UNIVERSIDAD PRIVADA SAN PEDROFACULTAD DE INGENIERIA

CURSOINVESTIGACIN DE OPERACIONES I

TRANSPORTE Y ASIGNACION DOCENTE: ING. SANTOS GABRIEL BLASInvestigacin de Operaciones I 1 12/07/2011 Ing. Santos Gabriel Bla Blas

Problemas de transporteUn problema de transporte surge cuando se necesita un modelo costo-efectividad que permita transportar ciertos bienes desde un lugar de origen a un destino que necesita aquellos bienes, con ciertas restricciones en la cantidad que se puede transportar. Se presenta al planear la distribucin de bienes y servicios desde varias localizaciones de suministro hacia varias ubicaciones de la demanda. La cantidad de los bienes disponibles en cada localizacin de suministro (origen) es limitada, y la cantidad de los bienes necesarios en cada una de las localizaciones de demanda (destino) es conocida.

Problemas de transporteEl objetivo es minimizar el costo de embarcar los bienes desde los orgenes hasta los destinos. Dentro de la amplia gama de problemas de programacin lineal se encuentran los problemas de transporte, los cuales poseen caractersticas particulares. En este caso especfico de problemas, es necesario determinar la ruta ms eficiente para hacer llegar productos o materiales desde puntos alternativos de origen hasta diferentes puntos de destino, cumpliendo las restricciones especficas de oferta y demanda y con base en la estructura de costos de las rutas de transporte.

Problemas de transporteDefinicin del problema Se tienen m lugares de origen. Cada lugar de origen tiene una capacidad de produccin Si. Se tienen n destinos. Cada destino j demanda Dj. Objetivo: Minimizar el costo de transporte de la carga al lugar de destino cumpliendo con las restricciones de los lugares de origen. Se tienen diversas tcnicas para abordar el problema de transporte requieren de una tabla de transporte, dicha tabla en su forma estndar registra todos los elementos esenciales del problema de transporte que estamos solucionando: costos de transporte; puntos de origen y destino, cantidades de oferta y demanda; tal y como se muestra a continuacin:

Problemas de transporte

En la tabla la demanda (33) es igual a la oferta (33), lo cual significa que el problema est balanceado y ello facilita la bsqueda de la solucin.

Problemas de transporte Caso I. Oferta igual a demandaEjemplo N 01- Farmacutica CarltonLa farmacutica Carlton abastece de drogas y otros suministros mdicos. Esta tiene tres plantas en: Claveland, Detroit, Greensboro. Tiene cuatro centros de distribucin en: Boston, Atlanta, St Louis. La gerencia de Carlton desea realizar el tarnsporte de . sus productos de la manera ms econmica posible.

DatosCosto de transporte por unidad, oferta y demanda.Desde Cleveland Detroit Greensboro Demanda Boston $35 37 40 1100 Hacia Richmond Atlanta 30 40 40 42 15 20 400 750 St. Louis 32 25 28 750 Oferta 1200 1000 800

Supuestos Todos los transportes ocurren simultneamente. El costo de transporte por unidad es constante Solo se considera el costo de transporte entre el lugar de origen y el de destino. La oferta total es igual a la demanda total.

SolucinOrgenes ClevelandS1=1200

RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA

DestinosD1=1100

Boston

RichmondD2=400

DetroitS2=1000

AtlantaD3=750

Greensboro St.LouisS3= 800 D4=750

Modelo matemticoLa estructura del modelo es la siguiente: Minimizar SA: Cantidad a transportar desde la fabrica = oferta de la fbrica cantidad a recibir por la distribuidora = demanda de la distribuidora. Variables de decisin: Xij = cantidad a transportar desde la fbrica i a la distribuidora j Donde i = 1(Claveland), 2(Detroit), 3(Greensboro) 1(Claveland), j = 1(Boston), 2(Richmond), 3(Atlanta), 4 (St,Louis) (St,Louis)

Oferta de Cleveland X11+X12+X13+X14 Oferta de Detroit X21+X22+X23+X24

= 1200 = 1000

Restricciones de la Oferta

Oferta de Greensboro X31+X32+X33+X34 = 800 X11

BostonD1=1100

ClevelandS1=1200

X12 X13 X14 X22 X21

X31

RichmondD2=400X32 X23

DetroitS2=1000

AtlantaX33 D3=750

X24

GreensboroS3= 800X34

St.LouisD4=750

El modelo matemtico completoMin Z = 35X11+30X12+40X13+32X14 + 7X21+40X22+42X23+25X24+ 40X31+15X32+20X33 + 28X34

