Funciones Reales en una Variable

La palabra “función” es utilizada en nuestro lenguaje común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Así, la idea matemática de función no es un concepto nuevo, sino una formalización de nuestra idea intuitiva

Concepto de función

Definición de Función

Donde xfyx

IRBIRAf

:

Una función de un conjunto A no vacío en un conjunto B no vacío, es una relación que se establece entre ambos conjuntos de tal forma que a todo elemento de A le corresponde un único de B . En símbolos matemáticos

: Variable Independientex : ariable Dependientey f x V

!x A IR y B IR y f x

En forma de esquema

es la imagen de f x x : es la preimagen de x f x

¿ Cuál es Función ?

A B

B

A B

A BA

¿ Cuál es Función ?

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Representación Grafica

Plano CartesianoMétodo de Óvalos

A IR

B IR

y f x

x

;P x f x

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Dominio y Recorrido

Dominio Sea A y B dos conjuntos no vacío, y f una función de A en B, a un sub conjunto del conjunto A se llama Dominio de la función a

( )x A y B f x y

Y lo denotaremos por Dom f

Dominio y Recorrido

Recorrido Sea A y B dos conjuntos no vacío, y f una función de A en B, a un sub conjunto del conjunto B se llama recorrido de la función a

( )y B x A f x y

Y lo denotaremos por Rec f

Dominio y Recorrido (Rango) en el plano cartesiano

Dominio y Recorrido usando Método de Óvalos

¿Cual es el Dominio y Recorrido de la siguiente función?

4 2f x x

DominioRecorrido

2 0x 2x

2;Dom f

4 2y x

24 2y x 4 2y x

24 2y x Re 4;c f

Buscar condiciones para la variable Buscar condiciones para la variable x y

Y su grafica es

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Tabla de Evaluación

Clasificación de las funciones

Función Lineal

Función Cuadráticas

Función Cúbica

Función Potencia

f x mx b

2f x ax bx c

3f x ax

cf x x

Función Raíz f x x donde 0x

Función Reciproca 1f x

x donde 0x

Funciones Racionales

11 1 0

11 1 0

n nn nm m

m m

p x a x a x a x af x

q x b x b x b x b

Funciones Irracionales f x mx b

Función Valor Absoluto f x x

donde0

0 0

0

x si x

x si x

x si x

Función Exponenciales

Función Logarítmicas

xf x b

l gbf x o x

Funciones Trigonométricas

f x Sen x

f x Cos x

f x Tang x

Funciones Hiperbólicas

2

x xe ef x Senh x

2

x xe ef x Cosh x

x x

x x

e ef x Tangh x

e e

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Ver Graficas

Propiedades de las funciones

Se dice que es una Función Inyectiva si

Función Inyectiva (1-1)

Función Epiyectiva (sobre)

Función Biyectiva

fDombababfaf ,

IRBIRAf :

Se dice que

IRBIRAf :

es una Función Sobre si Bfc Re

Se dice que

IRBIRAf : es una Función Biyectiva si

es inyectiva y sobre a la vez

Función Inversa

Sea :f A B una función biyectiva, entonces la función inversa

de

y

1f f es una función biyectiva tal que

1 :f B A 1f y x y f x

Gráficamente podemos representar estas funciones de la manera siguiente:

Operaciones con funciones

Suma de f y g xgxfxgf

f g x f x g x

f g x f x g x

0f xf

x g xg g x

Sean :f A C :g B D

Resta de f y g

Producto de f y g

Cociente de f y g

dos funciones tal que

Dom f Dom g y

Composición de de f y g g f x g f x

Ejemplos 1.- Para cada una de las siguientes relaciones, determine Dominio, Recorrido para que sea función

12 xxf

1

1

xf x

x

2 1f x x

a)

b)

c)

2.- Para cada una de las siguientes relaciones, determine Dominio para que sea función

42 xxf

2

1

xf x

x

a)

b)

3 5 1

( ) 2 1 1

3 1 3

x si x

f x si x

x si x

3.- Trace la grafica de la siguiente función

a)

b)

28

201

065

)(

2 xsix

xsix

xsix

xf

5.- Usando alguna aplicación grafica determine Dominio, Recorrido

23 xxf

2

4

4h x

x

1f x Sen

x

log 1f x x

123

1

x

xxf

2 4

xh x

x

a)

b)

c)

d)

e)

f)

6.- Sean la funciones definidas por

1 xxf 2g x x

Hallar dominio de cada una de las siguientes funciones.

xgxfxgf f g x f x g x

f g x f x g x 0f xf

x g xg g x

7.- Para cada uno de los pares de funciones determine(f O g) (x) y g f x

22 6f x x 7 2g x x

2 1f x x x 1g x x

Terminar

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a)

b)

Función Lineal Función Cuadráticas Función Cúbica

Función Potencia Función Raíz Función Reciproca

Función Valor Absoluto Función Exponenciales Función Logarítmicas

Funciones Trigonométricas

f x Sen x f x Cos x f x Tang x

Menú

f x Senh x f x Cosh x f x Tangh x

Funciones Hiperbólicas