1. ecuaciones de conservación

Conceptos teóricos Ecuaciones de Conservación

1

1. Ecuaciones de conservación: La solución de los problemas de hidráulica se basa en la resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes, que son las de conservación de momento y masa. La resolución directa en el tiempo de estas ecuaciones para regímenes considerados “turbulentos” no es posible, con la capacidad actual de computación, debido a los términos caóticos de la ecuación diferencial. Así que se recurre a las ecuaciones de Reynolds que promedian en el tiempo permitiendo posteriores simplificaciones.

Resolver directamente las ecuaciones de conservación sin simplificar (Navier-Stokes) significa obtener un campo de velocidades, presiones y densidades que sea dependiente del tiempo y de la posición y que sea por supuesto solución de las ecuaciones.

Se observa además que el problema fundamental de la resolución de estas ecuaciones esta en las condiciones de contorno, no tanto en el tiempo sino en el espacio, ya que la

geometría del contorno no es simple, no por la forma en sí, sino por la rugosidad (textura).

Ilustración 1.1 Esquema del flujo sobre rugosidad

La interacción de esta rugosidad (formas de fondo) con el flujo es origen de turbulencia, y tensiones responsables del perfil de velocidades (campo de velocidades) adoptado por el flujo.

Todo ello conduce a que en el caso de querer resolver el problema mediante un

modelo numérico el tamaño de malla debe ser significativamente menor que la rugosidad del contorno y que el tamaño menor de vórtice (escala de Kolmogorov), además de


2

depender del tiempo, de manera que si tratásemos de obtener valores medios, deberíamos calcular periodos largos así que la suma de todos estos factores deriva en una potencia de computación no disponible.

Este punto de difícil resolución rigurosa se simplifica suponiendo que el resultado

de toda esta interacción es una fuerza de oposición al flujo proporcional, a grandes rasgos, al cuadrado de las velocidades cerca de la superficie en cuestión. Lo que origina unas perdidas de energía, dando lugar en canales a la correspondiente pendiente motriz.

De esta manera partiremos de las ecuaciones fundamentales exactas (utilizando el convenio de Einstein para los índices): -Conservación de la masa:

iU0

ix∂

=∂

(1.1)

Ui(t,xi) = velocidades en la dirección de eje “i”, xi = coordenada del eje “i” -Conservación de momento (Navier Stokes):

2

i i ij

U U U1 PU ij r i j j

gt x x x x

νρ

∂ ∂ ∂∂+ × = − × + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (1.2)

P(t,xi) = presión, ρ(t,xi) = densidad local, ρr = densidad de referencia, gi = gravedad en la dirección xi

Podemos ver que se trata de un sistema de 4 ecuaciones (Navier-Stokes

conservación del momento[3], conservación de la masa[1]) y 4 incógnitas (Ui [3] y P[1]).

Como hemos dicho estas ecuaciones que son validas para todo el tiempo deberían

valer para la resolución del problema, pero resulta imposible a nivel practico. Por tanto las transformaremos en algo que sea mas manejable. La manera de hacerlo es promediándolas en el tiempo, es decir llegaremos a una solución que será estacionaria, que solo dependerá de las coordenadas.

1.1 Ecuaciones de Reynolds Para ello procederemos a integrarlas en un intervalo de tiempo (t1, t2) y después

promediándolas en este intervalo. Al resultado le aplicaremos un cambio de variable, cada una de las incógnitas quedará substituida por una descomposición de ella en su media temporal mas las oscilaciones respecto de la media, de la siguiente manera:


3

iU

P

i iU u

P p

= +

= +

Donde las minúsculas son las oscilaciones y las mayúsculas son las medias temporales de cada valor obtenidas de la siguiente manera:

2

1

2

1

i2 1

2 1

1 U

1 P

t

it

t

it

U dtt t

P dtt t

=−

=−

∫

∫

Donde t1 y t2 son dos instantes de tiempo, sobre los que integraremos y promediaremos en el tiempo (t1 y t2) las ecuaciones originales (conservación de masa y Navier-Stokes). El resultado de integrar y promediar la ecuación de conservación (1.1) de la masa es el siguiente:

2

1

i

2 1

U1 0t

it

dtt t x

∂=

− ∂∫

El resultado de integrar y promediar la ecuación de conservación (1.2) del

momento es el siguiente:

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

2i i i

j2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

U U U1 1 1 1 P 1 1Ut t t t t

ij r i j jt t t t t

dt dt dt dt g dtt t t t t x t t x t t x x t t

νρ

∂ ∂ ∂∂+ × = − × + +

− ∂ − ∂ − ∂ − ∂ ∂ −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Ahora esto que parece de mayor complejidad se resuelve aplicando una serie de

criterios estadísticos:

-La media de las oscilaciones es cero al igual que su integral en el intervalo de tiempo.

01 2

112

=− ∫

t

tj dtu

tt

-La media de la media es la media.

j

t

tj UdtU

tt=

− ∫2

112

1


4

-La media de una oscilación por la media es cero.

01 2

112

=×− ∫

t

tji dtUu

tt

Esto resulta de que es equivalente a una integral de la oscilación multiplicada por una constante. -El promedio de las derivadas de una de las oscilaciones es cero.

01 2

112

=∂∂

− ∫t

t j

i dtxu

tt

Esto de deduce de la siguiente propiedad (donde x,t son variables independientes):

2 2

1 12 1 2 1 2 1

1 1 1 (0) 0t t

ii

j j jt t

udt u dt

t t x t t x t t x∂ ∂ ∂

= = =− ∂ − ∂ − ∂∫ ∫

Ahora con estos criterios analizamos las dos ecuaciones de conservación promediadas.

Ecuación de conservación de la masa(1.1):

2 2 2

1 1 1

2

1

i

2 1 2 1 2 1

2 1

( )U1 1 10

1 0 0

t t ti i i i

i i i it t t

ti i i

ii i i it

U u U udt dt dt

t t x t t x t t x x

U U Uu dt

x x t t x x

∂ + ∂ ∂∂= = = + =

− ∂ − ∂ − ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂+ = + = =

∂ ∂ − ∂ ∂

∫ ∫ ∫

∫

(1.3)

Ahora analizamos uno a uno los elementos de la ecuación de conservación del

momento (1.2) para comprobar cual es el resultado final de la transformación, sustituiremos cada uno de ellos por su descomposición. Primer término:

2 2 2

1 1 1

2 2

1 1

i

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

( )U1 1 1

1 1 0

t t tj j j j

t t t

t ti

i j it t

U u U udt dt dt

t t t t t t t t t t

UU dt u dt U

t t t t t t t t

∂ + ∂ ∂∂= = + =

− ∂ − ∂ − ∂ ∂

∂∂ ∂ ∂= + = + = ∂ − ∂ − ∂ ∂

∫ ∫ ∫

∫ ∫

(1.4)


5

Segundo término:

2

1

ij

2 1

U1 Ut

jt

dtt t x

∂×

− ∂∫

Que se convierte, al aplicar la descomposición, en otro del tipo

2

12 1

( )1 ( )t

i ij j

jt

U uU u dt

t t x∂ +

+ ×− ∂∫

Aplicando la propiedad distributiva:

