01 código de numeración

Sistemas Informticos Monousuario y Multiusuarios

TEMA 1: SISTEMAS Y CDIGOS DE NUMERACIN

1. Introduccin

Informtica: informacin + automtica

Ordenador: Mquina compuesta por elementos fsicos, en su mayora de origen electrnico, capaz de realizar una gran variedad de trabajos a gran velocidad y con gran precisin. Permite el tratamiento automtico de la informacin, facilitndonos su organizacin, proceso, transmisin y almacenamiento.

Un ordenador se compone de Hardware y Software.

Hardware o parte fsica (monitor, teclado, ...): el conjunto de sus componentes forma el sistema informtico.

Software o parte lgica (programas para que funcione el Hardware): instrucciones, programas y aplicaciones informticas. Hay dos tipos:

- De sistema (S.O.), es el que nos ayuda a manejar la parte fsica del ordenador.- De aplicacin, los dems programas.

Firmware: parte intangible de los componentes Hardware. Ej: memorias internas, ROM.

Estructura de un ordenador

Memoria Principal

Microproc.

Buses E/S

C1 P1

C2 P2

El microprocesador o CPU se divide en- Unidad de control (UC). Es el cerebro. Mira la orden del programa y segn

cual sea, la manda a circuitos del ordenador.- Unidad aritmtico-lgica (UAL). Hace operaciones aritmticas (+, -, *, /) y

lgicas (>,


Podemos definir informacin como datos, todo aquello que es capaz de ser manejado por un sistema, como entrada, programa o resultados. Todo aquello que se puede leer o escribir.

Los sistemas de informacin los podemos clasificar en sistemas de flujo de informacin y sistemas de tratamiento de informacin. Independientemente del sistema que se est procesando la informacin, debemos saber que esta informacin estar representada por smbolos. Los smbolos por s solos no constituyen informacin, si no que la representan.

Una computadora debido a su origen electrnico, maneja seales digitales, de manera que todos sus cdigos internos se basan en el sistema binario.

En Informtica la unidad mnima de informacin es el BIT. Es un valor binario que puede valer 0 1. Como unidad de informacin mnima, representa la informacin correspondiente a la ocurrencia de un suceso entre dos posibilidades distintas. Puesto que la informacin se representa por medio de caracteres e internamente se codifica en un alfabeto binario, podemos definir el byte como el nmero de bits necesarios para almacenar un carcter. Este nmero depender del cdigo utilizado por el ordenador, pero en general suele ser 8 por lo que se dice que un byte son 8 bits. Como el byte es una unidad muy pequea se suelen utilizar mltiplos:

2. Sistemas de numeracin

Existen muchas formas de representar las magnitudes cuantitativas, mediante los denominados sistemas de numeracin. Un nmero expresado en un sistema de numeracin tiene la siguiente expresin:

Nmero = an-l . bn-l + + a0 . b0 + a-l . b-l + + a-p . b-p

b: Base del sistema de numeracin, que indica el nmero de smbolos distintos que podemos emplear.

n y p: Son el nmero de dgitos que tiene ese nmero.

Las bases ms usuales son: Binario (0, 1): dos smbolos. Octal (0, 1,2,3,4,5,6,7): ocho smbolos. Decimal (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9): diez smbolos. Hexadecimal (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F): 16 smbolos.

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bytes bytes (KB) Petabyte1

bytes bytes (KB) Terabyte1

bytes bytes 24 0737418 1 bytes (KB) Gigabyte1

bytes bytes 576 048 1 bytes (KB) Megabyte1

bytes bytes 024 1 bytes (KB) Kilobyte1

102102

102102

102

1550

1240

930

620

310

=

=

==

==

==


1.1. Conversin entre bases

Conversin de una base cualquiera a una base decimal

Se expresa en potencia de la base elevado a la posicin que ocupa por el nmero dado en dicha base y se opera, obtenindose as su correspondiente nmero en la base decimal.Ej.: Pasar a decimal el nmero 10010,01

