v agradecimientos a dios por darme la fortaleza para culminar esta tesis. a mis padres, hermanas y...

Instituto Politécnico Nacional

Centro de Investigación en Ciencia

Aplicada y Tecnología Avanzada del

IPN

El concepto de función lineal en el bachillerato tecnológico: un estudio sobre su implementación curricular

Tesis que para obtener el grado de

Doctor en Matemática Educativa

presenta:

Rebeca Flores García

Director de la tesis:

Dr. Mario Sánchez Aguilar

Ciudad de México, octubre de 2017

iv

Al profesor Héctor Corte Trujillo,

por sus enseñanzas e ideales compartidos.

v

Agradecimientos

A dios por darme la fortaleza para culminar esta tesis.

A mis padres, hermanas y hermanos por la paciencia, por no dejar de estar ahí,

incluso a la distancia.

Al colegio de profesores del Programa de Matemática Educativa que condujeron mi

formación académica.

A los lectores, por las recomendaciones y sugerencias hechas a este escrito.

A los profesores participantes en este estudio, por permitirme ingresar a su espacio de

trabajo.

A la Dra. Daniela Reyes y al Dr. Ricardo Cantoral por alentarme a concluir este proceso

de formación académica.

Al Dr. Javier Lezama por creer en mí y acercarme a espacios académicos

inimaginables, ¡Gracias Javier!

Al asesor, Dr. Mario Sánchez por los conocimientos compartidos para la

construcción de esta tesis.

vi

Í ndice

págs. Índice vi Índice de tablas ix Índice de figuras x Glosario xii Resumen xiii Abstract xv

Introducción

1

Capítulo 1. Sobre los conceptos de función y función lineal

3 Introducción 3 1.1 El recorrido de la noción de función 3 1.1.1 Producto cartesiano 3 1.1.2 Relación 4 1.1.3 Función 5 1.1.3.1 Subconceptos 8 1.2 El recorrido de la noción de función lineal 10 1.2.1 Definiciones desde el Cálculo 10 1.2.1 Definiciones desde el Álgebra Lineal 14 1.3 Algunas investigaciones alrededor de los conceptos de función y función lineal en Matemática Educativa 16 1.3.1 Estudios cognitivos 16 1.3.2 Estudios curriculares 20 1.3.3 Estudios históricos 22 1.4 Resumen 24

Capítulo 2. Conceptualización del currículum y estudios sobre éste 25 Introducción 25 2.1 El surgimiento de los estudios curriculares desde la matemática educativa 25 2.2 Sobre el concepto de currículum 27 2.3. Modelos teóricos para estudiar el currículum de matemáticas 30 2.3.1 Modelo propuesto por Flanders (1994) 30 2.3.2 Modelos propuesto por Schmidt et al (1994) 31 2.3.3 Modelo propuesto por Stein, Remillard y Smith (2007) 33 2.3.4 Modelo propuesto por Hirsch y Reys (2009) 34

Índice

vii

2.3.5 Modelo propuesto por Mesa, Gómez y Cheah (2013) 35 2.3.6 Modelo propuesto por Remillard y Heck (2014) 36 2.3.7 Modelo propuesto por Harel (2008) 38 2.4 Similitudes y distinciones entre los modelos 40 2.5 La elección de un marco teórico 41 2.6 Resumen 41

Capítulo 3. La pregunta de investigación, los objetivos y el método 43 Introducción 43 3.1 La pregunta de investigación y los objetivos 44 3.2 El método 46 3.2.1 Estudio de caso 46 3.2.2 El contexto 48 3.2.3 Los participantes 49 3.2.4 Instrumentos 52 3.2.4.1 Distintas formas de representar una función 53 3.2.4.2 Elementos de la función lineal 63 3.2.5 Recolección y análisis de datos 68 3.3 Resumen 72

Capítulo 4. Resultados 73 Introducción 73 4.1 Currículum escrito 74 4.1.1 Programa de estudios 74 4.1.2 El Modelo Didáctico Global (MDG) 75 4.2 Material instruccional: Libros de texto 77 4.3 Currículum planeado 89 4.4 Currículum implementado 92 4.4.1 Fragmentos provenientes de las historias de la profesora Lulú 93 Historia 1 93 Historia 2 103 Historia 3 115 Historia 4 122 Historia 5 128 Historia 6 131 4.4.2 Fragmentos provenientes de las historias de la profesora Iris 139 Historia 1 139 Historia 2 142 Historia 3 145 Historia 4 148 Historia 5 152 Historia 6 157

Índice

viii

4.4.3 Fragmentos provenientes de las historias del profesor Israel 159 Historia 2 159 Historia 3 164 Historia 4 167 Historia 5 173 Historia 6 175 Historia 7 179 Historia 8 185 Historia 10 189 4.5 Resumen 195

Capítulo 5: Conclusiones, implicaciones y consideraciones finales 199 5.1 Conclusiones 199 5.2 Implicaciones 205 5.3 Consideraciones finales 206 5.3.1 ¿Los resultados que se obtuvieron en la investigación, podrían ser generalizables? 206 5.3.2 ¿Hacia dónde orientar los estudios futuros? 206 5.3.3 Una reflexión necesaria: lo que aprendí en el trayecto de mi estudio 207

Referencias 209

Anexos 219 Anexo1: Aplicación de instrumento 219 Anexo 2: Exámenes parciales propuestos por el profesor Israel 221 Anexo 3:Historias resumidas de los profesores 227

ix

Í ndice de tablas

No. de Tabla

Descripción Pág.

1 La familia Pérez 4 2 Subconceptos de la función 9 3 Descripción de los estudios cognitivos identificados sobre función y

función lineal 16 4 Descripción de los estudios curriculares revisados sobre función y

función lineal 20 5 Descripción de los estudios históricos revisados sobre función y función

lineal 22 6 Dimensiones y niveles de reflexión del currículum 26 7 Aspectos relevantes de los profesores participantes en el estudio 51 8 Distintas formas de representar una función 53 9 Componentes de la función lineal 53

10 Tabla de valores de una dieta 56 11 Tabla de valores de una función 57 12 Contenidos abordados por los profesores durante las videograbaciones

de clase 71 13 Contenidos relacionados con las nociones de función y función lineal

presentes en el curso de Pensamiento Algebraico y de Funciones 74 14 Propuesta del Modelo Didáctico Global (MDG) que debe ser incluida en la

planeación didáctica 76 15 Noción de función propuesta en los tres libros de texto 78 16 Noción de función lineal propuesta en los tres libros de texto 80 17 Elementos de la función lineal considerados en los tres libros de texto 81 18 Identificación de las distintas representaciones de la función lineal

planteada en los tres libros de texto 84 19 Identificación de los elementos de la función lineal propuesta en los tres

libros de texto 85 20 Elementos incluidos en la planeación de la unidad II de la profesora Lulú 89 21 Elementos incluidos en la planeación de la unidad III de la profesora Lulú 90 22 Elementos incluidos en la planeación de la unidad II del profesor Israel 90 23 Elementos incluidos en la planeación de la unidad III del profesor Israel 91 24 Contenidos abordados en los exámenes parciales del profesor Israel 92

x

Í ndice de figuras

No. de Figura

Descripción Pág.

1 Subconceptos del concepto de función 9 2 Representación gráfica de la ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 +𝐶 10 3 Representación gráfica de la recta dado un punto y su pendiente 11 4 Representación gráfica de 𝑦 =

1

2𝑥 12

5 Representación de una recta vertical que corta a la curva en más de un punto 12

6 Representación gráfica de la función lineal 13 7 Ejemplos de función constante y función lineal 14 8 Elementos del currículum retomados por Travers y Westbury (1989) 28 9 Modelo curricular de Flanders (1994) 31

10 Modelo curricular de Schmidt et al. (1997) 32 11 Modelo curricular de Schmidt et al. (1997) 32 12 Modelo curricular de Stein, Remillard y Smith (2007) 34 13 Modelo de elaboración propia que agrupa los componentes planteados

por Hirsch y Reys (2009) 35 14 Modelo curricular de Mesa, Gómez y Cheah (2013) 36 15 Modelo curricular de Remillard y Heck (2014) 37 16 Modelo teórico DNR de Harel (2008) 39 17 Elementos que constituyen cada una de las componentes del modelo

curricular adaptado de Stein, Remillard y Smith (2007) 47 18 Distintas formas de representar una función 54 19 Formas de representar un modelo de entrada-salida 55 20 Imagen esquemática del modelo caja negra 55 21 Información del comportamiento de una función a partir del análisis de

la tabla de valores 57 22 Ejemplo de una función a partir de correspondencias arbitrarias 58 23 Ejemplo de la historia de vida de la función 59 24 Ejemplo de la gráfica de una función 60 25 Ejemplo de una función como una relación de dependencia entre

dos variables 61 26 Ejemplos de modelos matemáticos de funciones lineales y

cuadráticas 63 27 Propiedades globales y locales de las funciones 64 28 Elementos de la función lineal a considerar en el estudio 65 29 Representación del sistema de coordenadas en dos dimensiones 66 30 Determinación de la pendiente de una recta dados dos puntos 67 31 Ejemplo de estructura jerárquica 76 32 Autores y portadas de los libros de texto utilizados por los profesores

durante el desarrollo del curso PA y F. 77 33 Formas de representar a la función en los libros de texto 79 34 Ejemplos de función lineal propuestos en los tres libros de texto 81 35 Ejemplos de funciones lineales variando 𝑚 y 𝑏 82

Índice de figuras

xi

36 Ejemplos propuestos en un libro de texto para estudiar la pendiente 83 37 Ejemplos propuestos en un libro de texto para estudiar la función lineal y

la pendiente 84 38 Ejemplos propuestos en un libro de texto para enseñar el plano

cartesiano 86 39 Definición de función constante y función identidad propuesto en un

libro de texto 87 40 Definición de función constante propuesto en un libro de texto 87 41 Cálculo de la raíz de una función propuesto en un libro de texto 88

Glosario de términos

xii

Glosario de términos

Bachillerato tecnológico: subsistema educativo que ofrece una modalidad

bivalente en el que se adquieren conocimientos tanto del campo disciplinar así

como del campo profesional.

Currículum: es el conjunto de elementos organizados, con fines didácticos, que

sistematizan la carrera académica de los estudiantes incluyendo tres momentos:

su diseño, desarrollo y evaluación.

Estudios cognitivos: estudios relacionados con la enseñanza y el aprendizaje de

un concepto o noción.

Estudios curriculares: aquellos estudios que se encuentran enmarcados en el

ámbito curricular.

Estudios históricos: aquellos estudios relacionados con la evolución de un

concepto o noción.

Función: una función 𝑓 de un conjunto 𝐴 a un conjunto 𝐵 es una regla de

correspondencia que asigna a cada 𝑥 de cierto subconjunto 𝐷 de 𝐴 un elemento

determinado de manera única 𝑓(𝑥) de 𝐵 (Hitt, 2002, p. 75).

Función lineal: la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑 es una recta de pendiente 𝑐

que pasa por el punto (0, 𝑑) (Spivak, 1999, p. 76).

Material instruccional: Recursos destinados a complementar la enseñanza en el

aula; pueden ser libros de texto, guías o programas de estudio, entre otros.

Modelo curricular: es un planteamiento curricular diseñado para tres

componentes base, la cuarta componente es dinámica enfatiza un aspecto sobre el

cual el modelo proyecta centrarse, ya sea un test, un material instruccional, entre

otros.

Transformación: Se refiere a un cambio o modificación de una idea, concepto,

figura o imagen.

Subconcepto: componente esencial e inherente a un concepto.

Representación: Es una forma de volver a presentar un objeto, una idea o un

concepto.

xiii

Resumen

Los estudios recientes revelan que los investigadores están reorientando su atención no sólo a

explorar las dificultades que tienen los estudiantes para comprender las funciones lineales, sino

que también están preocupados por las concepciones de los profesores y el uso de materiales

curriculares.

Este estudio se desarrolla considerando un punto de vista curricular, cuya pregunta de

investigación centra su atención en identificar aquellas transformaciones del concepto de función

lineal que son observadas desde su definición matemática al ser confrontada con el currículum

del bachillerato tecnológico. La investigación se caracteriza por ser cualitativa e involucró el

estudio de caso como método para obtener información a profundidad de tres profesores que

impartían el curso de pensamiento algebraico y de funciones. La recolección de los datos incluyó

la revisión del plan de estudios oficial, las planeaciones de los profesores, así como la observación

y videograbación de dieciséis clases en las que se abordaban a la función lineal.

Los resultados encontrados aluden tanto al concepto de función, así como al concepto de función

lineal, de ahí que sea necesario señalar transformaciones en ambas.

Las transformaciones observadas de la noción de función son en nuestra opinión de dos

tipos:

a) Unas encaminadas hacia el concepto formal a través de aproximaciones cada vez

mayores (evolutivas) o

b) Una deformación del concepto.

Las transformaciones observadas de la noción de función lineal son también en nuestra

opinión de dos tipos: Aproximaciones y deformaciones.

De las primeras se observaron tres tipos:

a) Unas orientadas hacia el concepto formal a través de aproximaciones cada vez

mayores (evolutivas).

b) Un tratamiento de la función lineal basado en la noción de ecuación lineal con dos

incógnitas.

c) A través del tratamiento de fenómenos físicos por medio de restricciones a variables

incluidas (por medio de modelos o fórmulas).

Resumen

xiv

Lo cual sugiere reflexionar, determinar y explicitar las nociones de función y función lineal más

acordes a desarrollar en el bachillerato tecnológico, buscando diversificar el conocimiento

matemático del profesor.

xv

Abstract

Recent studies have found that researchers are redirecting their attention not only

to the exploration of the difficulties the students face to understand linear

functions, but they are also concerned about the teachers’ conceptions and the use

of curriculum material.

This study is developed taking into account a curriculum point of view whose

research question is focused on identifying the transformations of the concept of

linear function observed from its mathematical definitions when it is confronted

with the Technological High School curriculum. This research is characterized by

its qualitative nature and it also includes the case study as a method to get in-depth

information about three teachers who taught the course called “Algebraic and

functions thinking”. The data collection included the revision of the official

academic program, the teachers’ lesson plans as well as the observations and video

recordings of sixteen classes in which linear function was being taught.

The results found are related to the concept of functions. That is why it is

important to point out the transformations in both of them.

According to our opinion, there are two types of transformations observed from

the concept of function.

a) Some of them are aimed at the formal concept through greater

approximation (evolutive) or

b) A deformation of the concept.

According to our opinion, there are two types of transformations observed from

the concept of linear function: Approximations and deformations.

Within the first ones, three different types were observed:

a) Some of them are aimed at the formal concept through greater

approximations (evolutive)

b) The teaching of linear function based on the concept of linear equation with

two unknowns.

c) Through dealing with physical phenomena by means of restrictions to the

variables included (by means of models or formulas).

Abstract

xvi

The above information suggests reflecting, determining, and explaining the notions

of function and linear function in greater accordance to be taught in Technological

High Schools seeking to diversify the teachers’ mathematical knowledge.

1

Introduccio n

La comunidad matemática reconoce que uno de los conceptos más importantes es sin

lugar a dudas el de función. Asimismo en la comunidad de matemática educativa

también se percata que este concepto es una hebra que atraviesa todos los niveles

educativos. Además de ello, los estudios acerca de la noción de función muestran una

evolución de ésta, desde un surgimiento intuitivo hasta un planteamiento formal del

objeto. Podría parecer que conforme se avanza en la precisión de nociones

matemáticas, se promueve la comprensión de las mismas; sin embargo, esto no ha

sido así, pues esa formalización y ese uso de notación eficiente desprovistos de la base

intuitiva que dieron origen a los conceptos matemáticos resulta en dificultades para

aprenderlos. Tal es el caso del concepto de función. La diversidad de estudios

generados alrededor del concepto de función revela la importancia de estudiarlo

atendiendo a sus particularidades y a su clasificación. En ese sentido, esta

investigación pretende articularse a los estudios que desde la comunidad de

matemática educativa se han realizado, centrándose no sólo a un tipo de función,

como es el caso de la función lineal, sino que además observando a la noción

matemática en su recorrido desde el currículum escrito hasta el currículum

implementado y confrontándolo con su conceptuación matemática.

De ahí que uno de los objetivos fundamentales para el estudio, es dar muestra de

cómo un concepto matemático se transforma al ser enseñado. Ello pone de manifiesto

a la figura del profesor que emerge como actor principal en esta trayectoria que lleva

el objeto matemático al aula y por ende al estudiante.

Cabe hacer notar que por la naturaleza del estudio y los intereses de la investigación,

la tesis recurre a un marco conceptual1 más que un marco teórico, ya que se apoya de

1 A diferencia de los marcos teóricos, como lo señala Lester (2010), los marcos conceptuales argumentan o justifican que los conceptos elegidos para la investigación y las relaciones entre ellos serán apropiados y útiles para el problema de investigación generado. Los marcos conceptuales se construyen a partir de una matriz de fuentes diversas, mientras que los marcos teóricos conducen las actividades de investigación por su dependencia de una teoría formal y se componen de acuerdo con lo

Introducción

2

una diversidad de conceptos que permiten establecer los vínculos que conforman este

trabajo.

La estructura del trabajo la conforman las siguientes secciones: en el capítulo uno se

propone un breve recorrido tanto de la noción de función, así como de la función

lineal, además de algunos estudios que desde el ámbito cognitivo, curricular e

histórico han emergido en los últimos años. En el capítulo dos se propone un breve

recorrido del concepto de currículum dentro de la disciplina de la matemática

educativa, así como distintos modelos curriculares que se han desarrollado, además

de la adopción y adaptación de uno de ellos para ser utilizado en la investigación. En el

capítulo tres se plantea el problema, la metodología y los objetivos cruciales para el

desarrollo de la investigación. En el capítulo cuatro se presentan los resultados

encontrados entre los que se destaca la presencia de un problema pedagógico acerca

de los conceptos de función y de función lineal y que dada su importancia es menester

asumir el reto de cambiar la visión y acción acerca de su concepción, su enseñanza y

su aprendizaje. Finalmente en el capítulo cinco se plantean algunos aspectos cruciales

que por un lado podrían profundizarse para realizar extensiones de esta investigación

y por otro se presentan implicaciones que emergieron con el análisis de los datos de

este estudio.

expuesto por Cantoral (2013, p. 68) de un objeto de estudio, una metodología de investigación y una hipótesis de trabajo.

3

Capí tulo 1: Sobre los conceptos de funcio n y funcio n lineal

Introducción

Esta sección se divide en tres partes. En las dos primeras se muestran recorridos de

las nociones de función y de función lineal. Recorridos que se exhiben a través de

listas de definiciones de diversos autores. Al concepto de función se le reconoce ser

de gran utilidad para modelar matemáticamente fenómenos de la vida real, así como

su análisis y descripciones a través de sus distintas representaciones; por ello,

requiere ponerse atención en el enfoque que la matemática ha generado para su

estudio. Mientras que al concepto de función lineal, se le atribuyen complejidades y

dificultades por un lado para su conceptualización, así como para realizar pasajes

entre distintas representaciones.

La tercera sección proporciona un panorama relacionado con los distintos enfoques

que sobre función y función lineal se han generado en los últimos años, los cuales se

han incorporado a otros campos como aquellos relacionados con el currículum o la

profundización de algún elemento de los conceptos referidos.

1.1 El recorrido de la noción de función

A continuación se presentan las nociones que permiten orientar la perspectiva sobre

la cual se revisó el concepto de función.

1.1.1 Producto cartesiano

En Cárdenas, Lluis, Raggi y Tomás (2004, p. 18) se presenta la siguiente definición.

Sean 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋, definimos la pareja ordenada formada por 𝑎 y 𝑏 [y la

denotamos (𝑎, 𝑏)] por (𝑎, 𝑏) ={{ 𝑎}, {𝑎, 𝑏}}.

Capítulo 1: Sobre los conceptos de función y función lineal

4

Nótese que lo que se quiere recalcar es la distinción entre el primer lugar y el segundo

lugar en la pareja; esta definición nos lleva a tal distinción ya que

(𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑) si y sólo si 𝑎 = 𝑐 y 𝑏 = 𝑑

1.1.2 Relación

De acuerdo con Cárdenas, et al. (2004, p. 20) se propone como definición:

Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos. Una relación entre 𝐴 y 𝐵 es un subconjunto del

producto cartesiano de 𝐴 × 𝐵.

Para el NCTM (1972, p. 43) definir el concepto de relación es de singular importancia.

Definición 1.

Una relación es un conjunto de pares ordenados.

Definición 2.

En términos más técnicos, una relación está definida sobre un conjunto 𝐴 si

los dos componentes de cada uno de los pares ordenados de la relación son

elemento 𝐴. Algunas veces abreviamos esa fraseología y decimos que una

relación está sobre 𝐴.

Cabe señalar que no todas las relaciones están definidas sobre un conjunto. Por

lo que será de ayuda ejemplificar la idea de relación como un conjunto de pares

ordenados. Pensemos en el caso de la familia Pérez, conformada por el marido, la

esposa, dos hijos varones y una hija. La Tabla 1 contiene información al

respecto:

Tabla 1

La familia Pérez

Nombre Edad (años)

Peso (kilogramos)

Estatura (metros)

El señor Pérez (papá) 42 77 1.87

La señora Pérez (la mamá) 40 57 1.68 Tomás 19 61 1.80 Edmundo 17 66 1.63 Linda 15 48 1.53 Nota. Recuperado de National Council of Teachers of Mathematics (1972).


5

Para dar ejemplos de relaciones sobre la familia Pérez, conviene simplificar los

nombres de cada integrante, quedando de la siguiente manera P (papá), M (mamá), T

(Tomás), E (Edmundo) y L (Linda).

Algunos ejemplos de relaciones sobre la familia Pérez retomados de NCTM (1972, pp.

44-45) son:

Es hermano de = {(𝑇, 𝐸), (𝐸, 𝑇), (𝑇, 𝐿), (𝐸, 𝐿)}

Es hijo de = {(𝑇, 𝑃), (𝑇, 𝑀), (𝐸, 𝑃), (𝐸, 𝑀), (𝐿, 𝑃), (𝐿, 𝑀)}

Es más grande que = {(𝑃, 𝑀), (𝑃, 𝑇), (𝑃, 𝐸), (𝑃, 𝐿), … }

Hay dos formas estándar de representar las relaciones: la primera es por diagramas

de flechas y la otra, por medio de gráficas.

Algunas relaciones tienen características o propiedades especiales que las hacen

particularmente útiles tanto en matemáticas como en otras disciplinas. Algunas de

estas clases generales de relaciones son tan importantes que tienen nombres

particulares. Tres de esas clases son las llamadas relaciones de equivalencia, de orden

y las funciones.

1.1.3 Función

De acuerdo con Cárdenas, et al. (2004, p. 21)

Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos. Una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑅 𝑒𝑛 𝐴 × 𝐵 que satisface:

i) 𝐷𝑅 = 𝐴 ; es decir, para toda 𝑥 ∈ 𝐴 existe una pareja (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅.

ii) Cada elemento 𝑥 ∈ 𝐴 tiene asociado uno sólo de 𝐵; es decir, (𝑥, 𝑦1 ) ∈ 𝑅 y

(𝑥, 𝑦2) ∈ 𝑅 implica 𝑦1 = 𝑦2.

Una notación alternativa para una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es 𝐴𝑓→ 𝐵.

El conjunto 𝐴 es llamado el dominio de la función, el conjunto 𝐵 es llamado el

codominio de la función y para cada 𝑥 ∈ 𝐴, denotamos con 𝑓(𝑥) al elemento de 𝐵 que

le corresponde; es decir, (𝑥, 𝑓(𝑥)) ∈ 𝑅. Llamamos a 𝑓(𝑥) la imagen del elemento 𝑥.

En lo propuesto por Armella y Waldegg (1985, p. 105) se tiene que:


6

Si a cada valor que pueda tomar una variable 𝑥 (variable independiente)

corresponde un valor y sólo uno, de otra variable (variable dependiente)

diremos que dicha correspondencia es una función.

El conjunto de valores que puede tomar la variable independiente se llama dominio de

la función. El conjunto correspondiente de valores que toma la variable dependiente

se llama recorrido de la función.

Si 𝑓 representa una función, el valor de 𝑦 de la variable dependiente que corresponde

a un valor 𝑥 de la variable independiente se escribe: 𝑓(𝑥) .

Para el NCTM (1972, p. 77 y p. 89) se considera que:

Una función es una relación en la que no hay dos pares ordenados

diferentes que tengan el mismo primer componente.

Se aclara que esta definición considera cierto número de relaciones, algunas de las

cuales son funciones y otras no.

Una función es una regla que hace corresponder un elemento único de un

conjunto 𝑇 a cada elemento de un conjunto 𝑆. Si 𝑓 es el nombre de la

función, entonces 𝑓(𝑥) denota el elemento de 𝑇 correspondiente al

elemento 𝑥 de 𝑆.

En Hitt (2002, p. 75) se resumen cuatro definiciones comunes que se han presentado

en los libros de texto a lo largo del siglo XX.

Función en términos de variable: una función es una variable relacionada con

otra variable tal que a cada valor de la última, le corresponde únicamente un

valor de la primera.

Función en términos de conjunto de parejas ordenadas: una función es un

conjunto de pares ordenados, no dos de los cuales tienen la misma primera

componente.

Función en términos de regla de correspondencia: una función 𝑓 de un conjunto 𝐴

a un conjunto 𝐵 es una regla de correspondencia que asigna a cada 𝑥 de cierto

subconjunto 𝐷 de 𝐴 un elemento determinado de manera única 𝑓(𝑥) de 𝐵.


7

Función en ambiente Logo: una función, es un procedimiento 𝑃 que tiene la

propiedad de que cualesquiera dos apelaciones a 𝑃 con las mismas entradas

producen las mismas salidas.

Este autor establece que, para la adquisición del concepto de función, es importante

desarrollar la idea intuitiva de variación y propone la definición de función para el

nivel medio superior en términos de variable independiente y dependiente, tal como

se presenta a continuación:

Una función relaciona una variable independiente con otra dependiente, de

tal forma que a cada valor de la primera le corresponde un y sólo un valor

de la segunda.

Por otro lado Camarena (2001a) establece que existen diversas formas de extender o

generalizar el concepto clásico de función, una de esas formas son las llamadas

funciones generalizadas, las cuales incluyen a la delta de Dirac y todas las funciones

que se relacionan con ésta a través del análisis matemático. Además de ello, reconoce

que en la historia de las matemáticas hay dos momentos cruciales respecto al

concepto de función: el primero se corresponde con lo propuesto por Euler y el

segundo con la definición de función de Dirichlet.

La misma autora señala lo siguiente:

Hay varias formas de generalizar simplemente la definición clásica de

función, si se está trabajando con funciones reales definidas en el campo de

los números reales; una generalización sería considerar a las funciones en

el campo de los números complejos, ahora la concepción es otra, ya que

poseerá parte real y parte imaginaria, entre otros (Camarena, 2001a, p.

108)

En Spivak (1999, p. 49) se plantea una definición provisional.

Una función es una regla que asigna a cada uno de ciertos números reales

un número real.

Otra definición es

Una función es una colección de pares de números con la siguiente

propiedad: Si (𝑎, 𝑏) y (𝑎, 𝑐) pertenecen ambos a la colección, entonces


8

𝑏 = 𝑐; en otras palabras, la colección no debe contener dos pares distintos

con el mismo primer elemento (p. 60).

Una definición más (p. 60)

Si 𝑓 es una función, el dominio de 𝑓 es el conjunto de todos los 𝑎 para los

que existe algún 𝑏 tal que (𝑎, 𝑏) está en 𝑓. Si 𝑎 está en el dominio de 𝑓, se

sigue de la definición de función que existe, en efecto, un número 𝑏 ú𝑛𝑖𝑐𝑜

tal que (𝑎, 𝑏) está en 𝑓. Este 𝑏 único se designa por 𝒇(𝒂).

Finalmente, en Spivak (p. 61) se advierte que lo importante de una función 𝑓 es que el

número 𝑓(𝑥) esté determinado para todo número 𝑥 de su dominio. Incluso que aun

cuando una función ha sido definida como una colección de pares, nada impide que el

lector imagine una función como una regla. De tal modo que ni la función intuitiva ni

la formal brinda una manera mejor de representar una función.

1.1.3.1 Subconceptos

De acuerdo con Del Castillo y Montiel (2007) existen diversos subconceptos ligados al

concepto de función, tales como: dominio, rango, cantidad, variable, razón, inversa,

composición, entre otros. Esto, de acuerdo con el nivel educativo, el contexto o el tipo

de problema planteado, de ahí que aun cuando son diversas las definiciones

vinculadas al concepto de función y parecieran ser equivalentes, lo cierto es que

difieren conceptualmente como lo señalan Vinner y Dreyfus (1989).

Por otro lado, Hitt (2002) advierte que es importante provocar la reflexión acerca de

los subconceptos del concepto de función tales como dominio, contradominio y

conjunto imagen.

De ahí que se considere lo siguiente:

i) Al conjunto donde tome los valores la variable independiente se le llamará

dominio de la función.

ii) Al conjunto de llegada donde la función deposita sus valores se le llamará

contradominio de la función.


9

iii) Al conjunto que está constituido por todos los números resultantes de la

aplicación de 𝑓 a los elementos del dominio, se le llamará conjunto imagen

de 𝑓, tal como se observa en la Figura 1 presentada en Hitt (2002, p. 76,

énfasis en el original).

Figura 1. Subconceptos del concepto de

función. Recuperado de Hitt (2002, p. 76).

Considerando lo expuesto en Markovits, Eylon y Bruckheimer (1986) los tres

subconceptos de la función tales como el dominio, rango y la regla de correspondencia

pueden ser representados en varias formas, tal como se muestra en la Tabla 2:

Tabla 2

Subconceptos de la noción de función

Subconceptos

Representación

Verbal Diagrama de

flechas Algebraico Gráfico

Dominio Notación verbal o matemática

Una curva que incluye los miembros del dominio

Notación verbal o matemática

El eje horizontal (x) o sus partes

Rango Notación verbal o matemática

Una curva que incluye los miembros del rango

Notación verbal o matemática

El eje vertical (y) o sus partes

Regla de correspondencia

Verbal Flechas Fórmula Un conjunto de puntos en el sistema coordenado.

Nota. Recuperado de Markovits, Eylon y Bruckheimer (1986).


10

1.2 El recorrido de la noción de función lineal

A continuación se presentan las nociones que permiten orientar la perspectiva sobre

la cual se revisó lo correspondiente al concepto de función lineal

1.2.1 Definiciones desde el Cálculo

Considerando lo expuesto por Armella y Waldegg (1985, pp. 105-107)

Definición 1:

La ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente 𝑚 es:

𝑦 = 𝑚𝑥.

Esta ecuación expresa una dependencia funcional: el valor de la ordenada 𝑦

en cada punto de la recta depende del correspondiente valor de la abscisa

𝑥. Además, 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥

Definición 2:

La ecuación de la recta dependiente (sic) 𝑚 que pasa por un punto

𝑃 = (𝑎, 𝑏) es:

𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎)

Por lo tanto, 𝑦 = 𝑚𝑥 + (𝑏 − 𝑚𝑎)

La función lineal, en este caso, se expresa como 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝐶 , donde 𝐶 = 𝑏 − 𝑚𝑎.

En general, la función lineal está dada por una expresión de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝐶

Sabemos que la ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝐶 representa una recta que pasa por el punto

(0, 𝐶) y tiene pendiente 𝑚.

Podemos representar gráficamente esta situación:

Dado un punto 𝑃 sobre la gráfica, si desde él

trazamos perpendiculares a los ejes coordenados

obtenemos un valor de 𝑥0 (en el eje de abscisas) y

un valor de 𝑦0 = 𝑚𝑥0 + 𝑐

Figura 2. Representación gráfica de la

ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝐶. Recuperado de

Armella y Waldegg (985).


11

Sean (𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) dos puntos del plano. Entonces, ellos determinan una recta de

pendiente 𝑚 =𝑑−𝑏

𝑐−𝑎

Figura 3. Representación gráfica de

la recta dado un punto y su

pendiente. Recuperado de Armella y

Waldegg (1985).

El ángulo de inclinación de la recta, ∝, tiene pendiente

𝑚.

Una vez determinada la pendiente 𝑚, como la recta pasa por el punto (𝑎, 𝑏) su

ecuación será 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎)

En las siguientes secciones se espera dejar esclarecido cómo:

i) Evaluar una función en un valor dado de la variable independiente.

ii) Dibujar (aunque sea aproximadamente) la gráfica de una función.

iii) Decidir si una curva del plano representa una función.

Al respecto, Armella y Waldegg (1985, pp.107 – 112) establecen lo siguiente:

Valor de una función

Mediante una función se asocia a cada uno de los valores de la variable independiente

𝑥 uno y sólo un valor de la variable dependiente 𝑦.

Evaluar una función en un valor dado 𝑥0 de la variable independiente

significa encontrar cuál es el único valor 𝑦0 de la variable dependiente que

se le asocia a 𝑥0. Es decir, dado 𝑥0 buscamos 𝑦0 que satisfaga: 𝑦0 = 𝑓(𝑥0).

Ejemplo: Si 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥 + 2, calcular 𝑓(2), 𝑓(2.9)

𝑓(2) = 8 + 6 + 2

= 16

𝑓(2.9) = 𝑓(2.9) 3 + 3(2.9) + 2

= 35.089


12

La gráfica de una función

Sea 𝑓 una función cuyo dominio es 𝐷. La gráfica de 𝑓 es el subconjunto del plano

formado por todas las parejas (𝑥, 𝑦) donde 𝑥 está en 𝐷; 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Ejemplo: Dibujar la gráfica de la función 𝑦 =1

2𝑥

Figura 4. Representación gráfica de 𝑦 =1

2𝑥 . Elaboración

propia.

x y

0 0

1 0.5

2 2

3 1.5

A medida que se incorporan más valores de 𝑥 y sus correspondientes valores de 𝑦 en

la tabla vamos obteniendo más puntos que están sobre la gráfica de la función.

¿Cómo reconocer la gráfica de una función?

En general, las representaciones gráficas contienen una gran información sobre el

objeto representado.

Ejemplo: ¿Todas las gráficas representan funciones? No

Cada vez que una recta vertical corte a una gráfica en

más de un punto, esa gráfica no será la representación de

una función porque habrá al menos un valor de 𝑥 para el

cual no está bien determinado 𝑓(𝑥).

Figura 5. Representación de

una recta vertical que corta a la

curva en más de un punto.

Recuperado de Armella y

Waldegg (1985).


13

Considerando lo expuesto por Spivak (1999, p. 76)

[…] la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑 es una recta de pendiente 𝑐 que

pasa por el punto (0, 𝑑). Por esto las funciones reciben el nombre de

funciones lineales.

Figura 6. Representación gráfica de la

función lineal. Recuperado de Spivak

(1999).

Asimismo, Stewart, Redlin y Watson (2012, p. 153) la definen de la siguiente manera:

Una función 𝑓 de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 se denomina función lineal

porque su gráfica es la gráfica de la ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, que representa

una recta con pendiente 𝑚 y punto de intersección 𝑏 en 𝑦. Un caso especial

de una función lineal se presenta cuando la pendiente es 𝑚 = 0. La función

𝑓(𝑥) = 𝑏, donde 𝑏 es un número determinado, recibe el nombre de

función constante porque todos sus valores son el mismo número, es

decir, 𝑏. Su gráfica es la recta horizontal 𝑦 = 𝑏 (énfasis en el original).

En la siguiente figura se muestran ejemplos tanto de la función constante, así

como de la función lineal.


14

Figura 7. Ejemplos de función constante y función

lineal. Recuperados de Stewart, Redlin y Watson

(2012).

1.2.2 Definiciones desde el Álgebra Lineal

El Álgebra Lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos como

vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y su enfoque de manera más

formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.

De manera más específica, el Álgebra Lineal estudia conjuntos denominados espacios

vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares,

y presentan una estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra

de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades. También

estudia transformaciones lineales, que son funciones entre espacios vectoriales que

satisfacen las condiciones de linealidad.

Esta transformación la define Grossman (1988, p. 275) como:

Sean 𝑉 y 𝑊 espacios vectoriales. Una transformación lineal 𝑇 de 𝑉 en 𝑊 es

una función que asigna a cada vector 𝑣 ∈ 𝑉 un único vector 𝑇𝑣 ∈ 𝑊 y que

satisface para cada 𝑢 y 𝑣 en 𝑉 y cada escalar 𝛼,

T(𝒖 + 𝒗) = 𝑇𝒖 + 𝑇𝒗 (1)

𝑇(𝛼𝒗) = 𝛼𝑇𝒗 (2)

Notación: Escribimos 𝑇: 𝑉 → 𝑊 para indicar que 𝑇 transforma 𝑉 en 𝑊

Terminología: Las transformaciones lineales se llaman con frecuencia, operadores

lineales. También, las funciones que satisfacen (1) y (2) se denominan funciones

lineales. (p. 275, énfasis en el original).

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/Vector

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_lineal


15

Por su parte, Lay (2007, p. 77) especifica que las transformaciones lineales conservan

las operaciones de suma de vectores y de multiplicación por un escalar, mientras que

Grossman (1988, p. 278) advierte lo siguiente:

No todas las funciones que tienen apariencia de ser lineales lo son en la

realidad. Por ejemplo sea 𝑇: 𝑅 → 𝑅 definida por 𝑇𝑥 = 2𝑥 + 3. Entonces

{(𝑥, 𝑇𝑥): 𝑥 ∈ 𝑅} es una línea recta en el plano 𝑥𝑦. Pero 𝑇 no es lineal puesto

que 𝑇(𝑥 + 𝑦) = 2(𝑥 + 𝑦) + 3 = 2𝑥 + 2𝑦 + 3 y 𝑇𝑥 + 𝑇𝑦 = (2𝑥 + 3) +

(2𝑦 + 3) = 2𝑥 + 2𝑦 + 6. Las únicas funciones lineales de 𝑅 en 𝑅 son

funciones de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 para algún número real 𝑚. Por lo tanto,

de todas las funciones que son líneas rectas, las únicas que son lineales son

las que pasan por el origen.

Esta declaración establece cómo es que en el Álgebra Lineal, la idea de función lineal

se restringe. Hecho que también llega a suceder en el Cálculo, con la introducción de la

noción de función afín.


16

1.3 Algunas investigaciones alrededor de los conceptos de función y

función lineal en Matemática Educativa

En esta sección se da cuenta de la revisión bibliográfica realizada. Se presentan

estudios que aportan información relacionada con el objeto matemático2 que este

estudio aborda, con la intención de mostrar la ruta que las investigaciones han

tomado en los últimos años en los siguientes dominios de investigación.

1.3.1 Estudios cognitivos

La revisión de literatura de corte cognitivo que a continuación se presenta en la Tabla

3 es actual, pero no exhaustiva. No obstante, se incluye información proveniente de lo

que se estudia, el método que utilizan, la muestra que consideran y la teoría bajo la

cual la desarrollan.

Tabla 3

Descripción de los estudios cognitivos identificados sobre función y función lineal. Año Autor (es) Lo que se explora Muestra Método Teoría

1990 Leinhard, Zaslavsky y Stein

Investigaciones sobre tareas de interpretación y construcción de funciones y sus representaciones

Estudiantes entre los 9 y los 14 años

Revisión de literatura

Marco conceptual sobre las tareas de graficación y las funciones.

1993 Even Características esenciales del concepto moderno de función

162 futuros profesores de matemáticas de secundaria en su última etapa de formación formal.

Aplicación de cuestionario y entrevistas

Los conocimientos de matemáticas de los profesores

2003 Sajka Comprensión del concepto de función

Una estudiante de secundaria

Método aleatorio

La teoría procepto

2004 Dolores Concepciones alternativas de los estudiantes al analizar funciones a través de sus graficas cartesianas

40 alumnos de bachillerato orientado a Ciencias computacionales y la contabilidad, de México

Exploratorio Aplicación de un cuestionario

Concepciones alternativas Visualización

2 De acuerdo con Radford el objeto es producto de la actividad humana mientras que para Cantoral, los significados de objetos son creados en el ejercicio de prácticas normadas. Son el resultado de un valor de uso. (Cantoral, 2016, p. 63 y p. 65).


17

2006 Martinez y Brizuela

Formas de pensar acerca de las tablas en funciones lineales en tercer grado

15 estudiantes de tercer grado de una escuela primaria de Boston, Massachusetts

Estudio de caso Teoría de los campos conceptuales

Hofacker

Comprensión de los conceptos de función lineal y función exponencial

170 estudiantes de cuarto año de la universidad, de un curso de álgebra

Estudio de caso evaluativo

Marco conceptual sobre la enseñanza y aprendizaje del álgebra

2008 García y Montiel

La linealidad en una

experiencia de

educación a distancia

Estudiantes de un curso de maestría de CICATA - IPN de México

Ingeniería didáctica

Socioepistemología

2009 Ronda Compresión de la función como ecuación

Estudiantes de 8, 9 y 10 años de Melbourne y Filipinas

Interpretativo y exploratorio

Teoría del proceso – objeto y perspectivas teóricas sobre la comprensión de la función

2010 Thomas, Wilson, Corballis, Lim y Yoon

Uso de la resonancia magnética funcional para observar la actividad cerebral

10 estudiantes de matemáticas de la universidad de Auckland, Nueva Zelanda.

Cualitativo Se dividieron los estudiantes en principiantes y expertos

Resonancia magnética funcional

2011 Tanisli Pensamiento funcional en relación con tablas de función lineal

4 estudiantes de quinto grado de primaria

Entrevistas videograbadas

Pensamiento funcional

2012 Planinic, Milin-Sipus, Katic, Susac e Ivanjek

Comprensión de la gráfica de la pendiente en física y matemáticas

114 estudiantes de segundo grado de secundaria de Croacia

Adaptación y aplicación de la prueba de Beichner (1994)

Marco conceptual sobre la interpretación de la pendiente de una recta

Birgin Comprensión de la pendiente de una función lineal

115 estudiantes de octavo grado de una escuela pública de Trebisonda, Turquía

Aplicación de un instrumento Entrevista Cuantitativo

Formas de representar una función lineal

Acevedo Nistal, Van Dooren y Verschaffel

Evaluación de la elección de representaciones al resolver funciones lineales

86 estudiantes de secundaria de una escuela privada de Valladolid, España

Método selectivo

Múltiples representaciones externas

2013 Acevedo Nistal, Van Dooren y

Justificaciones de los estudiantes sobre sus estrategias al resolver

36 estudiantes de una escuela secundaria de

Método selectivo

Múltiples representaciones externas


18

Verschaffel

problemas con funciones lineales

Valladolid, España

2014 Adu-Gyamfi y Bossé

Procesos y razonamientos en las representaciones relacionadas con la función lineal

8 estudiantes de un curso de precálculo de una escuela de de E. U.

Estudio de caso Registros de representación Dominio matemático

2015 Nyikahadzoyi Conocimiento del profesor sobre el concepto de función como concepto unificador en el currículum

Profesores de matemáticas de la República de Zimbabue

cualitativo, analítico

Conocimiento matemático Shulman, Ball, entre otros

2016 Panaoura, Michael-Chrysanth, Gagatsis, Elia y Philippou,

Comprensión del concepto de función

756 estudiantes de la Universidad de Chipre

Cuantitativo Aplicación de un test análisis estadístico

Estructura teórica de la comprensión conceptual de la noción de función

2017 Zúñiga y Morales

Diseño de una secuencia para aprender el concepto de pendiente

6 estudiantes de bachillerato de Chiapas, México


Teoría de situaciones didácticas

Nota. Elaboración propia.

La intención de presentar las muestras, se debe entre otros factores a la diversidad de

población involucrada que va desde estudios de caso, hasta la aplicación de

instrumentos a gran escala. Ello sugiere reflexionar sobre los énfasis que se realizan

sobre la comprensión o el conocimiento sobre el objeto matemático que se estudia o

explora.

Nótese cómo abundan más los estudios relacionados con los estudiantes y prueba de

ello manifiesta el estudio de Leinhardt, Zaslavsky y Stein (1990) quienes en la década

de los ochenta realizaron una amplia revisión bibliográfica sobre la enseñanza y el

aprendizaje de funciones, gráficas y graficación con estudiantes de entre 9 y 14 años.

Centran su atención en este tópico, debido a que los estudiantes al trabajar con

funciones y gráficas usan un sistema simbólico para desarrollarlo y entenderlo. Los

autores identificaron que los estudiantes presentan serias dificultades al tratar de

conceptualizar la idea de función, correspondencia, linealidad, representación de

funciones, su lectura e interpretación, entre otros.

Mientras que en el trabajo presentado por Chiu, Kessel, Moschkovich y Muñoz-Nuñez

(2001) se plantea un estudio de caso en el que muestran cómo emergen y cambian las


19

estrategias y concepciones asociadas de dos estudiantes en el transcurso de un curso

de seis sesiones de tutoría, diseñado para desarrollar el conocimiento conceptual de

funciones lineales. Por su parte, Birgin (2012) muestra en su estudio que los

estudiantes tienen dificultades para comprender las funciones lineales, para

desarrollar sus concepciones, para trasladarse entre representaciones y en particular

que no identifican la estructura completa del concepto de función lineal, para ello

recurre al estudio solamente de la idea de pendiente.

Por otro lado, los estudios también revelan tanto los métodos utilizados, así como las

teorías sobre las cuales se desarrollan, ello permite conocer la diversidad de

direcciones que sobre el objeto matemático estudiado se forja. Por ejemplo, el trabajo

generado por Even (1993) es un estudio relacionado con 152 profesores de nivel

secundario, en el que se explora el conocimiento de un contenido pedagógico, en este

caso se trata de la enseñanza del concepto de función. El análisis evidencia que

muchos de los profesores no tenían una concepción actualizada de la función. La

apreciación de la naturaleza arbitraria de las funciones faltaba, y muy pocos podrían

manifestar la trascendencia y el origen del requerimiento de la univalencia. Se trata

entonces de una concepción limitada y que ha influido en su pensamiento pedagógico.

En el caso del estudio propuesto por Nyikahadzoyi (2015) se recuperan distintas

propuestas para estudiar el conocimiento del profesor y mejorar los procesos de

enseñanza. Esta investigación promueve tanto el reconocimiento del concepto de

función como un contenido crucial en el currículum, su adquisición de nuevos

significados en el campo de las matemáticas, así como la necesidad por parte de los

profesores para acceder a una comprensión profunda del concepto. Estos dos

estudios, revelan la importancia de continuar con estudios ligados al concepto de

función, a un tipo de función y en particular la oportunidad de continuar con

exploraciones considerando una diversidad de métodos, y teorías.

En el caso de los resultados expuestos en Dolores (2004), García y Montiel (2008) y

Zúñiga y Morales (2017) revelan la importancia de promover estudios que puedan

precisar aspectos relacionados con las concepciones, ideas tanto de estudiantes, así

como de profesores al desarrollar actividades relacionadas con las nociones de

función o función lineal o algunas de sus propiedades o características.


20

1.3.2 Estudios curriculares

En la siguiente tabla se muestra una síntesis esquemática de investigaciones

relacionadas con aspectos curriculares.

Tabla 4

Descripción de los estudios curriculares revisados sobre función y función lineal. Año Autor (es) Descripción Muestra Método Teoría (s) 1998 Lloyd y

Wilson Concepciones sobre funciones y su implementación en una reforma curricular

Un profesor de bachillerato que imparte la materia de matemáticas

Estudio de caso Concepciones de los profesores

2003 Gilbert Experiencia de desarrollo profesional respecto a funciones lineales

26 profesores de matemáticas de secundaria

Estudio de caso: Videograbaciones

Programa de desarrollo profesional

2006 Posada y Villa-Ochoa

Diseño e implementación de una propuesta didáctica de aproximación a la función lineal

15 estudiantes que cursaban el décimo grado en el Instituto Tecnológico Metropolitano de Medellín


Noción de variación, modelación matemática, sistemas semióticos de representación

2009 Chávez, Grouws, Tarr, Ross y McNaught

Uso de materiales curriculares de profesores de secundaria al trabajar con la función lineal

Profesores de matemáticas de secundaria

Cuantitativo Cualitativo

Análisis de libros de texto

2011 Huang y Cai Representaciones pedagógicas al enseñar funciones lineales en China y Estados Unidos

Una escuela de China y una escuela de Estados Unidos

Cualitativo Videograbaciones de clases Entrevistas a profesores Grupos focales de estudiantes

Representaciones pedagógicas

2012 Valenzuela y Dolores

Muestra la diferencia existente entre el currículum oficial y el currículum impartido en la asignatura de matemáticas

Estudiantes de de bachillerato de 2º , 4º y 6º semestres de la Universidad Autónoma de Guerrero, México

Cualitativo Análisis de contenidos de cuadernos de clase y de los planes de estudio

Marco conceptual sobre los niveles y dimensiones del currículum

2015 Tabach y Nachlieli

Uso de definiciones en el aula, el caso de función

Estudiantes de primer año que se formaban como futuros maestros de primaria

Grupos de trabajo Grabaciones de clase

Enfoque comunicativo

2017 Wang, Comprensión de la La muestra Cuantitativo Modelo teórico


21

Barmby y Bolden

función lineal al comparar los libros de texto de Inglaterra y Shangai

comparable fueron estudiantes de Shangai y de Inglaterra

para establecer niveles de comprensión de los estudiantes

Hatisaru y Erbas

Conocimientos matemáticos para la enseñanza del concepto de función y los resultados del aprendizaje del estudiante

Se tomó una muestra de dos maestros en servicio (de un total de 42) junto con sus estudiantes del noveno grado

Cualitativo Modelo MKT


Como se observa, gran parte de estos estudios están orientados tanto a la

implementación de materiales, al desarrollo profesional y así como a ciertos aspectos

del ámbito curricular. Lo que aporta esta revisión es la focalización que emerge

observar que los estudios aluden a libros de texto, desarrollo profesional,

conocimiento matemático, todos ellos girando alrededor de las nociones de función y

función lineal, porque se abren áreas de oportunidad para el desarrollo de futuras

investigaciones.

En la investigación desarrollada por Lloyd y Wilson (1998) se exponen ideas ligadas al

impacto de las concepciones de los profesores en relación a funciones y su

implementación en una reforma curricular. En el estudio de Gilbert (2003) se plantea

una experiencia de desarrollo profesional, relacionada con un análisis de estudios de

caso basados en video para los profesores de matemáticas de secundaria en funciones

lineales. En la tesis de maestría de Posada y Villa-Ochoa (2006) se desarrolla una

propuesta para introducir el concepto de función lineal desde una perspectiva

variacional, ahí se retoma el concepto de unidad significante introducido por Duval

(1999) para determinar algunas características de la función lineal. Por su parte

Chávez, Grouws, Tarr, Ross y McNaught (2009) presentan hallazgos relacionados con

profesores de matemáticas de secundaria en el uso de materiales curriculares, de

manera particular abordan el contenido de la función lineal.

En el caso del estudio desarrollado por Wang, Barmby y Bolden (2017) se exploran

cinco niveles de comprensión y los errores de la función lineal en estudiantes de

Inglaterra y de Shangai comparando los libros de texto. En el análisis de las soluciones

propuestas por los estudiantes se reveló que los estudiantes de Inglaterra mostraban


22

ausencia de habilidades básicas además de dificultad para tratar con los números

negativos, los estudiantes de Shanghai evidenciaron fragilidad en su capacidad para

utilizar gráficos. Ello supone que tanto los errores así como las dificultades tienen

implicaciones para la enseñanza de la función lineal en cada contexto.

Como se observa, los alcances que ahora se logran con la diversidad de estudios,

reflejan las necesidades de ampliar los horizontes e identificar la influencia del uso de

materiales, de los diseños, de la formación de profesor, entre otros.

El estudio propuesto por Valenzuela y Dolores (2012) es un claro ejemplo de las

orientaciones de las investigaciones hacia el currículum en México, este estudio

procura mostrar diferencias entre el currículum propuesto y el currículum

implementado, cuestión que da pie reconocer que los estudios curriculares en el

bachillerato están emergiendo.

1.3.3 Estudios históricos

Aquí se muestran un par de estudios que desarrollan aspectos de tipo histórico en

relación a las nociones de función y función lineal.

Tabla 5

Descripción de los estudios históricos revisados sobre función y función lineal.

Año Autor (es) Descripción Muestra Método Teoría (s) 2011 Acosta Propone a la

linealidad y proporcionalidad, como nociones que han evolucionado en la historia

Tres profesores de matemáticas, dos de nivel medio superior y uno de superior, además de un estudiante de licenciatura en Hidalgo, México

Cualitativo Marco conceptual Análisis epistemológico, cognitivo, didáctico

2015 Kjeldsen y Lützen

Interacciones entre la matemática y la física: historia del concepto de función

Estudiantes de la Universidad de Roskilde, Dinamarca

Análisis histórico. Implementación de proyectos

Marco explícito – reflexivo


Estos estudios revelan los nuevos intereses de los investigadores, al centrarse más en

el aspecto cognitivo y en el curricular o una combinación de ellas.


23

En la investigación planteada por Acosta (2011) se establece que la linealidad a través

de sus significados; y su antecedente, la proporcionalidad, son nociones que han

evolucionado en la historia, primero a partir de necesidades cotidianas de la época y

culturas, hasta formar desde el siglo XIX, un cuerpo de conocimientos estructurados

en teorías formales. De este modo, se precisa que la evolución de estas ideas puede

aportar elementos que resulten en la instalación didáctica de la noción de linealidad

en diferentes momentos en que los estudia un alumno en su trayectoria escolar.

Aseverando además, que la didáctica de la matemática no ha incorporado los

elementos de vínculo entre nociones de linealidad que se presentan entre temas de

matemáticas, y mucho menos entre cursos.

Además agrega que no resulta raro que en medios didácticos escolares la linealidad

esté vinculada a experiencias cotidianas a cualquier hecho continuo que se comporta

como una línea recta. Así, el discurso escolar, tanto en los libros de texto en que se

apoya la enseñanza como las explicaciones que brinda un docente en la escuela, a

menudo parte de experiencias comunes para explicar un fenómeno lineal.

