PROFESORA : SRA. PATRICIA EMPERATRIZ AQUEVEQUE SÁNCHEZ

CURSO : CONSTRUCCIÓN CIVIL (VESPERTINO)

SEMESTRE : 7MO SEMESTRE OTOÑO 2011

SEDE : RENCA

FECHA : 06 DE JULIO DEL 2011

ALUMNO : SR. PABLO RODRIGO CISTERNAS FIGUEROA

INACAP RencaConstrucción CivilResistencia de Materiales

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN Nº2

“TENSIONES COMBINADAS

ó COMPUESTAS”

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INDICE

A. INTRODUCCION. pág. 3

B. OBJETIVOS pág. 3

C. MARCO TEORICO pág. 4-5

1. Definiciones y Generalidades pág. 3

2. Criterio de Signos pág. 3

3. Tensiones en un Plano Inclinado pág. 3

4. Tensiones Principales y sus Direcciones pág. 3

5. Tensiones Cortantes en los Planos Principales pág. 3

6. Tensiones Normales en los Planos de Máxima Tensión Cortante pág. 3

7. Círculo de MOHR y la Determinación de Tensiones pág. 3

D. APLICACIÓN DEL CÍRCULO DE MOHR. pág. 6-30

E. CONCLUSIONES pág. 31

F. BIBLIOGRAFIA. pág. 32

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A. INTRODUCCION

El presente informe corresponde al estudio de las “Tensiones Combinadas ó Compuestas”, llamadas también “Esfuerzos Combinados” correspondientes a la 3ra Unidad, tratados anteriormente de manera separada, tales como tensiones en barras sometidas a carga axial, arboles sujetos a torsión y vigas sometidas a flexión, ahora bien serán tratados de manera conjunta, ya que actúan simultáneamente varias solicitaciones, determinando el estado de tensiones en estas condiciones teniendo cuidado al combinar valores dados por las expresiones simples, teniendo como objetivo el estudio del estado de tensiones en un plano arbitrario que corta a un elemento de un cuerpo sometido a varias solicitaciones simultaneas.

B. OBJETIVOS

1. OBJETIVO FINAL

Revisar las secciones de elementos sometidos a tracción, compresión o flexión según los criterios de resistencia (método elástico), rigidez, estabilidad (Pandeo), estudiando y analizando sus características combinado los distintos esfuerzos, aplicando el concepto de “núcleo de la sección o Método MOHR”, para finalmente desarrollar problemas de cálculo de las tensiones en elementos sometidos a esfuerzos combinados.

2. OBJETIVO GENERAL

El presente trabajo de investigación tiene la finalidad de “Aprender Haciendo”, al investigar, leer, seleccionar, y entender las materias de la unidad Nº3 “Tensiones Combinadas”, desarrollando 6 ejercicios aplicados del Círculo de MOHR, trabajo que será revisado y tratado por la docente posteriormente en clases para retroalimentar dicha materia antes de la evaluación correspondiente.

3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

a. Determinar las tensiones normales en elementos sometidos a esfuerzos axiales y de flexión, en base a sus características.

b. Desarrollar problemas de cálculo de tensiones en elementos sometidos a esfuerzos combinados

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C. MARCO TEORICO.

1. DEFINICIONES Y GENERALIDADES

El estado más general de esfuerzo en un punto puede representarse por seis componentes; el mismo estado de esfuerzo se representará mediante un conjunto diferente de componentes si se rotan los ejes.

Se estudiará un estado de esfuerzo tridimensional en un punto dado y se desarrollará ecuaciones para el cálculo del esfuerzo en un plano de orientación arbitraria en ese punto, se analizarán las rotaciones de un elemento cúbico con respecto a cada uno de los ejes principales de esfuerzo y se observará que las transformaciones de esfuerzos pueden describirse mediante tres círculos de MOHR diferentes. Se observará que en el caso de un estado de esfuerzo plano en un punto dado, el máximo valor del esfuerzo cortante, obtenido antes considerando rotaciones en el plano de esfuerzo, no representan necesariamente el máximo esfuerzo cortante en ese punto.

