2 iii) (bx1 )x2 = bx1·x2

iv)1bx = b−x v) (a · b)x = ax · bx vi)

(ab

)x=

ax

bx




Propiedades de la función exponencial f (x) = bx con b > 1

dom f = R y rango f = (0,∞) (bx > 0).

b0 = 1.

f es una función creciente y convexa.

Gráfica de f (x) = ex




Propiedades de la función exponencial f (x) = bx con 0 < b < 1

dom f = R y rango f = (0,∞) (bx > 0).

b0 = 1.

f es una función decreciente y convexa.

Gráfica de f (x) = e−x



La función exponencial

El número e

e es un número irracional que se puede definir como

e = limx→∞

(1 +

1x

)x

= limx→0

(1 + x)1x

e = 2,718281828459045235360287471352662497757...

DefiniciónLa función exponencial natural o simplemente la función exponenciales la que tiene por base el número e:

f (x) = ex = exp(x)



Índice







Composición de Funciones

Definición (Composición de funciones)

Dadas dos funciones f y g, la composición de f y g, denotada g ◦ f , es la funcióndefinida por

(g ◦ f )(x) = g(f (x))

y su dominio es dom (g ◦ f ) = {x ∈ dom f : f (x) ∈ dom g}.

Propiedades de la composición

1 La composición de funciones es asociativa:h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f

2 La composición de funciones en general no es conmutativa:g ◦ f 6= f ◦ g

3 La composición de funciones tiene un elemento neutro, la función identidade(x) = x:

e ◦ f = f ◦ e = f

4 Dada una función f a veces existe su elemento inverso respecto de lacomposición que se denota f−1:

(f−1 ◦ f )(x) = (f ◦ f−1)(x) = e(x) = xy se denomina función inversa.



Función InversaDefinición (Función uno a uno)

Se dice que una función f es uno a uno si cada elemento en el rango de f se asocia conexactamente un elemento de su dominio.Esto es equivalente a cualquiera de las siguientes afirmaciones:

Si x1, x2 ∈ dom f y x1 6= x2 entonces f (x1) 6= f (x2).

Si x1, x2 ∈ dom f y f (x1) = f (x2) entonces x1 = x2.

Toda recta horizontal, y = c, que corta a la gráfica de f lo hace en un único punto.

Definición (Función inversa)

Dada una función f uno a uno con dominio A y rango B. La inversa de f es la función denotadaf−1 que tiene dominio B y rango A para la cual

f (f−1(x)) = x para todo x ∈ B

f−1(f (x)) = x para todo x ∈ A

Cálculo de la inversa1 Comprobar que f es uno a uno en su dominio. Si f no es uno a uno se puede elegir una

parte del dominio de manera que la nueva función si lo sea y mantenga el rango de f .2 El dominio y el rango de la función inversa f−1 son respectivamente el rango y el

dominio de f .3 Obtener f−1(x) equivale a despejar x en la ecuación y = f (x) obteniéndose x = f−1(y)

y a continuación cambiar el nombre a la variable, cambiar y por x.Rafael Bravo de la Parra Cálculo I


Funciones logarítmicas

Inversas de las funciones exponenciales

Para b > 0 y b 6= 1 tenemos una función exponencial de la forma y = bx, quesabemos que es uno a uno de manera que tiene inversa, f (y), que debe cumpliry = bf (y) y también f (bx) = x.

Definición (Función logarítmica)

La función logarítmica de base b > 0 y b 6= 1 se define:f : (0,∞) −→ R

x −→ logb xdonde y = logb x es el exponente al que hay que elevar la base b para obtener x(by = x).

Propiedades de los logaritmos

Suponemos b > 0 y b 6= 1, x, x1, x2 ∈ R+, c ∈ R y n ∈ N:

i) logb(x1 · x2) = logb x1 + logb x2 ii) logb

(x1

x2

)= logb x1 − logb x2

iii) logb xc = c logb x iv) logbn√

x = 1n logb x




Propiedades de la función logaritmo f (x) = logb x con b > 1

dom f = (0,∞) y rango f = R.

logb 1 = 0.

f es una función creciente y cóncava.

Gráfica de f (x) = ln x




Propiedades de la función logaritmo f (x) = logb x con 0 < b < 1

dom f = (0,∞) y rango f = R.

logb 1 = 0.

f es una función decreciente y convexa.

Gráfica de f (x) = log1/e x = − ln x



Logaritmos naturales

Definición

El logaritmo natural o neperiano es el que tiene por base el número e y quedenotaremos por ln x.

Propiedades del logaritmo natural

1 La función f (x) = ln x es la inversa de la función exponencial:ln(ex) = x y eln x = x

2 ln 1 = 0, ln x < 0 si x ∈ (0, 1) y ln x > 0 si x ∈ (1,∞).

3 Cualquier logaritmo se puede calcular a partir del logaritmo neperiano:

logb x =ln xln b

4 Cualquier exponencial se puede escribir a partir del número e y el logaritmoneperiano:

bx = e(ln b)x

5 Cualquier función potencial f (x) = xα, x > 0 y α ∈ R, se puede definir apartir de la exponencial y el logaritmo neperiano:

xα = eln(xα) = eα ln x



Funciones trigonométricas inversasNinguna de las funciones trigonométricas tiene inversa en todo su dominio, pero restrigiéndoloadecuadamente sí.

Función arcoseno: f (x) = arcsen x = sen−1 x

Es la inversa de y = sen x con dominio [−π2 ,π2 ]:

f : [−1, 1] −→ [−π2 ,π2 ]

x −→ arcsen xdonde arcsen x es el único ángulo en radianes del intervalo [−π2 ,

π2 ] cuyo seno es x.

sen(arcsen x) = x para todo x ∈ [−1, 1].

arcsen (sen x) = x para todo x ∈ [−π2 ,π2 ].



Funciones trigonométricas inversas

Función arcocoseno: f (x) = arccos x = cos−1 x

Es la inversa de y = cos x con dominio [0, π]:f : [−1, 1] −→ [0, π]

x −→ arccos xdonde arccos x es el único ángulo en radianes del intervalo [0, π] cuyo coseno es x.

cos(arccos x) = x para todo x ∈ [−1, 1].

arccos (cos x) = x para todo x ∈ [0, π].



Funciones trigonométricas inversas

Función arcotangente: f (x) = atan x = tan−1 x

Es la inversa de y = tan x con dominio (−π2 ,π2 ):

f : R −→ (−π2 ,π2 )

x −→ atan x

donde atan x es el único ángulo en radianes del intervalo (−π2 ,π2 ) cuya tangente es x.

tan(atan x) = x para todo x ∈ R.

atan (tan x) = x para todo x ∈ (−π2 ,π2 ).

La gráfica y = atan x de la función arcotangente tiene una asíntota horizontal y = π2

cuando x→ +∞ y otra distinta y = −π2 cuando x→ −∞.


Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε− δ Funciones continuas Bolzano Weierstrass

Índice






Índice



3 TEMA 3: Límites de funciones. Funciones continuasLímites de una función en un puntoLímites e infinito.Definiciones rigurosas de límiteFunciones continuas.Teorema del valor intermedioTeorema de los valores extremos



Límite de una función en un punto

Definición

Sea f una función definida en un entorno de a ∈ R aunque no necesariamente en a yL ∈ R. El límite de f (x) cuando x tiende a a es L si podemos acercar tanto comoqueramos los valores de f (x) a L sin más que coger x suficientemente cerca de a perodistinto de a. Se denota:

limx→a

f (x) = L

Definición (Límites laterales)

El límite de f (x) cuando x tiende a a por la izquierda (derecha) es L si podemosacercar tanto como queramos los valores de f (x) a L sin más que coger x < a(x > a) suficientemente cerca de a pero distinto de a. Se denota:

limx→a−

f (x) = L(

limx→a+

f (x) = L)

Teorema

Sea f una función definida en un entorno de a ∈ R aunque no necesariamente en a yL ∈ R. Se tiene que

limx→a

f (x) = L si y solo si limx→a−

f (x) = L = limx→a+

f (x).



Límites y operaciones

Teorema (Límites y suma y producto)

Si existen los límites limx→a

f (x) y limx→a

g(x) entonces

limx→a

(f ± g)(x) = limx→a

f (x)± limx→a

g(x).

limx→a

(f · g)(x) = limx→a

f (x) · limx→a

g(x).

Teorema (Límites y cociente)


f (x) y limx→a

g(x) y éste último es distinto de 0 entonces

limx→a

f (x)

g(x)=

limx→a

f (x)

limx→a

g(x).

Teorema (Límites y composición)

Si limx→a

f (x) = b y limx→b

g(x) = L, entonces

limx→a

g(f (x)) = L.

Se puede sustituir a en todos los enunciados por a− o a+.Rafael Bravo de la Parra Cálculo I


Límites y operaciones

Límites y cociente: denominador con límite 0

1 Si limx→a

f (x) = L 6= 0 y limx→a

g(x) = 0 entonces

limx→a

f (x)

g(x)no existe.