En el estudio propuesto por Kjeldsen y Lützen (2015) se reconoce que el concepto de

función y su generalización se desarrolló gradualmente a través de procesos

impulsados por la física y que su influencia en la formación de conceptos matemáticos

podría explicar parte de la eficiencia de las matemáticas. Además de ello, se resaltan

las posibilidades para que los estudiantes se beneficien al estudiar la interacción

histórica entre ambas disciplinas y profundizar en la formación y evolución del

concepto función ilustrando esta consideración con un par de proyectos.

Estos autores en particular Kjeldsen y Lützen (2015, p. 545) proponen cuatro estadios

en el desarrollo del concepto de función:

1. El primer concepto de función ampliamente usado fue el de Euler: una función

𝑦 de 𝑥 es una expresión analítica [una fórmula denotada 𝑓(𝑥)] que expresa a 𝑦

en términos de 𝑥.

2. El concepto de Dirichlet: 𝑦 es una función de 𝑥 si para cada 𝑥 existe un valor

asociado de 𝑦 [llamado 𝑓(𝑥)]


24

3. El concepto Bourbaki: una función de un conjunto 𝐴 en un conjunto 𝐵 es un

subconjunto 𝐶 del producto cartesiano de 𝐴 × 𝐵 con la propiedad de que para

cada 𝑥 en 𝐴 existe exactamente un 𝑦 en 𝐵 tal que (𝑥, 𝑦) está en 𝐶 .

4. Distribuciones o funciones generalizadas.

1.4 Resumen

Las definiciones de los conceptos de relación, de función y de función lineal no son

únicas.

La noción de función puede representarse en términos de variable, de conjuntos de

parejas ordenadas, en términos de reglas de correspondencia o como procedimiento,

entre otras.

Se reconoce la existencia de diversas formas de extender o generalizar el concepto

clásico de función, una de ellas son las denominada funciones generalizadas.

El concepto de función tiene varios sentidos.

25

Capí tulo 2. Conceptualizacio n del currí culum y estudios sobre e ste

Introducción

El término currículum es central para la presentación de este capítulo. Es sabido que

su introducción y evolución ha sido dinámica y en ese sentido crucial para el

desarrollo de amplia investigación en el sector educativo así como también en el

campo de la matemática educativa.

Díaz Barriga (2005) reconoce que el campo de los estudios del currículo sigue siendo

uno de los más importantes en México en lo que respecta al ámbito educativo por dos

razones: su prolífera producción y que el currículum aún es visto como un foco

intelectual y organizativo de procesos educativos en las instituciones. Sin embargo, no

perdamos de vista que existen distintas miradas de adentrarse al mundo del

currículum que llega a provocar confrontaciones.

Este capítulo tiene como propósito mostrar la evolución y complejidad que los

estudios curriculares en Matemática Educativa han alcanzado en los últimos años.

Esta declaración la conforman, por un lado la multiplicidad de interpretaciones que el

concepto de currículum ha alcanzado dentro del área de la matemática educativa

dando lugar a una diversidad de modelos que se han adaptado y reconstruido para

estudiarlo.

2.1 El surgimiento de los estudios curriculares desde la matemática

educativa

La existencia de un campo profesional dedicado al estudio de los fenómenos de

naturaleza didáctica, ligados a la enseñanza y al aprendizaje de la matemática como lo

es la matemática educativa, ha permitido que los investigadores y los profesores

Capítulo 2. Conceptualización del currículum y estudios sobre éste

26

sitúen su mirada sobre el currículum y además reflexionen sobre la evolución y

complejidad que ha ido ganando dicho concepto conforme se han desarrollado

estudios con mayor profundidad.

Rico (1998) reconoce que desde la década de los sesenta prevalece un interés

particular por el desarrollo de trabajos relacionados con el currículum, marcándose

así el inicio de investigaciones en la matemática educativa. Rico (1998) identifica dos

encuentros internacionales cruciales en los que el tema central fue el currículum de

matemáticas. El primero de ellos fue el tercer Congreso Internacional sobre Educación

Matemática (ICME) que se efectuó en 1976; en él se destaca el trabajo de Howson

(1979) en el que se establecen conceptos importantes para la elaboración teórica

sobre el currículum de matemáticas. El segundo fue el proyecto del segundo estudio

internacional de evaluación del logro del IEA (Asociación Internacional para la

Evaluación del Rendimiento Escolar) que fue efectuado en 1980 en Osnambrük,

Alemania, y en el que se discutió ampliamente la noción de currículum y se estableció

que las cuatro dimensiones de la noción de currículum incluían los objetivos, los

contenidos, la metodología y la evaluación. En dicho encuentro, la comunidad de

investigadores matemáticos conciliaron establecer un nivel de reflexión sobre el

currículum considerando los elementos expuestos en la siguiente tabla.

Tabla 6

Dimensiones y niveles de reflexión del currículum.

Objetivos Contenidos Metodología Evaluación Sistema de control Materiales/Documentos Implementación en el aula

Resultado de los alumnos

Nota. Recuperado de Rico (1998, p. 5).

A partir de aquí, los estudios sobre currículum en matemáticas tendrían como punto

de referencia las cuatro dimensiones, ya que con el paso de los años se esperaría que

tomaran fuerza en educación matemática los estudios que ampliaran y profundizaran

el concepto de currículum.


27

En el Simposio que tuvo lugar en Osnabrück, Alemania, se reconoció que durante la

década de los setenta los profesionales de la educación matemática habían aprendido

a revisar sus conceptos sobre la noción de currículo, aceptando además la

diferenciación entre currículum pretendido, implementado y alcanzado (Rico, 1998).

En la década de los ochenta, los estudios sobre el currículum de matemáticas se

mantuvieron en vigor a través de estudios locales, comités internacionales y grupos

de especialistas. Fueron cuatro los documentos sobresalientes en esta época, de

acuerdo con lo expuesto en Rico (1988). Uno de los trabajos más conocidos fue el

Informe Cockcroft de 1982, en el que aparece una evaluación efectuada en Inglaterra y

Gales sobre el currículum de matemáticas; la intención era generar una propuesta de

mejora. El segundo documento fue el School Mathematics in the 1990s, ICMI Study

Series (1986) propuesto por Howson y Kahane, el cual sirvió como base para un

encuentro internacional. El tercer documento fue el libro Perspectives on

Mathematics Education de 1985 y fue la primera publicación de un grupo

internacional de especialistas, denominado grupo BACOMET. El cuarto documento

también fue un libro editado por el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas

norteamericano (NCTM) cuyas ideas pretendían apoyar la innovación curricular.

Estos documentos evidenciaban la diversidad de estudios curriculares que se estaban

realizando en ese momento.

2.2 Sobre el concepto de currículum

Al pretender unificar las opiniones de la comunidad internacional de educadores

matemáticos acerca de lo que habrá de entenderse por currículum, se encontró una

diversidad de significados en una variedad de contextos como lo reconocen Stein,

Remillard y Smith (2007).

En el informe del Segundo Estudio Internacional de Matemáticas (Livingstone,

Postlethwaite, Travers y Suter, 1986) se centra la atención en tres elementos:

currículum propuesto, currículum planeado y currículum alcanzado. De este estudio

se derivó un documento suplementario en el que Travers y Westbury (1989)


28

muestran información proveniente de dieciocho países, que evidencian elementos

considerados en cada una de las componentes del currículum, tal como se observa en

la siguiente figura.

Figura 8. Elementos del currículum propuestos por Travers y Westbury (1989). Recuperado de Mesa et al.

(2013, p. 864, traducción propia).

Por su parte, Batanero haciendo referencia al NCTM (1989) reconocía que la palabra

currículum puede usarse con diferentes significados, destacando así la siguiente

definición:

“Un plan operativo que detalla qué matemáticas necesitan conocer los

alumnos, qué deben hacer los profesores para conseguir que sus alumnos

desarrollen sus conocimientos matemáticos y cuál debe ser el contexto en

el que tenga lugar el proceso de enseñanza-aprendizaje” (Batanero, 2001,

p. 125).

No obstante, en Batanero (2001, p. 125) es posible referenciar el término currículum

con diferentes matices:

Currículo pretendido: comprende el plan escrito para el sistema escolar, que

incluye detalles de lo que se tiene que enseñar, en qué secuencia y a qué edades.

Además puede incluir sugerencias de métodos de enseñanza y de modos de

evaluación del aprendizaje. Este currículum se conoce a través de la lectura de los

documentos oficiales.

Currículum planeado

Lo que la sociedad espera

que sus estudiantes aprendan. Se describen en:

Estándares nacionales

o estatales.

Planes de estudio.

Libros de texto.

Planes de clase.

Currículum implementado

Lo que los profesores y

estudiantes hacen en la clase. Se describe en:

Estudios sobre el tiempo

dedicado a diferentes temas.

Descripciones de la

calidad de las actividades realizadas en

el aula.

Currículum logrado

Lo que los estudiantes

aprenden. Se describe en:

El rendimiento de los estudiantes en las

pruebas estandarizadas.

En las evaluaciones de

clase (exámenes,

tareas, proyectos)


29

Currículo enseñado: lo que se enseña realmente en las aulas y que puede ser

evaluado a través de la observación de clases, entrevistas o informes de los

profesores.

Currículo aprendido: son las ideas y habilidades que los estudiantes realmente

aprenden en clase y en el trabajo personal. Se evalúa a través de pruebas o

exámenes a los estudiantes.

Currículo retenido: tiene que ver con lo que los estudiantes recuerdan por un

tiempo después de la instrucción.

Currículo ejercitado: referido a lo que los estudiantes pueden aplicar en sus

estudios posteriores o en su vida profesional.

En el caso de Stein et al. (2007) definen el currículum como “la sustancia o el

contenido de la enseñanza y el aprendizaje (a diferencia del cómo de la enseñanza)”

(p. 321, traducción propia). Sin embargo, también reconocen que el currículum se

utiliza con frecuencia para describir un conjunto prescrito de materiales o las

expectativas de contenido descritos en los documentos o los marcos de política.

Por otro lado, Hirsch y Reys (2009) utilizan el término currículum para referirse a la

construcción teórica que incluye tanto lo que la sociedad valora y espera que se

aprenda en un sistema escolar en términos de contenido matemático, así como los

materiales utilizados por los profesores para impartir la enseñanza de las

matemáticas a los estudiantes.

Mientras que en el trabajo propuesto en Mesa, Gómez y Cheach (2013) se distingue

una definición de currículum que retoman de la Asociación Internacional para la

Evaluación del Rendimiento Escolar (IEA por sus siglas en inglés), que lo ha

conceptualizado como un modelo tripartito que consiste en lo propuesto, lo

implementado y lo logrado, como fue ilustrado en la Figura 8. Esto nos muestra que la

conceptualización de currículum se mueve, es dinámica.

Al respecto, investigadores como Burkhardt (2014) coinciden en que el término

currículum se utiliza con diversos significados o acepciones. Aun cuando se hace esta

advertencia específicamente para Estados Unidos, es posible extender esa idea a

cualquier parte del mundo, ya que mientras para algunos hablar de currículum se

refiere a libros de texto y su contenido, para otros se vincula a un conjunto de


30

experiencias y habilidades que adquiere un niño en el aula. Debido a esa diversidad de

interpretaciones se han generado estudios priorizando algunas de las componentes

del currículum.

Los estudios desarrollados sobre el currículum han permitido identificar las distintas

componentes que lo integran y lo que caracteriza a cada una. Toda esta información

ha sido sintetizada en modelos teóricos, los cuales presentaremos en la siguiente

sección.

2.3 Modelos teóricos para estudiar el currículum de matemáticas

En esta sección se muestran algunos modelos teóricos para estudiar el currículum

matemático presentados en orden cronológico; aunque quizá los primeros modelos

presentados parezcan modelos curriculares teóricos genéricos, todos los modelos que

se presentan en este capítulo fueron constituidos dentro del campo de la Educación

Matemática y con la intención de atender a la especificidad de la enseñanza de las

matemáticas. Como podrá observarse, los modelos contienen cuatro componentes

donde tres de ellas se han mantenido a lo largo del tiempo, mientras que la cuarta

componente se modifica, dependiendo del énfasis que el grupo de los investigadores

procure, ya sea que esté encaminado a incluir un test, libros de texto, o a la

planificación de las actividades del profesor.

2.3.1 Modelo propuesto por Flanders (1994)

El modelo de Flanders (1994) incluye un tetraedro cuyas cuatro componentes

abordan el currículum: lo que se propone en el plan de estudios, lo que se implementa

en el salón de clases, y lo que se logra en cuanto aprendizaje del estudiante. La cuarta

componente está referida al instrumento (prueba, test o cuestionario) con el cual se

mide el conocimiento que poseen los estudiantes y en el que se incluyen contenidos

provenientes tanto de libros, así como de los programas de estudio.


31

Figura 9. Modelo curricular. Recuperado de Flanders

(1994, p. 262, traducción propia).

Cabe aclarar que Flanders (1994) retoma y complementa el modelo de Crosswhite et

al. (1986) pero agregando una cuarta componente, la de la prueba o test, dando paso a

la conformación de un modelo que incluye cuatro componentes.

2.3.2 Modelos propuestos por Schmidt et al. (1997)

Son dos los modelos propuestos por estos autores (ver figuras 10 y 11), los cuales

también aluden a cuatro componentes. Ellos reconocen la influencia de los resultados

de los estudios internacionales como TIMSS (el Estudio de las Tendencias en

Matemáticas y Ciencias) y el IEA (Evaluación del Rendimiento Escolar) en la

conformación de los modelos, ya que ambos estudios internacionales consideran al

currículum como un constructo complejo con varias facetas, cada uno vinculado a un

contexto o nivel educativo.

El primero de esos modelos incluye: un currículo planeado, un currículo aplicado, un

currículo potencialmente aplicado y un currículo logrado. Como se puede apreciar en

la figura 10, este primer modelo es una versión simplificada del segundo modelo, en el

cual se muestra la relación entre las componentes y en el que prevalece un énfasis

sobre currículum potencialmente implementado.


32

a) Primer modelo simplificado del currículum matemático escolar

Figura 10. Modelo curricular. Recuperado de Schmidt et al. (1997, p. 178, traducción propia).

b) Segundo modelo con relaciones explícitas entre las componentes

Figura 11. Modelo curricular. Recuperado de Schmidt et al. (1997, p. 182, traducción propia).

Planeado Intenciones,

fines y metas

Potencialmente implementado

Libros de texto y otros recursos materiales

organizados

Implementado Estrategias, prácticas

y actividades Logrado

Conocimiento: ideas,

constructos, esquemas


33

En ambos modelos se presentan casi las mismas componentes, la diferencia estriba en

que en el segundo modelo no aparece como tal el currículum potencialmente

implementado; no obstante, sí se observa el énfasis que el segundo modelo pone en

las secciones donde aparece la componente denominada currículum implementado.

Hemos de reconocer la influencia de estos modelos en los trabajos desarrollados por

Alsina (2000), Batanero (2001) y más recientemente en los proyectos de Suárez,

Torres y Ortega (2012). Estos últimos realizan algunas adaptaciones de los modelos

priorizando el currículum potencialmente implementado al aglutinar lo que ellos

denominan paquetes didácticos, en el que se acentúa la importancia de que el docente

cuente con materiales acordes al currículum planeado, además de talleres de

familiarización con los materiales, las estrategias, comunidades de seguimiento y

evaluación de los profesores.

Estos modelos también han sido utilizados en trabajos que estudian específicamente

cuestiones centradas en los materiales didácticos, entre ellos están los libros de texto.

Tal es el caso de Fan, Zhu y Miao (2013) quienes reconocen la relación notable que

existe entre los libros de texto y los planes de estudio. Al respecto Schmidt et al.

(1997) ya hacían evidente el encuentro entre dos mundos: las intenciones del

programa oficial y la realidad de lo que ocurre en el aula que se encuentran unidos en

parte por los libros de texto. Recientemente Fan (2013) propuso un marco conceptual

en el que refiere a los libros de texto como una variable intermedia en el contexto de

la educación.

2.3.3 Modelo propuesto por Stein, Remillard y Smith (2007)

En respuesta a la nueva oleada de desarrollo de material curricular, diversos

investigadores provenientes del área de educación matemática utilizan el término

currículum para referirse a los recursos materiales a ser utilizados por los profesores

en el aula, como los “planes de estudio basados en estándares” tal como lo advierten

Stein et al. (2007). Este modelo está compuesto por cuatro componentes

representadas en la siguiente figura.


34

Figura 12. Modelo curricular. Recuperado de Stein et al. (2007, p. 322, traducción propia).

La aportación que este modelo realiza es la inclusión del currículum planeado y la

consideración de factores que funcionan como mediadores del currículum, tales

factores se relacionan con las creencias y los conocimientos de los profesores, su

identidad profesional, los contextos organizacionales y políticos, entre otros.

2.3.4 Modelo propuesto por Hirsch y Reys (2009)

En este modelo, el cual también contiene cuatro componentes, prevalece un énfasis

sobre una de las componentes del currículum, en el que se asegura que los libros de

texto están apegados a los estándares curriculares del Consejo Nacional de Profesores

de Matemáticas (NCTM) de Estados Unidos.

Currículum escrito

Currículum

planeado

Currículum

implementado Aprendizaje de los

estudiantes

Explicaciones para la transformación - Creencias y conocimiento de los profesores - Orientaciones de los profesores hacia el currículum - Identidad profesional de los maestros - Comunidad profesional del profesor - Contexto organizacional y político

- Estructuras y normas de la clase


35

Figura 13. Modelo de elaboración propia que agrupa los componentes de currículum.

Recuperado de Hirsch y Reys (2009).

2.3.5 Modelo propuesto por Mesa, Gómez y Cheah (2013)

Estos autores, investigaron la influencia de las pruebas estandarizadas

internacionales tanto en la enseñanza como en el aprendizaje de las matemáticas en el

salón de clases y propusieron la organización del currículum por niveles (lo global, lo

propuesto, lo implementado y lo logrado), considerando los agentes que definen

aspectos de algunas dimensiones (conceptuales, cognitivas, formativas y sociales)

propuestos en Rico (1998).

•Referido a planes de estudio proporcionados por las autoridades educativas, también denominados estándares curriculares.

Lo propuesto en el currículum

• Incluyen los libros de texto y materiales apegados a los estándares curriculares.

Los libros de texto del currículum

•Se refiere a las matemáticas que los estudiantes tienen oportunidad de aprender en el salón de clases y que están basadas en las decisiones que toma el profesor en relación al contenido y el libro de texto a utilizar.

La implementacion del currículum

•Se refiere al enfoque del contenido de las evaluaciones diseñadas para monitorear el aprendizaje del estudiante.

La evaluación del currículum


36

Conceptual Cognitivo Formativo Social Global

Propuesto

Sistemas Educativos Nacional/Federal Regional/Estatal Distrital

Escuela

Salón de clase

Implementado Salón de clase

Logrado Pruebas nacionales estandarizadas Resultados de estudios internacionales

Figura 14. Modelo curricular. Recuperado de Mesa, Gómez y Cheah (2013, p. 868, traducción

propia).

Una de las notoriedades de este modelo es considerar dentro del currículum logrado

las pruebas tanto nacionales como internacionales evidenciando que una de las

prioridades se relaciona con los resultados de las pruebas internacionales. Los autores

de este modelo señalan que las dimensiones propuestas en Rico (1998a) merecen ser

pensadas para ser aplicadas en cualquier disciplina.

2.3.6 Modelo propuesto por Remillard y Heck (2014)

Lo que este modelo en particular presenta son dos grandes componentes: una

denominada currículum oficial y otra denominada currículum operacional.


37

Figura 15. Modelo curricular. Recuperado de Remillard y Heck (2014, p. 709, traducción propia).

Este marco propone caracterizar la política curricular, el diseño y el sistema de

aprobación que proporciona una heurística para diseñar los estudios que investigan

las relaciones entre el plan de estudios y los factores que influyen en ellos. El modelo

puede ayudar a los investigadores en la toma de decisiones del currículum de

matemáticas propuesto.

Este modelo en particular reagrupa las componentes y centra su atención en:

1. El currículum designado u oficial, centrado principalmente en los fines y objetivos

curriculares; el contenido de las evaluaciones que resultan y los contenidos

autorizados.

2. La segunda componente, denominada currículum operacional, considera además

del plan de estudios oficial los materiales instruccionales, los cuales son considerados

por Remillard y Heck (2014) como aquellos medios destinados a favorecer o


38

complementar la ensen anza, incluyendo a los libros de texto, las guí as curriculares, las

tareas matema ticas, entre otros.

En particular, estos autores enfatizan que las dimensiones más importantes del

currículum aprobado para las matemáticas encontrados en la literatura son (a) las

matemáticas; (b) las interacciones de instrucción y las normas que los rigen; (c)

movimientos pedagógicos del docente; y (d) el uso de recursos y herramientas

(Remillard y Heck, 2014, p. 711).

2.3.7 Modelo propuesto por Harel (2008)

El siguiente modelo posee una característica importante: no presenta las cuatro

componentes observadas en los modelos previos. El hecho de que este modelo no

posea la estructura general de los modelos antes expuestos es la razón por la que no

presentamos este modelo en orden cronológico. El modelo se plantea sobre la base de

dos preguntas propuestas en los trabajos de Harel (2008a, 2008b). La primera está

referida a ¿Cuál es la matemática que debe ser enseñada en la escuela? y la segunda es

¿Cómo ésta debe ser enseñada? Lo cual evidencia una relación más explícita con

respecto a las componentes del currículum presentadas en cada uno de los modelos

previos y en particular centra su atención a un caso particular, a la matemática.

Este modelo teórico se denomina: enseñanza de las matemáticas basada en DNR

(donde las siglas D, N y R son tres principios fundamentales del marco: Dualidad,

Necesidad y Razonamiento repetido). En la siguiente figura se muestra el modelo

propuesto.


39

Figura 16. Modelo teórico DNR. Recuperado de Harel (2008b, p. 903, traducción propia).

Los tres principios fundamentales del modelo son:

Principio de dualidad: los estudiantes desarrollan formas de pensar a través de

la producción de formas de entender y, por el contrario, las formas de entender

que ellos producen se ven afectadas por las formas de pensar que poseen.

(Harel, 2008b, p. 899).

Principio de necesidad: para que los estudiantes aprendan las matemáticas que

pretendemos enseñarles, deben tener una necesidad de ella, donde “necesidad”

aquí se refiere a la necesidad intelectual (Harel, 2008b, p. 900).

Principio del razonamiento repetitivo: los estudiantes deben practicar el

razonamiento con el fin de internalizar formas deseables de conocimiento y

formas de pensar (Harel, 2008b, p. 900).

Para Harel (2008b) un objetivo importante de la investigación en Educación

Matemática es el poder identificar formas de entender y formas de pensar respecto al

plan de estudios, las formas deseables del conocimiento; además de reconocer,

cuando sea posible, su desarrollo en la historia de las matemáticas; y, en consecuencia,

el desarrollo de los planes de estudio de matemáticas y programas de formación del


40

profesorado que tienen por objeto ayudar a los estudiantes; todo esto sin perder de

vista que los acontecimientos históricos pueden dar pistas sobre los procesos

cognitivos de aprendizaje y, a su vez, ayudar a proporcionar una perspectiva sobre la

enseñanza.

2.4 Similitudes y distinciones entre los modelos

En esta apartado se plantean algunas similitudes y distinciones entre los modelos

teóricos encontrados procurando mostrar una visión general de lo que los diferencia.

Dos aspectos caben destacarse, por un lado los modelos plantean de manera

simultánea una visión general y particular tanto de cada modelo así como de cada

componente; esto es, puede uno hacer uso de cualquier modelo, tal cual como se

plantea o utilizar sólo una de las componentes para profundizar en ella.

Reconociéndose así la existencia de estudios que sólo se interesan en una

componente.

Por otro lado, en general los distintos modelos (a excepción del modelo propuesto por

Harel, 2008a) conservan tres de sus componentes y la cuarta se focaliza en algún

interés particular del modelo, por ejemplo, en el caso de los modelos propuestos por

Flanders (1994) y Schmidt et al. (1997) su cuarta componente contempla una prueba

o un test, mientras que en el caso del modelo de Stein et al. (2007) su cuarta

componente está referida al currículum planeado, las actividades que el profesor

diseña, sus intenciones; por otro lado, el modelo propuesto por Hirsch y Reys (2009)

incluye como cuarta componente a los libros de texto. En el caso de Harel (2008b)

plantea un modelo que de manera implícita considera estas componentes aunque no

se enuncian como componentes, sino como principios fundamentales. En el caso del

modelo propuesto por Mesa et al. (2013), éste plantea una visión para el currículum

considerando niveles y dimensiones con sólo tres componentes, la cuarta se

encuentra implícita, este modelo enfatiza en particular la influencia de las pruebas

estandarizadas, tales como PISA (Programa Internacional de Evaluación de los

Alumnos) y TIMSS (El Estudio de las Tendencias en Matemáticas y Ciencias).


41

2.5 La elección de un marco teórico

Dada la diversidad de modelos encontrados, se seleccionaron aquellos que podrían

enmarcar la investigación considerando los elementos que se fueron incorporando. Se

retomaron del modelo propuesto por Stein et al. (2007) las primeras tres

componentes, conformadas por: currículum escrito, currículum planeado y

currículum implementado y se sustituyó a la cuarta componente denominada

aprendizaje de los estudiantes por el de materiales instruccionales proveniente del

modelo propuesto por Remillard y Heck (2014). Una de las razones principales de

haber sustituido a la cuarta componente en el modelo de Stein et al. (2007), se debe a

que los libros de texto enmarcados dentro de los materiales instruccionales no forman

parte del currículum oficial ni tampoco del currículum planeado. Es en el currículum

implementado donde emerge el uso de los libros de texto por parte de los profesores,

quienes lo usan para aplicar una lección de manera completa o sólo para hacer uso de

los ejercicios o algunas definiciones que ahí se proponen.

2.6 Resumen

La noción de currículum ha ido diversificándose en las últimas décadas, en el caso de

la Matemática Educativa a partir de la década de los 60´s prevalece un interés por el

desarrollo de trabajos relacionados con el currículum.

En la década de los 70´s los profesionales de la Matemática Educativa identificaron

dimensiones para estudiar el currículum y marcaron diferencias entre el currículum

pretendido, implementado y alcanzado.

Existen varios modelos teóricos para estudiar el currículum de matemáticas. En la

mayoría de ellos aparecen tres componentes: lo propuesto, lo implementado y lo

logrado. En estos hay una cuarta componente que es variable; ya sea aludiendo a un

test, un libro de texto, o planeaciones.

En uno de los modelos, se observan extensiones relacionadas con una visión global

que va de los sistemas educativos hasta el salón de clases y con una variedad de


42

dimensiones (conceptuales, formativas, cognitivas y sociales), en otra de los modelos

sólo se considera a la matemática que se ha de enseñar y a la forma de hacerlo.

43

Capí tulo 3: la pregunta de investigacio n, los objetivos y el me todo

Introducción

La literatura reconoce que en la disciplina de la matemática educativa existe amplia

investigación respecto al concepto de función; aun cuando se reconoce la importancia

de su estudio para casi todas las áreas de las matemáticas, también se ha observado la

complejidad implicada para su enseñanza y su aprendizaje en los distintos niveles

educativos. Ello ha derivado en un abanico de posibilidades para avanzar en el

desarrollo de estudios en un tipo de función para ser explorados desde áreas

cognitivas, epistemológicas, curriculares, entre otras.

En el caso del bachillerato tecnológico, en el que se desenvuelven estudiantes de

edades que oscilan entre los 15 y 18 años de edad se observaron dos cuestiones: la

primera tiene que ver con que la presencia de un tipo de función en particular como lo

es la función lineal, se hacía presente en al menos tres de los seis cursos que sobre el

área de matemáticas deben cursar; y la segunda se relaciona con el profesor o

profesora que imparten el curso.

En relación al primer aspecto: la función lineal se estudia en los cursos de Pensamiento

Algebraico y de Funciones, Geometría Analítica y Calculo Diferencial, cursos ubicados

en segundo, cuarto y quinto semestre. Los contenidos en común que fueron

observados fueron: concepto de función, relación, dominio, codominio, rango,

pendiente, valor de la ordenada al origen, plano cartesiano, simetría, ángulo de

inclinación, entre otros.

En relación al segundo aspecto: los profesores que imparten los cursos, observaron

que el programa no especifica con claridad los contenidos que sobre función y función

lineal deben ser abordados, ni la conexión entre los cursos, pues algunos se mantienen

dando el mismo curso por varios años, sin identificar la importancia de contenidos

Capítulo 3: El problema, la pregunta, los objetivos y el método de la investigación

44

fundamentales enseñados en el segundo semestre que son esenciales para los

siguientes cursos. Aquí también cabe advertir la diversidad de formación académica

que poseen los profesores que imparten los cursos, ya que para las autoridades

educativas el requisito base es que posean algún posgrado en un área afín a las

matemáticas para impartirlos. No es de extrañarse entonces que contadores,

ingenieros mecánicos, ingenieros industriales, ingenieros agrónomos, ingenieros en

sistemas computacionales o arquitectos, entre otros, sean quienes impartan los cursos

de matemáticas en este nivel, permeado por una visión amplia o restringida sobre lo

que es la enseñanza y el aprendizaje de la matemática escolar.

3.1 La pregunta de investigación y los objetivos

El estudio del concepto de función en la enseñanza de las matemáticas en el nivel

medio superior desempeña un papel importante en el aprendizaje de los estudiantes,

no sólo por estar relacionado con temas de otras asignaturas, sino porque permite

representar situaciones reales (Hitt, 2002). Cabe resaltar además, los dilemas que se

gestan cuando se emprenden estudios ligados al concepto de función o a un tipo de

función.

Díaz (2008) señala que en el aspecto curricular la noción de función es una hebra que

atraviesa desde los niveles básicos hasta los universitarios, además de las dificultades

que enfrentan los estudiantes por entenderlo; también señala cómo esta noción ha

generado un conjunto creciente de investigaciones, desde aquellas que estudian los

problemas de su enseñanza, las dificultades de su aprendizaje; las que proponen

marcos teóricos, hasta las que se centran en la multiplicidad de interpretaciones de la

noción.

Diversos son los autores que se han dedicado a trabajar sobre la noción de función.

Leinhardt, Zaslavsky y Stein (1990) en la década de los ochenta, realizaron una

revisión bibliográfica, en la cual muestran las dificultades que los estudiantes

enfrentan al tratar de conceptualizar la noción, enfatizando cuestiones ligadas a la

función como regla de correspondencia, así como sus distintas representaciones, su


45

lectura e interpretación. Por otro lado, en la investigación desarrollada por Birgin

(2012) se reconoce a la noción de función lineal como una idea compleja, de múltiples

facetas cuyo poder y riqueza permean casi todas las áreas de la matemática,

agregando que dadas sus diversas aplicaciones en el mundo real, éstas refuerzan la

comprensión de temas más avanzados como aquéllos provenientes del Cálculo.

Si bien es cierto que el concepto de función lineal ha sido ampliamente estudiado

desde una perspectiva cognitiva como lo evidencia Díaz (2008), también es cierto que

existen ámbitos desde los cuales aún no se ha explorado; por ejemplo el

correspondiente a robustecer los estudios derivados del currículum y centrados en un

objeto matemático específico. Tal es el caso de esta investigación, interesada en

identificar:

¿Cuáles son las transformaciones del concepto de función lineal

observadas desde su definición matemática al confrontar el currículum

escrito, el planeado y el implementado?

Entendiendo la idea de transformación como aquellos cambios o modificaciones

que se construyen alrededor del concepto de función lineal.

El estudio se enmarca en la modalidad de bachillerato tecnológico debido a que

es un nivel que articula los conocimientos provenientes del nivel básico con los

del nivel superior y el curso considerado fue Pensamiento Algebraico y de

Funciones ubicado en el segundo semestre del plan de estudios correspondiente.

Objetivos

Esta investigación tuvo como prioridades identificar, describir y analizar las

transformaciones del concepto de función lineal observadas desde su definición

matemática al confrontar el currículum escrito, el planeado y el implementado

considerando a tres profesores de matemáticas del bachillerato tecnológico en el

curso de Pensamiento Algebraico y de Funciones que se imparte en el segundo

semestre.


46

3. 2 El método

3.2.1 Estudio de caso

Para desarrollar el estudio se recurrió al método de investigación denominado estudio

de caso, el cual de acuerdo con Eisenhart (1989) se trata de una estrategia de

investigación dirigida a comprender las dinámicas presentes en contextos muy

particulares, adoptando distintos métodos para la recopilación de evidencias con el fin

de describir, verificar o generar teoría. Mientras que para Yin (1989) el estudio de

caso consiste en una descripción y análisis detallados de unidades sociales o entidades

educativas únicas. Por ello, se asume el estudio de caso como una estrategia que

permite adentrarse en una unidad social con el fin de puntualizar y comprender

algunas particularidades; esta unidad social puede estar constituida por uno o más

individuos, o incluso por instituciones como una escuela.

Considerando lo expuesto por Yin (2009) citado en Cohen, Manion y Morrison (2011),

existen varias fuentes que permiten recopilar la información para el estudio, entre

ellas se encuentran: documentos, entrevistas, archivos, objetos físicos como

fotografías, la observación directa y la observación participante; lo cual brinda

profundidad en el desarrollo de la investigación, al no centrarse en una única fuente

de evidencia.

El estudio que se presenta se desarrolló en seis etapas considerando el modelo

propuesto por Stein et al. (2007) para estudiar sus tres primeras componentes: el

currículum escrito, el currículum planeado y el currículum implementado. Además de

ello se considera como cuarta componente un material instruccional, el libro de texto.

Al respecto, Remillard y Heck (2014) sen alan que los materiales de instruccio n hacen

referencia a los recursos destinados a apoyar o complementar la instruccio n,

incluyendo libros de texto, guí as curriculares, descripciones de tareas matema ticas y

programas de instruccio n. Los libros de texto y guí as curriculares son la forma ma s

comu n de materiales dida cticos que se usan en todo el mundo y siguen desempen ando

un papel fundamental en los sistemas educativos nacionales.


47

Figura 17. Elementos que constituyen cada una de las componentes del modelo curricular.

Recuperado y adaptado de Stein et al. (2007) .

El estudio contempló lo siguiente en cada etapa:

Etapa 1: revisiones teóricas acerca de las nociones de currículum y de función

lineal.

Etapa 2: revisión de los documentos oficiales, que incluyeron el plan de

estudios de curso y el modelo didáctico sobre el cual debían construirse las

planeaciones de clase.

Etapa 3: elaboración y aplicación de un instrumento para recopilar información

de los tres profesores involucrados en el estudio (ver anexo 1).

Etapa 4: recopilación de materiales de apoyo que los profesores utilizaron

durante el desarrollo de su curso denominado Pensamiento Algebraico y de

Funciones. Estos materiales incluyeron los libros de texto utilizados por los

profesores, planeaciones de clase, instrumentos (exámenes) y herramientas de

•Plan de estudios de los Centros de Bachillerato Tecnológico

•Programa de estudio del curso Pensamiento Algebraico y de Funciones

•Modelo Didáctico Global

Currículum escrito

•Planes de clase

•Cuadernos de notas

•Exámenes

•Uso de un software

•Otros


•Grabaciones de clase.

•Materiales y/o recursos utilizados

•Listas de ejercicios

Currículum implementado

Materiales instruccionales Libros de texto

Eslava (2012) Orozco (2013)

Mendoza (2014)


48

apoyo (software Graphmatica:

http://www.graphmatica.com/index.html?/espanol/).

Etapa 5: grabaciones de clase en las cuales los profesores abordaron temas

relacionados con la noción de función lineal.

Etapa 6: construcción de un marco de análisis y determinación de categorías a

utilizar para el estudio de la información recabada.

Cabe mencionar que para efectuar el análisis de los materiales en las etapas 2, 4 y 5 se

utilizaron las tablas generadas en la etapa 6, referidas al marco de análisis y las

categorías, presentadas en la sección de los instrumentos.

3.2.2. El contexto

El estudio se llevó a cabo en el bachillerato tecnológico, modalidad que se caracteriza

por ser bivalente, esto significa que los estudiantes adquieren tanto una formación

profesional para desenvolverse en el campo laboral, así como una formación en áreas

disciplinares para continuar sus estudios en un nivel superior.

Al respecto, el acuerdo secretarial No. 442 reconoce que los planteles tecnológicos

dependientes de la Subsecretaría de Educación Media Superior de la Secretaría de

Educación Pública personifican un mundo complejo y diverso, en el que se observan

diferencias no sólo entre los distintos tipos de instituciones, sino además de las

condiciones territoriales.

Al respecto, el artículo 37 de la Ley General de Educación (LGE) señala que:

El tipo medio superior comprende el nivel de bachillerato, los demás

niveles equivalentes a éste, así como la educación profesional que no

requiere bachillerato o sus equivalentes. Se organizará, bajo el principio de

respeto a la diversidad, a través de un sistema que establezca un marco

curricular común a nivel nacional y la revalidación y reconocimiento de

estudios entre las opciones que ofrece este tipo educativo (p. 17, párrafo

reformado en el DOF 10-06-2013).

Por lo que la una de las preocupaciones de la Secretaria de Educación Pública es

proveer al estudiante de planes de estudio que atiendan las necesidades de

pertinencia personal, social y laboral, en el contexto de las circunstancias del

http://www.graphmatica.com/index.html?/espanol/


49

mundo actual, caracterizado por su dinamismo y creciente pluralidad (Acuerdo

No. 442, p. 27).

En ese sentido, esta modalidad, sugiere prestar mayor atención a la formación

profesional para insertarse al mundo laboral que a los contenidos disciplinares,

en el que se encuentra inmerso el objeto de estudio de esta investigación.

3.2.3. Los participantes

Fueron tres los profesores involucrados en el estudio, la primera es la profesora Lulú

con 12 años de experiencia como docente frente a grupo, Iris con 18 años e Israel con

14 años3.

En relación a su preparación profesional, la profesora Lulú es egresada de la Escuela

Normal Superior del Estado de México (ENSEM) en la que se formó como profesora de

educación básica en el área de matemáticas, tiene una maestría en Docencia y

Administración de la Educación Superior por parte del Colegio de Estudios de

Posgrado de la Ciudad de México. En el ciclo escolar 2014 - 2015, inició trámites para

tomarse un año sabático. Ha tomado varios cursos y diplomados para actualizarse,

entre ellos están el Diplomado de PROFORDEMS denominado “Competencias

docentes en el nivel medio superior” ofrecido por la Secretaría de Educación Pública y

la Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación Superior.

La profesora Iris, es arquitecta, egresada de la Universidad Autónoma del Estado de

México (UAEM), realizó una maestría y un doctorado en Ciencias de la Educación en el

Colegio de Estudios de Posgrado de la Ciudad de México. Al igual que la profesora

Lulú, también ha concluido el Diplomado PROFORDEMS y se ha certificado.

En el caso del profesor Israel, éste tiene una carrera trunca en Ingeniería en Sistemas

Computacionales, estudió la licenciatura en Educación en una escuela normal de la

ciudad de Toluca y recientemente concluyó la maestría en formación docente en el

Colegio Mexiquense. Al igual que las otras profesoras, también ha tomado algunos

cursos, está certificado por el Instituto Latinoamericano de Comunicación Educativa

3 Los nombres de los profesores involucrados en este estudio no son los verdaderos, han sido cambiados para proteger su identidad y garantizar su confidencialidad.


50

(ILCE) en habilidades tecnológicas y ha sido capacitado también para el uso de

pizarrones electrónicos.

La profesora Lulú trabaja en un Centro de Bachillerato Tecnológico (CBT) 25 horas a

la semana en el turno matutino. Previa a esta escuela había laborado en otras cinco

escuelas, tres del nivel básico y dos preparatorias. Actualmente imparte a dos grupos

del segundo semestre la materia Pensamiento Algebraico y de Funciones y la materia

de Pensamiento del Cálculo Integral a tres grupos del sexto semestre. Ella señala que

de momento no ha buscado laborar más horas por la tarde para no descuidar a su

familia.

La profesora Iris trabaja en la misma escuela que la profesora Lulú, sólo que en ambos

turnos, además de una escuela preparatoria oficial, previamente había trabajado tanto

en el nivel medio superior como en el superior. Trabaja 35 horas a la semana, imparte

las materias de Cálculo Integral y Geometría Analítica en una escuela particular, en el

CBT durante el turno matutino imparte Física a los cuatro grupos de segundo grado,

además de Apreciación Artística a un grupo. En esa misma escuela, por la tarde

atiende a un grupo de primer grado con la materia de Pensamiento Algebraico y de

Funciones.

Finalmente, el profesor Israel, trabaja 48 horas a la semana en tres escuelas, en el

turno matutino labora tanto en una escuela secundaria particular como una escuela

secundaria general federalizada y en el turno vespertino en un Centro del Bachillerato

Tecnológico, recientemente logró su basificación en el turno vespertino, con lo cual

sólo trabajará en la escuela secundaria federal el siguiente ciclo escolar.

En la secundaria particular imparte la materia de matemáticas en los tres grados

atendiendo a cuatro grupos, mientras que en la escuela secundaria general

federalizada imparte dos materias, matemáticas e informática; en la primera atiende a

un grupo y en la segunda atiende a 3 grupos. En el turno vespertino imparte en un

CBT la materia de Pensamiento Algebraico y de Funciones a dos grupos. Planea en el

siguiente periodo estabilizarse laboralmente y comenzar su proceso de titulación en la

maestría que recientemente concluyó.


51

A manera de resumen

Cabe mencionar que tanto la profesora Lulú como la profesora Iris realizaron estudios

de Posgrado en la misma institución, aun cuando sea distinta su maestría.

La manera en que arriban a la docencia, las caracteriza en cierta medida sobre su

percepción de lo que eso implica y el nivel de profundidad que desarrollan en las

clases. En el caso de la profesora Lulú tenía dos opciones a elegir cuando inició sus

estudios de licenciatura, una de ellas era convertirse en profesora de matemáticas o

profesora de inglés. Elige ser profesora de matemáticas por convicción, con todo y lo

que implicaba estudiar matemáticas pues reconoce que no siempre le fue bien

durante la carrera. En el caso de la profesora Iris, su primer acercamiento a la

docencia, fue por una invitación que le hace el director de una de las escuelas en

donde actualmente trabaja, ella aceptó y ha permanecido por 18 años en el servicio.

Finalmente, el profesor Israel, se acerca a trabajar en la docencia por invitación de su

padre a colaborar en una escuela, las clases le comienzan a agradar y decide seguir

trabajando y abandona la carrera en quinto semestre que en aquel momento se

encontraba desarrollando.

Cabe señalar que la forma en que se dio la selección de los profesores fue por

invitación, destaca la riqueza que ofrece la experiencia de cada uno, ya que su

formación es heterogénea, la profesora Lulú es normalista, la profesora Iris es

universitaria y el profesor Israel proviene de un Centro de Actualización de Maestros

(CAM) lo cual permite contrastar su práctica en el aula, sobre todo al momento de

explorar las transformaciones y modificaciones que generan al trabajar con el objeto

denominado función lineal. La Tabla 7 reúne la información relevante de cada

profesor.

Tabla 7

Aspectos relevantes de los profesores participantes en el estudio.

Profesores Lulú Iris Israel

Preparación

profesional

Normalista

Profesora de

matemáticas para el

nivel secundaria

Maestría en

Universitaria.

Arquitecta

Maestría y Doctorado

en Ciencias de la

Educación

Carrera trunca en

ingeniería

Licenciatura en

educación (CAM)

Maestría en Formación


52

Administración de la

Educación Superior

Docente

Experiencia

frente a grupo

12 años 18 años 14 años

Nivel y cantidad

de escuelas donde

se labora

Medio Superior:

Estatal

Una escuela

Medio Superior

Estatal y particular

Dos escuelas

Secundaria (federal,

particular)

Medio Superior (estatal)

Tres escuelas

Materias

Impartidas

Pensamiento

Algebraico y de

funciones

Pensamiento del

Cálculo Integral

Pensamiento

Algebraico y de

funciones

Cálculo Integral

Geometría Analítica

Física

Apreciación Artística

Pensamiento Algebraico

y de funciones

Matemáticas III

Informática

Turnos Matutino Matutino y vespertino Matutino y vespertino

Horas a la semana 25

(5 grupos)

35

(7 grupos)

48

(10 grupos)


3.2.4 Instrumentos

Se utilizó un cuestionario para recopilar información específica sobre los tres

profesores, este instrumento incluyó información sobre su centro de trabajo, las

materias que atiende, los años de servicio, el número de grupos que atienden y datos

sobre su área de formación profesional (ver Anexo 1).

Para la revisión y análisis de los elementos indicados en cada una de las componentes

de la Figura 15 se construyó un marco de análisis que incluye dos tablas en las que se

consideran por un lado distintas formas de representar una función y por otro los

compontes de la función lineal. Ambas tablas consideran las ideas expuestas por

Cantoral (s/f), Hitt (2002), Larson y Hostetler (2001) quienes nos refieren la

importancia de identificar tanto las distintas formas en que una función puede

aparecer, así como la identificación de los elementos relevantes de la función lineal.

En la Tabla 8 se plantean las distintas formas en que una función podría presentarse.


53

Tabla 8

Distintas formas de representar a una función.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Re

pre

sen

taci

on

es

de

la f

un

ció

n

Caj

a n

egra

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de

lo

de

entr

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Tab

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Par

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Fórm

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Mo

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o

Co

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rucc

ión

de

un

a

ecu

ació

n f

un

cio

nal

Ver

bal


En la Tabla 9 se muestran los elementos identificados en la función lineal.

Tabla 9

Componentes de la función lineal.

Función lineal

Global Local

Subconceptos de una

función4

Contextos de

representación

Pendiente

Plano

cartesiano Dominio

Codominio/

Contradominio

𝑚 > 0 𝑚 < 0 𝑚 = 0

𝑚

𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎

Valor de

la

ordenada

al origen

(b) 5

Rango/ imagen


En la siguiente sección se muestran los conceptos requeridos en cada una de las tablas

construidas para el marco de análisis de los datos encontrados tanto en el currículum

escrito, el currículum planeado así como en el currículum implementado y en los

materiales instruccionales.

3.2.4.1 Distintas formas de representar una función

En la revisión de la literatura se encontraron algunas de las formas de representar una

función, tal como se muestra en el siguiente diagrama.

4 Los subconceptos de la función se abordaron en el capítulo 1. 5 Este concepto fue tratado en el capítulo 1.


54

Figura 18. Distintas formas de representar una función. Elaboración propia.

A continuación se describen y ejemplifican dichas representaciones, propuestas por

investigadores como Cantoral (s/f), Hitt (2002) y Larson y Hostetler (2001) quienes

advierten que son varias las concepciones en relación a cómo podemos representar y

encontrar el concepto de función. A continuación se detallan estas representaciones.

1. Caja negra: modelo de entrada-salida

Un dispositivo para explicar el concepto de función, es el llamado la máquina función.

Y es posible describirse como:

Considerando lo expuesto en el NCTM (1972), para determinada función, 𝑓,

imaginamos una caja, la “máquina −𝑓”. La caja tiene una abertura de

entrada en la que podemos insertar cualquier elemento del dominio de 𝑓.

Tiene también una abertura de salida.

Función

Caja negra: Modelo de

entrada-salida

Caso especial de

relación

Correspondencia entre conjuntos

Tabla de valores

Parejas ordenadas

Gráfica

Relación entre

variables

Fórmula

Modelo

Ecuación

Verbal


55

Figura 19. Formas de representar un modelo

de entrada-salida. Recuperado de NCTM

(1972).

La siguiente figura muestra una imagen esquemática de la máquina 𝑓 en operación.

Cada entidad que se expulsa es un elemento de la imagen de la función 𝑓.

Figura 20. Imagen esquemática del modelo caja negra.

Recuperado de NCTM (1972, p. 92).

2. Caso especial de relación

De acuerdo con Cárdenas, Lluis, Raggi y Tomás (1986, p. 20) una relación se define

como:

Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos. Una relación entre 𝐴 y 𝐵 es un subconjunto del

producto cartesiano de 𝐴 × 𝐵.

El NCTM (1972, p. 43) destaca que es un concepto de singular importancia y que son

dos las definiciones a considerar.

Definición 1.

Una relación es un conjunto de pares ordenados.

Definición 2.


56

En términos más técnicos, una relación está definida sobre un conjunto 𝐴 si

los dos componentes de cada uno de los pares ordenados de la relación son

elemento 𝐴. Algunas veces abreviamos esa fraseología y decimos que una

relación está sobre 𝐴.

3. Correspondencia entre conjuntos

De acuerdo con Cantoral y Montiel (2014, p. 19):

Una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 consiste de dos conjuntos, el dominio de 𝐴 y el rango

𝐵. Esta correspondencia es denotada por 𝑦 = 𝑓(𝑥) o 𝑥 → 𝑓(𝑥). La

expresión 𝑓(𝑥) representa entonces al valor de 𝑓 en 𝑥, lo que también se

conoce como la imagen de 𝑥 bajo 𝑓.

4. Tabla de valores

En la obra de Yandl (1964, p. 33) se plantea la siguiente tabla que fue conservada por

un doctor para checar el éxito de la dieta de uno de sus pacientes.

Tabla 10

Tabla de valores de una dieta

Fecha Peso (kg)

Noviembre 19, 1961 135

Enero 22, 1962 110

Marzo 27, 1962 180

Abril 15, 1962 71

Mayo 28, 1962 60

Junio 29, 1962 57

Julio 22, 1962 55

Agosto 24, 1962 50

Nota. Recuperado de Yandl (1964, p. 33).

En la Tabla 10 se observa la descripción de una función en la que el dominio es un

conjunto de fechas y en el rango se encuentra un conjunto de medidas relacionadas

con el peso.


57

Considerando lo mencionado por Larson y Hostetler (2001), las funciones pueden ser

presentadas numéricamente por una tabla o lista de pares ordenados que hace

corresponder un valor de entrada con un valor de salida. Por ejemplo:

Tabla 11

Tabla de valores de una función.

𝑥 𝑦 = 2𝑥2 − 2

−2 6

−1 0

0 −2

1 0

2 6

Nota. Recuperado de Larson y Hostetler (2001)

En Cantoral y Montiel (2014) se afirma que el primer acercamiento significativo de los

estudiantes al concepto de función es a través de la elaboración de tablas. Asimismo,

establecen que el método de la tabulación es una herramienta poderosa para la

elaboración de conjeturas y para el bosquejo de formas gráficas que sintetizan la

información. No obstante, también reconocen que como muchas herramientas, la

tabulación tiene también sus limitantes, entre ellas el uso de valores de 𝑥 > 0. Al

estudiar la tabla propuesta en la siguiente figura es posible obtener información

respecto a cómo se comporta la función antes de graficarla.

Figura 21. Información del comportamiento de una función a partir del análisis de la tabla de valores. Recuperado de Cantoral y Montiel (2014, p. 46).


58

5. Parejas ordenadas

De acuerdo con Spivak (1999, p. 69)

La propiedad que exige un par ordenado (𝑎, 𝑏) debe quedar determinado por 𝑎 y 𝑏 y

por el orden en que 𝑎 y 𝑏 vienen dados:

Si (𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑), entonces 𝑎 = 𝑐 y 𝑏 = 𝑑

Por otro lado, en Hitt (2002, p. 75) se advierte lo siguiente:

Una función es un conjunto de pares ordenados, no dos de los cuales tienen

la misma primera componente.

Caso particular, mediante correspondencias arbitrarias Cantoral y Montiel

(2014, p. 29) lo siguiente:

Una función es una colección de pares de números con la siguiente

propiedad. Si (𝑎, 𝑏) y (𝑎, 𝑐) pertenecen a la colección, entonces, 𝑏 = 𝑐. La

correspondencia entre variables o entre elementos de un conjunto, pueden

establecerse en términos de elecciones arbitrarias.

Como ejemplo nos plantean que podemos tener una función considerando lo

siguiente:

Se coloca una cuerda sobre una mesa, se fijan los extremos con un clavo,

algo así como la cuerda de una guitarra moviéndose sobre un solo plano. Se

hace vibrar y se detiene hipotéticamente su vibración.

Cada punto del intervalo [𝑎, 𝑏] tendrá asociado el valor correspondiente a

la ordenada de la curva en ese instante. Ese fenómeno determina una

función real de variable real (p. 29).

Figura 22. Ejemplo de una función a partir de correspondencias arbitrarias. Recuperado de Cantoral y Montiel (2014, p. 30).


59

6. Gráfica

En Stewart, Redlin y Watson (2002, pp. 152-153) se establece que para graficar un

función 𝑓, se localizan los puntos (𝑥, 𝑓(𝑥)) en un plano de coordenadas, es decir;

colocan los puntos (𝑥, 𝑦) cuya coordenada 𝑥 es una entrada y cuya coordenada 𝑦 es la

correspondiente salida de la función.

La gráfica de una función

Si 𝑓 es una función con dominio 𝐴, entonces la gráfica de 𝑓 es

el conjunto de pares ordenados

{(𝑥, 𝑓(𝑥))|𝑥 ∈ 𝐴}

Localizados en un plano de coordenadas. En otras palabras, la

gráfica de 𝑓 es el conjunto de los puntos (𝑥, 𝑦) tales que

𝑦 = 𝑓(𝑥); esto es, la gráfica de 𝑓 es la gráfica de la ecuación

𝑦 = 𝑓(𝑥).

Asimismo, señalan que la gráfica de una función 𝑓 da un retrato del comportamiento o

“historia de la vida” de la función. Se puede leer el valor de f (x) a partir de la gráfica

como la altura de la gráfica arriba del punto 𝑥 como se muestra en la siguiente figura:

Figura 23. Ejemplo de la historia de vida de la función. Recuperado Stewart et al. (2002, p. 153).

En Cantoral y Montiel (2014, p. 31) la definición gráfica de la función está dada por:

Sea 𝑓 una función definida sobre 𝐴. Cuando la variable 𝑥 recorre el

intervalo 𝐴, el conjunto de todos los puntos 𝑀 de coordenadas (𝑥, 𝑓(𝑥))


60

constituye la representación gráfica de la función 𝑓, o también llamada la

curva representativa 𝐶𝑓 de 𝑓, y la simbolización como 𝐺𝑓 . Ahora bien, si

𝑀(𝑥, 𝑦) es un punto de 𝐶𝑓 esto significa que 𝑥 pertenece al conjunto 𝐴 y

que la 𝑦 es la imagen de 𝑥 bajo 𝑓, es decir, está dada por la expresión

𝑦 = 𝑓(𝑥).