También se verá varios criterios de fluencia para materiales dúctiles bajo esfuerzo, como una aplicación de los esfuerzos tensionales tridimensionales, para predecir si un material fluirá en algún punto crítico.

Dos criterios comunes son: el criterio de la máxima resistencia a cortante y el criterio de la máxima energía de distorsión. Los dos criterios que se analizarán son: el esfuerzo normal máximo y el criterio de MOHR

a. Tensión Normal y tensión tangencial

Si consideramos un punto concreto de un sólido deformable sometido a tensión y se escoge un corte mediante un plano imaginario π que lo divida al sólido en dos, queda definido un vector tensión tπ que depende del estado tensional interno del cuerpo, de las coordenadas del punto escogido y del vector unitario normal nπ al plano π definida mediante el tensor tensión:

Usualmente ese vector puede descomponerse en dos componentes que físicamente producen efectos diferentes según el material sea más dúctil o más frágil. Esas dos componentes se llaman componentes intrínsecas del vector tensión respecto al plano π y se llaman tensión normal o perpendicular al plano y tensión tangencial o rasante al plano, estas componentes vienen dadas por:

Análogamente cuando existen dos sólidos en contacto y se examinan las tensiones entre dos puntos de los dos sólidos, se puede hacer la descomposición anterior de la tensión de contacto según el plano tangente a las superficies de ambos sólidos, en ese caso la tensión normal tiene que ver con la presión perpendicular a la superficie y la tensión tangencial tiene que ver con las fuerzas de fricción entre ambos.

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b. Tensión combinada

“Tensiones Combinadas ó Compuestas”, llamadas también “Esfuerzos Combinados”, tensiones en barras sometidas a carga axial, arboles sujetos a torsión y vigas sometidas a flexión, tratados de manera conjunta, ya que actúan simultáneamente varias solicitaciones, determinando el estado de tensiones en estas condiciones teniendo cuidado al combinar valores dados por las expresiones simples, teniendo como objetivo el estudio del estado de tensiones en un plano arbitrario que corta a un elemento de un cuerpo sometido a varias solicitaciones simultaneas.

c. Tensión Bidimensional: si separa de un cuerpo un elemento plano estará sometido a las tensiones normales σₓ σy, así como la tensión cortante τₓy

, conforme a la siguiente figura 1

2. CRITERIO DE SIGNOS

Para tensiones normales, se considera que las tensiones de tracción son positivas y las de compresión negativas. Para las tensiones cortantes, el sentido positivo que muestra la figura 1

Figura 1

σₓ

y

τₓy

σy

τₓy

τₓy

τₓy

σₓ

σy

θ

ₓ

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3. TENSIONES EN UN PLANO INCLINADO

Figura 2

Vamos a suponer que las tensiones que; σₓ σy, τₓy, son conocidas, y conveniente estudiar el

estado de tensiones en un plano inclinado un angulo θ respecto al eje x fig 1

Las tensiones normales y cortante en ese plano se representan por σn y τ fig 2 se demuestra que :

τₓy, sen 20

Por esta expresión pueden hallarse σn y τ para cada valor de θ

σy

τs

τₓy

τₓy

σₓ

σn

θ

ₓ

y

dx

dy

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4. TENSIONES PRINCIPALES Y SUS DIRECCIONES

a. Tensiones principales

Hay ciertos valores del angulo θ que hacen sea máximo o mínimo σn para un conjunto dado de tensiones σₓ σy, τₓy

, . Estos valores máximo y mínimo que puede adoptar σn se llaman

tensiones principales y están dados por

y

b. Direcciones de las tensiones principales, planos principales

Los ángulos, designados por θp´ entre el eje x y y los planos en que tienen lugar las tensiones principales están dados por la ecuación

