Unidad 1 Funciones Introducción

1.1 Introducción

Concepto de función.

La palabra “función” es utilizada en nuestro lenguaje común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Así, la idea matemática de función no es un concepto nuevo, sino una formalización de nuestra idea intuitiva. Pasamos a definirla.

1.2 Conceptos Básicos Definición Función

Definición.

Una función de un conjunto A en un conjunto B es una relación que se establece entre ambos conjuntos de tal forma que a todo elemento de A le corresponde un único de B.

Ejemplo

Supongamos que consideramos la relación entre el conjunto de los números pares:

A = { … −4,−2,0,2,4, … }

y el conjunto de los números impares:

B = { … −3,−1,1,3, … }

Y sea la relación que se establece entre ellos la siguiente: a todo elemento x de A le asociamos x+5. Si llamamos y al resultado, tendremos la relación definida de la forma y = x + 5

Para afirmar que tal relación es también una función debemos contestar a dos cuestiones:

1) ¿Todo elemento de A tiene su correspondencia en B? O dicho de otra forma, a todo elemento del conjunto de los números pares ¿se le pueden sumar 5 unidades y el resultado es un número impar? Evidentemente la respuesta es afirmativa.

2) ¿Para cada elemento b deB que esté relacionado con a de A, podrá existir otro c de B que también se relacione con el mismo a de A? En este caso la respuesta es negativa; cada elemento tiene una ysólo una imagen.

Por lo tanto, la relación anterior es una función, la cual suele escribirse de la forma:

F(x) = y = x + 5

Queriendo con ello indicar que a esta función le llamamos F, de tal forma que para cualquier x del conjunto A le asocia ese valor más 5 unidades a cuya suma le llamamos “y”, es decir:

x + 5 = y

1.3 Graficas de Funciones

La gráfica de una función

La gráfica de una función es el conjunto de puntos en el plano de la forma (x,y) en donde x está en el dominio de la función y además y=f(x).

A continuación discutiremos algunos tipos importantes de funciones y observaremos sus gráficas. Pon atención a la forma que tienen las gráficas de estas funciones. Todos los ejemplos son de funciones algebraicas, discutiremos otros tipos de funciones, como las funciones trigonométricas, más adelante. Por lo pronto, observa las siguientes funciones y sus gráficas.

Función constante: f(x)=k, donde k es alguna constante Función lineal: f(x) = ax + b

Función cuadrática: f(x)= ax2 + bx + c = a(x - x0)2 + y0 El punto rojo se llama vértice de la parábola. ¿Cuáles son sus coordenadas?

¿Cómo se relacionan las coordenadas del vértice con los números en la forma f(x)= a(x-x0)2 + y0?

f(x)= x2 + 2 x + 1 = (x + 1)2

El punto rojo se llama vértice de la parábola. ¿Cuáles son sus coordenadas?

¿Cómo se relacionan las coordenadas del vértice con los números en la forma f(x)= a(x-x0)2 + y0?

f(x)= 2 x2 + x = (x + 1)2 - 1

El punto rojo se llama vértice de la parábola. ¿Cuáles son sus coordenadas?

¿Cómo se relacionan las coordenadas del vértice con los números en la forma f(x)= a(x-x0)2 + y0?

f(x)= 2 x - x2 = 1 - (x - 1)2

El punto rojo se llama vértice de la parábola. ¿Cuáles son sus coordenadas?

¿Cómo se relacionan las coordenadas del vértice con los números en la forma f(x)= a(x-x0)2 + y0?

¿Qué significancia tienen los números a, x0, y0 para la gráfica de la función f(x)= a(x-x0)2 + y0?

f(x) = 10 + 2 x - 2 x2 21 1

=

- 2 [-(

) + x2]

2 2

Función polinomial

P(x) = x3 - 3×2 + 2x - 7

Función racional Una función racional es un cociente de dos polinomios, f(x) = P(x) / Q(x) x + 4

f(x) = x2 - 16

Función potencia: f(x)= k xn En donde k es cualquier constante real y n es un número real.

Por lo pronto nos restringiremos a exponentes racionales. Funciones como xPi serán discutidas más tarde. El dominio de una función potencia depende del exponente n.

f(x)= x-1

f(x)= x1/3

f(x)= x1/2

f(x)= x2/3

Función definida por secciones

No es necesario que una función esté definida por una sola fórmula. La regla de correspondencia puede depender de qué parte del dominio proviene la variable independiente.

En las siguientes dos gráficas veremos dos ejemplos de funciones definidas por secciones.

f(x)={ x2 , 4 x , si 0 <= x <= 5

f(x)={ -x2 , si x < 0 3 , si 0 <= x < 1 2 x - 1 , si x >= 1

1.4 Funciones Polinomiales

1.5 Funciones Exponenciales

1.6 Función Inversa

Función inversa

Función, generalmente escrita como f-1, que invierte exactamente la representación producida por una función f dada. El "-1" de la función significa función inversa y no tiene nada que ver con el "-1" utilizado como exponente.

Por ejemplo, f(x) = x1/3 y g(x) = x3 son funciones inversas, porque g(x) siempre invierte exactamente la representación producida por f(x). Para cualquier número a, f(a) = a1/3. La operación inversa da g(f(a)) = g(a1/3) = (a1/3)3 = a.