08 derivada de funciones paramétricas

7/24/2019 08 Derivada de Funciones Paramtricas

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Derivada de funciones paramtricas:

Introduccin Funciones paramtricas.Si imaginamos que una partcula se mueve a lo largo de la

curva C que se muestra en la gura, nuestro prolema aqusera descriir C con una ecuacin de la forma y=f(x) ,

porque C no cumple ser una funcin as como las conocemos.!ero tanto la coordenada " como la # son funciones del tiempo #

por lo tanto se podr$n escriir de la forma x=g(t) e y=f(t) .

%sta manera de escriirla da caida a la siguiente denicin.Suponiendo que las ecuaciones son continuas dependientes de unatercera variale t, llamado par$metro.

x=g(t) y=f(t) .

Cada valor de t determina un punto (x , y ) , el cual se puede situar en

el plano coordenado.

Conforme t vara, el punto (x , y )=(g (t) , f(t)) recorre la curva C, la cual

se conoce como curva paramtrica.%&emplo ': (racemos la gr$ca denida por las curvas paramtricas

x=t22 ty=t+1 con

tR

)eamos cmo encontrar algunos puntos de la gr$ca.t *+ * *- *' ' - +/ -+ '0 1 *' 12 * *- *' ' - + 0

%sta sera apro"imadamente la representacin graca

3niendo estos puntos

4a ecuacin de esta gr$ca denida implcitamente ser$:

2

y

(x+1 )=

4a relacin que determina este tipo de ecuaciones paramtricas, engeneral no es una funcin.


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%&emplo -:Dada la ecuacin paramtrica,

x=t

2

y=t2

41

, con tR

Si reempla5amos x2=(t2 )

2

=t2

4 en la segunda ecuacin tendremos

inmediatamente:

y=x21 que es la ecuacin de una par$ola.

%&emplo :%cuacin paramtrica de una circunferencia de radio 6 # una %lipce dee&es -a # -Circunferencia de 6adio 6 # centrada en el origen.

Para el par ordenado (x , y )

cos ( )=x

R ysen ( )=

y

R

Despe&ando " e # en las eciuaciones encontramos quex=R sen(t)y=R cos (t) , con

tR

!odemos decir que Q= {(x , y )R2/x=2 sent , y=2costcontR}

78ora ien:

x2+y2=R2 sen2 (x )+R2 cos2 (x )=R2(se n2 (x )+co s2 (x ))=R2

4a ecuacin implcita asociada de la siguiente forma x2+y2=R2

%sta es la ecuacin de una circunferencia de centro el origen # radio 6

%cuacin paramtrica de la %lipse de e&es -a # -

!ara el par ordenado (x , y )

x=a cos ( )y=bsen ( )] son las ecuaciones paramtricas de la ellipse.cos ( )=

x

a #sen ( )=

y

a


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4uego(xa)2

+(yb)2

=sen2 (x )+cos2 (x )(xa )2

+(yb)2

=1 %cuacin implcita de la

elipce.

%&emplo +: %studie el comportamiento de la siguiente ecuacinparamtrica.x=2 t

y=6

t, con tR{0 }

97 qu funcin corresponde%&emplo 0: %studie el comportamiento de la siguiente ecuacinparamtrica.

x=3cosy=4 sen , con

[0,2]

97 qu corresponde

Derivadas.

Sea f # g funciones reales denidas en un intervalo I

4as ecuaciones

x=f(t)y=g ( t)|tI

Son una representacin paramtrica de la relacin.R= {(x , y )/x=f( t) , y=g (t) , tI}

Si f # g son funciones derivales, con f i#ectiva entonces:

dy

dx=

dy

dt

dx

dt

=dy

dt

dt

dx

!ara calcular la segunda derivada de # con respeto a ",

d2y

d x2=

d ( dydx)dx

=

d (dydx)dt

dx

dt

=d ( dydx)

dt

dt

dx

Cicloide:

4as ecuaciones paramtricas de la cicloide son:

x (t)=a (tsen (t))y (t)=a(1cos ( t))]

7ntes de un an$lisis de la gr$ca:


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'. Determine todos los valores de t para los cuales la recta tangente en el punto

(x , y ) asociados a estos valores de t, es 8ori5ontal.

-. 9De qu forma son los puntos (x , y ) para cada t del item '

. Determine todos los valores de t para los cuales la recta tangente en el punto

(x , y ) asociados a estos valores de t, es vertical.; +. tiene pendiente '.

0. (iene pendiente *'. %n los siguientes casos, enuentre todos los puntos en los cuales

las curvas dadas tienen tangente 8ori5ontal o tangente vertical.

a. {x(t)=cos (t)y(t)=sen(t).

{

x ( t)=t2+4

y (t)=3 t2

6 t+2

c. {x(t)=3 t2+6

y(t)=tt2

d. { x (t)=ty (t)=2pt?. =allar la recta tangente a la curva x=t

33 t , y=t25 t1, tR @ en el

punto correspondiente a t=2 . 9!ara que valor de t la recta tangente

es vertica, 9=ori5ontal

1. Sea r la rectax=

t

2 , ey=2 t5 # c la curva x=t

47 ,

y=8 t+3, tR .

=allar la recta normal a c # paralela a r.

A. Sea C la curva x=6 t+1,y=t32t ,tR . %ncuentre los puntos de C en

los que la recta tangente es perpendicular a la recta 3x+5y8=0

'.Dos partculas parten al mismo tiempo, la primera siguiendo la recta

x=16

3

8

3t

, y=4 t5 @ # la segunda la elipse

x=2 sen( t2) , y=3cos ( t2) . %n qu puntos , si los 8uiera, se cortanlas tra#ectorias # en qu puntos, si los 8uiera, c8ocan las partculas

''.%n los siguientes casos, una partcula se mueve en un plano tal que su

posicin es:

Caso '


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Partcula1:x1(t)=cos (t) ; y

1(t)=sen( t)

Partcula2 :x2(t)=0 ; y

2(t)=sen(t)

Caso 2

Partcula1 :x1( t)=t+4 ; y

1(t)=8t2

Partcula2 :x2(t)=t+4 ; y2(t)=t+69Se cru5an las partculas %n caso armativo, 9dnde9=a# colicin %n caso armativo, 9dnde 2 9cu$ndo

'-.%ncuentre el punto sore la curvaC

1={ x (t)=ty(t)=2 t2+3 en el cual la

tangente es paralela a la recta C2={ x(t)=t+3y (t)=4 t10%&ercicio de pruea.

3n pro#ectil es lan5ado con velocidad inicial de > [m /s ] # $ngulo =

3 . Si

se considera que el roce es proporcional a la velocidad del pro#ectil, su

tra#ectoria est$ dada por las ecuaciones paramtricas:

{

x (t)=3030 (1e0,25 t)y (t)=280 (1e0,25 t)40t

t [0 ;4.988 ]

a< Determine el instante del tiempo en que el pro#ectil alcan5a su altura

m$"ima.< Calcule la altura m$"ima que alcan5a el pro#ectilc< Determine la velocidad instantanea a las - segundos de ser lan5ado.d< Determine la aceleracin como funcin del tiempo.

4inB de e&ercicios.

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