W

S

K = hipotenusa

TrigonometríaConceptos básicos

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las diversas relaciones que se pueden establecer entre los lados y los ángulos de un triangulo.

TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

k 2=s2+w2

Catetos

Funciones o razones trigonométricas Las razones trigonométricas son relaciones que se establecen entre dos lados y un ángulo en un triangulo rectángulo.

Las razones trigonométricas son seis, a saber:

Seno (senθ): es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

Coseno (cosθ): es el cociente entre le cateto adyacente y la hipotenusa.

Tangente (tanθ) (tgθ): es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Cotangente (cot θ) (ctg θ): es el cociente entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.

Secante (secθ): es el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

Cosecante (csc θ): es el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

θ

Existe una regla nemotécnica para aprender sin esfuerzo la definición de las razones trigonométricas. Es fundamental el orden de ellas.

senθ= Cohipo

cosθ= Cahipo

tanθ=Co

Ca

cot θ=CaCo

secθ=hipoCa

csc θ=hipoCo

Primero se escribe la secuencia en los numeradores, hacia abajo, y luego en los denominadores hacia arriba.

Ejemplos

Hallar todas las razones trigonométricas del ángulo dado. Primero encuentre el valor del lado que falta, simplifique y racionalice cuando sea necesario.

1.

En primer lugar se debe aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar el valor del cateto que falta.

(a+3b )2=(a−5b )2+x2

Intercambiando los dos miembros de las ecuaciones y aplicando productos notables, se tiene:

Donde:Co: Cateto OpuestoCa: Cateto AdyacenteHipo: Hipotenusa

Hipo

CoCa

a=5b

a+3b

x=? ∅

a2−10ab+25b2+x2=a2+6ab+9b2

Transponiendo términos:

x2=6ab+9b2+10ab−25b2

x2=16ab−16b2

Luego:

x=√16 (ab−b2) : factor comun

x=4√ab−b2 :Raiz del prodcuto .

Aplicando la definición y reemplazando, se tiene:

sen∅=a−5ba+3b

cos∅= 4√ab−b2

a+3b

tan∅= a−5b4√ab−b2

√ab−b2

√ab−b2=

(a−5b )√ab−b2

4 (ab−b2 )

cot∅=4 √ab−b2

a−5b

sec∅= a+3b4 √ab−b2

√ab−b2

√ab−b2=

(a+3b ) √ab−b2

4 (ab−b2 )

csc∅= a+3ba−5b

2.

3m−7 p 2√21mp

x=?

Aplicando Pitágoras:

x2=(3m−7 p )2+(2√21mp )2

Aplicando productos notables y propiedades de la potenciación y la radicación:

x2=9m2−42m p+49 p2+4 (21mp )

x2=9m2−42mp+49 p2+84mp

Simplificando y factorando:

x2=9m2+42mp+49 p2=(3m+7 p )2

∴ x=3m+7 p

Por lo tanto:

sen∝=2√21mp3m+7 p

cos∝=3m−7 p3m+7 p

tan∝=2√21mp3m−7 p

cot∝= 3m−7 p2√21mp

√21mp√21mp

=(3m−7 p ) √21mp

42mp

sec∝= 3m+7 p3m−7 p

csc∝= 3m+7 p2√21mp

√21mp√21mp

=(3m+7 p ) √21mp

42mp

MÓDULO Nº1Encuentre el valor del lado “x” y luego todas las razones trigonométricas del ángulo dado. Simplifique y racionalice, cuando sea necesario.

1.

3.

5.

2.

4.

θ

4 a+6b

x=?

10a+8b

6m−10n

6m+10nx=?

β

8k−6 pϕ

4 k+6 px=?

5a2−12b2 4 ab√15

x=?λ

20k+2h10k−8h

x=?

ω

De la definición de las razones trigonométricas, se pueden deducir las siguientes 3 identidades denominadas inversas; estas son:

1. csc ϕ= 1senϕ

2. sec ϕ= 1cosϕ

3. cot ϕ= 1tan ϕ

Cofunci0nesSe denominan cofunciones a aquellos ángulos complementarios cuyas razones trigonométricas son iguales.

