Geometra PlanaGeometra PlanaLugar Geomtrico

S ll L G t i l j t dSe llama Lugar Geomtrico al conjunto depuntos del plano o del espacio que cumplen

una determinada propiedaduna determinada propiedad.

0),( yxFLugar geomtrico en el plano o en el

espacioespacio

L t i l i0),,( zyxF

Lugar geomtrico en el espacio1

La Recta en el PlanoLa Recta en el PlanoLa Recta es un lugar geomtrico, por ello, responde auna ecuacinuna ecuacin.

Para poder expresarla sern necesarios:Para poder expresarla sern necesarios:

1) Un punto perteneciente a la recta y una direccin1) Un punto perteneciente a la recta y una direccin (vector Director), o

2) Dos puntos pertenecientes a ella, o ) p p ,3) Un punto perteneciente a la recta y su pendiente

2

Ecuacin Vectorial de la RectaEcuacin Vectorial de la RectaI. Un Punto perteneciente a la recta y una direccin

P=(p1;p2)u

PX

O1

1OP X=(x;y)

OX

E i V t i l d l R t

Por sumas de Vectores: PXOPOX Ecuacin Vectorial de la Recta

Pero: entonces uPX uOPOX

Ecuacin Vectorial de la Recta

3

Ecuacin Paramtrica de la Recta en el lplano

Para deducirla se partir de la expresin vectorial:Para deducirla se partir de la expresin vectorial:uOPOX

);();();( 2121 uuppyx

Por igualdad de vectores debe verificarse:

);();();( 2121 ppy);();( 2211 upupyx

g

11upyupx

Ecuacin Paramtrica de la Recta

22 upy

4

Ecuacin Simtrica de la Recta en el lplano

Partiendo de la ecuacin paramtrica, despejamos :Partiendo de la ecuacin paramtrica, despejamos : 21

upy

upx

21 uu00 21 uu

Igualando lo anterior:

21 pypx 2

2

1

1

uu

Ecuacin Simtrica de la Recta5

Ecuacin General o Implcita de la R tRecta

Se partir de la ecuacin simtrica:

)()( 21112221122

2

1

1 puyupuxupyupxuupy

upx

Si en la ecuacin anterior llamamos:

00 211212211122 pupuyuxupuyupuxu

N d

211212 pupuCuBuA

Nos quedar:

E i G l I l it

0 CyBxAEcuacin General o Implcita

6

Ecuacin a partir de un punto y la di t d R tpendiente de una Recta

Se deber partir de la forma simtrica:

)()( 11

22

2

2

1

1 pxuupy

upy

upx

Si llamamos: rectapuntoppPypendienteuum );( 212

Quedar:

u1

)(Ecuacin de la Recta dados un punto y su pendiente

)( 12 pxmpy

7

Ecuacin Explcita de la RectaEcuacin Explcita de la RectaPartiremos de la ecuacin implcita, consideramos variable independiente e como variable dependiente:

)(x

)(variable independiente e como variable dependiente:)(y

BCx

BAyCAxByCByAx 0

Si llamamos se obtiene:

BB

CbASi llamamos, se obtiene: B

bB

m

bmxy Ecuacin Explcita de la Recta 8

Ecuacin de la Recta dados dos tpuntos

Sean y dos puntos de la recta y),( 11 yxA ),( 22 yxB Sean y dos puntos de la recta y sea un punto genrico de la recta anterior:

),( 11 y ),( 22 y),( yxP

Se consideran los tringulos ARB y ASP. De laproporcionalidad de sus lados resulta:

9

ASPS (1) i dARAS

BRPS (1) siendo

1yyPS 1xxAS

12 yyBR 12 xxAR

Reemplazando en (1) queda:

xxyy12

1

12

1

xxxx

yyyy

(2) con

12 xx 12 yy ; Ecuacin de la recta dada por dos puntosEcuacin de la recta dada por dos puntos

10

Llamando al ngulo que forma la recta con eli j iti d l

semieje positivo de las x:

yyt 12 mxxyytg 12

12 Se llama PendienteSi ahora en la ecuacin (2) hacemos:Si ahora en la ecuacin (2) hacemos:

12 yy yy 112

121 xxxx

yyyy

siendo mxxyy 12

12

S btiSe obtiene:)( 11 xxmyy

Ecuacin de la recta dado un punto y su pendiente11

Tipos de RectasTipos de RectasI) Recta que corta a los 2 ejes

0000 CByAxCBA

II) Recta paralela al eje x (Recta horizontal)C

III) Recta paralela al eje y (Recta vertical)BCyCByCBA 0000

III) Recta paralela al eje y (Recta vertical)