2 Si limx→a

f (x) = 0 y limx→a

g(x) = 0 entonces no sabemos que ocurre con

limx→a

f (x)

g(x)

Esta situación se denomina INDETERMINACIÓN y significa que saber quelimx→a


g(x) = 0 no es suficiente para calcular limx→a

f (x)/g(x).

Se puede sustituir a por a− o a+.



Más teoremas sobre límites

Teorema

Sean a, c ∈ R. Entonces:

limx→a

c = c.

limx→a

x = a.

Corolario

Si f (x) es un polinomio o una función racional y a ∈ dom f entonces:

limx→a

f (x) = f (a).

Teorema

Si f (x) es una función potencial (xα), trigonométrica (sen x, cos x, tan x,...),exponencial (bx), logarítmica (logb x) o trigonométrica inversa (arcsen x, arccos x,atan x,...) y a ∈ dom f entonces:

limx→a

f (x) = f (a).



Límites y orden

TeoremaSean f y g dos funciones definidas y que verifican f(x) ≤ g(x) en unentorno de a. Si existen lim

x→af (x) y lim

x→ag(x) entonces

limx→a

f (x) ≤ limx→a

g(x)

Corolario (teorema de compresión o del sandwich)Sean f , g y h tres funciones definidas y que verifican en un entorno dea

f(x) ≤ h(x) ≤ g(x).

Si existen limx→a

f (x) y limx→a

g(x) y son iguales entonces existe limx→a

h(x) yse verifica

limx→a

f (x) = limx→a

h(x) = limx→a

g(x).

Se puede sustituir a en los dos enunciados por a− (o a+) y en ese caso la desigualdad

basta que se cumpla en un entorno a la izquierda (o a la derecha).Rafael Bravo de la Parra Cálculo I


Índice






Límites infinitos

Definición

El límite de f (x) cuando x tiende a a es +∞ si podemos hacer tan grandes comoqueramos los valores de f (x) sin más que coger x suficientemente cerca de a perodistinto de a. Se denota:

limx→a

f (x) = +∞

Definición

El límite de f (x) cuando x tiende a a es −∞ si podemos hacer negativos y tangrandes en valor absoluto como queramos los valores de f (x) sin más que coger xsuficientemente cerca de a pero distinto de a. Se denota:

limx→a

f (x) = −∞

Análogamente se definirían los límites infinitos laterales.

Definición (Asíntota vertical)

Si el límite de f (x) cuando x tiende a a (o a+ o a−) es +∞ (o −∞) se dice que larecta x = a es una asíntota vertical de la curva y = f (x).



Límites infinitos y operaciones

Suma y límites infinitos

limx→a

f (x) = A y limx→a

g(x) = B son L, +∞ o −∞ entonces limx→a

(f + g)(x) = C.

B\A L +∞ −∞+∞ +∞ +∞ IND.−∞ −∞ IND. −∞

Producto y límites infinitos

limx→a



(f · g)(x) = C.

B\A 0 L 6= 0 +∞ −∞+∞ IND. signo(L)∞ +∞ −∞−∞ IND. −signo(L)∞ −∞ +∞

Cociente y límites infinitos

limx→a



f (x)

g(x)= C.

B\A L +∞ −∞+∞ 0 IND. IND.−∞ 0 IND. IND.



Límites infinitos y operaciones


Si limx→a

f (x) = L 6= 0 y limx→a

g(x) = 0 entonces

1

limx→a

f (x)

g(x)no existe.

2

limx→a

∣∣∣∣ f (x)

g(x)

∣∣∣∣ = +∞

limx→a

f (x)/g(x) puede ser +∞, −∞ o tomar cada vez valores más grandes sin un

signo determinado.

Se puede sustituir a por a− o a+.



Límites en el infinito

Definición

El límite de f (x) cuando x tiende a +∞ es L si podemos acercar tanto comoqueramos los valores de f (x) a L sin más que coger x suficientemente grande. Sedenota

limx→+∞

f (x) = L

Definición

El límite de f (x) cuando x tiende a −∞ es L si podemos acercar tanto comoqueramos los valores de f (x) a L sin más que coger x negativo suficientementegrande en valor absoluto. Se denota

limx→−∞

f (x) = L

Definición (Asíntota horizontal)

Si el límite de f (x) cuando x tiende a +∞, o a −∞, es L se dice que la recta y = Les una asíntota horizontal de la curva y = f (x).

Análogamente se definirían los límites infinitos en +∞ y −∞.Rafael Bravo de la Parra Cálculo I


Límites en el infinito y operaciones

Teorema (Límites y suma y producto)


f (x) y limx→a

g(x) entonces

limx→a

(f ± g)(x) = limx→a

f (x)± limx→a

g(x).

limx→a

(f · g)(x) = limx→a

f (x) · limx→a

g(x).

a puede sustituirse por +∞ o −∞.

Teorema (Límites y cociente)


f (x) y limx→a

g(x) y éste último es distinto de 0 entonces

limx→a

f (x)

g(x)=

limx→a

f (x)

limx→a

g(x).

a puede sustituirse por +∞ o −∞.

Teorema (Límites y composición)

Si limx→a

f (x) = b y limx→b

g(x) = L, entonces

limx→a

g(f (x)) = L.

a, b y L pueden sustituirse cada una por +∞ o −∞.Rafael Bravo de la Parra Cálculo I


Límites infinitos en el infinito y operaciones

En los resultados siguientes a puede sustituirse por +∞ o −∞.

Suma y límites infinitos

limx→a


g(x) = B son L, +∞ o−∞ entonces limx→a

(f + g)(x) = C.

B\A L +∞ −∞+∞ +∞ +∞ IND.−∞ −∞ IND. −∞

Producto y límites infinitos

limx→a



(f · g)(x) = C.

B\A 0 L 6= 0 +∞ −∞+∞ IND. signo(L)∞ +∞ −∞−∞ IND. −signo(L)∞ −∞ +∞

Cociente y límites infinitos

limx→a



f (x)

g(x)= C.

B\A L +∞ −∞+∞ 0 IND. IND.−∞ 0 IND. IND.


Si limx→a

f (x) = L 6= 0 y limx→a

g(x) = 0 entonces limx→a

f (x)

g(x)no existe y lim

x→a

∣∣∣∣∣ f (x)

g(x)

∣∣∣∣∣ = +∞.



Índice






Límites en un punto

Definición (Límite de una función en un punto)

Sea f una función definida para todo x tal que 0 < |x− a| < η, siendo η un número positivo.

El límite de f (x) cuando x tiende a a es L sipara cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que

si 0 < |x− a| < δ entonces |f (x)− L| < ε.

Definición (Límite por la izquierda de una función en un punto)

Sea f una función definida para todo x tal que 0 < a− x < η, siendo η un número positivo.El límite de f (x) cuando x tiende a a por la izquierda es L si

para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal quesi 0 < a− x < δ entonces |f (x)− L| < ε.

Definición (Límite por la derecha de una función en un punto)

Sea f una función definida para todo x tal que 0 < x− a < η, siendo η un número positivo.El límite de f (x) cuando x tiende a a por la derecha es L si

para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal quesi 0 < x− a < δ entonces |f (x)− L| < ε.



Límites infinitos y en el infinito.

Definición (Límites infinitos)

Sea f una función definida para todo x tal que 0 < |x− a| < η, siendo η un número positivo.El límite de f (x) cuando x tiende a a es +∞ (−∞) si

para cada M > 0 existe un δ > 0 tal quesi 0 < |x− a| < δ entonces f (x) > M (f (x) < −M).

Análogamente se definirían los límites infinitos laterales.

Definición (Límites en el infinito)

Sea f una función definida para todo x > K (x < −K), siendo K un número positivo.El límite de f (x) cuando x tiende a +∞ (−∞) es L si

para cada ε > 0 existe un M > 0 tal quesi x > M (x < −M) entonces |f (x)− L| < ε.

Definición (Límites infinitos en el infinito)

Sea f una función definida para todo x > K (x < −K), siendo K un número positivo.El límite de f (x) cuando x tiende a +∞ (−∞) es +∞ (−∞) si

para cada N > 0 existe un M > 0 tal quesi x > M (x < −M) entonces f (x) > N (f (x) < −N).



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Funciones continuas

Definición

Una función f (x) es continua en un punto a si

1 a ∈ dom f

2 Existe limx−→a

f (x)

3 limx−→a

f (x) = f (a).

Si alguna de estas condiciones no se cumple se dice que f (x) es discontinua en elpunto a.

Una función f (x) es continua en un punto a por la derecha (izquierda) si limx→a+

f (x) = f (a)

( limx→a−

f (x) = f (a)).

Una función f (x) es continua en el intervalo abierto (a, b) si es continua en todo puntox ∈ (a, b).

Una función f (x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] si es continua en todo puntox ∈ (a, b), continua por la derecha en a y por la izquierda en b.



Operaciones con funciones continuas

Teorema

Las funciones polinómicas, racionales, raíces ( n√

x), potenciales (xα),trigonométricas (sen x, cos x, tan x,...), exponenciales (bx), logarítmicas (logb x) ytrigonométricas inversas (arcsen x, arccos x, atan x,...) son continuas en todo sudominio.