Ejemplo: Consideremos 𝑓 definida sobre [−1, 3] por 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑥2, la curva

representativa es:

Figura 24. Ejemplo de la gráfica de una función. Recuperado de Cantoral y Montiel (2014, p. 31).

7. Relación entre variables

En Hitt (2002, p. 83) se estable lo siguiente:

[…] una función es una relación de dependencia entre dos variables, de tal

manera que al dar un valor a una de ellas queda determinado el valor de la

otra.

Este mismo autor, enfatiza una idea de función en términos más intuitivos, tal

como sigue a continuación:

[…] una función relaciona una variable independiente con otra

dependiente, de tal forma que a cada valor de la primera le corresponde un

sólo un valor de la segunda.

Al conjunto de puntos donde cambia la variable independiente se le

denomina dominio de la función. Al conjunto de puntos obtenidos a través


61

de la aplicación de la función en la variable independiente se le llama

conjunto imagen (Hitt, 2002, pp. 84-85, énfasis en el original)

Un ejemplo en el que se emplea esa terminología se muestra en el siguiente

planteamiento:

ℎ es la variable independiente,

𝑉(ℎ) es la variable dependiente,

El intervalo [0, 12] es el dominio de variación de ℎ,

El intervalo [0, 300𝜋] es el conjunto imagen.

Figura 25. Ejemplo de una función como una relación de dependencia entre dos variables. Recuperado de Hitt (2002, p. 85).

Una definición de función como relación entre variables también la plantean Cantoral

y Montiel (2014, p. 18)

Una función es una relación entre variables tal que a cada valor de la

primera variable (variable independiente) le corresponde sólo un valor de

la segunda variable (variable dependiente). Si 𝑥 representa a la variable

independiente, y describe a la variable dependiente; esto se suele escribir

como 𝑦 = 𝑓(𝑥) con el fin de representar el hecho de que la variable 𝑦 está

en función, depende, de la variable 𝑥.

8. Fórmula

Ejemplos en los que se alude a una función como fórmula, se encuentran propuestos

en Yandl (1964, p. 31, mi traducción).

Ejemplo 1

El área de un cuadrado está dada por la fórmula 𝐴 = 𝑠2. Es decir, si el lado

del cuadrado tiene 𝑠 unidades de longitud, entonces el área del cuadrado es


62

𝑠2 unidades cuadradas. La fórmula 𝐴 = 𝑠2 asigna a cada valor de 𝑠 un único

valor correspondiente de 𝐴.

Ejemplo 2.

En la Física, la ley de Hooke establece que la fuerza 𝐹 necesaria para estirar

un resorte, una distancia de 𝑥 unidades más allá de su longitud natural,

está dada por la formula 𝐹 = 𝑘𝑥, donde 𝑘 es una constante que depende

del resorte pero no de 𝑥 (previendo que |𝑥| no es demasiado grande). La

fórmula asigna a cada valor de 𝑥 un valor correspondiente único de 𝐹.

9. Modelo

De acuerdo con Larson, Hostetler y Edwards (2006) para las aplicaciones de las

matemáticas en la vida real se utilizan con frecuencia modelos matemáticos para

presentar datos reales y producir resultados significativos.

El siguiente ejemplo plantea la comparación de dos modelos matemáticos en el que se

observa el aumento del dióxido de carbono atmosférico.

El observatorio de Mauna Loa, Hawai, registra la concentración de dióxido de carbono (en

partes por millón) en la atmosfera terrestre.

En la figura P. 11 se muestran los registros correspondientes al mes de enero de varios años. En

el número de julio de 1990 de Scientific American, se utilizaron esos datos para pronosticar el

nivel de dióxido de carbono en la atmósfera terrestre en el año 2035, utilizando el modelo

cuadrático:

𝑦 = 316.2 + 0.70𝑡 + 0.018𝑡2 Modelo cuadrático para los datos 1960 – 1990

donde 𝑡 = 0 representa a 1960, como se muestra en la figura P. 11a.

Los datos que se muestran en la figura P 11b representan los años 1980 a 2002, y pueden

modelarse mediante

𝑦 = 306.3 + 1.56𝑡 Modelo lineal para los datos de 1975 – 1998

donde 𝑡 = 0 representa a 1980, ¿Cuál fue el pronóstico dado en el artículo de Scientific

American de 1990? Dados los datos más recientes de los años 1980 a 2002, ¿parece exacta esa

predicción para el año 2035?


63

Figura P. 11

Figura 26. Ejemplos de modelos matemáticos de funciones lineales y cuadráticas. Recuperados de Larson, Hostetler y Edwards (2006, p. 7).

10. Ecuación

En Swokowski (1988, p. 15, énfasis en el original) se plantea lo siguiente:

Dada una ecuación en 𝑥 y 𝑦, se dice que un par ordenado (𝑎, 𝑏) es una

solución de la ecuación si al sustituir 𝑥 por 𝑎 y 𝑦 por 𝑏 se obtiene una

igualdad. Por ejemplo, (2, 3) es solución de 𝑦 = 2𝑥 − 1 porque al sustituir 𝑥

por 2 y 𝑦 por 3 se obtiene 3 = 4 − 1, o sea 3 = 3. Se dice que dos

ecuaciones en 𝑥 y 𝑦 son equivalentes si tienen exactamente las mismas

soluciones. Las soluciones de una ecuación en 𝑥 y 𝑦 determinan un

conjunto 𝑊 de pares ordenados.

11. Verbal

Considerando lo expuesto por Larson y Hostetler (2001), ellos señalan que las

funciones pueden ser presentadas verbalmente por una oración que describe la

variable de entrada y que está relacionada a la variable de salida.

3.2.4.2 Elementos de la función lineal

De acuerdo con Slavit (1997) una función puede ser descrita con referencia a sus

propiedades locales y globales; la experiencia educativa nos permite afirmar que el

estudio de las propiedades es fundamental para caracterizar las clases de funciones. El


64

siguiente esquema presenta las propiedades que tienen en común de manera global o

local, las funciones.

Figura 27. Propiedades globales y locales de las funciones, propuestas en Slavit (1997, p. 265)

Para el caso que nos ocupa, el de la función lineal, sólo se abordaran los elementos

expuestos en la Figura 27 y que a continuación se presentan.


65

Figura 28. Elementos de la función lineal a considerar en el estudio. Elaboración propia.

Plano cartesiano

En el libro de Swokowski (1988, pp. 11–12, énfasis en el original) se considera lo

siguiente:

Se puede definir un sistema coordenado rectangular o cartesiano6 en el

plano considerando en él dos rectas coordenadas perpendiculares que se

cortan o intersectan en el origen 𝑂 de ambas. A menos que se especifique

lo contrario, en cada recta se elige la misma unidad de longitud. Se

acostumbra a colocar unas rectas en dirección horizontal con el sentido

positivo a la derecha, y la otra, vertical con el sentido positivo hacia arriba,

como se indica con las puntas de flecha en la Figura 29 a). Las dos rectas se

denominan los ejes coordenados y el punto 𝑂 es el origen, la recta

horizontal se suele llamar eje 𝑥 y la recta vertical eje 𝑦, lo cual se indica

escribiendo una 𝑥 y una 𝑦, respectivamente, junto a las puntas de los ejes.

Entonces tal plano es un plano coordenado 𝑥𝑦. En ciertas aplicaciones se 6 En Swokowski (1988, p. 11) se advierte que el nombre cartesiano se utiliza en honor al matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650), quien fue uno de los primeros en emplear estos sistemas de coordenadas.

Función lineal

Plano cartesiano

Dominio

Valor de la ordenada al

origen

Pendiente

Codominio

Rango


66

usan otros nombres, por ejemplo 𝑠 y 𝑡, para los ejes coordenados y se hace

referencia al sistema usando esas denominaciones, por ejemplo plano 𝑠𝑡.

Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro partes llamadas el

primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes que se denotan por 𝐼, 𝐼𝐼, 𝐼𝐼𝐼

y 𝐼𝑉 respectivamente (véase la Figura 29 a)).

29 a)

29 b)

Figura 29. Representación del sistema de coordenadas en dos dimensiones. Recuperado de Swokowski (1988, p. 12).

A cada punto 𝑃 en el plano 𝑥𝑦 se le puede asignar un par ordenado único

(𝑎, 𝑏), como se muestra en la Figura 29 a) El número 𝑎 es la abscisa (o

coordenada 𝒙) de 𝑃, y 𝑏 es su ordenada (o coordenada 𝒚). Se dice que 𝑃

tiene las coordenadas (𝑎, 𝑏). Recíprocamente, todo par ordenado (𝑎, 𝑏)

determina un punto 𝑃 en el plano 𝑥𝑦 con coordenadas 𝑎 y 𝑏. A veces se

habla del punto (𝑎, 𝑏) o 𝑃(𝑎, 𝑏) para indicar el punto 𝑃 con abscisa 𝑎 y

ordenada 𝑏. Para trazar un punto 𝑃(𝑎, 𝑏) se localiza en un plano

coordenado y se representa por un pequeño círculo, como se ilustra para

varios puntos en la Figura 29 b) (énfasis en el original).

Función lineal

En el capítulo 1 de este documento, se abordó el concepto de función. No obstante,

cabe señalar lo que Spivak (1999, p. 77) plantea un siguiente ejemplo:

Dados dos puntos distintos (𝑎, 𝑏) y (𝑐, 𝑑), hallar la función lineal 𝑓 cuya

gráfica pasa por (𝑎, 𝑏) y (𝑐, 𝑑). Esto equivale a decir que 𝑓(𝑎) = 𝑏 y

𝑓(𝑐) = 𝑑. Si 𝑓 ha de ser de la forma 𝑓(𝑥) = 𝛼𝑥 + 𝛽, entonces se debe tener

𝛼𝑎 + 𝛽 = 𝑏,


67

𝛼𝑐 + 𝛽 = 𝑑;

Por lo tanto, 𝛼 = (𝑑 − 𝑏)/(𝑐 − 𝑎) y 𝛽 = 𝑏 − [(𝑑 − 𝑏)/ (𝑐 − 𝑎)]𝑎, de manera

que

𝑓(𝑥) =𝑑 − 𝑏

𝑐 − 𝑎𝑥 + 𝑏 −

𝑑 − 𝑏

𝑐 − 𝑎𝑎 = (𝑥 − 𝑎) + 𝑏

Pendiente de una recta

De acuerdo con Larson, et al. (2006, p. 10)

La pendiente de recta no vertical es una medida del número de unidades

que la recta se eleva (o cae) verticalmente por cada unidad de cambio,

horizontal de izquierda a derecha. Considérese los puntos (𝑥1, 𝑦1) y (𝑥2, 𝑦2)

de la recta de la figura que a continuación se muestra.

Figura 30. Determinación de la pendiente de una

recta, dados dos puntos. Recuperado de Larson et al.

(2006, p. 10).

A medida que se avanza de izquierda a derecha a lo largo de esta recta, un cambio

vertical de:

∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 cambio en 𝑦 unidades corresponde a un cambio de horizontal de

∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 cambio en 𝑥 unidades.


68

3.2.5 Recolección y análisis de datos

Como ya se comentó el estudio que se presenta se caracteriza por ser de naturaleza

cualitativa, apoyándose en el estudio de caso, el cual considera varias de fuentes de

evidencia para obtener información. De ahí que cada elemento incluido en cada

componente propuesto en la Figura 17 se analizó considerando las Tablas 8 y 9

abordadas en la sección de instrumentos.

Para cada etapa involucrada en el método se realizó lo siguiente:

Para el desarrollo de la Etapa 1 se realizó una revisión de fuentes bibliográficas

en dos directrices: la primera estuvo orientada a la búsqueda de modelos

curriculares que se han desarrollado para estudiar el currículum, en particular

para el área de la matemática educativa. La segunda búsqueda estuvo ligada a

la búsqueda de algunas definiciones de función y función lineal propuestas

tanto en obras provenientes de la matemática formal, así como de aquellas

derivadas de los resultados de investigación.

En lo que corresponde a la Etapa 2, al realizar la revisión de los documentos

oficiales, lo que Stein et al. (2007) denominan currículum escrito, tales como el

programa del curso de Pensamiento Algebraico y de Funciones y del modelo

didáctico global (utilizado para elaborar las planeaciones de clase por parte de

los profesores) se consideraron las tablas presentadas en la sección de

instrumentos. La manera en la que se realizó la exploración con ayuda de los

instrumentos fue la siguiente:

Con la primera tabla se identificaron las distintas representaciones

asociadas al concepto de función en el programa oficial.

Con la segunda tabla se determinaron los distintos componentes de la

función lineal que fueron mencionados en el programa de estudios a

través de los contenidos o de las actividades ahí propuestas.

En lo que corresponde al MDG (Modelo Didáctico Global) se identificó

su estructura y componentes para después contrastarlas con las

planeaciones generadas por los profesores.

Respecto a la Etapa 3, se diseñó y aplicó un cuestionario (ver Anexo 1) cuyo

propósito fue recopilar información relacionada tanto con la formación


69

profesional de cada uno de profesores involucrados en el estudio, así como

también con la carga horaria que en aquella época les correspondía.

Para el desarrollo de la Etapa 4, se recopilaron y analizaron los materiales de

apoyo que los profesores utilizaron durante el desarrollo del curso

denominado Pensamiento Algebraico y de Funciones. Estos materiales

incluyeron los libros de texto utilizados por los profesores, planeaciones de

clase, instrumentos (exámenes) y herramientas de apoyo (software

Graphmatica: http://www.graphmatica.com/index.html?/espanol/); los cuales

también fueron revisados considerando con las dos tablas presentadas en la

sección de instrumentos.

En el caso de los materiales instruccionales; los libros de texto, se revisaron

tres, aquellos que en algunos momentos fueron utilizados o mencionados por

los profesores. Los autores de esos libros se corresponden con Orozco (2001,

2005 y 2013), Eslava (2012) y Mendoza (2014). La revisión incluyó lo

siguiente:

Identificar en cada libro de texto los contenidos relacionados con las

nociones de función y función lineal, incluyendo tanto las definiciones

de función y función lineal presentadas, así como las distintas

representaciones que sobre función se enfatizaban, además de las

distintas componentes de la función lineal que se abordaban con

distintos ejemplos, además de distinguir aquellas que no se

mencionaban.

En relación al manejo de un software o de un complemento de Power

Point, se identificó con qué contenidos se relacionaba para así

declararlo en las transcripciones de clase realizadas.

Durante la Etapa 5 se desarrollaron las grabaciones de clase en las cuales los

profesores abordaron temas relacionados con la noción de función lineal.

Además de ello se realizaron notas de clase con aspectos relevantes que

complementan la presentación de los resultados. Ya que mientras las

grabaciones de clase se realizaban, se observó el desarrollo de la clase del

http://www.graphmatica.com/index.html?/espanol/


70

profesor, en algunos momentos los estudiantes comentaban o reaccionaban

ante un planteamiento de las profesoras o el profesor y éstos no lo percibían.

Para el análisis de las grabaciones de clase se procedió de la siguiente manera:

Se realizaron las transcripciones de 23 sesiones de clase, 6 que corresponden a

la profesora Lulú, 6 que le corresponden a la profesora Iris y 11 al profesor

Israel. Cabe mencionar que se realizaron más grabaciones del profesor Israel

debido a que en una misma clase abordaba varios temas.

En cada transcripción se identificaron los contenidos ligados a las nociones

tanto de función así como función lineal y en particular se puso atención en los

elementos propuestos en las tablas 2 y 3 presentadas en la sección de

instrumentos.

Una vez seleccionada la información, se establecieron categorías para

analizarla, bajo las siguientes consideraciones.

o Identifica, define e interpreta conceptos matemáticos.

o Utiliza distintas formas de representaciones de un objeto matemático.

o Recurre al uso de materiales instruccionales.

o Caracteriza las situaciones que implementa en el aula.

Se presentan los resultados en función de cada componente mostrada en la

Figura 17, la cual incluye al currículum escrito, al currículum planeado, al

currículum implementado y los libros de texto.

Respecto a la Etapa 6, se destaca que conforme se avanzaba en el análisis de la

información se precisó la relevancia de generar un marco de análisis y la

determinación de categorías a utilizar para el estudio de la información

recabada que se presentan en la sección de instrumentos.

A continuación se presenta una síntesis de los contenidos abordados en las sesiones

videograbadas7 de los profesores involucrados en el estudio.

7 Nota: no todos los temas de las sesiones fueron propuestos por los profesores al comenzar el tema.


71

Tabla 12

Contenidos abordados por los profesores durante las videograbaciones de clase.

No. de sesiones de clase

Profesor (a) Lulú Iris Israel

Temas abordados 1 Noción de función

Subconceptos de la noción de función

Plano cartesiano Función lineal Ecuación lineal

Clasificación de funciones

2 Tabulación y graficación de funciones I

Prueba de la vertical

Definición de función lineal

Función lineal: Aplicación a situaciones contextuales

Características de la función lineal

Pendiente de una recta Ecuación lineal

Tabulación y graficación de funciones lineales

3 Tabulación y graficación de funciones II

Graficación de funciones lineales

Pendiente de una recta: Si 𝑚 > 0 y 𝑚 < 0

Valor de la ordenada al origen

Función lineal Dominio, codominio Grafica de una función

lineal Plano cartesiano Ecuación lineal

Repaso de temas con ayuda de Microsoft Mouse Mischief

4 Modelos de funciones lineales en contexto

Función lineal Definición de función

lineal Ecuación lineal Características de la

ecuación lineal

Noción de función Subconceptos de la

noción de función Repaso de función lineal

5 Prueba de 28 metros para obtener funciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales

Ecuación lineal Gráfica de una función

lineal

Definición de la función lineal

Ordenada al origen

6 Graficación de funciones con ayuda de Graphmatica

Pendiente de una recta

Función constante

Sistemas de ecuaciones lineales

Ecuación lineal Función lineal Solución gráfica de un

sistema de ecuaciones

Relaciones y funciones Dominio y rango de una

función Prueba de la vertical

7 Función lineal Ecuación lineal

8 Raíces de una función Pendiente de una recta Función identidad

9 Repaso de variación proporcional directa e inversa

10 Pendiente de una recta Función lineal


72

11 Pendiente de una recta Nota. Elaboración propia.

3.3 Resumen

Dado que el concepto de función es importante en la currícula de la matemática

escolar de todos los niveles educativos, reconociéndose dificultades que los

estudiantes enfrentan al tratar de conceptualizarla; y que aun cuando a la

función lineal se le ha estudiado ampliamente desde una perspectiva cognitiva,

también se señala que existen ámbitos en los cuales ésta no se ha explorado

como es el caso de los estudios curriculares centrados en un objeto matemático

en específico.

El objeto de estudio de esta investigación quedó determinado mediante la

pregunta: ¿Cuáles son las transformaciones del concepto de función lineal

observadas desde su definición matemática al confrontar el currículum escrito,

el planeado y el implementado?

Para una aproximación a la respuesta a la pregunta planteada se recurrió a la

realización de un estudio de caso que involucró a tres profesores de

matemáticas del Bachillerato Tecnológico del Estado de México, en el curso de

Pensamiento Algebraico y de Funciones, impartido durante el segundo semestre

del Ciclo Escolar 2014 – 2015

Las fases del estudio incluyeron lo siguiente: revisiones teóricas de las nociones

de currículum, revisiones conceptuales de la nociones de función y de función

lineal; revisiones de documentos oficiales; elaboración de un cuestionario para

recopilar información inicial de los tres profesores; recopilación de materiales

utilizados por los docentes en su curso (planeaciones, libros de texto y

exámenes); grabaciones de clase y transcripciones de las mismas; y la

construcción de un marco de análisis para el estudio de la información obtenida.

73

Capí tulo 4. Resultados

Introducción

Los estudios recientes relacionados con el concepto de función y función lineal

revelan que los investigadores están reorientando su atención no sólo a la exploración

de las dificultades que los estudiantes enfrentan al tratar con la función lineal, tal

como lo advierten las revisiones hechas por Leinhard, Zaslavsky y Stein (1990), o los

estudios desarrollados por Ronda (2009), Thomas, Wilson, Corbalis, Lim y Yoon

(2010) y Birgin (2012), en los que se revelan conflictos para realizar pasajes entre

distintas representaciones o la comprensión de la noción de función y función lineal.

Las recientes investigaciones manifiestan estar preocupadas también por el

conocimiento no sólo de los contenidos sino también de los conocimientos

pedagógicos y tecnológicos en los profesores de matemáticas como lo manifiesta

Nyikahadzoyi (2015), así como el uso definiciones que marcan una evolución e

interacción histórica como lo plantean Tabach y Nachlieli (2015), Kjeldsen y Lützen

(2015); además del uso de materiales curriculares como lo señalan estudios de

Chavéz, Grouws, Tar, Ross y McNaught (2009) y Wang, Barmby y Bolden (2017).

De este modo, este estudio pretende articularse a los estudios provenientes del

ámbito curricular a través del siguiente planteamiento:




De ahí que los resultados encontrados para dar respuesta a este planteamiento, se

muestren considerando cada componente del modelo adaptado de Stein et al. (2007);

es decir, el currículum escrito, el currículum planeado, el currículum implementado y

los materiales instruccionales, discutido en el capítulo 2.

Capítulo 4: Resultados

74

4.1 Currículum escrito

4.1.1 Programa de estudios

En la revisión hecha al programa de estudios del curso denominado Pensamiento

Algebraico y de Funciones (PA y F) que se imparte en el segundo semestre del

bachillerato tecnológico (denominado ahora Álgebra) 8 se detectó que sólo en dos de

las cuatro unidades se proponen componentes tanto de la noción de función así como

de la función lineal, tal como se muestra en la Tabla 13 la cual nos presenta los

contenidos ubicados tanto en la unidad dos así como en la unidad tres.

Tabla 13 Contenidos relacionados con las nociones de función y función lineal presentes en el curso de Pensamiento Algebraico y de Funciones

Unidad 2 Funciones y modelos matemáticos en contexto 2.1 Funciones como modelo matemático en contexto

2.1.1 Noción de función 2.1.2 Modelos de funciones en contexto: lineal, constante, cuadrática, polinómica exponencial y logarítmica 2.1.3 Tabulación y graficación de funciones 2.1.4 Continuidad y discontinuidad de una función de forma gráfica 2.1.5 Análisis de funciones: intersección con los ejes de las abscisas (las raíces) y las ordenadas, punto de inflexión, máximos y mínimos

Unidad 3 Funciones y ecuaciones lineales en contexto 3.1 Función lineal en contexto

3.1.1 La ecuación lineal emanada de la función en contexto 3.1.2 Los sistemas de ecuaciones como funciones en contexto


Nótese el orden de presentación de los conceptos de función y los tipos de funciones.

Dicho orden conlleva una visión que inicia con la noción de función; es decir, con el

objeto matemático para posteriormente tratar con funciones específicas, lo cual

invierte la visión que propone iniciar con procesos para continuar con los conceptos,

la noción de procepto9.

8 A partir de 2018 se implementará una reforma educativa en el nivel medio superior. Ello implica el cambio de nombre de los cursos, entre ellos el considerado para el desarrollo de esta tesis.A partir de 2018 se implementará una reforma educativa en el nivel medio superior. Ello implica el cambio de nombre de los cursos, entre ellos el considerado para el desarrollo de esta tesis. 9 La traducción de esta expresión original procept, procede de proceso (process) y de concepto (concept) que Tall (1995) define como como un objeto mental combinado que consiste en un proceso, un concepto producido por dicho proceso, y un s´ímbolo que se puede usar para significar cualquiera de los dos o los dos.


75

Se hace una distinción entre la función constante y la función lineal. Se induce a un

tratamiento de las funciones aritmético – geométrico (de lo tabular a lo gráfico), se

anticipan las nociones de continuidad y discontinuidad de las funciones, aun cuando

los tipos a tratar no incluyen funciones discontinuas. También se anticipan las

nociones de puntos inflexión, máximos y mínimos (las únicas funciones de los tipos

propuestos que presentan estas características son las polinómicas), además de ello,

se induce (a error) la noción de ecuación como equivalente a la noción de función.

Aun cuando el programa de la materia de Pensamiento Algebraico y de Funciones

sugiere como tema principal el correspondiente al concepto de función, así como el

concepto de función lineal; sin embargo, no explicita definición alguna para éstos.

Además de ello no declara por un lado, qué representaciones deben ser abordadas al

trabajar con las noción de función lineal, ni tampoco la profundidad con que deben ser

estudiadas.

Las actividades propuestas en el programa oficial proveen información de cinco de las

once representaciones de función de la Tabla 8: tabla de valores, parejas ordenadas,

gráfica y relación entre variables, agregándose solamente la construcción de la

ecuación funcional.

Respecto a los elementos propuestos para abordar la noción de función lineal, en la

unidad dos no se explícita el manejo de la pendiente, ni la ordenada al origen; en la

unidad tres la noción de función lineal aparece a la par de la noción de ecuación lineal.

4.1.2 El Modelo Didáctico Global (MDG) 10

Este modelo, está propuesto para desarrollar la planeación de clase mediante seis

cuadrantes, distribuidos a lo largo de toda una unidad de los programas.

La estrategia central del Plan y Programas de Estudio en el Estado de México, radica

en garantizar un modelo didáctico situado, es decir; un andamiaje que permita

realizar las potencialidades del estudiante en competencias y del docente en materia

de enseñanza colaborativa. En este sentido, la característica medular de esta

10 La inserción del Modelo Didáctico Global (MDG) en esta sección, se debe en esencia, a que forma parte de la propuesta para las planeaciones que el profesor deberá desarrollar al generar sus actividades con el Modelo Educativo de Transformación Académica (META).


76

arquitectura didáctica radica en las capacidades para la administración y la gestión de

conocimiento a través de una serie de pasos orientados al acceso, integración,

procesamiento, análisis y extensión de datos e información en cualquiera de los

campos disciplinarios que conforman el currículo propuesto.

El modelo META (Modelo Educativo de Transformación Académica) contempla seis

cuadrantes:

Tabla 14 Propuesta del Modelo Didáctico Global (MDG) que debe ser incluida en la planeación didáctica. Cuadrante Descripción

I Producción de un ambiente de motivación vía la gestión de preguntas de interés en el estudiante y en la construcción de estructuras jerárquicas y escenarios didácticos.

II Búsqueda, identificación y evaluación de fuentes de información electrónica, documentación bibliográfica y construcción de una estrategia de indagación.

III Acceso a fuentes de información y documentación, y generación de arreglo de datos y referentes.

IV Construcción de estrategias de resolución de problemas de acuerdo a los arreglos establecidos y los referentes teóricos y metodológicos respectivos.

V Solucionar el problema acudiendo a procedimientos propios de la disciplina bajo el apoyo del docente.

VI Formular la respuesta y generar el reporte o exposición escrita. Nota. Elaboración propia

Como elemento inicial del MDG se recurre al método de la pregunta, el cual se

utilizaría como motivador para construir estructuras jerárquicas y escenarios

didácticos. No obstante, no se aclara qué se ha de entender por “estructura

jerárquica”.

Considérese el siguiente ejemplo:

Figura 31. Ejemplo de estructura jerárquica. Elaboración propia.

Relaciones Funciones


77

¿Cuál sería aquí la idea de estructura jerárquica? ¿Qué implicaciones tendría esa idea

en la construcción de los escenarios didácticos referidos?

El tratamiento que se sugiere es situacional basado en la solución de problemas (este

aspecto se retrasa hasta el cuadrante IV). Esto último pone de manifiesto el llamado

“dilema de Piaget: Lo anticipo y no me entienden o lo retraso y los aburro”.

4.2 Material instruccional: Libros de texto

Como parte del análisis de los materiales instruccionales se incluyó la revisión de tres

libros de texto11 que los profesores utilizaron dentro de las clases cuyos autores son

Orozco12 (2001, 2005 y 2013), Eslava (2012) y Mendoza (2014), las portadas de los

textos se muestran a continuación:

Figura 32. Autores y portadas de los libros de texto utilizados por los profesores

durante el desarrollo del curso PA y F. Elaboración propia.

11 Sólo el libro de texto de Mendoza (2014) incluye bibliografía y fuentes electrónicas, los textos de Orozco (2001, 2005 y 2013) y Eslava (2012) no declaran referencia alguna. 12 Se mencionan las tres versiones de los libros, debido a que sólo hubo ligeras modificaciones, aun cuando se cambió el título en la versión de 2013, en esencia conserva la misma estructura, salvo algunos agregados.

Orozco (2001,2005 y

2013)

Eslava

(2012)

Mendoza (2014)


78

1. Los libros de texto proponen las siguientes definiciones para los conceptos de

función y función lineal, las cuales respectivamente se muestran en la siguiente

tabla:

Noción de función

Tabla 15 Noción de función propuesta en los tres libros de texto.

Orozco (2001, 2005 y 2013) Haciendo matemática


Eslava (2012) Pensamiento Algebraico

Mendoza (2014) Pensamiento Algebraico

Función “Función es una relación donde

a cada elemento del primer

conjunto (𝑥) le corresponde uno

y sólo uno del segundo

elemento (𝑦). Podemos denotar

a una función de la siguiente

manera: 𝑓(𝑥), 𝐹(𝑥), 𝑄(𝑟), 𝑆(𝑡).

Así, 𝑦 = 𝑓(𝑥)se lee: 𝒚 es igual a

efe de 𝒙, o 𝒚 está en función

de 𝒙, de donde "𝑥" es la variable

independiente y "𝑦" es la

variable dependiente”. (Orozco,

2013, p. 67, énfasis en el

original). Tabla 15. Noción de

función propuesta en los tres

libros de texto.

“Una función es una relación en la que a cada elemento del “dominio” le corresponde uno y sólo un elemento del “contradominio”; en consecuencia toda función es una relación; pero algunas relaciones no son funciones”. “Al definir una función como un conjunto de pares ordenados, se ha establecido que dos pares distintos no tienen el primer elemento. Esto significa que al representar geométricamente la gráfica de una función, a cada punto le corresponde diferente abscisa, de manera que al trazar rectas paralelas al eje de las "𝑦" por cualquier valor del dominio, cada una corta a la gráfica en un punto. Una variable 𝑦 es función de otra 𝑥, si existe una relación entre ambas de forma tal que: para cada valor de 𝑥 existe solamente uno de 𝑦”. (Eslava, 2012, p. 48).

“Una relación función o función es la relación entre dos conjuntos, de tal manera que asocia a cada elemento del dominio con un solo valor del contradominio, también es una regla de correspondencia. Es importante mencionar y comprender que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones” Conclusiones: 1. En funciones sólo existe un valor del codominio para cada uno del dominio. En caso de que no se cumpla esta condición, tendríamos una relación. 2. En una función en ninguna de las parejas ordenadas, se repite en el primer valor, pero el segundo valor si, y cuando sucede esto es una relación. (Mendoza, 2014, p. 41).


En los tres textos se enuncia la noción de función como un tipo de relación, con una

característica, la cual es imprecisa en el texto de Orozco (2013) y Mendoza (2014). Se

hace uso de la noción de relación sin aclarar su significado (sólo se hacen

señalamientos acerca de parejas ordenadas). Al presentar de esta manera la noción

de función, se evidencia un tratamiento estático de la misma. No obstante, en esos


79

mismos textos se evidencian también vestigios de un tratamiento dinámico al hablar

de variable (una independiente y otra dependiente).

Puede decirse entonces que en los textos coexisten indicios tanto de una visión

estática, así como de una visión dinámica de la noción de función.

Cabe señalar también que para las definiciones de la noción de función, en los tres

textos se hace un uso abundante del lenguaje común, dejando al margen un uso de la

notación matemática.

Distintas formas de representar una función de acuerdo con los libros de texto:

Figura 33. Formas de representar a la función en los tres libros de texto.

El texto de Orozco (2013, p.

67) plantea una función

como fórmula, en términos

de variables, regla de

correspondencia.

En el texto de Eslava

(2012, p. 48) se representa

a la función mediante

diagramas sagitales, tablas

de valores, variables.

En el texto de Mendoza

(2014, p. 41) se representa

mediante tablas, diagramas

sagitales, entre otros.


80

En los ejemplos propuestos en el texto de Orozco (2013) se exhibe una función no

enunciada en el programa, la función corresponde a 𝑉 =15

𝑡, la cual corresponde a la

hipérbola. Con esto podría decirse que este autor no se limita a los requerimientos

programáticos, sino que se extiende en los contenidos.

Noción de función lineal

Tabla 16 Noción de función lineal propuesta en los tres libros de texto.

Orozco (2001, 2005 y 2013) Haciendo matemática




Función lineal Su regla de correspondencia es un polinomio de grado uno o cero; su gráfica siempre es una recta; es de la forma: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (Orozco, 2013, p. 127)

La forma canónica o normal de la función lineal o función polinómica de primer grado es 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏; o bien 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. Su dominio y su rango son números reales. (Eslava, 2012, p. 59)

Una de las principales aplicaciones de las funciones lineales es en problemas de variación directa. Se le llama función lineal cuando su imagen es una línea recta y su forma general es:

𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 Donde: 𝑚 es la razón de cambio y 𝑏 el punto donde intercepta al eje de las ordenadas. (Mendoza, 2014, p. 58)


En los libros de Orozco y de Eslava se hace uso de la noción de un tipo polinómico (en

el primer caso de grado cero o uno; y en el segundo caso sólo de grado uno). En el

texto de Mendoza se recurre a la noción variación directa (hecho que no advierte que

esto sólo será para el caso de las funciones de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥, con 𝑚 ∈ 𝑅+)

induciendo a un error conceptual. En los libros de texto de Orozco y Mendoza se

menciona que la gráfica de una función de este tipo es una recta; en el caso del libro de

texto de Eslava no se enuncia. En el libro de texto de Mendoza se observa un indicio de

extensión de conceptos, al hacer referencia de 𝑚 como la razón de cambio.

Ejemplos de estas definiciones se pueden observar en la siguiente figura:


81

Orozco(2013, p. 84)

Mendoza, 2014, p. 44

Eslava (2012, p. 61)

Figura 34. Ejemplos de función lineal propuestos en los tres libros de texto. Elaboración

propia.

Como se observa, los textos enfatizan una notación similar de función lineal. Los tres

textos recurren a la representación gráfica de una función lineal. En el caso de Orozco

(2013) se ofrece una expresión general de las funciones lineales, además de una tabla

de valores, mientras que en el texto de Eslava (2012) se alude a una ecuación para

encontrar la raíz, la intersección con el eje 𝑥 y en el texto de Mendoza (2014) se

plantea a la función identidad y la variación con el parámetro 𝑏.

Elementos propuestos para estudiar a la función lineal

Tabla 17 Elementos de la función lineal considerados en los tres libros de texto.

Orozco (2001, 2005 y 2013)

Haciendo matemática Pensamiento Algebraico.



Caso 1: 𝑦 = 𝑥 + 𝑏,con 𝑏 ∈ 𝑅

La gráfica de 𝑓 = {(𝑥, 𝑦 𝜖 𝑅/𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏} es una recta con pendiente o inclinación 𝑚.

Caso 1: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏,con 𝑚 = 1 y 𝑏 ∈ 𝑅


82

Caso 2: 𝑦 = 𝑎𝑥, con 𝑎 > 1 Caso 3: 𝑦 = 𝑎𝑥 con 0 < 𝑎 < 1 Caso 4: 𝑦 = 𝑎𝑥 con 𝑎 < 0 (Orozco, 2013, pp. 128-131)

Si 𝑚 > 0 la función es creciente. Si 𝑚 < 0 la función es decreciente. Si 𝑚 = 0 es constante. El término independiente 𝑏 es la intersección de la recta con el eje 𝑦, llamada ordenada al origen y se representa por 𝐴(0, 𝑏). (Eslava, 2012, p. 59) Para la representación de la función de primer grado son suficientes dos puntos cualesquiera o las intersecciones con los ejes. Con los dos puntos dados 𝐴(𝑥1, 𝑦1) y 𝐵(𝑥2, 𝑦2), se obtiene la ecuación de la recta en la forma: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Donde: 𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 y 𝑏 se calcula sustituyendo

las coordenadas de 𝐴 o 𝐵 en la ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, resultando:

𝑦1 = 𝑚𝑥1 + 𝑏 ∴ 𝑏 = 𝑦1 − 𝑚𝑥1 Entonces, 𝑦 = 𝑚𝑥 + (𝑦1 − 𝑚𝑥1)

.⇒ 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

Caso 2: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde 𝑚 > 1; 0 < 𝑚 < 1 y 𝑏 = 0 Caso 3: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde 𝑚 < 0 y 𝑏 = 0 (Mendoza, 2014, p. 71, 72)


La Tabla 17 ilustra el análisis de la función lineal propuesto en los libros de texto.

Cada texto enfatiza componentes distintas en cada uno de ellos. En el caso de Orozco

(2013) se observa un énfasis sobre las variaciones de 𝑚 y de 𝑏. En particular se

enfatizan tres casos con la pendiente (𝑦 = 𝑎𝑥, 𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 1, 𝑐𝑜𝑛 0 < 𝑎 < 1 𝑦 𝑐𝑜𝑛 𝑎 < 0)

Figura 35. Ejemplos de funciones lineales variando 𝑚 y 𝑏. Recuperado de Orozco (2013, pp. 128 y

129).


83

En el caso del texto de Eslava (2012) se propone centrar la atención tanto en la

pendiente, así como con el parámetro 𝑏. En el caso de la pendiente, esta obra incluye

el caso cuando 𝑚 = 0 que a diferencia de las obras de Orozco (2013) y Mendoza

(2014) no consideran, pues tratan a la función constante como una función especial.

Cabe mencionar que también recurre a herramientas utilizadas en la Geometría

Analítica para la obtención de la pendiente así como de la ecuación punto pendiente.

Figura 36. Ejemplos popuestos en un libro de texto para estudiar

la pendiente. Recuperado de Eslava (2012, p. 59).

En el caso de Mendoza (2014), el análisis de la función lineal muestra un énfasis sobre

𝑚 como la razón de cambio, obtenida a través de dos puntos de la recta. Además en

ejemplos previos se evidencia la obtención de la pendiente considerando a la

constante de proporcionalidad.


84

Figura 37. Ejemplos propuestos en un libro de texto para estudiar la pendiente y la función lineal.

Recuperado de Mendoza (2014, pp. 24 y 71).

Por esas formas de presentación del concepto de función lineal de Eslava (2012) y

Orozco (2013) se observa una inducción hacia el concepto de familias de funciones.

Mientras que en el texto de Mendoza (2014), liga el concepto de función lineal con

aplicaciones en problemas de variación directa, así como con el concepto de razón de

cambio.

2. En cuanto a las distintas representaciones de la función lineal

En los libros de texto se detectó lo siguiente:

Tabla 18

Identificación de las distintas representaciones de la función lineal planteada en los tres libros de texto. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Orozco (2001, 2005 y 2013)

* * * * * * *

Eslava (2012)

* * * * * * * * * *

Mendoza (2014)

* * * * * * * * * *



85

En las distintas versiones del libro de Orozco no se incluyen las representaciones de

función como: caja negra, fórmula, modelo y situaciones verbales. No obstante en su

versión de 201313, se incluye a la función en la historia como: variación, proporción,

gráfica, curva, expresión analítica, correspondencia arbitraria (aplicación) y como una

terna. Por su parte, en el texto de Eslava (2012) se encontró que en general se

abordan casi todas las representaciones propuestas, sólo la de caja negra no aparece.

En este libro también se incluye una sección denominada historia de la función.

Mientras que en el texto de Mendoza (2014) se observa que la representación de la

función como caja negra no aparece.

3. En cuanto a los elementos involucrados en el tratamiento de la función lineal

En los libros se detectó lo siguiente:

Tabla 19

Identificación de los elementos de la función lineal propuesta en los tres libros de texto.

Función lineal

Co

mp

on

en

tes

Global Local

Subconceptos de una

función14

Contextos de

representación

Pendiente

Plano

cartesiano Dominio

Codominio/

Contradominio

𝑚 > 0 𝑚 < 0 𝑚 = 0

𝑚

𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎

Valor de la

ordenada al

origen (b) 15 Rango/ imagen

Orozco (2001, 2005 y 2013)

* * * * * *

Eslava (2012)

* * * * * * * *

Mendoza (2014)

* * * * * * *


En los tres textos prevalece un interés por mostrar la importancia de conocer el plano

cartesiano, los cuadrantes en que se divide y cómo se localizan las coordenadas, así lo

plantean tanto Orozco (2013) como Eslava (2012), en el caso de Mendoza (2014)

13 En el libro se propone el siguiente enlace, en el que al intentar acceder no funciona: http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/veleiro/PROYECTOS%20FINAL/TRABAJO%20FINAL/funcion_tiempo.htm#La_funcion_como_variación 14 Los subconceptos de la función se abordaron en el capítulo 1. 15 Los subconceptos de la función se abordaron en el capítulo 1.

http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/veleiro/PROYECTOS%20FINAL/TRABAJO%20FINAL/funcion_tiempo.htm#La_funcion_como_variación

http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/veleiro/PROYECTOS%20FINAL/TRABAJO%20FINAL/funcion_tiempo.htm#La_funcion_como_variación


86

plantea situaciones que requería completar una tabla de valores y generar la gráfica

correspondiente.

A continuación se muestra lo propuesto en los libros de texto para la noción de plano

cartesiano.

(Orozco, 2013 p. 57)

(Eslava, 2012, p. 34)

Figura 38. Ejemplos propuestos en un libro de texto para enseñar el plano cartesiano. Recuperado de

Orozco (2013, p. 57) y Eslava (2012, p. 34).

Respecto a los subconceptos de la noción de función están presentes en la mayoría de

los libros de texto, a excepción del libro de Orozco (2013) quien no profundiza en lo

correspondiente al rango.

En relación a la pendiente, el texto de Eslava (2012) aborda tres de los cuatro casos

identificados, mientras que en los libros de Orozco (2013) y Mendoza (2014) se trata

como función especial a la función constante y no se le incluye en los casos donde se

aborda la pendiente. Ninguno de los textos trata la pendiente infinita, salvo el caso del

texto de Eslava (2012) en el que se plantea como la inversa de la función constante.


87

Figura 39. Definición de función constante y función identidad propuesto en un libro de texto. Recuperado de Mendoza (2014, pp. 56 y 71).

Figura 40. Definición de función constante propuesto en un libro de texto. Recuperado de Eslava (2012, p.58).

En este ejemplo propuesto en el texto de Eslava, se observa que la concepción de la

noción de “inversa” induce a un error conceptual de lo que la expresión 𝑥 = 2

significa.

Los tres textos plantean el tratamiento del valor de la ordenada al origen con diversos

ejemplos, e incluso en el texto de Eslava se les plantea (según la pendiente que

tengan) que la función lineal es creciente o decreciente.


88

Finalmente, en el texto de Orozco (2013, p. 139) se propone como encontrar la raíz de

una función, además de indicar que son de dos tipos, tal como se observa en la

siguiente figura.

Figura 41. Cálculo de la raíz de una función propuesto en un libro de texto. Recuperado de Orozco (2013, p. 139).

Lo que la imagen ofrece en una representación gráfica de dónde se localiza la raíz y de

como algebraicamente se llega a ella. No obstante, haría falta profundizar en la

utilidad de acceder a ese valor y el mismo significado que adquiere, ya que lo que el

ejemplo sugiere puede inducir a un error respecto a la noción de raíz imaginaria.


89

4.3 Currículum planeado

Cabe mencionar, que tratar asuntos relacionados con la planeación en la modalidad de

Bachillerato Tecnológico, involucra el manejo de tres formatos, y cada uno de ellos se

describe a continuación.

Diagnóstico: el formato es requerido para registrar los resultados del

diagnóstico del grupo, se establecen además sugerencias de retroalimentación

y compromisos al finalizar el curso.

Encuadre: se concibe como el plan general del curso, incluye trece aspectos,

algunos de ellos son: los contenidos, las competencias, la forma de evaluación,

los conceptos clave, las referencias a utilizar, entre otros.

Planeación docente: este formato en particular incluye los seis cuadrantes que

se establecen en el Modelo Didáctico Global (MDG) y se manejaba por unidad.

En el análisis hecho a las planeaciones docentes se encontró lo siguiente:

a) Planeaciones de la profesora Lulú:

Tabla 20

Elementos incluidos en la planeación de la unidad II de la profesora Lulú.

Unidad Situaciones propuestas Conceptos involucrados Tareas de la profesora

II Para establecer la definición de función se propone: 1. Un automóvil realiza un recorrido de 60 km empleado 4.5 litros de combustible, ¿cuál es el rendimiento de 5, 7, 10, n litros? Grafica en un plano cartesiano el comportamiento del combustible con relación al número de kilómetros recorridos por el auto.

Función Representación gráfica

de diferentes tipos de funciones.

Generalización del comportamiento de una serie de datos mediante una expresión algebraica.

Graficación de funciones.

Elementos del plano cartesiano.

Moderar la participación de los alumnos.

Generar preguntas y ejemplos de aplicación sobre graficación de funciones y sus diferentes tipos.

Analizar la información recabada para la solución de los problemas

Evaluar argumentos y opiniones de los alumnos

Valoración de soluciones propuestas.

Proponer funciones para graficar y además deducir la gráfica de una función dada


90

2. Video de Ana Guevara16

con el software graficador y sin el graficador.


En la unidad dos, la profesora Lulú establece la importancia de introducir el concepto

de función, distintas formas de representarlas, tales como fórmulas, ya que plantea

una situación relacionada con el recorrido de un móvil, así como el análisis del

comportamiento de una función, además de considerar los elementos del plano

cartesiano.

Tabla 21

Elementos involucrados en la planeación de la unidad III de la profesora Lulú.

Unidad Situaciones propuestas Conceptos involucrados Tareas de la profesora

III Se plantearán a lo largo de la unidad casos problema como el siguiente: El doble de un número más 6 es igual a 40, ¿de qué número se trata?

Ecuación Ecuación lineal Métodos de solución

de una ecuación lineal

Sistema de ecuaciones

Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales

Utilizar diversos problemas algorítmicos para llegar a la solución de un problema.

Moderar la participación de los alumnos.

Generar preguntas y ejemplos de aplicación sobre ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones así como los diferentes métodos de solución.

Analizar la información recabada para la solución de los problemas planteados

Evaluar argumentos y opiniones de los alumnos.

Valoración de soluciones propuestas.

Nota. Elaboración propia. .

En la unidad tres, la profesora Lulú establece el tipo de ejemplos que establecerá a lo

largo de la unidad; sin embargo, no menciona ejemplos para los sistemas de

ecuaciones.

En las planeaciones de ambas unidades se detectó que la profesora hace uso de

diversas representaciones de la noción de función, no así para la función lineal.

b) Planeaciones del profesor Israel:

16 La profesora Lulú no establece en su planeación el papel del video de la atleta Ana Guevara, no obstante, es fundamental en las actividades que implementa en el aula, lo cual se observa en una de las clases videograbadas.


91

Tabla 22 Elementos incluidos en la planeación de la unidad II del profesor Israel. Unidad Saber conocer Saber hacer Saberes previos

II Función polinomial en contexto

Función constante Modelos de

funciones lineales en contexto

Modelos de funciones cuadráticas en contexto.

Modelo de funciones exponenciales en contexto

Modelo de funciones logarítmicas en contexto

Resolver problemas Graficar y tabular Construir modelos para calcular

el volumen de un cilindro. Aplicar la siguiente ecuación:

𝐶𝑧 = (𝑁𝑧 − 𝑀𝑧) + (𝑌𝑧 − 𝐸𝑧)

Conceptualiza lo que es el dominio y contradominio

Identifica qué es una relación y lo diferencia de una función

Clasifica las funciones Utiliza la tecnología para graficar

las funciones o Graphmatica o GeoGebra o Derive o Algebrator

Ubicar coordenadas en el plano cartesiano

Jerarquía de operaciones

Números con signo Ecuaciones


Para abordar esta unidad el profesor Israel declara como parte de sus referencias el

uso del libro de texto de Mendoza (2014). Dentro de las representaciones de la noción

de función proyectadas en la planeación se encuentran: las gráficas, tablas de valores,

modelos, relaciones, ecuaciones; además de los subconceptos de la noción de función.

Sobresale además el hecho de considerar el manejo de alguna herramienta

tecnológica. En relación a los elementos de la función lineal, sólo se tratan en términos

de modelos de funciones lineales en contexto, sin abundar más al respecto. Nótese

además la inclusión de la noción de ecuación, la cual también se aborda en la siguiente

unidad.

Tabla 23 Elementos incluidos en la planeación de la unidad III del profesor Israel. Unidad Saber conocer Saber hacer Saberes previos

III Función lineal en contexto

La ecuación lineal emanada de la función de la función en contexto.

Los sistemas de ecuaciones como funciones en contexto:

Resolver problemas relacionados con ecuaciones

Graficar y tabular sistemas de ecuaciones

Utilizar la tecnología para graficar:

o Graphmatica o Geogebra o Derive

Ecuación Función Método Sistemas de

ecuaciones


92

método gráfico y métodos analíticos

o Algebrator


Cabe mencionar que el profesor Israel realiza una extensión de la unidad tres, ya que

se abordan dos contenidos de manera concreta: las ecuaciones lineales y los sistemas

de ecuaciones. De ahí que los contextos de representación sean lo tabular, gráfico y

algebraico principalmente.

El profesor Israel dentro de su planeación por unidad incluyó la aplicación de

exámenes escritos para ser aplicados en cada uno de los parciales (ver anexo 2).

Tabla 24 Contenidos abordados en los exámenes parciales del profesor Israel.

Contenidos abordados Primer examen parcial Segundo examen parcial

Resolver problemas de variación proporcional directa, inversa o compuesta.

Completar una tabla de valores. Graficar una función cuadrática y

responder preguntas asociadas. Graficar una función racional y responder

preguntas asociadas. Proponer dos funciones que formen dos

líneas que se intersecten en el origen en forma de equis (tabula y grafica).

Completar la una tabla de valores, generar la expresión algebraica e identificar literales, el tipo de proporcionalidad que presenta, trazar la gráfica y desplazarla sobre el eje 𝑥 y sobre el eje 𝑦 tantas unidades se indiquen.

Determinar la velocidad y el tiempo que tarda una bicicleta en realizar un recorrido, además de generar la expresión algebraica, completar una tabla de valores, identificar literales y el tipo de proporcionalidad.

Resolver un sistema de ecuaciones por el método de suma y resta, sustitución e igualación.


c) Planeaciones de la profesora Iris: La profesora no entregó sus planeaciones aun

cuando se le explicó que se conservaría su anonimato y que solamente serían

utilizadas para identificar y describir las actividades propuestas para el curso de

Pensamiento Algebraico y de Funciones.

4.4 Currículum implementado

En esta sección se detecta un mayor número de evidencias en relación a las

transformaciones y cambios generados por los profesores al trabajar con los

conceptos de función y función lineal.


93

Se realizaron un total de 36 videograbaciones de clase y se realizaron 23

transcripciones de ellas para ser presentadas en este estudio. Se seleccionaron un

total de 6 historias tanto para la profesora Lulú así como para la profesora Iris y se

tomaron once historias del profesor Israel. Un resumen de cada una de las historias de

los profesores se sugiere revisar en el anexo 3, en cual da cuenta a grandes rasgos de

tres momentos de cada clase (inicio, desarrollo y cierre).

A continuación se presentan algunos fragmentos que ilustran las transformaciones

observadas en las grabaciones de clase de los profesores al abordar los conceptos de

función y función lineal.

Cabe mencionar que cada historia contiene imágenes y figuras que fueron

enumeradas por clase, ello implica que los números de las tablas y las figuras podrían

repetirse, no obstante, lo que ayuda a diferenciarlas es el número de historia y el

profesor al que se alude en cada apartado.

4.4.1 Fragmentos provenientes de las historias de la profesora Lulú

Historia 1

Historia 1: Fragmento 170 – 205

En este primer fragmento, la profesora a través de la actividad que les propone

(relacionar un oficio con un herramienta o material) introduce el concepto de

conjunto, tal como puede leerse en las líneas 170, 172, 189, 192, 193, además se deja

entrever cómo uno de los estudiantes establece la relación de un elemento de un

primer conjunto con dos elementos del segundo conjunto, tal como se lee en las líneas

194, 200, 202 y 204 respectivamente.

170. P: Y aquí a partir de todas esas palabras formamos lo que fue dos conjuntos.

171. P: ¿Cómo?

172. P: De acuerdo a sus características, ¿cómo le pudiéramos llamar a este primer conjunto?

173. O: Voltea a ver a los estudiantes, ya que mientras hablaba, modificó el tamaño de los

diagramas y que ella denomina conjuntos.

174. P: Sí (da la palabra a un alumno)

175. Ao: Oficios.

176. P: Oficios, ¿no?

177. P: Oficios…

178. P: O bien, oficios o profesiones porque el ser maestro es una profesión, mmm, herrero,


94

cerrajero, es un oficio.

179. O: Lo escribe arriba de los datos contenidos en el primer diagrama: oficios y/o profesiones.

180. P: ¿Y acá?

181. Ao: Material.

182. P: Material o… (Se dirige a los alumnos)

183. P: Material o herramientas o elementos.

184. O: Lo escribe arriba del segundo diagrama.

185. O: No obstante, le surge una duda respecto a los alumnos, justo provocada por un alumno y lo

externa.

186. O: El alumno le sugiere utilizar la palabra elementos de trabajo y entonces lo cambia en el

segundo diagrama.

187. O: Otro alumno lo cuestiona.

188. Ao: ¿Elementos de trabajo?

189. P: Sí, ¿eres un elemento del grupo o no?

190. O: Como no lo mira convencido, le sonríe.

191. O: De esta forma, los diagramas quedan de la siguiente manera:

Figura 10. Diagramas con títulos.

192. P: Bueno, entonces, hasta ahorita teníamos definido lo que es un conjunto; que es una

agrupación de elementos y que comparten ciertas características, ¿no?, en este caso fue

oficios (se refiere al diagrama 1) y en este caso elementos de trabajo (se refiere al diagrama 2).