Conversin de base decimal a cualquier base

Se expresa dividiendo la parte entera entre la base y cogiendo los restos desde el ltimo, y la parte decimal multiplicando por la base y cogiendo la parte entera desde el primero.Ej.: Pasar a binario el nmero 34,23

Conversin de base octal a binario y viceversa

Se puede expresar directamente como nmeros binarios ya que 23=8000=0 001=1 ... 111=7

Conversin de base hexadecimal a binario y viceversa

Se puede expresar directamente como nmeros binarios ya que 24=160000=0 0001=1 ... 1111 = F

Conversin de base hexadecimal a octal y viceversa

Pasando previamente por binario (de uno a binario, y de binario a la otra base)

1.2. Aritmtica binaria

Las operaciones aritmticas bsicas son: Suma binaria

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 (acarreo)Ejercicios:a) 10.1+11.01b) 100100+10010c) 11001+10011

Resta binaria0-0=0 0-1=1 (debo 1) 1-0=1 1-1=0

Ejercicios:a) 101101-11110b) 11101-101c) 111111-101010d) 11.01-10.1e) 110100101-11101000

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JessSelloJessSello


Multiplicacin binaria0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1

Divisin binaria0/0 = No existe 0/1=0 1/0 = No existe 1/1=1

Ejercicios:a) 111010010/1101

Ejercicios:1) Pasar a binario

i. Decimal: 525, 0.17, 24.32ii.Octal: 372, 0.0375, 47.05407iii.Hexadecimal: 37F, 0.0AC54, 43AC.F32

2) Expresar en decimali. Binario: 10110, 0.10011, 110011.00101ii.Octal: 7354, 0.70612, 4327.065iii.Hexadecimal: F7398, 0.70612, 4327.065

3) Realiza las siguientes operaciones10011+11011 1101*10110111+10101 1011*11111100-10001 1101/10110000-1111 1011/10110011-1100

4) Completa la siguiente tabla

D B O H1492

1011100011747

AFE

1.3. Representacin de la informacin dentro del ordenador

1.3.1. Enteros

Cuando un nmero tiene signo, ste lo representa el bit situado ms a la izquierda y el resto de los bits indican la magnitud. Si este bit es un cero, el nmero es positivo; por el contrario, si es un uno, el nmero es negativo.

Existen varios sistemas para representar los nmeros con signos. stos son:

Signo-magnitud

Los nmeros se representan con 8 bits: 1 para el signo y 7 para el nmero. De esta forma quedan representados 255 nmeros, de los cuales 127 son positivos y 127 negativos, el cero estara doble (positivo y negativo).

281=25527=127 nmeros positivos y nmeros negativos (el cero no est)Ej.: 00000111=7 10000111=-7

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JessSelloJessSelloJessSelloJessSelloJessSello


Representacin Exceso 2 n-1 o Sesgada

Un entero viene representado por un conjunto de n bits que se corresponde con la representacin binaria pura de ese nmero ms el exceso (2n-1), de esta forma siempre sale un nmero positivo, con lo que no hay bit de signo.

Decimal desempaquetado

Representa cada nmero decimal de tal forma que cada cifra ocupe 1byte u octeto. Cada nmero en decimal lleva en los 4 bits de la izquierda cuatro unos denominados bits de zona. El cuarteto de la derecha codifican el nmero en DCB (decimal codificado en binario). El signo viene representado por el cuarteto de bits de la izquierda del ltimo octeto (1100 si es positivo y 1101 si es negativo)Ej.: 2371=1111 0010 1111 0011 1111 0111 1100 0001

Decimal empaquetado

Cada nmero se representa mediante conjunto de cuatro bits y el ltimo cuarteto para el signo.Ej.: -2371=0010 0011 0111 0001 1101

Sistema del complemento a 1 (C1)

En este sistema, los nmeros positivos coinciden con el binario natural. Por el contrario, los nmeros negativos se obtienen cambiando los ceros del nmero por unos y los unospor ceros.

