02 02 Modelos.doc 1 1.Modelos Matemticos y Experimentales 1.Modelos Matemticos y Experimentales _____________________________ 1 1.1. Definicin _________________________________________________________________________________________________________ 2 1.2. Tipos de Procesos __________________________________________________________________________________________________ 2 1.3. Tipos de Modelos ___________________________________________________________________________________________________ 3 1.4. Transformada de Laplace____________________________________________________________________________________________ 4 1.5. Funcin de Transferencia____________________________________________________________________________________________ 7 1.6. Funcin transferencia y ecuaciones de estado ___________________________________________________________________________ 8 1.7. Linealizacin ______________________________________________________________________________________________________ 12 1.8. Retardos de Trasporte ______________________________________________________________________________________________ 13 1.9. Escalado _________________________________________________________________________________________________________ 17 1.10. Diagramas de bloques _____________________________________________________________________________________________ 18 1.10.1. lgebra de bloques ____________________________________________________________________________________________________________ 20 1.11. Efecto temporal de Polos y Ceros____________________________________________________________________________________ 21 1.12. Resumen ________________________________________________________________________________________________________ 32 02 02 Modelos.doc 2 1.1. Definicin un modelo es una descripcin y reproduccin de un proceso determinado para ana-lizar su comportamiento. 1.2. Tipos de Procesos Hay muchas formas de clasificar los procesos y sus modelos, de acuerdo a su funcin: vlvulas, tanques, hornos por industria: metalurgia, automotriz, alimentos por sus caractersticas fsicas: trmicos, qumicos Los ingenieros de control los clasifican de acuerdo a sus caractersticas dinmicas: linealidad estabilidad resonancia retardos adelanto o retraso de fase 02 02 Modelos.doc 3 1.3. Tipos de Modelos AtributoAtributo antagnico Determina si. . . SISOMIMO...lasecuacionesdelmodelotienen una entrada y una salida. LinealNo lineal...lasecuacionesdelmodelosonli-neales en las variables del sistema. EstacionarioNo Estacionario...losparmetrosdelmodeloson constantes. ContinuoDiscreto...lasecuacionesdescribensucom-portamientoencadainstantedetiem-po, o slo en muestras discretas. Entrada-salidaEspacio de estados...lasecuacionesdependenslode las entradas y las salidas, o tambin de variables de estado. 02 02 Modelos.doc 4 1.4. Transformaciones ( ) utG( ) yt Lo que se busca es encontrar una descripcin del sistema de modo que exista una relacin algebraica entre entrada y salida: Y G U = [1.1] En el dominio tiempo, lo ms cercano a esto es el producto de convolucin ( ) ( ) ( ) ( )( )yt gt ut g ut d = - = }[1.2] donde ( )gtes la respuesta del sistema cuando es excitado por una delta de Dirac Es un poco complejo para resolver Se buscan transformaciones, 02 02 Modelos.doc 5 En el dominio frecuencial y mediante la Transformada de Fourier se logra que ( ) ( ) ( )Y G U = [1.3] en donde ( )Y y ( )U son las transformadas de Fourier de la salida y la entrada y( )G e la respuesta en frecuencia de la planta. Pero esta transformada no es cmoda para trabajar con seales no peridicas. 