Restriccione de la oferta: X11+ X12+ X13+ X14 X21+ X22+ X23+ X24 Restricciones de la demanda: X11+ X21+ X12+ X22+ X13+ X14+

= = X31+ X32+ X33+ X34 = X31 X32 = = = X34 =

1200 1000 800 1000 400 750 750

X23+ X24+

X33

Todos los Xij mayores que cero

El modelo matemtico completo

Minimizar s.a.

z ! cij xiji !1 j !1

m

n

xj !1 m i !1

n

ij

e ai u bi

i ! 1, 2,..., m , j ! 1 2,..., n i ! 1, 2,..., m; j ! 1, 2,..., n

x

ij

xij u 0

m= nmero de centros (orgenes) distintos n= nmero de destinos distintos cij=costo unitario de transporte del origen i al destino j xij=volumen de unidades del uno al otro ai=oferta bj=demanda

Para que este problema tenga Sumando las restricciones de solucin hay que verificar que oferta y las de demanda por el volumen ofertado siempre separado, se tiene: es superior que la demanda. m n m Es decir:

x e aij i !1 j !1 n m ij i !1 n

i

m i

n j i !1

a u bi !1

x u bj !1 i !1 i !1 n

j

Por tanto:

b e aj i !1 i !1

m

i

Hiptesis: la oferta coincide con la demanda en el problema del transporte:

a ! bi i !1 i !1

m

n

j

m

n

inimizar s.a.

z ! cij xiji !1 j !1 n

xj !1 m i !1

ij

! ai ! bi

i ! 1, 2,..., m j ! 1, 2,..., n i ! 1, 2,..., m; j ! 1, 2,..., n

x

ij

xij u 0

Minimizar

z ! cij xiji !1 j !1

m

n

xj !1 m i !1

n

ij

! ai ! bi

i ! 1, 2,..., m j !1, 2,..., n i ! 1, 2,..., m; j ! 1, 2,..., n

x

ij

xij u 0

x11 x12 ... x1n x x ... x 21 22 2n x11 x21 ... xm1 x12 x22 ... xm 2

! a1 ! a2

El problema puede ahora escribirse en forma matricial: Minimizar cx s.a. Ax=b x 0 donde x=(x11,x12,...,x1n,x21,...,xmn)T c=(c11,c12,...,c1n,c21,...,cmn)T b=(a1,a2,...,am,b1,b2,...,bn)T

M xm1 xm 2 ... xmn ! am! b1 ! b2

M x1n x2 n ... xmn ! bn

Mtodos para determinar una solucin factible bsica inicialEn los mtodos descritos a continuacin varia el tiempo para determinar la solucin de menos a mas. Sin embargo, el tiempo utilizado al obtener una buena solucin inicial esta bien empleado ya que permite reducir considerablemente el numero total de iteraciones requeridas para alcanzar una solucin optima. Los mtodos son los siguientes: 1.- Mtodo de la esquina NorOeste (N-O) 2.- Mtodo de la matriz mnima 3.- Mtodo de Vogel 4.- Mtodo de Russell.

LA REGLA DE LA ESQUINA NOROESTEEn Esta regla nos permite encontrar una solucin factible bsica inicial (SFBI), una vez que tengamos el problema de transporte balanceado o equilibrado, es decir que el total de ofertas iguales al total de demandas. PROCEDIMIENTO Se empieza en la celda (1,1) calculando X11 = min(a1,b1). Si a1b1; entonces se hace a1=a1-b1 y se pasa a la celda (1,2) para calcular x12 como mnimo de (a1,b2) y as se continua hasta obtener la solucin factible bsica inicial.

LA REGLA DE LA ESQUINA NOROESTEEjemplo Una Compaa tiene fabricas en A,B y C, las cuales proveen a los almacenes que estn en D,E,F y G. Las capacidades mensuales de las fabricas son 70, 90 y 115 (unidades) respectivamente. Los costos unitarios de embarque son los siguientes:Destino Origen A B C D 17 15 15 E 20 21 14 F 13 26 15 G 12 25 17

LA REGLA DE LA ESQUINA NOROESTEEs conveniente colocar todos los datos como se muestra a continuacin: Destino Origen O1 O2 O3 bj D1 17 15 15 50 D2 20 21 14 60 D3 13 26 15 70 D4 12 25 17 95 ai 70 90 115

Siguiendo el procedimiento establecido se tiene: X11 = X12 = X22 = X23 = X33 = X34 = min(a1,b1) = min(a1,b2) = min(a2,b2) = min(a2,b3) = min(a3,b3) = min(a3,b4) = min(70,50) = 50, a1 = a1-b1 = 70-50 = 20 min(20,60) = 20, b2 = b2-a1 = 60-20 = 40 min(90,40) = 40, a2 = a2-b2 = 90-40 = 50 min(50,70) = 50, b3 = b3-a2 = 70-50 = 20 min(115,20) = 20, a3 = a3-b3 = 115-20 = 95 min(95,95) = 95