∫∫ ∂∂

×+∂∂

×+∂∂

×+∂∂

×−

=∂

+∂×+

−

2

1

2

1 1212

1)()(1 t

t j

ij

j

ij

j

ij

j

ij

t

t j

iijj dt

xu

uxU

uxu

UxU

Utt

dtx

uUuU

tt

Le aplicamos los criterios estadisticos a cada elemento obteniendo:

2 2 2

1 1 1

2 2 2

1 1 1

2

1

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

2 1

1 1 1

1 1 1 0 0

1

t t ti i i i

j j j i j jj j j j jt t t

t t ti i

j j j i jj j j jt t t

ti

jjt

U U U UU dt U dt U U dt U U

t t x t t x x t t x x

u uU dt U dt U u dt U

t t x t t x x t t x

Uu dt

t t x

∂ ∂ ∂ ∂∂× = = = = = × − ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂× = = = = = − ∂ − ∂ ∂ − ∂

∂×

− ∂

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

2

1

2 2 2 2

1 1 1 1

2 1

2 1 2 1 2 1 2 1

1 0

( )1 1 1 1

ti

jj t

t t t tj i j i ji i i

j j j ij j j j j jt t t t

Uu dt

x t t

u u u u uu u uu dt u dt u u dt dt

t t x t t x t t x x t t x x

∂= =

∂ −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂× = × = × + × = = − ∂ − ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

Observamos que en el ultimo de los elementos realizamos una substitución inesperada:

2 2

1 12 1 2 1

1 1t tji i

j j ij j jt t

uu uu dt u u dt

t t x t t x x ∂∂ ∂

× = × + × − ∂ − ∂ ∂ ∫ ∫


6

Esta substitución se puede realizar ya que el producto una velocidad por la ecuación de conservación es cero:

( )

2 2

1 1

2 2

1 1

2

1 1

j j ji i

2 1 2 1

2 1 2 1

2 1 2 1

U U U1 10 U U ( )

1 1( ) 0 ( )

1 1

t tj j

i ij j j j jt t

t tj j j

i i i i i ij j jt t

t tj j

i ij jt t

U udt U u dt

x x t t x t t x x

U u uU U u dt U U u dt

x t t x t t x

u uU dt u dt

t t x t t x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = × = × = + × + = ∂ ∂ − ∂ − ∂ ∂

∂ ∂ ∂= × + + × = × + + × =

∂ − ∂ − ∂

∂ ∂= + ×

− ∂ − ∂

∫ ∫

∫ ∫

∫2 2

1

2

1

2 1

2 1

10 0

1 0

tj

ijt

tj

ijt

uu dt

t t x

uu dt

t t x

∂= + × =

− ∂

∂× =

− ∂

∫ ∫

∫

Resultando finalmente el segundo termino:

2

1

ij

2 1

U1 Ut

i jij

j j jt

u uUdt U

t t x x x∂∂∂

× = × +− ∂ ∂ ∂∫ (1.5)

Tercer término:

2 2 2 2

1 1 1 12 1 2 1 2 1 2 1

1 1 P 1 1 ( ) 1 1 1 1

1 1 10

t t t t

r i r i r i r it t t t

r i r i r i

P p Pdt dt dt pdtt t x t t x x t t x t t

P Px x x

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

∂ ∂ + ∂ ∂− × = − × = − × − × =

− ∂ − ∂ ∂ − ∂ −

∂ ∂ ∂= − × − × = − ×

∂ ∂ ∂

∫ ∫ ∫ ∫

(1.6) Cuarto término:

2 2 2

1 1 1

2 2 2 22i

2 1 2 1 2 1

( )U1 1 1t t ti i i i i

j j j j j j j j j jt t t

U u U u Udt dt dt

t t x x t t x x t t x x x x x xν ν ν ν

∂ + ∂ ∂ ∂∂= = + =

− ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ (1.7)

Quinto término:

2

12 1

1 t

i it

g dt gt t

=− ∫ (1.8)


7

El resultado de aplicar el promediado a las ecuaciones de conservacion las

transforma en el siguiente resultado: -Conservacion de la masa(1.3):

0i

i

Ux

∂=

∂ (1.9)

Vemos que formalmente es igual a la original (1.1). -Conservacion de momento (1.4), (1.5), (1.6), (1.7), (1.8) (Reynolds):

1i i ij i j i

j r i j j

U U UPU u u gt x x x x

νρ

∂ ∂ ∂∂ ∂+ × = − × + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(1.10)

1.2 Problema de cierre en las ecuaciones de Reynolds Podemos observar que ahora tenemos una ecuación en la que aparecen los

valores medios de las variables, así como de un elemento desconocido, las correlaciones:

2

12 1

1 t

i j j it

u u u u dtt t

= ×− ∫

Como puede verse las correlaciones son la integral del producto de las oscilaciones, este elemento es el que hace que no se pueda resolver directamente el problema ya que se trata de nuevas incógnitas (seis nuevas incógnitas ya que se trata de una matriz 3x3 simétrica), sobre las que no sabemos nada, tenemos entonces 10 incógnitas (Ui [3], P[1] y i ju u [6]) y 4 ecuaciones (Reynolds conservación del momento[3], Reynolds conservación de la masa[1]). El sistema no tiene solución, esto es lo que se conoce como el problema de cierre. La manera habitual de simplificar el problema para poder resolverlo consiste es suponer un valor para las correlaciones, es decir si ponemos estas nuevas incógnitas en función de las variables-medias reduciremos el numero de incógnitas hasta el punto en que el problema tenga solución. Un ejemplo de esto seria el modelo de la viscosidad turbulenta BOUSSINESQ[77], en el cual suponemos:

ii j t

i

Uu u

xν

∂= ×

∂ (1.11)

De esta manera hemos eliminado las correlaciones como incógnitas ya que ahora dependen de las velocidades, es decir hay seis incógnitas menos, quedando 4 ecuaciones


8

(Reynolds conservación del momento[3], Reynolds conservación de la masa[1]) y 4 incógnitas (Ui [3] y P [1]), de manera que el sistema de nuevo tiene solución, esta vez en función de los valores medios, es decir no dependería del tiempo, ya que se ha realizado una media temporal.

Para la comprensión correcta de esta simplificación hemos de tener en cuenta una serie de consideraciones dimensionales. Si observamos nuestra ecuación (1.10), veremos que al igual que la ecuación original de Navier-Stokes (1.2), la dimensión de los miembros es de gradiente de tensiones por unidad de masa es decir (equivalente a aceleraciones):

2

ms

Si tomamos uno de los elementos de nuestras ecuaciones:

ii j

j j

Uu u

x xν

∂∂− ∂ ∂

Lo multiplicamos por la densidad obtenemos:

i ir i j r r i j

j j j j

U Uu u u u

x x x xρ ν ρ ν ρ

∂ ∂∂ ∂ − = − ∂ ∂ ∂ ∂

Como podemos observar el primer elemento del gradiente resultan ser las tensiones viscosas, de la misma manera el segundo elemento deben resultar unas tensiones, es decir el producto de nuestras correlaciones por la densidad son unas tensiones conocidas como las Tensiones de Reynolds, y con valores del numero de Reynolds elevados resultan ser mucho más importantes que las viscosas. Es fácilmente observable que se trata de un producto de dos velocidades, de manera que si consideramos que el producto de la primera de las velocidades por la densidad es un momento, al multiplicarlo por la segunda de ellas obtenemos un transporte de momento:

( )r i j r i j i ju u u u m uρ ρ= =

Debe entenderse que no se trata de que hayan aparecido unas tensiones nuevas, sino que al separar las velocidades en medias y oscilantes, así como promediarlas, las tensiones sufren una separación, unas tensiones medias constantes proporcionales al gradiente, y otras que dependen de la media del transporte de momento, que son oscilantes y que promediamos.