Sistema del complemento a 2 (C2)

En este sistema, los nmeros positivos coinciden con el binario natural. Sin embargo, para obtener los nmeros negativos hay que realizar dos operaciones:

Cambiar los ceros del nmero por unos y los unos por los ceros. Al resultado anterior se le suma l.

Como se puede observar, existen diferencias entre ambos sistemas:

El sistema del complemento a 1 tiene dos valores para el 0 (0000 y 1111). As pues, si tenemos 4 bits, podremos representar los nmeros comprendidos entre el +7 y -7, ya que, 24 = 16 - 2 (hay dos ceros). A este cdigo se le denomina simtrico, ya que existe el mismo nmero de positivos que negativos.

En el sistema del complemento a 2, el cero nicamente tiene un valor (0000 para 4 bits), por lo que es un cdigo asimtrico. Es decir, tiene diferente nmero de positivos y negativos. Por ejemplo, para el caso de 4 bits, con este sistema podremos representar los nmeros comprendidos entre el +7 y 8.

Como es de suponer, si volvemos a realizar el complemento a 2 o el complemento a 1 segn el caso de un nmero negativo, obtenemos el mismo nmero pero positivo. La utilidad de esta representacin es la realizacin de diferencias donde el resultado sea negativo, por ello el ordenador usa el complemento a 2 en las operaciones aritmticas.

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1.3.2. Nmeros Reales

Representacin en Punto fijo.

Cada nmero se representa por n bits para la parte entera y m bits para la parte fraccionaria. De esta forma nos ahorramos el punto puesto que siempre estar colocado en la misma posicin (fijo)

Formato en Punto-Fijo

Al realizar una representacin en Punto-Fijo estamos estableciendo una relacin entre el conjunto de los nmeros reales y el conjunto de los nmeros representables con ese formato, de forma que no todos los nmeros reales se podrn representar (depender de n y m) y un mismo nmero en punto fijo puede representar a muchos nmeros reales. Para fijar estos conceptos de definen dos parmetros de una representacin en Punto Fijo:

Se denomina Rango de una Representacin en Punto Fijo al subconjunto de los nmeros reales que se puede representar.

Se denomina Resolucin a la distancia mnima entre dos nmeros consecutivos en punto fijo. La resolucin est relacionada con el valor m de la representacin.

Representacin en Coma Flotante

La representacin en punto flotante consta de los campos: signo (un bit), mantisa y exponente. La mantisa es un nmero comprendido entre 0.5 y 1 y el exponente indica la potencia a la que hay que elevar la base (binaria) para que multiplicada por la mantisa nos reconstruya el nmero.

Este tipo de representacin nos permite las siguientes ventajas:

Aumentar el rango de representacin. Eliminar el punto decimal.

Existe una gran cantidad de formatos en punto flotante. En cada uno de los cuales se especifican el nmero de bits para la mantisa y el nmero de bits para el exponente.

Formato IEEE 754 simple precisin

La palabra de 32 bits se organiza en los siguientes campos: 1 bit para el signo 8 bits para la caracterstica (exponente) 23 bits para la mantisa

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. Punto decimaln m


Formato IEEE 754 doble precisin.

La palabra de 64 bits se organiza en los siguientes campos: 1 bit para el signo 11 bits para la caracterstica (exponente) 52 bits para la mantisa

Signo: 0 1.Exponente: exceso 127 para simple; exceso 1023 para doble.Mantisa: se representa en signo-magnitud con el signo en S. Es decir, la mantisa slo posee valores enteros.

1.3.3. Cdigos alfanumricos

En muchas ocasiones, no slo se necesitan nmeros, sino tambin cdigos alfanumricos para representar instrucciones, como en el caso de los ordenadores. Los ms utilizados son el ASCII y el ASCII extendido.

ASCII (American Standard Code for Information Interchange), del ingls, cdigo estndar americano para el intercambio de informacin. Este cdigo permite representar nmeros, caracteres alfabticos (minscula y mayscula) y otros smbolos muy utilizados. Para ello, dispone de 128 caracteres diferentes que son representados por un cdigo binario de 7 bits, de los cuales, los 32 primeros son de control y, por tanto, no imprimibles.