193. P: Entons (sic), se dan cuenta, hicimos una, una, mmm, relación, ¿Sí? De este primer

conjunto con este segundo (lo marca en los diagramas) o sea cada elemento de este (se

refiere al diagrama 1) se relaciona con solamente 1 (se refiere al diagrama 2).

194. P: ¿Se puede relacionar con algún otro?

195. O: Mientras lanza la pregunta, sigue marcando la relación entre los datos vertidos en el primer

diagrama con los datos vertidos en el segundo diagrama.

196. Aos: No, no.

197. P: ¿No?

198. Aos: Sí, sí, (lo hacen con más fuerza)

199. P: ¿Cuál con cuál?

200. Ao: Costurera con tijeras.

201. O: La profesora se queda pensando.

202. P: Costurera con tijeras…

203. Aos: Murmullos.

204. P: Exactamente, a ver.

205. O: La profesora se mueve de lugar, mientras podemos observar cómo quedó la relación que


95

estableció observando la siguiente figura.

Figura 11. Relación uno a uno, propuesta por la profesora.

En esta sección de la historia uno la profesora dirige sus esfuerzos hacia la generación

del concepto de relación entre los elementos de dos conjuntos; para ello recurre a lo

que podría llamarse un tipo de “relación instrumental” surgida de las actividades

humanas y el tipo de instrumentos requeridos para llevarlas a cabo, lo cual favorece la

participación de los alumnos en clase haciendo uso de sus experiencias cotidianas y

que a su vez va condicionando en una forma de pensar al respecto. Es decir, les aleja

de aquella noción matemática de relación, entendida ésta como un subconjunto del

producto cartesiano de dos conjuntos (conjuntos cualesquiera).


En este otro fragmento, la profesora recupera elementos para definir lo que habrá de

conceptualizarse por función, no sin antes comenzar a explorar algunas ideas

relacionadas con la idea de función y distintas situaciones en las que suele emplearse

y adquirir un significado distinto al que desde la matemática se pretende desarrollar

tal como se lee en las líneas 209, 211, 216, 220, 223, 229, 232, 237, 238, 256, 265, 266,

268 y 269.

… 1. P: ¿Qué es una función? 2. P: ¿Dónde lo han escuchado? 3. P: ¿En el cine? 4. Aos: Sí. …


96

216. P: La función ya va a empezar, a las 8 o a las 7. ¿No? ¿Sí? 217. O: Los alumnos van asintiendo. 218. P: ¿En dónde más hemos escuchado? 219. Aa: En las ferias. 220. P: ¡Eh! En las ferias. 221. Ao: ¡En el circo! 222. Aa: Cuando te dicen, en cinco minutos empieza la función. 223. P: ¡En cinco minutos inicia la función! … 227. Ao: Cuando te dicen, esta pieza tenía su función. 228. O: La profesora pone atención. 229. P: Ah, esta pieza tiene su función, es decir; ¿ahorita ustedes qué función desempeñan? 230. Aos: Alumnos. 231. P: Estudiantes, ¿no? 232. P: Su función es de estudiantes. 233. P: ¿Mi función? 234. Ao: Que enseña. … 237. P: Ser la función del maestro, ¿no? Pues enseñar, como lo dijo su compañero. 238. P: Bueno, aquí si vimos esta relación. Ahora díganme con respecto a lo que ustedes

investigaron ¿qué es una función en matemáticas? ¿Quién me lee su concepto de función? … 243. Aa: En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la

primera depende exclusivamente del valor de la segunda. … 245. Aa: Una función o […] se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer

conjunto un único elemento de un primer conjunto y un único elemento del segundo conjunto.

…. 255. Ao: En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable

independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. 256. P: A ver, esa (…) lo que leyó su compañero es función algebraica pero ya está dentro del

concepto de funciones, o sea yo quiero ahorita el concepto solito de qué es una función. … 265. P: Aquí tenemos lo que es un ejemplo de función, si ustedes checaron lo que estuvieron

leyendo sus compañeros dicen que hay dos conjuntos, un primer conjunto al cual nosotros llamamos oficios o profesiones y un segundo conjunto al cual llamamos

elementos del trabajo y relacionamos uno a uno, eso quiere decir que es una función. 266. P: Cuando un elemento de un primer conjunto se relaciona únicamente con un

elemento del segundo conjunto, ¿Sí? 267. O: Esto se los ejemplifica recurriendo a los diagramas que aún se encuentran en el pintarrón. 268. P: Bueno, eso sería función. 269. P: ¿Qué otro ejemplo puede ser de función? 270. P: A ver hombres, mujeres. 271. O: La profesora dibuja un par de diagramas más en el pintarrón y en el primero coloca la

categoría hombres y en el segundo mujeres. 272. O: Enseguida completa los diagramas como se mira a continuación en la siguiente figura.

https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

https://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_(matem%C3%A1tica)

https://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsica


97

Figura 12. Ejemplo de funcion mediante diagramas de Venn que la profesora construye.

En este fragmento se observa que los conceptos sobre función indagados por los

estudiantes, prevalecen definiciones estáticas, aluden a la función como relación entre

magnitudes o cantidades, así como a una restricción de las variables, no obstante la

profesora realiza un esfuerzo por llevarlos a la noción de función.

Además, se observa un énfasis hacia una imagen conceptual de la noción de función al

considerar sólo correspondencias uno a uno.


En este fragmento la profesora recupera el concepto de función, además de distintas

formas de representar una función, como son las gráficas sagitales, además de

introducir subconceptos de la función como dominio, contradominio y rango (líneas

290, 298 y 300).

Cabe destacar el énfasis que realiza entre una función y una relación así como el

vínculo y la distinción que guardan, tal como se aprecia en las líneas 340, 345, 353.

… 289. P: Sí, entonces solamente es función cuando se puede relacionar un elemento de un

primer conjunto con un elemento de un segundo conjunto. 290. P: Al primer elemento se le llama dominio y al segundo conjunto se le llama

contradominio. 291. O: Los datos que la profesora externa, los está colocando sobre los ejemplos que aún se

encuentran en el pintarrón. 292. P: Por aquí escuché una palabra (señala a una alumna). 293. Aa: Codominio. 294. P: Codominio. 295. P: Hay más (…) 296. Aa: ¿Podría ser rango o ámbito?


98

297. P: Fíjense, ya salieron más. 298. P: Contradominio, se le puede llamar al segundo conjunto, contradominio, codominio,

rango o ámbito. 299. P: ¿Si? 300. P: De todas esas maneras se le conoce al segundo conjunto, por lo regular el primer conjunto

llamado dominio nosotros en matemáticas lo identificamos con la variable equis (X) y al contradominio, codominio o rango con la variable ye (Y). …

Figura 14. Primeros elementos explícitos de una función.

304. P: ¿Aquí cuántos hombres son? 305. Aa: Este 21 306. P: 21 hombres son y ¿mujeres? 307. Ao: 32 308. Aa: 35 … 321. P: ¿Pero qué pasa? A ver 322. P: Pero qué pasa cuando entonces Carlos dice nos pus (sic) si yo ya vi que hay muchas

mujeres en mi grupo ¿no? y entonces me tocaría y acá dice Francisco (señala a un alumno) pero es que maestra ya no sería una función porque hay más mujeres que

hombres y entonces nos toca de a más ¿no? 323. P: Y entonces se empieza a relacionar Carlos no solamente con Lupita sino con Brenda y pues

dice no pus también con Rosa, con Petra y entonces ya tiene un elemento del primer conjunto se relacionó con tres del segundo conjunto, sale; pero entonces a eso que dice su compañero ya no es una función, ¿cómo se le llama?

… 330. P: Relación, es una relación. 331. O: En la siguiente figura se observa la construcción realizada por la profesora al explicar la

idea de relación.

Figura 15. Representación de una relación en los diagramas de Venn.


99

332. P: Tonces (sic), hasta ahorita vamos, (…) 333. P: ¿Qué conceptos llevamos? 334. O: Mientras los enuncia los coloca en el pintarrón. 335. P: Funciones, relaciones. 336. Ao: Conjunto. 337. P: Conjunto, bien. 338. O: Se oyen murmullos y no se alcanza a entender lo que dicen los estudiantes. 339. Ao: Una relación es […] 340. P: Relación ahora es cuando un elemento del primer conjunto se relaciona con más de

un elemento del segundo conjunto, esa es una relación. 341. O: Mientras lo dice, lo ejemplifica con las parejas de novios que conformó en el segundo

ejemplo propuesto. … 345. P: ¿Una función es una relación? …. 350. Ao4: Sí es una relación binaria, es una relación entre dos conjuntos. 351. P: Si, sí es una relación. 352. O: Se acerca nuevamente a los diagramas del segundo ejemplo para apoyar su discurso. 353. P: Una función es una relación porque si se relaciona con un elemento del segundo

conjunto, pero tomando la definición de relación, que dijimos que un elemento del primer conjunto se relaciona con más elementos del segundo conjunto.

354. P: ¿Una relación es una función? 355. Ao: Ya no. … 361. P: Porque ¿Qué? (indica la profesora a uno de sus alumnos). 362. Ao: Porque ya involucra más elementos de un solo conjunto. 363. O: La profesora repite lo que el alumno dijo. 364. P: Porque ya involucra más elementos de un solo conjunto, entonces, aclaración: “Toda

función puede ser una relación, toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones”. ¿Si quedó claro?

365. P: ¿Si van tomando nota verdad? … 369. P: Ya deben de llevar hasta ahorita, ¿qué conceptos? 370. Ao: El concepto de función 371. P: Conjunto, ya deben de tener la definición de conjunto, función, un ejemplo de función, que

ya ahorita ya vimos dos, ¡ah! 372. O: Una intervención de un alumno la hace considerar el siguiente concepto. 373. P: Y relación, ¿no? 374. P: Y además, esa notita, ¿cuál? 375. Ao: Toda función puede ser una relación, pero no todas las relaciones pueden ser funciones. 376. P: ¡Ok! 377. P: Mmm… 378. P: Acá también decía su compañera, acá íbamos bien porque íbamos relacionando uno a uno,

pero después alguien observó ¿no? alguien observó que también se podía relacionar (…) ¿cuál con cuál me dijeron? 379. O: Se refiere a lo que pasó con el primer ejemplo, el de los oficios. 380. Aos: Costurera con tijeras (sólo algunos alumnos lo recordaron) 381. P: Costurera con tijeras. 382. P: También, a lo mejor y ¿hubiesen estado mal si lo hubieran relacionado? 383. P: ¡No! Solamente que, a ver qué hubiera pasado, si era uno a uno (…) 384. Ao: Estilista no tendría con quien relacionarse. 385. P: Estilista no tendría con quien relacionarse. 386. P: ¿No? ¿si? Entonces vean, díganme por favor el concepto de función entonces (…)


100

En la línea 322 se manifiesta la idea de que para hablar de una función de un conjunto en otro, dicho conjunto debería tener la misma cardinalidad (es decir, el mismo número de elementos). Claramente, una idea errónea. Historia 1: Fragmento 525 – 543

En este fragmento se ilustra un ejercicio tomado de un libro de texto (Mendoza, 2014,

p. 43) que adapta la profesora para reforzar la diferencia entre función y relación,

dicho ejercicio presenta los datos mediante pares ordenados. Además les solicita

escribir tres ejemplos tanto de relación así como de función, tal como se puede leer en

las líneas 527, 530, 534, 535, 539, y 542.

… 525. P: Escríbanle, 526. O: Toma un documento y comienza a dictarles, no queda claro si es un libro o si es una nota de

sus planeaciones. 527. P: De los siguientes pares de ordenadas, … de los siguientes pares ordenados identifica

cuáles son una función y cuales con una relación. 528. O: La profesora les dicta y comienza a escribir en el pintarrón. 529. P: 𝐴) (9,6) (8,5)(7,4)(5,2) (3,0) 530. P: Escriban cuál es su dominio y su rango. 531. P: 𝐵) (4,5) (3,5)(4,4)(−6,4) (6,2) 532. P: Escriban cuál es su dominio y su rango. Justifica tu respuesta. 533. P: De ahí me van a decir cuál es una función y cuál es una relación. Me dicen por qué.

¿Sale? 534. P: C) Escribe tres ejemplos de funciones. 535. P: D) Escribe tres ejemplos de relaciones. 536. O: En cada ejercicio, mientras dictaba, también anotaba en el pizarrón. 537. P: ¿Listo? Ya, pueden iniciar. 538. O: Les da tiempo para resolver los ejercicios. En general los alumnos trabajan en silencio.

Mientras, la profesora camina y observa lo que están haciendo sus estudiantes. 539. O: La profesora tomó los ejercicios de uno de los tres libros de texto que se incluyeron

como parte de los materiales instruccionales a revisar.

Figura 19. Ejercicio tomado por la profesora Lulú de un libro de texto (Mendoza, 2014, p. 43)

540. Ao: ¿Hay que ordenarlas igual? Dominio, contradominio 541. P: Pero los primeros, o sea […]


101

542. O: En general, la profesora le explica al estudiante lo que implica hablar en términos de la coordenada, para que distinga al dominio del codominio. Incluso le pide poner atención sobre cómo realizar la diferencia entre una relación y una función.

543. P: Si quedó claro, ¿alguien tiene duda? …

En esta parte de la historia se evidencia el tratamiento y distinción entre una relación

y una función a través de conjuntos de parejas ordenadas, con la característica de que

en una función no es válido incluir dos parejas ordenadas distintas, con un mismo

primer elemento.

Historia 1. Fragmento 692 – 740

En este fragmento, la profesora retoma el ejercicio propuesto en el libro de texto y lo

resuelve, enfatizando la diferencia entre el concepto de función y el de relación e

intentando vincularlo a los ejemplos que ella misma solicitó, no obstante, algunos

ejemplos se salen de la explicación brindada en los distintos contextos en que éstos

pueden aparecer, tal como se lee en las líneas 698, 703, 706, 708, 712, 715 y 717.

La profesora intenta recuperar algunos ejemplos e ilustrar la distinción entre función

y relación, sin embargo algunos planteamientos propuestos por los estudiantes no son

atendidos, tal como se observa en las líneas 730, 731, 732, 733, 737 y 738.

… 692. P: Bueno, ya nada más para terminar, perdón, perdón, perdón, a ver revisemos por favor. 693. P: En el dominio del primer ejercicio… … 698. P: En el dominio, acuérdense que los pares ordenados, están en relación (𝒙, 𝒚), entonces

si todos son así (𝑥, 𝑦), el dominio está representado por la “equis”, 9, 8, 7, 5, 3. 699. P: Si tienen eso bien, califíquense y si no, hagan la corrección por favor. 700. P: Y en el contradominio … en el contradominio 6, 5, 4, 2 y 0. 701. O: La profesora les enfatiza mucho el rol de “equis” como dominio y “ye” como contradominio. 702. P: A ver, si alguno del dominio se relaciona con dos del rango entonces es una relación no, no

es función. 703. P: En este caso, ¿si es función o no? 704. Ao: Sí, sí es función. 705. P: Es función, sale, debieron haber puesto es función. 706. P: ¿Por qué si es función? 707. Ao: Porque un elemento se relaciona… 708. P: Con solo un elemento del segundo conjunto. 709. O: En la siguiente figura se observa la solución propuesta por el alumno.


102

Figura 22. Solución al ejercicio 1 proveniente del libro de texto. 710. P: Para el segundo, el dominio (𝑥, 𝑦), todos están dados por (𝑥, 𝑦). 711. O: Lo escribe arriba de cada par ordenado. 712. P: 𝒙 representa el dominio y 𝒚 representa el rango o contradominio”. 713. P: Sería 4, 3, 4,-6 y 6. 714. P: ¿Y luego el rango 5, 5, 4, 4 y 2? 715. P: ¿Si es función? 716. Aos: No. 717. P: No es función, porque a un elemento del primer conjunto se relaciona con más de

uno del segundo conjunto, ¿no? 718. P: Sale. 719. P: El 4 se relacionó con el 5 y el 3 también se relacionó con el 5. 720. P: Ajá, entonces esta sería una relación. 721. P: Sale, bueno. 722. P: Ahora, ejemplo de función. Ya para terminar, también un ejemplo de función. .... 730. P: A cada persona le corresponde un número de credencial de elector, ese es otro

ejemplo de función. 731. P: Nada más quiero hacer la corrección, porque encontré varios ejemplos donde tenían

por ejemplo anotado animales vivíparos y mamíferos. Quien sabe quién haya hecho eso, pero si alguien lo recuerda.

732. P: La clasificación es vivíparos y ovíparos, es que aquí hacía la cuestión es que nacen de su mamá, todos nacen de su mamá, pero unos, los vivíparos son los que nacen vivos de su mamá y los ovíparos son los que se desarrollan en el huevo.

733. Ao: ¿Y los que nacen de su papá? 734. O: Se ríen algunos, mientras la profesora le dice que no al alumno. 735. P: Tonces, (sic). 736. Ao: ¿Los caballitos de mar? 737. P: Aquellos que me pusieron en sus ejemplos, ese de ovíparos y mamíferos, le tienen

que cambiar a vivíparos. 738. P: Ovíparos y vivíparos, esa es la clasificación. 739. P: Tarea. 740. P: Traer cinco recortes de autos, cinco recortes de personas, cinco recortes de nombres,

nombres de personas, traer colores, traer regla y traer hojas milimétricas. Ya se los había solicitado con anticipación en el portafolio.

…

En las líneas 730 y 731, también se evidencia la imagen conceptual de la noción de

función como una correspondencia uno a uno, mientras que en las líneas 732 a la 736,

la profesora pareciera introducir ciertos tipos de conjuntos con los ejemplos a los que

alude.


103

Historia 2

Historia 2: Fragmentos 215 – 241

En este fragmento, la profesora Lulú recupera el concepto de función y recupera la

clasificación de las funciones propuesta como tarea (y el uso de un portafolio de

evidencias) en el que emergen por un lado las operaciones con funciones y por otro,

las funciones algebraicas, dentro de las cuales se considera a la función lineal, por lo

que las líneas 218, 222, 224, 231, 233 ilustran la orientación que la profesora

pretendió darle a la clase. Mientras que las líneas 236 y 241 recuperan la clasificación

de las funciones, en la que se incluye a la función lineal.

…. 215. P: Sale, a ver de lo de la tarea, saquen por favor su mapa. 216. P: Vimos cuáles son. 217. P: El mapa que elaboraron ustedes de tarea, ajá. 218. P: Función, ¿qué es una función? … 221. Ao: Es un término utilizado para encontrar un elemento que relaciona un segundo elemento. 222. P: ¿Qué es una función? [Se dirige a otra alumna] 223. Aa: Es una relación de un conjunto dado […] 224. P: o sea, una relación que existe entre un elemento de un primer conjunto y que se

relaciona únicamente y solamente un, con un elemento de un segundo conjunto. 225. P: Sale, unidad 2, ¿cómo se llama la unidad? … 228. Aa: Funciones y modelos matemáticos en contexto. 229. P: Funciones y modelos matemáticos en contexto. … 231. P: Ahora vamos a darle atención al punto número 2.3 que es tabulación y graficación de

funciones. 232. O: Tanto el programa de estudios como el libro de texto de Mendoza (2014) que utiliza, ubican

el contenido propuesto en el subtema 2.1.3, no existe el 2.3 como lo sugiere la profesora. Puede contrastarse incluso con las notas de los estudiantes.

233. P: Tabulación y graficación de funciones, ustedes en su mapa conceptual vieron los diferentes tipos de funciones, mencióname algún tipo de función.

234. O: En la carpeta de prácticas se encuentra el mapa de la clasificación de funciones que menciona la profesora, como se puede ver figura 3.


104

Figura 3. Mapa conceptual de la clasificación de funciones.

235. Ao: Bueno, este, la función algebraica, implícitas, explicitas. 236. P: Función algebraica, dentro de las funciones algebraicas cuáles encontramos, me

dices una [le indica a una alumna] 237. Aa: Adición, multiplicación, 238. P: Mande. 239. Aa: división, potenciación, radicación, sustracción. 240. P: ¿Si es cierto? 241. P: Esas son las operaciones que se encuentran en esas funciones que podemos

encontrar pero dentro de las funciones algebraicas encontramos los monomios o bien las funciones lineales, este, funciones cuadráticas, funciones cúbicas, funciones polinomiales, sale, sí.

…

La profesora hace mención de un mapa conceptual que incluye los diferentes tipos de

funciones. El mapa referido presenta varios aspectos a observar:

- Lo que ahí se expone sólo son supuestos, no se presentan conceptos, a lo más se

ofrecen nombres de ciertos tipos de funciones.

- Tampoco se brinda una clasificación apropiada de las funciones.

- Las funciones referidas incluyen funciones polinomiales (la constante, la lineal, la

cuadrática y la cúbica, así como también la función exponencial y la logarítmica).


105

- Se observa en el diagrama expuesto la separación de la función constante y de la

lineal, de las otras funciones polinomiales mencionadas.

- Se induce a error al decir que las funciones continuas representan rectas.

- Se caracteriza a la exponencial como aquella función cuya derivada es ella misma,

con lo que se evidencia una anticipación del concepto de derivada.

- Pareciera que la profesora tiene dificultades con la pretendida clasificación.


La profesora utiliza el mapa conceptual de la clasificación de funciones solicitada

como tarea para abordar ejemplos de la función constante y de la función lineal. En

relación a la función constante, se plantean ejemplos y acercamientos a una expresión

general que la representa, tal como lo refieren las líneas 246, 248, 254, 255 y 257. En

el caso de la función lineal, también se plantea una expresión general, sólo que además

se indica que letra representa a la pendiente y a la ordenada al origen, tal como se

observa en las líneas 259, 260, 261, 263, 268, 270 y 272.

… 246. P: ¿A qué se refiere una función constante? 247. Aa: A la que no depende de otra variable. 248. P: A la que no depende de otra variable, sino que, ¿un ejemplo? 249. Aa: Una función matemática. … 252. Aa: 𝑥, 𝑦 253. P: 𝑥, 𝑦. Mmm, no. 254. P: Una función constante está dada por un número, por ejemplo, puede ser 𝒚 = 𝟓, esa es

una función constante. 255. P: Yo puedo decir 𝒚 = 𝟐𝟎, esa es una función constante. 256. P: 𝒚 = 𝟏𝟎𝟎, ubico una variable. Acuérdense que está dada como variable independiente

y variable dependiente, ¿Sí? 257. P: Y aquí en funciones constantes a la que le da es esta, efectivamente a la que le da es

esta “ye igual a”, es más su forma generalizada pudiera nombrarse como 𝒚 = 𝒌 . En matemáticas 𝒌 se representa así una función constante, como 𝒚 = 𝒌, eso lo manejamos hasta en cursos de Cálculo, ¿sale?

258. P: Entonces, es importante que lo tengan bien presente siempre, ¿sale? 259. P: Otra de ellas es la función lineal, las funciones lineales tienen una forma generalizada

que puede ser 𝒚 = 𝒎𝒙 ± 𝒃, ¿Sí? Esas son las funciones lineales. 260. P: 𝒎 nos indica la pendiente y. 261. P: 𝒃 el desplazamiento que va a tener una recta, ¿Sí? Porque su gráfica de éstas va a ser

una línea recta, ¿sale?, bueno. 262. P: Es una función lineal. ¿Cuál puedo contar como una función lineal? 263. P: A pues 𝒚 = 𝟓𝒙, 𝒚 = 𝟖𝒙, 𝒚 = −𝟑𝒙, 𝒚 = 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟐, 𝒚 = −𝟓𝒙 + 𝟖; todas estas son funciones

lineales. ¿Sale?


106

264. O: En la figura 4 se observan los ejemplos que la profesora ha abordado al hablar de la función constante y de la función lineal.

Figura 4. Ejemplos de función constante y función lineal abordados por la profesora Lulú.

265. P: A ver, díganme un ejemplo. ¿Voluntario? ¿voluntario?. Quién gusta participar, ¿quién me dice una función lineal?

266. P: A ver. 267. Aa: 2𝑥 + 4 268. P: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟒, acá, de este lado [Les pide sus alumnos que están al otro lado del salón, frente

al escritorio] 269. Ao: Yo no. 270. P: Hay muchas, muchas, dime una. 271. Ao: 4𝑥 + 5 272. P: 𝟒𝒙 + 𝟓 o bien, 𝒚 = 𝟒𝒙 273. Aa: 9𝑥 − 3 …

En el renglón 254 se sobrepone la noción de función constante con la de un número,

esto inducido por la expresión 𝑦 = 5, con lo que se podría decir que se “colapsa” el

significado de función.

En el renglón 259, se expresa la forma generalizada de una función lineal como

𝑦 = 𝑚𝑥 ∓ 𝑏. Por el uso de los signos ∓ anteriores a 𝑏, se pone de manifiesto una

confusión con el signo + ó (−) como signo de operación de adición o como signo del

número 𝑏.

Asimismo en el renglón 261 se observa un indicio de una visión de una familia de

funciones, al enunciar el “desplazamiento” que va a tener una recta.


En estos fragmentos se muestra otro tipo de representación, la gráfica que la

profesora les plantea a los estudiantes para distinguir a una función de la que no lo es.


107

Los ejemplos propuestos por la profesora son diversos, y en particular ejemplifica la

relación de los valores asignados en el eje 𝑥 con respecto al eje 𝑦 en una recta que

pasa por el origen, tal como se lee en las líneas 323, 324, 326, 331, 337, 339, 342, 347,

348 y 349; incluso recurre a la representación de esos mismos valores mediante

diagramas sagitales para que los estudiantes conectaran la información que ya habían

visto en otra de las sesiones, como se lee en la línea 351 y se observa en la figura 8.

Para formalizar esta idea, la profesora les indica que existe una estrategia que permite

identificar en una representación gráfica una función de la que no lo es y esta se llama,

la prueba de la vertical, en cuyas líneas 354, 355, 359 y 361 se manifiesta.

… 322. P: Ahora, yo puedo de todas estas yo puedo encontrar diferentes gráficas, ¿Sí? Diferentes

gráficos. 323. P: Entonces a ver, yo puedo encontrar diferentes gráficos, diferentes gráficos.

Acuérdense que está dado el eje coordenado el eje “equis” y el eje “ye”. ¿sí? 324. P: Y aquí yo puedo encontrar diferentes formas en gráficos, si yo lo pintara por

conjuntos ubicaríamos cuál es el dominio y cuál es el contradominio y si hay una relación de uno a uno, pero sé que es un función. 325. O: Primer bosquejo del plano cartesiano trazado por la profesora.

Figura 5. Primer bosquejo del plano cartesiano propuesto por la profesora Lulú.

326. P: Pero gráficamente, ¿cómo puedo saber si es una función o no lo es? 327. P: Para eso pongo varios gráficos. 328. O: La profesora se puso a representar en planos cartesianos diferentes gráficas, tal como se

observa en la siguiente figura.


108

Figura 6. Representaciones gráficas generadas por la profesora.

329. P: Yo puedo encontrar diferentes tipos de funciones, diferentes tipos, ¿sale? 330. P: Entonces, yo cómo puedo identificar si yo ahorita les dijera, a ver, si yo ahorita dijera, a ver

chicos, de aquí ustedes díganme si es una función o no es una función. 331. P: A ver, ¿éste se llama función? [Les señala la circunferencia] ... 337. P: ¿Por qué? ¿Por qué? [Le indica a una alumna que levantó la mano y está justo frente a la

profesora] 338. Aa: Porque se puede establecer una relación que va para arriba y para abajo (…) 339. P: Porque se puede establecer una relación que va para arriba y para abajo dice su

compañera. 340. P: A ver acá. 341. Aa: Porque está en línea recta y solamente se repite uno solito. 342. P: Ah, fíjense; dice su compañera: porque está en línea recta y solamente se repite uno

solito, ah ¿qué me está diciendo? Que para cada número que yo tome en el eje “equis”. 343. P: Vamos a poner un numerito, vamos a suponer que es uno, o bien dos, cuatro, seis, ocho,

diez, si fuera por pares; le corresponde un número y solamente uno miren, del eje “ye” que se encuentran aquí, en este punto. [Les marca el punto]

Figura 7. La profesora les interpreta y representa la idea de función en una gráfica.

344. P: Si yo tomo otro, que sería el seis y este, le corresponde otro. ¿Sale? 345. P: O sea que entonces, si yo lo pusiera en conjuntos tengo el eje, el conjunto “equis”, el eje

“equis” y el eje “ye” ¿No? 346. O: Dibujó un par de diagramas de Venn al lado de la gráfica de la recta. 347. P: Entonces en el dominio, con respecto a lo que tengo aquí, qué tendría yo. 348. P: 𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖, 𝟏𝟎 ¿No? En el eje “equis”. 349. P: En el eje “ye” pues a lo mejor se relaciona con que, con 𝟓, 𝟏𝟎, 𝟏𝟓, 𝟐𝟎 y entonces el 2 con

el 5, el 4 a lo mejor con el 10 y así ¿no? 10, 15, 20, 25


109

350. O: En la figura 8 se observa la representación de los diagramas de Venn que la profesora generó con los datos de la gráfica de la función lineal para abordar nuevamente el concepto de función.

Figura 8. Representación de los datos de la gráfica a través de diagramas de Venn.

351. P: Y entonces cada uno de estos le pertenece uno de estos, ajá. A cada uno de estos del

primer conjunto, le corresponde únicamente uno del segundo conjunto, ¿Sí? 352. P: Pero además, aquí, haber aquí, a este si yo lo uno, le pertenece uno. [Se refiere a la gráfica de

la parábola] 353. P: Aquí, lo subo hasta que toque con la gráfica y también le pertenece un punto. ¿sí? 354. P: Yo cómo puedo saber, hay una estrategia gráficamente si es función o no es función.

Se llama aplico la prueba de la vertical, ¿Sí? 355. P: Es decir, que yo puedo trazar una línea vertical ¿sale? Y si nada más pasa por un

punto de la gráfica quiere decir que sí es una función. En este caso es (…) 356. Ao: Función. 357. P: Sí es función, verdad, esta sí es función. 358. O: En la figura 9 se observa el ejemplo utilizado por la profesora para identificar gráficamente

una función de la que no lo es.

Figura 9. Ejemplo es el que se aplica la prueba de la vertical.

359. P: Atendiendo a eso, hago la prueba de la vertical aquí y ¿es función? [Lo aplica en la

recta] 360. O: En la siguiente figura se observa la prueba de la recta vertical que aplica la profesora.

Figura 10. Aplicación de la prueba de la línea vertical en la gráfica de la función lineal.

361. P: Nada más toca exactamente un puntito en cada caso. Esta sí es función. ¿Sale? 362. P: ¿Esta de acá? [Se refiere a la gráfica de la circunferencia]


110

363. O: Aplica la prueba de la línea vertical. 364. P: No verdad, porque al hacer la prueba de la vertical observo que para un elemento del

dominio, llámese a lo mejor aquí 1.9 ¿no? porque todavía no llega al 2 le pertenecen dos valores del eje “ye”. Uno esta acá, el de los positivos y otro que esta acá en el eje “ye” de los negativos. Ya observé que vale, tiene dos valores.

La profesora habla de diferentes tipos de funciones a encontrar, pero lo que pretende

en realidad, es distinguir entre la gráfica de una relación y la gráfica de una función, a

través del uso de la prueba de la vertical. Prueba en la que no se tiene cuidado en el

manejo y representación del dominio (por ejemplo en la línea 342) en alguno de los

casos; ya que por un lado, considera como dominio a los números reales “que para

cada número que yo tome en el eje 𝑥...”; y por otro, el tratamiento que realiza del

dominio, es discreto.

Por otro lado, lo establecido en el párrafo anterior, se ve aún excedido cuando al

graficar las rectas, a éstas las presenta no como un conjunto de puntos alineados, sino

como “segmentos continuos”.


En este fragmento, la profesora centra su atención en un ejemplo que partiendo del

lenguaje común, les pide escribir en lenguaje algebraico e incluso les habla de su

forma general, tal como lo ilustran las líneas 432, 436 y 438. Además de ello, les

recuerda el procedimiento a seguir para completar una tabla de valores, les menciona

nuevamente las variables involucradas (𝑥 y 𝑦) en el par coordenado para ser

representado en el plano cartesiano, ello se muestra en las líneas 443, 444, 445, 448 y

449. Nótese además el énfasis que realiza para la asignación de los valores a la

variable 𝑥, muy grandes o muy pequeños, no obstante les indica conservar la misma

escala y les establece un intervalo de valores para realizar la evaluación en la

expresión algebraica, líneas 454, 455, 456, 457 y 461.

... 431. P: En el ejercicio donde decía que escribe la fórmula de una función sabiendo que para cada

valor de la variable independiente “equis” corresponde un valor de la función que es el doble que el valor de “equis” aumentado en tres.

432. P: Decía, escribe la función que corresponde del doble del valor de “equis” aumentado en tres unidades, ¿Sí?

433. O: La profesora escribe la siguiente expresión en el pintarrón 𝑦 = 2𝑥 + 3


111

... 436. P: Dentro de todas estas funciones, esta pertenece a una función lineal [señala a la

expresión 𝑦 = 2𝑥 + 3]. 437. P: ¿sí? 438. P: Tiene la forma 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃, esta es su forma general. ... 442. P: ¿Cómo lo voy a graficar si nada más me dan la función? 443. P: Yo le voy a asignar valores a 𝒙 444. P: Ajá y voy a hacer la sustitución en donde tenga yo el valor y me va a dar el valor de 𝑦. 445. P: Y voy a tener un par coordenado (𝑥, 𝑦) 446. O: La profesora ha bosquejado una tabla en la que comenzará a desarrollar la tabulación de la

función lineal, tal como se observa en la figura 15.

Figura 15. Tabla generada por la profesora para comenzar a tabular la función lineal.

447. P: Entonces yo a la variable, ¿cómo se le llama esta? [Señala a la “equis”]. 448. P: Tenemos dos tipos de variables, la variable dependiente y la variable independiente. 449. P: “Equis” es la independiente, es la variable independiente. 450. O: Lo anota en la expresión algebraica. 451. P: ¿Por qué variable independiente? Porque yo le voy a dar cualquier valor, el que yo

quiera. Yo puedo considerar una gran gama de valores. 452. P: Puesto que si yo ubico mi plano coordenado, aunque yo a lo mejor nada más ubico

algunos. 453. O: La profesora dibuja un plano cartesiano. 454. P: ¿Qué características debo de considerar? [Les pregunta a los alumnos]. 455. P: Que haya un mismo espacio entre cada división. Sale y que manejen las mismas

escalas. 456. P: Yo puedo manejar aquí 1, 2, 3, 4 5, 6, 7, 8, 9 y 10 [se refiere al eje 𝑥]. 457. P: Pero también aquí puedo manejar 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100. Si puedo

hacerlo [se refiere al eje 𝑦]. 458. P: ¿sí? Lo que si no es correcto, es que yo ponga 1 y luego 20 y luego 100, ahí si no. Tengo que

manejar una misma escala. 459. P: Si voy de uno en uno, de dos en dos y así sucesivamente. 460. O: Se los explica considerando sólo al eje 𝑥. 461. P: Entons (sic), yo puedo darle cualquier valor a 𝒙 pero por convencionalismo yo voy a

trabajar del menos tres al tres. ... 467. O: En la figura 16 se observa la forma en que aborda la sustitución y la realización de las

operaciones, les enfatiza que primero va la multiplicación y luego la suma.


112

Figura 16. La tabla muestra la primera coordenada que la profesora obtiene.

...

En este fragmento, se evidencia el uso de cuatro tipos de representación de una

función: la verbal, la algebraica, la tabular y la gráfica.

Historia 2: Fragmento 534 - 574

En estas líneas se esbozan las ideas que permean el pensamiento de la profesora para

tratar aspectos relacionados con el dominio y codominio de la función lineal. Al

respecto, advierte que el dominio puede ser modificado y emerge entre las ideas de

los estudiantes la palabra infinito, las cuales se pueden observar en las líneas 534,

536, 537, 540 y 542. Al pretender formalizar la idea de infinito en los estudiantes, la

profesora les pregunta por el conjunto de números al que aluden, mencionándose así

a los naturales, los enteros, los racionales y los reales. Los irracionales emergen pero

no son considerados para hablar de los números reales, quedando fragmentada esa

idea en los estudiantes, las líneas 544, 548, 549, 551, 552, 554, 555, 559, 560, 562,

563, 565 y 567.

... 534. P: Ah, pues si yo estoy manejando cantidades muy, muy grandes pues entonces yo ese

numerito que yo puse aquí como uno, yo lo puedo considerar como un millón, dos millones, tres millones, cuatro millones, cinco millones; ¿no?

535. P: Y entonces, este pedacito que yo pinté aquí, ¿qué va a ocurrir? Pues va a ser a lo mejor este pedacito que está aquí chiquitito.

536. O: La profesora marca una parte de la recta inicial y que se moverá al momento de que cambie la escala, eso por supuesto se lo tendrían que estar imaginando los alumnos.

537. P: ¿No? Entonces, a ver chicos; ¿el dominio de esta función solamente son este conjunto? 538. O: La profesora señala el dominio inicial que utilizaron en la tabulación. 539. Aos: Noo. 540. P: No verdad, ¿cuál sería su dominio de esta función? 541. Ao: Sería infinito.


113

542. P: ¡Eh! Dice su compañero, sería del infinito al menos infinito y ¿Cuál es ese conjunto? ¿Qué conjunto de números?

543. Ao: Los números naturales. 544. P: ¿Los naturales? 545. Aa: ¡No! 546. P: ¿Qué conjunto de números es? 547. O: Los alumnos se quedan callados. 548. P: Recordemos los naturales dijimos que son del cero hasta el infinito, entonces nada

más están nombrando los que están acá [señala la parte positiva del eje 𝑥] 549. P: Entonces, ¿cuál es el conjunto entonces en el dominio? 550. Ao: Enteros. 551. P: ¿Enteros? 552. P: Los enteros es otro conjunto de números que van desde el menos infinito hasta el

más infinito ¿No? 553. O: Mientras va haciendo sus preguntas, en el pintarrón va marcando cada conjunto y cómo

uno incluye a otro. 554. P: Pero, a ver; [se regresa a la tabla de valores].

555. P: ¿Yo le puedo dar el valor aquí de 𝟏

𝟐 ?

556. Ao: Sí. 557. P: ¿sí? ¿y a qué conjunto de números pertenece? 558. Aa: A racionales. 559. P: A los racionales, entonces ya incluí otro, el de los racionales. Que son aquellos que

están dando como un cociente, ¿no? de 𝒂

𝒃 como una fracción.

560. P: Pero todos estos pertenecen a otro, ¿cuáles son? 561. Ao: Eh, mmm. 562. P: ¿Cuál es el conjunto que engloba a todos estos y te los menciona? ¿Cuáles son? 563. Ao: Irracionales. 564. O: La profesora sólo mueve la cabeza para indicar que no. 565. P: Los reales, los números reales son los que incluyen a los naturales, los enteros y los

racionales. 566. P: Entonces su dominio, ¿cuál es? 567. P: Los reales, todos los números reales. Sale. 568. O: Ahora cambia el dominio y escribe lo siguiente: Dominio {𝑅} 569. P: ¿Y en el contradominio, cuál sería? 570. Ao: Igual 571. P: Igual, ¿verdad? Porque cada numerito de estos, muy muy grande o muy muy pequeño

le va a pertenecer uno y solamente uno del segundo conjunto. ¿sí? Bueno. 572. P: A ver, ahora, tos (sic) aquí los reales también. 573. O: Al igual que en el dominio, también cambia los datos del contradominio, quedando lo

siguiente: contradominio {𝑅} 574. P: Sale, ¿alguna pregunta hasta aquí?

...


Los fragmentos ilustran el énfasis de la profesora, para que los estudiantes comiencen

a familiarizarse e identifiquen algunos elementos relevantes al trabajar con la función

lineal, tales como: dominio, codominio, pendiente, algunas representaciones como una

tabla de valores, la gráfica, una expresión algebraica tal como se observa en las líneas

575, 579, 580, 582, 583, 586,589 y 590; dejando un poco de lado que ambas rectas


114

tienen la misma pendiente, además de ser rectas paralelas, tal como se mira en las

líneas 630, 632, 633, 635, 641, 642 y 644. Además de ello, como parte de las tareas, se

les pide la exploración y graficación de tres funciones lineales en un mismo plano

cartesiano en un graficador llamado Graphmatica, como lo muestran las líneas 651 y

654.

575. P: No, a ver ahora ustedes grafiquen la función 𝒚 = 𝟐𝒙 ... 578. P: En la libreta, este claro, ahí ocupen su hoja milimétrica. 579. P: Algo que también aquí, a ver (…) dijimos que las funciones lineales tendrían esta

forma 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 ¿sí? ¿sí? 580. P: ¿Qué significa la pendiente de una recta? ¿Qué es la pendiente? 581. Ao: La inclinación que tiene. 582. P: La inclinación que tiene esa recta. Entonces aquí, ¿qué valor tiene la pendiente? 583. P: ¿Cuánto vale su pendiente? 584. Ao: Este, dos. 585. P: Dos, su pendiente es dos, bien. Su pendiente vale dos. 586. P: Aquí con respecto a esta forma, yo (…) 587. O: La profesora sin palabras les presenta la siguiente relación entre la forma general de

representar la función lineal y el lugar que ocupa la pendiente en la fórmula.

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

𝑦 = 2𝑥 + 3 588. P: ¿sí? 589. P: Es la inclinación de la recta. 590. P: ¿Sí? entonces reviso esa gráfica de 𝒚 = 𝟐𝒙 con valores de menos tres a tres, para que

lo hagan más o menos y podamos comparar. ¿Sale? ... 595. O: La profesora nuevamente construye una tabla para tabular la función 𝑦 = 2𝑥, en un

intervalo de (−3, 3) 596. P: ¿Ya iniciaron? Porque van a pasar algunos aquí a ayudarme con la tabla. ... 630. P: Entonces a partir de esta tabulación hago mi graficación de tal manera que si yo les

hubiera solicitado que graficaran en el mismo plano, ¿sí? 631. P: Ustedes ya lo terminaron, ya vi en algunos que ya terminaron la gráfica. 632. P: A ver, aclaro; el plano coordenado tiene ejes y esos ejes después son divididos en

partecitas. (...) P: Tienen que tener los ejes de plano, ¿Sí?

633. P: Tiene que tener los ejes de plano y la otra, ya que termino de ubicar (0, 0) y luego (2, 4) y así; unan los puntos al final. Sale, de tal manera que la gráfica es una gráfica en línea recta que pasa por el origen y que si ustedes lo hubieran pintado en el mismo plano como yo ahorita lo voy a hacer en el pizarrón nos damos cuenta que pasa abajito de esta, de la que ya habíamos pintado.

634. O: La profesora bosqueja la recta en el mismo plano, tal como se muestra en la siguiente figura.


115

Figura 18. Funciones lineales bosquejadas en el mismo plano.

635. P: Así, determina su dominio y contradominio por favor. 636. P: Sale, ¿ya? 637. P: ¿Cuál es su dominio? ... 641. P: Todos los números reales. 642. P: ¿Su contradominio? 643. Aos: Reales. 644. P: También, todos los números reales. ... 650. P: Tarea 651. P: Me van a hacer favor de bajar un programa que se llama Graphmatica. ... 654. P: Sale, entons (sic) lo van a bajar y ya lo van a tener a la mano, sale. Y primero me van a

graficar la función 𝑦 = 2𝑥 − 5, ahí en su libreta como ahorita lo hicieron, en hojas milimétricas ¿Sí? Y después bajan el programa me hacen el favor de graficar esas tres funciones 𝑦 = 2𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 5, 𝑦 = 2𝑥 + 3 en el mismo plano sin borrarlas y las traen impresas.

...

En esta sección de la historia dos, la profesora pasa del recurso de lápiz y papel a un

recurso más sofisticado, el del uso de un graficador, e inicia solicitando ejercicios con

elementos de familias de funciones: por ejemplo, en funciones de la forma 𝑦 = 2𝑥 + 𝑏

con 𝑏 = 0, −5, 3. Con ello se tiene evidencia de un tratamiento paramétrico de la

función lineal como se puede leer en la línea 654, es decir que proyectó que los

estudiantes identifiquen los desplazamientos de la función 𝑦 = 2𝑥 variando el valor

de la ordenada al origen 𝑏.

Historia 3

Historia 3: Fragmentos 29 - 225

En estos fragmentos, la profesora enfatiza la sección de la planeación que se encuentra

desarrollando como lo observamos en las líneas 29, 31 y 32. La tabulación y


116

graficación de tres funciones en el mismo plano le permite centrar la atención en la

escala a utilizar, el intervalo de valores a considerar en la tabulación de cada función

lineal como lo muestran las líneas 47, 48 y 49. Además, al observar la representación

gráfica en un mismo plano, permitió identificar la pendiente y la intersección con el

eje 𝑦, y que se establece que mantienen una misma dirección, tal como se observa en

las líneas 164, 174, 179, 211, 215, 216, 219 y 225.

...

29. P: Tabulación y graficación de funciones. En el cuadrante número tres y cuadrante número cuatro, donde hacemos ejercicios con ayuda del docente.

30. P: Bueno, mientras yo les reviso el trabajo anterior, ustedes póngale como título grafica las siguientes funciones.

31. P: ¿Sale? Y serían estas en un mismo plano, en el mismo plano, ¿sí? vamos a manejar los valores de −𝟓 a 𝟓 para la variable independiente que es 𝒙.

32. P: Sale, entonces vamos a graficar tres funciones, una que sería la de 𝑦 = 𝑥, ¿sale? 33. P: Otra que sería 𝑦 = 𝑥 + 8 34. P: Y otra que es 𝑦 = 𝑥 − 5 35. P: Esas tres funciones las van a graficar en el mismo plano cartesiano. 36. P: Cada una debe de tener su tabulación. ... 40. O: La profesora comienza a construir las tablas para cada función, cuya estructura se observa a

continuación:

𝑥 𝑦 = 𝑥 𝑦 (𝑥, 𝑦)

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

𝑥 𝑦 = 𝑥 + 8 𝑦 (𝑥, 𝑦)

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Figura 1. Tablas generadas por la profesora para ser completadas por los estudiantes.

....


117

47. P: Y lo vimos en la clase pasada. Determinábamos cuál era el dominio, es decir; para qué valores está permitida esa función. Qué valores en 𝑥, sí; que es el dominio debemos darle a esa función.

48. P: Aquí yo le puedo cambiar, 𝟓𝟎, 𝟒𝟎, 𝟑𝟎, 𝟐𝟎, 𝟏𝟎, menos y acá para positivos. [Explica considerando los valores de la primer tabla].

49. P: Lo mismo acá, yo le puedo poner valores −500, −400, −300; así sucesivamente 100, 200, 300, sin embargo ahorita para yo manejarlo con mayor facilidad, yo le voy a dar valores de −5 a 5 [Sigue refiriéndose a la primera función].

... 140. Ao: Ya acabé las tablas. ... 148. O: Varios alumnos se acercan a la profesora para mostrar su trabajo. Le indica a

tres de ellos que comiencen a completar cada una de las tablas de las funciones lineales como se observa en la siguiente figura:

Figura 3. Tablas completadas por los estudiantes.

... 150. P: Levanten la mano quien ya lo tiene por favor. 151. O: Pocos alumnos levantan la mano. Mientras tanto, los tres alumnos han

concluido tanto la tabulación como la graficación de las funciones lineales en el pintarrón, como se observa en la siguiente figura.

Figura 4. Gráficas de las funciones lineales generadas por los estudiantes.

... 164. P: Bien, sale. Aquí representa esta gráfica, es la de 𝑦 = 𝑥 + 8, esta gráfica

representa la de 𝑦 = 𝑥, esta gráfica representa 𝑦 = 𝑥 − 5 [Las nombra y les va colocando la expresión algebraica a cada recta].


118

165. P: Sale, habíamos mencionado cuál era la función que representaba de forma generalizada. ¿Cuál es esa función?

... 174. P: 𝒚 = 𝒎𝒙 ± 𝒃 [Se los anota en el pintarrón].

...

178. P: 𝑚 representa la pendiente.

179. P: ¿Qué significa la pendiente de una recta?

180. Ao: La inclinación de la recta…

...

211. P: ¿Ahora, cuánto tiene aquí el valor de 𝒃?

212. P: Aquí tiene nada más 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, 𝑚 es el valor de la pendiente, que es el

coeficiente de la 𝑥, es su coeficiente ¿Sí? 213. P: Bueno, aquí vale uno.

214. O: La relación que les establece la profesora es la siguiente

𝑦 = 𝑚𝑥 𝑦 = 1𝑥 𝑚 = 1

215. P: Aquí sería 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 y aquí sería 𝒚 = 𝒎𝒙 − 𝒃 [se refiere a los ejemplos 2 y

3]. 216. P: ¿Qué valor toma 𝒃 en esta función? [Señala 𝑦 = 𝑥 + 8].

217. Ao: +8

218. P: 8 o bien +8, 𝑏 vale 8

219. P: ¿Y en esta, cuánto vale 𝒃? [Se refiere a 𝑦 = 𝑥 − 5].

...

222. P: −5, 𝑏 vale −5

223. O: Las relaciones que la profesora estableció son las siguientes:


𝑦 = 𝑥 + 8

𝑚 = 1

𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑏

𝑦 = 𝑥 − 5

𝑚 = 1

224. P: ¿En qué influyó gráficamente?

225. Ao: En que mantuvieron una misma dirección.

...


En este fragmento la profesora enfatizó nuevamente la tabulación y la graficación de

varias funciones en un mismo plano cartesiano, tal como se lee en las líneas 345, 358.

37, 374 y 381. La diferencia radica, en que únicamente varía el valor de la pendiente

(los casos mostrados consideran a 𝑚 positiva); es decir, todas pasan por el origen,

además de ello les provocó la reflexión respecto al valor de 𝑚, si es muy grande o muy


119

pequeño, tal como se muestran en las líneas 404, 411, 425, 432, 436, 437, 451, 455,

456 y 461.

... 345. P: Ya tienen las tabulaciones, háganlas en el mismo plano. En un mismo plano

grafíquenme estas funciones 𝒚 = 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙, 𝒚 = 𝟖𝒙 y , 𝒚 = 𝟓𝒙. En el mismo plano. ... 350. P: En un nuevo plano grafiquen las siguientes funciones 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 8𝑥, 𝑦 = 5𝑥

y 𝑦 = 2𝑥. ... 355. P: ¿Ya terminaron? 356. Aos: Noo. 357. O: La profesora escribe las siguientes funciones en el pintarrón.

Graficar: 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 2𝑥 𝑦 = 5𝑥 𝑦 = 8𝑥

𝑦 = 20𝑥 358. P: A ver chicos, estas tabulaciones están de acuerdo que ya las tienen, agreguen

una nada más, 𝑦 = 20𝑥, ya para que tengan cinco gráficas en un mismo plano. 359. P: De distintos colores. ... 367. P: Ejercicios anteriores son que habíamos hecho tareas, o trabajos aquí en clase

y ya tienen las tabulaciones. Si hicieron tarea, si hicieron el trabajo en clase, ya tienen esta, esta, esta y esta tabulación. La única que pudieran hacer ahorita es esta.

... 371. P: Voy a retomar entonces lo último. 372. O: La profesora comienza a construir una tabla para evaluar a la función

𝑦 = 20𝑥 y lo hace para el primer valor como se observa a continuación.

𝑥 𝑦 = 20𝑥 𝑦 (𝑥, 𝑦)

−3 𝑦 = −3(20) −60 (−3, −60)

373. P: ¿Ya? [Les pregunta a los alumnos]. 374. P: A ver para el primer valor considere 𝒚 = 𝟐𝟎𝒙. 375. P: El primer valor de −3, ese multiplica al valor de 20, porque esto indica que

el valor de 𝑥 va a multiplicar el valor de 20. 376. P: Entonces sería 20 por −3… ... 381. P: −𝟔𝟎 382. P: Voy a tener de coordenada (−3, −60). ... 392. P: Tres minutitos porque ya terminaron las primeras tres personas. Ya hay tres

personas que terminaron. Tres minutitos, ¡eh!

... 404. P: Para los que ya terminaron, las gráficas les debieron de haber quedado más

o menos así… [se dirige al pintarrón] 405. P: La de 𝑦 = 𝑥 pasa más o menos así. Esta sería la de 𝑦 = 𝑥, sale. 406. P: La de 𝑦 = 2𝑥 más o menos así. 407. P: La de 𝑦 = 5𝑥 más o menos así.


120

408. P: La de 𝑦 = 8𝑥… ¿sí? [la bosqueja en el pintarrón también]. 409. P: 𝑦 = 20𝑥… así. 410. O: A continuación se muestran cómo quedaron bosquejadas las gráficas generadas por la

profesora.

Figura 9. Bosquejo de las gráficas generadas por la profesora Lulú.

411. P: Aquí, ¿cuál es el valor de la pendiente? ¿En esta? [se refiere a 𝑦 = 𝑥] 412. Aos: 1 [Son varios los que responden]. 413. P: 1 414. P: ¿En esta? 415. Ao: 2 416. P: 2 417. P: ¿En ésta? 418. Aos: 5 419. P: ¿En ésta? 420. Aos: 8 421. P: ¿En ésta? 422. P: 20 423. P: Ok, ese es el valor de su pendiente. 424. O: La notación utilizada por la profesora se muestra en la siguiente figura.

Figura 10. Obtención de la pendiente de cada función lineal.

425. P: O sea que entonces la pendiente indica, ¿qué indica? 426. Ao: La inclinación… 427. P: La inclinación de una… 428. Ao: La inclinación hacia el eje 𝑦… 429. P: … hacia el eje 𝑦… 430. P: La inclinación que va a tener hacia el eje 𝑦 dice su compañero, ¿sí? 431. P: ¿sí? ¿Y bien? 432. P: ¿Qué puedo concluir si yo comparo estas cinco gráficas con respecto a las

anteriores?


121

433. O: Lo que trata de hacer notar tiene que ver con aquellas que tienen una misma pendiente, con respecto a las que no, pero sí un desplazamiento sobre el eje 𝑦.

