1-1

CONCEPTOS DE CONCEPTOS DE CONFIABILIDADCONFIABILIDAD

1-2

Objetivo: Presentar los conceptos indispensables para entender la

confiabilidadPropósitos

– presentar el concepto de tiempo de vida y falla– exponer el concepto de distribución de

probabilidad– definir confiabilidad– definir MTBF - MTTF– explicar el “tiempo de misión”– visualizar la velocidad de falla gráficamente– presentar los elementos de estadística descriptiva– obtener una distribución empíricamente

1-3

¿POR QUÉ CONFIABILIDAD?

• El cliente es más crítico y más consciente de las características del producto

• Las compañías que sobreviven en los negocios son aquellas capaces de controlar la confiabilidad de sus productos

• Los costos de la mala calidad de productos sin confiabilidad pueden ser muy altos

1-4

CONFIABILIDAD ¿PARA QUÉ?

• ¿Cuál es la vida promedio del producto?• ¿Cuántas fallas espera el próximo año?• ¿Cuánto nos costará desarrollar y dar servicio

a este producto?• ¿Cómo podemos hacerlo más efectivo en

costo?

1-5

TIEMPO DE VIDA Y FALLA

La confiabilidad es una medida del Tiempo de Vida de un producto. Durante este período el cliente obtiene las características ofrecidas intencionalmente.

Cuando cesa la capacidad del producto para entregar la característica ofrecida al cliente, se considera que ha habido una Falla del producto. Esto representa el término del tiempo de vida.

1-6

MODELOS DE TIEMPO DE VIDA

Para modelar el tiempo de vida se asigna una medida: La frecuencia relativa o la probabilidad con que ocurrirá ese tiempo.

La regla que asigna valores de frecuencia relativa o probabilidades a los valores de una variable se llama Distribución de Probabilidad

1-7

• Función de Densidad de Probabilidad (pdf), f(t)– Predice el comportamiento de cualquier situación

probabilística – Probabilidad de t de caer en algún punto del rango t1 a t2

p t t t f t dtt

t

( ) ( )1 2

1

2

t1 t2

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

t

f(t)

El área total bajo la curva siempre es 1 o 100%

1-80 5 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

t

f(t)

0 100 200 300

0

10

20

30

OBSP

erce

nt

1.6667

8.3333

30.0000

15.000013.3333

6.66676.66678.3333

3.33333.3333

0.00000.0000

3.3333

EJEMPLOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

56.399 138.573 172.78 39.65556.554 132.988 45.735 9.5235.389 234.234 62.171 29.37456.215 63.378 78.558 46.076188.26 28.855 75.812 193.4590.882 49.089 75.492 103.507

132.312 123.442 27.978 107.71760.465 49.526 145.911 179.036

301.525 71.698 95.475 61.099302.01 45.352 175.935 46.613

101.978 182.344 34.899 82.27298.37 225.349 43.461 176.949

64.026 137.758 52.311 145.4543.881 93.901 49.619 73.87353.358 77.471 92.019 117.592

PDF Weibull

Histograma

1-9

DISTRIBUCION ACUMULADA DE PROBABILIDAD

Si acumulamos las probabilidades desde el inicio hasta un tiempo t1, obtenemos la Distribución de Probabilidad Acumulada {CDF ó F(t)}.

F(t1) = P(t t1)

1-10

• Función de Distribución Acumulada– La Probabilidad de una variable es menor o igual a un valor

específico, e.g., t1

– Cuando la variable es tiempo de falla, esto representa la no confiabilidad o la probabilidad de que una unidad falle antes del tiempo t1

1

0

1 )()0()(t

dttfttPtF

DISTRIBUCION ACUMULADA DE PROBABILIDAD

1-11

Ft P t t f tdtt

() ( ) () 01

0

1

DISTRIBUCION ACUMULADA DE PROBABILIDAD

t

f(t)

t1

No confiabilidad, F(t)

Función de Densidad de Probabilidad

t

F(t

)

t1

Función de Distribución Acumulada

0

1

0

1-12

DEFINICIÓN DE CONFIABILIDAD

Confiabilidad es la probabilidad de que un sistema ejecute su función de intención sin fallar para un intervalo específico, bajo condiciones establecidas.

Se define como la Probabilidad de Supervivencia en un determinado tiempo.

