02 modelos lineales

Programación Lineal:

Modelos de PL

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Agenda

Componentes de un proyecto de IO

Construcción de Modelos

Modelos, tipos

Modelo Matemático

Modelo de PL

Formulación de modelos de PL

Problemas

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Componentes de un proyecto de la I.O.

Estudio de la organización

Interpretación de la organización como un sistema

Definición de los problemas de la organización

construcción de modelo

resolución del modelo

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Componentes de un proyecto de la I.O.

Prueba del modelo

Diseño y control asociado a las soluciones

Implantación

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Definición de los problemas de la organización

¿Cuáles son los problemas que tiene la organización?

Describir cada uno de ellos

Delimitar su ámbito

Identificar los entes afectados

Recolección de datos o información

Análisis de costo-beneficio

Recomendaciones

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Construcción de modelos

Pasos a seguir:

Selección del modelo adecuado

Selección de los datos de entrada

Formulación

Construcción simbólica

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Modelos

Es una representación simplificada e idealizada de la realidad

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Modelos

Tipos:

Matemáticos o Físicos

Estáticos o Dinámicos

Determinísticos o Estocásticos

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Modelo matemático

Un modelo matemático es una representación idealizada y simplificada de un sistema, expresada en términos de símbolos y expresiones matemáticas

Ej: F=m.a

El modelo matemático de un problema económico, es el sistema de ecuaciones y expresiones matemáticas relacionadas que describen la esencia del problema

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Modelo matemático

Queda definido Por:

n decisiones variables de decisión

Medida de desempeño conjunto Función

objetivo (F.O.)

Conjunto de limitaciones restricciones

Ecuaciones y desigualdades

Coeficientes y los lados derecho parámetros

nxxxx ,...,, 321

nn xxxxxxfZ 15...53),...,,( 2121

8142 421 xxx


Modelo de PL

Es un modelo matemático, cuyas funciones son lineales

Todo modelo de PL tiene:

Una Función Objetivo

Variables de decisión

Conjunto de restricciones

Criterio de optimización (máx. ó min)


Modelo de PL

Ejemplo: Una compañía fabrica 2 productos en 4 secciones distintas de fabricación A, B,C y D, todas colocadas en serie

Las decisiones de producción (variables de decisión) dependerán: de la capacidad de la fabrica y de la disponibilidad de los recursos(restricciones)

y al fabricante le preocupará satisfacer la demanda a un costo de producción (objetivo) mínimo (criterio).


Selección de los datos de entrada

Información necesaria y que puede venir de registros históricos, pruebas, experimentos actuales o aún corazonadas basadas en la experiencia.

Estos datos constituyen los parámetros del problema


Formulación del Modelo de PL

Consideraciones para la formulación:

Cree un modelo en forma verbal: restricciones y objetivo

Identifique las variables de decisión

Identifique los datos del problema

Exprese cada restricción y función objetivo en términos de las variables de decisión


Formulación del Modelo de PL

Las restricciones son de requerimiento

Las restricciones son limitaciones


Formulación de modelo de PL

Un carpintero fabrica sillas y mesas, su producción esta limitada por lo siguiente:

listones mano de Utilidad

de madera obra

c/silla requiere 4 3 horas 900 c/mesa requiere 4 6 horas 600 Dispone x sem. 36 48 horas Determinar el plan de producción óptimo



Qué se desea? Un plan de producción óptimo

Como se consigue? Haciendo máxima la producción

La producción se refiere a la cantidad de sillas y mesas

Variable de decisión: Número de sillas y mesas

que debe producir a la semana

x1 : Número de sillas a producir x sem.

x2 : Número de mesas a producir x sem



Objetivo: Obtener mayores (máxima) utilidades (beneficio), en base a las sillas y mesas a producir

F.O : Z = 900 x1 + 600 x2

Como se desea que sea máxima

Maximizar Z= 900 x1 + 600 x2



Qué limitaciones existe? La mano de obra y los listones de madera

Restricción de Madera: 4 x1 + 4x2 < 36

Restricción de M.O: 3 x1 + 6x2 < 48

Solo eso? La producción no puede ser negativa

Restricciones de no negatividad

x1 ,x2 > 0


Construcción simbólica (modelo)

Maximizar 900 x1 + 600 x2

s.a. 4 x1 + 4x2 < 36

3 x1 + 6x2 < 48

x1 ,x2 > 0

x1 : Número de sillas a producir x sem.

x2 : Número de mesas a producir x sem.