ASCII extendido. Este cdigo, adoptado por IBM para su ordenador PC, aade 128 caracteres ms a los del ASCII estndar, tales como, letras griegas, caracteres grficos... Para representarlos utiliza un cdigo binario de 8 bits.

2. lgebra de Boole

El lgebra de Boole son las matemticas de la electrnica digital. Este lgebra est basado en la teora de conjuntos, en la cual, las variables slo pueden tomar dos valores distintos: verdadero o falso. Estos dos valores no indican cantidades, sino los estados lgicos 1 (verdadero) y 0 (falso).

Es muy importante tener conocimientos de este lgebra para estudiar y analizar los circuitos digitales. La correspondencia entre los niveles de tensin y estado lgico es:

Estado lgico 0: Ausencia de tensin. Estado lgico 1: Presencia de tensin (en TTL son 5 V).

En el lgebra de Boole hay tres operaciones fundamentales: OR (+), AND ( . ) y la negacin o complementacin ( ), siendo las operaciones posibles las siguientes:

Los signos + y ., no tienen que confundirse con la suma y multiplicacin aritmtica, sino que indican relaciones lgicas, de tal manera que + debe interpretarse como la conjuncin o. De la misma forma, el signo . ser equivalente a la conjuncin y, mientras que el signo deber interpretarse como la conjuncin no.

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2.1. Propiedades, postulados y leyes de lgebra de Boole

Las funciones booleanas estn formadas por variables relacionadas entre s mediante tres operadores (+, . y -). Sin embargo, en muchas ocasiones, estas funciones se pueden simplificar para reducir el tamao del circuito que las implementa utilizando una serie de propiedades, leyes y postulados que cumple el lgebra de Boole y que a continuacin se exponen.

Propiedades del lgebra de Boole:

a) Propiedad conmutativa: abba +=+abba =

b) Propiedad asociativa: )()( cbacba ++=++)()( cbacba =

c) Propiedad distributiva: )()()( cabacba ++=+)()()( cabacba +=+

Postulados del lgebra de Boole:

a) Suma

1

110

=+

=+=+=+

aa

aaaa

aa

b) Multiplicacin

0

100

=

===

aa

aaaaa

a

c) Complementacin o inversin:

aa =

1) Efecta bit a bit las siguientes operaciones10101 + 11110 NOT 10110010000 + 11110 NOT 11010011101 . 110 NOT (10110 + 11101)111011 . 011011 NOT (01110 . 01101)

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JessResaltadoJessSello


Teoremas y leyes booleanas:

a) Ley de absorcin

abaa =+ )(Demostracin: aababaa ==+=+ 1)1()(

abaa =+ )(Demostracin: abaabaaabaa =+=+=+ )()()()(

b) Leyes de transposicin

)()()()( bacacaba ++=+)()()()( bacacaba +=++

)()()()( babababa ++=+)()()()( babababa +=++

c) Leyes varias

babaa +=+ )(Demostracin: )()(1)()()( bababaaabaa +=+=++=+

)()()( cbacaba +=++Demostracin:

)()()()()()1()()()()(

cbacbbaacbbacacbbacaaa

+=++=+++=+++

d) Teoremas de DeMorgan: Son tiles a la hora de realizar simplificaciones

baba

baba

=+

+=

2.2. Forma cannica o estndar de una funcin

Cualquier funcin se puede expresar como suma de productos o producto de sumas.

)()( cabaF += Suma de productos )()( dabaF ++= Producto de sumas

Una forma cannica de una funcin lgica es el producto o la suma en la cual aparecen todas las variables en su forma directa o negada de la expresin. Al primero de ellos, producto cannico, se le denomina minterm, y a la suma cannica se le denomina maxterm.