02 02 Modelos.doc 6 1.4.1. Transformada de Laplace { }0-stsX(s) x(t) x(t)dtes = +j = = }[1.4] La propiedad fundamental es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )gt ut Gs Us Y s - = = [1.6] 02 02 Modelos.doc 7 1.5. Funcin de Transferencia Relacin entre entraday salida en transformadade Laplace con condiciones inicia-les nulas. Generalmente incluye la dinmica de los actuadores y sensores. Sistemas lineales, estacionarios, en tiempo continuo ( ( 1 ( ( 10 1 1 0 1 1n n m mn n m may a y a y ay b u b u b u bu + + + + = + + + + [1.7] ( )( )( )11 1 011 1 0m mm mn nn nBsbs b s b s bGsAs a s a s a s a+ + + += =+ + + +[1.9] con m n < se puede factorizar ( )( ) ( )( ) ( )11mnKs z s zGss p s p = [1.10] 02 02 Modelos.doc 8 1.6. Funcin transferencia y ecuaciones de estado Un sistema podra describirse en forma de ecuaciones de estado ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x t Ax t Buty t Cx t Dut= += +[1.11] ... si aplicamos Transformada de Laplace obtenemos las ecuaciones algebraicas ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 sX s x AX s BUsY s CX s DUs = += +[1.12] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 10 X s sI A x sI A BUs = + [1.13] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 10 Y s CsI A B DUs CsI A x (= + + [1.14] la funcin de transferencia ser ( ) ( )1Gs CsI A B D= + [1.15] (no contempla las condiciones iniciales) Terminologa izceros de ( )Gs02 02 Modelos.doc 9 ippolos de ( )Gs( )000bK Ga= = ganancia esttica de ( )Gs( )000bK Ga= = ganancia esttica de ( )Gsn m grado relativo de ( )Gscuandon m = , mb es la ganancia de alta frecuencia de ( )Gscuandon m > , ( )Gses estrictamente propia cuandon m = , ( )Gses bi propia Los polos complejos de la Funcin de Transferencia aparecen con su conjugado ( )( )( )210 106 10 3 3Gss s s j s j= =+ + + ++[1.16] La funcin de transferencia se puede expresar como suma de fracciones simples: ( )215 7,5 7,58 15 3 5Gss s s s= = + + + +[1.17] 02 02 Modelos.doc 10 Diferentes sistemas fsicos pueden tener igual Funcin de Transferencia Orden del Sistema: potencia en S ms alta del denominador 02 02 Modelos.doc 11 02 02 Modelos.doc 12 1.7. Linealizacin Todo sistema es no lineal Consideracin: Desviacin pequea del punto de trabajo Desarrollo en serie de Taylor ( )() ( ) ( )22212!x xx xy f xdf d ff x x x x xdx dx==== + + +[1.18] en forma aproximada, ( )y y Kx x = + [1.19] x xdfKdx== [1.20] y K x A = A [1.21] es lineal eny Ayx A02 02 Modelos.doc 13 1.8. Retardos de Trasporte Transformada de un Impulso ( ) { } ( )01-stsL t tdte = =}[1.22] Impulso Desplazado en un tiempo T ( ) { }-sTsL t Te = [1.23] No es racional 02 02 Modelos.doc 14 Aproximacin: 2 32 322 32 3 21 112 2! 2 3! 21 112 2! 2 3! 2T- s-sTTsT T Ts s se eT T Tes s s| | | | + + ||\ . \ .= =| | | |+ + + + ||\ . \ .[1.24] Limitando trminos se obtienen distintas aproximaciones Primer orden 212212-sTTs sT eTs sT = =+ +[1.25] 02 02 Modelos.doc 15 Segundo orden: 22221 2 212 2! 22 2112 2! 2-sTT Ts s s jT T eT Ts js sT T| | | | + ||\ . \ .= =| || |+ + +| |\ .\ .[1.26] 2T2T2 2jT T+2 2jT T2 2jT T 2 2jT T + 02 02 Modelos.doc 16 Aproximacin menos precisa: 1sTe Ts= [1.27] 1 11sTsTee Ts= =+[1.28] 02 02 Modelos.doc 17 1.9. Escalado Un factor importante antes de trabajar con un modelo es hacer una buena seleccin de los factores de escala (unidades) para las variables y el tiempo. Unbuenescalamientoharlosclculosmssimplesymsprecisosydisminuir enormemente los problemas de simulacin en computador. 02 02 Modelos.doc 18 1.10. Diagramas de bloques Capturan la esencia del sistema en un formalismo grfico abstracto de simple mani-pulacin. Representan el flujo y procesamiento de las seales dentro del sistema. Los diagramas de bloques permiten ver la similitud esencial entre distintos tipos de sistemas (independizan del dominio fsico). Bomba 02 02 Modelos.doc 19 Sistema fsico seal de velocidadCaudal de salidaBomba Diagrama de Bloques uFuncin de transferencia GyCaudal de Salida Seal de Velocidad 02 02 Modelos.doc 20 1.10.1. lgebra de bloques 02 02 Modelos.doc 21 1.11. Efecto temporal de Polos y Ceros "Hoy es fcil y muy didctico calcular polos, ceros, respuesta al escaln y divisin en fracciones simples" g=tf(1,poly([-1]));[y,t]=step(g);plot(t,y);grid;axis([0 6 0 1.5]) pzmap(g);sgrid;axis([-2 1 -1 1]) 0 1 2 3 4 5 