Analicemos el siguiente ejemplo:

sen λ=mp

cos λ= sp

tan λ=ms

cot λ= sm

sec λ= ps

csc λ= pm

senθ= sp

cosθ=mp

tanθ= sm

cot θ=ms

secθ= pm

csc θ= ps

Se sabe que:

p

s

mθ

λ

λ+θ+90 °=180 ° (Suma de los ángulos interiores del triangulo)

Por lo tanto:

λ+θ=90°−θ

Luego:

λ=90 °−θ

Observando las razones trigonométricas anteriores y reemplazando λ por su equivalencia, se obtienen las siguientes cofunciones:

senθ=cos (90 °−θ )

cosθ=sen (90 °−θ )

tanθ=cot (90 °−θ )

cot θ=tan (90 °−θ )

secθ=csc (90 °−θ )

csc θ=sec (90 °−θ )

Relación grados – radianes

Se denomina grado sexagesimal (grado) a todo ángulo central cuyo arco correspondiente equivale a 1/360 parte de la longitud de la circunferencia.

θ=1°⇔AMB= 1360

C

∴C=360 °

Se llama Radián a todo ángulo central en el cual el arco correspondiente tiene una longitud equivalente al radio de la circunferencia en la cual se encuentra.

θ

AM

BO

1¿

λ=1Radián⇔APM=O A=O M

∴C=2 πRadianes

Empleando la ley transitiva entre 1¿∧2¿, se concluye que:

360 °=2πRadianes

Luego:

π=180 °

Se debe tomar presente que π=180, si es un número irracional y su valor aproximado es 3,1416.

Nota: Cuando un ángulo está en términos de π, se sobreentiende que está en radianes.

Existen dos métodos esenciales para convertir grados a radianes ó viceversa:

1. El factor de conversión

2. Regla de tres

Ejemplos

I. Convierta a grados sexagesimales los siguientes ángulos.

1. 34 π

a. Por factor de conversión

34

π=34

π∗ 45 °180 °π

=135°

λ

A

P

MO

R

R2¿

b. Por regla de tres

π 180 °34

π x ⟹ π x=34π∗180 °

x=135 °

2. 76 π

a. Por factor de conversión

76π=76

π∗180°π

=210 °

b. Por regla de tres

π 180 °98π x ⟹π x=9

8π∗180°

x=405 °2

=202,5 °

Como π=180 °⟹ 180π

=1, siendo éste el módulo de la multiplicación, por ello el

producto no se altera.

II. Convierta a radianes los siguientes ángulos

1. 300 °

a. Por factor de conversión

300 °=300 °∗π180

=53π

b. Por regla de tres

π 180 °x 225 °

⟹180 x=225 ° π

x=225 ° π180°

=54

π

Obsérvese que el resultado es totalmente independiente del método utilizado, parece que es más simple el factor de conversión.

Ejercicios

A. Convierta a grados los siguientes ángulos.

1. 23 π ;R /120°

2. 49 π ; R /80°

3. 35 π ;R /108°

4. 712

π ; R /105 °

5. 34 π ; R /135 °

B. Convierta radianes los siguientes ángulos.

1. 100 ° , R/59

π

2. 315 °; R/74

π

3. 60 °; R/ π3

4. 510 °; R/176

π

5. 225 °; R/54

π

6. 270 °; R/32

π

Ángulos notables: 30 ° ,45° y 60 °

Se les denomina ángulos notables porque su uso es muy frecuente en trigonometría, física y cálculo; principalmente. Por esta razón es aconsejable apropiarse de los valores de estos triángulos porque son proporcionales, es

decir, es cualquier otro triangulo que tenga esos ángulos (semejanza de triángulos). La apropiación de los valores del triangulo evita la memorización de tablas con los valores de las funciones trigonométricas de dichos ángulos.

30 ° y 60 ° (Deducción de valores)

Sea ∆ ABC un triangulo equilátero en el cual cada lado posee una magnitud “m”. Como sus ángulos interiores suman 180º y todos son congruentes, cada uno de ellos mide 60º. Si en él, se traza CR que sea la bisectriz de

∢ AC R=∢RC B=30 ° y ∢ AR=∢RB=12m.

Por ser ∆ ARC un triángulo rectángulo, cumple el teorema de Pitágoras:

AC2=AR2+CR2

Reemplazando, se tiene:

m2=(m2 )2

+CR2

m2=m2

4+CR2

CR2=m2−m2

4

CR=±√ 4m2−m2

4⇒CR=±√ 3m24

30 ° 30 °

60 ° 60 °A B

C

R

∴CR=± m2 √3

Se toma CR=m2 √3 , por ser una distancia.