Como se ve ahí, tenemos siempre dos valores de θp´ que satisfacen esa ecuación. La tensión máxima (σn) max tiene lugar en uno de esos planos y la (σn) min en el otro. Los planos definidos por los ángulos θp se llaman planos principales

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5. TENSIONES CORTANTES EN LOS PLANOS PRINCIPALES

Más adelante se demuestra que las tensiones cortantes en los planos en los que se producen (σn)

max y (σn) min son siempre nulas, para cualquier valor de σₓ σy, τₓy, así , pues un elemento

orientado según los planos principales y sometido a las tensiones principales aparece como en el diagrama adjunto

Figura 3

6. TENSIONES NORMALES EN LOS PLANOS DE MÁXIMA TENSIÓN CORTANTE

a. Tensión Cortante Máxima

Hay ciertos valores del Angulo θ que hacen sea máximo τ para un conjunto dado de

tensiones σₓ, σy τₓy,

. El valor máximo de la tensión cortante esta dado por

b. Direcciones de la tensión Cortante Máxima

Los ángulos Θ c entre el eje x y los planos en los que producen las tensiones cortantes máximas están dados por la ecuación

,tan-20 𝑐.= ,,,𝜎𝑥−𝜎𝑦-2..-τₓy. Siempre hay dos valores de Θ c que satisfacen esa ecuación.La tensión cortante correspondiente a la raíz cuadrada positiva de la formula expuesta se produce en uno de los planos representados por Θ c´ y las correspondientes a la raíz negativa en el otro.

Θ p

Θ p

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c. Tensiones Normales en los planos de máxima tensión Cortante

La tensión normal en cada uno de los planos de máxima tensión cortante (que están separados 90º) está dada por

σ´n = ,𝜎𝑥+𝜎𝑦-2. Por tanto un elemento orientado según los planos de máxima tensión cortante aparece como en la figura 4 adjunta.

Figura 4

½ (σₓ + σy )

Θ c

½ (σₓ + σy )

½ (σₓ + σy )

½ (σₓ + σy )

Θ c

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7. CÍRCULO DE MOHR Y LA DETERMINACIÓN DE TENSIONES

Todo lo expresado en las ecuaciones anteriores puede representarse gráficamente por el llamado Círculo MOHR.

En esta representación se llevan las tensiones normales sobre el eje horizontal y las cortantes en el vertical.

Se representan a escala las tensiones σₓ, σy τₓy,

y se traza un círculo por esos puntos, con centro en el eje horizontal.

El Círculo de MOHR para un elemento sometido al caso general de tensión plana es como sigue:

Figura 5

σₓ

τ

τₓy

τₓy

σn

σyn

2 θ cTensiónNormal

TensiónCortante

oc

b

l

n

m

k

j

h

g

f

e

d

2 θ p

2 θ

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a. Criterio de Signos utilizado con el Circulo MOHR

Se considera que las tensiones de tracción son positivas y las de compresión negativas, por lo que las primeras se representan en la figura anterior hacia la derecha del origen y las segundas hacia la izquierda. Con relación a las tensiones cortantes, se debe tener en cuenta que existe un criterio de signos diferente del que se utiliza en relación con las ecuaciones mencionadas anteriormente. Nos referimos a un elemento plano sometido a tensiones cortantes que aparece como en la figura adjunta. Diremos que las tensiones cortantes son positivas si tienden a hacer girar al elemento en el sentido de las agujas del reloj y negativas si en el contrario. Así pues en el elemento de la página anterior, las tensiones cortantes en las caras verticales son positivas y las de las horizontales, negativas

Figura 6

b. Determinación de las tensiones Principales por Medio del Circulo MOHR

Cuando se ha trazado el Circulo MOHR, las tensiones principales están representadas por los segmentos og y oh , respectivamente. Se pueden medir a escala o determinar geométricamente en la figura.

c. Determinación de Tensiones en un Plano Arbitrario por medio del Circulo MOHR

Para determinar las tensiones normal y cortante en un plano inclinado que forma un ángulo θ en sentido contrario a las agujas del reloj con el eje x, medimos un ángulo igual a 20 en el sentido mencionado, desde el diámetro bd del Círculo de MOHR.