Teorema

Sean f (x) y g(x) funciones continuas en el punto a. Entonces también son continuasen a las funciones (f + g)(x), (f · g)(x) y, si g(a) 6= 0, (f/g)(x).

Teorema

Si la función f (x) es continua en el punto a y la función g(x) es continua en el puntof (a) entonces la función (g ◦ f )(x) es continua en en el punto a, es decir, lacomposición de funciones continuas es una función continua.

Teorema

Si f (x) es continua y uno a uno su función inversa f−1(x) también es continua.



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Teorema del valor intermedio o de Bolzano

TeoremaSea f (x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y sea γcualquier número estrictamente entre f (a) y f (b). Entonces existec ∈ (a, b) tal que f (c) = γ.

CorolarioSea f (x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b] tal quef (a) · f (b) < 0 (f (a) y f (b) tienen distinto signo). Entonces existec ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.

CorolarioSea f (x) una función continua en el intervalo abierto (a, b) tal quef (x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b). Entonces f (x) conserva el signo en(a, b) (o f (x) > 0 para todo x ∈ (a, b) o f (x) < 0 para todox ∈ (a, b)).



Método de bisección.

Ecuación f (x) = 0 con f función continua.

Si f (a) · f (b) < 0 sabemos que existe c ∈ (a, b) que es raiz de la ecuación.Para aproximarse a ella se puede utilizar el método iterativo denominado Método de Bisección:

Paso 1 Hacemos u1 = a y v1 = b y procedemos a la bisección de [u1, v1]: m1 = (u1 + v1)/2 esel punto medio.Si f (m1) = 0 hemos encontrado la raiz, si no o en [u1,m1] o en [m1, v1] habrá cambio designo de f y denominamos [u2, v2] a éste intervalo.

Paso n Procedemos a la bisección de [un, vn]: mn = (un + vn)/2 es el punto medio.Si f (mn) = 0 hemos encontrado la raiz, si no o en [un,mn] o en [mn, vn] habrá cambio designo de f y denominamos [un+1, vn+1] a éste intervalo.

Al cabo de n iteraciones sabemos que:

|mn − c| ≤b− a

2n



Método de bisección.

Ecuación e−x = ln x, en [1, 2].f (x) = e−x − ln x.α = 1,3097995858041504776...

i ui vi mi f(ui) f(mi) f(vi)1 1 2 1,5 0,367879441 -0,182334948 -0,5578118972 1 1,5 1,25 0,367879441 0,063361246 -0,1823349483 1,25 1,5 1,375 0,063361246 -0,065614135 -0,1823349484 1,25 1,375 1,3125 0,063361246 -0,002787367 -0,0656141355 1,25 1,3125 1,28125 0,063361246 0,029853807 -0,0027873676 1,28125 1,3125 1,296875 0,029853807 0,013427263 -0,0027873677 1,3046875 1,3125 1,30859375 0,005293741 0,00124667 -0,0027873678 1,30859375 1,3125 1,310546875 0,00124667 -0,000771973 -0,0027873679 1,30859375 1,310546875 1,309570313 0,00124667 0,000236942 -0,00077197310 1,309570313 1,310546875 1,310058594 0,000236942 -0,000267617 -0,00077197311 1,309570313 1,310058594 1,309814453 0,000236942 -1,5363E-05 -0,00026761712 1,309570313 1,309814453 1,309692383 0,000236942 0,000110783 -1,5363E-0513 1,309692383 1,309814453 1,309753418 0,000110783 4,77084E-05 -1,5363E-05



Índice






Acotación y extremos de un conjunto y de una función.

Definición (Cota superior e inferior. Conjunto acotado)

Sea S un subconjunto no vacio de los números reales, S ⊂ R y S 6= ∅.Se dice que M ∈ R es una cota superior de S si para todo s ∈ S se verifica ques ≤ M.Si existe la cota superior se dice que S está acotado superiormente.

Se dice que m ∈ R es una cota inferior de S si para todo s ∈ S se verifica ques ≥ m.Si existe la cota inferior se dice que S está acotado inferiormente.

Se dice que S está acotado si está acotado superior e inferiormente.

Definición (Máximo y mínimo.)

Sea S ⊂ R, S 6= ∅.Se dice que s0 ∈ S es el máximo de S, y se denota s0 = max S, si para todos ∈ S se verifica que s ≤ s0.

Se dice que s0 ∈ S es el mínimo de S, y se denota s0 = min S, si para todos ∈ S se verifica que s ≥ s0.



Teorema de los valores extremos

Definición (Función acotada y extremos absolutos de una función.)

Se dice que una función f está acotada (superior o inferiormente) si su rangoes un conjunto acotado (superior o inferiormente).

Existen M,m ∈ R tal que m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ dom f .

Se denominan máximo y mínimo absolutos (extremos absolutos) de unafunción al máximo y el mínimo de su rango.Se dice que función f alcanza su máximo absoluto (mínimo absoluto) enc ∈ dom f si f (x) ≤ f (c) (f (c) ≤ f (x)) para todo x ∈ dom f .

Teorema (de los valores extremos (o de Weierstrass))

Si la función f (x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces alcanza susextremos absolutos, es decir, existen c, d ∈ [a, b] tales que

f (c) ≤ f (x) ≤ f (d) para todo x ∈ [a, b].

Corolario

Si la función f (x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] existen c, d ∈ [a, b] talesque f ([a, b]) = [f (c), f (d)].


Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Definición

Índice

4 TEMA 4: Funciones derivables

5 TEMA 5: Aplicaciones de la derivación.

6 TEMA 6: Integración

7 TEMA 7: Integración numérica y aplicaciones de la integración.



Índice

4 TEMA 4: Funciones derivablesDefinición y operaciones






Rectas tangentes y velocidades

La ecuación de una recta en el plano que pasa por el punto (a, b) y tiene pendiente mes y = b + m(x− a).

Límite del cociente incremental

Sea f (x) una función continua en a. Si existe el límite

m = limx→a

f (x)− f (a)

x− a= lim

h→0

f (a + h)− f (a)

h

entonces la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto (a, f (a)) es la rectaque pasa por este punto y cuya pendiente es m:

y = f (a) + m(x− a)

Sea s = f (t) el desplazamiento de un objeto que se mueve en línea rectarespecto al origen en el tiempo t. En el intervalo desde t = a a t = a + htenemos

velocidad media =desplazamiento

tiempo=

f (a + h)− f (a)

hy la velocidad instántanea v(a) en el instante t = a

v(a) = limh→0

f (a + h)− f (a)

h.



Derivada de una función en un puntoDefinición

La derivada de la función f (x) en el punto a, denotada f ′(a), es

f ′(a) = limx→a

f (x)− f (a)

x− a= lim

h→0

f (a + h)− f (a)

h

si el límite existe.La derivada por la derecha, f ′+(a), y por la izquierda, f ′−(a), se definenanálogamente utilizando, respectivamente, el límite por la derecha y por la izquierda.

Notaciones

f ′(x) f prima de x,dydx

derivada de y con respecto a x, y′ y prima, yddx

(f (x)) derivada con

respecto a x de f de x.

El valor de la derivada en el punto a: f ′(a),dydx x=a

, y′(a) yddx

(f (x))x=a

.

Ecuación de la recta tangente

La recta tangente a la curva y = f (x) en el punto a es

y = f (a) + f ′(a)(x− a)



Función derivada

DefiniciónLa función derivada de f (x), denotada f ′(x), es la función que tienepor dominio dom(f ′) = {x ∈ dom(f ) : f ′(x)existe} y que a cada x lehace corresponder f ′(x).

y = f (x) e y = f ′(x)



Función diferenciable y derivadas de orden superior.

Definición

La función f (x) es diferenciable en a si f ′(a) existe, y es diferenciable en unintervalo abierto (a, b) (donde a puede ser −∞ y b puede ser∞) si es diferenciableen todo punto del intervalo.f es diferenciable en un intervalo cerrado [a, b] si es diferenciable en el intervaloabierto (a, b), tiene derivada por la derecha en a y derivada por la izquierda en b.

Teorema

Si f (x) es diferenciable en a entonces es continua en a.

Definición (Segunda derivada y derivadas de orden superior.)

La segunda derivada de la función f (x) es la derivada de la función derivada f ′(x) y

se denota: f ′′(x),d2ydx2 , y′′, y

d2

dx2 (f (x)).

En general, la derivada n-ésima de la función f (x) es la derivada de la función

derivada (n-1)-ésima y se denota: f (n)(x),dnydxn , y(n), y

dn

dxn (f (x)).



Linealización de una función en un punto.

Definición

La linealización de la función f (x) en el punto a es la función polinómica de primergrado:

L(x) = f (a) + f ′(a)(x− a)

Linealización de f (x) = 3√

x en a = 1: L(x) = 1 + 13 (x− 1)

x f(x) = 3√

x L(x) = 1 + 13 (x− 1)

0.9 0.9654893846 0.96666666660.99 0.9966554934 0.99666666660.999 0.9996665554 0.99966666660.9999 0.9999666655 0.99996666551.0001 1.000033332 1.0000333331.001 1.000333222 1.0003333331.01 1.003322283 1.0033333331.1 1.032280115 1.033333333



Derivación mediante tablas.