A partir de ahora las velocidades oscilantes sobre la media las denominaremos turbulentas, que es como se conocen ya que dan origen al fenómeno de la turbulencia.

Así es como ahora volvemos a los modelos de cierre de las ecuaciones y observamos nuestra (1.11)

i

i j ti

Uu u

xν

∂= ×

∂


9

Se trata de modelizar las tensiones de Reynolds o turbulentas como si se tratase

de un fenómeno análogo a las tensiones viscosas, de esta manera se define una nueva viscosidad tν llamada viscosidad turbulenta y se considera que las tensiones dependerán del gradiente de nuestras velocidades medias. Podríamos agrupar:

( )i i i ir i j r r v r v

j j j j j j j

U U U Uu u

x x x x x x xρ ν ρ ν ρ ν ρ ν ν

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂− = − = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Así que podemos considerar que se incrementa la viscosidad debido al fenómeno

del movimiento no laminar. El problema reside en que esta viscosidad turbulenta no es constante sino que depende de otros nuevos elementos. Así en un ejemplo de como se podría modelizar esta viscosidad tenemos PRANDTL[26] KARMAN[48]:

( )

( )

2

2

t

it

j

it

j

it j

j

V L

UL L

x

UL

x

Uk x

x

ν

ν

ν

ν

= ×

∂= × × ∂

∂= ×

∂

∂= × ×

∂

2 2i i it j

j j j

U U Uk x

x x xν

∂ ∂ ∂= × × × ∂ ∂ ∂

Esta suposición se conoce como la Hipótesis de la Longitud de Mezcla de Prandtl

(Prandtl[25]). En ella se supone que la viscosidad turbulenta depende de una longitud de mezcla al cuadrado “L” y esta se obtiene del producto de una constante “k” por la coordenada “xj”, así mismo como del gradiente de las velocidades. Más adelante volveremos sobre este modelo para justificar su adopción.

Existen otro tipo de soluciones al problema de cierre de las ecuaciones, las hay de

mayor y menor complejidad, el modelo más sofisticado es el conocido como “ K ε− ” que demuestra una alta eficacia y se desarrolla no a partir de la ecuación de Reynolds sino de la del transporte de energía.

Conceptos teóricos Ecuaciones de Reynolds en canales

10

2.Ecuaciones de Reynolds en canales:

2.1 Simplificación y resolución Partimos de nuestra ecuación inicial:

1i i i rj i j i

j r i j j r


ρ ρν

ρ ρ ∂ ∂ ∂ −∂ ∂

+ × = − × + − + × ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

De hecho se trata de tres ecuaciones puesto que existe una para cada dirección de

las coordenadas. Para el caso de un canal que transporta agua, trabajando en régimen permanente y uniforme se deben realizar las siguientes consideraciones.

-Se considera el eje “x” (i=1) paralelo al eje longitudinal del canal. -La densidad del agua es constante e igual al valor de referencia rρ . -Las tensiones de corte transmitidas entre planos “y-z” y entre planos “x-z” son nulas. -Las velocidades medias en sentido transversal son cero. -Las derivadas respecto al tiempo de las velocidades medias son cero -La única derivada no nula de las velocidades medias es la de Ux en el sentido z

(i=3)

Z

Velocidad

X

Ang

ulo

α

h

gy = -g x cos(α)

gx = g x sen(α)

Ilustración 2.1 Diagrama de fuerzas en la sección


11

Todas estas consideraciones se infieren de la definición del problema. Partimos de un canal en régimen uniforme y permanente. Si suponemos el canal suficientemente ancho en una sección cualquiera las velocidades “V” paralelas al eje “y” deben ser cero por simetría entre secciones, ya que si en una de ellas tuviesen un valor positivo en la sección contigua serían negativas de manera que se rompería la uniformidad del problema. Las velocidades “U” en la dirección longitudinal del canal sabemos que no

son cero, pero su variación en la dirección longitudinal Ux

∂∂

deben ser cero ya que se

trata de un régimen uniforme en la dirección de “x”. Sin embargo las derivadas en la dirección “z” no son 0 ya que para cada sección del canal sabemos que de la parte inferior a la superior hay una variación de las velocidades producida por el efecto pared. Las velocidades “W” en la dirección “z” deben ser cero, ya que si aplicamos la ecuación de continuidad (1.9):

0

0 0 0

i

i

UxU V W W Wx y z z z

∂=

∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = + + → =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Sabemos que la velocidad vertical en la superficie es cero, de manera que si en

algún punto por debajo no fuese cero querría decir que hay un gradiente vertical de velocidades, lo que contradeciría la ecuación de continuidad. Así con estas consideraciones empezaremos a trabajar en la tercera ecuación sabiendo que W es cero:

( )

( )

1cos( )

10 cos( )

1 cos( )

r

r

r

W W W W P W W WU V W uw vw ww g

t x y w z x x y y z z

P g wwz z

P g wwz z

ν ν ν αρ

αρ

αρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ × + × + × = − × + − + − + − ×

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

−

∂ ∂= − × − × +

∂ ∂

∂ ∂× = − × + →

∂ ∂

( ) ( ) 2cos( )rP y g h z wρ α= × × × − − (2.1)

Esta formula es el resultado de integrar la anterior en “z” para todo el calado. Podemos ver que la presión en un punto es equivalente al peso de columna de agua sobre este punto menos la presión debida a la media del cuadrado de las fluctuaciones de la velocidad vertical.

La tercera ecuación nos ha servido para obtener el valor de la presión, de manera que ahora es posible usarla en las otras ecuaciones, en este caso la primera:


12

1 sin( )

10 sin( )

r

r

U U U UU V Wt x y z

P U U Uuu uw uw gx x x y y z z

P U uw gx z z

ν ν ν αρ

ν αρ

∂ ∂ ∂ ∂+ × + × + × =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − × + − + − + − + × ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ = − × + − + × ∂ ∂ ∂

Ahora conociendo el valor de “P” se que su derivada respecto a “x” es cero:

10 sin( ) 0 sin( )

0 sin( )

sin( ) sin( )

r

P U Uuw g uw gx z z z z

U uw gz z

U Ug uw g dz uwz z z

ν α ν αρ

ν α

α ν α ν

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − × + − + × = + − + × ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ = − + × ∂ ∂

∂ ∂ ∂ × = − → − × = − ∂ ∂ ∂ ∫

sin( ) Ug dz uwz

α ν ∂− × = − +

∂∫

( )sin( ) Ug h z uwz

α ν ∂× × − = − +

∂ (2.2)

Podemos interpretar que las tensiones totales disponibles (componente del peso

de la columa de agua en la dirección paralela al flujo, izquierda de la igualdad) se dividen en dos, una parte se transforman en tensiones de Reynolds (primer término de la derecha) y otra parte en tensiones viscosas (segundo término de la derecha).

