Unidad 2: La derivada

Trazado de curvas:

Funciones racionales

2

¡Interrogante!

¿Cuáles son las asíntotas verticales de su gráfica?

¿Cuáles son las asíntotas horizontales de su gráfica?

Para cuya gráfica se muestra2

2

4( )

2

xf x

x x

3

La recta asíntota de la gráfica de una función f es una recta L, que a medida que la gráfica de la función se aleja al infinito ésta se pega cada vez más a la recta L sin llegar a tocarla.

Recta asíntota de la gráfica de una función

Observación: cuando la gráfica de f no se aleja al infinito, ésta puede tocar a la recta varias veces.

4

La recta x = c es una “asíntota vertical" de la gráfica de f si f(x) tiene un límite infinito cuando x c+ ó x c-

Asíntota vertical

Es decir:)(ó)(

xflím

cx

)(ó)(

xflímcx

5

Si f(x) tiende a L cuando x + ó x -, entonces, la recta y = L se denomina “asíntota horizontal” de la gráfica de f.

Asíntota horizontal

( )xlím f x L

( )xlím f x L

o

Es decir:

6

Ejemplo

Determine las asíntotas verticales y horizontales de las gráficas de las funciones:

2( )

2

xf x

x

2 4

( )2

xf x

x

1.

2.

3. 2

2

4( )

2

xf x

x x

7

Si f (x) es una función racional cuyo grado del numerador es uno mayor que el del denominador, la gráfica de f tiene una asíntota oblicua

y = mx + b.

Asíntota oblicua

0)]()([

bmxxflímx

0)]()([

bmxxflímx

8

Solución:

Ejemplo

2 3( )

2

xf x

x

Halle la asíntota oblicua de la gráfica de:2 3

( )2

xf x

x

12

2x

x

Si hacemos que x en 1/(x - 2) se obtienela asíntota oblicua:

y = x + 2

9

Para4

2

1xy

x

¿Tiene recta asíntota oblicua?

note que:2

2

1y x

x

10

En general, la ecuación de la recta asíntota oblicua y = mx + b, se puede obtener mediante:

( )x

f xm lím

x [ ( ) ]

xb lím f x mx

Asíntota oblicua: fórmula general

y

Asíntota oblicua por derecha:

Asíntota oblicua por izquierda:

( )x

f xm lím

x y [ ( ) ]

xb lím f x mx

11

Halle las asíntotas de la gráfica de:

Ejemplo

Asíntota vertical

Asíntota oblicua

12

)(lim3

xfx

)(lim3

xfx

2)(lim

xfx 3

2)(lim

x

xf

x

23

2)(lim

xxfx

Trace la gráfica de una función f continua en todo número real excepto en x = 3 si se cumple que:(1; 3) es mínimo relativo

0)( xf 331 xx

0)( xf 1x

30)( xsixf

30)( xsixf

si

si

Ejercicio:

Resuelva ejercicios del Texto guía.

Procedimiento para el trazado de la gráfica de f(x)

1. Halle el dominio de f(x)2. Halle las intersecciones con los ejes3. Determine las asíntotas4. Halle f ´(x) y los extremos relativos5. Halle f ´´(x), concavidad y puntos de inflexión6. Trace la gráfica de las asíntotas7. Ubique interceptos, extremos relativos y trace la gráfica según (4) y (5).

Ejemplo 1:

Trace la gráfica de la funciónEjemplo:

xx

xf

1

)(2

Ejemplo 3:Suponga que el costo total de fabricar q unidades de cierto artículo es:

C(q) = 3q2 + 5q + 75 dólaresa. En el mismo conjunto de ejes, trace la gráfica de las

funciones de costo promedio y marginal para q>0.b. ¿En qué nivel de producción es mínimo el costo

promedio por unidad?c. ¿En qué nivel de producción el costo promedio por

unidad es igual al costo marginal?