TeoremaLas siguientes funciones son diferenciables:

1 Funciones polinómicas y racionales.2 Funciones potenciales en (0,∞).3 Las funciones raiz salvo en el 0.4 Funciones trigonométricas.5 Función arcotangente. Las funciones arcoseno y arcocoseno

salvo en −1 y 1.6 Funciones exponenciales y logarítmicas.7 La función valor absoluto salvo en el 0.



Derivación y operaciones.

TeoremaSean f (x) y g(x) funciones diferenciables en el punto a. Entoncestambién son diferenciables en a las funciones (f + g)(x), (f · g)(x) y,si g(a) 6= 0, (f/g)(x). Además:

1 (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a)

2 (f · g)′(a) = f ′(a) · g(a) + f (a) · g′(a)

3 (f/g)′ (a) =f ′(a) · g(a)− f (a) · g′(a)

(g(a))2

TeoremaSi la función f (x) es diferenciable en el punto a y la función g(x) esdiferenciable en el punto f (a) entonces la función (g ◦ f )(x) esdiferenciable en en el punto a y se verifica que:

(g ◦ f )′(a) = g′(f (a)) · f ′(a) Regla de la cadena


Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Der.Impl. Valor medio

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5 TEMA 5: Aplicaciones de la derivación.Aplicaciones de la Regla de la cadena.Teorema del valor medio y aplicaciones





Aplicaciones de la Regla de la cadena.

Derivación implícita

Una función se dice que está definida explícitamente cuando podemos escribir lasimágenes de los elementos x del dominio de la forma y = f (x).En ocasiones una función queda definida a través de una relación entre las variables xe y, F(x, y) = 0, en este caso se dice que la función está definida implícitamente.Con ayuda de la regla de la cadena se puede encontrar la derivada de la funciónmediante derivación implícita que consiste en considerar y como función de x, y(x),y despejar y′(x) en la expresión:

ddx

F(x, y(x)) = 0

Análogamente se puede utilizar la derivación implícita para obtener derivadas deorden superior de la función, por ejemplo la segunda derivada despejando y′′(x) apartir de:

d2

dx2 F(x, y(x)) = 0




TeoremaSea f una función diferenciable en un intervalo abierto (a, b). Sif ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b) o f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b)entonces f es uno a uno.

Teorema (Derivada de la función inversa)

Sea f una función diferenciable en el intervalo I y tal que f ′(x) 6= 0para todo x ∈ I. Si f tiene una inversa, f−1, en I entonces f−1 esdiferenciable y su derivada verifica:

(f−1)′(x) =1

f ′(f−1(x))




Derivación logarítmica

La derivación de algunas funciones complicadas, y = f (x), queincluyen productos, cocientes y potencias se puede simplificarutilizando la derivación logarítmica:

1 Se toman logaritmos en y = f (x), ln y = ln f (x), y se simplificatodo lo posible el segundo miembro.

2 Se deriva implícitamente la versión simplicada de ln y = ln f (x):ddx

(ln y) =ddx

(ln f (x)).

3 Y comoddx

(ln y) =1y

dydx

se tiene quedydx

= yddx

(ln f (x)).




Razones de cambio relacionadasLa derivación ímplicita se utiliza también para encontrar razones(tasas o velocidades) de cambio de variables relacionadas que estáncambiando en el tiempo.

1 Dentro del problema encontrar las cantidades que cambian en eltiempo y asignarles una variable (dependiente del tiempo, e.d.,una función).

2 Relacionar las variables implicadas en el problema mediante unao más ecuaciones.

3 Derivar implícitamente con respecto al tiempo en las ecuacionesanteriores para obtener relaciones entre las razones de cambio delas variables (derivadas de la funciones).

4 Utilizar las razones de cambio que proporciona el problema paracalcular las que pide, sustituyendo en las ecuaciones obtenidasen el punto anterior.



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5 TEMA 5: Aplicaciones de la derivación.Aplicaciones de la Regla de la cadena.Teorema del valor medio y aplicaciones





Teorema del valor medio.

Teorema (Teorema de Rolle)

Si f es una función continua en [a, b] y diferenciable en (a, b) conf (a) = f (b) entonces existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

Teorema (Teorema del valor medio)

Si f es una función continua en [a, b] y diferenciable en (a, b)entonces existe al menos un c ∈ (a, b) tal que

f ′(c) =f (b)− f (a)

b− a

o, equivalentemente, f (b)− f (a) = f ′(c)(b− a).



Signo de f ′ y crecimiento de f .

DefiniciónLa función f (x) es creciente (decreciente) en el intervalo I si, paratodo x1, x2 ∈ I, x1 < x2 implica que f (x1) < f (x2) (f (x1) > f (x2)).

TeoremaSea f es una función continua en [a, b] y diferenciable en (a, b).- Si f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b) entonces f (x) es creciente en [a, b].- Si f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b) entonces f (x) es decreciente en[a, b].- Si f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b) entonces f (x) es constante en [a, b].

CorolarioSean f (x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y diferenciables en(a, b). Entonces, f ′(x) = g′(x) para todo x ∈ (a, b) si y sólo si existec ∈ R tal que f (x) = g(x) + c para todo x ∈ [a, b].



Extremos locales y puntos críticos

Definición

1 Se dice que la función f (x) tiene un máximo local o relativo en c si estádefinida y verifica que f (x) ≤ f (c) para todo x en algún intervalo abierto quecontiene a c.

2 Se dice que la función f (x) tiene un mínimo local o relativo en c si estádefinida y verifica que f (x) ≥ f (c) para todo x en algún intervalo abierto quecontiene a c.

Los máximos y mínimos locales se denominan extremos locales.

Teorema

Si la función f (x) tiene un extremo local en c, entonces o f ′(c) = 0 o f ′(c) no existe.

Definición

Sea una función f (x), los puntos c de su dominio para los que f ′(c) = 0 o f ′(c) noexiste se denominan puntos críticos.

Los extremos locales de una función se alcanzan en puntos críticos.Rafael Bravo de la Parra Cálculo I


Extremos locales

Teorema (Criterio de la 1a derivada)

Supongamos que c es un punto crítico de la función f (x) y que ésta es continua en c.

1 Si existe δ > 0 tal que f ′(x) > 0 para todo x ∈ (c− δ, c) y f ′(x) < 0 para todox ∈ (c, c + δ) entonces en c se alcanza un máximo local.

2 Si existe δ > 0 tal que f ′(x) < 0 para todo x ∈ (c− δ, c) y f ′(x) > 0 para todox ∈ (c, c + δ) entonces en c se alcanza un mínimo local.

3 Si existe δ > 0 tal que el signo de f ′(x) se mantiene para 0 < |x− c| < δentonces en c no se alcanza un extremo local.

Teorema (Criterio de la 2a derivada)

Supongamos que la función f (x) verifica que f ′(c) = 0 y que f ′′(c) existe.

1 Si f ′′(c) < 0 entonces en c se alcanza un máximo local.

2 Si f ′′(c) > 0 entonces en c se alcanza un mínimo local.



Extremos absolutos

Cálculo de los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado

Los valores extremos de una función f (x) continua en un intervalo cerrado [a, b] existen y sólose pueden alcanzar en sus puntos críticos o en los extremos del intervalo. Procedimiento paraencontrarlos:

1 Encuentra los puntos críticos c1, c2,...,cn de f en el intervalo abierto (a, b).2 El máximo y el mínimo de los valores f (a), f (c1),..., f (cn) y f (b) son respectivamente el

máximo y el mínimo absolutos de f en [a, b].

Cálculo de los extremos absolutos de una función continua en un intervalo abierto

Supongamos que f es continua en el intervalo abierto (a, b) donde a puede ser −∞ y b puedeser +∞.Los extremos absolutos no tienen por qué existir pero si existen se alcanzarán en puntos críticos.Procedimiento para encontrarlos:

1 Calcula, si existen, f (a+) = limx→a+

f (x) y f (b−) = limx→b−

f (x).

2 Encuentra los puntos críticos c1, c2,...,cn de f en el intervalo abierto (a, b).3 El máximo (el mínimo) de los valores f (c1),...,f (cn) es el máximo (respectivamente el

mínimo) absoluto de f en (a, b) si es mayor o igual (respectivamente menor o igual) quef (a+) y f (b−).



Método de Newton.

Ecuación f (x) = 0 con f función derivable.

Algoritmo del Método de Newton:1 Primera aproximación: x0

2 Conocida la aproximación xn definimos:

xn+1 = xn −f (xn)

f ′(xn)= g(xn)

Si la sucesión {xn} converge lo hace hacia una raiz de la ecuación y se pueden aceptarcomo exactas las cifras decimales que se repiten de un paso al siguiente.

Si la sucesión {xn} no converge o lo hace hacia una raiz no buscada se debe reiniciar elalgoritmo con una mejor primera aproximación x0.