R(t) = 1 - F(t)Algunos autores presentan como sinónimos

Supervivencia y Confiabilidad

1-13t

R(t

)

DEFINICIÓN DE CONFIABILIDAD

R t F t f t dt f t dtt

t

( ) ( ) ( ) ( )

1 10

t1

Función de Densidad de Probabilidad Función de Confiabilidad

00

1

t

f(t)

t10

1-14

MTBF - MTTF

Si el tiempo de vida para una característica de calidad es una variable aleatoria y conocemos su distribución de probabilidad , podemos calcular una medida de localización, por ejemplo el valor de su media.

El valor medio del Tiempo de Vida se denomina Tiempo Promedio entre Fallas, MTBF es el acrónimo en Inglés, y se refiere a una medición básica de confiabilidad para artículos que se pueden reparar.

MTTF se refiere al Tiempo Promedio de Fallas, esto es para artículos que no pueden ser reparados.

1-15

0 100 200 300

0

10

20

30

tiempo

Per

cent

1.6667

8.3333

30.0000

15.000013.3333

6.66676.66678.3333

3.33333.3333

0.00000.0000

3.3333

MTBF - MTTF

La media estimada del tiempo de vida está marcada con la línea punteada es de 98.932, se obtuvo calculando el promedio de los tiempos

98.932

0 5 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

t

f(t)

N

tm

N

ii

1

La media calculada para esta distribución Weibull es función de sus parámetros =2 y =2

1.77245

1

1MEDIA

1-16

TIEMPO DE MISIÓN

Tiempo de Misión se refiere al tiempo intentado durante el cual el producto entrega la característica de calidad satisfactoriamente.

El Tiempo de Misión es una decisión de negocios y sirve para establecer una meta de logro por parte del producto en cuanto a sus características.

Tiempo de Misión

¿Qué confiabilidad lograremos?, R(tiempo de misión)

1-17

VELOCIDAD DE FALLALa Velocidad de Falla ó Tasa de Riesgo o también Tasa

de Falla es la fracción de fallas probables entre la proporción de supervivientes al tiempo t. Cuando se conoce la Distribución de Probabilidad de t, se calcula a partir de

h(t) = PDF / R(t) Es una medida de la “mortalidad” entre los artículos

que quedan.La tasa de falla representa la propensión a la falla de un producto como una función de su edad o tiempo en operación. La tasa de falla en cualquier tiempo dado es la proporción que caerá en la siguiente unidad de tiempo respecto a aquellas unidades que han sobrevivido a este tiempo.

1-18

TASA DE FALLA O TASA DE RIESGOPor ejemplo, 1000 motores eléctricos se ponen a prueba en el tiempo CERO. Cuatrocientos de ellos están trabajando a las 2000 horas, 50 de ellos fallaron en las siguientes 100 horas y otros 50 fallaron en las siguientes horas como lo ilustra la figura.

0 2000 2100 2200 horas tiempo

1000 400 350 300No. de sobrevivientes

La tasa de falla para los motores a las 2000 horas es:h(2000) = (número de fallas por hora posteriores a las 2000 horas)

número de sobrevivientes a las 2000 horas

= (50/100)/400 = 0.00125 unidades/hora

Similarmente, la tasa de falla a las 2100 horas es:

h(2100) = (50/100)/350 = 0.0014 unidades/hora

1-19

“TINA DE BAÑO”

Si se dibuja la tasa de riesgo o falla para una población a través del tiempo se observa un comportamiento descrito como la “Tina de baño”

t

h(t)

Fallas constantes

Fallas por deterioroFallas por deterioroFallas “infantiles”

1-20

0 100 200 300

0

10

20

30

OBSP

erce

nt

1.6667

8.3333

30.0000

15.000013.3333

6.66676.66678.3333

3.33333.3333

0.00000.0000

3.3333

La Estadística Descriptiva se orienta a proporcionar una descripción útil, clara e informativa de una masa de datos numéricos.Esto se hace al considerar tópicos como: •la colección y procesamiento de datos originales, •presentación tabular y gráfica, •fuentes de datos, •distribución de frecuencias, •medidas de tendencia central y• medidas de dispersión.

ESTADISTICA DESCRIPTIVA

Un histograma es una descripción útil, clara e informativa de la distribución de frecuencias

1-21

Un estadístico es cualquier función de las observaciones en una muestra aleatoria, que no dependa de parámetros desconocidos

Obsérvese que como un estadístico es una función de los datos provenientes de una muestra aleatoria, es a su vez una variable aleatoria.