Si se hace m=2, Δ ACR, queda:

⇒

Utilizando el triangulo anterior se obtiene:

sen30°=12

cos30 °=√32

tan30 °= 1√3

∙ √3√3

⇒ √33

cot 30 °=√31⇒√3

sec30 °= 2√3

∙ √3√3

⇒ 2√33

csc 30 °=¿ 21=2¿

sen60°=√32

cos60 °=12

tan60 °=√31⇒ √3

cot 60 °= 1√3

∙ √3√3

⇒ √33

sec60 °=21⇒2

csc 60 °= 2√3

∙ √3√3

⇒ 2√33

PARA 45 °

Sea Δ ABC, un triangulo rectángulo isósceles, donde cada uno de los lados iguales tiene una longitud “a”.

Aplicando el teorema de Pitágoras

30 °

60 °1

2√3 1

2

√3

45 °

C

AC2=AB2+BC 2

Reemplazando, se tiene:

AC2=a2+a2⇒AC 2=2a2⇒AC=±√2a2

AC=±a√2

Se toma AC=a√2, por ser una distancia.Por lo tanto, Δ ABC, queda:

Si se hace a=1, se obtiene el triangulo.

Empleando este triangulo, obtenemos:

sen45 °= 1√2

∙ √2√2

⇒ √22

cos 45 °= 1√2

∙ √2√2

⇒ √22

tan 45 °=11⇒1

cot 45 °=11⇒ 1

sec 45°=√21⇒ √2

csc 45 °=√21⇒ √2

ÁNGULOS TERMINALES Ó CUADRANTES: 0 ° ,180 ° ,270° ,360 °

El método más sencillo para encontrar el valor de cualquier función trigonométrica de un ángulo terminal ó cuadrante, es el uso del circulo trigonométrico unitario, es decir, un circulo con radio 1. Se debe tener presente las coordenadas de cada punto.

45 °A B

(-1 ,0) 180º

270º (0 ,-1)

0º,360º (1 ,0)

90º (0 ,1)

x

y

x

y1 1

1 1

Teniendo en cuenta el triangulo rectángulo, se puede hallar cada una de las funciones trigonométricas, así:

senθ= y1⇒ y

cosθ= x1⇒ x

tanθ= yx

cot θ= xy

secθ=1x

csc θ=1y

Se deduce que cada punto de la circunferencia anterior tiene coordenadas (cosθ , senθ ), y se obtienen las siguientes identidades:

1. tanθ= senθcosθ

2. cot θ= cosθsenθ

θ

3. sen2θ+co s2θ=1, por el teoremade pitagoras

Si en 3), se divide por sen2θ, se obtiene:

se n2θse n2θ

+ co s2θsenθ

= 1se n2θ

Simplificando y empleando propiedades de la potenciación, obtenemos:

1+( cosθsenθ )2

=( 1senθ )

2

Empleando identidades ya vistas, y reemplazando, se obtiene:

1+co t 2θ=cs c2θ⇒cs c2θ=co t 2θ+1 4)

Si en 3), se divide por co s2θ y se hace un proceso similar al empleado anteriormente, se obtiene:

sec2θ=ta n2θ+1 5)

Las identidades 3) , 4) y 5) son denominados Identidades Pitagóricas, por deducirse a partir del teorema de Pitágoras.Ejemplos

Sin usar calculadora, encuentre las siguientes razones trigonométricas.

1. sec360 °=1x , para el punto 0º, 360º.

x=1, por tanto: sec360 °=11=1

2. tan 90°= yx , para 90º, x=0, y=0

tan 90°=10=∞(Noestadefinida )

3. cos180 °=x ,para 180º, x=−1

Luego, cos180 °=−1

X

Y

+-

+

+- -

+

+

+

+

4. csc 270 °= 1y , para el punto 270º, y=1, reemplazando, se tiene:

csc 270 °= 1−1

=−1

Recordemos que toda fracción indica una división, y la división por “0” (cero) no está definida. Esto se emplea cuando el denominador sea cero.

Ejercicios

Encuentre el valor de las siguientes razones trigonométricas, sin emplear calculadora.