Ahora haremos otra valoración, para flujos con regímenes turbulentos, es decir

números de Reynolds elevados, se verifica U uwz

ν ∂<<

∂, según esto la ecuación

anterior la transformamos en:

( )sin( )g h z uwα× × − = − (2.3)


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2.2 Tensiones de Reynolds

Si analizamos los elementos de esta ecuación nos daremos cuenta de que el valor de las tensiones de Reynolds es el valor del peso del agua proyectado en el eje longitudinal, que denominaremos tensiones totales.

De todo ello se deduce que las tensiones de Reynolds son lineales con la

profundidad, si comparamos esta descripción con la realidad encontramos diferencias:

Z

X

Ang

ulo

α

h

τxz = g x sen(α)(h-z) = τr

τxz=g x sen(α)(h-z) = τr + τµ

gx = g x sen(α)

gy = -g x cos(α)

Ilustración 2.2 Tensiones de Reynolds en el canal

Estas diferencias se deben al efecto fondo, podemos diferenciar entre dos casos

según la rugosidad (NEZU[93]) para cauces lisos esta separación se produciría con

26y+ < donde *y Uy

ν+ ×

= , para tener una idea de este valor consideremos un canal de

50 cm de calado, paredes lisas con una pendiente del 0.6% el valor de “y” seria de 1.4 mm.

Por otra parte en el caso de tener un canal completamente rugoso con *70 U

kν×

> , donde k es la rugosidad absoluta y *U velocidad de corte, podemos decir

que esta separación se producirá a una altura similar a la rugosidad absoluta. La conclusión de todo ello es que cerca del fondo podemos apreciar un comportamiento diferente. Por una parte en el caso liso la tensión viscosa gana peso sobre la de Reynolds reduciéndose el valor de esta última según la ecuación(2.2):


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α ν ∂× × − = − +

∂

Por otra parte cuando tenemos rugosidades importantes esta ecuación no es

valida, ya que para llegar a ella hemos supuesto que únicamente la velocidad en “x” era distinta de cero y además esta solo variaba en la dirección “z”. Pero ahora tan cerca del fondo si tenemos unas formas de fondo apreciables las velocidades seguirán trayectorias parecidas a estas de manera que no serán necesariamente nulas.

en las horizontalesverticales no nulas y gradiente el contorno genera velocidadesEn esta zona la interaccion con

Ilustración 2.3 Lineas de corriente sobre rugosidad

De esta manera ahora los nuevos términos que aparecen debido al efecto fondo en forma de gradientes de velocidades no nulos, así como velocidades medias no nulas podemos agruparlos de la siguiente forma (DUNN[96]):

21sin( )2 b

Ug uw c a Uz z

α ν∂ ∂ − × = − − ∂ ∂ (2.4)

Donde “cd “ es un coeficiente de arrastre (adimensional) y “a” es un coeficiente

de ocupación dependiente de las formas de la rugosidad (dimensión 1/m). De manera que se produce una absorción de tensiones por parte del fondo, que reduce las de Reynolds.

A la vista de las ecuaciones podemos decir que la forma de transmitir las

tensiones de arrastre de una sección del flujo a otra sección inferior del flujo es esencialmente a través de las tensiones de Reynolds, que son las responsables de empujar a las capas inferiores del canal de igual manera que frenan a las superiores.


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2.3 Perfiles de velocidades Volvamos a la ecuación (2.2):


α ν ∂× × − = − +

∂

Esta rige el comportamiento de de las velocidades relacionadas con las tensiones,

podemos aplicar en este caso la hipótesis de Prandtl (PRANDTL[25]) para poder poner las tensiones de Reynolds en función de las velocidades y así encontrar un ecuación diferencial que podamos resolver.

2 U Uuv lz z

∂ ∂ − = × × ∂ ∂ (2.5)

Como podemos ver esta ecuación transforma nuestra incógnita desconocida uv

en otras variables ya existentes, de manera que reduce el numero de incógnitas para que podamos resolver nuestra ecuación. Por todo ello estamos ante una ecuación de cierre.

Aplicamos esta nueva transformación a (2.2):

2sin( ) ( ) U U Ug h z lz z z

α ν∂ ∂ ∂ × × − = × × + ∂ ∂ ∂

Ahora podemos aplicar un nuevo cambio consistente en sustituir el peso de columna de agua sin( )g hα× × por la velocidad crítica 2

*sin( )g h Uα× × = con el siguiente resultado:

2 2* 1 z U U UU l

h z z zν∂ ∂ ∂ × − = × × + ∂ ∂ ∂

Ahora tenemos una ecuación diferencial que podemos integrar. Aislemos la

derivada para simplificar la operación.


16

22 2* *

2

22*2*

22*2

1 11

1

1

1

z U U Ulh z z zU U

z l U U Uh z z z

Uz l U U Uh zU z z

z l U U UUh z z z

ν

ν

ν

ν

+ +

+ +

+ +

+ +

+ + +

+ + +

∂ ∂ ∂ − = × × × + × ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ − = × × + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ − = × × × + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ − = × × × + ∂ ∂ ∂

( )

2

2

1

1

z U U Ulh z z z

U U Ulz z z

ξ

+ + ++

+ + +

+ + ++

+ + +

∂ ∂ ∂ − = × × + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂− = × × + ∂ ∂ ∂

Donde zh

ξ = y 2

2 *l Ul

ν+ ×

= Así ahora podremos despejar Uz

∂∂

obteniendo:

2

2 (1 )

1 1 4 (1 )

Uz l

ξ

ξ+

∂ × −=

∂ + + × × −

Que es una ecuación que podremos integrar una vez que hayamos determinado el valor de “l” conocida como la “Longitud de Mezcla”, completar la ecuación de cierre consiste en dar un valor a este parámetro. Para ello recurriremos al valor dado originalmente por Prandtl (PRANDTL[25]) combinado por el dado por Van Driest para canales abiertos (VAN DRIEST[56]). La razón de ello es que el valor de Prandtl no era aplicable para regiones cercanas a la pared, Van Driest introduce una modificación que permite aplicarla en esta zona.

( )

1 exp

l k z z

yl k zB

+ +

++

= × × Γ

−= × × −

El valor de B ha sido hallado experimentalmente con un valor de 26. Esta descripción esta aceptada por muchos autores (HOFFMAN & BRADSHAW[72]) y (REYNOLDS[74]).


17

Esta definición de la longitud de mezcla permite integrar nuestra ecuación,

además en esta integración se distinguen claramente dos casos debido a la corrección de Van Driest. U y+ += Para y+ <<26.

1 ln( )U y Ak

+ += + (2.6)

Para *0.2U h

B yν

+ ×< ≤ ×

Donde k, A son dos constantes propuestas por Von Karman (VON

KARMAN[48]). Esta segunda distribución se conoce como la ley logarítmica, como podemos por el rango de valores que admite no es valida en la parte superior del canal donde se hace necesario corregirla según la fórmula dada por Coles (COLES[56])

21 2ln( ) sin2

yU y Ak k h

π+ + Π = + × +

(2.7)

Donde Π es el Parametro de Coles. Esta descripción tiene validez para toda la longitud del calado. Si ahora hemos obtenido una ecuación que describe correctamente el perfil de velocidades en un canal, podemos hallar el valor de la velocidad media integrando este perfil y promediándolo. Si observamos la ecuación vemos que el resultado de la integral será la velocidad media en función de la velocidad crítica, esta relación es un parámetro que mide la fricción. Realizamos la integral y la ponemos en función de nuestro coeficiente de fricción

2*2( / )f mC U U= donde mU es la velocidad media, quedando:

2 1 1ln Re2

f

f

CA

C k k k

Π = × × + − +

Donde k es la constante de Von Karman Re el numero de Reynolds y Π el parámetro de Coles. De esta manera hemos obtenido una ley de fricción.