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Obtencin de la tabla de verdad

Al igual que las expresiones del lgebra convencional pueden representarse grficamente, toda funcin lgica guarda una correspondencia directa con lo que se conoce como tabla de verdad. Entre la tabla y la funcin existe una relacin biunvoca, pudindose obtener la expresin a partir de la tabla y viceversa.

La tabla de verdad es un cuadro formado por tantas columnas como variables contenga la funcin, ms la correspondiente a la propia funcin, y por tantas filas como combinaciones binarias sea posible formar con dichas variables.

El nmero de combinaciones posibles ser n2 , donde n es el nmero de variables de la funcin. Es conveniente, para evitar repeticiones o confusiones, ordenar las combinaciones binarias de forma creciente.

Para obtener la tabla de verdad a partir de una funcin booleana, primero sta debe estar en cualquiera de sus formas cannicas.

3. Puertas lgicas

En este apartado vamos a analizar los componentes bsicos que se utilizan para implementar las funciones lgicas: las puertas lgicas. Una puerta lgica describe un circuito que realiza una operacin lgica bsica.

Puerta NOT (inversora)

Esta puerta lgica, como su propio nombre indica, nos invierte la seal de la entrada: cuando la entrada est a nivel alto, la salida est a nivel bajo y cuando la entrada est a nivel bajo, la salida est a nivel alto.

Puerta AND (Y)

La puerta AND tiene dos o ms entradas y una nica salida y realiza la operacin que se conoce como multiplicacin lgica. Se la denomina tambin puerta interseccin: nicamente se pondr a un nivel alto la salida cuando todas sus entradas lo estn. Dicho de otra forma, la salida Y estar a nivel alto cuando la variable X y Z lo estn.

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Puerta OR (O)

La puerta OR tiene dos o ms entradas y una nica salida, y realiza la operacin que se conoce como suma lgica. Se la denomina tambin puerta unin. La salida se pondr a nivel alto, cuando lo est al menos una de sus entradas. Dicho de otra forma, la salida Y estar a nivel alto cuando la variable X o Z lo estn.

Puerta NAND (NO Y)

Realiza la misma operacin que la puerta AND, pero su salida es invertida, por lo que nicamente se pondr a un nivel bajo la salida cuando todas sus entradas tengan un nivel alto.

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Puerta NOR (NO O)

Realiza la misma operacin que la puerta OR, pero su salida est invertida. Su salida se pondr a un nivel bajo cuando alguna de sus entradas est a nivel alto.

Puerta EXCLUSIVE OR (O EXCLUSIVA)

Aunque este tipo de puerta puede realizarse a partir de las puertas bsicas anteriores, como se utiliza en muchas aplicaciones, estas puertas lgicas se tratan como puertas nicas con su propio smbolo lgico. En este tipo de puertas, nicamente la salida Y tendr un nivel lgico alto cuando una de sus entradas est a nivel alto y la otra a nivel bajo. En el resto de los casos, la puerta a su salida tendr un nivel bajo.

Puerta EXCLUSIVE NOR (NO O EXCLUSIVA)

Realiza la misma operacin que la puerta OR exclusiva, pero su salida es invertida, por lo que nicamente se pondr a un nivel bajo la salida cuando una de sus entradas est a nivel alto y la otra a nivel bajo. En el resto de los casos, la puerta a su salida tendr un nivel alto.

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3.1. Puertas universales (NAND y NOR)

Por otro lado, a las puertas NAND y NOR se las conoce tambin como puertas universales. Ya que, con estas puertas, se puede implementar cualquier operacin lgica conexionndolas de la forma adecuada.

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JesusTexto escrito a mquinaJesusTexto escrito a mquinaNOTJesusTexto escrito a mquinaJesusTexto escrito a mquinaORJesusTexto escrito a mquinaJesusTexto escrito a mquinaJesusTexto escrito a mquinaANDJesusTexto escrito a mquinaJesusTexto escrito a mquinaNORJesusTexto escrito a mquinaNANDJesusTexto escrito a mquinaEstructura de un ordenadorFormato en Punto-Fijo

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