Ecuación cos x = x

cos x− x = 0 luego f (x) = cos x− x, y así

g(x) = x−cos x− x− sen x− 1

x0 = 1, x1 = g(x0) = 0,75036386784024389303, x2 = g(x1) = 0,73911289091136167036,x3 = g(x2) = 0,73908513338528396976, x4 = g(x3) = 0,73908513321516064166,x5 = g(x4) = 0,73908513321516064165 = x6



Regla de L’Hôpital.

TeoremaSean f (x) y g(x) dos funciones diferenciables en un intervalo abiertoque contiene a a, salvo quizá en el propio a, y tal que g′(x) 6= 0 paratodo x en el intervalo excepto posiblemente en a.Si se verifica una de las dos condiciones siguientes(indeterminaciones de cociente):

limx→a


g(x) = 0.

limx→a

f (x) = ±∞ y limx→a

g(x) = ±∞.

entonces

limx→a

f (x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

tanto si el límite del segundo miembro existe como si es +∞ o −∞.

Nota: Se puede sustituir a en el enunciado por a−, a+, +∞ o −∞.


Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Primitivas Integral definida T. Fund.

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6 TEMA 6: IntegraciónIntegral indefinida.Integral definida.Teorema fundamental del Cálculo.




Primitivas de una función.

Definición

Se dice que una función F es una primitiva (o antiderivada) de una función f en unintervalo I si F′(x) = f (x) para todo x ∈ I.

Teorema (Las primitivas de una función difieren en una constante)

F′(x) = G′(x) para todo x ∈ [a, b] si y sólo si existe C ∈ R tal queF(x) = G(x) + C para todo x ∈ [a, b].

Notación de la integral indefinida.

Si F′(x) = f (x) en un intervalo I todas las primitivas de f se representan por∫f (x)dx = F(x) + C

donde∫

es el símbolo integral. La notación∫

f (x)dx se denomina integralindefinida de f (x) respecto a x. La función f (x) se denomina integrando. El procesode encontrar una primitiva se denomina integración. El número C es la denominadaconstante de integración.



Primitivas de una función.

La derivación y la integración son fundamentalmente operaciones inversas.

ddx

( ) denota la derivación de ( ) respecto a x∫( )dx denota la integración de ( ) respecto a x.

Si∫

f (x)dx = F(x) + C entonces F es una primitiva de f , es decir, F′(x) = f (x) y así

Una primitiva de la derivada de una función es esa función más una constante:∫F′(x)dx = F(x) + C

La derivada de una primitiva de una función es esa función:

ddx

(∫f (x)dx

)= f (x)

Toda fórmula de derivación nos da la correspondiente fórmula de integración.



Propiedades de la integral indefinida.Teorema (La integración es lineal.)

Sean F′(x) = f (x) y G′(x) = g(x). Entonces

1

∫kf (x)dx = k

∫f (x)dx = kF(x) + C, donde k es una constante.

2

∫(f (x)± g(x))dx =

∫f (x)dx±

∫g(x)dx = F(x)± G(x) + C

Regla de integración por partes.

Sean f (x) y g(x) funciones diferenciables se tiene que:∫f (x) · g′(x)dx = f (x) · g(x)−

∫f ′(x) · g(x)dx∫

u · dv = u · v−∫

v · du

Teorema (Regla de sustitución.)

Si u = g(x) es una función diferenciable cuyo rango es un intervalo I, f es unafunción continua en I y F es una primitiva de f en I, entonces∫

f (g(x))g′(x)dx =

∫f (u)du = F(u) + C = F(g(x)) + C



Índice







Problema del área.

Área A bajo la gráfica de una función y = f (x) en [a, b]

Suponemos f continua en [a, b] y tal que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b].

Se divide [a, b] en n subintervalos [xk−1, xk] de la misma longitud4x = (b− a)/n,xk = a + k4x (partición regular del intervalo [a, b]).

Se elige un punto de muestra x∗k en cada uno de los subintervalos [xk−1, xk]. Asíf (x∗k )4x representa el área de un rectángulo de base el intervalo [xk−1, xk] y altura f (x∗k ).

Se aproxima el área A mediante la suma de las áreas de los n rectángulos:

A ≈n∑

k=1

f (x∗k )4x = f (x∗1 )4x + f (x∗2 )4x + · · ·+ f (x∗n )4x

Definición

Sea f continua en [a, b] y tal que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. El área A bajo la gráfica de fsobre el intervalo [a, b] se define como

A = limn→∞

n∑k=1

f (x∗k )4x



Integral definida: Sumas de Riemann.

Sumas de Riemann de una función y = f (x) en [a, b]

Suponemos f función acotada en un intervalo cerrado [a, b].

Se divide [a, b] en n subintervalos [xk−1, xk] de longitudes4xk = xk − xk−1, donde

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

Esta colección de números de denomina partición del intervalo [a, b] y se denota por P.

Sea ‖P‖ la mayor de las longitudes4xk de los intervalos que se denomina norma de lapartición P.

Se elige un punto de muestra x∗k en cada uno de los subintervalos [xk−1, xk].

Se forma la suma:

n∑k=1

f (x∗k )4xk = f (x∗1 )4x1 + f (x∗2 )4x2 + · · ·+ f (x∗n )4xn

que se denomina suma de Riemann.



Integral definida: definición.

Definición (Integral definida)

Sea f función acotada en un intervalo cerrado [a, b]. La integral definida de f en [a, b] sedefine, si el límite existe, como

∫ b

af (x)dx = lim

‖P‖→0

n∑k=1

f (x∗k )4xk

En este caso se dice que f es integrable en [a, b]. Los números a y b se denominan,respectivamente, límite inferior y límite superior de la integral y la función f es el integrando.

Teorema (Condiciones suficientes de integrabilidad)

Si f es continua en [a, b] entonces f es integrable en [a, b].

Si f es acotada en [a, b] y sólo tiene un número finito de discontinuidades entonces f esintegrable en [a, b].

Corolario

Sea f continua en [a, b] y tal que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], entonces el área A bajo lagráfica de f sobre el intervalo [a, b] es

A =

∫ b

af (x)dx



Propiedades de la integral definida.

Definición (Límites de integración)

Si a está en el dominio de f entonces∫ a

af (x)dx = 0.

Si f es integrable en [a, b] entonces∫ b

af (x)dx = −

∫ a

bf (x)dx.

Teorema (Linealidad)

Sean f y g funciones integrables en [a, b].∫ b

ak · f (x)dx = k

∫ b

af (x)dx.∫ b

a(f (x)± g(x))dx =

∫ b

af (x)dx±

∫ b

ag(x)dx.

Teorema (Propiedad aditiva del intervalo)

Sea f una función integrable en un intervalo cerrado que contiene a los puntos a, b y c, entonces∫ b

af (x)dx =

∫ c

af (x)dx +

∫ b

cf (x)dx




Teorema (Integral definida de una constante)

Para cualquier constante k ∫ b

akdx = k(b− a).

Teorema (Propiedades de comparación)

Sea f una función integrable en [a, b].

Si m ≤ f (x) para todo x ∈ [a, b] entonces m(b− a) ≤∫ b

af (x)dx.

Si f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b] entonces∫ b

af (x)dx ≤ M(b− a).

Si f y g son funciones integrables en [a, b] y f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b] entonces∫ b

af (x)dx ≤

∫ b

ag(x)dx



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Teorema fundamental del Cálculo.Teorema (Teorema fundamental del Cálculo)

Sea f una función continua en [a, b]. La función g definida para todo x ∈ [a, b] como:

g(x) =

∫ x

af (s)ds.

es continua en [a, b], derivable en (a, b) y

g′(x) = f (x),

es decir, g es una primitiva de f .

Corolario

Sea f continua en [a, b] y α y β continuas en [a, b] y derivables en (a, b) entonces:

ddx

(∫ β(x)

α(x)f (s)ds

)= f (β(x))β′(x)− f (α(x))α′(x)

Corolario (Teorema de evaluación)

Si f es continua en [a, b] y F es una primitiva de f entonces:∫ b

af (x)dx = F(b)− F(a).




Regla de sustitución

Sea u = g(x) una función cuya derivada es continua en el intervalo[a, b] y sea f una función continua en el rango de g, entonces si F(u)es una primitiva de f (u) se tiene que:∫ b

af (g(x)) · g′(x)dx =

∫ g(b)

g(a)f (u)du = F(g(b))− F(g(a)).

Regla de integración por partes.

Si f (x) y g(x) son funciones diferenciables en [a, b] con f ′ y g′

continuas en [a, b] se tiene que∫ b

af (x) · g′(x)dx = f (b) · g(b)− f (a) · g(a)−

∫ b

af ′(x) · g(x)dx


Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Int. Num. Aplicaciones

Índice







Índice




7 TEMA 7: Integración numérica y aplicaciones de la integración.Integración numéricaAplicaciones de la integración



Integración numérica: Regla del Punto Medio

Cálculo aproximado de∫ b

af (x) dx

[a, b] se divide en n subintervalos de longitud h = (b− a)/n,[xi−1, xi] (i = 1, . . . , n), con xi = a + ih.Denotamos por x̄i = 1

2 (xi−1 + xi), el punto medio del intervalo [xi−1, xi].