18

2.4 Efectos de la Rugosidad La presencia de rugosidad altera estos resultados, ya hemos visto en la sección de tensiones de Reynolds que las ecuaciones de momento se ven alteradas en la cercanía de fondos rugosos. Veamos un ejemplo de la incapacidad de la formula de Von Karman para reproducir el efecto de la rugosidad, según (2.7):

21 2ln( ) sin2

yU y Ak k h

π+ + Π = + × +

El perfil de velocidades depende de una serie de constantes y de la velocidad critica *U , que a su vez depende solamente del calado. Supongamos ahora que tenemos dos canales de igual pendiente y de diferente rugosidad, que están funcionando en régimen uniforme, y lo hacen con igual calado. Sabemos que el canal de menor rugosidad aún teniendo el mismo calado estará transportando más agua. Sin embargo según la fórmula vista los dos deberían tener el mismo perfil de velocidades, por lo tanto el mismo caudal. Por ello la fórmula del perfil de velocidades no es válida para fondos rugosos. En el siguiente esquema extraído de NEZU[93] pag. 23 podemos apreciar la modificación que sufre el perfil de velocidades debido a la presencia de un fondo completamente rugoso.

Ilustración 2.4 Perfil de velocidades sobre rugosidad RODI[93]

Se puede apreciar que desaparece completamente la subcapa laminar, esto modifica la formulación de la longitud de mezcla, ya que de entrada se elimina la corrección de Van Driest debida a la presencia de la pared. La resolución conceptual del problema se basa en suponer que se sigue desarrollando una ley logarítmica de la velocidad, pero ahora tenemos un retraso de su aparición debido a la rugosidad de manera que esto debe aparecer en la ley logarítmica. Nukuradse propone como punto de partida la rugosidad absoluta, pero la transforma en su equivalente en arena, es decir como primer paso debemos transformar nuestra “k” en una “Ks” según unas tablas.


19

Después seguiremos suponiendo que desarrolla el perfil logarítmico, con la diferencia de que lo hace desde un punto interior de la rugosidad “δ ” de manera que cuando llegamos a la superficie de la rugosidad lo hacemos con una velocidad “ BU ”. La manera de formular esto matemáticamente es la siguiente:

21 2ln( ) sin2r

s

y yU A Ak k k h

π+ Π = + + × +

(2.8)

*1 ln( )sr

k UA

k ν×

=

Si sustituimos rA por su valor vemos que el resultado es la distribución logarítmica que ya conocíamos (2.7), pero en el caso de rugosidades importantes rA tiende a valer 8.5, de manera que el resultado es un perfil totalmente diferente. Si analizamos detenidamente los efectos de la rugosidad en el esquema de fuerzas (2.4):

21sin( )2 b

Ug uw c a Uz z

α ν∂ ∂ − × = − − ∂ ∂

De este esquema despreciamos las tensiones viscosas ya que únicamente tienen peso dentro de la capa laminar y en el caso rugoso no aparece la capa laminar:

21sin( )2 bg uw c a U

zα ∂

− × = − −∂

Podemos integrar para todo el perfil del canal:

21sin( ) ( )2

h

bz

g h z uw c a U dzα× × − = − − ∫

Sabemos que el segundo término de la derecha corresponde a las tensiones transmitidas al lecho, de manera que el coeficiente “a” vale cero excepto cuando nos encontramos en el interior de la rugosidad, por todo ello la integral tendrá un valor mayor que cero únicamente para z < ks.

En el caso liso teníamos que las tensiones de dividían entre tensiones de Reynolds y viscosas, así cuando nos acercábamos al fondo perdían peso las turbulentas, de manera que por debajo de la subcapa laminar existían únicamente las viscosas, que acaban transmitiendo su carga al contorno. En el caso rugoso esta transmisión se produce a medida que el flujo va siendo interceptado por los obstáculos


20

Al tu

ra δ

Ilustración 2.5 Lineas de corriente sobre un obstáculo

En nuestra formula el parámetro “a” es el que nos determina la relación que hay entre el area de obstáculo que se opone al flujo y el volumen que ocupa el obstáculo, en nuestro caso sería:

Ilustración 2.6 Geometría del obstáculo

Donde el área y la longitud de oposición son:


21

AREA = A

L

Ilustración 2.7 Geometría del obstáculo

Si quisiésemos calcular un valor medio del coeficiente “a” lo haríamos de la siguiente manera

AaV

=

Pero no debemos olvidar que la oposición para cada sección del calado, depende de la velocidad en esa sección y además de la ocupación en esa sección. Es decir el parámetro de oposición “a” lo tenemos que calcular para cada sección, a = a(z) para calcular este parámetro dividimos la longitud “L” ocupada entre el área que ocupa el obstáculo:

( )( ) L za zS

=

0 0 0 0

1 1 ( ) 1 1( ) ( ) ( )L z Aa a z dz dz L z dz L z dzS S V V

δ δ δ δ

δ δ δ= × = × = × = × =

×∫ ∫ ∫ ∫


22

LONGITUD DE OPOSICION = L

Ilustración 2.8 Geomtería del obstáculo

De esta manera para cada altura “z” ocupa una longitud diferente e integrando “a” obtenemos el área de oposición al flujo dividida entre el volumen que ocupa el obstáculo.

El coeficiente “CD” es un coeficiente que depende de la geometría y del número

de Reynolds. se trata de medir la fuerza de oposición que ejerce un obstáculo a la circulación de un flujo, decrece con el aumento de número de Reynolds.

Podemos observar que la fuerza ejercida por el flujo sobre la rugosidad debe ser

siempre creciente a medida que nos acercamos al fondo, es decir su gradiente en la dirección “z” debe ser negativo ya que a medida que subimos la tensión de lecho es menor. Como dijimos anteriormente las tensiones se transmiten de una capa de fluido a la inferior a través de las tensiones de Reynolds y de las viscosas. De esta forma si una parte de las tensiones es absorbida por otro elemento (rugosidad), al estrato inferior pasan menos tensiones capaces de mover las capas inferiores del fluido.

Estas tensiones que van pasando al fondo por medio de la rugosidad son las

responsables de la erosión, si estos pequeños obstáculos que se oponen a la circulación del flujo son granos de algún tipo de sedimento, puede darse el caso de que las tensiones que soportan sean mayores que las que lo retienen por fricción, por lo tanto puede darse el caso de que se desplacen provocando erosión.


23

Z

X

τxz = g x sen(α)

τB

τReynolds

Ilustración 2.9 Tensiones totales y de Reynolds Donde “ Bτ ” son las tensiones de lecho, si estudiamos una sección:

Z

X

h

τB

Tensiones transmitidas a la seccion inferior

Tensiones absorbidas por la rugosidad del fondo

τReynolds

Ilustración 2.10 Esquema de absorción de tensiones De esta manera se van absorbiendo las tensiones por el lecho del canal, a diferencia del caso liso en el que las tensiones se acababan transmitiendo a las paredes por medio de viscosidad en una sección muy pequeña, cercana a la pared.