434. P: ¿Qué puedo concluir? 435. O: Francisco levanta la mano para intervernir. 436. Ao: Que las que tienen bueno término 𝒃 van a pasar de acuerdo al término que tengan

después del signo, a lo que implica el término 𝒃 y las que no tienen ningún término 𝒃 van a pasar por cero, o sea por el origen.

437. P: Exactamente, sí. ... 444. P: Abigail, si yo pusiera aquí una gráfica, una función que sería 𝒚 = 𝟓𝟎𝒙, quieres

pasar a pintarla o Tania o usted. ... 450. O: A continuación se muestra el bosquejo de 𝑦 = 50𝑥 generada por la estudiante.

Figura 11. Bosquejo de la gráfica 𝑦 = 50𝑥

451. P: Todavía tendría una mayor inclinación pero… ... 454. Ao: Entre más grande, más se levanta. 455. P: Ok, entre más elevada sea el coeficiente de 𝒙, entre más sea la pendiente,

pues más se va a acercar al eje 𝒚.

456. P: Bien, si yo pusiera 𝒚 =𝟏

𝟐𝒙, un medio de equis, ¿por dónde pasaría?

... 460. O: Francisco se levanta y realiza un bosquejo por debajo de 𝑦 = 𝑥 461. P: Pasaría abajo de todas las que ya tengo pintadas, sería debajo de la de 𝒚 = 𝒙 462. O: La profesora les señala el bosquejo que construyó Francisco y que se aprecia

en la siguiente figura.

Figura 12. Bosquejo de la gráfica 𝑦 =

1

2𝑥

463. P: ¿sí? Muy bien.


122

464. P: Muchas gracias. Entonces la conclusión ya está hecha. ...

En esta sección de la historia tres, la profesora Lulú vuelve a trabajar con elementos

de la familia de funciones 𝑦 = 𝑘𝑥; es decir, nuevamente hace un tratamiento

paramétrico de la función lineal manteniendo a 𝑏 como cero y variando el valor de la

pendiente 𝑚.

Historia 4


En esta sección se muestran las cinco preguntas generadas por la profesora después

de haberles proyectado a los estudiantes un video de una atleta mexicana mientras

desarrolla una carrera de 400 metros planos. Estas preguntas involucran ideas

relacionadas el concepto de función, función lineal, con la velocidad, cómo se calcula,

con la determinación de la velocidad en cierto tiempo e incluso una representación

gráfica cada cierto tiempo, esto se muestra principalmente en las líneas 41, 44, 57, 59,

63, 64, 66, 73 y 75.

… 40. P: Ok, bueno. Entonces vamos a contestar unas preguntas que nos van a apoyar en esta unidad

número dos. Sale. 41. P: Pregunta número uno. ¿Cuál es la función que determina la velocidad? 42. P: Número dos. ¿Qué velocidad… 43. P: Dejen ahí el espacio para contestar, eh. 44. P: Número dos. ¿Qué velocidad alcanza Ana Guevara en esta prueba? ... 57. O: La pregunta quedaría así: ¿qué velocidad alcanza Ana Guevara en esta prueba de 400

metros si se sabe que lo recorrió en 49.88 segundos? 58. P: ¿Sale? 59. P: Número tres. ¿Qué distancia recorrió en cinco segundos? 60. P: Número cuatro. Según el récord establecido de cuarenta y siete punto sesenta segundos… ... 63. O: La pregunta quedaría así: según el récord establecido de cuarenta y siete punto sesenta

segundos, en esta prueba de 400 metros ¿a qué velocidad la recorrió la atleta? 64. P: De esa misma pregunta, inciso b, ¿cuál es la diferencia de velocidades entre el récord y

la de Ana Guevara? 65. O: No indicó previamente el inciso a. 66. P: Y número cinco. Grafica el recorrido de Ana Guevara… cada cinco segundos hasta llegar

a la recta final. 67. Aa: ¿Qué dijo? 68. P: Hasta llegar a la recta final. 69. P: Pregunta… este, ¿gustan volver a verla? 70. Aos: ¡Sí! 71. P: Ah, bueno. Va nuevamente para que chequen nuevamente bien y ya. 72. Ao: ¡Sí!


123

73. O: Se les proyecta nuevamente el video. 74. P. ¿Sale? Bueno. 75. P: Entonces, ahora se organizan en equipos de cinco, por favor y contestan esas preguntas. …

Historia 4: Fragmentos: 99 - 199

En estos fragmentos se observa la presencia de una representación de la función lineal

como fórmula, tabla de valores, un cambio de variables y pares coordenados para

atender a los planteamientos de la actividad propuesta, tal como se muestra en las

líneas 104, 177, 188 y 199.

... 99. Aa: Profa, pero ¿cómo es eso de la función? 100. P: Pues eso es lo que tienen que resolver en equipo. 101. P: De todos los equipos únicamente uno es el que me ha dicho de la respuesta número uno,

los demás a ver piensen, piensen, piensen. 102. P: ¿Ya terminaron? 103. Ao: No, aún tenemos unas dudas. 104. Ao: Tenemos que entregar una fórmula. 105. P: Revisa la pregunta, ¿qué te pide? 106. P: Dos equipos ya tienen la número uno. ¿Cuál es la función que determina la

velocidad? 107. P: Dos. Aquí… 108. O: Otro equipo le muestra lo su respuesta a la pregunta uno. 109. P: Por ahí va, por ahí va… pero esta no es la fórmula. 110. P: Ya lo tienen, pero aquí les está diciendo ¿qué es la velocidad? ... 174. P: ¿Ya quedó chicos? 175. Aos: Nooo. 176. P: A ver, vamos a revisar… ¿Sí? 177. O: La profesora comienza a borrar la información colocada en el pintarrón, dibuja una tabla

de valores como se muestra a continuación: 𝒕 𝑑 = 8.0192𝑡 𝒅 𝒕, 𝒅

𝒙 𝑦 = 8.092𝑥 𝒚 (𝒙, 𝒚)

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50


124

Figura 2. Tabla construida por la profesora en el pintarrón. ... 186. P: ¿Aquí qué les falta? 187. Aa: Tabulación. 188. P: Tabulación. 189. P: ¿Qué dificultades encontramos? A ver, coméntenme. 190. P: A ver, permítanme. ¿Qué relación tiene con alguna otra área de conocimiento? 191. P: ¿Con qué área se relaciona? 192. Ao: Con… este… física se podría decir. 193. O: Lo responde Francisco. 194. P: Con física, ¿verdad? 195. P: Con la materia de física. 196. Ao: Ajá. 197. P: ¿Es un problema real el que tenemos? 198. Aos: Sí. [Sólo algunos responden, el resto sigue trabajando en las respuestas] 199. P: Sí es un problema real. ...


Estos fragmentos ilustran cómo se determina la velocidad que recorre una atleta

conociendo el tiempo que tarda y el recorrido total que realiza. Para ello se recurre a

la sustitución de datos y se realizan las operaciones correspondientes para obtener la

velocidad, tal como lo indican las líneas 230, 231, 237, 239 y 242; además de

determinar la velocidad dado un tiempo distinto al total, ello se muestra en las líneas

251, 257, 257, 259 y 276.

... 215. P: Bueno, ahora nos vamos a la pregunta número uno, ¿cuál es la función que determina la

velocidad? ... 220. P: Velocidad es igual a distancia entre tiempo, ¿sí?

221. O: Lo tiene escrito en el pintarrón de la siguiente manera: 𝑣 =𝑑

𝑡

222. P: Su equipo de Felipe y el equipo de Francisco, fueron de los que lo determinaron más rápidamente.

... 226. P: Bien. Pregunta número dos. ... 230. Aa: ¿Qué velocidad alcanza Ana Guevara en esta prueba de 400 metros si se sabe que lo

recorrió en 49.88 segundos? 231. P: Ajá. ¿Cómo lo hicieron? 232. Ao: Este… 233. Aa: Dividí distancia entre tiempo 234. P: Ajá. 235. P: ¿Cómo? 236. Aa: Dividiendo 400 entre 49.88 237. P: Dividiendo 𝟒𝟎𝟎 metros entre 𝟒𝟗. 𝟖𝟖 segundos. 238. O: La profesora lo anota en el pintarrón, quedando como sigue:

400 𝑚

49.88 𝑠𝑒𝑔


125

239. P: Y les daba la velocidad. ¿Cuál es la velocidad? 240. Aa: Ocho punto cero, uno, nueve, dos. 241. O: La profesora anota lo siguiente:

𝑣 = 8.0192𝑚

𝑠

242. P: Ocho punto cero, ciento noventa y dos metros sobre segundo. ¿Coincidimos? 243. Ao: Sí. ... 249. P: Me ayuda aquí Edgar. 250. Ao: Dice ¿Qué distancia recorrió en cinco segundos? 251. P: Qué distancia recorrió… 252. Ao: Me salió de multiplicar 8.0192 por 5 que son los segundos. 253. O: El alumno explica que despejó la fórmula y por eso le quedó una multiplicación. 254. P: ¿Cuál es la pregunta? 255. Ao: ¿Qué distancia recorrió en cinco segundos? 256. P: Distancia… si este está aquí dividiendo… para poderlo despejar… pasa multiplicando.

¿Sale? 257. P: Entonces, distancia igual a velocidad por tiempo. 258. O: La profesora escribe la fórmula en el pintarrón.

𝑑 = 𝑣𝑡 259. P: Y esto significa que la distancia sería, velocidad, cómo su compañero ya lo mencionó

- el dato que obtuvimos anteriormente por el tiempo, que serían los cinco segundos. 260. P: Ajá y me da un total de la distancia recorrida que serían… 261. Ao: Ahora sí sería 40.097…

... 276. P: La distancia recorrida es 𝟒𝟎. 𝟎𝟗𝟔 𝒎 ...


En este fragmento se ilustra la representación gráfica de la distancia que recorre la

atleta cada cierto tiempo, recurriendo a la tabulación, un cambio de variables, la

consideración de pares ordenados y el plano cartesiano, tal como se ilustra en las

líneas 313, 315, 317, 320, 321, 322 y 334.

En particular llama la atención la sugerencia de la profesora por unir la

representación gráfica generada por la estudiante con el origen, tal como se plantea en

las líneas 366 y 367.

... 313. P: Grafica el recorrido de Ana Guevara cada cinco segundos. Eso les costó un poquito de

trabajo a algunos equipos, a otros más o menos. 314. P: A ver, ¿qué teníamos que hacer? 315. P: Acá en la tabulación es cada 5 segundos, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45… como se

tardó 48 y vamos de 5 en 5 consideramos hasta 50. 316. P: Ahora, ya lo teníamos en la pregunta tres… velocidad, distancia recorrida, velocidad por

tiempo. Esta función que tenemos aquí, la teníamos que pasar para acá nada más con tabulación, ¿sí?

317. P: Como la velocidad se supone que tiene que correr de esa manera, manteniendo esa velocidad para recorrer esos metros en ese tiempo, ¿sí?

318. P: Entonces, es constante esa velocidad y por el tiempo, de tal manera que aquí teníamos la


126

dificultad con Liz, que me decía, maestra pero es que -a fuerzas se aferraba- y decía, es que es una función lineal, es una función lineal, es una función lineal. Y le buscaba en su libreta, en los apuntes cómo podía sacar esa función lineal.

319. P: ¿Cómo? De esta manera. 320. P: Tenemos la distancia que es igual a la velocidad por el tiempo. Si yo lo quiero

transpolar a los términos que yo he estado manejando 𝒙 y 𝒚, 321. P: 𝒙 representa el tiempo, 322. P: 𝒚 que es la variable independiente, la distancia, la velocidad y qué es la velocidad

por el tiempo. 323. P: ¿Si? Y haciendo esta sustitución quedaría

𝑡 𝑑 = 8.0192𝑡 𝑑 𝑡, 𝑑

𝑥 𝑦 = 8.092𝑥 𝑦 (𝑥, 𝑦)

𝟓 𝒚 = 𝟖. 𝟎𝟗𝟐(𝟓)

324. P: En cada uno de estos casos. ... 334. P: Ahora otra persona ayúdeme, mientras ella termina aquí la tabulación con eso,

ayúdeme otra persona a la gráfica, de este lado. Quien guste pasar aquí hay marcadores. ... 336. P: Bueno, mientras ellas terminan, pásenme sus libretas para firma. ... 359. P: A ver chicos, nada más para culminar… 360. P: Gracias. 361. O: Las alumnas han concluido con la tabulación y la graficación de la función 𝑦 = 8.0192𝑥

como se observa en la siguiente figura.

Figura 8. La estudiante concluye la graficación de 𝑦 = 8.0192𝑥

362. P: Ya tenía los puntos y se le borró y dijo, por aquí pasa y la trazó. 363. O: El comentario de la profesora, se debe a que la alumna se esforzó en colocar los puntos,

pero conforme avanzó fue borrándolos sin darse cuenta, así que terminó bosquejando una recta que no une con el origen, tal como se muestra en la figura 8.

... 366. P: Considerar el punto de partida que sea cero y ya, y queda aquí la tabulación, los pares

ordenados y la graficación. 367. O: En la siguiente figura se observan el antes y después de la gráfica a la luz de lo que comenta

y hace la profesora, ya que prolonga la recta para que pase por el origen sin dar mayor explicación y los estudiantes tampoco cuestionan al respecto.


127

Figura 9.a. Bosquejo de la gráfica de la función lineal propuesta por una estudiante.

Figura 9.b. Bosquejo de la gráfica con la prolongación hecha por la profesora.

368. P: Sale. ...

En la historia cuatro, la profesora recurre a una situación proveniente de una carrera

atlética, que obliga a considerar la función velocidad en un movimiento

(supuestamente) rectilíneo uniforme; es decir, a velocidad constante.

Así que se involucra la fórmula conocida como 𝑣 =𝑠

𝑡. Hecho que obliga a reconocer a

un nuevo tipo de función; en este caso, una función de dos variables:

𝑣(𝑠, 𝑡) =𝑠

𝑡

es decir, un tipo, en este caso de función de 𝑅2en 𝑅, lo cual involucra una noción

generalizada del concepto de función. Hecho que es reducido al tipo de función que la

profesora requiere (y obligada por el programa), mediante la consideración del

espacio a recorrer como una constante (400 metros), quedando la función a

considerar como

𝑉(𝑡) =400

𝑡

función que tampoco está referida en el programa, ya que ésta no es una polinomial, ni

alguna otra de las ya comentadas al contenido curricular. No obstante, su pretendido

uso pareciera descansar en considerar la función 𝑠 = 𝑣𝑡, con 𝑣 = 𝑘; es decir,

considerar la función 𝑠 = 𝑘𝑡 que en términos de 𝑥 y 𝑦, podría verse como 𝑦 = 𝑘𝑥, que

es lo que ya se ha desarrollado en las sesiones previas.


128

Como es de esperarse, varios de los elementos expuestos (y otros más) se ven

reflejados en la sesión dirigida por la profesora, con las dificultades mencionadas.

Historia 5


En este fragmento se ilustra la vinculación que realiza la profesora con las preguntas

planteadas alrededor del recorrido que realiza la atleta, ahora los estudiantes deben

generar un registro de datos de la carrera de 28 metros que realizarán algunos

estudiantes, por equipos se tomó la lectura de datos. Las líneas 64, 65, 66, 67, 68 y 79,

ilustran la organización de la actividad, mientras que las líneas 87, 88 y 185,

evidencian el registro de los datos para variables como el tiempo y la velocidad,

conociendo la distancia total del recorrido.

... 64. P: En equipos así como estamos organizados de cinco personas, vamos a salir a las canchas,

ajá; y vamos a hacer una carrera de tres compañeros. ¿sí? 65. P: Van a medir con la cinta métrica que les pedí, van a medir la distancia donde van a hacer

estas carreras y van a contestar estas preguntas, ¿sí? 66. P: ¿Cuál es la función que determina la velocidad? Ya la tenemos. 67. P: La dos, ¿qué velocidad alcanza? ahora aquí sería en lugar de Ana Guevara, van a ser los

nombres de sus tres compañeros, ¿sí? 68. P: Todas las preguntas… chicos… ... 74. P: Lo primero que tienen que hacer, es medir la distancia. Lo segundo, calcular la velocidad de

tres compañeros. Para eso, ¿qué más necesitan? 75. P: Un cronómetro. ... 79. P: Y la tercera, la última parte; la que hicimos aquí de Ana Guevara es la representación gráfica.

¿Cuántas gráficas me tienen que presentar? 80. Aa: Tres. ... 81. P: Bueno, vamos a salir. ... 85. P: Bueno, van a medir de aquí, de esta parte donde está la línea verde (Borde de la cancha) hasta

donde termina la cancha de básquet, es la línea blanca. Hasta ahí van a medir. 86. O: A continuación se muestra en la siguiente figura la manera en que los alumnos se han

acomodado en la cancha para comenzar la actividad.


129

Figura 1. Los alumnos se acomodan para desarrollar la actividad en las canchas de básquetbol.

87. P: Ahí eligen a sus tres compañeros que van a sacar competentes. 88. P: ¿Sale? Primero vamos a medir, medir. ... 185. P: Entonces vamos a hacerlo con 28 metros, prueba de 28 metros. ... 213. P: Ah, esperen, esperen. Punto de inicio es… aquí. 214. O: Les enseña dónde van a comenzar, tal como se observa en la siguiente figura.

Figura 4. La profesora les indica a los alumnos la línea de salida.

... 218. P: Punto final es que cruce su pie en la línea blanca que está de aquel lado. ...


Después de recopilar la información respecto al tiempo y la distancia que recorren,

pueden determinar la velocidad de los participantes cada cierto tiempo, tal como se

muestra en las líneas 254, 255, 390, 395, 402, 403 y 404.

La profesora parte de una fórmula para solicitarles el despeje y la determinación de

las distancias recorridas de cada estudiante, construir tablas de valores y construir las


130

representaciones gráficas del recorrido realizado, ello se muestra en las líneas 406 y

457, en las que se muestran las distintas representaciones que utilizan los estudiantes.

... 252. P: Ya. Bueno, vámonos. Ya cada quien tiene sus registros. 253. O: Ya de regreso en el salón, los alumnos comentan lo sucedido en el patio.

Mientras la profesora anota en el pintarrón las preguntas que les indicó responder en la actividad que desarrollaron.

254. O: Las preguntas propuestas por la profesora son las siguientes: 1. ¿Cuál es la función que determina la velocidad? 2. ¿Qué velocidad alcanzó ________________ en la prueba de 28 𝑚𝑡𝑠?

a) b) c)

3. ¿Qué distancia recorrió _______________ en 3 segundos? a) b) c)

4. ¿Cuál es la diferencia entre las velocidades de sus tres compañeros? 5. ¿Quién de sus compañeros alcanzó mayor velocidad? 6. Grafica el recorrido de la prueba de 28 𝑚𝑡𝑠 de cada compañero.

255. P: Aquí en la pregunta dos, sería con los tres compañeros. ¿Sale? 256. P: Le podemos poner… a), b) y c) para que puedan escribir el dato de los tres compañeros. ...

390. P: Velocidad igual a distancia 𝒗 =𝒅

𝒕 .

... 395. P: ¿Qué nos pregunta? 396. Aa: Mmm la distancia… 397. P: ¿Cómo lo obtengo si no lo sabes? 398. Aa: Tenemos el tiempo de cada uno. 399. P: No. A ver, lean su pregunta. 400. O: La profesora ha comenzado a desesperarse. 401. Aa: Son tres segundos. 402. P: Les hace falta leer, leer, ¿sale? ... 403. P: Aquí está en la formulita. Si este está aquí dividiendo… pasa para acá… 404. P: Multiplicando, entonces sería ahora multiplicar. 405. P: ¿A partir de esta qué tengo ahora? 406. P: Ahora cámbialo de lugar. Velocidad por tiempo igual a distancia. 407. Aa: Así ya queda. .... 457. O: Se anexa la actividad desarrollada en el cuaderno de uno de los estudiantes.


131

Historia 6


Este fragmento distingue dos herramientas la profesora utiliza: el planteamiento de

situaciones contextualizadas (así las denomina) y el uso de un graficador denominado

“Graphmatica”, tal como se evidencia en las líneas 12, 22, 30, 31, 43 y 46. En los

primeros ejemplos que la profesora propone graficar con ayuda del software plantea a

la función identidad, la cual llama “mamá de todas” además de mostrar más valores de

los que habían ocupado en una tabla de valores para hablarles del dominio y el


132

codominio de la función lineal, esto se muestra en las líneas 48, 50, 52, 54, 57, 62, 63 y

64.

... 12. P: Ya les había dejado que hicieran los gráficos, este… de funciones lineales en el software

de Graphmatica. ¿Sale? 22. P: ¿Cuál es la competencia que ustedes deben de lograr al final de la unidad? ... 27. P: Identifica las funciones en situaciones contextualizadas y realiza representaciones en

tablas y gráficas. 28. O: La alumna está leyendo la competencia que se encuentra en el libro de Mendoza (2014, p. VII) la

cual fue proporcionada por la profesora. 29. P: Exactamente, lo mismo que dijo su compañero ¿No? 30. P: Nada más se le da un plus ahí con problemas contextualizados. ¿Sale? ¿Cuál es un

problema contextualizado? 31. P: Como el que vimos de Ana Guevara y como el que hicimos aquí problema real en la

institución que hicieron por equipos y que fuimos allá afuera. Eso es contextualizado. ... 43. P: Es un material que les va a servir desde este segundo semestre, hasta el sexto semestre, ¿si?

Con auxilio de este programa ustedes pueden obtener mucha ayuda en cuanto a la graficación, ¿si? Les puede ayudar a corroborar que efectivamente están bien hechos los ejercicios.

... 46. P: ¿Sale? Bueno. Uno de nuestros objetivos ahorita es conocer lo de las funciones lineales

que ya lo habíamos hecho manualmente y que algunos de ustedes ya lo han trabajado con esto.

47. P: Aquí donde aparece el cursor ahí es donde se pone la función. 48. P: ¿Cuál es la función que a partir de ella o la básica de funciones lineales… hay dos formas

de denotar una función. Empezando con “𝒚 =” y damos el nombre de la función o la otra es “𝒇(𝒙)” que es la que luego ocupamos igual en álgebra o bien que la ocupamos más en la materia de Cálculo este… Diferencial.

49. P: 𝑦 = 𝑥 por ejemplo, es la mamá de todas o bien 𝑓(𝑥) = 𝑥, yo puedo nombrarlas de estas dos formas a una función.

50. P: Yo aquí le voy a empezar con 𝑦 = ¿Cuál dijimos que era la mamá de todas? 51. Aos: Equis. 52. P: 𝒚 = 𝒙 ¿Sí? Le damos enter. Y ahí apareció, ya lo habíamos hecho nosotros, ¿Sí? 53. P: Y bueno ahí tenemos valores en los que aparece de dos en dos si ustedes observan en el eje 𝑥, en

el eje 𝑦 nada más aparecen dos y cuatro. 54. P: Pero ustedes pueden irse este… a esta parte donde está el zoom y tú le puedes dar “más”

y si ustedes ven cuando nosotros damos uno, esa partecita ya se hizo más grande. 55. P: ¿Ya vieron? Ahora el uno ocupa el espacio que era hasta cuatro; en gráfica anterior antes de

darle el zoom “más”. 56. P: ¿Si observaron? 57. P: Pero también nos podemos dar cuenta que puede ir creciendo tanto como yo quiera. Y

entonces ese uno que yo tenía en la gráfica anterior puede ser esta pequeña partecita. 58. O: En la siguiente figura se muestra el cambio de escala que realizó la profesora y que les está

mostrando.


133

Figura 2. Explicación del movimiento de la escala en el plano cartesiano. ... 62. P: Entonces por eso su dominio de una función lineal, ajá; es infinito porque yo le puedo

seguir dando por ejemplo ahorita y puede y creciendo y esta parte de cero a cincuenta lo puedo volver de cero a cinco mil o de cero a cincuenta mil, ¿sí?

63. P: O sea que hay un número infinito, eso es en el dominio. ¿No? 64. P: Y en el rango pues también, entre más grande yo le dé un valor [se refiere al dominio]

pues también va a ser mayor. ...

Historia 6: Fragmento 92 – 136 En estas líneas, la profesora Lulú les plantea preguntas sobre los comportamientos de

las rectas 𝑦 = 2𝑥, 𝑦 = 12𝑥 en particular, les pide a los estudiantes realizar un esfuerzo

para prever los cuadrantes o coordenadas por donde pasará, con ayuda de algunas

preguntas provoca la reflexión para esbozar lo que observarán al usar el graficador,

tal como se ilustra en las líneas 88, 92, 94, 97, 101, 103, 104, 109 y 111.

... 88. P: Vamos suponer que ahora yo le pongo 𝐲 = 𝟐𝐱 ¿observaron qué pasó? ... 92. P: ¿Por dónde creen que pasará 𝒚 = 𝟏𝟐𝒙? 93. Ao: Por el doce creo. 94. P: ¿Entre cuál y cuál? O ¿Entre qué y qué? ... 95. Ao: Por aquí en medio, ¿no? 96. O: La siguiente figura ilustra lo que el estudiante está comentando.


134

Figura 3. El alumno señala que pasa por el origen la función 𝑦 = 12𝑥 ... 97. P: ¿Cree usted que por ahí? 98. Ao: Va a pasar por uno, doce. 99. P: A ver, por dónde a ver. ... 100. Ao: Que va para allá. 101. P: A ver, dígame dónde. Pase, pase. 102. Ao: Por aquí. 103. O: Señala que está en el tercer cuadrante, muy pegado a “y” sin tocarlo. 104. P: ¿Y nada más ahí? 105. Ao: No, va por aquí. 106. O: En la siguiente figura se observa que el estudiante está señalando su bosquejo. ...

Figura 6. Otro estudiante que señala el bosquejo de la recta 𝑦 = 12𝑥

107. P: ¿Para allá? 108. Ao: Sí. 109. P: A ver, veamos. 110. O: La profesora traza la gráfica de 𝑦 = 12𝑥 con ayuda del graficador

Graphmatica, como se observa en la siguiente figura.


135

Figura. 7. Trazo de la función 𝑦 = 12𝑥, con ayuda de un graficador.

111. P: ¿Tenían la razón? ¿Si lo vieron? 112. P: Pongan atención, porque esto es en segundos y se va [chasquido], así rapidísimo. ...


El fragmento ilustra el diálogo que la profesora mantiene para presentar a la función

lineal, ello incluye la notación que se introduce en el graficador para generar la gráfica.

Al respecto, la profesora les pide a los estudiantes comenzar a establecer conclusiones

respecto a la función lineal, ello involucra identificar lo que sucede con la pendiente

cuando su valor es más grande que cero, ello se observa en las líneas 141, 142, 245,

250, 252 y 255.

Por otro lado, la profesora les encamina a ideas que provoquen la comprensión de los

comportamientos que se observan en las rectas si estas se acercan mucho al eje 𝑥 o al

eje 𝑦, tal como lo revelan las líneas 259, 261, 265, 266, 269, 270, 277, 278 y 281.

... 141. P: Llevamos estas tres. A ver propónganme una que ustedes quieran. Que sea

más o menos de este estilo, que tenga la forma 𝒚 = 𝒂𝒙, puede ser o 𝒚 = 𝒎𝒙 142. P: 𝒎 ¿Qué significa? 143. Ao: Pendiente o pendiente o el … 144. P: 𝑚, es la ángulo de inclinación; pero también lo puedo nombrar como 𝑦 = 𝑎𝑥, ¿si? ... 244. P: Ahora qué me pueden platicar acerca de todas estas gráficas. 245. P: ¿Cuál sería su conclusión? ... 247. P: ¿Cuál coordenada? ¿Cómo se llama? A ver ayúdenle. 248. Ao: ¿Coordenadas? 249. Aa: Es la pendiente… ¿No? 250. P: Entre menor sea la pendiente 251. Aa: Mayor será…


136

252. P: Tiene mayor inclinación ¿no? 253. P: Se acerca… ¿A cuántos grados si mayor es la pendiente? … Se acerca a… 254. Ao: ¿90? 255. P: A 90 y ¿Eso cómo lo sé? 256. Ao: ¿Sí?, ¿por qué noventa grados? 257. O: El alumno realiza una representación de lo que interpreta que una recta esté

a noventa grados. 258. O: Todos se ríen. 259. P: Sí, si está bien. Dice su compañero: noventa grados. 260. O: La profesora repite la acción realizada por el alumno, como se observa en la

siguiente figura.

Figura 20. La profesora repite la representación que indica que una recta esté a 90 grados.

261. P: Cuarenta y cinco. 262. O: La profesora representa con sus brazos cuando una recta está a 45° 263. P: ¿Sí? ¿Y Ahí cómo lo sé? 264. O: La profesora señala la pantalla del graficador. 265. Ao: Ah… bueno dice que noventa grados… se está acercando más al eje 𝒚 266. P: ¡Exactamente! 267. P: ¿Sale? 268. P: Y a ver ahora, bueno entonces esa sería una primera conclusión. ¿Sale? 269. P: Cuando yo tengo una función del tipo 𝒚 = 𝒎𝒙, como su compañera lo

mencionó, cuando tiene una pendiente mayor se acerca a noventa grados, ¿sí? 270. P: Entre mayor sea su pendiente se va a acercar más al eje 𝒙. 271. P: A ver, digan una función, allá de aquel lado; me dices una función que se

acerque más al eje 𝑥, más que cualquiera de las que tenemos ahí. ... 274. Aa: Un octavo… 275. P: Sería un octavo de 𝑥 dice su compañera. ...

277. P: 𝒚 =𝟏

𝟖𝒙, ¿se acerca más al eje 𝒚?

278. Ao: No. Se está acostando más. 279. P: A ver vamos a ver si acá su compañera o Francisco tienen razón.

280. P: 𝑦 =1

8𝑥

281. P: Ella dice que esa se acerca más al eje 𝒙. Observen. ...


137


Aquí se manifiestan en particular dos ideas por parte de la profesora, la primera tiene

que ver con el cambio de signo en la pendiente y el comportamiento que la recta

adquiere, en particular su inclinación a la izquierda y la cual observan con los

ejemplos propuestos para establecer una conclusión respecto a las rectas que se

inclinan a la izquierda, de aquellas que se inclinan a la derecha, tal como lo ilustran las

líneas 405, 406 y 408. Además de ello, se les pide plantear ejemplos de rectas que no

pasan por el origen, al respecto, las líneas 420, 425, 433 y 441 lo evidencian.

... 401. P: Díganme otra. 402. Ao: 𝑦 menos, menos. 403. P: 𝑦 = menos ¿qué? 404. Aa: Un medio.

405. P: 𝒚 = −𝟏

𝟐𝒙

406. P: A ver, chéquenle, va a aparecer. A la una, a las dos y a las tres. 407. O: La profesora les muestra la gráfica generada en el graficador.

Figura 28. Reproducción de la gráfica de 𝑦 = −

1

2𝑥 generada por la profesora en el graficador.

408. P: ¿Conclusión de todas estas? ... 417. Ao: Que cuando la pendiente de la función es este… de forma positiva la recta pasa por… la

línea pasa por los cuadrantes uno y tres. Y cuando es negativa pasa por los cuadrantes dos y cuatro.

... 420. P: A ver, ahora díganme; todas estas pasan por el origen, eh. Díganme una que no pasa

por el origen. 421. Ao: 𝑦 = 0 422. P: ¿Mande? 423. Ao: 𝑦 = 0 424. P: 𝑦 = 0 425. P: Esa no, esa es una constante. 426. Ao: = 2𝑥 + 3 427. P: 𝑦 = 2𝑥 + 3 dice su compañero. ...


138

433. P: Es la única que se ve que no pasa por el origen. ¿Sale? ... 439. O: La gráfica mostrada por la profesora se observa en la siguiente figura.

Figura 29. Reproducción de la gráfica de 𝑦 = 2𝑥 + 3 generada por la profesora en el graficador.

440. P: Esa fue la que propuso su compañero que no pasa por el origen. 441. P: ¿Díganme otra que no pase por el origen? 442. P: ¿Sí? 443. Aa: 𝑦 = 3𝑥 + 12 ...

Esta historia seis, reúne elementos que ya han sido planteados para que a partir de la

función 𝑦 = 𝑥, los alumnos visualicen las familias de funciones:

1) 𝑦 = 𝑥 + 𝑏, con 𝑏 ∈ 𝑅

2) 𝑦 = 𝑚𝑥, con 𝑚 ∈ 𝑅

3) 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, con 𝑚 y 𝑏 ∈ 𝑅 haciendo uso del graficador Graphmatica.


139

4.4.2 Fragmentos provenientes de las historias de la profesora Iris

Historia 1

Historia 1: Fragmento: 215 – 241

Este fragmento muestra el recorrido que realiza la profesora para pasar de una

función lineal a una ecuación lineal para encontrar la solución de la ecuación, el cero

de la función, tal como se leen en las líneas 215, 217, 220, 224, 226, 229 y 238. El valor

encontrado para 𝑥 le permite a la profesora decidir qué valores tomar para comenzar

a realizar la tabulación de la función.

... 215. P: Ahora sí, seguramente para que nosotros podamos solucionar algo como

esto (se refiere al problema planteado), primero tenemos que empezar como solucionar una función lineal, porque como les dije se soluciona con una… mediante una función lineal, pero que tal que si llegaríamos, no quiere decir que sea la solución… que tal si llegaríamos a una función como

216. O: Escribe en el pintarrón 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 [se dirige a los estudiantes]. 217. P: La pregunta sería ¿Cómo se encuentra el valor de 𝒙? Porque aquí (señala el

problema inicial) lo principal es encontrar o cómo representarlo con 𝑥, ¿sí se acuerdan? 218. P: ¿Cómo lo vamos a representar pero con letras?, aja; porque estamos

hablando de unos números que no conocemos. Sin embargo vamos a intentar conocerlos. Entonces, en este caso está involucrada una letra.

219. O: Pregunta a los estudiantes. 220. P: ¿Cómo yo podría saber el valor de esa letra? Alguien me dice cuál es la otra…

función similar a esta, eliminando 𝒇(𝒙) 221. Ao: 𝑦 222. P: Ajá, (lo va escribiendo mientras se lo dice el alumno) 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟏 … muy bien,

ajá. 223. O: Lo dijeron a coro los alumnos. 224. P: Con esto ahora yo podría decir, también en alguna ocasión les mencionaba

que yo puedo quitar a "𝒚” y puedo decir 𝒙 − 𝟐 igual con cero, ¿se acuerdan? 225. Aos: Sí. 226. P: Muy bien, y cuando yo tengo solamente una incógnita entonces la puedo

despejar, aja, ¿Cómo? Ah pues conozco la 𝒙 y digo que la 𝒙 es igual a… 227. O: La profesora escucha a los estudiantes, quienes no se ponen de acuerdo en lo

que sigue. 228. P: Analicen esta parte (les remarca la profesora) 𝑥 − 2 = 0 229. P: La 𝒙 la quiero dejar solita ¿Cómo le hago? 230. O: Un alumno comenta algo, la profesora continua 231. P: 𝑥 es igual a cero, (lo escribe) 𝑥 = 0 232. P: Pero de este lado está restando. 233. Aos: Pasa sumando. 234. O: Los alumnos se refieren a lo que pasa con −2 235. P: Sumando, muy bien. ¿Cuánto es 0 + 2? 236. Aos: Dos 237. P: Dos, 𝑥 = 2 238. P: ¿Vieron qué fácil es encontrar la solución? ¿Sí? Ok, quiere decir entonces, que


140

en este punto se interseca mi recta en el eje 𝒙, ajá… , eso significa, esto se llama cero de la función, raíz de la función o solución de la función y qué significado tiene, les dije (se dirige a los estudiantes).

239. O: Murmullos. 240. P: Es el punto donde la recta intersecta al eje 𝑥. 241. P: Quiere decir entonces que si yo tabulo, ¿se acuerdan cómo se tabula? ...

Historia Fragmento: 331 – 370

En este fragmento se observa que la raíz de la función se encuentra dentro del

intervalo que propone la profesora para generar la tabulación entre (0, 6), así como la

obtención de pares ordenados y la representación gráfica. Las líneas 331, 333, 334 y

336, enfatizan características de la función lineal, con frases como: su máximo

exponente es uno.

La profesora plantea cuestionamientos relacionados con la raíz de la función y su

distinción con la función constante, tal como se muestra en las líneas 352, 356, 364,

366 y 368.

... 331. P: ¿Qué resultó si unimos todos los puntos? 332. Aos: Una recta. 333. P: ¿Una recta debido a qué? 334. P: A que es una función lineal, su máximo exponente es uno, ¿ajá? ¿Y la intersección fue

en qué punto? 335. Ao: En el dos. 336. P: En el (𝟐, 𝟎), aquí está la solución. ¿O qué más se llama? Qué representa la intersección

con el eje 𝐱. 337. P: Saquen su apunte chicos. 338. O: Los alumnos comienzan a tomar nota de lo que se encuentra en el pintarrón mientras la

profesora agrega información a la tabla y a la gráfica generadas, esto se puede observar en la figura 11.

Figura 11. Tabla y gráfica propuestas por la profesora.


141

339. P: ¿Dudas? ... 345. P: ¿Podría borrar la función? 346. Aos: ¡No!

... 350. P: Bien, vamos a borrarle. Y ahora finalmente éste fue uno de los problemas de los

sencillos. 351. P: Vamos a poner otro sencillo. Solamente para encontrar… 352. P: ¿Si entendieron lo que representa 𝒙, verdad, si? ¿Qué representa? 353. Aa: eh. 354. Ao: Las raíces… 355. O: Se oyen murmullos, la profesora interviene. 356. P: La raíz o que más y ¿en la gráfica? 357. Ao: La solución. 358. P: La solución, la intersección, con qué. 359. Aos: Con el eje 𝑥. 360. P: ¿Y creen ustedes que siempre exista intersección? 361. Aos: Mmm, sí. 362. Aa: Sí… 363. P: ¿Con el eje 𝑥? 364. P: ¿Qué tal que si la recta fuese como la función constante que veíamos hace

días? 365. O: Se las dibuja con la mano (sin escribir) en el plano cartesiano de la función lineal que

generó. 366. P: ¿Con quién intersectará, con el eje 𝒙? 367. Ao: Con el eje 𝑦 368. P: Con el eje 𝒚, ajá. También puede ser que intersecte al eje 𝒚. 369. O: La profesora borra el pintarrón. 370. P: Vamos con… otra sencilla.

...

La profesora Iris, en esta sección de la historia uno desarrolla los siguientes pasos:

1 Plantea una función lineal 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2

2 Reescribe a la función lineal en términos de 𝑥 y 𝑦 𝑦 = 𝑥 − 2

3 Considera a la expresión obtenida como una ecuación (de

primer grado) con dos variables 𝑦 = 𝑥 − 2

4

Reduce de manera “arbitaria” de la ecuación a una

ecuación en una sola variable (a través de la igualación de

𝑥 con 0)

0 = 𝑥 − 2

5 Solución de la ecuación en 𝑥 (mediante la transposición de

términos) 𝑥 = 2

6 Interpretación del valor de 𝑥, como el “punto” donde la

recta 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 corta al eje de las 𝑥


142

7 Determinación de un intervalo cerrado conteniendo a la

abscisa del punto de intersección con valores en

6 ≥ 𝑥 ≥ 0

8 Tabulación y graficación de la función 𝑦 = 𝑥 − 2 [0, 6]

Proceso que extiende para plantear y reducir sistemas de ecuaciones lineales 2 × 2;

enfatizando con ello el uso de cuatro tipos de representaciones de una función: lo

verbal, lo algebraico, lo tabular y lo gráfico (en ese orden).

Se observa una fuerte tendencia a conceptualizar las nociones de función y ecuación

como si fueran el mismo concepto.

Historia 2


En este fragmento la profesora recupera características de la función lineal, en

particular lo correspondiente a su representación gráfica, que a veces pasa por el

origen, tal como se ilustra en las líneas 27, 29, 31, 35, 40. Para que los estudiantes no

se quedaran con la idea de que se trata de sólo rectas que pasan por el origen, la

profesora les ejemplifica con ayuda de tres bolígrafos, otros comportamientos que la

recta puede manifestar en el plano cartesiano, tal como lo muestran las líneas 41, 43 y

46. Además de ello, la profesora también acentúa al uno como máximo exponente de

una función lineal para distinguirla de una función cuadrática o cúbica, lo cual se

plantea en las líneas 50 y 51.

... 27. P: ¿Qué será una función lineal? 28. Aa: Es una solución a un problema (…) 29. P: Es una solución a un problema, ammm, bueno solucionamos una resta, solucionamos

una multiplicación y no forzosamente es una función lineal. 30. P: ¿No? 31. P: ¿Qué será? ¿Cuál es la característica principal de una función lineal? 32. P: Eh, equipo número (…) . 33. O: La interrumpe el equipo uno. 34. P: ¿Tienen la respuesta? Cualquier integrante. 35. Aa: Emm, que siempre tiene que pasar por el… bueno por el cero. 36. O: Otra alumna de otro equipo responde rápidamente. 37. Aa: ¡No! 38. O: La profesora se queda pensando en la respuesta, mientras tanto otro alumno interviene. 39. Ao: Que no importa si es una recta lineal, puede ser una parábola [la profesora lo interrumpe] 40. P: Su gráfica es una recta, no puede ser una parábola. 41. P: Su gráfica siempre debe ser en el eje de las “equis”, en el eje de las “ye”, su resultado, su


143

gráfica –perdón– siempre debe resultar una línea recta, en este caso el ejemplo que vimos acá afuera intersectaba por el (𝟎, 𝟎), o sea el origen, pero también podría estar aquí (figura 1), podría estar aquí (figura 2), podría estar acá (figura 3), podría estar por aquí (figura 4).

42. O: Con ayuda de tres bolígrafos simula el plano cartesiano y simula la recta en distintas posiciones y así mostrárselas a los estudiantes, tal como se observan en las figuras 1 a 4.

Figura 1. La profesora les muestra una recta

con pendiente negativa.

Figura 2. La profesora les representa una recta

paralela al eje “x”.

Figura 3. La profesora además les representa

una recta paralela al eje “y”.

Figura 4. La profesora les muestra una recta

con pendiente positiva

43. P: Forzosamente tendría que ser una recta, jamás una parábola. 44. P: Ajá, esa es una función lineal. 45. P: Bueno, ya me dijo una característica. 46. P: Su gráfica tiene que ser una línea recta. 47. P: Equipo número dos. Díganme otra característica, ¿dónde está el equipo número dos? 48. P: Díganme otra de la función lineal. 49. Aa: Su máximo exponente es uno. 50. P: Su máximo exponente es uno, efectivamente. ¿Y cómo deducimos el máximo

exponente? 51. P: Ah, porque nada más se encuentra involucrada la “equis” ¿No? 52. P: Jamás vamos a encontrar “equis al cuadrado”, “equis al cubo”, “equis a la cuarta”. 53. P: Muy bien. 54. P: Equipo número tres díganme otra característica de la función lineal. ...

Historia 2: Fragmentos: 90 – 126


144

En este fragmento la profesora recurre a la utilización de bolígrafos para rescatar

elementos del plano cartesiano abordados en una actividad en el patio tal como se lee

en las líneas 95 y 99. También, les aclara que la función lineal no alude a un polinomio

de grado cero, como lo muestra en las líneas 102, 103 y 106. En la última parte de este

fragmento se menciona una de las aplicaciones de las funciones lineales y un ejemplo

de problema contextualizado, lo cual se observa en las líneas 113, 116 y 121.

... 90. P: ¿Equipo número qué? 91. Aa: Seis. 92. P: ¿Equipo número siete? 93. O: Levantan la mano otros estudiantes. 94. P: Adelante. 95. Aa: Vimos el plano cartesiano, que es una gráfica bidimensional que se conforma por

números positivos y negativos y tiene cuatro cuadrantes. 96. O: La información proviene de sus apuntes, se ha revisado y es un concepto que les fue dictado. 97. P: Muy bien, ajá. 98. O: La profesora vuelve a recurrir a los dos bolígrafos para explicar el concepto de plano

cartesiano. 99. P: Un plano bidimensional o sea uno y otro eje. Eje de las 𝒙 y eje de las 𝒚 y dice su

compañera, tiene números positivos y negativos. Para acá los positivos sobre el eje 𝒙 y para acá los negativos sobre el eje 𝒙. Sobre el eje de las 𝒚 para arriba los positivos y para abajo los negativos, ¿cierto?

100. P: Bien. Ahora, ¿qué más vimos? Ah y además dicen sus compañeras, también vimos que está formado por cuatro cuadrantes, ajá.

101. P: ¿Qué más vimos equipo número ocho? 102. Ao: Su regla de correspondencia de la lineal es cero. 103. P: Su regla de correspondencia no es cero. 104. O: Ese mismo alumno responde. 105. Ao: Es un polinomio de grado cero. 106. P: Puede ser un polinomio como lo dijo aquí su compañero, ¿puede ser un polinomio

de grado cero? No. 107. P: ¿Qué más vimos? 108. O: Otros chicos de otros equipos levantan la mano. 109. P: Equipo número nueve, ¿Hay? 110. Ao: No. 111. P: Equipo número ocho, a ver, ayúdenle. 112. P: ¿Chicos? 113. Ao: Bueno, pues nos enseñó también cómo aplicar una función lineal en un problema

contextual. 114. P: Ok, ajá. A eso quería que llegáramos, justamente es lo que vamos a aplicar el día de hoy. 115. P: Dice: en tema seguimos con función lineal. 116. P: Competencia: aplicar la función lineal a la solución de problemas contextualizados.

Y entonces esa resolución de problemas reales, ¿se acuerdan del último que vimos aquí en clase?

117. Ao: ¡Sí! 118. P: ¿Cuál era? 119. Ao: Hallar (…). 120. P: ¿Alguien podría leerlo? Adelante. 121. Ao: Hallar dos números cuya suma sea 24 y cuya diferencia sea 6.


145

122. P: Ok, muy bien. 123. P: Y creo que la mayoría de ustedes lo entendió, ¿o no? 124. O: Los alumnos se quedan callados. 125. P: No, bien. 126. Ao: ¡Sí!

...

En esta historia, la profesora Iris ejemplifica varias (cuatro) gráficas de funciones

lineales, de las cuales la tercera que corresponde a la relación {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2|𝑥 = 3}, no

corresponde a una función.

La profesora hace distinciones entre las funciones lineales, las cuadráticas y las

cúbicas, conforme al máximo exponente de la variable 𝑥 (1, 2 ó 3, respectivamente).

Además, ella descarta a la función 𝑦 = 𝑘 como una función lineal (ver línea 50),

también describe al plano cartesiano como una gráfica bidimensional “que se

conforma con números positivos y negativos y...”

La profesora plantea aplicaciones de la función lineal en problemas verbales

orientados hacia la formulación de sistemas de ecuaciones lineales 2 × 2.

Asimismo, la profesora describe las partes de una función lineal como: una

correspondencia, una variable independiente y otra variable dependiente, lo cual se

observa en la línea 215. También define a la función lineal como aquella cuya regla de

correspondencia es un polinomio de grado uno o cero, cuya gráfica es una recta (ver

línea 65) y enfatiza que “tiene una solución”; lo cual pone nuevamente de manifiesto la

concepción de función como una ecuación.

Historia 3


En este fragmento la profesora procura que los estudiantes recuperen las partes de

una función, de una función lineal en particular, tal como se lee en las líneas 181, 186,

189 y 195. De hecho es la profesora quien les comenta que son tres las partes de

cualquier función, poco a poco los estudiantes las mencionan, ello se observa en las

líneas 200, 208, 213 y 215.


146

... 181. P: Una pregunta de función lineal. 182. Ao: ¿Función lineal? 183. P: Sí. 184. Ao: ¿Cómo está compuesta la función lineal? 185. P: ¿Cómo está compuesta…? 186. P: ¿Cómo está compuesta? ¿A qué te refieres? 187. P: A ver, un poquito más específico. 188. Ao: Así como sus partes. 189. P: Las partes de una función lineal, ok. 190. P: Las partes de una función lineal. 191. P: Número de lista… 192. Ao: Once. 193. P: Adelante. 194. Aa: ¿Por tabulación? 195. P: Emm, son tres partes de la función. Y de todas las funciones, de hecho. 196. Aa: ¿Correspondencia? 197. P: Esa es una, la regla de correspondencia. ¿Otra? 198. Aa: Este proceden de... 199. O: La profesora mueve la cabeza negando que esa sea la respuesta y se ríe. Los chicos también

se ríen. 200. P: La regla de correspondencia está bien. ¿Luego? 201. O: Interviene un alumno que no le toca participar. 202. Ao: ¿Solución? 203. P: ¿Perdón? 204. Aa: ¿Solución? 205. P: Nooo. 206. O: Los chicos comienzan a desesperarse y sólo se oyen murmullos. 207. Aa: ¿Variable? 208. P: ¿Qué variable? 209. P: Hay dos variables. 210. Aa: Independiente. 211. P: ¿Perdón? 212. Aa: Independiente. 213. P: Independiente y la dependiente. 214. P: Muy bien. Ajá. 215. P: Esas son las tres partes, regla de correspondencia, variable dependiente y variable

independiente. 216. P: Muy bien. Vamos con… ¿quién sigue? ...


En estas líneas se enfatizan dos ideas, la primera referida a tres sistemas de referencia

(unidimensional, bidimensional y tridimensional), tal como se observa en las líneas

231, 233, 243, 244, 245, 246, 247, 248 y 250; la segunda idea que emerge está

relacionada con lo que representa la solución de una función, como se muestra en las

líneas 261, 262 y 265.


147

... 228. P: Bueno, aunque no son partes de la función lineal… pero también lo vimos dentro de…

bueno. 229. P: Cuáles serían entonces las qué… otra vez… 230. Ao: ¿Cuáles serían los bidimensionales…? [No se entiende su pregunta]. 231. P: ¿Qué? ¿Los tres modelos de sistemas? 232. Ao: Sí. 233. P: ¿Cuáles son los tres modelos de sistemas? Vimos uno que se componía por una

sola recta, ya sea así horizontal o vertical. Vimos uno que se componía por los dos (señala los ejes de plano cartesiano) y vimos otro que se componía por tres. ¿Cuáles son los tres sistemas?

234. P: Adelante. 235. P: ¿A quién le toca? 236. Ao: A Andrea. 237. P: Andrea, ¿dónde estás? 238. Aa: Acá. 239. P: Adelante Andrea. 240. P: Shhh. 241. O: Otros alumnos levantan la mano. 242. Aa: Mmm. 243. P: Ok, vimos tres sistemas, uno que podía ser con una recta así,

Figura 7. La profesora Iris les muestra a los estudiantes el sistema unidimensional (horizontal).

244. P: O así.

Figura 8. La profesora Iris les muestra a los estudiantes el sistema unidimensional (vertical).

245. P: Solita, o así o así. [Enfatiza la horizontalidad y la verticalidad]. 246. P: Vimos otro en donde se componía por unas rectas como las que tenemos en el

pizarrón, así.


148

Figura 9. La profesora Iris les muestra a los estudiantes el sistema bidimensional.

247. P: Y vimos otro que se componía con tres.

Figura 10. La profesora Iris les muestra a los estudiantes el sistema tridimensional.

248. P: ¿Cuáles son esos sistemas? 249. O: Los alumnos murmullan pero no concretan las respuestas. 250. P: Muy bien, unidimensional, bidimensional y tridimensional. Perfecto. 251. P: Una última pregunta y después nos saltamos a otra actividad para que participen los

demás. 252. P: Si, porque como que ya… 253. Ao: Ya se aburrió. 254. P: Sí, ya aburrió. 255. P: ¿César Quezada? 256. O: El alumno levanta la mano. 257. P: Adelante, le pregunta a… ¿dónde estás Víctor? 258. Ao: Aquí. 259. P: Adelante César. 260. Ao: ¿Cuál es la raíz de la función lineal? 261. P: ¿Cuál es la raíz de la función lineal? 262. P: Ok, o a qué se le llama raíz. 263. P: Muy bien. 264. Ao: Es la solución de cada… 265. P: Es la solución, ajá; o cero de la función. 266. P: Muy bien, es la solución. 267. P: Efectivamente. 268. P: Bien, entonces ahora sí lo último que vimos fue la solución de un problema, ¿cierto? ...

Historia 4

Historia 4: Fragmentos: 15 – 79

En este fragmento la profesora Iris procura que los estudiantes recuerden elementos

asociados a la función lineal e incluso enfatizando que ya no se estudiará este tema y

de ahí la insistencia en que recuerden características principales de una función lineal,

tal como se observa en las líneas 20, 24, 27, 30, 31, 43, 45 y 46. Cabe hacer mención

que se destaca que sólo puede ser un polinomio de grado uno, no de grado cero o uno.


149

Además de ello, una de las tareas consistió en la elaboración de un mapa conceptual

que reúna todos los elementos de la función lineal, así como un ejemplo

contextualizado, tal como se menciona en las líneas 78 y 79.

... 15. P: Estén bien al pendiente, hasta aquí termina nuestro tema de función lineal. ¿Sale? 16. P: Así que estén bien al pendiente con las respuestas que dan. 17. P: Bien, ¿qué equipo quiere pasar? 18. P: ¿Yo elijo al azar al equipo? 19. O: Algunos alumnos que llegaron tarde, le preguntan sobre lo que van a hacer. 20. P: Sí, hablo de los problemas… hablo de los problemas de la clase pasada. 21. P: Creo que no estamos involucrados… 22. P: Bien, lean lo último que vimos y hago algunas preguntas con relación a lo que vimos la clase

pasada. 23. O: Comienzan a revisar sus apuntes los estudiantes. 24. P: Bien, ¿qué es una función lineal? 25. O: Los alumnos no le brindan respuesta alguna. 26. P: ¿Cómo entienden una función lineal? 27. P: Ya es la última vez que vemos este tema de función lineal. 28. O: Después de varios minutos, una alumna levanta la mano. 29. P: Adelante. 30. Aa: Eh… su regla de correspondencia es un polinomio de grado uno o cero. 31. P: Muy bien, ajá. Eso es una función lineal. Es la expresión algebraica o regla de

correspondencia cuyo grado máximo es uno. De ahí podemos sacar varias características… ¿cómo cuáles? ¿Cuál es su gráfica?