Regla del Punto Medio

Mn = hf (x̄1) + · · ·+ hf (x̄n) = hn∑

i=1

f (x̄i).

Fórmula del error: Suponiendo que |f ′′(x)| ≤ K para x ∈ [a, b]:

|∫ b

af (x) dx−Mn| = EM ≤

K24

h2(b− a)



Integración numérica: Regla del Trapecio


af (x) dx

[a, b] se divide en n subintervalos de longitud h = (b− a)/n,[xi−1, xi] (i = 1, . . . , n), con xi = a + ih.

Regla del Trapecio

Tn =h2

(f (x0) + f (x1)) +h2

(f (x1) + f (x2)) + · · ·+ h2

(f (xn−1) + f (xn))

Tn =h2

(f (a) + f (b)) + hn−1∑i=1

f (xi)

Fórmula del error: Suponiendo que |f ′′(x)| ≤ K para x ∈ [a, b]:

|∫ b

af (x) dx−Mn| = ET ≤

K12

h2(b− a)



Integración numérica: Regla de Simpson


af (x) dx

[a, b] se divide en n, número par, subintervalos de longitud h = (b− a)/n,[xi−1, xi] (i = 1, . . . , n), con xi = a + ih.

Regla de Simpson

Siendo i par se hace la siguiente aproximación de la integral entre xi y xi+2:∫ xi+2

xi

f (x) dx ≈ h3

(f (xi) + 4f (xi+1) + f (xi+2))

que se basa en la interpolación cuadrática. La fórmula para el intervalo [a, b] es:

Sn =h3

(f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) + 4f (x3) + · · ·+ 2f (xn−2) + 4f (xn−1) + f (xn))

Fórmula del error: Suponiendo que |f (4)(x)| ≤ K para x ∈ [a, b]:

|∫ b

af (x) dx−Mn| = ES ≤

K180

h4(b− a)



Índice




7 TEMA 7: Integración numérica y aplicaciones de la integración.Integración numéricaAplicaciones de la integración



Aplicaciones de la integración: Áreas y volúmenes.

Definición (Área entre dos curvas)

El área de la región limitada por y = f (x), y = g(x), x = a y x = b,donde f y g son funciones integrables en [a, b] con f (x) ≥ g(x) paratodo x ∈ [a, b] es:

A =

∫ b

a(f (x)− g(x)) dx

Definición (Volumen de un sólido a partir del área de sus seccionestransversales.)Sea S el sólido que se encuentra entre x = a y x = b. Si el área de lasección transversal de S en el plano Px, que pasa por x y esperpendicular al eje x, es A(x), con A(x) función integrable en [a, b],entonces el volumen de S es:

V =

∫ b

aA(x) dx



Aplicaciones de la integración: Longitud de un arco de curva.

Definición (Longitud de un arco de curva)

Sea la curva y = f (x), donde f es una función con derivada continuaen [a, b], entonces la longitud del arco de la curva entre los puntos(a, f (a)) y (b, f (b)) es:

L =

∫ b

a

√1 + (f ′(x))2 dx

Si la curva está definida paramétricamente como x = f (t), y = g(t)para t ∈ [a, b], con f y g funciones con derivada continua en [a, b],entonces la longitud del arco de la curva entre los puntos (f (a), g(a))y (f (b), g(b)) es:

L =

∫ b

a

√(f ′(t))2 + (g′(t))2 dt



Aplicaciones de la integración: Valor medio de una función.

Definición (Valor medio de una función en un intervalo)

Si f (x) es una función continua en [a, b] se define el valor medio de fen [a, b] como:

f̄[a,b] =1

b− a

∫ b

af (x) dx

Teorema (Teorema del Valor Medio para integrales)

Si f (x) es una función continua en [a, b] entonces existe c ∈ [a, b] talque ∫ b

af (x) dx = f (c)(b− a)


Tema8 Tema9 Tema10 Int. Imp. Laplace

Índice

8 TEMA 8: Integración Impropia y Transformada de Laplace

9 TEMA 9: Sucesiones y Series Numéricas.

10 TEMA 10: Series de potencias. Series de Taylor.



Índice

8 TEMA 8: Integración Impropia y Transformada de LaplaceIntegrales impropiasTransformada de Laplace





Integrales impropias: intervalos no acotados

Definición (Integrales impropias:∫∞

a f (x) dx,∫ b−∞ f (x) dx e

∫∞−∞ f (x) dx.)

1 Si f es continua en [a,∞) entonces si el límite existe (número real):∫ ∞a

f (x) dx = limt→∞

∫ t

af (x) dx.

2 Si f es continua en (−∞, b] entonces si el límite existe (número real):

∫ b

−∞f (x) dx = lim

t→−∞

∫ b

tf (x) dx.

Si existen los límites las integrales∫∞

a f (x) dx e∫ b−∞ f (x) dx se dicen convergentes y en

caso contrario divergentes.3 Si

∫∞a f (x) dx e

∫ a−∞ f (x) dx son convergentes para algún a ∈ R se define:

∫ ∞−∞

f (x) dx =

∫ a

−∞f (x) dx +

∫ ∞a

f (x) dx.



Integrales impropias: funciones no acotadas

Definición (Integrales impropias: funciones no acotadas.)

1 Sea f continua en [a, b) y limx→b−

|f (x)| =∞. Si existe el límite (número real) se define:

∫ b

af (x) dx = lim

t→b−

∫ t

af (x) dx.

2 Sea f continua en (a, b] y limx→a+

|f (x)| =∞. Si existe el límite (número real) se define:

∫ b

af (x) dx = lim

t→a+

∫ b

tf (x) dx.

Si existen los límites la integral se dice convergente y en caso contrario divergente.3 Sea f tal que lim

x→c+|f (x)| =∞ o lim

x→c−|f (x)| =∞ para algún c ∈ (a, b), f es continua

en [a, c) ∪ (c, b] e∫ c

a f (x) dx e∫ b

c f (x) dx son ambas convergentes. Entonces se define:

∫ b

af (x) dx =

∫ c

af (x) dx +

∫ b

cf (x) dx.



Integrales impropias: Criterio de comparación

TeoremaSean f y g dos funciones continuas en [a,∞) tales que

0 ≤ g(x) ≤ f (x) para todo x ∈ [a,∞)

Se tiene entonces:1 Si

∫∞a f (x) dx es convergente entonces

∫∞a g(x) dx es

convergente.2 Si

∫∞a g(x) dx es divergente entonces

∫∞a f (x) dx es divergente.

Teoremas análogos se pueden enunciar para los demás tipos deintegrales impropias.



Índice

8 TEMA 8: Integración Impropia y Transformada de LaplaceIntegrales impropiasTransformada de Laplace





Transformada de Laplace

DefiniciónSea f (t) una función continua a trozos para t ≥ 0. La Transformadade Laplace, denotada L(f (t))(s) = F(s), está definida mediante laintegral:

L(f (t))(s) =

∫ +∞

0e−stf (t) dt

donde s ∈ R.

Utilizaremos indistintamente las siguientes notaciones: L(f (t))(s), L(f (t)), L(f ) o F(s).La integral es impropia de manera que puede converger o no para los diferentes valores de s.

Definición

Una función f (t) se dice continua a trozos en un intervalo [a, b] si existe un número finito depuntos ti, a = t0 < t1 < t2 < t3 < · · · < tn−1 < tn = b, tales que f (t) es continua en cadasub-intervalo (ti−1, ti) (i = 1, . . . , n) y los límites laterales existen en todo ti. Una función f (t)se dice continua a trozos en un intervalo no acotado si es continua a trozos en cada intervaloacotado contenido en él.



Transformada de Laplace

Tabla de transformadas.

L(c) =cs

L(e−at) =1

s + a

L(t) =1s2 L(sen(ωt)) =

ω

s2 + ω2

L(tn) =n!

sn+1 L(cos(ωt)) =s

s2 + ω2



Propiedades de la Transformada de Laplace

Propiedades.

Linealidad L(k1f (t) + k2g(t)) = k1L(f (t)) + k2L(g(t))

Fórmula de la 1a derivada L(f ′(t))(s) = sL(f (t))(s)− f (0)

Fórmula de la 2a derivada L(f ′′(t))(s) = s2L(f (t))(s)− sf (0)− f ′(0)

Primera fórmula de traslación L(ectf (t))(s) = F(s− c)



Transformada Inversa de Laplace

DefiniciónUna función f (t) cuya transformada de Laplace es F(s) se denotaf (t) = L−1(F(s))(t) y se denomina transformada inversa de Laplacede F(s).

Tabla de transformadas Inversas

L−1(

cs

)= c L−1

(1

s + a

)= e−at

L−1(

1s2

)= t L−1

(ω

s2 + ω2

)= sen(ωt)

L−1(

1sn+1

)=

tn

n!L−1

(s

s2 + ω2

)= cos(ωt)

L−1 (k1f (t) + k2g(t)) = k1L−1 (f (t)) + k2L

−1 (g(t)) L−1(F(s− c))(t) = ectf (t)



Transformada de Laplace de la función escalón

La función escalón o función de Heaviside

u(t) =

{0 si t < 01 si t ≥ 0

y así u(t − c) =

{0 si t < c1 si t ≥ c

.