Conceptos teóricos Ecuación del transporte de en canales

24

3.Consideraciones a la ecuación de transporte de energía en canales:

3.1 Origen y aplicación

Partiendo de las ecuaciones de conservación del momento en sus dos versiones, las originales de Navier-Stokes (1.2) y las promediadas de Reynolds (1.10):

2

i i ij

U U U1 PN-S U ij r i j j

gt x x x x

νρ

∂ ∂ ∂∂+ × = − × + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1Reynolds i i i

j i j ij r i j j


νρ

∂ ∂ ∂∂ ∂+ × = − × + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Ahora restamos la segunda a la primera, quedando una ecuación que combina

variables tiempo-dependientes y variables promediadas (tiempo-independientes), lo más importante es que habrán desaparecido los términos referidos a la energía potencial gi, es decir únicamente habrá términos cinéticos:

2

i i ij

U U U1 P 1U i ij i j

j j r i j j r i j j

U UPU u ut x x x x x x x x

ν νρ ρ

∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂+ × − × = − × + + × − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Ahora esta ecuación la multiplicamos por ui promediándola en el tiempo, y la

descomponemos en términos medios y términos turbulentos, aplicando los mismos criterios estadísticos de la sección 1.1.

1

2

i j i j i j l j jil i l

l l l j l

j ji i ij l

l j i l l

u u u u u u u pu UpuU u u

t x x x x x

u uU u upu ux x x x x

ρ

νρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ × = − − × + − × ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ ∂− × + × + − × × × ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Ahora es posible sumar las tres componentes (indice i) de la ecuación, realizando

la contracción de sus índices i, j de modo que obtenemos velocidades turbulentas al cuadrado, apareciendo un termino que resulta de la suma de estas velocidades cuadráticas:


25

12 i ik u u= ×

Este termino es el que conocemos como energía cinética turbulenta, ya que formalmente es análogo a la energía cinética, pero las velocidades que aparecen en él son las turbulentas, mide cual es la energía cinética que poseen los vórtices de un flujo. La ecuación que hemos obtenido es la siguiente:

2j j i i i

i i i ji i j j j

u u U u uk k pU u u ut x x x x x

νρ

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ + × = + − × − × × ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (3.1)

Esta ecuación es la que se conoce como Ecuación del Transporte de la Energía, y

modeliza la difusión de energía cinética que se produce en un flujo. Esta ecuación se deriva de la de Reynolds, antes de realizar alguna simplificación de ésta, de manera que es exacta.

Debe notarse que dimensionalmente se trata de potencias por unidad de masa, es

decir se trata de la ecuación que gobierna la potencia cinética turbulenta, es decir el transporte por unidad de tiempo.

Más información de la obtención de esta ecuación se puede hallar en

HINZE[101]. A partir de esta ecuación podemos desarrollar modelos de cierre. Si en la sección

1 veíamos en (1.11), como modelo de cierre:

ii j t

i

Uu u

xν

∂= ×

∂

Y suponíamos que según Prandtl y Von Karman:

2 it j

j

Uk x

xν

∂= × ×

∂

2i i ii j t j

j j j

U U Uu u k x

x x xν

∂ ∂ ∂= × = × × × ∂ ∂ ∂

Obteniendo uno de los modelos de cierre existentes basados en la hipótesis de La

Longitud de Mezcla de Prandtl (PRANDTL[26])y La hipótesis de Von Karman (VON KARMAN[48]).

Ahora con la ecuación del Transporte de la energía que hemos hallado se puede

hallar otra nueva ecuación de cierre KOLMOGOROV[41], PRANDTL[42]:


26

ii j t

i

Uu u

xν

∂= ×

∂

't c k Lµν = × ×

'i ii j t

i i

U Uu u c k L

x xµν∂ ∂

= × = × × ×∂ ∂

(3.2)

Donde 'c µ es una constante empírica, k es la energía cinética turbulenta y L es la longitud de mezcla. Ahora en esta nueva ecuación de cierre tenemos el elemento desconocido k que podemos modelizar según nuestra recién hallada ecuación del transporte (3.1). Así que si combinamos (3.2) y (3.1) tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas ( vν , k), pudiendo ser estas últimas despejadas de manera que obtendríamos el

valor de i ju u y podríamos sustituirlo en las ecuaciones de Reynolds para poder resolverlas.

Para que todo este proceso sea factible tenemos que realizar un par de

modificaciones, en (3.1) aparecen dos correlaciones desconocidas:

2j j

ii

i i

j j

u u pux

u ux x

ρ

ν

∂ + ∂

∂ ∂× ×

∂ ∂

Estas deberán a su vez ser cerradas para reducir el número de incógnitas en

general se usan dos modelos:

23

2j j t

ik i

i iD

j j

u u p kux

u u kcx x L

νρ σ

ν

∂− + = × ∂

∂ ∂× × = ×

∂ ∂

Donde , k Dcσ son dos constantes empíricas. De esta manera vemos otra opción para conseguir el cierre y resolución de las

ecuaciones de Reynolds.


27

3.2 Descripción de los términos de la ecuación

En esta ecuación cada termino posee un nombre y una descripción.

D D

Ritmo de variacion de la energia

Transporte de energia por conveccion

Transporte de energia por difusion T + P2

Produccion de energia turbulenta G

ii

j ji

i

ii j

j

kt

kUx

u u pux

Uu u

x

ρ

ν

∂∂

∂×

∂

∂ + ∂

∂×

∂

∂− × disipacion viscosa i i

j j

u ux x

ε∂

×∂ ∂

La Ecuación del Transporte se rescribe sustituyendo los elementos por una sigla:

D DG T P ε= + + (3.3) El sentido de esta formulación consiste en que la producción de energía

turbulenta se distribuye por difusión, por transporte y por disipación viscosa. Se puede interpretar como el camino que sigue la energía cinética que se produce en forma de turbulencia en el flujo. Evidentemente este equilibrio de potencia cinética turbulenta no refleja la conservación de la energía ya que para que este equilibrio se mantenga funcionando tiene que haber un aporte continuo de energía por parte de alguien, es decir alguien tiene que mantener la producción de energía turbulenta (G) funcionando. Evidentemente esto se produce debido a la perdida de energía potencial, es decir hallaremos una ecuación que nos relacionará la perdida de energía potencial con la generación de energía mecánica turbulenta.


28

El termino más importante y novedoso es el último, conocido como la

“Disipación Viscosa”, “ε ” que es el factor que disipa energía (por unidad de masa y de tiempo), transformándola en calor.

En un fluido que esté en equilibrio localmente se eliminan todos los términos de

(3.1) menos dos:

0 i i ii j

j j j

U u uu u

x x xν

∂ ∂ ∂= − × − × ×

∂ ∂ ∂ (3.4)

Estos términos tienen un sentido físico muy claro, el primero de ellos es la

“Producción Turbulenta”, es la potencia por unidad de masa que estamos transformando en vorticidad. el segundo es el mencionado antes, la “Disipación Viscosa”, es decir la potencia por unidad de masa que se transforma en calor mediante la viscosidad del fluido.