32. P: Participaciones, no está Eli… pero las estaba anotando Jenny, 33. Aa: No… 34. Ao: Lucy. 35. P: Pero tampoco está. 36. Aa: Roberto, Roberto. 37. P: Tampoco está. 38. P: Que grupo tan incumplido. Las anotas por favor. [Le indica a una alumna] 39. P: Ok. ¿Quién más quiere participar? 40. Aa: ¡Yo! 41. P: Adelante. 42. Aa: Es una recta. 43. P: Su gráfica es una línea recta, muy bien. 44. O: Otra alumna levanta la mano. 45. Aa: Que sólo tiene una solución. 46. P: Ok. 47. O: Cede la palabra a otro alumno. 48. Ao: Que tiene una intersección. 49. P: Muy bien. 50. P: ¿Qué más? 51. Aa: Su exponente es uno. 52. P: Muy bien. ... 62. P: Su compañera va a hacer el favor de explicarnos, más bien se mencionaron las

características y las van anotando. 63. P: Adelante señorita. 64. Aa: Su característica es una recta…


150

65. P: Es una línea recta su gráfica, ¿qué más? 66. Aa: Su polinomio es de grado cero. 67. P: ¿Perdón 68. P: Su polinomio es cero… 69. P: Mmm… deberías estar anotando. 70. P: Anótele por favor, ¿sí? Te reviso al final. 71. P: Su gráfica es una línea recta. 72. P: Su máximo exponente es uno. 73. P: Tiene una solución. 74. P: Ajá, bien. 75. P: ¿Qué más? 76. Ao: Este… 77. P: Ajá, ¿qué más? 78. P: Es importante que vayamos sacando la nota porque para la próxima clase, de tarea,

como producto de todo esto que hemos visto me van a entregar un mapa conceptual de todo lo que es una función lineal, que incluya hasta un ejemplo. ¿Ajá? Entonces, vayamos tomando nota de todo esto.

79. P: ¿Sí me entendieron?, ¿sí? El producto de todo esto va a ser un mapa conceptual que incluya hasta un ejemplo que puede ser aplicado a situaciones contextuales… qué puede… ¿Ajá?

...


Este fragmento ilustra la construcción de un mapa conceptual que la profesora esboza

en el pintarrón para que los estudiantes la complementen, ella les enfatiza el uso de

conectores, partiendo de elementos generales a los particulares. El mapa conceptual

considera por un lado su definición y por otro, sus características, lo cual se muestra

en las líneas 422, 423, 427, 439, 440, 446, 449, 453, 454, 472 y 473.

... 421. P: Mapa conceptual, conceptual. 422. P: El conceptual empieza desde acá arriba [les muestra una hoja] 423. P: Y va desglosándose de manera que es jerárquico. No es la primera vez que hacemos

un mapa conceptual. 424. P: No pueden empezar desde acá abajo… 425. Ao: ¿Es mapa mental, no? 426. P: Es mapa mental. 427. P: Empieza desde aquí, conceptual y vamos de lo general a lo particular. 428. P: De función lineal hasta ejemplos, seguramente. 429. P: Y todo se va relacionando con líneas y palabras de enlace. Además no va aquí un texto

completo, van palabras clave. ¿O no? 430. Ao: Sí. ... 436. P: No van textos, van palabras clave. ¿Qué es lo esencial? ¿Qué es todo esto? Hay que

leer. Ahora sí, ya entendí la idea clave, la escribo. 437. O: Se acerca a revisar el trabajo de uno de los estudiantes.


151

438. P: ¿Qué dice? 439. P: No, función lineal no es un sistema bidimensional. 440. P: No, es una expresión algebraica… ... 445. P: Y creo que ya no le sigo porque ya vi que están tentados a copiarlo tal cual. Les explico

mejor. 446. P: Función lineal es… expresión algebraica cuyo máximo exponente es uno. 447. P: Sus características son… 448. O: Todo esto se aprecia en el mapa que comenzó a elaborar la profesora, tal como se

muestra en la siguiente figura.

Figura 9. Mapa conceptual propuesto como ejemplo inicial a los estudiantes. 449. P: Y coloco las características. ¿Me entienden? 450. Ao: Sí. 451. P: Después puedo seguir con ejemplos y después puedo seguir con… depende de los

conocimientos que tengamos… 452. Ao: ¿Es como nosotros quieramos (sic), no? 453. P: Como ustedes quieran siempre y cuando sea un mapa conceptual. 454. P: Vieron que lleva líneas de enlace y palabras de enlace, ¿verdad? 455. Aos: Sí. 456. P: Ok. ... 460. O: La profesora realiza modificaciones al mapa que les había propuesto a sus estudiantes,

quedando como se muestra a continuación:

Figura 10. Mapa conceptual modificado y mostrado como ejemplo a los estudiantes.


152

461. P: Observen lo que estoy haciendo y a nadie se le va a antojar. Nada más agregué dos

características, faltan muchas. 462. P: Depende de los conocimientos que tengamos, entre más coloquen. Mejor. ¿Sale? 463. P: ¿Sí o no? 464. Ao: Sí. 465. P: Pongan la clave y enlace, clave y enlace. No pueden ir dos claves. 466. P: No pueden ir dos enlaces sin clave. 467. P: Clave, enlace, clave, enlace, clave. 468. P: Ok, dice… 469. O: Comienza a revisar el mapa de algunos estudiantes. 470. P: Imagínense chicos, imagínense… acá tantito su atención. 471. P: Imagínense que yo no coloco las palabras clave y luego…porque a veces así lo hacen… se

enlazan todo y al final andan colocando las palabras clave y son repetitivas porque son capaces de hacer lo siguiente… 472. P: Función lineal es… ajá, si me entienden, de tal manera que se vaya leyendo todo. 473. P: Vamos analizando desde un principio cual sería nuestra palabra clave y cual

nuestra palabra de enlace. 474. P: ¿Sale? ¿Sí? ...

Historia 5


Este fragmento ilustra el tránsito que realiza la profesora para ir de una función a una

ecuación lineal y hablar en este caso de un sistema de ecuaciones. En el proceso,

trasciende la idea de encontrar un punto de intersección de dos ecuaciones lineales,

tal como se ilustra en las líneas 49, 53, 56, 58, 59, 63, 72, 74, 76 y 87.

Además de ello, la profesora cuestiona las características de una función lineal, al

respecto, los estudiantes recuperan ideas referidas a su representación gráfica, su

regla de correspondencia, cuyo máximo exponente es condicionado, además de

reconocer el cambio de notación (pasar de 𝑓(𝑥) a 𝑦) tal como se evidencia en las

líneas 91, 94, 99, 100, 105, 109, 113, 118, 121, 130, 136, 147, 149, 151, 159, 161 y 163

...

49. P: Qué escribieron, ¿cuál es el objetivo del sistema de ecuaciones? 50. O: Otro alumno levanta la mano. 51. P: Adelante. 52. Ao: Es para encontrar el punto de intersección. 53. P: ¡Muy bien! Es para encontrar el punto de intersección de dos ecuaciones lineales.

¿Ajá? 54. P: Sistema de ecuaciones lineales. Y aquí lo voy a subrayar. 55. O: Lo subraya en el tema que anotó en el pintarrón. 56. P: Seguimos hablando entonces de dos rectas, ajá. Bien 57. P: Acá, Ceci, nos dice ¿Qué será entonces un sistema de ecuaciones? 58. P: Voy a escribir aquí la estructura o cómo podría ser un sistema de ecuaciones. Por


153

ejemplo: 𝒙 + 𝒚 = 𝟐 59. P: Díganme ustedes, ¿esto pertenece a una ecuación lineal? 60. Ao: No. 61. Aa: Sí. 62. P: ¿Sí? 63. P: Las formas de (sic) en que puedo representar esta: 𝒙 + 𝒚 = 𝟐 dijimos que podía ser:

𝒚 + 𝒙 = 𝟐 , ¿sí o no? 64. P: Este y este es lo mismo. 65. O: Se refiere a que las siguientes expresiones son iguales.

Figura 3. Ecuaciones presentadas como iguales por la profesora.

66. P: Pero más aún 𝑦 = 2 , si este está sumando va a pasar del otro lado que… 67. Aos: Restando. [Se refiere a la 𝑥] 68. P: Restando. 69. P: Este y este son lo mismo. 70. P: Aquí hay que escribir… menos que… −𝑥 71. O: El despeje desarrollado por la profesora en función de 𝑦 se muestra en la siguiente figura.

Figura 4. Expresión en función de 𝑦 propuesta por la profesora.

72. P: Ok, es lo mismo. ¿Entienden que es lo mismo? ¿Sí o no? 73. P: Esto es lo que yo escribí aquí. [Les señala una expresión colocada en el pintarrón]

Figura 5. Expresión especificada por la profesora.

74. P: 𝒙 + 𝒚 = 𝟐 75. P: Pero, más abajo nada más como que ordene, en vez de colocar la 𝑦 después, la coloque

primero 𝑦, este [se refiere a 𝑥] lo coloque después, para empezar a estructurar de esta manera. 76. P: Después 𝒚 + 𝒙 = 𝟐, dijimos que estos dos son lo mismo, nada más como que ordene o

desordene estos dos elementos, esos dos sumandos. ... 84. P: Entonces quiere decir que es lo mismo decir 𝒇(𝒙) = 𝟐 − 𝒙 85. P: Estas cuatro… eh… formas de representar es… (sic) significan lo mismo.


154

Figura 6. Expresiones mediante las cuales la profesora indica que una función y una ecuación

representan lo mismo. 86. P: ¿Sale? 87. P: Entonces vuelvo a preguntar ¿esta será una ecuación… eh…será una ecuación lineal? 88. P: ¿Sí? 89. P: Ok. ¿Por qué se dieron cuenta? ¿Por qué supieron que es lineal? 90. O: Los alumnos se quedan callados. 91. P: A ver, lean por favor, ¿qué es una ecuación lineal? ¿Qué es una función lineal?... lean. 92. P: Ahí no lo tienen. Lo tienen en sus apuntes. 93. O: Los alumnos comienzan a hojear sus libretas. 94. P: ¿Y entonces, si es una función lineal o no? 95. O: Se quedan en silencio nuevamente. 96. P: A ver, aquel joven [señala a uno de los estudiantes] ¿si es o no es? 97. P: ¿Jovencito? 98. O: Unos alumnos se ríen. 99. P: ¿No lo encontraron? 100. Aa: Sí, consta de valores de 𝒙 y 𝒚 101. P: Ajá, pero ¿Y qué más? 102. P: Porque bien puede ser una función que sea 2𝑥2 + 𝑥 + 𝑦… y no es una 103. Ao: función lineal y tiene 𝑥 y tiene 𝑦. 104. P: Lean, no me queden viendo, lean. 105. P: Función lineal, tenemos varias características, dentro de las características si las

razonamos; podríamos deducir si es o no una función lineal y por qué es una función lineal.

106. O: Una alumna levanta la mano. 107. P: Adelante. 108. Aa: Porque la gráfica es una recta. 109. P: Porque la gráfica es una recta… 110. P: No, pero todavía no gráfico, nada más tengo este, este, este y este. Todavía no

gráfico. [Se refiere a los elementos de la figura 6] 111. P: ¿Cómo sé que es una recta? 112. P: Adelante. 113. Aa: Porque su regla de correspondencia es un polinomio. ... 118. Aa: Pero ahí dice que es de grado uno, cero. 119. O: La profesora le presta atención. 120. P: De grado uno. 121. P: Su máximo exponente es uno. ... 130. P: Tiene como máximo exponente uno, ¿cómo me doy cuenta de que tiene como

máximo exponente uno? 131. P: Adelante joven. 132. O: No responde el alumno a quien se dirigió la profesora. 133. P: ¿Aquí qué exponente tendrá? [Señala 2𝑥2 + 𝑥 + 𝑦] 134. Aa: Dos. 135. Ao: Dos.


155

136. P: ¿Cuál es el exponente? 137. Aa: Eh… el numerito chiquito que tiene… 138. P: El numerito chiquito, este, este es el exponente. 139. O: La profesora marca el exponente en la expresión mostrada en la siguiente figura.

Figura 7. Ejemplo de exponente señalado por la profesora.

140. P: Entonces, ¿aquí que exponentes tenemos? [Señala los ejemplos de la figura 6] 141. Aa: Uno. ... 147. P: Entonces, estas son ecuaciones lineales porque su máximo exponente es el

número uno. [Nuevamente se refiere a la figura 6] 148. P: Esta es una ecuación cuadrática porque su máximo exponente… ... 149. P: Qué esta, esta, esta y esta; significan lo mismo. Que son ecuaciones lineales y que

su máximo exponente es uno. 155. P: Y escriban en donde se deduce… (sic) está el exponente. 156. P: Voy a borrar esto porque capaz de que escriben que es cero ¡eh! 157. O: Se refiere a las marcas que hizo cuando habló del exponente que le corresponde a 𝑥. 158. P: Mejor le coloco el uno. 159. O: En la figura 8 se observa el exponente colocado por la profesora.

Figura 8. Ubicación del exponente uno en cada expresión algebraica.

160. P: La bolita es para señalar que ahí debería estar, pero su máximo exponente es uno. 161. P: Escriban porque de aquí a acá escribí así. ¿Qué cambiaron? 162. Ao: 𝑥 y 𝑦. 163. P: Nada más el orden de las letras. 164. P: ¿Aquí? ¿Qué hice? 165. Aa: Mmm… 166. P: Despejé a la 𝒚. 167. P: ¿Aquí qué hice? 168. P: Cambié a 𝒚 por 𝒇(𝒙). ...


En este fragmento se ilustra cómo la profesora Iris plantea un sistema de

ecuaciones lineales estableciendo que una función lineal se convierte en una

ecuación lineal, de ahí que les comparta cuatro formas de considerar a la misma

expresión algebraica, como se aprecia en las siguientes líneas 177, 178, 179, 185,


156

186, 188, 189 y 191. Además de ello, plantea un cambio de notación para ir de 𝑦 a

𝑓(𝑥), tal como se observa en las líneas 201, 203, 204 y 208.

... 176. P: ¿Cierto? Bien. 177. P: Sistema de ecuaciones lineales, voy a recalcar aquí, lineales para no confundirnos.

O sea que estamos hablando de máximo exponente, uno, ajá. 178. P: ¿Qué será un sistema de ecuaciones? Y dije, para poder contestar la pregunta vamos

aquí a colocar la estructura de un sistema de ecuaciones. 179. P: Ya entendimos que este es un sistema… perdón, que esta es una función lineal

[Señala la expresión 𝑥 + 𝑦 = 2] 180. Aa: Sí. ... 184. P: Ok, voy a escribir otra. 185. P: 𝟐𝒙 + 𝒚 = −𝟔 186. P: Observen, ¿será también una ecuación lineal? 187. Aos: Sí… 188. P: ¿Cómo saben? 189. Aos: Por el exponente. 190. P: Porque su máximo exponente es uno. Perfecto. 191. P: Y si yo lo quiero representar en estas cuatro formas, ¿cómo quedaría? 192. P: ¿Me ayudan? Vamos con la primera. 193. P: ¿Cómo quedaría? 194. Ao. 2𝑥… 195. P: Tal cual como esta. 196. Aos: 2𝑥 + 𝑦 = −6 197. P: ¿Y si quiero estructurarlo de esta manera? 198. Aos: 𝑦 + 2𝑥 = −6 199. P: Muy bien. ¿Y si quiero estructurarlo de esta manera? 200. Aos: 𝑦 = −6 − 2𝑥 201. P: Muy bien. ¿Y si quiero estructurarla así? 202. Aos: 𝑓(𝑥) = −6 − 2𝑥 203. P: ¿Lo tienen todos así?, ¿sí? ¿Ajá? 204. P: Estas cuatro maneras significan… 205. Aos: Lo mismo.

Figura 9. Otro ejemplo de expresiones iguales mostrado por la profesora.

206. P: Ajá. Ok. 207. P: Espérenme, ahorita sacan su apunte. 208. P: Esto se llama sistema de ecuaciones lineales, ajá. Esperen tantito, no saquen nota. 209. P: Esto se llama sistema de ecuaciones de ecuaciones lineales, ajá. De dos por dos. ...


157

En lo que se muestra en la historia cinco de la profesora Iris, se exhibe un proceso de

pasaje de una función lineal a una ecuación lineal en dos variables y de ahí al

planteamiento de sistemas de ecuaciones lineales 2 × 2 y viceversa como se observa

en las líneas 132 a 166 y 185 a 202.

Historia 6


En este fragmento se ilustra la manera en que la profesora aborda la representación

gráfica de un sistema de ecuaciones. En particular, se muestran ejemplos de cómo dos

rectas podrían intersectarse, tal como se observa en las líneas 132, 133, 134, 137, 138

y 139. Además de ello, la profesora les solicita dejar a la función en términos de 𝑦 para

así considerar valores para 𝑥 y comenzar a tabular, tal como se lee en las líneas 142,

147, 154, 164, 167, 169, 170, 172 y 176.

... 132. P: Tenemos dos funciones: 𝒚 + 𝟐𝒙 = 𝟓 133. P: Otra: 𝒚 + 𝒙 = 𝟏𝟎 134. P: Les dije: existen varios métodos para poder encontrar el punto donde ambas

rectas se intersectan. Pero da el caso de que los niños no trajeron la tarea, ajá.

... 136. O: La profesora les muestra la siguiente representación.

Figura 3. Intersección de las rectas mostrada por la profesora.

137. P: Puede ser así, o así.

Figura 4. Dos intersecciones más sugeridas por la profesora.

138. P: No sé, de cualquier forma, pero van a ser dos rectas. 139. P: Pero se van a intersectar, ajá. Quiero pensar. 140. P: Bueno, entonces sucede que, ¿será importante conocer esos métodos? 141. P: Claro que son importantes.


158

142. P: Si no vamos a andar divagando como ahorita lo van a hacer para poder colocar o proponer los números que van a ir en 𝒙. Ajá.

... 145. P: Para poder graficar una función como esta o como esta, primero tengo que despejar a

la 𝑦. ¿Cierto o no? 146. Aos: Sí. 147. P: Ajá, entonces despejo a la 𝒚 y despejar a la 𝒚 casi es de manera directa,

observen, esta es esta.

148. O: Les indica que 𝑦 + 2𝑥 = 5 es igual a 𝑦 = −2𝑥 + 5 ... 153. P: Y ese signo (sic) ese cinco que está del otro lado sumando, pues se sigue conservando

sumando. 154. P: Ya está listo para poder graficar. Si lo quieren ver así o si lo quieren ver así. 155. O: Se refiere a estas dos representaciones: 𝑦 = −2𝑥 + 5 → 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 5 156. P: Como gusten, estas dos cosas dijimos que eran lo mismo. ... 159. P: Esta segunda pues es esta, observen: 𝑦 =, esta 𝑥 que está sumando, va a pasar del otro

lado… 160. Aos: Restando. 161. P: Restando. 162. P: Y este diez que estaba sumando, pues lo seguí dejando de ese lado sumando. 163. P: Y entonces, ya está lista esta otra para poder graficar. 164. P: Y esta y esta significan lo mismo. 165. O: Se refiere a las expresiones: 𝑦 = −𝑥 + 10 → 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 10 166. P: En la forma en que ustedes la quieran colocar. 167. P: Ahora, ¿qué sigue si quiero graficar? 168. Ao: Dominio… 169. P: Proponer… exactamente hacer mi tabulación. 170. P: Proponer mi dominio. 171. P: Aquí es donde mi pregunta… y ¿qué valores? 172. P: Los que ustedes quieran, finalmente cuando grafiquen probablemente les dé

una gráfica así de la primera, supongamos ¿no? 173. P: Y a lo mejor en la otra les da una gráfica, así. 174. O: Les dibuja un par de rectas que casi se intersectan, sólo que el color del marcador no

es muy visible. 175. P: ¿Qué necesitan entonces ahora? 176. P: Pues aquí necesitarían tomar otros valores de 𝒙 negativos para que vean dónde

se intersecta, ¿no? ... 180. P: Grafiquen ya. Ajá. ...


159

4.4.3 Fragmentos provenientes de las historias del profesor Israel

En esta sección se presentan algunos de los fragmentos que ponen de manifiesto parte

de los acercamientos que sobre el concepto de función y función lineal plantea el

profesor Israel. Cabe hacer mención que sólo se presentan fragmentos de 8 de las 11

historias que se transcribieron, ya que los contenidos de las historias 1, 9 y 11 son

considerados en otras de las historias.

Historia 2


En estos fragmentos se ilustra cómo el profesor pretende que desde la expresión

algebraica los estudiantes conjeturen cómo va a ser la gráfica, qué pasaría si se le

cambia el signo al valor de 𝑥 tanto de una recta que pasa por el origen, como de una

que no, tal como se observa en las líneas 25, 26, 30, 32, 35, 39, 44, 45, 46, 47 y 48.

Además de ello, el profesor les trata de generar ideas con el cambio de signos, si se le

suma o resta una unidad, ello se muestra en las líneas 53, 54, 56, 59 y 60. Finalmente

el profesor plantea una lista de funciones lineales para ser graficadas, las cuales se

encuentran propuestas en el libro de texto de Orozco (2005, p.48) presentes en las

siguientes líneas 65, 66 y 69.

... 22. P: Si por ejemplo vemos una función como la que voy a poner ahorita. 23. P: Y decimos, la clase anterior estuvimos trabajando cuando “𝑦”, cuando 𝑓(𝑥) 24. P: Guarden silencio por favor jóvenes, allá atrás. 25. P: Cuando 𝒚 = 𝒙, ¿aquí qué ocurre señorita? 26. P: Usted ya cuando ve esta función, el objetivo de esto es que tú ya no tabules. Sino que

cuando veas la función inmediatamente sepas qué comportamiento tiene esa gráfica y por dónde va a pasar más o menos.

27. P: Sólo más o menos dónde pasa, porque exactamente no podemos saber. 28. P: Pero bueno, en este caso sí podemos saber. A ver ¿quién me dice cómo es esta? 29. Aa: Es una recta. 30. P: Va a ser una recta en forma diagonal y va a pasar por ¿dónde? 31. Aos: Por el origen. 32. P: Por el origen. ... 35. P: Si yo les digo, a ver, vamos a buscar la coordenada 𝒙 eh, cuando es -1000, por ejemplo. 36. Ao: ¿Tanto? 37. P: (−1000, 1000), por ejemplo esta coordenada , este es el 𝑥 y este es el 𝑦 38. O: Se refiere a lo siguiente:

𝑥 𝑦

(−1000, 1000)


160

39. P: Decimos que lo mismo va a valer 𝒚 que 𝒙. 40. P: ¿Qué va a ocurrir señorita?

... 44. P: Va a ser recta. 45. Aa: Va a ser una recta vertical. 46. P: La misma que me dijiste. 47. Ao: Pero al revés. 48. P: Es lo mismo. ¿No? 49. P: Es lo mismo, nada más que aquí se va a qué, como tú lo dijiste. 50. Ao: Invertir. 51. P: Se va a invertir. 52. P: Bien, la 𝑥 está negativa ¿no? 53. P: Pero si la volteamos nada más va a cambiar su posición de un cuadrante a otro. 54. P: En el caso, de que si le agrego o le sumo, allá atrás señorita. Si le sumo a 𝒙 uno por

ejemplo, ¿qué ocurre? 55. Ao: Nunca va a pasar por el origen. 56. P: No pasa por el cero, es exclusividad del origen. 57. P: ¿Qué otra? 58. Ao: Se va a subir. 59. P: Se va a subir una unidad, ¿no? 60. P: ¿Si le pongo menos uno? 61. Aa: Se va a bajar. 62. P: Se va a bajar, muy bien. 63. P: Bien, vamos a hacer unos ejercicios para que… este… practiquemos. 64. O: Toma el libro de texto de Orozco (2001) para obtener los ejercicios que va a colocar a los

estudiantes, aun cuando no los toma tal cual, es su referente (pp. 48-49) 65. Aa: ¿Profe ahorita? 66. P: Sí, ahorita. 67. P: La clase anterior estuvimos viendo sumas, cuando a 𝑥 le sumas un entero, dos enteros, tres

enteros, cuatro enteros, etcétera, etcétera, ¿verdad? 68. P: Ahora vamos a hacer cuando a 𝑥 le hacemos un producto de 𝑥 o cuando hacemos un producto

de 𝑥, ¿sale? 69. P: Y recuerden que le vamos a llamar 𝒇(𝒙) 70. O: El profesor escribe las siguientes funciones en el pintarrón:

𝑓(𝑥) = 3𝑥 𝑓(𝑥) = 4𝑥

𝑓(𝑥) = −6𝑥

𝑓(𝑥) =1

2𝑥

71. P: Ok, con esas por favor, en la misma gráfica, ya sabemos, con diferente color lo vamos a realizar en la misma gráfica, con diferente color.

...

En este fragmento se observa que la intención del profesor es que los estudiantes

describan gráficas de funciones de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥, variando 𝑘, es decir, pretende

que los estudiantes pasen de una representación algebraica a una representación

gráfica en la que se evidencie la variación de las pendientes de las rectas trazadas,

como se observa en la línea 70, advirtiéndose en la línea 67 que el profesor Israel, en


161

clases previas había planteado la actividad de graficar funciones de la forma

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑏 con 𝑏 variando; hecho que redireccionó las preguntas del profesor como

se ve en las líneas 55, 58 y 61 de esta sesión.

Sin embargo, como se puede también observar, los estudiantes y el profesor también

tienen dificultades para trabajar con la función identidad 𝑦 = 𝑥; dificultades que

provienen, al parecer, de la “interpretación” de esa forma de expresar a la función; de

la “sustitución” del valor de 𝑥 en ella y de su efecto de “inversión” en la expresión

como se lee en las líneas 47, 51 y 52, hecho que parece inducido desde las

intervenciones del mismo docente como lo sugieren las líneas 35 y 38.

Podría decirse que el profesor tiene dificultades de comunicación con sus estudiantes,

dificultades que parecer emerger de su interpretación de los conceptos a tratar:

conceptos ligados a la pretensión del desarrollo de un lenguaje gráfico, inducido por

contenido proveniente del libro de texto de Orozco y considerado por el docente para

el desarrollo de la sesión.


El fragmento ilustra la idea que el profesor pretende mostrar a los estudiantes en

relación a pensar en una parte de la gráfica al tomar valores muy pequeños o al

considerar valores muy grandes en el intervalo para graficar una función lineal, lo cual

se observa en las líneas 80, 82, 83, 92, 105, 106, 107, 108, 109 y 110.

... 80. P: ¿A qué no le entiendes? 81. P: Sólo tienes que tabular y graficar. 82. P: El intervalo, ¿qué intervalo hemos estado trabajando? 83. P: De menos ocho 84. Aos: A ocho. 85. P: Por favor. 86. O: El profesor regresa a anotar en el pintarrón lo siguiente: Intervalo (−8,8) 87. P: ¿Correcto? 88. P: ¿Qué pasa Alan, qué pasa si yo te digo que el intervalo como hace rato que puse el

ejemplo, si yo te digo de menos cien a cien? Con las gráficas, ¿qué cambiaría? 89. P: ¿No? 90. P: A ver allá. 91. Ao: Se invierte. 92. P: ¿Se invierte? 93. Aos: Noo. ...


162

101. Aa: Queda igual. ... 104. Ao: Se alargaría el plano, ¿no? 105. P: Nada más el intervalo o la gráfica que estamos representando, es un… emm… como

un segmento mayor de esa, ¿de esa qué? De esa gráfica. 106. P: ¿Sí? Es lo único que ocurre. Es como si le aplicamos un ¿qué? 107. P: Un zoom, ustedes en el teléfono acercan la fotografía o la alejan, pero realmente está

lo mismo en la fotografía. ¿No? 108. P: Sabemos que eh… si le acerco a la cara de Noé por ejemplo, vamos a mirarle la nariz

pero si la alejamos vamos a ver todo su rostro, ¿no? 109. P: O sea, vamos a ver una partecita nada más de esa gráfica, ¿correcto? 110. P: ¿Si estamos? 111. P: A ver quién hizo la tarea por favor ... ...

En este fragmento de la historia dos, se observa un “regreso” del profesor Israel

pretendiendo abordar el contenido a través de las representaciones tabular y gráfica

(hecho sólo enunciado), ya que de manera explícita lo que intenta el profesor es

inducir en la mente de los estudiantes las imágenes, ampliadas o reducidas, al variar

el intervalo considerando en el eje de las 𝑥, de la gráfica de la recta en referencia como

se lee en las líneas 105 a 109.


En este fragmento, el profesor explica el procedimiento para tabular la función

𝑦 = 1

2𝑥 , tal como se observa en las líneas 243, 245, 247, 251, 256, 257, 258, 261 y

272. Además de ello, les muestra los cambios que pueden hacer en el intervalo de

valores, dado que son varias las gráficas a generar en un mismo plano cartesiano,

procura que identifiquen los valores más grandes o más pequeños, dado que no puede

conservarse el mismo intervalo de valores para 𝑥, lo cual se muestra en las líneas 292,

293, 300, 311 y 315. Además de ello encamina que los estudiantes identifiquen el eje

de las abscisas y el eje de las ordenadas en el plano cartesiano y las líneas 318, 321,

324, 328, 330 y 333 dan cuenta de ello.

...

243. P: Aquí tienes 𝟏

𝟐𝒙 o 𝒙 por

𝟏

𝟐 es casi lo mismo. El orden de los factores no altera el producto.

244. O: Una alumna lo interrumpe porque no tiene claro cómo realizar la tabulación y el profesor decide exponer la duda a todo el grupo.

245. P: A ver jóvenes, no se confundan. En la tabulación, la organización que vamos a tener para registrar los datos.

246. O: Comienza a dibujar un tabla en el pintarrón.


163

247. P: ¿En dónde va a estar colocado 𝒙? 248. P: Las coordenadas siempre vamos a encontrar 𝑥 y luego… 249. Aos: 𝑦 250. P: 𝑦 251. P: Entonces, por tal motivo siempre vamos a colocar 𝒙 del lado derecho, del lado

izquierdo, perdón. 252. P: ¿Qué vamos a encontrar con la función? ¿El valor de qué? 253. P: De 𝑦 254. P: Vamos a encontrar el valor de 𝑦 [le señala a la alumna que le preguntó al respecto] 255. P: ¿Sí?

256. P: Por ejemplo, aquí dice su compañera que la función o 𝒚 que es igual a 𝟏

𝟐 de qué, de 𝒙.

257. P: La constante, ahí la constante, ¿cuál es? 258. P: Esa no va a cambiar, ¿cuál es el que no cambia?

259. Ao: 1

2

260. P: 1

2

261. P: En todas lleva 𝟏

𝟐

262. P: Aquí por ejemplo yo le voy a dar valor de −10

263. P: 1

2 por −10 ¿Cuánto es?

264. P: −5 265. P: Ahora le voy a dar valor de −6 266. P: (−6, −3) 267. P: ¿Correcto? 268. O: La tabulación realizada por el profesor se muestra en la figura 1.

Figura 1. Tabulación de 𝑦 =

1

2𝑥

...

272. P: ¿Es lo mismo que yo exprese 𝟏

𝟐𝒙 o

𝒙

𝟐 ?

... 286. Ao: Son muchas las tabulaciones. 287. Aa: No le entiendo. ... 290. O: Al parecer, el trabajo con la última función les genera dificultad a los estudiantes. 291. O: Les aclara que si tienen un intervalo de (−1000 a 1000) no va a ser la escala de uno en uno,

sino que tendrá que agrupar de 10 en 10, de 100 en 100 de 200 en 200. Esta aclaración no la hace a todo el grupo.

292. P: Ahí caben todas las gráficas, ahí caben todas. 293. P: A ver, ¿cuál es el valor más alto que encontraron para 𝒚? 294. P: En todas, en todas las funciones. ... 297. Ao: 48 298. P: 48 299. P: ¿Entonces qué puedes hacer?


164

300. P: Si tu eje de las “yes” no lo vas a llenar… no lo vas a llevar de uno en uno verdad. 301. P: ¿Qué puedes hacer? 302. Ao: De 5 en 5 ... 311. P: Háganlo de 5 en 5. 312. O: La clase ya está muy avanzada y finalmente determinó la escala, cuestión que ya inquietó a

algunos de los alumnos. Otro de los estudiantes pregunta una duda que tiene y el profesor la aprovecha para realizar el siguiente comentario. 313. P: Pasando de cero. 314. Ao: Es lo mismo. 315. P: Si iniciamos con negativos va a ser su número geométrico ¿No? su, su geométrico,

pero con signo contrario. 316. P: ¿Por qué geométrico? Porque está a la misma distancia del cero y la recta numérica, nada

más que se pasa al otro cuadrante, al lado de los negativos. 317. O: Va a mirar el trabajo de una alumna que tuvo problemas con las leyes de los signos. 318. P: A ver jóvenes, ¿en qué posición está el eje de las 𝒙? 319. Aa: Así [señala horizontalmente con su mano] 320. Ao: Así [señala con un lápiz en la mano] 321. P: ¿Y qué posición es esa? 322. P: Imagínense que estamos en la playa mirando. ¿Dónde? 323. P: Al horizonte [levanta la mano y señala la posición horizontal] 324. P: Entonces es la posición horizontal el eje de las 𝒙 325. P: Y están en posición vertical el eje de las 326. Aos: 𝑦 327. P: 𝑦 328. P: ¿Qué otro nombre recibe el eje de las 𝒙? 329. Aa: De las ordenadas. 330. P: De las ordenadas, ¿no? y “𝒚” 331. Aos: De las abscisas. 332. P: Muy bien. 333. P: Anótenle por favor, si luego se les olvida, por alguna situación. 334. O: El profesor iba al escritorio a sentarse, pero decidió regresar a mirar el trabajo de otros

estudiantes que están sentados en la parte de atrás. 335. P: Señores, pongo en el examen una … un plano cartesiano sin valores, nada más el eje de las 𝑥

y el eje de las 𝑦 ¿Qué tienes que hacer? 336. Ao: Seleccionar los valores. ...

Historia 3

Historia 3: Fragmento 41- 80

En este fragmento se ilustra básicamente la implementación de un complemento de

Power Point para ayudar a los estudiantes a repasar algunas ideas asociadas a las

funciones, prevaleciendo aspectos relacionados con la variable 𝑥, o la variable 𝑦,

además de la identificación de una coordenada tal como se lee en las líneas 43, 47, 49,

54, 68, 69 y 78.


165

... 41. P: Tenemos aquí cuatro participantes, cero mouse, eh si quieren contratiempo (sic) o ¿No? 42. P: Contratiempo (sic) tenemos 60 segundos para contestar la pregunta, pero es mucho para una

simple preguntita nada más, ¿correcto? 43. P: Son alrededor de diez preguntitas, están muy básicas, muy fáciles, obviamente se trata

de ganar. ¿Sale? 44. P: Bien. 45. O: El profesor se apoya de un complemento de Power Point denominado Microsoft Mouse Mischief

que se utiliza para crear y reproducir presentaciones interactivas para múltiples ratones de computadora

46. O: El profesor les presenta el primer planteamiento. 47. P: Dice ahí, ¿quién me ayuda a leerla? 48. Señorita, (le truena los dedos) a ver. 49. Aa: ¿𝒙 es la variable independiente? 50. O: Mientras la alumna lee, los participantes se apresuran a responder dando clic en las opciones de

respuesta presentadas como se observa en la figura 2.

Figura 2. Primer planteamiento propuesto a los estudiantes.

51. ... 52. P: Pos rápido. 53. P: Hubo una persona que tuvo un error, ahí el que contesto más prontamente, fue la gotita. 54. P: Ok, ¿Y es la variable dependiente? (…) 55. Se presenta la figura 3.

Figura 3. Segundo planteamiento propuesto a los estudiantes.


166

56. Aos: Sí. ... 62. O: ¿Una función asocia a cada valor de 𝑥un único valor de 𝑦?

Figura 4. Tercer planteamiento presentado a los estudiantes.

63. Aos: ¡Sí! 64. P: Hey. 65. P: Muy bien. ... 68. P: A ver, nada más que la lea uno, a ver Hugo. 69. Ao: Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, su abscisa X y su ordenada Y. 70. O: En la figura 5 se observa el planteamiento y la discordancia en las respuestas.

Figura 5. Cuarto planteamiento presentado a los estudiantes.

71. O: Una parte de los estudiantes dice que sí y otra no. 72. O: El profesor mira las respuestas que marcaron los estudiantes. 73. P: ¿Hubo alguien que se equivocó verdad? 74. Aa: No 75. P: Ah, sí, ¿este? (Le señala el error en las respuestas) 76. P: Ahora sí, este (…) 77. O: Otra alumna lee lo correspondiente a la pregunta cinco como se observa en la figura 6. 78. Aa: ¿Una función es creciente cuando al aumentar la variable independiente, x, aumenta la

variable dependiente, y?


167

Figura 6. Quinto planteamiento presentado a los estudiantes.

79. P: ¿Si o no? 80. Aos: Sí, sí. ...

Historia 4

Historia 4: Fragmento 20- 102

En este fragmento se ilustra las representaciones que sobre función y función lineal el

profesor plantea a sus estudiantes, tales como una fórmula, una ecuación, una

relación, tal como se ilustra en las líneas 21, 22, 30, 37, 38, 39, 40, 41, 42 y 45. Además

de ello realiza acercamientos para caracterizarlas, ya sea considerando variables tanto

dependiente como independiente, el dominio, el codominio y la relación entre ellas, lo

cual se observa en las líneas 55, 58, 78, 79, 82, 83, 89, 90, 92, 97 y 98.

... 20. P: Vamos a iniciar con el repaso y vamos a compartir, a ver. 21. P: Elías ¿qué me puedes decir que es una función? 22. P: ¿Cuál es la noción de función? ... 29. Ao: Según yo es la tabulación de “𝑥” y de “ 𝑦” y eso se grafica, bueno o sea se representa en una

gráfica. El resultado de… 30. P: ¿Qué parte, que parte… de dónde parte una función? o ¿qué hace la función en todo eso? 31. O: Un alumno levanta la mano. 32. P: A ver. 33. Ao: Una figura. 34. P: Mmm… a ver 35. O: Cede la palabra al alumno que le habló de la tabulación. 36. Ao: Se hace una tabulación, se da un valor a 𝑥, luego se hace… 37. P: Antes de todo eso no hay una fórmula, antes de tabular, antes de graficar. 38. P: Si yo te presento, eh… por ejemplo; vamos a decir que tenemos una función lineal cuando


168

𝒚 = 𝒙, por ejemplo. 39. P: ¿Qué es esto? ¿Qué significa esto? 40. P: ¿Cómo lo puedes expresar? 41. P: Les dimos el concepto de función. 42. P: Es una ecuación. 43. P: Puede ser una ecuación. 44. P: ¿Otra forma de decirlo? 45. Aa: Una función es una relación. 46. P: Una relación, muy bien. 47. O: El profesor regresa al pintarrón para usar el ejemplo que colocó. 48. P: Aquí tenemos y aquí vemos una relación entre estas dos literales. 49. P: Ok, ¿qué más? 50. Aa: Que para todo valor de 𝑥 tiene un valor de 𝑦. ... 54. P: ¿Cuál es esa condición, la acabas de decir? 55. P: Que para cada valor de 𝒙, le corresponde le corresponde… 56. P: Les faltó una frasecita que les di. 57. Aa: ¿Único valor? 58. P: Uno y sólo uno de 𝒚. 59. O: La explicación propuesta por el profesor se puede apreciar en la figura 1 que se muestra a

continuación.

Figura 1. Conceptos de función y relación expuestas por el profesor.

60. P: Entonces hacíamos analogías. ... 66. Aa: La renta, ¿no? 67. P: La renta, ok. 68. P: Esa ya es una… la aplicación de una función, ¿no? 69. P: Pero por ejemplo, les decía… 70. O: Un alumno interviene. 71. Ao: Por ejemplo también la de los albañiles. 72. P: La de los albañiles… es una proporción, las proporciones pueden ser funciones, sí, muy

bien. 73. P: Uno… algo más…menos matemático, más de la realidad. 74. Ao: Lo de reparto, de las panaderías. 75. P: ¿Reparto? 76. P: Panaderías…eso es matemáticas. 77. P: Cuando yo le dije por ejemplo, cómo identificamos la literal 𝑥, ¿cómo se llama la literal 𝑥 en una

función? 78. P: ¿Es una qué? ¿Cómo se conoce la letra 𝒙? 79. Ao: Como dominio. 80. P: Ok, dominio. 81. P: Eh… los valores de 𝑥 son el dominio. Todos los valores de 𝑥 son el dominio. 82. P: Todos los valores de 𝒚 son…


169

83. Aos: Contradominio, muy bien. 84. P: Ok, estas literales que son estas (se refiere a 𝑥, y 𝑦) tienen algo en común. 85. P: Que son ¿qué? Aparte de literales, ¿cómo las vamos a llamar? ... 89. P: Variables. 90. P: Pero esta no es igual a ésta. 91. O: Lo que quiere decir es que 𝑥 no es igual a 𝑦. 92. P: Esta se llama variable ¿Qué? ... 96. P: Variable independiente. 97. P: Y esta, por el contrario ¿Qué será la 𝒚? 98. P: Es una variable también, pero es la dependiente. 99. O: En la figura 2 podemos observar las anotaciones que el profesor realizó mientras iba

cuestionando y explicando a los alumnos lo relacionado con las variables dependiente e independiente

Figura 2. Anotaciones del profesor mientras explicaba la idea de variable dependiente e

independiente.

100. P: Entonces su valor va a estar en función a quién… 101. Aos: A 𝑥 102. P: A 𝑥, ¿no? ...

En este fragmento de la historia cuatro, se evidencian dificultades con la noción de

variable y de función, y por ende, con los significados de expresiones como 𝑦 = 𝑥. En

los esfuerzos realizados por el profesor, se observa un énfasis sobre la dispersión de

los elementos esenciales en la función lineal.

Historia 4: 115 – 188

En este fragmento el profesor da cuenta de algunas representaciones de la noción de

función, tales como diagramas de Venn, en términos de variable, tal como se observa

en las líneas 116, 122, 128, 131, 132, 137 y 138. Además de ello, también se plantean

elementos a considerar para la elaboración de una tabla de valores, por lo que

conocimientos sobre dominio, codominio, intervalo de valores, infinito, además de


170

considerar las partes de una función lineal, tal como se ilustra en las líneas 141, 143,

144, 148, 167, 169, 170, 172, 174 y 179.

... 115. P: Queda claro que tenemos un dominio, un contradominio. 116. P: Acuérdate que los graficamos y lo representamos en un diagrama. Estos son los

valores de 𝒙 y estos son los valores de 𝒚. Y decimos que para un valor de 𝒙 sólo uno de 𝒚. 117. O: En la figura 3 se muestra el diagrama de Venn utilizado por el profesor.

Figura 2. Representación de una función con diagramas de Venn.

118. P: Por ejemplo aquí, vamos a pensar que aquí es sucesivo dos, cuatro, tres, seis, cuatro, ocho; etc. etc.

119. O: El profesor las está pensando como pares ordenados: (1,2), (2,4), (3,6)…. 120. P: ¿Correcto? 121. P: Hasta aquí, ¿alguna situación? 122. P: ¿Todos estamos captando lo que es la variable dependiente, la variable

independiente? ¿Que también se llama literal, variable? ... 127. P: ¿Qué representa una variable, qué entiendes? 128. P: Aquí yo te pongo… eh… la letra 𝒙, ¿qué entiendes que es? ... 131. P: Sí, ya dijimos es una variable, es el dominio. 132. P: Es la variable independiente. 133. P: ¿Qué entiendes, qué representa 𝑥 para ti? 134. Aa: Se puede decir que el número que tiene. 135. P: El número que tiene… 136. P: Ok, fíjate. 137. P: Que quede bien claro que 𝒙…eh…. tenemos un plano cartesiano (lo comienza a

dibujar). 138. P: Hubo alguien que se encargó de dimensionar los valores de 𝒙 y los valores de 𝒚, ¿sí?

Entonces 𝒙 representa todos sus valores [señala la parte horizontal del plano cartesiano]. 139. P: Es decir, lo puedes poner como cualquier valor de aquí. De signo más a signo menos. 140. P: ¿Sí? 141. P: ¿Hasta dónde llegas? [Le pregunta a un alumno]. 142. Ao: Infinito. 143. P: Infinito. 144. P: Si me explico, entonces tú cuando veas que te dicen, a ver por ejemplo, 𝒚 = 𝟏 + 𝒙

¿Cómo lo interpretas? ... 148. P: Ya sabes que 𝒙 vale todo esto, o puede valer, puedes cambiar su valor por cualquiera

de los que tienes sobre el eje hasta más infinito o menos infinito. 149. P: ¿Ya me entiendes? ... 166. Ao: Es una función.


171

167. P: Ok, es una función. 168. P: Pero tú ya te fuiste más concreto, más general. 169. P: Pero vamos a desmenuzar esta partecita [Se refiere al ejemplo 𝒚 = 𝟏 + 𝒙]. 170. P: Esta función tiene diversas partes. 171. Ao: Se le encima el uno. 172. P: El uno que podría, cómo se llama el uno. 173. Ao: Un valor. 174. P: No, si tú tabulas esta función, dices que 𝒙 va a tener un valor de 𝒚 de acuerdo a esta

función. 175. P: ¿Y tú qué haces? Te doy un intervalo de menos tres a tres. 176. O: El profesor comienza a colocar los datos en una tabla para comenzar a tabular. 177. P: ¿Y luego, qué escribes Luis? 178. Ao: Sustituyes los valores. 179. P: Sustituir a 𝒙 por su valor. 180. P: En este caso, esta fila vale −3, entonces puedo decir que 𝑦 es igual a 1 + (−3) 181. O: En palabras del profesor: uno más tres o más tres negativo. 182. P: En este caso también podría expresarlo como 𝑦 = 1 − 3 ¿Por qué?

183. P: Porque tenemos + por – 184. Aos: Menos 185. P: Menos. 186. O: La explicación brindada por el profesor se pueden observar en las anotaciones de la figura

4.

Figura 4. Anotaciones hechas por el profesor.

187. P: ¿Si? 188. P: Ok. ...

Como se observa en este fragmento, se evidencia un conocimiento parcial de la teoría

de conjuntos para consolidar las ideas en los estudiantes al momento de recurrir al

uso de diagramas de Venn.


En este fragmento se precisan los elementos provenientes de una función lineal que el

profesor plantea, se trata de 𝑦 = 𝑥 + 1, en particular procura que los estudiantes

miren por partes los elementos que se conjugan para presentarse como una función

lineal, tal como se observa en las siguientes líneas 234, 236, 242, 246, 248, 250, 252,

254 y 255. Además de ello, introduce la idea de relación e incluso pide un ejemplo de


172

relación a partir de una función dada, tal como se lee en las líneas 256, 260, 263, 264 y

280.

... 232. P: Si esto se llama variable [Se refiere a 𝑥] el uno, ¿cómo se llama aquí? 233. Aa: ¿Variable? 234. P: La variable es porque va cambiando, si te das cuenta va cambiando de valor por eso

se llama variable. 235. Ao: ¿Dominio? 236. P: ¿Cómo? 237. Ao: Dominio. 238. P: No, no, no. 239. P: Aquí está el dominio y aquí está el contradominio [Señala los valores del diagrama de

Venn]. 240. P: ¿Cómo se llama el uno?, el uno nada más. 241. Aa: Dominio 242. P: Que no es dominio ni es contradominio, ni es variable. ... 246. P: Si sigo graficando hasta más infinito, sigue apareciendo ¿el qué? 247. Aos: El uno. 248. P: El uno. 249. Ao: ¿Constante? 250. P: ¡Constante! 251. P: Entonces el uno se llama: constante. 252. P: Entonces este va a ser constante. 253. O: En la siguiente figura se aprecia donde el profesor anotó la palabra constante.

Figura 5. Identificación de una constante en la expresión algebraica.

254. P: Entonces fíjate los elementos que tienen o que van teniendo una función. 255. P: Tiene signo, tiene variables, tiene constantes; ¿si? y tiene una relación. 256. P: Dijimos, la relación va a ser ¿El qué? El signo igual, ahí estamos marcando la relación. 257. O: Lo ilustra en la expresión 𝑦 = 𝑥. 258. P: Esa es la relación que tiene, ¿si? 259. P: A ver, pasa al pizarrón. Fíjate lo que voy a decir y por atención [Se lo indica a una alumna]. 260. P: Escribe, escribe una relación en donde el valor de 𝒚 sea el doble de 𝒙. 261. O: La alumna escribe lo siguiente

𝑦 = 5 𝑥 = 10 262. P: A ver, explícanos. Si, sí puede ser. Puede ser que ahí estás colocando 𝑦 = 5 y 𝑥 = 10. Pero no

hay una relación de 𝑦 con 𝑥. Aquí estas poniendo una relación de 𝑦 con un coeficiente y de 𝑥 con otro coeficiente.

263. P: En una sola expresión ponme que 𝒚 vale el doble que 𝒙. 264. P: ¿Cómo expresas el doble de 𝒙? 265. O: La alumna escribe lo siguiente: 𝑥2 266. P: No, esa es 𝑥 multiplicado por 𝑥. 267. P: Y si vale 3, 3 por 3 son 9. Entonces ya se fue exponencialmente, creció demasiado. Ese no es


173

el doble. 268. P: Vas por ahí, por ahí va. 269. P: El doble de algo, a ver escribe dos veces el doble de dos. ¿Cómo lo escribes? ... 279. O: La alumna escribe lo siguiente: 2 𝑥 280. P: Haz la relación completa porque aquí nada más me estás diciendo el doble de 𝒙

aislado. ...

En este fragmento, se observa en las líneas 254– 267 varias de las conceptualizaciones

que no se contemplan al hacer uso del lenguaje algebraico.

Historia 5


En este fragmento el profesor evidencia el uso de un libro de texto, tal es el caso de

Orozco (2005) para realizar preguntas relacionadas tanto con ecuaciones lineales así

como funciones lineales, tal como se lee en las líneas 17, 18, 22, 25, 26, 24 y 35. En la

segunda parte de este fragmento el profesor realiza planteamientos asociados a la

representación gráfica de una función lineal, tales como su inclinación, por dónde

pasa, además de ello registra una notación sobre la función lineal, lo cual se observa

en las líneas 37, 39, 41, 42, 43, 45, 50, 53, 54, 55, 58, 64, 66 y 71.

... 15. P: Bien, guardamos silencio. Vamos a anotar por favor. 16. O: Toma el libro de texto de Orozco (2005) y comienza a hojearlo. 17. P: Existen otras, otras funciones […] que de acuerdo con su exponente los vamos a

llamar…eh… va a tener el grado que…este según su exponente. 18. P: Se acuerdan de las ecuaciones que (sic) existen ecuaciones lineales … 19. P: ¿Qué exponente tienen las lineales? [Señala a una alumna] 20. O: Le responde otra alumna. 21. Aa: Uno. 22. P: Tienen exponente uno. Es decir, eh… por ejemplo, tenemos aquí… ... 25. P: Bien, entonces decimos que un ejemplo de una función lineal es cuando “𝒚 es igual a 𝒙” 26. P: Pero 𝒙 tiene exponente ¿Qué? 27. Aos: Uno. ... 31. P: Entonces ya sabemos que va a resultar ¿qué? 32. P: Si tu multiplicas uno por 𝑥 ¿Qué te va a resultar? 33. Aa: Lo mismo. 34. P: 𝒙 35. P: Recuerda que aquí también tiene el coeficiente uno pero no se anota no, entonces en este

caso esta es una función qué…


174

36. Aa: Lineal. 37. P: Y con base en su investigación, si graficamos una función lineal ¿qué ocurre? 38. Ao: Pasa por el origen. 39. P: Pasa por el origen, ¿qué más? 40. Ao: Es un ángulo de cuarenta y cinco grados. 41. P: Es un ángulo de cuarenta y cinco grados, bueno… en este caso. [Señala a 𝑦 = 𝑥] 42. P: Y si yo le pongo que 𝒚 = 𝒙 + 𝟏… digo que este es, más uno. 43. P: ¿Qué ocurre? 44. Ao: Sube arriba. 45. P: Sube, entonces ya no pasa por el origen… o su origen va a estar ¿en dónde? ... 48. P: En el uno. 49. P: Va a estar en una posición arriba. 50. P: ¿Y dejaría de ser lineal si no pasa por el cero? 51. Ao: No. 52. Aa: Pero, ¿podría ser una recta? 53. P: Es una recta, muy bien. 54. P: Entonces, se podría decir que la función lineal forma una recta o su comportamiento es

una línea recta. 55. P: Ok. En este caso, sabemos que tiene cierta inclinación, ¿qué más podemos rescatar de la

tarea? ... 57. Ao: Tanto 𝑥 como 𝑦 son proporcionales. 58. P: Siempre son proporcionales. Ok, se cumple una razón, ahí hay una razón. 59. P: De acuerdo a… por ejemplo, aquí; en todos los valores de 𝑦 siempre van a ser igual a 𝑥. ... 61. O: Revisa el libro de Orozco (2005) antes de comenzar a dictarles. ... 64. P: Función lineal es aquella que… eh… por su exponente uno, forma una línea. 65. P: ¿Quién más hizo la tarea? 66. P: Mmm, forma una línea recta, ¿ya? 67. O: Elementos de la función lineal abordados por el profesor se muestran en la figura 1.

Figura 1. Elementos de la función lineal considerados por el profesor. ... 70. O: El profesor se encuentra revisando el libro de texto para ponerles ejercicios a los estudiantes. 71. O: El profesor anota en el pintarrón los siguientes ejercicios.


175

Figura 2. Ejemplos de funciones propuestas por el profesor. Nótese como utiliza una notación que no había colocado en clases previas.

74. Ao: ¿Estos los vamos a graficar aquí? ...

Historia 6


En la primera parte del fragmento, se aprecian elementos de la distinción que hace el

profesor entre una función y una relación mediante el uso de la prueba de la vertical,

tal como se observa en las líneas 2 y 3 respectivamente. Mientras que en la segunda

parte del fragmento se propone a los estudiantes la graficación de una función

racional, en el que el profesor solicita poner atención en el coeficiente fraccionario con

el que operarán, la función se indefine cuando 𝑥 = 0, el dominio se modifica y

aparecen dificultades en la sustitución de valores en la tabla, la notación matemática

para identificar los valores donde la función existe, emerge, lo cual se observa en las

líneas 16, 17, 18, 19, 23, 32, 33, 34,41, 42, 43, 45, 47, 48, 52, 53, 55, 58 y 60.