Los extremos de este diámetro bd representan las condiciones de tensión en las direcciones

x-y originales, esto es, las tensiones σₓ, σy τₓy,

El ángulo 20 corresponde al diámetro ef .

Las coordenadas del punto f representan las tensiones normal y cortante en el plano que forma un ángulo θ con el eje x .

τₓy

τₓy

τₓy

τₓy

ₓ

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Esto es, la tensión normal σn viene representada por la abscisa on y la cortante por la ordenada nf .

D. APLICACIÓN DEL CIRCULO DE MOHR EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

DESARROLLO DE PROBLEMAS

1. Un elemento plano está sometido a las tensiones representadas en la figura (a) determinar, utilizando el círculo de MOHR:a. Las Tensiones Principales y sus Direccionesb. Las Tensiones Cortantes Máximas y las Direcciones de los Planos en que se

producen

Figura (a)

840 Kg/cm2

280 Kg/cm2

280 Kg/cm2

280 Kg/cm2

280 Kg/cm2

840 Kg/cm2

ₓ

y

2 θ c

TensiónNormalo

c

b

l

m

j

hg

d

2 θ p2 θ

280 Kg/cm2

280 Kg/cm2

840 Kg/cm2

TensiónCortante

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Figura (b)

La Tensión Cortante en las caras del elemento es; En las verticales positivas y en las horizontales negativas

El estado de tensiones esσₓ = 840 kg/cm2 τₓy

, = 280 Kg/cm2 en las caras verticales del elemento en el punto b y τₓy

, = -280 Kg/cm2 junto con una tensión normal nula en las caras horizontales en el punto dTrazamos la recta bd, hallamos el punto medio c y dibujamos un círculo de radio cb = cd con centro en c.Es el círculo MOHRLos extremos del diámetro bd representan el estado de tensiones que existe en el elemento si tiene la orientación original representada más arriba

a. Las Tensiones Principales y sus Direcciones

Las tensiones principales están representadas por los puntos g y hPuede determinarse su valor midiendo el diagrama anterior o comprobando que la coordenada de c es 420

Y que

Tensión Principal Mínima es

Tensión Principal Máxima es

El ángulo 2 θ p descrito antes está dado por

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=

Se puede también obtener este valor midiendo el angulo dh en el círculo de MOHR.Asi se ve fácilmente

b. Las Tensiones Cortantes Máximas y las Direcciones de los Planos en que se producen

2. Sss3.

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E. CONCLUSIONES

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F. BIBLIOGRAFIA

a. Resistencia de Materiales, Serie de compendios SCHAUM, teoría y problemas, William A. Nash, Capitulo 15 Tensiones Compuestas, Pag 240 a 270.

b. Resistencia de Materiales, Pytel Singer OXFORD, Capitulo 9 Esfuerzos Combinados, Pag 289 a 335.

c. Resistencia de Materiales Aplicada, Robert L. Mott, Capitulo 10 El caso general de los esfuerzos combinados y el Circulo MOHR, pag 361 a 404. Capitulo 11 Casos especiales de esfuerzos combinados, pag 405 a 428.

d. Raul C Borruat, “Elementos de Resistencia de Materiales”

e. Singer, Pytel, “Resistencia de Materiales, Alfa omega”,2009,9789701510568

f. Ruiz Cervera Miguel, “Mecánica de estructuras libro I resistencia de materiales”, UPC,2002,8483016222

g. Intranet Inacap, centro de documentación, documentos de mi profesor y material público

h. Tablas de Vigas soldadas serie IN, propiedades para el diseño, Instituto Chileno del Acero ICHA

i. Pagina web Instituto Chileno del Acero ICHA, www.icha.cl

j. Internet Wikipedia