Todo esto quiere decir que en un fluido con turbulencia desarrollada la energía

absorbida para generar remolinos, se disipa en forma de calor. Volvamos a la ecuación del transporte (3.1) vista en el capitulo 1:

2j j i i i

i i i ji i j j j

u u U u uk k pU u u ut x x x x x

νρ

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ + × = + − × − × × ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ENERGÍA

POTENCIAL DEL

FLUIDO

PRODUCCIÓN DE

ENERGÍA

TURBULENTA

Tensiones de Reynolds

Velocidad Media del flujo TRANSPORTE

DIFUSIÓN

DISIPACIÓN


29

Esta ecuación es la que gobierna el transporte de energía cinética turbulenta a través del flujo, en el caso de un canal estacionario e uniforme con turbulencia desarrollada únicamente nos quedan dos términos (3.4).

0 i i ii j

j j j

U u uu u

x x xν

∂ ∂ ∂= − × − × ×

∂ ∂ ∂ (3.5)

Ya vimos que esta ecuación establecía el equilibrio entre la producción turbulenta y la disipación viscosa, de manera que toda la potencia que se invertía en producir vórtices era disipada por estos debido a la viscosidad del agua. En general se modela la parte de la disipación viscosa “ε ” como:

32

32

0

d

ii j

j

ii j

j

id i j

j

kcL

Uu u

x

Uu u

x

Ukc u uL x

ε

ε

ε

= ×

∂→ = − × −

∂

∂= − ×

∂

∂× = − ×

∂

Donde “L” es una longitud característica de los vórtices de mayor tamaño que se generan en nuestro flujo. Para entender este concepto hemos de recurrir a la teoría de Kolmogorov[41]. En sus estudios Kolmogorov demostró que la turbulencia aparece como unos grandes remolinos de un tamaño del mismo orden de magnitud que la sección de nuestro flujo. Estos remolinos o vórtices se disgregan en un numero mayor de otros de menor tamaño que a su vez sufren el mismo proceso. De esta manera se va produciendo una transformación de nuestro flujo de escalas mayores a escalas menores, en lo que se conoce como una cascada de energía. De manera que el proceso de transporte de energía de escalas mayores a menores se realiza predominando las fuerzas de inercia del fluido sobre las de viscosidad, hasta que llegamos a una escala conocida como la de Kolmogorov en la que nuestros remolinos, de muy pequeño radio, en su movimiento disipan toda su energía por efecto de la viscosidad. Partiendo de estos datos se puede asumir que la cantidad de energía disipada por unidad de tiempo en el fluido en su movimiento turbulento es análoga a la disipada por un único remolino de igual energía cinética y de un diámetro característico “L”, el valor de esta longitud va asociado con lo que se conoce como escala integral, que es un parámetro que mide el tamaño de nuestros mayores vórtices.


30

3.3 Potencia del canal Consideremos ahora el origen de la energía que se disipa en nuestro canal. Por ser un canal estacionario y uniforme, la energía cinética en todas sus secciones es la misma, pero la potencial depende la cota. Es decir dos sección a una cierta distancia poseen la misma energía cinética y diferente potencial. La diferencia de energía de uno a otro en la que se a perdido en el proceso del transporte. La potencia disipada evaluada como perdida de energía potencial de flujo vale:

sin( )W sin( )

W sin( ) sin( )

sin( )

h h lm g Vol g Vol Vol Ut t t

Area U QLongitud

W Q

αρ γ γ α

γ α α γ

α γ

∆ ∆ ∆ ×= × × = × × × = × × = × × ×

∆ ∆ ∆

= × × × = × ×

= × ×

Donde Q es el caudal, γ el peso especifico y α la pendiente motriz. Cabe decir

que esta potencia disipada es por unidad de longitud del canal, es decir si nos interesase conocer la potencia total desarrollada por un canal deberíamos multiplicar esta por la longitud de canal. La unidad de la magnitud es:

.Julio

Seg metro×

Ahora consideremos que esta se disipa a lo largo de la longitud total de la sección de nuestro canal. Si dividimos esta magnitud por el ancho total de nuestro canal obtenemos:

sin( ) sin( )QW qB

α γ α γ× ×= = × × (3.6)

Donde ahora las unidades son:

2.Julio

Seg metro×

Es decir ahora hemos obtenido la potencia disipada en nuestro canal por unidad

de superficie de este. Por otra parte podemos realizar el mismo cálculo suponiendo que la potencia es el resultado de la fuerza ejercida por una masa multiplicada por la velocidad de esta, así que como vimos:


31

VELOCIDAD

CA

LAD

O Y

Velocidad

Tensiones Totales (Peso x Pendiente motriz)

Ilustración 3.1 Perfiles de la sección

La tensión transmitida de un estrato al siguiente es el resultado de la componente de su peso paralela a la solera del canal es decir:

sin( ) sin( ) sin( )

sin( ) sin( )

pF h g h

QW F U g h Qh

τ α γ α ρ α

ρ α α γ

= × = × × = × × ×

= × = × × × × = × ×

Es decir el resultado es el mismo de antes, así que ya conocemos la potencia que

disipa nuestro canal por unidad de área. Por otra parte si en la ecuación (2.2) conservación de momento:


α ν ∂× × − = − +

∂

Substituimos el término de izquierda por su equivalente en función de la velocidad de corte *U obtenemos:

2* 1 y UU uw

h zν ∂ × − = − + ∂

Ahora multiplicamos los dos lados por el elemento Uz

∂∂

obtenemos que las

tensiones de Reynolds se convierten en potencia disipada por unidad de masa (G), al igual que en la ecuación de transporte de la energía (3.1):


32

22* 1 y U U UU uw

h z z zν∂ ∂ ∂ × − × = − × + ∂ ∂ ∂

Así que ya tenemos la ecuación que nos relaciona la energía potencial perdida, con la potencia turbulenta producida, que según (3.1) se descomponía en difusión transporte y disipación.

Ahora integramos esta potencia para todo el calado:

22*

0 0 0

22*

0 0

2*

1

sin( )

h h h

h h

m

m

y U U UU dz uw dz dzh z z z

U UU U uw dzz z

U U G E

g q G E

ν

ν

α

∂ ∂ ∂ × − × = − × + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ × = − × + ∂ ∂

× = +

× × = +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Vemos que el termino de la izquierda es la potencia de canal que habíamos

calculado antes, es decir toda la potencia que genera nuestro canal se disipa de dos formas por una parte mediante la producción turbulenta de Reynolds “G” que genera vorticidad y por otra parte en calor mediante la viscosidad “E” (el término “E” en general es despreciable comparado con “G” excepto en regímenes laminares, como podría ser la parte inferior del flujo en canales lisos).