Es decir, si se obtuvieran dos muestras aleatorias diferentes provenientes de la misma población y se calcularan las medias muestrales, podría esperarse que los valores obtenidos fueran diferentes.

ESTADISTICOS

La media muestral, la varianza muestral, la desviación estándar muestral y los coeficientes de variación, sesgo y curtosis son algunos de los estadísticos más comunes.

1-22

Medidas Descriptivas Descripción POBLACION

MEDIA

VARIANZA

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

COEFICIENTE DE SESGO

COEFICIENTE DE CURTOSIS

Estadística Descriptiva

MUESTRA

dtttftE )()(

n

iixn

xm1

1Medida de tendencia central

dttft )(22

n

ii xx

ns

1

22

1

1Medida de dispersión

la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza

Medida del grado de variabilidad

CV

2/32

3 )(

3

dttft

2/32

1

3

3ˆs

n

xxn

ii

Medida de Simetría

Medida de Agudeza

22

4 )(

4

dttft

22

1

4

4ˆs

n

xxn

ii

La Normal tiene un rango 0.05<CV<0.25La exponencial: CV= 1

• 3<0 cola izquierda• 3=0 simétrica (v.gr.Normal)• 3>0 cola derecha

• 4<0 - aguda que la Normal• 4=0 aguda como Normal• 4>0 +aguda que la Normal

Otras medidas son la mediana y la moda, la media tiene propiedades estadísticas mejores

CV = Sx

1-23

• ¿Porqué son importantes los estadísticos?

• Describen completamente los datos• Coeficiente de Variación CV

• comúnmente utilizado para describir propiedades mecánicas de los materiales.

– aproximadamente 15% para fractura – aproximadamente 7% para resistencia a la cedencia

• ayudan a determinar la distribución apropiada • la distribución normal tiene un rango 0.05 < CV < 0.25

– Exponencial CV = 1

Estadística Descriptiva

1-24

• ¿Porqué son importantes los estadísticos?

• Coeficiente de sesgo• medida de simetría

– 3 < 0 distribución sesgada a la izquierda(tiene una cola a la izquierda)

– 3 = 0 distribución simétrica» Distribución Normal 3 = 0

– 3 > 0 distribución sesgada a la derecha (tiene una cola a la derecha

– Coeficiente de curtosis• medida de agudeza (puntiaguda)

– 4 < 3 distribución menos aguda que la Normal– 4 = 3 distribución Normal– 4 > 3 distribución más aguda que la Normal

Estadística Descriptiva

1-25

• Porqué son importantes los estadísticos• los tres ayudan a determinar los parámetros de la

distribución• CV

– La Exponencial tiene un CV constante

– El parámetro de forma de la distribución Weibull es bien estimado con el coeficiente de variación CV

• coeficientes de sesgo y curtosis– la relación entre ellos ayuda a determinar la distribución que mejor

se ajusta

Estadística Descriptiva

1-26

EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN

h

1MEDIA

)(FALLA DETASA

)( DADCONFIABILI

1)( CDF

)( PDF

t

etR

etF

etf

t

t

t

Distribución Exponencial

Función de Densidad de Probabilidad Exponencial

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0035

0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo

f(t)

= 0.003, MEDIA = 333

= 0.002, MEDIA = 500

= 0.001, MEDIA = 1,000

1-27

EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN

h

11MEDIA

)(FALLA DETASA

)( DADCONFIABILI

1)( CDF

)( PDF

1

1

tt

etR

etF

et

tf

t

t

t

Distribución Weibull 2 parámetros

1-28

EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓNAbra el archivo Distribución.xls Señale la columna de

tiempo y pongala en orden ascendente

Veamos cómo se construyen las curvas de distribución usando el EXCEL

1-29

EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓNAgregue un renglón inicial con cero y una columna con un contador que inicie en cero

Agregue una columna donde estime F(t) usando la fórmula de Kaplan Meier*: ( F(t) = i/N)

Obtenga R(t) por la diferencia R(t) = 1-F(t)

Note que puede estimar la Confiabilidad de 90% para un tiempo de 35.389

* La fórmula de Kaplan Meier se recomienda para muestras grandes

1-30

EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓNSe estima la tasa de falla para los tiempos observados, con el inverso del número de supervivientes 1/(N+1-i)

Por último se estima el intervalo de confianza normal al 95% para la confiabilidad

NtFtRZtRtR

NtFtRZtRtR

LI

LS

)()()()(

)()()()(

2

2

1-31

EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓNR(ti)= 1-F(ti)

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0.8000

0.9000

1.0000

0 50 100 150 200 250 300 350

R(ti)= 1-F(ti)

F(ti)= i/N

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0.8000

0.9000

1.0000

0 50 100 150 200 250 300 350

F(ti)= i/N

Gráficas de Confiabilidad R(t) y de la Función Acumulada F(t) generadas en EXCEL

Recuerde que:

R(t) = 1- F(t)

1-32

EJEMPLO DE DISTRIBUCION

Use el archivo: distribución.mtw

Ahora en Minitab...