1. tan0 ° R /0

2. csc 90 ° R /1

3. cot 180 ° R /Nodefinida

4. sen90 ° R /1

5. cos270 ° R/0

6. sec90 ° R/Nodefinida

7. sen180° R/0

8. csc 360 ° R /0

9. tan180 ° R /0

10. cos0° R/1

Signos de las funciones Trigonométricas según los cuadrantes

III

(θ(θ

θ )θ )

X

Y

+-

+

+- -

+

+

+

+

Teniendo en cuenta que en cada cuadrante hay un triangulo rectángulo y aplicando la definición para cada razón trigonométrica y además, la ley de los signos, se obtiene del siguiente cuadro:

FUNCIÓN CUADRANTEI II III IV

senθ +¿+¿=+¿¿ ¿ +¿

+¿=+¿¿ ¿ −¿+¿=−¿¿ ¿ −¿

+¿=−¿¿ ¿

cosθ +¿+¿=+¿¿ ¿ −¿

+¿=−¿¿ ¿ −¿+¿=−¿¿ ¿ +¿

+¿=+¿¿ ¿

tanθ +¿+¿=+¿¿ ¿ +¿

−¿=−¿¿ ¿ −¿−¿=+¿¿ ¿ −¿

+¿=−¿¿ ¿

cot θ +¿+¿=+¿¿ ¿ −¿

+¿=−¿¿ ¿ −¿−¿=+¿¿ ¿ +¿

−¿=−¿¿ ¿

secθ +¿+¿=+¿¿ ¿ +¿

−¿=−¿¿ ¿ +¿−¿=−¿¿ ¿ +¿

+¿=+¿¿ ¿

csc θ +¿+¿=+¿¿ ¿ +¿

+¿=+¿¿ ¿ +¿−¿=−¿¿ ¿ +¿

−¿=−¿¿ ¿

Analizando la tabla anterior, se concluye que:

A. Todas las funciones trigonométricas son positivas en 2 cuadrantes y negativas en los otros 2.

B. Obviamente las funciones trigonométricas inversas tienen el mismo signo.

Para aprender los signos de las funciones trigonométricas, existe la siguiente regla nemotécnica:

III IV

Y

X

Se debe tener presente que en ese cuadrante, considerado, las demás funciones son negativas.

Ángulos de referencia: θR

Se denomina ángulo de referencia a todo ángulo que sirve para encontrar las razones trigonométricas de cualquier ángulo mayor de 90º.Cuando se trabaja con un ángulo de referencia se debe tener presente el signo de la función trigonométrica en el cuadrante que se encuentra.

Existen 4 casos de ángulos de referencia:

Caso i: 90 °<θ<180 ° (cuadrante ii)

I : Todos (+)II : sentados

senθcsc θ ]+¿

III : Tomando

tan θcot θ]+¿

IV : Costeñita

cosθsec θ]+¿

X

Y

En el grafico puede verse fácilmente que:

θR=180 °−θ

Ejemplos

1. tan120 °=−√31

=−√3

θR=180 °−120 °

θR=60 °

2. csc 150 °=21=2

I II

III IV

θR

θ

θR

120 °

30 °

60 °2

√3

1

θR=180 °−150 °

θR=30 °

Caso ii: 180 °<θ<270 ° (cuadrante iii)

X

Y

En la grafica puede observarse que:

θR=θ−180 °

Ejemplos

1. cos210 °=−√32

X

Y

+-

-

θR=210 °−180°

θR=30 °

2. sen225°=−1√2

√2√2

=−√22

150 °

θR 30 °

60 °2

√3

1

θR

θ

θR

210 °

30 °

60 °2

√3

1

X

Y

+-

-

θR=225 °−180°

θR=45 °

3. cot 240 °= 1√3

√3√3

=√33

X

Y

+-

-

θR=240 °−180°

θR=60 °

Caso iii: 270 °<θ<360 ° (cuadrante iv)

X

Y

En la gráfica puede observarse que:

θR=360 °−θ

Ejemplos

θR

225 °

θR

240 °

30 °

60 °2

√3

1

1

1

√2

45 °

45 °

θR

I II

III IV

θ

1. sec300 °=21=2

X

Y

θR=360 °−300°

θR=60 °

2. tan330 °=−1√3

√3√3

=−√33

X

Y

θR=360 °−330°

θR=30 °

3. cot 315 °=−11

=−1

X

Y

θR=360 °−315°

θR=45 °

Caso iv: θ>360 °

θR

300 °

30 °

60 °2

√3

1

θR

θR

330 °

315 °

+¿

+¿

−¿

+¿

+¿−¿

+¿

+¿

−¿

30 °

12

√3

45 °

45 ° 1

1

√2

Cuando el ángulo es mayor de 360º, para hallar el ángulo de referencia, se divide dicho ángulo entre 360º (ángulo girado en una vuelta) y se trabaja con el residuo, para lo cual se puede emplear cualquiera de los casos anteriores.