Proposición

1 L(u(t − c)) =1s

e−cs y L−1(1s

e−cs) = u(t − c).

2 (Segunda fórmula de traslación)

L(f (t − c)u(t − c)) = e−csF(s)

donde F(s) = L(f (t)).

3 L−1(e−csF(s)) = f (t − c)u(t − c).



Solución de problemas de valor inicial mediante la Transformada de Laplace

x′ = px + q(t), x(0) = x0

1 Aplicamos la Transformada de Laplace a la ecuación x′ = px + q(t):

L(x′) = L(px + q(t))

2 Aplicamos las propiedades de la Transformada de Laplace y obtenemos unaecuación para L(x):

sL(x)− x0 = pL(x) + L(q(t))que resolvemos

L(x) =L(q(t)) + x0

s− p3 Obteniendo finalmente la solución del PVI mediante la transformada inversa:

x(t) = L−1(L(q(t)) + x0

s− p

)αx′′ + βx′ + γx = g(t), x(0) = x0 y x′(0) = x1

x(t) = L−1(L(g(t)) + (αs + β)x0 + αx1

αs2 + βs + γ

)Rafael Bravo de la Parra Cálculo I


Solución de problemas de valor inicial mediante la Transformada de Laplace

Ejemplo de sistema {x′ = −2x + 2y + e−t, x(0) = 0y′ = 2x− 5y, y(0) = 0

Aplicando la transformada de Laplace: sL(x) = −2L(x) + 2L(y) +1

s + 1sL(y) = 2L(x)− 5L(y)

de donde se obtienex(t) = L−1

(s + 5

(s + 1)2(s + 6)

)= − 1

25 e−6t + 125 e−t + 4

5 te−t

y(t) = L−1(

2(s + 1)2(s + 6)

)= 2

25 e−6t − 225 e−t + 2

5 te−t


Tema8 Tema9 Tema10 Sucesiones Series

Índice






Índice


9 TEMA 9: Sucesiones y Series Numéricas.SucesionesSeries numéricas.




Sucesiones

DefiniciónUna sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de losenteros positivos.Notación: La sucesión de términos a1, a2, a3, a4,..., an,...se denota {an} o {an}∞n=1.

Definición (Sucesión convergente)

Se dice que una sucesión {an} converge a un número real L sipodemos acercar tanto como queramos los términos an a L sin másque coger n suficientemente grande. El número L se denomina límitede la sucesión. Si la sucesión {an} no es convergente se dice que esdivergente.Notación: lim

n→∞an = L.



Límites de sucesiones y operaciones.

Teorema

Supongamos que existen los límites limn→∞

an = L1 y limn→∞

bn = L2. Se tiene entonces

limn→∞

(an ± bn) = L1 ± L2.

limn→∞

(an · bn) = L1 · L2.

Si L2 6= 0, limn→∞

an

bn=

L1

L2.

Teorema

Sea {an} una sucesión y f una función tal que f (n) = an para todo n ≥ 1. Si

limx→+∞

f (x) = L entonces limn→+∞

an = L.

Teorema (Compresión.)

Sean {an}, {bn} y {cn} sucesiones tales que an ≤ cn ≤ bn para todos los n mayoresque algún índice N. Si lim

x→+∞an = lim

x→+∞bn = L entonces también lim

x→+∞cn = L.



Límites de sucesiones

Definición (Límites infinitos)

La sucesión {an} diverge a∞ (−∞) si podemos hacer tan grandes (grandesnegativos) como queramos los términos an sin más que coger n suficientementegrande.Notación: lim

n→∞an =∞ (−∞).

Teorema

Sea {an} una sucesión y f una sucesión tal que f (n) = an para todo n ≥ 1. Si

limx→+∞

f (x) =∞ (−∞) entonces limn→+∞

an =∞ (−∞).

Teorema

Sean {an} y {bn} dos sucesiones tales que an ≤ bn para todos los n mayores quealgún índice N.

1 Si limx→+∞

an = +∞ entonces también limx→+∞

bn = +∞.

2 Si limx→+∞

bn = −∞ entonces también limx→+∞

an = −∞.



Sucesiones monótonas.

Definición (Sucesión monótona)

Una sucesión {an} se denomina

creciente si an ≤ an+1 para todo n ≥ 1.

decreciente si an ≥ an+1 para todo n ≥ 1.

Una sucesión se denomina monótona si es creciente o decreciente.

Definición (Sucesión acotada)

Una sucesión {an} se denomina acotada superiormente, acotadainferiormente y acotada si lo es, respectivamente, el conjuntoformado por todos sus términos, S = {a1, a2, . . . , an, . . .}.

TeoremaToda sucesión monótona y acotada es convergente.



Índice


9 TEMA 9: Sucesiones y Series Numéricas.SucesionesSeries numéricas.




Series numéricas.

Dada una sucesión {an}∞n=1 utilizamos la notaciónq∑

n=p

an = ap + ap+1 + · · ·+ aq

con p ≤ q.

A {an} le asociamos la sucesión {sn} donde sn =n∑

k=1

ak = a1 + a2 + · · ·+ an.

Definición (Serie)

Para la sucesión {sn} se utiliza también la expresión simbólicaa1 + a2 + a3 + · · · o abreviadamente

∞∑n=1

an, o∑

an,

que se denomina serie infinita o simplemente serie.

A los números a1,a2,a3,... se les denomina términos de la serie y a an términogeneral.

Al número sn se le denomina suma parcial n-ésima de la serie.



Series numéricas: convergencia.Definición (Convergencia de una serie)

Se dice que la serie∞∑

n=1

an converge si existe el límite de la sucesión de sus sumas

parciales, sn = a1 + a2 + · · ·+ an, limn→∞

sn = s y, en este caso, a s se le denomina

suma de la serie y se escribe∞∑

n=1

an = s.

Si {sn} no tiene un límite finito se dice que la serie diverge.

Series geométricas

Una serie geométrica de razón r y primer elemento a 6= 0 es de la forma:∞∑

n=0

a rn = a + a r + a r2 + · · ·+ a rn + · · ·

Teorema (Convergencia de las series geométricas)

Si |r| ≥ 1 entonces la serie geométrica∞∑

n=0

a rn diverge.

Si |r| < 1 entonces la serie geométrica converge siendo su suma∞∑

n=0

a rn =a

1− r.



Series numéricas: convergencia.

Teorema (Condición necesaria de convergencia de una serie.)

Si la serie∑

an es covergente entonces limn→∞

an = 0.

Corolario

Si limn→∞

an no existe o es 6= 0 entonces la serie∑

an es divergente.

limn→∞

an = 0 no implica la convergencia de la serie

La serie armónica∞∑

n=1

1n

diverge.

Teorema

Si las series∑

an y∑

bn son convergentes, con∑∞

n=1 an = A y∑∞

n=1 bn = B, y c esun número se tiene que:

1∑∞

n=1 c an = c A.

2∑∞

n=1(an + bn) = A + B.

3∑∞

n=1(an − bn) = A− B.



Series de términos positivos.

La serie∞∑

n=1

an se dice de términos positivos si an ≥ 0 para todo n = 1, 2, . . ..

Teorema (Criterio de la integral)

Sea f (x) una función continua, positiva y decreciente en el intervalo [1,∞) tal quean = f (n) para todo n ≥ 1.

Si∫ ∞

1f (x)dx es convergente entonces

∞∑n=1

an es convergente.

Si∫ ∞

1f (x)dx es divergente entonces

∞∑n=1

an es divergente.

El teorema sigue siendo válido si se cumplen las hipótesis en un intervalo [α,∞)para algún α > 1.

Teorema (Convergencia de la serie p)

La serie p,∞∑

n=1

1np , es convergente si p > 1 y divergente si p ≤ 1.



Series de términos positivos.Criterio de comparación directa.

Sean∞∑

n=1

an y∞∑

n=1

bn dos series de términos positivos tales que an ≤ bn para todo

n ≥ n0 ∈ N.

1 Si∞∑

n=1

bn es convergente entonces∞∑

n=1

an es convergente.

2 Si∞∑

n=1

an es divergente entonces∞∑

n=1

bn es divergente.

Criterio de comparación en el límite.

Sean∞∑

n=1

an y∞∑

n=1

bn dos series de términos positivos. Si

limn→∞

an

bn= c ∈ (0,∞)

entonces o ambas series convergen o ambas series divergen.

La comparación se establece con las series p o con las series geométricas.Rafael Bravo de la Parra Cálculo I


Series de términos positivos.

Teorema (Criterio del cociente)

Sea∞∑

n=1

an una serie de términos positivos tal que

limn→∞

an+1

an= c.

Si c < 1 entonces la serie converge.

Si c > 1, o si c =∞, entonces la serie diverge.

Si c = 1 el criterio no decide.

Teorema (Criterio de la raíz)

Sea∞∑

n=1

an una serie de términos positivos tal que

limn→∞

n√

an = c.