1. O: La clase duró dos horas, sólo pude llegar a la segunda hora, ya que la primera coincidía con la clase de la profesora Iris.

2. O: En el pintarrón se encuentran el tema que abordó el profesor en la primera sesión, el cual estuvo referido a la diferencia entre una relación y una función trazando una línea vertical.

Figura 1. Ejercicios propuestos por el profesor para identificar relaciones y funciones.


176

3. P: ¿Entonces, hasta aquí, alguna situación con este… para aprender a diferenciar lo que es una función de lo que es una relación?

... 7. P: Ok, ahora vamos a retomar un ejemplo de cómo determinar… para determinar el

dominio y el rango… ...

13. O: El profesor anota en el pintarrón 𝑓(𝑥) =2

3𝑥

14. P: ¿Ya? Por ejemplo, pongan atención. Esta, esta función es una división. Vamos a manejarlo como una división o en su defecto se podría considerar como una fracción.

... 16. P: Nosotros a partir de esa función podemos determinar por dónde va a pasar y por dónde

no va a pasar. 17. P: Es decir, por qué valores de 𝒙 va a pasar y por qué valores de 𝒚 va a pasar o no va a pasar. 18. P: Por ejemplo aquí, si nosotros… eh… yo te digo, realiza esa función y vas a empezar a

hacer tu plano cartesiano, tu tabulación, vas a colocar tu función y vas a decir, bueno… 19. P: “Dos sobre…eh… tres 𝒙 cuando 𝒙 vale −𝟓, entonces a cambio de 𝒙 pones el valor de −𝟓 y

voy a encontrar el valor de… 20. Aos: de 𝑦 21. P: “Que dice dos entre tres por cinco son menos quince y dos entre menos quince… 22. Aa: Menos siete punto cinco. 23. P: Menos siete punto cinco, ¿no? ...

Figura 2. Elementos mostrados por el profesor al tabular una función expresada como un

cociente.

27. P: Si yo sigo tabulando, te vas a encontrar con un valor que no va a tener esa función, ¿cuál es? ... 32. Ao: Cero… 33. P: El cero. 34. P: Pues si yo multiplico…si yo me fijo acá, voy a sustituir “dos cuando 𝒙 valga 𝟎, pues dos

por… tres por cero son cero y dos entre cero, ¿qué te marca? 35. Ao: Error. 36. P: Error, ¿no? ...

Figura 3. Sustitución mostrada por el profesor cuando 𝑥 vale 0 en la expresión.

39. O: Nótese que el profesor no discute con los estudiantes el símbolo matemático ∄ 40. P: Está indeterminado. ¿Sí? 41. P: Entonces tú, ya te diste cuenta del dominio, ¿cuál va a ser el dominio? 42. P: Acuérdate cuando te dije, si ponemos corchetes, si ponemos paréntesis. ¿Cuál va a ser el

dominio?


177

43. P: ¿Esta qué figura va a formar? [Señala a 2

3𝑥]

44. Ao: Una hipérbola… 45. P: Una hipérbola, ¿si? Entonces nunca va a pasar por ¿dónde? 46. Aa: No… o ¿sí? 47. P: Por el cero. ¿Si? Y va a estar cortada, vamos a decir que esa función no es continua… 48. P: Entonces voy a poder decir que para 𝒙 va a estar cerrada en ¿Dónde? ... 51. P: En cero, ¿no? 52. P: Va a ser de cero a ¿dónde? 53. P: A menos infinito, abierto porque no puedo terminar el infinito, no puedo concluir; unión,

unión ¿Qué? 54. Ao: Más infinito… 55. P: Unión infinito, abierto, coma; cero cerrado, ¿no? 56. P: ¿Si estamos? 57. O: El profesor lo escribió con la siguiente notación:

[0, −∞) ∩ (∞, 0] 58. P: O viceversa, cero en 𝒙, infinito en 𝒚 59. O: el profesor cambió la notación, quedando como sigue a continuación:

[0, −∞) ∩ [0, ∞) 60. P: Esto es correcto, ¿si estamos? 61. Aos: Sí… ...

El profesor Israel nos muestra una serie de dificultades para usar la notación

matemática, se percibe una brecha entre lo que el profesor pretende exponer como

contenido (ya sea proveniente del programa o del libro de texto) y lo que simboliza en

el pizarrón o que enuncia verbalmente.


El fragmento realiza en un primer momento, contrastaciones entre la función

identidad y la función afín mediante algunos cuestionamientos, tal como se observa

en las líneas 62, 63, 66, 67, 69, 71, 72, 75, 76, 78, 81, 83 y 85; ello sirvió para retomar

nuevamente a la tabulación de la función racional que aún no concluían. Al respecto,

se estableció un dominio, se reconoció la indeterminación cuando 𝑥 vale cero y se

comienza a realizar la tabulación en el intervalo de (−5,0), lo cual se observa en las

líneas 86, 88, 92, 94, 98, 102, 131, 133, 135 y 142.

... 62. P: Entonces, tú cuando veas una gráfica o una función te debes percatar de eso, te debes dar

cuenta. Dices, ah…, pues esta gráfica como es lineal, por ejemplo sin querer viene un caso más concreto, más fácil…

63. P: Más sencillo cuando 𝒇(𝒙) = 𝒙 ¿Qué quiere decir? 64. P: Que todos los valores de… 65. Ao: 𝑥 son igual a 𝑦.


178

66. P: Entonces cuando 𝒙 valga 𝟎, 𝒚 vale 𝟎 67. P: ¿Cuántos grados tiene esta gráfica? 68. Ao: Cuarenta y cinco. 69. P: … de inclinación. ... 71. P: Cuarenta y cinco grados. 72. P: Sí, si yo agarro y digo -2, ¿qué ocurre? 73. O: El profesor comienza a anotar en el pizarrón lo siguiente:

𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2

... 75. P: Va a bajar la gráfica. 76. P: Va a quedar ¿En dónde? 77. Aa: En menos dos. 78. P: ¿Por qué? ¿Por qué concluyes eso que va a quedar en menos dos? ... 81. P: Entonces, cuando 𝒙 valga 𝟎, 𝒚 vale… 82. Aos: −2 83. P: Y entonces ahí va a estar su ¿Qué? 84. Aa: Su origen… 85. P: Su origen, ¿si estamos? 86. P: Copien esto y terminen la tabulación de esta, termínenla y grafiquen esa por favor. 87. O: El profesor únicamente dejó los datos de la hipérbola, el resto fue borrado. 88. P: De menos cinco a cinco. 89. P: Obviamente ya les estoy dando el dominio. [Les indica a los alumnos]

Figura 4. Dominio generado por el profesor.

... 92. P: Entonces esta función se cumple, siempre que sea diferente de… ¿de qué? 93. Ao: De cero. 94. P: De cero, porque si es cero aquí en 𝒙 va a dar error matemático, va a ser indeterminado,

¿sí? ... 98. P: Entonces una división o una función que sea una división, no puede ser igual a ¿qué? 99. Aa: A cero… 100. P: A cero, anótenle, anótale. 101. Aa: Cómo le escribo… 102. P: Este… una función racional… fraccionaria no puede ser igual a cero. ¿Por

qué? Porque no hay divisiones entre…cero. ... 130. O: Mientras se los dice, comienza a escribir en el pintarrón nuevamente. 131. P: Aquí mi primer par ordenado será (−𝟓, −𝟕. 𝟓) 132. O: El profesor toma su calculadora y realiza la operación. 133. P: Aquí es dos entre quince… 134. P: Aquí no es siete punto cinco… [Lo borra]


179

135. P: Es −. 𝟏𝟑 136. P: Luego −4 ... 141. O: Así se sigue hasta que la tabla queda como se presenta a continuación:

Figura 5. Tabulación desarrollada por el profesor.

142. P: Aquí ya está, entonces voy a empezar a buscar los… los valores para 𝒙 y para

𝒚. 143. O: La clase se sigue con la explicación de los pares ordenados, no grafica la

hipérbola y se pasa a trabajar otra función, la de la raíz cuadrada, de hecho les indica que ellos solos la determinen, que se fijen por dónde sí pasa, por dónde no pasa.

144. O: La tarea consiste en buscar la definición de ecuación.

...

Historia 7


En la primera parte del fragmento se alude a una idea de ecuación a través de una

función (ello se cuestiona), considerando la definición de ecuación y recordando

ejemplos que se utilizan en los niveles básicos para hablarles de ecuación, tal es el

caso del “número perdido”, ello se observa en las líneas 6, 7, 16, 17, 22, 23, 24, 25, 28,

30, 32 y 34.

En la segunda parte de este fragmento, el profesor reconoce que para resolver una

ecuación se recurren a la utilización de contenidos como jerarquía de operaciones,

operaciones inversas para así explicar el procedimiento para resolver una ecuación de

la forma 𝑎 + 𝑥 = 0, tal como se observa en las líneas 36, 65, 66, 72, 92, 94, 111, 117,

119, 124 y 126.

... 6. P: Bien la tarea consistió en consultar… eh, la definición o el concepto de que es una

ecuación. ¿Por qué?


180

7. P: Porque estamos trabajando ecuaciones con funciones. Entonces, ¿podría ser que una función sea una ecuación, jóvenes?

... 11. P: ¿Puede ser que una ecuación sea una función? ... 16. P: Usted, dice que sí, ¿por qué? 17. P: Porque cuando hacemos una tabulación a veces lleva una ecuación, como un

procedimiento, ¿no? ... 21. Aa: No, ya recapacité. 22. P: ¿Y ahora por qué cambió a que no? 23. P: Porque dice que una ecuación es una igualdad y una función para cada valor de 𝒙 es

diferente el valor de 𝒚 24. P: Pero también puede ser una igualdad, porque tenemos por ejemplo que 𝒇(𝒙) = 𝒙, ¿no? 25. P: Es decir, 𝒚 = 𝒙 26. P: Y estamos afirmando, a ver fíjate… dime Luis. 27. O: Un alumno levanta la mano. 28. Aa: Yo digo que sí porque la 𝒚 es la incógnita que estamos buscando con el valor de 𝒙 y es lo

mismo que una ecuación, estamos buscando el valor de 𝒙… 29. P: Ok, muy bien. 30. P: Fíjense, una ecuación como las que conocíamos en la primaria que empezábamos a ver y

recuerden que decíamos… eh… nuestra maestra tenía un librito en el cual se apoyaba y tenía estos ejercicios más o menos y tenía un cuadrito, tenía un número…

31. P: ¿Alguien trae un marcador?... 32. P: Entonces, nos decía la maestra, ¿qué número es el que falta? 33. P: El dos, si nosotros…. Silencio por favor… 34. P: Si nosotros lo encontrábamos, ¿por qué? Por deducción, ¿verdad? 35. P: Por deducción empezábamos a sumarle al número que tenemos y decíamos, tres, cuatro, cinco.

A pues entonces son dos los que hacen falta, para que dos más tres son cinco. 36. P: Pero nosotros ahora ya sabemos otras reglas y conocemos las leyes de los signos,

conocemos las jerarquías de operaciones y conocemos las operaciones inversas, con las que se neutralizan; ¿no?

... 42. P: Si yo sumo o tengo un +2, ¿Cuál es el contrario de…? 43. Aos: −2 44. P: Entonces se puede decir que neutraliza, no queda nada. 45. O: Ejemplo mencionado por el profesor.

Figura 1. Ejemplo mostrado por el profesor para explicar el inverso de una operación.

46. P: ¿Sí? ... 65. P: Menos tres y me queda la incógnita solita de este lado, como es una ecuación, una

ecuación es un balanceo, es una igualdad, por ahí… encontramos que en el concepto de ecuación dice: “es una igualdad”.

66. P: Aquí en función decimos que es una relación, que esto es igual con esto y en el concepto de ecuación decimos que es una igualdad.

67. O: Ejemplo explicado por el profesor, conocido como “número perdido”.


181

Figura 3. Ejemplo de ecuación explicado por el profesor. ... 72. P: Entonces, regresando acá, (ver figura 4) como es un balanceo, yo le aplico su operación

inversa acá que es −𝟑 , le aplico su operación inversa acá que es −𝟓, ¿qué me queda? 73. P: Esto se neutraliza y me queda la incógnita solita, la y. ... 78. P: Entonces estoy diciendo que la incógnita equivale o es igual a ¿Qué? 79. Aos: A dos. ...

Figura 4. Ecuación resuelta por el profesor.

... 92. P: Pero si yo lo represento como una ecuación por ejemplo y pongo 𝟏𝟓𝟖𝟑, imaginemos que

este número no lo conozco y que será ¿Qué letra? 93. P: 𝑥 94. P: Entonces 𝟏𝟓𝟖𝟑 + 𝒙 = 𝟑𝟕𝟎𝟑 95. P: ¿Qué valor tiene la 𝑥? ... 99. O: Le lanza el marcador, el alumno pasa y realiza el procedimiento que se muestra

en la siguiente figura.

Figura 5. Ecuación resuelta por un estudiante.

100. Ao: Ta (sic) mal ¿No? ... 108. P: ¿Qué le faltaría? ... 111. P: 𝟏𝟓𝟖𝟑 + 𝒙 es igual ¿A esto o a esto? ... 114. P: Pero si yo aquí le quito 1583 también se los tengo que quitar acá. 115. O: La ecuación planteada por el profesor se observa en la siguiente figura.


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Figura 7. Ecuación planteada por el profesor.

... 117. P: Como es una igualdad y aquí estoy quitando 𝟏𝟓𝟖𝟑 para que siga siendo una igualdad,

de este lado también tendré que ¿qué? 118. P: Quitarle 1583 119. P: Imagínate que es una balanza y que si a la balanza le quitas… eh… de un lado una

pesa, pues tienes que quitarle del otro para que te quede ¿Qué? 120. Aos: Equilibrado 121. P: Equilibrado, ¿no? ... 124. P: Se elimina y me queda sola la ¿qué? 125. Ao: La 𝑥. 126. P: La 𝒙 que será igual a la diferencia de 𝟏𝟓𝟖𝟑 ... 135. P: Queda 2120, ahí está. 136. O: El profesor realiza la comprobación de la resta. En la siguiente figura se muestra el

procedimiento que desarrolló el profesor.

Figura 8. Solución de la ecuación, propuesta por el profesor.

... 147. P: Este es un tipo de ecuaciones. De las más sencillita. 148. P: 𝑎 + 𝑥 + 𝑎 igual a algo ¿No? ...


En este fragmento se plantea la solución de una ecuación lineal de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 =

𝑐, mediante algunos planteamientos el profesor busca que los estudiantes recuerden

las operaciones básicas y cómo éstas se consideran al ir despejando a 𝑥, por lo que

prevalece un énfasis en la reducción de los términos conforme se avanza en la

solución de la ecuación, tal como se observa en las líneas 150, 192, 215, 285, 287, 288,

290, 291, 292 y 293.

Al percatarse de algunas dificultades que enfrentan algunos de los estudiantes, el

profesor introduce otro ejemplo mediante el “método de la balanza” para que los


183

estudiantes consideren el equilibrio entre ambos miembros de la igualdad, lo cual se

deja ver en las líneas 308, 310, 313 y 314.

... 149. P: Ok. Vamos a ver otro tipo. 150. P: Cuando es igual 𝒂𝒙 + 𝒃 por ejemplo… 𝒂𝒙 + 𝒃. ... 152. P: No quiere decir otra cosa más que por ejemplo tengamos 3𝑥 + 38 = 101 153. P: ¿Sí? ¿Cómo se hará esta? ¿Cómo resolvemos esta ecuación si nos dicen? ... 159. P: Entonces, si lo pongo así, fíjate si le pongo 38 + 3𝑥 = 101 160. O: Otro alumno interviene. 161. P: No es que vamos a encontrar el valor de 𝑥 y 38 es el término independiente. 162. P: Ok, porque vamos a encontrar el valor de la incógnita que es 𝑥 y para ello tenemos que ir

despejando. 163. P: Pero acuérdate, ¿Cuál fue el proceso? ... 176. P: Y entonces voy a aquí a aplicarles, su ¿qué? 177. Aos: Su inverso. 178. P: Su inverso 38 y acá si le aplicó el −38, acá también le quito 38. 179. P: ¿Sale? 180. O: En la siguiente figura se observa la relación que establece el profesor entre

la jerarquía de operaciones y la solución de la ecuación lineal.

Figura 9. Solución de la ecuación lineal propuesta por el profesor.

... 188. P: Ok, entonces ¿cómo queda, cómo queda la expresión? ... 192. P: 𝟑𝒙 = 𝟔𝟑 y fíjate, de una expresión que es esta, o que era la original, fuimos ¿qué? 193. Aos: Reduciendo. 194. P: Reduciendo y tenemos esta. 195. P: Ya es el...el… la igualdad o ya se demuestra la igualdad, ya encontramos el

valor, aquí lo único que estamos diciendo es que tres veces equis es igual a sesenta y tres.

... 202. P: Queremos encontrar cuánto vale 𝑥

Figura 10. Procedimiento empleado por el profesor para resolver una ecuación lineal.

... 215. P: ¿Qué le está haciendo el tres a la 𝒙? ¿Qué le hace? ...


184

218. P: Entonces su ¿operación inversa? ... 223. Aa: Tengo que dividirlo… ... 251. P: Pero a ver, hágalo. ... 285. P: Entonces, si acá esto dividiendo, pues acá hago lo mismo para que se

conserve la… 286. Aos: Igualdad. 287. P: Entonces una ecuación, el concepto de ecuación, es una ¿qué? 288. P: Una igualdad. 289. O: En la siguiente figura se observa la solución propuesta por la alumna y

reafirmada por el profesor

Figura 11. Solución de la ecuación lineal.

290. P: La función, ¿será una igualdad? 291. P: Sí, el valor de 𝒙, representa… perdón, el valor de 𝒚 representa “equis al cuadrado”,

trabaja en función de 𝒙, ¿sí? 292. P: ¿Sale? 293. P: Vamos a hacer unos ejercicios. 294. P: Realiza las siguientes ecuaciones lineales. 295. O: El profesor se sienta y comienza a dictarles las ecuaciones. ... 308. P: A ver chavos, veo que están enfrentando problemas y ya debería estar bien

dominado. 309. O: Se acerca al pintarrón y comienza a dibujar una balanza. 310. P: Tenemos una balanza, la cual nos va a establecer una medida. ¿Sí? Nos va a ayudar a

medir. ... 312. P: Si yo tengo aquí, tres iguales… tres de 𝑥 para no errar, más… 313. P: Pero estas 𝟑𝒙 equivalen a 𝟐𝟎, entonces, el 𝟑𝒙 + 𝟑… coeficiente solito…pesa lo mismo

que 𝟐𝟎 314. P: ¿Entonces cuánto pesa cada una de las 𝒙? ... 323. O: Se refiere a aplicar una propiedad para que el 3 se elimine en el primer

miembro de la ecuación.


185

Figura 12. Representación de una ecuación lineal en el modelo de la balanza.

324. P: ¿Hacia dónde se va a ir este lado? ...

Historia 8


En este fragmento se ilustra cómo el profesor les solicita a los estudiantes determinar

el valor de la pendiente tanto en la función identidad como en la función afín mediante

el uso de la fórmula 𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1, lo cual se observa en las líneas 12, 17, 25, 33, 49, 53,

58, 59, 81, 90 y 91.

En ese desarrollo y sustitución que se efectuaba, el profesor trata de que los

estudiantes recuperen otros elementos para hallar una conclusión, tales como la

representación gráfica, el desplazamiento sobre el eje 𝑦, las raíces de las funciones,

ello se observa en las líneas 94, 95, 100, 102, 118, 130 y 145.

... 11. P: Van a calcular la pendiente de estas dos funciones.

𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥 − 6

12. P: Por favor, van a calcular la pendiente de esas dos funciones. Aquí tenemos la manera en que vamos a calcular la pendiente, ya vimos… ubicamos al punto uno y al punto dos, que es con la coordenada 𝒙 y 𝒚. Las voy a llamar “equis uno” y “ye uno” y pueden ver que están aquí verdad [Les señala la coordenada (0,3) que ya tiene ubicada en el plano cartesiano]

... 17. P: Adelante por favor, lo hacen, grafican sin tabular, ya saben. 18. O: El ejemplo de cómo se calcula la pendiente de una recta explicada por el profesor proviene del

libro de Mendoza (2014, p. 71). ... 25. P: Al terminar de calcular esas dos funciones, te vas a dar cuenta de algo, entonces vas a

emitir una conclusión, ¿sí? ¿Cuál es tu conclusión a partir de esas funciones? ... 31. P: Vamos a ubicar el “punto uno” y “el punto dos” con las coordenadas de 𝑥 y 𝑦. Con las

coordenadas de 𝑥 y 𝑦 para el “punto uno” y “el punto dos”. ... 33. P: ¿Sí? Si yo bajo esta recta, queda más o menos por aquí, ¿cuál sería su “punto uno”? 34. O: El profesor desplaza la recta, tal como se muestra en la siguiente figura.


186

Figura 3. Desplazamiento de la recta desarrollada por el profesor.

35. P: ¿Qué dice la regla? Lo tenemos por ahí en sus apuntes. En las notas que tomaron. ... 39. P: ¿Entonces? ¿Cuál es la respuesta? 40. P: Aquí vamos a tener uno y dos [Marca los puntos donde la recta corta a las ejes] 41. P: ¿Sí? A partir de aquí, ¿qué coordenada tendremos aquí? ¿En 𝑦 será qué? ... 46. P: Y luego el de acá… [Se refiere al del eje 𝑥] ... 49. P: Y luego aplicamos esta fórmula, ¿sí? Esta 𝒎, a ver jóvenes. Esta 𝒎 ¿qué significa… allá

atrás, Hugo? 50. O: La fórmula a la que se refiere el profesor se presenta en la siguiente figura.

Figura 5. Fórmula utilizada por el profesor para calcular la pendiente de una recta.

... 53. P: ¿Qué significa la letrita 𝒎 aquí? ... 58. P: ¿Sí? Entonces digo que 𝒎 lo voy a determinar de esta manera, sustituyo sus valores,

reduzco la expresión y realizo la división. ¿Sí? 59. P: Tons (Sic) hagan lo mismo y van a encontrar cual es la pendiente para la… eh… la función

identidad y cuando le quitamos seis. [Se refiere a las funciones 𝑦 = 𝑥 y 𝑦 = 𝑥 − 6] ... 80. P: La primer función es cuando 𝑦 es igual a 0 [en realidad el profesor escribió 𝑦 = 𝑥] y dijimos que

para encontrar la pendiente encontrábamos el origen, verdad… eh… cuando 𝑥 es igual 0; entonces, si estamos diciendo que y es igual a 0

81. P: Entonces, en esta es la función… ¿cómo se llama? 82. O: La dibuja en el plano cartesiano que trazó al inicio de su explicación, tal como se observa en la

siguiente figura.


187

Figura 6. Bosquejo de la función 𝑦 = 𝑥 generada por el profesor. ... 86. P: Esta que pasa aquí [señala el origen] y dice que 𝑦 = 𝑥 87. Ao: Identidad. ... 90. P: Identidad, entonces dice que va a pasar en una coordenada muy junto, que es (𝟎, 𝟎) 91. P: Entonces si tu aplicas esta fórmula para esto [Les señala la expresión ubicada en la figura

5] pues va a dar cero aquí, cero aquí, cero aquí, cero aquí y cero entre cero es algo que queda indeterminado, o podemos decir que el origen está en cero y su pendiente va a estar en cero, ¿no?

... 93. P: Ese así lo puedes dejar. 94. P: Ahora, el siguiente es 𝒙 − 𝟔 95. P: Aquí sabemos que va a bajar ¿cuántos lugares? 96. P: Seis lugares o seis unidades. ... 100. P: Tenemos esta… esta recta. ¿Qué paso con ella? Bajó… 101. O: El profesor bosquejo la gráfica de 𝑦 = 𝑥 − 6 tal como se observa en la siguiente figura.

Figura 7. Bosquejo de la función 𝑦 = 𝑥 − 6 generada por el profesor.

102. P: Bajó 𝟔 unidades. ¿Correcto? 103. P: Dijimos que el “punto uno está aquí” [Señala la intersección de la recta con el

eje 𝑦] 104. P: Y el “punto dos” [Señala la intersección de la recta con el eje 𝑥] 105. P: “𝑝 uno y 𝑝 dos” [Los escribe en la representación gráfica] 106. P: Y entonces aquí tenemos que en 𝑥 ¿cuánto vale en este punto [Señala al

“punto uno”] 107. P: Cero y ¿cuánto vale en 𝑦 ? 108. Ao: Seis. 109. P: Menos seis. 110. P: ¿Aquí cuánto vale 𝑥? 111. Aos: Seis. 112. P: Seis… ¿y en 𝑦? 113. Ao: Cero.


188

114. P: Cero. 115. P: Una vez que tengo esto, voy a decir que esto es “equis uno” y este es “ye uno”. ... 118. P: Solamente voy a sustituir esto que tengo aquí en esta formulita. ¿No? 119. O: A continuación se muestra en la siguiente figura, los elementos propuestos para identificar

a las coordenadas y calcular la pendiente de una recta.

Figura 8. Identificación de los elementos propuestos por el profesor en su explicación.

120. P: Acá, si entonces la pendiente de 𝑚, le vamos a llamar 𝑚, ¿es igual a qué? ... 126. P: ¿Sale? La pendiente de esto es uno. ... 128. P: ¿Correcto? ¿Si estamos? ¿Sí? ... 130. P: Ahora bien, vamos a graficar por favor, vamos graficar estas funciones, una vez que

Las tengas, aquí te dejo la función identidad… las vas a graficar y me vas a dar tu conclusión, ¿qué es lo que ocurre y me vas a explicar por qué pasó eso, sí?

... 134. O: Ejercicios propuestos por el profesor.

Figura 10. Ejercicios propuestos por el profesor y retomados de libro de Mendoza (2014, p. 72). ... 145. P: Y me van a decir, me van a poner una conclusión de ¿por qué ocurre eso? ¿Sí?

La forma es 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃, es la forma general. ...


189

En esta historia se muestran algunas de las dificultades que aparecen para realizar la

sustitución de los valores en la fórmula para determinar la pendiente de un recta

dados dos puntos. Además de ello, se revela la influencia de los libros de texto en el

aula y se procura trabajar con las familias de funciones de la forma 𝑦 = 𝑥 + 𝑏

Historia 10


En este fragmento, el profesor desarrolla la clase con la graficación de dos funciones

𝑦 = 𝑥 y 𝑦 = 2𝑥 + 3 pero ahora los planteamientos están más centrados en la

inclinación de la recta, ya sea más pegada al eje 𝑥 o al eje 𝑦 tal como se lee en las líneas

1, 6, 9, 10, 12, 16, 19, 20, 22, 23 y 25. Surge por parte de los estudiantes, el manejo de

un coeficiente fraccionario para la función 𝑦 = 𝑥 quedando 𝑦 = 1

2𝑥 para identificar el

efecto en la recta, además de considerar también un número entero mayor a uno,

quedando la función como sigue 𝑦 = 5𝑥 y que se observa en las líneas 35, 72, 82, 84,

85, 86, 96, 99, 100, 101, 104, 106, 107, 110, 117, 118, 119, 120 y 123.

... 1. P: ¿Sí? Cómo vamos a entender esto. Por ejemplo, si tuviéramos, eh… 𝒚 = 𝒙. ¿Esta es la

función qué? ¿Cómo se llama esta? ... 6. P: Tiene un nombre especial, un nombre que la caracteriza. ... 9. P: Bien, a partir de esta [señala 𝒚 = 𝒙], vamos a obtener esta [señala 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟑] 10. P: ¿Sí? Esta es la principal, o la primer función lineal que tenemos. ¿Cómo se llama? Función

que inicia con “i”… 11. Ao: ¿Identidad? 12. P: Identidad, porque, ¿dónde pasa esa función? Por el origen, verdad. 13. O: El profesor comienza a bosquejar la gráfica de 𝑦 = 𝑥 14. P: Entonces, vayan recordando cuáles son los términos, los nombres de todos los elementos de

funciones. 15. P: Entonces, por ejemplo, aquí tenemos una función más compuesta, más completa y vamos a

empezar a analizar a partir de ahí, ¿sí? Bien. 16. P: Si yo quiero pegar esta gráfica, esta línea, esta recta y formamos con esta función que se

llama identidad… la quiero pegar hacia la derecha, hacia el eje de las 𝒙, ¿qué debo hacer? 17. O: El profesor, está siguiendo unas notas que tiene en su manos , las cuales checa constantemente

para poder continuar con la clase. 18. Aa: Sumarle… 19. P: Sumarte, dice acá su compañera. 20. P: Entonces si yo le sumo 𝒚 = 𝒙 más… 21. Aa: Más dos… 22. P: Más dos por ejemplo, ¿qué ocurre? 23. P: A ver, dice acá su compañero… entonces esta la subiría uno y dos lugares. Entonces,


190

quedaría más o menos así…bosquejando esta función 𝒚 = 𝒙 + 𝟐 24. O: El bosquejo de las rectas bosquejadas por el profesor, se muestran en la siguiente figura.

Figura 1. Bosquejo de las funciones 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 2 por parte del profesor. 25. P: Ok, entonces cómo le haríamos para pegarla hacia el eje de las 𝒙.

33. P: Entonces, si yo quiero pegarla hacia el eje de las 𝑥 o hacia el eje de las 𝑦 debía ser lineal…. ... 34. Ao: Para el eje de las 𝑥 no sería con fracción… 35. P: Con fracción, por ejemplo…

36. Ao: 1

2 de 𝑥

...

40. P: 𝑦 =1

2𝑥, ¿sí? ¿Cómo quedaría esa entonces?

...

45. P: 𝑦 =1

2𝑥, 𝑥 … 𝑦. Vamos a hacerlo con tres… cuatro punto para no errar, para no batallar tanto.

Silencio por favor.

46. P: Entons (sic) decimos que 1

2 de 𝑥 … − 3, después

1

2 de 𝑥, que es −2,

1

2 de 𝑥, que es −1,

1

2 de 𝑥, que es

0, 1

2 de 𝑥, que es 1,

1

2 de 𝑥, que es +2 aquí y

1

2 de 𝑥, que sería 3

47. P: Ok, ¿cuánto es…? ¿Cuánto es… eh cuánto sería… eh… el resultado aquí compañerito, 1

2 por −3?

... 72. P: A ver, ¿quién pasa a graficarla? 73. Ao: Yo. ... 81. P: ¿Quién por los menos ubicó en su libreta, ya la tenemos esa, esa función? 82. P: Bosquéjenla, se supone que ahorita podemos decir por dónde aproximadamente va a

pasar. 83. O: Un alumno le hace un comentario. 84. P: ¿Entonces queda igual que esta? [Le señala la gráfica 𝒚 = 𝒙 que se encuentra bosquejada

en el pintarrón] 85. P: ¿Sí? ¿Entonces para qué la multipliqué por la fracción? 86. P: ¿Y qué ocurre si la multiplico por un coeficiente entero? ... 96. P: Acuérdate que aquí tienes una escala bien grandota, si no, no sale… 97. O: El profesor terminó borrando todo lo que el estudiante había trazado en el pintarrón. El

profesor traza nuevamente el plano cartesiano. 98. P: A ver, ven para acá. [Le indica al alumno.] 99. P: Haz las divisiones del mismo tamaño. [Se refiere al escalamiento para asignar valores al eje 𝑥

y al eje 𝑦] 100. P: ¿A ver, qué ocurrió, hacia dónde se fue? [Le pregunta al resto del grupo] 101. P: Si tú ves esto, ¿hacia dónde se está inclinando? Hacia el eje de las 𝒙 [se lo dice a un


191

alumno, ya que le muestra su cuaderno de notas] 102. P: Tonces (sic), si checamos con un cociente… con un coeficiente entero como 5, qué pasa, a

ver hazlo. 103. P: A ver, háganlo. 104. P: Si ahora lo multiplico, la función identidad la multiplico por 𝟓, es decir que mi

función sea 𝟓 veces el valor de 𝒙. 105. O: El profesor anotó en el pintarrón la siguiente expresión: 𝑦 = 5𝑥 106. P: Si se va… para irse, para irse… para que se vaya esta [señala la representación gráfica de

𝑦 = 𝑥 + 2] al eje de las 𝑦 [les señala el coeficiente en 𝑦 = 5𝑥]

107. P: Para que se vaya hacia el eje de las 𝒙 [les señala el coeficiente de 𝑦 =1

2𝑥], por una

fracción, por un cociente. 108. P: ¿Sí? ¿Ya? A ver. 109. O: El profesor revisa el trabajo desarrollado por el estudiante, tal como se observa en la

siguiente figura.

Figura 2. El profesor explica al estudiante cómo graduar el plano cartesiano.

110. P: Ahora fíjate cómo se colocan las coordenadas, dice (−3, −1.5),(−2, −1), (−1, −0.5) 111. P: Luego en cero, cero. ¿Luego en 1? 112. Ao: (1,0.5) 113. P: ¿En 2? ... 117. P: A ver, bosquejen sin tabular 𝒚 = 𝟓𝒙. 118. P: A partir de la función identidad la multiplicamos por un cociente y nos da la mitad,

¿te das cuenta? [Se refiere a 𝑦 =1

2𝑥]

119. P: Esta así la función, inclinada. Y hace esto, se va hacia el eje de las 𝒙. ¿qué tanto? 𝟏

𝟐

120. P: ¿Sí? Ahora, si yo quiero que se vaya hacia el otro lado, pegándose mucho al eje de las 𝒚, ¿qué hago?

121. P: Multiplico por un cociente entero. ¿Sí? 122. P: ¡Háganlo! 123. P: A ver, les recuerdo que la escala que utilicemos en nuestro plano cartesiano tiene

que ser proporcional. ¿Por qué? Porque si no, no nos va a dar. Aquí a su compañero le quedó igual que la función identidad. 124. P: Entonces, no tiene caso. 125. O: El profesor comienza a revisar el trabajo de algunos estudiantes. ...


192


En este fragmento el profesor realiza planteamientos a los estudiantes para recuperar

características de la función lineal tal como se muestra en las líneas 130, 132, 136,

137, 139, 143 y 145. Además de ello, también les cuestiona lo que sucederá con

valores con la inclinación hacia el eje 𝑥 o hacia el eje 𝑦, si se varía la pendiente

generando expresiones como 𝑦 =1

3𝑥, 𝑦 =

1

9𝑥, si se cambia el signo, hacia dónde se

inclina, o si se modifica el coeficiente fraccionario por un número mayor a 1, tal como

se lee en las líneas 148, 152, 156, 165, 170, 171, 177, 195, 208, 212, 221, 230, 233, 237

y 242.

... 130. P: Entonces a partir de eso podemos, podemos ya dar la definición de función lineal. 131. P: Número uno, ¿qué características tienen las funciones lineales? 132. P: ¿Están elevadas a qué potencia? 133. Ao: A la cero potencia. 134. Ao: No, a una potencia. 135. P: Ok, ¿luego? 136. P: ¿Qué más? 137. P: ¿Qué otra característica tiene una función lineal? 138. P: Estas son funciones lineales [Señala las que están bosquejadas en el pintarrón] 139. P: Si tú quisieras explicar… ah, ya sé lo que es una función lineal, a grandes rasgos, ¿qué

características mencionarías para hacer referencia a una función lineal? 140. Aa: Es una recta. ... 143. P: Una recta y… ok, su ángulo por ejemplo el de la función identidad siempre va a ser

𝟒𝟓° en ese caso, ¿sí? 144. Aa: ¿No llegaría a noventa grados? 145. P: Noventa sería esto, sería el eje de las abscisas. 146. P: Y se pega, se pega, se pega [se refiere al eje 𝑦, ejemplifica con las manos que las rectas se

van levantando y pegando al eje ] 147. Aa: ¿Entonces 𝑦? 148. P: Y puede pasar a negativo. ¿Sí? 149. P: Entonces; para definir, si yo te pregunto en el examen, a ver explícame qué es una función

lineal me tienes que decir a qué esta elevada y qué se forma en la gráfica. Y se forma siempre una ¿qué?

150. Aa: Una recta. ... 152. P: Si te pregunto cómo hacer para que esa recta se incline o se pegue al eje de las

ordenadas, el eje de las 𝒙. ¿Qué contestarás? 153. Aa: ¿Tenemos que dividir? 154. P: La multiplicaremos por un cociente, ¿no? ... 156. P: Para eh… rotarla o para moverla hacia en medio, hacia el eje de las abscisas, la

multiplicamos por eh… un entero. ... 164. P: ¿Si me explico? 165. P: Es un centímetro, si midiera un metro este cuadrito, mediría un metro cuadrado. No


193

tres metros cuadrados. 166. P: Lo mismo, lo mismo, a ver… [Está revisando el trabajo de otra estudiante] 167. P: Por eso no salen las gráficas. 168. P: ¿Por qué no haces más grande tu rango? ¿Sí me explico? ...

170. P: A ver, si yo les digo 𝟏

𝟑𝒙, ¿qué va a pasar?

171. P: Aquí tenemos la identidad, ¿estará antes o después que 𝟏

𝟐 de 𝒙?

177. P: Si yo digo 𝟏

𝟗 de 𝒙

178. Ao: Se pega más a 𝑥 179. P: Exacto, así es. 188. O: El tema abordado por el profesor es la función lineal. En el pintarrón se encuentra el trabajo

desarrollado por el profesor durante la primera hora de clase.

Figura 4. Elementos de la función lineal abordados por el profesor Israel.

... 195. P: Pregunta, pregunta por favor. Anote la siguiente pregunta. ¿Qué ocurre si

multiplicamos a 𝒙 por un cociente negativo? ... 207. Ao: ¿Cómo? 208. P: Bosqueja sin tabular… bosqueja sin tabular lo que ocurre con estas gráficas… 209. P: Bosqueja sin tabular lo que ocurre con estas gráficas o con estas rectas. ¿Sale? ... 212. P: Tenemos la función identidad, dijimos que 𝒚 = 𝒙 ... 214. P: ¿Qué ocurre Noé, si pongo −𝑥 ? A ver, pásale. 215. P: Pásale por favor. ... 220. P: Solo bosquejo, no necesitas ya tabular. Sólo bosqueja. 221. P: 𝒚 = −𝒙. Sólo bosqueja. ... 226. P: Si 𝑥 vale 5, ¿ 𝑦 cuánto vale? 227. Ao: 5 228. P: Si 𝑥 vale 3, ¿ 𝑦 cuánto vale? 229. Ao: 3 230. P: Observamos, entonces siempre van a ser ¿qué? 231. Ao: Iguales. 232. P: Iguales. 233. P: Entonces si yo digo que: 𝒚 = −𝒙 ¿qué le va a pasar a la gráfica? 234. Ao: Se va a voltear… 235. P: Ah, ¡pus (sic) trázala! 236. O: El bosquejo generado por el estudiante, se muestra en la siguiente figura.


194

Figura 5. Bosquejo de la función: 𝑦 = −𝑥 por parte de un estudiante.

237. P: ¿Están de acuerdo con esto? Dice su compañero que únicamente se va al otro

cuadrante, a los otros cuadrantes. ... 242. P: Son dos gráficas, una de “menos un medio” y “menos cinco”. Por ejemplo, ya hice una…

el ejemplo que marcamos es de “menos equis”. Y entonces para la de “menos cinco, menos, tres, menos dos… ”

243. O: Las gráficas que les pidió bosquejar, pertenecen a una actividad que no se concluyó en la primera hora de la clase.

... 255. P: Ok, vamos a continuar entonces. ...

En el siguiente capítulo, se precisan algunas de las reflexiones vertidas en los

resultados preliminares de esta tesis y que propuestos en Flores (2016a y 2017) en el

que se dejan entrever dos aspectos esenciales para el estudio: Los distanciamientos o

acercamientos del profesor de matemáticas a los conceptos de función y función lineal

inducidos por una diversidad de factores tales como su formación profesional, su

contexto, sus creencias, además de ello el estudio permitió identificar a la figura del

profesor de matemáticas con posibilidades de convertirse en agente de cambio; es

decir, si toma conciencia y control sobre lo que sabe y enseña en el aula esta

preparado para reconocer debililidades y subsanarlas.


195

4.5 Resumen

De lo analizado acerca de las actuaciones de los tres profesores en el estudio, un

primer resultado está referido al recorrido que cada uno de ellos llevó a cabo al

interior del aula; a continuación se describen cada uno de esos recorridos.

En el caso de la profesora Lulú:

Establecimiento de correspondencia entre conjuntos (las con diagramas de

Venn)

Distinción entre tipos de correspondencias

Determinación de tipos de correspondencias (relaciones y funciones)

Determinación de conjuntos de parejas ordenadas

Distinción de conjuntos de parejas ordenadas

Clasificación de funciones

Definición de función constante

Definición de función lineal

a. Distinción entre la función lineal y la función constante

Representaciones de la función lineal (algebraico, tabular, grafico, verbal)

Tratamiento paramétrico de la función lineal

a. Graficación de familias de funciones

Modelaje de un problema de movimiento rectilíneo uniforme (uso de funciones

de 𝑅2 en 𝑅

Graficación de rectas con ayuda del software Graphmatica, realizando

variaciones en 𝑚 y 𝑏

En el caso de esta profesora se observó un avance paulatino en lo que presentó en

cada sesión.

En el caso de la profesora Iris:

Planteamiento de una función lineal

Reescritura de la función lineal en términos de 𝑥 y 𝑦


196

Consideración de la expresión obtenida como una ecuación de primer grado

con dos variables

Reducción de la ecuación anterior a una ecuación en una sola variable (a través

de la igualación del término 𝑦 con 0)

Solución de la ecuación

Interpretación del valor de 𝑥 “como el punto” donde la gráfica de la función

orginal corta al eje de las 𝑥.

Determinación de un intervalo cerrado conteniendo a la abscisa del punto de

intersección

Tabulación de la función en términos de los valores del intervalo

Graficación de la función en un sistema de coordenados cartesiano

Este procedimiento lo extiende posteriormente para dar solución a sistemas de

ecuaciones de primer grado con dos variables, así como a problemas verbales cuyo

modelaje es a través de este tipo de sistemas de ecuaciones. Además este

procedimiento lo repite una y otra vez.

En el caso del profesor Israel:

Recorrido 1

Uso de un libro de texto para abordar la clasificación de funciones.

La clasificación de funciones es diversa.

Recorrido 2

Uso de un libro de texto para tabular y graficar funciones lineales de la forma

𝑦 = 𝑚𝑥, con un intervalo de (−8, 8).

Recorrido 3

Parte 1

Repaso de temas con ayuda de un complemento de Power Point que se

utiliza para crear y reproducir presentaciones interactivas.

a. Los conceptos involucrados son variable (dependiente e

independiente, función creciente, decreciente y función lineal).


197

b. Planteamiento de preguntas cuya respuesta es producto de la lectura

de gráficas: la primer gráfica corresponde al número de personas en

el interior de un supermercado durante doce horas; la segunda

gráfica relacionada con el cambio de temperatura de un paciente en

un día.

Parte 2

Tabulacion y graficación de familias de funciones de la forma 𝑦 = 𝑥3 + 𝑏

Recorrido 4

Repaso de los conceptos de función, función lineal, fórmula, ecuación y

relación.

Uso de diagramas de Venn para representar los elementos de una función:

variable, dominio, contradominio, regla de correspondencia.

Representación algebraica de enunciados verbales.

Recorrido 5

Uso de un libro de texto para plantear preguntas relacionadas con ecuaciones

funciones lineales

Planteamientos asociados a la representación gráfica de una función lineal,

tales como la inclinación, intersecciones con los ejes

Representación algebraica de una función lineal

Recorrido 6

Distinción entre una función y una relación mediante representaciones graficas

mediante el uso de la prueba de la vertical

Tabulación y graficación de una función racional

Distinción entre las funciones identidad y afín

Tabulación de la función racional

Recorrido 7

Definición de una ecuación

Tratamiento de una función como ecuación a partir de una representación

algebraica

Solución de una ecuación de primer grado


198

Uso del modelo de la balanza

Recorrido 8

Cálculo de la pendiente de una función lineal por medio de la expresión

𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

Tratamiento geométrico – algebraico

Tabulación y graficación de familia de funciones de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 y


El recorrido llevado a cabo por este profesor, esta compuesto de varios fragmentos

caracterizados por la presencia de tratamientos de elementos de la función lineal

acompañados de otros procesos acerca de conceptos relativos a otro tipo de funciones

y con distintos niveles de complejidad.

Resulta muy difícil encontrar una descripción apropiada al recorrido de este profesor.

199

5. Conclusiones, implicaciones y consideraciones finales

El capítulo se divide en tres secciones. En la primera de ellas se presentan las

conclusiones obtenidas y se da respuesta a la pregunta de investigación, en la

segunda se abordan tres implicaciones que emergen del estudio y en la última de ellas

se presentan tres aspectos significativos que aparecen durante el desarrollo de este

estudio.

5.1 Conclusiones

Acerca de los conceptos de función y de función lineal

El concepto de función tiene varios sentidos. Al respecto, Camarena (2001a) advierte

que el concepto clásico de función se puede extender o generalizar.

Las definiciones de los conceptos de relación, de función y de función lineal no son

únicas.

La noción de función puede describirse en términos de variable, de conjuntos de

parejas ordenadas, en términos de reglas de correspondencia o como procedimiento,

entre otras.

En el caso de la noción de función lineal, se señala como una idea compleja, de

múltiples facetas y con una diversidad de aplicaciones que refuerza la comprensión de

temas avanzados, como aquellos provenientes del Cálculo.

Acerca del concepto de currículum y los modelos teóricos para su estudio

La noción de currículum ha ido diversificándose en las últimas décadas; en el caso de

la Matemática Educativa a partir de la década de los 60´s del siglo pasado, prevalece

un interés por el desarrollo de trabajos relacionados con el currículum.

Capítulo 5: Conclusiones, implicaciones y consideraciones finales

200

Los profesionales de la Matemática Educativa han identificado varias dimensiones y

niveles para estudiar el currículum, marcando diferencias entre el currículum

pretendido, el implementado y el alcanzado.

Se han construido diversos modelos teóricos para estudiar el currículum de

matemáticas; en la mayoría de ellos se observan tres componentes: lo propuesto, lo

implementado y lo logrado. En éstos hay una cuarta componente que varía conforme

al modelo, ya sea aludiendo a un test, a libros de texto o a planeaciones de clase.

Mientras que en uno de los modelos se detectan extensiones relacionadas con una

visión global que abarca desde los sistemas educativos hasta arribar al salón de clases,

con una variedad de dimensiones (conceptuales, formativas, cognitivas y sociales); en

otro de ellos, sólo se atiende a la matemática que se ha de enseñar y a la forma de

hacerlo. Por lo anteriormente expuesto se puede decir que la noción de currículum es

un concepto dinámico.

Acerca de la pregunta de investigación

Dada la pregunta objeto de estudio del trabajo que se ha expuesto y que se enunció

como:




A continuación se presentan los resultados que fundamentan la respuesta a la misma.

Currículum escrito:

El programa oficial del curso denominado Pensamiento Algebraico y de Funciones del

Bachillerato Tecnológico plantea de manera implícita el manejo de cinco

representaciones (por lo que no se utilizan seis de las once representaciones

enunciadas en el marco conceptual) que el profesor podría utilizar en sus actividades

al trabajar con función lineal, éstas son: la verbal, la tabular, la algebraica, la gráfica,

así como la representación en forma de ecuación.


201


De los tres profesores involucrados en el estudio:

a) La profesora Lulú consideró al Modelo Didáctico Global para la construcción de sus

planeaciones. En la unidad dos, propuso dos situaciones, de las cuales desprendió

preguntas para abordar los contenidos de la función lineal.

b) El profesor Israel no estableció las actividades correspondientes; únicamente

colocó los contenidos propuestos en el programa oficial del curso, sin especificar

actividades.

c) La profesora Iris no proporcionó sus planeaciones.

Material instruccional y su uso

Los tres profesores hicieron uso de libros de texto, mostrando una gran influencia de

estos en el profesor Israel, ya que varios de los ejercicios que propuso a sus

estudiantes fueron tomados de los libros de texto revisados en este estudio.

Se identificaron en las trascripciones de clase fragmentos que evidenciaron el uso de

varias definiciones y ejercicios presentes en los libros de textos fueron utilizadas tal

cual por los profesores.

Un ejemplo que ilustra estas afirmaciones, proviene del libro de texto de Mendoza

(2014, p. 41) en el que se plantea abordar el concepto de función mediante los

diagramas sagitales tal como se puede observar en el capítulo 4, p. 79 de este trabajo y

que emerge en las clases de la profesora Lulú.

En las historias desarrolladas en las clases de la profesora Lulú se detectó la

utilización de los diagramas sagitales tal como se observa en el siguiente fragmento

proveniente de las páginas 97 y 98 del capítulo 4 de este trabajo:


202

289. P: Sí, entonces solamente es función cuando se puede relacionar un elemento de un primer conjunto con un elemento de un segundo conjunto.

290. P: Al primer elemento se le llama dominio y al segundo conjunto se le llama contradominio. 291. O: Los datos que la profesora externa, los está colocando sobre los ejemplos que aún se encuentran en el pintarrón. 292. P: Por aquí escuché una palabra (señala a una alumna). 293. Aa: Codominio. 294. P: Codominio. 295. P: Hay más (…) 297. P: Fíjense, ya salieron más. 298. P: Contradominio, se le puede llamar al segundo conjunto, contradominio, codominio, rango o ámbito. 299. P: ¿Si? 300. P: De todas esas maneras se le conoce al segundo conjunto, por lo regular el primer conjunto llamado dominio nosotros en matemáticas lo identificamos con la variable equis (x) y al contradominio, codominio o rango con la variable ye (𝒚).

Figura 14. Primeros elementos explícitos de una función.

Otro ejemplo se extrae de las historias del profesor Israel propuesto en el capítulo 4,

pág. 160 de este trabajo:

63. Bien, vamos a hacer unos ejercicios para que… este… practiquemos. 64. O: Toma el libro de texto de Orozco (2001) para obtener los ejercicios que va a colocar a los estudiantes, aun cuando no los toma tal cual, es su referente (pp. 48-49) 65. Aa: ¿Profe ahorita? 66. P: Sí, ahorita. 67. P: La clase anterior estuvimos viendo sumas, cuando a 𝑥 le sumas un entero, dos enteros, tres enteros, cuatro enteros, etcétera, etcétera, ¿verdad? 68. P: Ahora vamos a hacer cuando a 𝑥 le hacemos un producto de 𝑥 o cuando hacemos un producto de 𝑥, ¿sale? 69. P: Y recuerden que le vamos a llamar 𝒇(𝒙) 70: O: El profesor escribe las siguientes funciones en el pintarrón:

𝑓(𝑥) = 3𝑥 𝑓(𝑥) = 4𝑥 𝑓(𝑥) = −6𝑥

𝑓(𝑥) =1

2𝑥

71. P: Ok, con esas por favor, en la misma gráfica, ya sabemos, con diferente color lo vamos a realizar en la misma gráfica, con diferente color.


203

Como se aprecia en estas líneas, el profesor propone a los estudiantes resolver los

ejercicios planteados en uno de los libros de texto.

En ambos casos, los libros de texto sugieren una intervención clara en el trabajo

desarrollado por los profesores.

Currículum implementado:

Respecto a las representaciones de la noción de función empleadas por los profesores

se detectó que ninguno de los profesores utilizó la representación caja negra: modelo

de entrada-salida; la profesora Iris no recurrió a la función como caso especial de

relación ni de fórmula; el profesor Israel no utilizó la representación modelo para la

función. Los tres profesores trabajaron con la correspondencia entre conjuntos, con

tablas de valores, con parejas ordenadas, la representación gráfica, la relación entre

variables; así como la idea de ecuación.

Respecto a las características de la función lineal, los tres profesores desarrollaron

dos tratamientos con las siguientes características: el primero fue un enfoque

conjuntista inicial, que incluye la noción de función como una terna formada por dos

conjuntos (dominio, codominio) y una regla de correspondencia entre ellos. El

segundo enfoque, fue algebraico y geométrico, pretendiendo ver las nociones de dos

parámetros de la ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏; uno de ellos 𝑚, identificado como pendiente

de la recta; y el otro, 𝑏, identificado como ordenada al origen (de la recta en

referencia).

Las trayectorias de los profesores

A continuación se describen las trayectorias identificadas en cada uno de los

profesores involucrados en el estudio.

Profesora Lulú

Intenta de manera intuitiva desarrollar el contenido programático en una forma que

podría llamarse “en extenso” (es una sola trayectoria); abordando la noción de

función a través de una variación estática, haciendo uso de ejemplos provenientes de


204

la experiencia de los estudiantes con su entorno. El abordaje pone de manifiesto la

dificultad de tratar la noción como: un tipo de relación entre conjuntos o como

conjunto de pares ordenados, como correspondencia entre conjuntos. En los casos

ejemplificados se evidencia la noción de función como una correspondencia uno a uno

entre dos conjuntos (lo cual pareciera provenir de la interpretación de la

característica de la correspondencia a satisfacer).

En el caso de la función lineal, la profesora propone situaciones en los que las

representaciones verbales, tabulares, algebraicas y gráficas se asomen en las

soluciones. Además de ello, utiliza el graficador Graphmatica para que los estudiantes

visualicen familias de funciones de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, con 𝑚 y 𝑏 ∈ 𝑅.

Profesora Iris:

En lo expuesto por la profesora durante el proceso de implementación, no precisa una

clara intención por desarrollar el tema con amplitud, ella exhibe una tendencia a

concentrarse en contenidos más específicos, como es el asunto de las funciones

lineales; orientando sus esfuerzos a interpretar a las funciones lineales como

ecuaciones de primer grado con dos variables y con una aplicación sistemática de

estas en el planteo y solución de sistemas de ecuaciones 2 × 2 mediante el uso del

método reconocido como gráfico. Se observa una trayectoria repetida varias veces.