CCACA 0000ACXCAxCBA 000012

Ejemplos:241) 32

340234 xyyx

22)

)

3223023 yyy

1240243) 224024 xxx

13

Ecuacin Segmentaria de la RectaEcuacin Segmentaria de la RectaCuando la recta corta a los dos ejes, una forma de encontrar los puntos de corte es:

000 CBAuna forma de encontrar los puntos de corte es:

10 yCBx

CACByAxCByAx

1

Cy

Cx

CC

con 00 BA

BA00 BA

si ahora llamamos: tenemos:CbyCa si ahora llamamos: tenemos:B

byA

a

1byxba

Ecuacin Segmentaria de la recta14

ngulo entre dos rectasngulo entre dos rectasDesde el punto de vista vectorial el ngulo formado entre dos rectas es equivalente al ngulo formado porentre dos rectas es equivalente al ngulo formado porsus respectivos vectores directores:

S l t d i t i lSean las rectas de ecuaciones vectoriales:

vbbyxruaayxr );();(:);();(: 212211 yy );();();();( 212211El ngulo formado por estas rectas estar determinado por:

|v||u|

v u cos arc |v||u|

v u cos

|v| |u||v| |u|

15

Desde el punto de vista cartesiano, el problema seresolvera as sean:resolvera as, sean:

222111 :: bxmyrbxmyr

16

Todo ngulo exterior de un tringulo es igual a lasuma de los ngulos interiores no adyacentes,segn esta propiedad:

Aplicando la frmula de la tg de la diferencia de 2 ngulos:

12)()( mmtgtgtt

Aplicando la frmula de la tg de la diferencia de 2 ngulos:

12

12

11)()(

mmtgtgggtgtg

.

)( Segn el orden en que se consideren las rectas se obtendr:

o el suplementario )( o el suplementario17

Condiciones de Paralelismo y P di l id dPerpendicularidad

En forma Vectorial, sean las rectas en forma vectorial:

vbbyxruaayxr );();(:);();(: 212211Diremos que:I) Dos rectas son paralelas si lo son vurr //// 21

sus vectores directores

II) D t di l iII) Dos rectas son perpendiculares si lo son sus vectores directores

vurr 21

18

En forma cartesiana el problema se resuelve de lai i tsiguiente manera:

I) Dos rectas son paralelas si forman un ngulo de 0I) Dos rectas son paralelas si forman un ngulo de 0

001

0 1212 mmmmtg

12 mm 1 1212 mmg 12 mm 012 tgmm 0 Recprocamente si

Es condicin necesaria y suficiente para que dosy p qrectas sean paralelas que sus pendientes seaniguales.

19

II) Dos rectas son perpendiculares si forman un ngulo de90

12

12

1290

mmmmtgtg

La tangente de 90 no est definida, por lo tanto debe ser cero el denominador:

01 12 mm1

21m

m

01 12 mm 2 Recprocamente si

Es condicin necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares que sus p p qpendientes sean recprocas y opuestas.

20

Haz de Rectas que pasan por un puntoHaz de Rectas que pasan por un puntoEs evidente que por un punto pasan infinitas rectas, si alpunto en cuestin lo simbolizamos con las yxApunto en cuestin lo simbolizamos con las infinitas rectas que pasan por l forman un haz de rectas

f l i d d

00 , yxA

cuya frmula viene dada por: 00 xxmyy

21

Ecuacin de la Recta en el EspacioEcuacin Vectorial, Paramtrica y Simtrica

Por suma de vectores: peroE t

PPOPOP 00 uPP 0OPOP Entonces: con

Ecuacin Vectorial de la Recta

uOPOP 0 );;();;();;( 000 zyx uuuzyxzyx

Ecuacin Vectorial de la Recta22

Ecuacin Paramtrica y SimtricaPartiendo de la ecuacin anterior y despejando cadauna de las variables: xuxx 0

z

yuzzuyy

0

0

Ecuacin Paramtrica de la RectaDespejando de cada ecuacin el parmetro e igualando:

000 zyx uzz

uyy

uxx

, , 0 000

zyxzyx

y

uuuuzz

uyy

uxx

Ecuacin Simtrica de la Recta

y

23

Ecuacin Vectorial, Paramtrica y Simtrica d l R t d d d tde la Recta dados dos puntos

Obtenemos el vector director:

con2101212121221 );;( PPOPOPzzyyxxPPPPu

);;();;();;( 121212000 zzyyxxzyxzyx

)( 121 xxxx con

)()()(

121

121

121

zzzzyyyy

12

1

12

1

12

1 zzzz

yyyy

xxxx

121212

121212

con zzyyxx

yy

24

Ecuacin de primer grado en x, y, zEl PlanoEl Plano

Ecuacin del plano, dados un punto y una direccinnormalnormal

El vector pertenece al plano, por ello, es perpendicular al vector (normal) entonces:

PP1uperpendicular al vector (normal) , entonces:u

01 uPP 25

Expresiones de la ecuacin del Plano

Escribiendo a cada vector en funcin de sus componentes

0);;();;( uuuzzyyxx0)()()(

0);;();;(

111

111

zzuyyuxxuuuuzzyyxx

zyx

zyx

Aplicando propiedad distributiva y agrupando los trminos Independientes:

0)( zuyuxuzuyuxuHaciendo: trmino independiente

0)( 111 zuyuxuzuyuxu zyxzyx DuCuBuA zyx

0 DCzByAxEcuacin General del Plano

26

Ecuacin Segmentaria del PlanoSi entonces en hacemos:0D 0 DCzByAx

1 zDCy

DBx

DA 1

CDz

BDy

ADx

Llamando:entonces

CBA

DcDbDa C

cB

bA

a

zyx 1cz

by

ax

Ecuacin Segmentaria del Plano27

Interseccin del Plano con los ejes d dcoordenados

Si entonces: axzy 0,0 )0;0;(1 aP Si entonces: Si entonces:

byzx 0,0);0;0(3 cP )0;;0(2 bP

czyx 0,0

28

Ecuacin del Plano determinado por tres t li dpuntos no alineados

Sean los puntos );;();;;();;;( 222211110000 zyxPzyxPzyxP No alineados:

29

Ecuacin del plano determinado por tres puntos no alineadosalineados

La ecuacin del plano determinado por esos tres puntos no alineados est dada por:no alineados est dada por:

000 zzyyxx0

020202

010101

000

zzyyxxzzyyxx

yy

020202 yy

30

Posiciones del Plano respecto de los ejes y l l d dlos planos coordenados

Si en la ecuacin (A) hacemos:0 DCzByAx

Plano que pasa por (0,0,0) 00 CzByAxD

Si en la ecuacin (A) se cumple que:

1) Plano paralelo al eje Z2) Pl l l l j Y

00 DByAxC00 DCAB2) Plano paralelo al eje Y

3) Plano paralelo al eje X00 DCzAxB00 DCzByA

31

Posiciones del Plano respecto de los ejes y l l d dlos planos coordenados

Si en la ecuacin (A) hacemos:1)

Plano que contiene al Eje X000 CzByDA

2) 000 CzAxDBPlano que contiene al Eje Y

3)3) Plano que contiene al Eje Z

000 ByAxDC

32

Posiciones del Plano respecto de los planos d dcoordenados

Si en la ecuacin (A) se considera siempre y: 0D

1) ADxDAxACB 0000

Plano paralelo al plano YZ

) D2)Plano paralelo al plano XZ B

DyDByBCA 0000

3)Pl l l l l XY

CDzDCzCBA 0000

Plano paralelo al plano XY 33

Ecuaciones de los Planos CoordenadosSi en la ecuacin (A) se considera siempre y: 0D

1) Ecuacin del Plano Coordenado YZ

0000 xAxCB

2) 0000 yByCAEcuacin del Plano Coordenado XZ

3) Ecuacin del Plano Coordenado XY

0000 zCzBA

34

Trazas de un PlanoSon las intersecciones del plano con cada uno de losSon las intersecciones del plano con cada uno de losPlanos coordenados, analticamente es resolver:Ecuacin de la traza sobre el plano XYEcuacin de la traza sobre el plano XY

00

0 DByAxDCzByAx

Ecuacin de la traza sobre el plano XZ0 yz

0 DCzByAx

Ecuacin de la traza sobre el plano YZ

00

0

DCzAxy

DCzByAx

Ecuacin de la traza sobre el plano YZ

00

DCzByDCzByAx

0 y

x35