Si c < 1 entonces la serie converge.

Si c > 1, o si c =∞, entonces la serie diverge.




Series alternadas.

Una serie alternada es aquella cuyos términos son positivos y negativosalternativamente.

Criterio de convergencia.

Sea la serie alternada∞∑

n=1

(−1)nan o∞∑

n=1

(−1)n+1an, con an ≥ 0, que verifica:

1 an+1 ≤ an para todo n (la sucesión {an} es decreciente).

2 limn→∞

an = 0 (condición necesaria de convergencia).

entonces la serie converge.

Además si s es la suma de la serie se tiene que el residuo Rn al estimarla a través desn verifica que

|Rn| = |s− sn| ≤ an+1.

Para que se cumpla el criterio basta que {an} sea decreciente de un cierto n0 en

adelante.



Convergencia absoluta.

Definición (Convergencia absoluta)

La serie∞∑

n=1

an se dice que es absolutamente convergente si la serie de valores

absolutos∞∑

n=1

|an| es convergente.

Definición (Convergencia condicionada)

La serie∞∑

n=1

an se dice que es condicionalmente convergente si la serie∞∑

n=1

an es

convergente pero la serie de valores absolutos∞∑

n=1

|an| es divergente.

Teorema

Si una serie es absolutamente convergente entonces es convergente.



Convergencia absoluta.Teorema (Criterio del cociente)

Sea∞∑

n=1

an una serie de términos no nulos tal que

limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = c.

Si c < 1 entonces la serie es absolutamente convergente.

Si c > 1, o si c =∞, entonces la serie es divergente.


Teorema (Criterio de la raíz)

Sea∞∑

n=1

an una serie de términos no nulos tal que

limn→∞

n√|an| = c.

Si c < 1 entonces la serie es absolutamente convergente.

Si c > 1, o si c =∞, entonces la serie es divergente.

Si c = 1 el criterio no decide.Rafael Bravo de la Parra Cálculo I


Convergencia y divergencia de series.

Estrategia para analizar la convergencia/divergencia de la serie∑

an

1 ¿ limn→∞

an = 0? Si no es así, la serie es divergente.

2 ¿Es una serie de términos positivos (o negativos)? Si lo es:i. ¿Es una serie geométrica o una serie p? Si lo es, se aplica el resultado de

convergencia/divergencia correspondiente.ii. ¿Es una serie comparable directamente o en el límite con una geométrica o una

serie p? Si lo es, se aplica el criterio correspondiente.iii. ¿Se le puede aplicar el criterio del cociente, de la raiz o de la integral? Si alguno

es concluyente se aplica.3 ¿Es una serie alternada? Si lo es y ya se ha comprobado que lim

n→∞an = 0 falta asegurarse

que {|an|} es decreciente a partir de un cierto n0 para asegurar la convergencia.4 Si la serie no se puede considerar de términos positivos o negativos, es decir, tiene

infinitos términos positivos e infinitos negativos, no necesariamente alternados, podemosestudiar su convergencia absoluta a través de los criterios de series de términos positivos(incluidos los criterios del cociente y la raiz para este tipo de convergencia). Si la serieconverge absolutamente entonces sabemos que converge, si no converge absolutamenteno sabemos nada sobre la convergencia.

5 En último extremo podemos recurrir a la definición de convergencia de una serie.


Tema8 Tema9 Tema10 Series de potencias Series de Taylor

Índice






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10 TEMA 10: Series de potencias. Series de Taylor.Series de potenciasSeries de Taylor



Series de potencias.

Series de potencias.Una serie de potencias tiene la forma:

∞∑n=0

cnxn = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + · · ·

donde x es una variable y las constantes cn se denominan coeficientesde la serie.

De forma más general a la serie∞∑

n=0

cn(x− a)n se denomina serie de

potencias en x− a o serie de potencias con centro en a.

La función f (x) =

∞∑n=0

cn(x− a)n está definida para todos los valores

x para los que la serie de potencias converge.



Series de potencias.

Convergencia de las series de potencias.

Teorema (Convergencia de una serie de potencias)

En una serie de potencias,∞∑

n=0

cn(x− a)n, se da una de las siguientes alternativas de

convergencia:

1 La serie sólo converge cuando x = a.

2 La serie converge absolutamente para todo x ∈ R.

3 Existe un R > 0 tal que la serie

Converge absolutamente si |x− a| < R, x ∈ (a− R, a + R).Diverge si |x− a| > R, x ∈ (−∞, a− R) ∪ (a + R,∞).

Al número R se le denomina radio de convergencia de la serie de potencias y puedeser: 1. R = 0, 2. R =∞ o 3. R ∈ (0,∞).Al intervalo en el que converge la serie de potencias se le denomina intervalo deconvergencia.



Series de potencias: Diferenciación e Integración.

Teorema (Diferenciación e integración término a término)

Sea la serie de potencias∞∑

n=0

cn(x− a)n con radio de convergencia R.

La función f (x) =∞∑

n=0

cn(x− a)n es diferenciable y, por tanto, continua e integrable en el

intervalo (a− R, a + R). Además:

1 f ′(x) = c1 + 2c2(x− a) + 3c3(x− a)2 + · · · =∞∑

n=1

ncn(x− a)n−1.

2

∫f (x)dx = C+ c0(x−a)+ c1

(x− a)2

2+ c2

(x− a)3

3+ · · · = C+

∞∑n=0

cn(x− a)n+1

n + 1.

siendo los radios de convergencia de ambas series iguales a R.

Corolario

La función f (x) tiene derivada de orden n para todo n ∈ N en el intervalo (a− R, a + R),siendof (n)(x) = n!cn +((n + 1)n · · · 2) cn+1(x− a)+ ((n + 2)(n + 1) · · · 3) cn+2(x− a)2 + · · · =

=∞∑

k=n

(k(k − 1) · · · (k − n + 1)) ck(x− a)k−n.



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10 TEMA 10: Series de potencias. Series de Taylor.Series de potenciasSeries de Taylor



Polinomios y Series de Taylor

Definición (Polinomio de Taylor)Sea f una función derivable n veces en el punto a. Se define supolinomio de Taylor de grado n con centro en a como

pn(x) = f (a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)

2!(x− a)2 + · · ·+ f (n)(a)

n!(x− a)n

En el caso de a = 0 se denominan polinomios de Maclaurin.

Definición (Serie de Taylor)Sea f una función que posee derivada de orden n para todo n ∈ N enel punto a. Se define su serie de Taylor con centro en a como

∞∑n=0

f (n)(a)

n!(x− a)n = f (a) +

f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)

2!(x− a)2 + · · ·

En el caso de a = 0 se denomina serie de Maclaurin.



Fórmula de Taylor con resto

Definición

Sea pn(x) el polinomio de Taylor de grado n con centro en a de la función f . Sedenomina resto n-ésimo de Taylor con centro en a de la función f a:

Rn(x) = f (x)− pn(x).

Teorema (Teorema de Taylor)

Sea f una función n + 1 veces derivable en un intervalo abierto I que contiene alpunto a.Entonces para cada x ∈ I existe un punto c, que depende de x y de n, situado entre ay x tal que:

Rn(x) = f (x)− pn(x) =f (n+1)(c)

(n + 1)!(x− a)(n+1).

o también

f (x) = f (a) +f ′(a)

1!(x− a) + · · ·+ f (n)(a)

n!(x− a)n +

f (n+1)(c)

(n + 1)!(x− a)(n+1).



Aproximación de funcionesTeorema

Sea f una función que posee derivada de orden n para todo n ∈ N en el punto a. Se tiene que

f (x) =∞∑

n=0

f (n)(a)n!

(x− a)n si y solo si limn→∞

Rn(x) = 0

Series de Maclaurin con sus intervalos de convergencia

11− x

=

∞∑n=0

xn = 1 + x + x2 + x3 + · · · (−1, 1)

ex =

∞∑n=0

xn

n!= 1 +

x1!

+x2

2!+

x3

3!+ · · · (−∞,∞)

sen x =

∞∑n=0

(−1)n x2n+1

(2n + 1)!=

x1!−

x3

3!+

x5

5!−

x7

7!+ · · · (−∞,∞)

cos x =∞∑

n=0

(−1)n x2n

(2n)!= 1−

x2

2!+

x4

4!−

x6

6!+ · · · (−∞,∞)

ln(1 + x) =∞∑

n=1

(−1)n+1 xn

n= x−

x2

2+

x3

3−

x4

4+ · · · (−1, 1]

atan x =∞∑

n=0

(−1)n x2n+1

2n + 1= x−

x3

3+

x5

5−

x7

7+ · · · [−1, 1]



Series de Taylor de funciones definidas mediante series de potencias

TeoremaSea f una función que admite un desarrollo en serie de potencias en a,

f (x) =

∞∑n=0

cn(x− a)n para |x− a| < R

entonces los coeficientes verifican

cn =f (n)(a)

n!

En su intervalo de convergencia una serie de potencias es la seriede Taylor de la función que define (su suma).


cálculo i, gieai (teorema fundamental del Álgebra) un polinomio de grado n con coeﬁcientes...

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