Restricciones

Rango de existencia

Función

Objetivo

Variables de decisión

Criterio

Datos

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Etapas en la formulación de un modelo

Definición de las variables de decisión

Determinación de los Coeficientes de costos (o utilidades)

Definición de la Función objetivo

Determinación de los Coeficientes tecnológicos y lado derecho de restricciones

Definición de las Restricciones funcionales

Definición de las Restricciones de signo

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Problema de asignación de recursos

El señor León tiene un pequeño camión con capacidad de 20m3 en el cual transporta mercaderías. Una reconocida empresa de la ciudad le ha contratado para hacer acarreos de mercaderías, desde la planta de producción, hacia los puntos de distribución. La mercadería está empacada en cajas de 3 tamaños diferentes. Además la ganancia por transportar cada tipo de caja es distinta.

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Caja tipo 1 => 1m3 , S/1000 c/u

Caja tipo 2 => 1.2m3 , S/1120 c/u

Caja tipo 3 => 0.8m3 , S/900 c/u

¿Cómo debe llenar el señor León su camión para maximizar las ganancias en cada viaje que realice, si tiene que transportar como mínimo 8 cajas tipo 1 y 5 cajas tipo 3 en cada viaje ?

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Definición de las variables de decisión

X1 : número de cajas tipo 1 a transportase en cada viaje (cja/viaje)



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Coeficientes de costos (utilidades)

Datos

Función Objetivo

Z: Ganancia total (soles) por el transporte de los 3 tipos de cajas en cada viaje.

Max Z = 1000X1+ 1120X2 + 900X3

[soles/ caja]* [caja/viaje]=[soles/ viaje]

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Coeficientes tecnológicos y de lado derecho

Datos

Restricciones funcionales

R1: capacidad del camión (recurso)

1X1 + 1.2 X2 +o.8 X3 ≤ 20

[m3 /caja] * [caja/viaje] = [m3/viaje]

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R2: mínimo de mercancía tipo 1 (requerimiento)

x1≥8 [caja/viaje]

R3: Mínimo de mercancía tipo 3

x3≥5 [caja/viaje]

Restricción de signo

X1,x2,x3 ≥0

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Modelo completo

Max Z = 1000X1+ 1120X2 + 900X3

s.a

1X1 + 1.2 X2 +o.8 X3 ≤ 20

x1 ≥ 8

x3 ≥ 5

X1,x2,x3 ≥0


Problema de dieta

Una dieta para ganado requiere que el alimento que se consuma tenga los 4 grupos básicos: Harina, grasas, proteínas, minerales.

Los costos asociados a cada grupo son:

50,20,30y 80 soles por quintal y la cantidades mínimas a ingerirse cada día es:

500,28,50,68 onzas


Problema de dieta

La tabla siguiente muestra el contenido nutricional de cada alimento

Harinas grasas proteínas minerales

alimento1 400 8 15 2

alimento2 200 15 30 15

alimento3 150 10 5 8

alimento4 500 0 3 5


Problema de dieta

Determine la mejor combinación de alimentos de forma a obtener una dieta con el requerimiento nutricional diario a menor costo.


Problema de Mezcla

Un laboratorio fabrica el medicamento Rozac a partir de cuatro productos químicos. Hoy deben producir 1000 lb del fármaco. Los tres ingredientes activos de Rozac son A, B y C. Por peso, por lo menos 8% de Rozac debe ser A, por lo menos 4% de B y por lo menos 2% de C. El costo por libra de cada producto químico y la cantidad de cada ingrediente activo en una libra de cada producto se proporciona en la tabla siguiente.


Problema de Mezcla

Producto químico Costo ( $ x lb) A B C

1 8 0.03 0.02 0.01

2 10 0.06 0.04 0.01

3 11 0.10 0.03 0.04

4 14 0.12 0.09 0.04

Es necesario que se utilicen por lo menos 100 lb del producto químico 2. presente un modelo de PL. para determinar la forma mas barata de producir el lote de Rozac.

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