Pero el termino “G” también aparecía en nuestra ecuación de transporte de

energía turbulenta (3.5):

0

0

i i ii j

j j j

U u uu u

x x x

G

ν

ε

∂ ∂ ∂= − × − × ×

∂ ∂ ∂

= −

Y de ella deducimos que la producción turbulenta “G” se transforma en disipación viscosa “ε ” que transforma potencia turbulenta en calor. En resumen una parte de la potencia del canal se transforma de entrada en calor mediante la viscosidad, otra parte en producción turbulenta que finalmente se disipa viscosamente también en calor. Hay que hacer una serie de pequeñas objeciones a este proceso, la ecuación del transporte de energía cinética turbulenta (3.5) no siempre se puede simplificar de esa manera, de hecho en las cotas superiores del canal la disipación es mayor que la producción, esto es posible porque existe transporte de energía turbulenta de abajo a arriba, es decir el término del transporte:


33

2j ju u

vy

∂ ∂

2

12

kvy

vky

∂× ∂

∂×

∂

No es despreciable, de manera que se debe producir un gradiente en la energía cinética turbulenta, que permite que en las capas superiores donde la producción es muy baja la disipación sea alta gracias al transporte, esto es posible porque abajo si que es mayor la producción que la disipación, generándose la vorticidad necesaria. Por tanto si hiciésemos un esquema de las zonas en función de la disipación y el transporte obtendríamos los siguiente:

ZONA 1

ZONA 2

ZONA 3

G < ε → T > 0

G = ε

G > ε → T > 0

Ilustración 3.2 Esquema de producción disipación en la sección

Por lo que las zonas de transporte son las siguientes:


34

TRANSPORTE

Ilustración 3.3 Esquema de transporte en la sección

Por otra parte hemos vista que en el caso de tener fondos rugosos la descripción

del problema cambiaba, ya que desaparecía la subcapa laminar y aparecía una capa de cizalla sobre la rugosidad, con lo que nuestra ecuación de equilibrio de energía:

2

2*

0 0 0

1h h hy U U UU dz uw dz dz

h z z zν∂ ∂ ∂ × − × = − × + ∂ ∂ ∂ ∫ ∫ ∫

Debería sustituir el término de disipación por viscosidad en la capa laminar por otro que expresase la disipación por cizalla:

2 0* 0

h

mUU U uw dz Uzδ

τρ

∂× = − × + ×

∂∫

Donde 0τ es la tensión de corte en la capa de cizalla y 0U es la velocidad de corte

en esa capa, podemos ver que el termino G ahora solo se integra desde el límite superior de la rugosidad δ , podemos rescribir esta ecuación:

( )

2 2* 0 *

2* 0

h

m

h

m

UU U uw dz U Uz

UU U U uw dzz

δ

δ

∂× = − × + ×

∂

∂× − = − ×

∂

∫

∫

Como podemos ver la energía disponible para disipar por producción turbulenta

es menor, aunque por otra parte la disipación por cizalla también genera turbulencia. Teniendo en cuenta las consideraciones sobre disipación de energía podemos

realizar un cálculo sencillo, Supongamos que una cantidad de agua desciende por un


35

riachuelo desde las montañas, esta agua no intercambia calor con el sistema, de manera que independientemente de la pendiente, velocidad o Reynolds del flujo al final del proceso toda a energía perdida se habrá transformado en temperatura por efecto de la viscosidad del fluido o en energía cinética del flujo. Si despreciamos la velocidad de llegada podemos calcular el descenso necesario para aumentar un grado la temperatura del agua.

32

1º 1º 4.17 4.17º

4.17 10 9.81

425 .

eJulios JuliosC C C

C gramo gramo

mJulios m g h Kg hs

h m

−

× = × =×

= × × = × ×

=

Se podría llegar a la misma conclusión partiendo de otra hipótesis, sabemos lo

que vale la potencia que disipan las tensiones localmente por unidad de masa :

U Uuwz z

∂ ∂ − + × ∂ ∂

Esta potencia disipada por unidad de masa, de manera que si integramos en una columna de nuestro flujo desde el fondo hasta la superficie, la potencia disipada nos debería dar el valor de la disipación por unidad de superficie de canal calculada mediante variación de la energía potencial en (3.6).

0

0

0 0

0 0

sin( )

sin( )

sin( ) sin( )

sin( )

y

y

y y

y y

U Uuw dz qz z

U Uuw dz q gz z

U Uuw dz q g U g dzz z

U Uuw dz g U dzz z

ρ α γ

ρ α ρ

α α

α

∂ ∂ − + × × × = × × ∂ ∂

∂ ∂ − + × × × = × × × ∂ ∂

∂ ∂ − + × = × × = × × × ∂ ∂

∂ ∂ − + × = × × × ∂ ∂

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

Ahora aplicamos lo visto anteriormente sobre el valor de las tensiones totales


36

0 0

0 0

0 0

0

sin( )

( ) sin( ) sin( )

( ) sin( ) sin( ) 0

sin( ) ( ) 0

y y

j

y y

y y

yi

ij

U Uuw dz g U dzz x

Uh y g dz g U dzz

Uh y g dz g U dzz

Ug h y U dy

x

α

α α

α α

α

∂ ∂ − + × = × × × ∂ ∂

∂− × × × = × × ×

∂

∂− × × × − × × × =

∂

∂× × − × − = ∂

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

0

( ) 0y

ii

j

Uh y U dy

x ∂

− × − = ∂ ∫ (3.7)

Si observamos detenidamente este equilibrio nos daremos cuenta de que la

potencia aportada por el flujo depende directamente del caudal, es decir para cada punto del calado, la potencia aportada en esa sección del canal depende de la velocidad del flujo en ese punto. Por otra parte la potencia disipada por la turbulencia en cada una de las secciones depende del producto entre las tensiones de Reynolds y el gradiente de la velocidad en ese punto. Esto resulta muy interesante ya que estos dos elementos, el aporte y la disipación tienen distribuciones opuestas, así encontramos que la mayor velocidad del canal se da en la parte superior y en la inferior es muy pequeña, de manera que el mayor aporte de potencia disipable nos lo dan las capas superiores del flujo.

Por otra parte las tensiones de Reynolds valen más en la parte inferior del canal, así como el gradiente de las velocidades, así que el mayor consumo de potencia se produce en la parte inferior.


37

VELOCIDAD

CALA

DO

Y

Velocidad

Tensiones Reynolds (Peso x Pendiente motriz)

Gradiente de las Velocidades

Ilustración 3.4 Perfil de tensiones gradientes y velocidades en la sección

Ahora si comparamos las dos magnitudes, la aportación de potencia, y la disipación obtenemos el siguiente esquema:

POTENCIA POR UNIDAD DE MASA

CA

LAD

O Y

Velocidad

Gradiente de las Velocidades X Tens.Reynolds

Ilustración 3.5 Producción

Localmente no están en equilibrio pero para un perfil entero la integral de ambos

vale lo mismo la potencia disipada por unidad de área con la aportada.


38

Como conclusión diremos que el flujo en canales a nivel de potencia es disipativo en su parte inferior y productivo en la parte superior. Es decir es deficitario en energía cerca del fondo, con lo que haremos una gráfica de potencia disponible:

POTENCIA DISPONIBLE POR UNIDAD DE MASA

CALA

DO

Y

Ilustración 3.6 Déficit de potencia

Esta grafica representa la función resultado de la integral (3.7) cuando el dominio de integración no incluye toda la sección sino únicamente desde la parte superior hasta una altura “y” siendo el resultado de esta integración parcial: ( )0 0h y U− × (3.8)

Que es la función representada en la gráfica anterior, siendo “h” el calado en la

sección del canal. A lo largo de la sección del canal el aporte de potencia al flujo no está en

equilibrio con la energía transformada en potencia mecánica turbulenta (G) en esa sección, pero si que la potencia disipada localmente se hace por medio de la disipación viscosa y esta está en equilibrio con la producción turbulenta (excepto con la presencia del transporte, que desplaza la potencia mecánica a otras capas).

Este fenómeno se observa normalmente en sólidos ya que el rozamiento se

produce en el punto de contacto pero la perdida de energía se valora en el centro de gravedad del objeto rígido

1. ecuaciones de conservación

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