1-33

Distribution AnalysisVariable: tiempo Censoring Information CountUncensored value 60Nonparametric EstimatesCharacteristics of Variable Standard 95.0% Normal CI Mean Error lower upper 98.9320 8.4776 82.3162 115.5478

Median = 75.8120IQR = 83.4620 Q1 = 49.5260 Q3 = 132.9880

Kaplan-Meier Estimates Number Number Survival Standard 95.0% Normal CI Time at Risk Failed Probability Error Lower Upper 9.5200 60 1 0.9833 0.0165 0.9509 1.0000 27.9780 59 1 0.9667 0.0232 0.9212 1.0000 28.8550 58 1 0.9500 0.0281 0.8949 1.0000 29.3740 57 1 0.9333 0.0322 0.8702 0.9965 34.8990 56 1 0.9167 0.0357 0.8467 0.9866 35.3890 55 1 0.9000 0.0387 0.8241 0.9759 39.6550 54 1 0.8833 0.0414 0.8021 0.9646 43.4610 53 1 0.8667 0.0439 0.7807 0.9527 43.8810 52 1 0.8500 0.0461 0.7597 0.9403 45.3520 51 1 0.8333 0.0481 0.7390 0.9276 45.7350 50 1 0.8167 0.0500 0.7188 0.9146 46.0760 49 1 0.8000 0.0516 0.6988 0.9012 46.6130 48 1 0.7833 0.0532 0.6791 0.8876 49.0890 47 1 0.7667 0.0546 0.6596 0.8737 49.5260 46 1 0.7500 0.0559 0.6404 0.8596 49.6190 45 1 0.7333 0.0571 0.6214 0.8452 52.3110 44 1 0.7167 0.0582 0.6026 0.8307

Para un tiempo de 35.389 la

confiabilidad es del 90%

Cálculo de R(t) para un tiempo

1-34

0 100 200 300

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Time to Failure

Ra

te

Nonparametric Hazard Plot for tiempoEmpirical Hazard Function

Complete Data

Mean

MedianIQR

98.932

75.812 83.462

0 100 200 300

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Time to Failure

Pro

ba

bili

ty

Nonparametric Survival Plot for tiempoKaplan-Meier Method-95.0% Conf idence Interv als

Complete Data

Mean

MedianIQR

98.932

75.812 83.462

INTERPRETACION DE RESULTADOS

Observamos las gráficas de las distribuciones empíricas de: riesgo y confiabilidad

Las asignaciones de probabilidades se basan sólo en las frecuencias observadas, y no suponen ningún modelo especial.

1-35

PUNTOS CLAVE

– tiempo de vida y falla– distribución de probabilidad– confiabilidad– MTBF - MTTF– tiempo de misión– velocidad de falla – estadística descriptiva– distribución empírica

1-36

REFERENCIAS

• Statistical Methods for Reliability Data, Meeker and Escobar, 1998

• Handbook of Reliability Engineering and Management by Ireson, Coombs, and Moss, McGraw Hill, 1990

• Engineering Statistics Handbook, capitulo 8, en http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/main.htm

• How To Plan An Accelerated Life Test -- Some Practical Guidelines., Meeker and Hahn, ASQ

• Reliability and Life Testing Handbook, Vols.1 y 2, Dimitri Kececioglu, Prentice Hall, 1991

• Electronic Component Reliability, Finn Jensen, Wiley, 1998

• Reliability Review, ASQ

• Brian Henninger’s accelerated test project

• Software - Minitab version 12.2 (Minitab Inc) y WEIBULL 5.0 (Reliasoft)

• Otras fuentes - Mechanical Prediction Library, Reliability Tips, Brian Henninger, Doug Kemp, Ken Zagray, Bill Wunderlin, Alex Cambon, University of Maryland Accelerated Testing Course - Modarres