600.511.5Real AxisImag AxisPole-zero map-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 02 02 Modelos.doc 22 g=tf(.5,poly([-.5])) 0 1 2 3 4 5 600.511.5Real AxisImag AxisPole-zero map-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 g=tf(.5,poly([.5])) 0 1 2 3 4 5 600.511.5Real AxisImag AxisPole-zero map-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 02 02 Modelos.doc 23 g=tf(1,poly([0])) 0 500 1000 1500050010001500 Pole-Zero MapReal AxisImaginary Axis-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.810.24 0.46 0.64 0.78 0.870.930.970.9920.24 0.46 0.64 0.78 0.870.930.970.9920.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 Para una funcin de transferencia de Primer Orden, ( )( )( )11KY sKGsUs ss= = =++ La respuesta temporal a un escaln es, ( )( )1111tKyt L K es s | |= = |+\ . 02 02 Modelos.doc 24 g=tf(5,poly([-.4+2.2i -.4-2.2i])) (85 grados) 0 1 2 3 4 5 600.20.40.60.811.21.41.61.82Real AxisImag AxisPole-zero map-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5 g=tf(5,poly([-.87+2.06i -.87-2.06i])) (75 grados) 0 1 2 3 4 5 600.20.40.60.811.21.41.61.82Real AxisImag AxisPole-zero map-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5 g=tf(5,poly([-1.9-1.17i -1.9+1.17i])) 02 02 Modelos.doc 25 0 1 2 3 4 5 600.20.40.60.811.21.41.61.82Real AxisImag AxisPole-zero map-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5 g=tf(20,poly([-.8-4.4i -.8+4.4i])) 0 1 2 3 4 5 600.20.40.60.811.21.41.61.82Real AxisImag AxisPole-zero map-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-5-4-3-2-1012345 02 02 Modelos.doc 26 Para una funcin de transferencia de Segundo Orden, ( )( )( )( )( )2 22 22 221 1n nn nn n n nY sK KGsUs s ss j s j = = =+ ++ + + La respuesta temporal a un escaln es, ( )( )( )( )( )( )21 12 2 2 22 2 2 2121 1nn nn nn n n nKsK K Kyt L Ls s s ss s | |+ | | |= = |+ +|+ + + + \ .\ . ( )22211 11ntneyt K sen t arctg | || || | | | = +| | | |\ .\ .\ . 02 02 Modelos.doc 27 Ceros g=tf(2/3*poly([-3]),poly([-1 -2])) 0 1 2 3 4 5 6-1-0.500.511.52Real AxisImag AxisPole-zero map-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 02 02 Modelos.doc 28 g=tf(2/1.5*poly([-1.5]),poly([-1 -2])) 0 1 2 3 4 5 6-1-0.500.511.52Real AxisImag AxisPole-zero map-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 g=tf(2/.5*poly([-.5]),poly([-1 -2])) 0 1 2 3 4 5 6-1-0.500.511.52Real AxisImag AxisPole-zero map-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 02 02 Modelos.doc 29 g=tf(-2/.5*poly([.5]),poly([-1 -2])) 0 1 2 3 4 5 6-1-0.500.511.52Real AxisImag AxisPole-zero map-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 g=tf(-2/1.5*poly([1.5]),poly([-1 -2])) 0 1 2 3 4 5 6-1-0.500.511.52Real AxisImag AxisPole-zero map-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 02 02 Modelos.doc 30 g=tf(-2/2.9*poly([2.9]),poly([-1 -2])) 0 1 2 3 4 5 6-1-0.500.511.52Real AxisImag AxisPole-zero map-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 Las plantas con ceros en el semiplano positivo se llaman plantas de fase no mnima o de respuesta inversa (pndulo invertido, gras) 02 02 Modelos.doc 31 02 02 Modelos.doc 32 1.12. Resumen Para poder disear en forma sistemtica un controlador para un sistema es necesa-riodisponerdeunadescripcinformalaunqueposiblementesimpledelmis-mo. Esta descripcin es el modelo matemtico del sistema. Los modelos matemticos pueden obtenerse en forma experimental o analtica, y en general, en la prctica, mediante una combinacin de ambos mtodos. En general, los modelos matemticos involucran un conjunto de ecuaciones diferen-cialesnolineales.En muchos casos, estas ecuaciones puedenlinearizarse alrede-dordeunpuntodeoperacin,conloqueseobtieneunmodeloincrementallineal mucho ms tratable. La eleccin de unidades adecuadas (escalado) de las variables y el tiempo permite mejorar los modelos desde el punto de vista computacional. Lasfuncionestransferenciadescribenlaspropiedadesentrada-salidadelossiste-mas en forma algebraica en el dominio Laplace.