Ejemplos

1. sen54870°=sen150 °=12

2. cot 1755315 °=cot 315 °=¿−11=−1 ¿

EjerciciosSin utilizar calculadora encuentre el valor de las siguientes funciones trigonométricas:

1. cos120 ° R /−12

2. tan315 ° R /−1

3. csc 300 ° R/−2√33

4. cot 150 ° R /−√3

5. sec210 ° R /−2√33

6. sen135° R /√22

7. cos327194880 ° R/−12 8. csc 234320370 ° R /−2

54870 3601887 152 0870 315

θR=180 °−150 °

θR=30 °

1755315 360 3153 4876 2731 2115 315 X

Y

150 °

315 °

+¿

+¿-

45 °

45 °1

1

√2

9. tan273811920° R/√3 10. cot 3566439150 ° R/−√33

Construcción y análisis de las Funciones trigonométricas.

Función seno: y=sen x

Se puede utilizar los ángulos notables, terminales y de referencia para obtener la siguiente tabla: ( y=sen x )

Graficando se obtiene:

De la grafica anterior se concluye:

A. sen (−θ )=−senθ, por lo tanto la función seno no es simétrica con respecto al eje “y”.

B. La función seno es periódica, es decir, se repite cada cierto intervalo.

C. La “y” solo toma valores entre -1 y 1

Análisis de la función y=sen x

Dominio: Se llama dominio de una función y=F (x ), denotando por Dom(F ), al conjunto de valores reales que puede tomar “x”.

y=sen x

sinusoide

En la función y=sen x, Dom ( F )=R, “x” puede tomar cualquier valor real.

Rango: se denomina rango o conjunto imagen de una función y=F (x ), al conjunto de valores reales que puede “y”. Se denota R(F ) ó I (F).Para la función y=sen x, R ( F )=[−1,1 ],es decir, ”y” toma valores entre -1 y 1.

Período: Se llama período al intervalo requerido para que se repita completamente la misma gráficaPara la función y=sen x, el período es 360 °=2π

Función coseno: y=cosθ

Como en la función seno, se puede obtener la siguiente tabla: y=cos x

Graficando se obtiene:

De la gráfica anterior se concluye:

A. cos (−θ )=cosθ, luego la función coseno es simétrica con respecto al eje “y”.

B. Su Dominio es R, “x” puede tomar cualquier valor real.

C. Su Rango es el intervalo [−1 ,1 ]: “y” solo toma valores entre -1 y 1.

Función Tangente: y=tan x

Utilizando un proceso similar al anterior, se puede obtener la siguiente tabla:

Efectuando la gráfica, se obtiene:

cosinusoide

y=cos x

De la gráfica anterior, se concluye:

A. La función tangente No es simétrica con respecto al eje “y”.

B. La función tangente es periódica. Su período es π=180 °.

C. El dominio de la función tangente es R−(2n+1 )90 ° , n∈Z , es decir, “x” puede tomar cualquier valor real, excepto aquellos números reales que sean múltiplos de 90º.

D. El rango de la función tangente es R.

E. La función tangente posee Asíntotas (Recta que limita una curva), por lo tanto se acercan mutuamente pero nunca se tocan (aquellos valores donde y=±∞), la función no está definida.

F. La función tangente es asimétrica con respecto al eje y : tan (−θ )=−tan θ.

Se deja como ejercicio construir y analizar las funciones:

1. y=cot x2. y=sec x3. y=csc x

Identidades Trigonométricas

Concepto: se llama identidad trigonométrica (identidad) a toda igualdad en la cual el ángulo puede tomar cualquier valor, si la función trigonométrica existe ó el denominador no se hace cero, y la igualdad se cumple.

Asíntota

Tangetoid e

Las identidades básicas son 10, a saber:

1. secθ= 1cosθ

2. csc θ= 1senθ Inversas / Multiplicativas

3. cot θ= 1tan θ

4. tanθ= senθcosθ

5. cot θ= cosθsenθ

6. sen2θ+cosθ=1

7. sec2θ=ta n2+1

8. cs c2θ=co t 2θ+1

9. sen (φ+β )=se nφ cos β± sen β cosφ Ángulos Dobles

10. cos (+β )=¿cosφ cos β∓se nφse n β¿

Las identidades 1), 2) y 3); se deducen a partir de la definición de cada una de ellas.

Las identidades 4) a 8); se pueden deducir con los ángulos terminales, aunque las identidades 6), 7) y 8); se pueden realizar con un triángulo rectángulo, y la aplicación del teorema de Pitágoras.

Las identidades 9) y 10) se demostraran en geometría analítica.