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7/24/2019 08 Derivada de Funciones Paramtricas
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Derivada de funciones paramtricas:
Introduccin Funciones paramtricas.Si imaginamos que una partcula se mueve a lo largo de la
curva C que se muestra en la gura, nuestro prolema aqusera descriir C con una ecuacin de la forma y=f(x) ,
porque C no cumple ser una funcin as como las conocemos.!ero tanto la coordenada " como la # son funciones del tiempo #
por lo tanto se podr$n escriir de la forma x=g(t) e y=f(t) .
%sta manera de escriirla da caida a la siguiente denicin.Suponiendo que las ecuaciones son continuas dependientes de unatercera variale t, llamado par$metro.
x=g(t) y=f(t) .
Cada valor de t determina un punto (x , y ) , el cual se puede situar en
el plano coordenado.
Conforme t vara, el punto (x , y )=(g (t) , f(t)) recorre la curva C, la cual
se conoce como curva paramtrica.%&emplo ': (racemos la gr$ca denida por las curvas paramtricas
x=t22 ty=t+1 con
tR
)eamos cmo encontrar algunos puntos de la gr$ca.t *+ * *- *' ' - +/ -+ '0 1 *' 12 * *- *' ' - + 0
%sta sera apro"imadamente la representacin graca
3niendo estos puntos
4a ecuacin de esta gr$ca denida implcitamente ser$:
2
y
(x+1 )=
4a relacin que determina este tipo de ecuaciones paramtricas, engeneral no es una funcin.
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%&emplo -:Dada la ecuacin paramtrica,
x=t
2
y=t2
41
, con tR
Si reempla5amos x2=(t2 )
2
=t2
4 en la segunda ecuacin tendremos
inmediatamente:
y=x21 que es la ecuacin de una par$ola.
%&emplo :%cuacin paramtrica de una circunferencia de radio 6 # una %lipce dee&es -a # -Circunferencia de 6adio 6 # centrada en el origen.
Para el par ordenado (x , y )
cos ( )=x
R ysen ( )=
y
R
Despe&ando " e # en las eciuaciones encontramos quex=R sen(t)y=R cos (t) , con
tR
!odemos decir que Q= {(x , y )R2/x=2 sent , y=2costcontR}
78ora ien:
x2+y2=R2 sen2 (x )+R2 cos2 (x )=R2(se n2 (x )+co s2 (x ))=R2
4a ecuacin implcita asociada de la siguiente forma x2+y2=R2
%sta es la ecuacin de una circunferencia de centro el origen # radio 6
%cuacin paramtrica de la %lipse de e&es -a # -
!ara el par ordenado (x , y )
x=a cos ( )y=bsen ( )] son las ecuaciones paramtricas de la ellipse.cos ( )=
x
a #sen ( )=
y
a
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4uego(xa)2
+(yb)2
=sen2 (x )+cos2 (x )(xa )2
+(yb)2
=1 %cuacin implcita de la
elipce.
%&emplo +: %studie el comportamiento de la siguiente ecuacinparamtrica.x=2 t
y=6
t, con tR{0 }
97 qu funcin corresponde%&emplo 0: %studie el comportamiento de la siguiente ecuacinparamtrica.
x=3cosy=4 sen , con
[0,2]
97 qu corresponde
Derivadas.
Sea f # g funciones reales denidas en un intervalo I
4as ecuaciones
x=f(t)y=g ( t)|tI
Son una representacin paramtrica de la relacin.R= {(x , y )/x=f( t) , y=g (t) , tI}
Si f # g son funciones derivales, con f i#ectiva entonces:
dy
dx=
dy
dt
dx
dt
=dy
dt
dt
dx
!ara calcular la segunda derivada de # con respeto a ",
d2y
d x2=
d ( dydx)dx
=
d (dydx)dt
dx
dt
=d ( dydx)
dt
dt
dx
Cicloide:
4as ecuaciones paramtricas de la cicloide son:
x (t)=a (tsen (t))y (t)=a(1cos ( t))]
7ntes de un an$lisis de la gr$ca:
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'. Determine todos los valores de t para los cuales la recta tangente en el punto
(x , y ) asociados a estos valores de t, es 8ori5ontal.
-. 9De qu forma son los puntos (x , y ) para cada t del item '
. Determine todos los valores de t para los cuales la recta tangente en el punto
(x , y ) asociados a estos valores de t, es vertical.; +. tiene pendiente '.
0. (iene pendiente *'. %n los siguientes casos, enuentre todos los puntos en los cuales
las curvas dadas tienen tangente 8ori5ontal o tangente vertical.
a. {x(t)=cos (t)y(t)=sen(t).
{
x ( t)=t2+4
y (t)=3 t2
6 t+2
c. {x(t)=3 t2+6
y(t)=tt2
d. { x (t)=ty (t)=2pt?. =allar la recta tangente a la curva x=t
33 t , y=t25 t1, tR @ en el
punto correspondiente a t=2 . 9!ara que valor de t la recta tangente
es vertica, 9=ori5ontal
1. Sea r la rectax=
t
2 , ey=2 t5 # c la curva x=t
47 ,
y=8 t+3, tR .
=allar la recta normal a c # paralela a r.
A. Sea C la curva x=6 t+1,y=t32t ,tR . %ncuentre los puntos de C en
los que la recta tangente es perpendicular a la recta 3x+5y8=0
'.Dos partculas parten al mismo tiempo, la primera siguiendo la recta
x=16
3
8
3t
, y=4 t5 @ # la segunda la elipse
x=2 sen( t2) , y=3cos ( t2) . %n qu puntos , si los 8uiera, se cortanlas tra#ectorias # en qu puntos, si los 8uiera, c8ocan las partculas
''.%n los siguientes casos, una partcula se mueve en un plano tal que su
posicin es:
Caso '
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Partcula1:x1(t)=cos (t) ; y
1(t)=sen( t)
Partcula2 :x2(t)=0 ; y
2(t)=sen(t)
Caso 2
Partcula1 :x1( t)=t+4 ; y
1(t)=8t2
Partcula2 :x2(t)=t+4 ; y2(t)=t+69Se cru5an las partculas %n caso armativo, 9dnde9=a# colicin %n caso armativo, 9dnde 2 9cu$ndo
'-.%ncuentre el punto sore la curvaC
1={ x (t)=ty(t)=2 t2+3 en el cual la
tangente es paralela a la recta C2={ x(t)=t+3y (t)=4 t10%&ercicio de pruea.
3n pro#ectil es lan5ado con velocidad inicial de > [m /s ] # $ngulo =
3 . Si
se considera que el roce es proporcional a la velocidad del pro#ectil, su
tra#ectoria est$ dada por las ecuaciones paramtricas:
{
x (t)=3030 (1e0,25 t)y (t)=280 (1e0,25 t)40t
t [0 ;4.988 ]
a< Determine el instante del tiempo en que el pro#ectil alcan5a su altura
m$"ima.< Calcule la altura m$"ima que alcan5a el pro#ectilc< Determine la velocidad instantanea a las - segundos de ser lan5ado.d< Determine la aceleracin como funcin del tiempo.
4inB de e&ercicios.
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