LA REGLA DE LA ESQUINA NOROESTESituando la solucin en tabla: Destino D1 Origen O1 17 50 O2 15 O3 bj 15 50 D2 20 20 21 40 14 60 D3 13 26 50 15 20 70 D4 12 25 17 95 95 ai 70 90 115

Esto es: X11 = 50, X12 = 20, X22 = 40, X23 = 50, X33 = 20, X34 = 95 Las otras variables asumen el valor de cero. Observen que existen m+n-1 variables bsicas; esto es 4+3-1 = 6 variables bsicas (solucin no degenerada) El costo que implica esta solucin es:Costo = 17x50 + 20x20 + 21x40+ 26x50 + 15x20 +17x95 = 5,305

MATRIZ MINIMAAqu se debe acudir a la celda cuyo costo es el mas bajo de todos los que integran la matriz. Si existen varias se selecciona arbitrariamente una de ellas. Sea la celda (i,j) entonces xij = min(ai,bj) Si ai< bj, hgase bj=bj-ai y elimnese la Fila I Si bj < ai hgase ai=ai-bj y elimnese la Columna j Si ai = bj eliminese la Fila i o la Columna j pero no ambos.

MATRIZ MINIMAEjemplo:Continuando con el la tabla anterior y resolviendo por la matriz mnima Destino Origen O1 O2 O3 bj D1 17 15 15 50 D2 20 21 14 60 D3 13 26 15 70 D4 12 25 17 95 25 ai 70 90 115 55

Siguiendo el procedimiento establecido se tiene: 1.- Elegimos el menor costo, en este caso es 12, en la celda (1,4), entonces: X14 = min(a1,b4) = (70,95) = 70, b4 = b4 a1 = 95-70 = 25, Eliminar fila1 2.- El siguiente menor costo es 14, de la celda (3,2), se le asigna X32 = min(a3,b2) = (115,60) = 60, a3 = a3-b2 = 115-60 =55, Elimina Columna2.

MATRIZ MINIMADestino Origen O1 O2 O3 bj D1 17 15 15 50 D2 20 21 14 60 D3 13 26 15 70 15 D4 12 25 17 95 25 ai 70 90 40 115 55

3.- El siguiente menor costo es 15, ubicados en las celda (2,1),(3,3), buscamos cualde ellos se puede asignar la mayor cantidad, en este caso es la celda (3,3), luego: X33 = min(a3,b3) = min(55,70)=55, b3 = b3-a3 = 70-55 = 15, Eliminar fila3 Las celdas que quedan se llenan automticamente. X21 = min(a2,b1)=min(90,50) = 50, a2=a2-b1=90-50=40, Eliminar columna 1 X23 = min(a2,b3)=min(40,15) = 15, a2=a2-b3=40-15=25, Eliminar columna 3 X24 = min(a2,b4) =min(25,25) = 25.

MATRIZ MINIMASituando la solucin en tabla: Destino D1 Origen O1 17 O2 O3 bj 15 50 15 50 D2 20 21 14 60 60 D3 13 26 15 15 55 70 D4 12 70 25 25 17 95 ai 70 90 115

El costo total de esta solucin es: Costo = 12x70 + 15x50 +26x15 +25x25 +14x60 +15x55 =4,270 Se observa que este costo total es menor que el costo proporcionado por el mtodo de la equina NO. Significando que la solucin encontrada por el mtodo de la matriz mnima esta mas cerca al optimo.

METODO DE VOGELEste mtodo provee una solucin factible bsica inicial generalmente superior a los anteriores. El mtodo mide la diferencia entre los dos costos menores en cada fila o columna y este indica donde la no asignacin al costo menor significa la mayor perdida (Principio de la mas grande penalidad). El procedimiento es el siguiente: 1. Determinar la penalidad para cada fila y cada columna al no colocar en la solucin inicial la variable que tenga el menor costo en esta fila o columna. Para la fila i, esto significa respetar el costo mas pequeo de esta fila del siguiente costo mas pequeo de la misma fila en la matriz de costos. Si dos cotos de esta fila son ambos los mas pequeos la penalidad es cero. La penalidad de la columna j se calcula de una forma similar

METODO DE VOGEL2. Cuando se han calculado todas penalidades, localizar la mayor, ya sea una penalidad de fila o columna y ah introducir a la base Xij correspondiente a la celda de costo mas bajo (i,j) esto es: Xij = min(ai,bj), si ai