Profesor Israel

Aun cuando este profesor evidencia tener serias complicaciones para desarrollar los

contenidos, cabe hacer mención que fue uno de los que siguió a pie juntillas los

contenidos y ejercicios planteados en al menos dos de los tres libros de texto (Orozco

y Mendoza). Otro aspecto relevante en torno a su actividad se relaciona con que él no

da un seguimiento sistemático de los contenidos. Resulta muy difícil encontrar una

descripción apropiada al recorrido de este profesor.


205

Las transformaciones

Las transformaciones observadas de la noción de función son en nuestra opinión

de dos tipos:

a) Unas encaminadas hacia el concepto formal a través de aproximaciones

cada vez mayores (evolutivas) o

b) Una deformación del concepto.

Las transformaciones observadas de la noción de función lineal son también en

nuestra opinión de dos tipos: Aproximaciones y deformaciones.

De las primeras se observaron tres tipos:

a) Unas orientadas hacia el concepto formal a través de aproximaciones

cada vez mayores (evolutivas).

b) Un tratamiento de la función lineal basado en la noción de ecuación lineal

con dos incógnitas.

c) A través del tratamiento de fenómenos físicos por medio de restricciones

a variables incluidas (por medio de modelos o fórmulas).

5.2 Implicaciones

A la luz de los resultados encontrados se identificaron implicaciones como las

siguientes:

a) La primera relacionada con la instrucción matemática heterogénea que reciben los

estudiantes de bachillerato, su entorno sociocultural, la formación académica de

los profesores participantes, así como el plan de estudios a desarrollar y los

materiales de apoyo utilizados por los profesores (libros de texto, software, entre

otros).

b) Parte de la divergencias encontradas entre los componentes del currículum

escrito, planeado e implementado que este estudio exploró, revelan una

participación considerable por parte del profesor de matemáticas para la toma de

decisiones sobre el qué, cómo y hasta dónde abordar los contenidos relacionados


206

con los conceptos de función y función lineal, lo cual influye en el aprendizaje de

los estudiantes.

c) Los materiales instruccionales (libros de texto) con los que el bachillerato

tecnológico cuenta, son escasos y no necesariamente cuentan con un proceso de

valoración que pondere su utilidad, como ocurre en los niveles básicos. Lo que

este estudio muestra, es un cierto grado de influencia en los profesores de

matemáticas, pues aun cuando no se correspondan totalmente con el programa de

estudios, sí ofrecen conceptos básicos de los temas, así como listados de ejercicios

necesarios.

5.3 Consideraciones finales

5.3.1 ¿Los resultados que se obtuvieron en la investigación, podrían ser

generalizables?

De los resultados encontrados, algunos de ellos se consideran generalizables; como es

el caso de los conceptos provenientes de la matemática y de los correspondientes al

currículum, dado que éstos ni uno ni otro son estáticos.

Los resultados concernientes a los conceptos de función y de función lineal y sus

transformaciones descritas, parecen exigir un mayor procesamiento de la información

ofrecida acerca de la actuación docente vertida en el capítulo 4 partiendo de

diferentes visiones teóricas al respecto.

5.3.2 ¿Hacia dónde orientar los estudios futuros?

Desde lo que los resultados de este estudio ofrecen, convendría reorientar la mirada

hacia las siguientes líneas de acción:

Analizar la información obtenida de las grabaciones y transcripciones de clase

de los profesores por medio de otros enfoques teóricos.


207

Desarrollar un estudio examinando solamente la componente curricular que

alude al aprendizaje de los estudiantes.

Promover el desarrollo de un estudio curricular que incluya el uso de un libro

de texto para explorar su influencia como material instruccional tanto en el

diseño de las actividades que proponga el profesor, así como en las

implementaciones que se realicen.

Plantear el tratamiento de estudios longitudinales, dando seguimiento al

trabajo de profesores en sus primeros años de servicio, procurando

documentar su proceso de formación y de inclusión en alguno de los

subsistemas educativos.

Considerar el desarrollo de estudios en otro nivel educativo, ya sea en el nivel

básico, cuyos libros de texto son oficiales.

Desarrollar un estudio en el mismo nivel considerando la modalidad del

bachillerato general.

5.3.3 Una reflexión necesaria: lo que aprendí en el trayecto de mi estudio

Ahora que la investigación se encuentra en la etapa final, en la presentación de los

resultados, realizo un recuento de cómo empecé con mi anteproyecto y lo que ahora

estoy generando. El proceso no ha sido sencillo, reflexiono sobre mis primeras ideas al

comenzar esta investigación y noto con claridad los esfuerzos de maduración que la

misma investigación requería.

Desde mi perspectiva, al emprender una investigación, se aprende sobre la marcha

que en el desarrollo de la investigación algunas partes serán más complejas de

entender que otras. En mi caso, esta correspondía a la parte metodológica, ya que no

fue sencilla la recopilación, el tratamiento y el análisis de los datos. La complejidad

surgió por la cantidad y diversidad de datos obtenidos. Me llevó tiempo madurar

ideas, ¿qué lo permitió? Para responder a esto, identifiqué cinco hechos significativos:

el primero se encuentra relacionado con la lectura de artículos ligados a lo que me

encontraba estudiando; el segundo se corresponde con mi participación sistemática


208

en un seminario de tesistas al cual fui invitada por el Dr. Javier Lezama para presentar

avances de la investigación; la tercera tiene que ver con las posibilidades de publicar

los avances de la investigación tanto en el Acta Latinoamericana de Matemática

Educativa (2013 y 2015), así como en las actas del grupo norteamericano de

Psicología de Matemática Educativa (2016); la cuarta está ligada a una colaboración

que realizó desde 2011 en una red para profesores de matemáticas llamada DocenMat

y el quinto fue la participación en un proyecto para la escritura del capítulo de un libro

que incluye resultados preliminares de lo reportado en esta tesis (para más detalles se

sugiere ver Flores Garcia, 2017).

Cabe hacer mención respecto a la intervención del asesor para consolidar y replantear

mis ideas en la escritura del trabajo expuesto. Su experiencia sobre la investigación y

el haberme otorgado cierta autonomía17, me permitió entender que ciertos procesos

no deben limitarnos y negarnos posibilidades de aprendizaje, tales como un rechazo a

la participación en un congreso, o un rechazo a una publicación; ya que estos deben

verse como espacios de aprendizaje y retroalimentación de la actividad investigativa.

Si me preguntaran si había dimensionado los alcances y oportunidades de crecimiento

y aprendizaje que esta tesis me brindó, afirmaría que no, no obstante; sí añadiría que

provocó una transición de mi actividad como docente.

17 Refiriéndome a la autonomía desde lo que Berlin (1974 pp. 145–146) expresa: “... Quiero que mi vida y mis decisiones dependan de mí mismo, y no de fuerzas exteriores, sean éstas del tipo que sean. Quiero ser el instrumento de mí mismo y no de los actos de voluntad de otros hombres. Quiero ser sujeto y no objeto, ser movido por razones y por propósitos conscientes que son míos, y no por causas que me afectan, por así decirlo, desde fuera. Quiero ser alguien, no nadie; quiero actuar, decidir, no que decidan por mí, dirigirme a mí mismo y no ser movido por la naturaleza exterior o por hombres como si fuera una cosa, un animal o un esclavo incapaz de representar un papel humano; es decir, concebir fines y medios propios, y realizarlos. Esto es por lo menos parte de lo que quiero decir cuando digo que soy racional y que mi razón es lo que me distingue como ser humano del resto del mundo. Sobre todo, quiero ser consciente de mí mismo como ser activo que piensa y que quiere, que tiene responsabilidad por sus propias decisiones y que es capaz de explicarlas en función de sus propias ideas y propósitos. ”

209

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219

Anexo 1: Aplicacio n de instrumento

RECOPILACIÓN DE INFORMACIÓN GENERAL DEL PROFESOR Objetivo: identificar elementos relacionadas con su preparación académica y su experiencia profesional. Indicaciones: Responda ampliamente las siguientes cuestiones. 1. Datos personales

Edad: ______ Género: _______

2. Estudios profesionales realizados Formación profesional:

a) Licenciatura: _____ b) Maestría: ______ c) Doctorado: _____ Especifique nombre de la carrera: __________________________________________________________________________________________________ Otros: __________________________________________________________________________________________________

3. Datos de las escuelas donde labora Centro(s) de trabajo(s):

a) Matutino: _____________________________________________________________________________

b) Vespertino: ___________________________________________________________________________ c) Experiencia profesional impartiendo el concepto de función: ___________________ d) Nivel educativo en el que imparte clases: _________________________________________

Materias que imparte actualmente:

a) Matutino _________________________________________________________________________________________

Materia Grado Grupo Número de alumnos que

atiende

Anexo 1

220

b) Vespertino

________________________________________________________________________________________

Materia Grado Grupo Número de alumnos que

atiende

4. Además de impartir clases, ¿realiza alguna otra actividad distinta a la docencia?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________

5. ¿Circunstancias que lo conducen a la enseñanza de las matemáticas en el bachillerato tecnológico? _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

221

Anexo 2: Exá menes párciáles propuestos por el profesor Isráel

Primer examen parcial Examen de Pensamiento Algebraico, correspondiente al primer periodo evaluativo. Especialidad: Técnico en Informática. Turno Vespertino. Materia: Pensamiento Algebraico y de Funciones. Profesor: _____________________________ Nombre del alumno: ___________________________________________ No. L.:_______ Grado:_______ Grupo:_______ Instrucciones: Lee detenidamente los siguientes problemas y resuelve con respuestas justificadas. Ana Guevara es considerada como una de las mujeres más rápidas en las carreras de velocidad de 400 m planos, recorriéndolos en 3.5 segundos 30 centésimas. ¿Cuánto se tardará en recorrer 4 km? Diez albañiles en 20 días, trabajando diez horas diarias, han construido una barda. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 4 albañiles para construir la barda en 7 días? Un paquete de 500 gramos de café se vende a 5 euros. ¿A qué precio se debe vender un paquete de 450 gramos? (se sobreentiende que es del mismo tipo de café y al mismo precio unitario) 15 Un tren circula siempre a la misma velocidad. Tarda 6 minutos en recorrer 9 kilómetros y 10 minutos para recorrer 15 kilómetros. a) ¿Cuál es la distancia recorrida en 16 minutos?; b) ¿Cuál es la distancia recorrida en 30 minutos? Una compañía de alquiler de automóviles carga una tarifa fija de $ 40, más $.50 por cada kilómetro manejado. Completa la siguiente tabla de valores en un intervalo de (1-10) kilómetros.

km Tarifa fija Pago por km Pago total

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

15 Este ejercicio se obtuvo de: http://proporcionalidad-maria.blogspot.mx/2011/03/regla-de-tres.html

http://proporcionalidad-maria.blogspot.mx/2011/03/regla-de-tres.html

Anexo 2

222

Realiza las gráficas que corresponden a cada función (tabula y grafica). Intervalo (-5,3)

x (𝑥 − 1)2 y

¿Qué figura formó la función anterior? ___________________________________________________ ¿Cómo harías para mover más a la derecha la gráfica que se formó? ___________________________ Escribe la función que mueve la figura 4 unidad a la derecha _________________________________ Escribe la función que mueve 3 lugares hacia arriba la figura _________________________________ Intervalo (-5,5)

x 𝑦 =

4

𝑥

y

¿Cómo se llama la figura que se formó con la función anterior? _________________________________ ¿Qué función baja toda la gráfica 3 unidades? ________________________________ ¿Si el intervalo para graficar fuera mayor la gráfica sería diferente? ______ ¿por qué? _______________ Propón dos funciones que formen dos líneas que se intersectan en el origen en forma de equis (tabula y grafica. Intervalo [-5,5]

x 𝑦 = 2𝑥 + 1 y

Anexo 2

223

Intervalo [-5,5]

x 𝑦 =𝑥

2 y

Anexo 2

224

Segundo examen parcial

Segunda Evaluación Parcial

Turno Vespertino.

Materia: Pensamiento Algebraico y de Funciones

Profesor: _____________________________

Nombre del alumno: ___________________________________________ No. L.:_______

Grado:_______ Grupo:_______

No. Aciertos Calificación de examen

Calificación de rúbrica

Calificación Calificación definitiva

Firma del alumno

INSTRUCCIONES.- Con base en el siguiente planteamiento, determina lo que se te pide.

Utiliza bolígrafos de colores rojo, verde, azul y negro. (Valor 15 aciertos)

1.- Un técnico en reparación de televisores tiene la siguiente tarifa:

30 € por la visita

25 € por cada hora de trabajo

a) Vamos a calcular lo siguiente:

Completa la tabla de valores

x 0,5 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

y

Cuánto costaría un trabajo que durara 3 horas. _________________

Uno que durara media hora: _________________________________

¿Qué representa cada literal?

X=___________

Y=___________

Expresa algebraicamente el modelo que resuelve el planteamiento anterior

f(x)=_______________________

¿De qué tipo de proporcionalidad se trata?_______________________

INSTRUCCIONES.- Con base en la expresión que encontraste anteriormente (función):

En el cuadrado realiza lo siguiente.

a) traza un plano cartesiano, color negro. (Valor 5 aciertos)

b) traza la gráfica correspondiente, color rojo. (Valor 7 aciertos)

Anexo 2

225

c) baja tres unidades dicha gráfica, (Valor 7 aciertos)

d) traslada a la derecha cuatro unidades, color verde. (Valor 7 aciertos)

Área para trazar el plano cartesiano y realizar los incisos anteriores (a, b, c, y d)

INSTRUCCIONES.- Con base en el siguiente planteamiento, determina lo que se te pide.

Utiliza bolígrafos de colores rojo, verde, azul y negro. (Valor 19 aciertos)

Supongamos que queremos recorrer 50 km. en bicicleta de tal forma que calculamos que:

Si vamos a una velocidad de 5km/h tardaremos 5 horas

Si vamos a una velocidad de 10km/h.

a) ¿Cuánto tiempo tardaremos?____________

b) ¿Cuál es la expresión que resuelve la situación del traslado en bicicleta?_________________

1.- Completa la tabla de valores que corresponde a la situación anterior

x F(x)= Y

5

10

15

20

25

30

35

a) ¿Qué representa cada literal?

X=___________

Y=___________

b) ¿De qué tipo de proporcionalidad se trata?_______________________

INSTRUCCIONES.- Con base en la expresión que encontraste anteriormente (función):

Anexo 2

226

En el cuadrado realiza lo siguiente.

a) traza la gráfica correspondiente a la situación del recorrido en bicicleta, color rojo (Valor 10 aciertos).

INSTRUCCIONES.- realiza el siguiente sistema de ecuaciones por los tres métodos siguientes: suma y resta, sustitución e igualación. (Valor 10 aciertos).

227

Anexo 3: Historias resumidas de los profesores

a) Profesora Lulú

En el caso de esta profesora se videograbaron ocho sesiones de clase, de las cuales se

transcribieron solamente seis enmarcadas como “”Historias”. Los temas abordados en

estas transcripciones de clase giran alrededor de dos conceptos fundamentales:

función y función lineal.

A continuación se presenta la descripción de las seis sesiones de clase.

Historia 1: Noción de función, subconceptos de la noción de función.

Inicio:

1. La profesora utiliza un juego denominado “tripas de gato” en cual consiste en que

por turno, cada quien unirá con una línea una palabra que se relaciona con un

oficio o una profesión. La única condición es que ninguna línea pase sobre otra;

quien lo haga, pierde. Esta actividad le sirve para introducir el concepto de

conjunto cuando los representa en diagramas de Venn.

2. Un segundo ejemplo utilizado para ejemplificar el concepto de función es el de

formar parejas de novios escribiendo en un primer diagrama de Venn nombres de

hombres y en un segundo diagrama, nombres de mujeres y este ejemplo le sirve

para introducir la diferencia entre función y relación, además de los subconceptos

de la noción de función (dominio, codominio, rango, sin tener que definirlos

necesariamente). Alude a ellos en términos de variables (𝑥 y 𝑦).

Desarrollo:

1. La profesora les propone un ejercicio en el que consideren en el dominio a los

primeros cinco números naturales y en el contradominio al cuadrado de esos

primeros cinco números naturales.

Anexo 3

228

Nota: En un primer momento la profesora no incluye al cero dentro del dominio del

primer conjunto, después de comentarlo al grupo, reconsidera y lo incluye,

eliminando al cinco.

2. Después de ello, comienza a escribir las parejas que se forman en forma de pares

ordenados e introduce letra 𝑥 como forma de representar al dominio 𝑦, y para

presentar al codominio y comentar que ya saben realizar la representación de esas

parejas en el plano cartesiano.

3. Otra actividad planteada consistió en dos partes: la primera fue la identificación de

una relación o una función dados conjuntos de pares ordenados, y la segunda

consistió en proporcionar ejemplos de funciones, relaciones.

4. Otro ejemplo que plantea tiene que ver con relacionar el nombre del estudiante

con el número de expediente asignado en su credencial, para ello construye dos

diagramas de Venn

5. Un ejemplo más que les propone es relacionar el número del calzado con el

nombre del estudiante.

Cierre

1. Resuelven en el pintarrón los ejercicios que les propuso.

2. Les explica cómo generar una función a partir de los siguientes ejemplos:

a. Cuando se usa el cajero debe uno tener un NIP.

b. Relaciona un auto con su respectiva placa.

c. A cada persona le corresponde un número de credencial de elector.

Historia 2: Tabulación y graficación de funciones I, prueba de la vertical,

definición de función lineal

Inicio:

1. La profesora inicia la clase proponiendo a los estudiantes una tabla de tres

columnas por dos renglones en el que registraron resultados de multiplicaciones.

Les pide a los estudiantes construir otras tres tablitas con otros resultados de

multiplicaciones. El juego consistía en que ella decía una multiplicación y los

estudiantes debían marcar con una “equis” si ese resultado estaba en su primera

tabla. Si algún estudiante lograba marcar con una “equis” todos sus resultados

Anexo 3

229

debía gritar “tablitas”, la actividad no funcionó, los estudiantes no comprendieron

cómo participar.

Desarrollo:

1. Se les pide a los estudiantes sacar la tarea, la cual consistió en un mapa conceptual

sobre el concepto de función y la clasificación de funciones [la profesora las

denomina “prácticas”, las cuales se almacenan en una carpeta como parte de las de

evidencias de los estudiantes]

2. Mediante el planteamiento de preguntas la profesora les recuerda la clasificación

de funciones algebraicas y en particular enfatiza el concepto de función, función

constante y función lineal, además de las formas generales de representarlas:

Para la función constante: 𝑦 = 𝑘

Ejemplos de función lineal propuestos fueron: 𝑦 = 5, 𝑦 = 20, 𝑦 = 100

Para la función lineal: 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑏; donde 𝑚 es la pendiente de 𝑦 y 𝑏 el

desplazamiento de la recta.

Ejemplos de función lineal propuestos fueron: y= 5𝑥, 𝑦 = 8𝑥, 𝑦 = −3𝑥,

𝑦 = 12𝑥 + 12, 𝑦 = −5𝑥 + 8, 𝑦 = −5𝑥, 𝑦 = −12𝑥

La profesora también aborda otros tipos de funciones como la cuadrática, la

exponencial, trigonométrica, logarítmica, sigue la clasificación propuesta en un

libro de texto.

3. Se plantean a los alumnos distintas representaciones gráficas (por ejemplo: una

parábola, una recta, una circunferencia, entre otros) en el pintarrón para que

distingan una función de la que no lo es. Enfatiza la relación uno a uno,

ejemplificando con los valores para 𝑥 en la recta, además considera otra manera de

representar la relación entre los valores de 𝑥 y de 𝑦 en diagramas sagitales,

asignando 𝑥 al primer conjunto y 𝑦 al segundo conjunto. Lo mismo realiza con la

parábola, para finalmente externar que se encuentra realizando la prueba de la

vertical.

4. Se les dicta la idea establecida en el libro de texto de Mendoza (2014, p. 42) y les

proporciona esa hoja con dos actividades: la primera para determinar cuáles de las

gráficas se correspondían con una relación o con una función y la segunda para

Anexo 3

230

determinar cuáles de los pares de diagramas sagitales pertenecían a una relación o

a un función.

5. Retoma un ejercicio que previamente había trabajado con ellos 𝑦 = 2𝑥 + 3, les

pide una hoja milimétrica, regla y lápiz y que tiene la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. Se les pide

graficarla y le asigna valores a "𝑥"

La profesora les solicita utilizar la misma escala.

También les indica que los valores de 𝑥 pueden ser: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, o

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100, lo que no es correcto es utilizar 1, 20, 100.

Por convencionalismo utilizaron de −3 a 3.

La profesora realiza la sustitución en una tabla, determina el dominio y el

contradominio y luego realiza la representación gráfica.

La profesora utiliza valores muy grandes para evaluar a la función y

ejemplificar que la recta puede tener como pares coordenados, valores muy

grandes.

Cuando se plantea cuál sería el dominio para valores muy grandes, se

menciona al infinito y al menos infinito, formalizando que se trata del conjunto

de números reales.

Cierre:

1. La profesora les indica que realicen lo mismo, pero ahora con 𝑦 = 2𝑥

considerando como dominio [−3,3] y que lo resuelvan en su carpeta de “prácticas”.

Les plantea que las funciones lineales tienen la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. Donde la

pendiente es la inclinación de la recta, cuyo valor es dos.

Para reforzar la actividad, pasa a algunos estudiantes a completar la tabla de

valores para la expresión 𝑦 = 2𝑥

La profesora construye la gráfica, sin borrar la anterior y les pregunta sobre el

dominio y el codominio y les enfatiza que ésta pasa por el origen.

Solicita a sus estudiantes bajar un programa llamado “Graphmatica” y les pide

graficar tres funciones: 𝑦 = 2𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 5 y 𝑦 = 2𝑥 + 3

Aparte de esas tareas, les pide construir la gráfica a mano de la función

𝑦 = 2𝑥 − 5 y otras gráficas en Graphmatica: 𝑦 = 8𝑥, 𝑦 = 8𝑥 + 6 y 𝑦 = 8𝑥 − 12

Anexo 3

231

Historia 3: Tabulación y graficación de funciones II, graficación de funciones

lineales, pendiente de una recta y valor de la ordenada al origen

Inicio:

1. La clase inicia planteando a la profesora las dificultades de los estudiantes para

bajar el software Graphmatica. Sólo uno de los estudiantes la pudo bajar pero no

pudo graficar.

2. Se les indica que la clase continuara con la graficación de funciones. La actividad

consiste en graficar tres funciones en un mismo plano cartesiano:

𝑦 = 𝑥

𝑦 = 𝑥 + 8

𝑦 = 𝑥 − 5

3. Condiciones: Cada una con su tabulación, con un dominio de [−5, 5] y utilizar un

color para cada gráfica.

4. La profesora nuevamente les indica que los valores para el dominio pueden

cambiar siempre y cuando conserven la misma escala y les pone un ejemplo.

5. La profesora comienza a realizar la tabulación de la función

𝑦 = 𝑥 + 8 en el pintarrón y les coloca la coordenada correspondiente.

6. Retoma la tercera tabla cuya expresión es 𝑦 = 𝑥 − 5 y también la completa para el

primer valor.

7. Comienza a revisar las prácticas de la clase anterior.

Desarrollo:

1. La profesora retoma la forma general de representar estas expresiones:

𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑏, además de preguntarles por el significado de 𝑚 y con ayuda de un

bolígrafo y les ejemplifica rectas con pendiente positiva y negativa.

2. Los ejemplos que introduce para preguntarles sobre la pendiente son 𝑦 = 𝑥,

𝑦 = 𝑥 + 8 y 𝑦 = 𝑥 − 5

3. También se les cuestiona a los estudiantes el valor de 𝑏 y realiza la separación de

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 y 𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑏 y analiza en cada caso el valor de 𝑏, para finalmente

separar cada una de las componentes en cada expresión.

Anexo 3

232


𝑦 = 𝑥 + 8

𝑚 = 1

𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑏

𝑦 = 𝑥 − 5

𝑚 = 1

4. Realiza algunos planteamientos para formalizar la compresión tanto de 𝑚 como de

𝑏.

5. Se les pide graficar ahora la expresión 𝑦 = 𝑥 + 12, la condición es que no utilicen

tabulación.

6. Después de varios intentos de los estudiantes, algunos logran precisar por dónde

pasa la gráfica de 𝑦 = 𝑥 + 12 y la profesora le pide a uno de los estudiantes que la

obtuvo que explique al resto de sus compañeros la forma en que la generó.

7. La profesora les precisa nuevamente una de las coordenadas por donde pasa,

(0,12) y les plantea otra función para que la grafiquen sin tabular. Dicha función

fue 𝑦 = 𝑥 − 3 y les pregunta por su dominio.

8. La profesora les pide centrar su atención para analizar los casos donde 𝑦 = 50𝑥 y

𝑦 = 𝑥 + 50

Cierre:

1. Para concluir el análisis realizado, les pide graficar en un mismo plano las

funciones:

𝑦 = 𝑥

𝑦 = 2𝑥

𝑦 = 5𝑥

𝑦 = 8𝑥

𝑦 = 20𝑥

Se les pide la tabulación correspondiente y el valor de 𝑚.

La tarea consiste en graficar 𝑦 = 𝑥2

Anexo 3

233

Historia 4: Modelos de funciones lineales en contexto (Recorrido de Ana

Gabriela Guevara).

Inicio:

1. La clase comienza con la presentación de un video de la corredora Ana Gabriela

Guevara. La profesora les pide a los estudiantes centrar su atención en datos

específicos, tales como los metros que recorre, el tiempo que tarda. La idea de la

profesora es establecer un vínculo entre el tema que están estudiando en clase

(tabulaciones y graficaciones) y el video.

Para establecer una conexión entre los datos provenientes del video y el tema de

clase, les realiza las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es la función que determina la velocidad?

2. ¿Qué velocidad alcanza Ana Guevara en esta prueba de 400 metros, si se sabe que

lo recorrió en 49.88 segundos?

3. ¿Qué distancia recorrió en cinco segundos?

4. Según el record establecido de 47.60 segundos en esta prueba de 400 metros.

a. ¿A qué velocidad la recorrió la atleta?

b. ¿Cuál es la diferencia de velocidades entre el récord y la de Ana Guevara?

5. Grafica el recorrido de Ana Guevara cada cinco segundos hasta llegar a la recta

final.

2. Para dar respuesta a estas interrogantes, la profesora pide a los estudiantes

reunirse en equipos de cuatro y cinco integrantes y les vuelve a proyectar el video.

Después de diez minutos, los estudiantes comentan sus dificultades para

comprender lo que es determinar una función y se lo plantean a la profesora.

3. De ahí que la profesora les remita a la fórmula para calcular la velocidad

intentando que los estudiantes la vinculen con los datos que obtuvieron sin perder

de vista las preguntas planteadas e incluso les aclara que el último planteamiento

requiere la tabulación de los datos.

4. Un elemento central para comenzar a formalizar el contenido se presenta cuando

la profesora les dibuja una tabla de valores utilizando la fórmula de la velocidad

Anexo 3

234

(ya despejada) y utilizando variables como: tiempo, distancia y velocidad y

cambiando ahí mismo las variables para utilizar 𝑥 y 𝑦.

5. La profesora comienza a realizar preguntas a los estudiantes para conectar la

información y dar respuesta a cada uno de los planteamientos iniciales, e indica

que los resultados deben considerar máximo cuatro decimales.

6. La profesora invita a los estudiantes a pasar al pintarrón para completar la tabla

de valores de la función que fue generada para encontrar distancias recorridas, de

ahí que se plantee la representación gráfica de la función para concluir con la

actividad. Llama la atención que la estudiante que construyó la gráfica, no unió la

primera coordenada con el origen, mientras que la profesora sí lo une.

7. Se advierte por parte de la profesora que lo que está planteando es un problema

real.

Cierre:

1. Mientras los estudiantes están terminando de completar la tabla y representar la

gráfica, la profesora solicita las libretas para calificarles.

2. La clase concluye y comienzan las vacaciones, así que no se les dejó tarea.

Historia 5: Modelos de funciones lineales en contexto (Prueba de los 28 metros).

Inicio:

1. La clase comienza cuando la profesora pregunta por las respuestas a las preguntas

de la actividad de la clase anterior, la cual estaba relacionada con el recorrido

realizado por la atleta Ana Gabriela Guevara.

2. Para continuar con la clase la profesora los organiza en equipos de cinco y les pide

salir a la cancha para realizar una carrera de tres compañeros y con ayuda de una

cinta métrica medirán las distancias de sus recorridos, además de atender los

siguientes cuestionamientos:

a. ¿Cuál es la función que determina la velocidad?

b. ¿Qué velocidad alcanza?

La profesora les enfatiza que deberán competir tres compañeros, que deberán hacer

los registros de la velocidad que alcanzan, que van a medir las distancias y que harán

uso de un cronometro, además de generar las tres representaciones gráficas.

Anexo 3

235

Desarrollo:

1. Los estudiantes y la profesora salen al patio de la institución para comenzar la

actividad, eligen a sus tres compañeros, comienzan a medir con sus cintas métricas

el recorrido que realizarán de extremo a extremo de la cancha de basquetbol,

unificando la medida a 28 metros ya que algunos expresaron sus respuestas en

pulgadas, otros en centímetros y otros en metros.

2. La profesora les marca dónde comienza la carrera y dónde termina, cada equipo

deberá tomar el tiempo de los tres competidores, como correrán de uno en uno

deberán estar atentos para realizar el registro.

3. Una vez que todos los equipos tienen el registro de los tres competidores, regresan

al aula.

4. La profesora retoma las siguientes preguntas para todos los equipos:

a. ¿Cuál es la función que determina la velocidad?

b. ¿Qué velocidad alcanzó _______________ en la prueba de los 28 metros?

i. …

ii. …

iii. …

c. ¿Cuál es la diferencia entre las velocidades de sus tres compañeros?

d. ¿Quién de sus compañeros alcanzó mayor velocidad?

e. Grafica el recorrido de la prueba de los 28 metros de cada compañero.

5. La profesora pasa a los equipos a revisar el avance y a resolver las dudas.

6. A quienes van terminando les va revisando el trabajo.

Cierre:

1. La profesora les indica que como tarea deberán generar una práctica (la número

once) referida a un problema de aplicación de funciones cuya búsqueda deberían

realizarla en revistas, periódicos o páginas de internet, por ello les indica agregar

su referencia.

2. Además les recuerda que tienen pendiente una práctica, la de los gráficos en el

software y que aquellos que aún les faltaba por entregar, lo harían la siguiente

clase.

Anexo 3

236

3. Deja salir al receso a los que ya concluyeron, se queda con los que aún no terminan

la última parte de la actividad, las gráficas.

Historia 6: Uso del software Graphmatica.

Inicio:

1. La clase inicia solicitándoles entregar las tareas (prácticas) pendientes y en

recordar la unidad y el tema que se encuentran trabajando. Le pide a una alumna

leer la competencia que le corresponde a la unidad: Identifica las funciones en

situaciones contextualizadas y realiza representaciones en tablas y gráficas.

2. La profesora enfatiza a los estudiantes que como ejemplos de situaciones

contextualizadas son las de la atleta Ana Gabriela Guevara y la prueba de los 28

metros que realizaron previamente.

3. Con ayuda del cañón y una computadora, la profesora les presenta la hoja de

trabajo con el graficador denominado Graphmatica, y les indica la notación

apropiada para generar la gráfica.

Desarrollo:

1. La profesora graficó ejemplos sencillos como 𝑦 = 𝑥, para que los estudiantes

observaran su comportamiento, le aplicó el zoom tanto hacia adentro como hacia

afuera para que vieran lo que pasaba, e incluso aprovechó para mencionarles por

qué se hablaba de que su dominio era infinito, pues sólo se podía ver una parte.

2. La profesora pregunta a los estudiantes, quiénes habían explorado el graficador y

diez estudiantes levantaron la mano y comenzó a preguntarles lo que aprendieron.

3. Para continuar con las actividades les propone anticiparse al comportamiento que

tendrá la expresión 𝑦 = 12𝑥 y les pide a varios de los estudiantes pararse a

mostrar cómo suponen que la gráfica quedará representada, hasta que finalmente

la trazó para verificar si los estudiantes estaban en lo correcto o no, lo mismo

realiza con 𝑦 = 2𝑥, lo cual aprovecha para recordar el concepto de pendiente.

4. Sigue el mismo procedimiento con expresiones como 𝑦 = 10𝑥, 𝑦 = 1

2𝑥, 𝑦 =

1

4𝑥, 𝑦 =

1

8𝑥, 𝑦 = 15𝑥, 𝑦 = 50𝑥.

Anexo 3

237

5. Todas las gráficas se encuentran representadas en el mismo plano cartesiano y la

profesora les plantea preguntas relacionadas con lo que sucede si la pendiente se

acerca tanto al eje 𝑦 como al eje 𝑥, enfatizando sólo el primer cuadrante del plano

cartesiano.

Cierre:

1. La profesora les pide a los estudiantes indicar cuál sería el dominio y el codominio

de todas esas funciones.

2. También les pide proponer ejemplos de funciones lineales que pasen por el

cuadrante dos y el cuadrante cuatro. Se propone como ejemplo a 𝑦 = −2𝑥 e

incluso les pide graficarlo en la libreta con un dominio de [−5,5] antes de

representarlo en el graficador.

3. Les pide anotar dos conclusiones: que si la recta tiene pendiente positiva pasa por

los cuadrantes uno y tres; y cuando sea negativa pasa por los cuadrantes dos y

cuatro es negativa. Agregando que todas estas pasan por el origen.

4. Les pide proponer alguna que no pase por el origen, tales como: 𝑦 = 2𝑥 + 3, 𝑦 =

3𝑥 + 12, 𝑦 = 2𝑥 + 6, 𝑦 = 2𝑥 − 1, 𝑦 = 𝑦 =1

2𝑥 +

1

4

5. Las profesora les pide a los estudiantes considerar como conclusión general de

todas esas funciones a la expresión 𝑦 = 𝑚𝑥 ∓ 𝑏

6. La clase concluye proponiendo los últimos minutos de la clase para explorar en el

graficador Graphmatica otro tipo de funciones como las cuadráticas, las cúbicas o

trigonométricas.

Anexo 3

238

b) Profesora Iris

Fueron diez las sesiones que se videograbaron de la clase de la profesora Iris, de las

cuales se transcribieron solamente seis. Los temas abordados en estas transcripciones

de clase giran alrededor de dos conceptos fundamentales en los que ella se centra:

función lineal y ecuación lineal.

Historia 1: Plano cartesiano y función lineal

Inicio:

1. La clase inicia organizando al grupo en equipos de 4 y 5 integrantes, además de

sacar sus materiales y la investigación solicitada.

2. Les propone el siguiente planteamiento: “Hallar dos números cuya suma sea 24 y

cuya diferencia sea 6”

3. Les propone una actividad a cada equipo para desarrollarla en el patio de la

escuela, las tareas para cada equipo son las siguientes:

a. Equipo 1: Ubicar el punto (4,4) y lo representa colocando una persona en

esa coordenada.

b. Equipo 2: Va a situar el punto (-4, -4) y ubicar una persona también.

c. Equipo 3: Va a situar el punto (8, 8)

d. Equipo 4: Va a situar el punto (-8, -8)

e. Equipo 5: Unirán con ayuda de un estambre todas las personas ubicadas en

las coordenadas.

f. Equipo 6: Indicará qué tipo de gráfica se formó.

g. Equipo 7: Ubicar los elementos del plano cartesiano en el pintarrón.

4. Los estudiantes salen al patio de la escuela.

Desarrollo:

1. La profesora les da algunas indicaciones para que los estudiantes ubiquen los ejes

en el patio y comiencen a desarrollar la tarea que les corresponde por equipo.

2. Una de las dificultades enfrentadas es la escala para ubicar las distancias entre las

coordenadas, lo resuelven utilizando una vara.

Anexo 3

239

3. Comienzan a ubicar las coordenadas y a alinearse los estudiantes para formar una

recta.

4. La profesora comienza a hacerles preguntas para recordar los elementos del plano

cartesiano, los signos de las coordenadas en cada cuadrante y la gráfica que se ha

generado, la función lineal

5. Después la profesora coloca un ejemplo en el pintarrón 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 y les

pregunta cómo encontrar el valor de 𝑥, luego reescribe la expresión como

𝑦 = 𝑥 − 2, y termina igualándola a cero y resolviéndola como una ecuación.

6. Enseguida construye una tabla de valores, establece un dominio y completa la

tabulación para obtener los pares ordenados.

7. Ubica los puntos en el plano cartesiano generando una recta y enfatiza la solución

de la ecuación como el punto de intersección con el eje 𝑥.

Cierre:

1. La profesora coloca otro ejemplo con la función 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 2 y les indica que

deben resolverlo en el cuaderno, desde resolver la ecuación, encontrar la

intersección, generar la tabla de valores y construir la gráfica.

2. Les plantea otra ecuación para resolverse: 4(𝑥 − 3) − 8(𝑥 − 6) = 7(𝑥 − 6) + 34

3. La clase concluye con la revisión por equipo de los ejercicios.

Historia 2: Función lineal (Aplicar la función lineal en la solución de problemas

contextuales)

Inicio:

1. La profesora les pide reunirse en equipos y comienza a preguntarles lo que se vio

la clase anterior sobre función lineal, los planteamientos giran en torno al

concepto de función lineal, su gráfica, su máximo exponente, y sus aplicaciones.

Sobre la marcha realiza las preguntas y ejemplifica las respuestas a partir de lo

que responden los estudiantes.

2. La profesora recurre al uso de bolígrafos para representar el plano cartesiano y

ejemplificar a la función lineal.

Anexo 3

240

Desarrollo:

1. La profesora centra su atención en la aplicación de la función lineal en un

problema contextual y retoma el planteamiento hecho la clase anterior, cuando se

abordó el plano cartesiano: Hallar dos números cuya suma sea 24 y cuya diferencia

sea 6.

2. A cada equipo le pidió anotar un problema en una hoja y entregárselo sin

resolverlo, lo cual se había quedado de tarea. Entrega las hojas a equipos

diferentes para que lo resuelvan. Para los equipos que no trajeron la tarea, se les

presta un libro de álgebra para buscar un problema y resolverlo, otros van a la

biblioteca o usan su celular para buscar en internet un problema.

3. Para resolver el problema les pide usar material (como hilo, palitos) para

contextualizarlo.

4. La profesora es abordada por los estudiantes para preguntarle acerca de sus

avances en la solución de su problema.

5. Cada equipo deberá pasar y presentar la solución de su problema. Un equipo

propone al grupo el siguiente planteamiento: encontrar tres números enteros

consecutivos cuya suma sea igual a 21, la expresión algebraica queda como:

𝑚 + (𝑚 + 1) + (𝑚 + 2) = 21

6. La profesora les enfatiza la idea de número consecutivo y las operaciones

involucradas en su solución.

7. Se desarrolla la solución paso a paso.

Cierre:

1. La profesora pide al equipo representar a través de un modelo su problema.

2. Lo que los estudiantes presentan son lápices de colores de distinta medida

marcados por tres zonas con hilos.

3. La profesora extiende la explicación indicando que estas medidas (marcas con los

hilos) se corresponden con los datos obtenidos de la solución, la primera medida

es 6 cm, la segunda, 7 y la tercera 8.

4. El tiempo no alcanza para más exposiciones, pues sólo fue de una hora. Se

continuará la siguiente sesión.

Anexo 3

241

Historia 3: Función lineal

Inicio:

1. La clase inicia con una serie de planteamientos que la profesora les propone a sus

estudiantes: ¿qué es una función lineal? ¿Cuál es la gráfica de una función lineal?

¿Cuántas soluciones tienen una función lineal? ¿Cómo se les llama a los valores de

𝑥 y cómo se les llama a los valores de 𝑦? ¿Qué es un par ordenado?

2. Se les pide a los estudiantes revisar sus apuntes y repasar.

Desarrollo:

1. Por lista, la profesora solicita que un estudiante le realice un planteamiento a otro

relacionado con la función lineal y así se irá registrando su participación durante

la clase.

2. Los planteamientos hechos por los estudiantes tienen que ver con dibujar la

gráfica de la función lineal, las intersecciones de la recta, las partes de un sistema

bidimensional (cuadrantes, ejes), las partes de la función lineal, entre otros.

3. La profesora interviene y menciona los tres modelos de sistemas en el que se

menciona una recta, dos rectas y tres rectas e incluso los representa con uno, dos y

tres bolígrafos de colores distintos.

4. Se continúan con las participaciones de los estudiantes, se pregunta sobre la raíz

de la función lineal.

Cierre:

1. La profesora retoma los planteamientos propuestos en la clase anterior, por lo que

les solicita a los estudiantes reunirse por equipos.

2. La profesora pasa a los equipos para mirar el avance logrado por los estudiantes

en la solución de los problemas y ejercicios generados en la clase anterior.

3. Son nueve los equipos que se integraron y la profesora no termina de pasar a

todos los equipos, pues en alguno se detiene para explicar algunas dificultades que

le externan los estudiantes.

4. Como parte de las tareas para la siguiente clase se encuentran resolver el

problema que por equipo aún no concluyen y de manera individual traer un

problema relacionado con la función lineal.

Anexo 3

242

Historia 4: Función lineal (aplicar la función lineal a situaciones contextuales)

Inicio:

1. La profesora les pide a los estudiantes reunirse por equipos para retomar las

actividades que se quedaron de tarea.

2. La profesora comienza a hacer preguntas a los equipos, tales como: ¿qué es una

función lineal? ¿Cuál es su gráfica? ¿Cuáles son sus características?

3. Las respuestas de los estudiantes tienen que ver con: polinomio de grado uno o

cero, tiene una intersección, es una recta, su exponente es uno.

4. La profesora les insiste en que anoten las características pues como producto

entregarán un mapa conceptual de todo lo que es una función lineal y un ejemplo

que puede ser aplicado a situaciones contextuales.

Desarrollo:

1. Se continuarán con las exposiciones de los equipos.

2. Los planteamientos presentados y resueltos por los equipos fueron:

a. La suma de dos números es 72 y la mitad del menor es la sexta parte del

otro, determina sus números.

b. Hallar dos números tales que el menor sea 3

5 del mayor y la suma de ambos

que sea 96.

c. Si el perímetro de un rectángulo es de 15 y el lado menor es 5 unidades más

pequeño que el mayor. ¿Cuánto vale cada lado?

d. Encontrar el valor de: 5(𝑥 − 5) − 7(𝑥 − 6) = 7(𝑥 − 6) + 32

Cierre:

1. La profesora pide a los estudiantes realizar su mapa conceptual con los siguientes

elementos: definición de función lineal, características de la función lineal, sistema

bidimensional, partes de la función lineal, un ejemplo donde se pueda graficar,

tabular, etc.

2. La profesora comienza a elaborar el mapa conceptual en el pintarrón.

3. El mapa conceptual se queda de tarea para la siguiente clase.

Anexo 3

243

Historia 5: Sistemas de ecuaciones

Inicio:

1. La profesora solicita la entrega del mapa conceptual que se quedó de tarea.

2. Les indica que comenzarán con el tema de sistemas de ecuaciones lineales y para

ello deberán recordar lo siguiente: una ecuación lineal tiene como gráfica a una

recta.

3. La profesora lo ejemplifica representando un plano cartesiano en el pintarrón y un

par de rectas que se cortan en un punto.

4. La profesora les indica lo que compone a un sistema de ecuaciones y que al

resolverlo se encuentra la intersección entre las dos ecuaciones.

Desarrollo:

1. La profesora les coloca un par de expresiones para ejemplificarles una ecuación:

𝑥 + 𝑦 = 2

𝑦 + 𝑥 = 2

2. La profesora especifica que interpretarán lo mismo con expresiones como:

𝑥 + 𝑦 = 2

𝑦 = 2 − 𝑥

𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥

3. La profesora continúa haciendo preguntas respecto a si las expresiones refieren a

una ecuación lineal, una función lineal.

4. La profesora les enfatiza que las ecuaciones lineales tienen como máximo

exponente al número uno, mientras que las ecuaciones cuadráticas tienen al dos

como máximo exponente.

5. Se les coloca un ejemplo de sistema de ecuaciones y se les da una definición.

Cierre:

1. La tarea consiste en averiguar los distintos métodos para resolver un sistema de

ecuaciones 2 × 2.

2. Les aclara que alrededor de cuatro son las distintas formas para resolver un

sistema de ecuaciones.

3. La clase termina pronto, pues la profesora se va a una reunión.

Anexo 3

244

Historia 6: Sistemas de ecuaciones

Inicio:

1. La clase inicia con preguntas que realiza la profesora sobre un sistema de

ecuaciones, número de ecuaciones, de variables.

2. Además de ello, ella les realiza una extensión hacia sistemas 3 × 3, ello implica que

el número de variables se incrementa.

3. Se les escribe un sistema de ecuaciones en el pintarrón:

3𝑥 + 2𝑦 = 5

8𝑦 − 𝑥 = 10

4. Les solicita la tarea, la cual consistía en averiguar los métodos para resolver un

sistema de ecuaciones.

5. La profesora les enfatiza que la solución del sistema es la intersección de ambas

rectas.

Desarrollo:

1. La profesora modifica el sistema que les había planteado, ya que podría

complicarse al momento de resolverlo.

𝑦 + 2𝑥 = 5

𝑦 + 𝑥 = 10

2. Les pide realizar la gráfica del sistema propuesto, sólo que no les da ningún valor

para la variable 𝑥, sólo les indica la equivalencia entre las expresiones:

𝑦 = −2𝑥 + 5 → 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 5

𝑦 = −𝑥 + 10 → 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 10

3. Les indica que deben despejar a la variable 𝑦.

4. Los estudiantes comienzan a realizar los despejes y ella se los revisa.

5. Les indica que como no tienen valores para 𝑥, podrían utilizar los que quieran.

6. La profesora ejemplifica algunos casos en los que la representación del sistema de

ecuaciones puede aparecer.

Anexo 3

245

Cierre:

1. La profesora les indica cómo debieron quedar los despejes de cada ecuación,

comienza a darles valores positivos y negativos a 𝑥 y les indica que están usando el

método gráfico.

2. Una alumna termina de hacer la gráfica y se la muestra, les pide a los estudiantes

verificar si la coordenada (2.5, 7.5) es el punto de intersección del sistema.

3. La clase concluye y se lo llevan de tarea.

Anexo 3

246

c) Profesor Israel

Se videograbaron dieciocho sesiones de clase del profesor Israel, de las cuales se

transcribieron solamente once. La razón principal de haber grabado un número

considerable de clases, se debe a que el profesor abordaba una diversidad de temas en

una misma sesión de clase. Después de haber revisado todos los videos, se

seleccionaron únicamente aquellos que abordaban aspectos relacionados con los

conceptos función y función lineal.

Historia 1: Clasificación de funciones

Inicio:

1. La clase comienza con la organización del grupo en equipos de cinco integrantes.

2. A cada equipo se le entrega una o dos ejemplos de funciones que deberán clasificar

y generar un mapa conceptual que contenga a todas las funciones que ha

entregado en cada equipo.

3. Se les indica sacar su libro de texto a los que lo tengan para que miren la

clasificación que ahí se propone.

4. El profesor pide a los estudiantes obtener la definición de la función que les tocó y

elaborar su mapa conceptual.

5. Les indica que además deberán graficar la función considerando sólo un intervalo.

Desarrollo:

1. Se les indica a los estudiantes que además deberán obtener las características de la

función que les fue asignada.

2. El profesor pasa a los equipos a explicar nuevamente las tareas asignadas.

3. El profesor les realiza algunas preguntas sobre la clasificación de funciones, sus

características, por ejemplo, si son transcendentes, si son decrecientes o

crecientes.

4. Otros elementos mencionados al momento de realizar la tabulación fueron:

variable dependiente, variable independiente, valor absoluto, rango.

Anexo 3

247

Cierre:

1. El profesor les explica la importancia que tiene el utilizar a veces valores muy

pequeños o a veces valores muy grandes para graficar la función.

2. El tiempo concluye y la actividad se queda de tarea, la gráfica la deberán llevar en

hoja milimétrica.

Historia 2: Tabulación y graficación de funciones lineales

Inicio:

1. La clase comienza con la recuperación de ideas relacionadas con la función lineal.

Entre los ejemplos propuestos están: 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 1

2. El profesor toma un libro de texto y propone la graficación de las siguientes

funciones en el mismo plano cartesiano utilizando distintos colores.

𝑓(𝑥) = 3𝑥

𝑓(𝑥) = 4𝑥

𝑓(𝑥) = −6𝑥

𝑓(𝑥) =1

2𝑥

3. El profesor les anota en el pintarrón el intervalo (−8, 8)

4. Se les plantea a los estudiantes la posibilidad de tomar valores más grandes para

que imaginen lo que pasaría con las gráficas.

5. El profesor solicita la entrega de la tarea.

Desarrollo:

1. El profesor continua pidiendo que reflexionen los comportamientos de

𝑓(𝑥) = 3𝑥 con respecto a 𝑓(𝑥) =1

2𝑥. En particular les pide pensar qué pasa

cuando el 3 se multiplica por 𝑥 o si lo mismo sucederá cuando 1

2 multiplique a 𝑥.

2. Les pide poner atención al realizar la sustitución en 𝑥 con los valores negativos. De

hecho fue necesario ejemplificar algunos casos, pues los estudiantes enfrentaron

algunas dificultades.

3. Los estudiantes tienen dificultades con los valores obtenidos en la tabulación de

algunas funciones y su representación en el plano cartesiano es rebasado por sus

Anexo 3

248

datos, por ello el profesor les pide considerar una escala de cinco en cinco o de

diez en diez.

4. El profesor camina entre las filas para mirar el trabajo de los estudiantes.

5. Nuevamente se retoma la tabulación de la función 𝑓(𝑥) =1

2𝑥, en particular cuando

𝑥 = −8, precisando la sustitución de la siguiente manera

𝑦 =1

2𝑥

(1

2) (

−8

1) =

−8

2= −4

Cierre:

1. El profesor les pide realizar el mismo procedimiento, pero ahora con 𝑥 = −7

2. Pocos estudiantes han terminado y se acercan al escritorio para mostrarle su

libreta al profesor.

3. El profesor se apoya de un graficador (GeoGebra) para mostrarles a los

estudiantes cómo debieron quedar sus gráficas.

4. Les indica cómo generar una tabla de valores y cómo escribir la función en el

graficador.

5. Los estudiantes no concluyen con la actividad, se les deja la siguiente tarea:

Realizar la gráfica y tabulación para cada una de las funciones.

𝑓(𝑥) = −3𝑥 − 1

𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1

𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 1

Historia 3: Repaso de temas con ayuda de Microsoft Mouse Mischief 1

Inicio:

1. El profesor organiza al grupo de dos maneras para desarrollar el repaso de los

temas. Selecciona a dos hombres y dos mujeres para que se coloquen al centro, en

el que se encuentra el escritorio, una laptop y el cañón para proyectarles una

presentación. El resto del grupo se colocó detrás de ellos para que observen.

1 Es un complemento de PowerPoint que se utiliza para crear y reproducir presentaciones interactivas para múltiples mouse. Los estudiantes participan en las presentaciones con su propio mouse (Para mayores detalles, se sugiere ver: https://goo.gl/oa6E5w)

https://goo.gl/oa6E5w

Anexo 3

249

2. El profesor les indica que la actividad consiste en que a cada alumno le

corresponde un mouse cuyo puntero les deberá permitir marcar la respuesta de

cada planteamiento propuesto en la presentación.

Desarrollo:

1. Les indica que son alrededor de diez planteamientos y que deberán responder

rápidamente, por ello deben estar atentos a lo que se les pregunte en cada

diapositiva.

2. El profesor comienza a presentar las preguntas. La primera dice: ¿𝑥 es la variable

independiente?, otro planteamiento es ¿una función asocia a cada valor de 𝑥 un

único valor de 𝑦?

3. Después de concluir con la actividad, les pide entregar la tarea. Pocos la hicieron.

Cierre:

1. Como la actividad previa incluyó funciones cuadráticas y cúbicas, les pide realizar

la graficación de las siguientes funciones [con un intervalo de(−8, 8)].

𝑦 = 𝑥3

𝑦 = 𝑥3 + 1

𝑦 = 𝑥3 + 2

𝑦 = 𝑥3 − 3

2. La clase continúo con la graficación de los ejercicios relacionados con la función

cúbica.

Historia 4: Noción de función, subconceptos de función y función lineal

Inicio:

1. El profesor les indica cómo será la forma de evaluación del primer examen parcial.

2. Enseguida comienza el repaso y les pregunta que es una función, ejemplos de

función.

3. En la explicación de los ejemplos que propone el profesor emergen algunos otros

conceptos como ecuación, relación, aplicaciones de la función, proporciones,

dominio, contradominio, variables.

Anexo 3

250

4. Recurre a la representación de diagramas sagitales para ejemplificar la obtención

de pares coordenados, los valores que le corresponden a la variable independiente

y dependiente.

Desarrollo:

1. El profesor coloca un ejemplo de función lineal 𝑦 = 1 + 𝑥 y les pregunta sobre lo

que entienden o interpretan con la expresión, sus partes, la operación que indica,

además les agrega una tabla de valores con un intervalo de (−3, 3). Continúa con la

sustitución de valores y preguntando sobre el resultado.

2. Se les pregunta por el significado del número uno en la expresión 𝑦 = 1 + 𝑥 y les

insiste a los estudiantes en identificar elementos como el signo, la constante, la

variable, la relación.

3. Otro ejemplo que se retoma es el de 𝑦 = 𝑥 y comienza a explorar el

comportamiento de la expresión si se incrementa el coeficiente que multiplica a 𝑥,

generando expresiones como 𝑦 = 2𝑥

4. El profesor propone otra expresión 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 y les presenta uno de los errores

que cometen al realizar la sustitución en la expresión y lo que debería de hacerse.

5. Regresa al ejemplo de 𝑦 = 2𝑥 y les pide realizar la tabulación en un intervalo de

(−3, 3), una alumna escribe la tabla en el pintarrón.

6. Se solicita a una estudiante realizar sólo sustitución de valores para que el resto

encuentre los pares ordenados.

Cierre:

1. El profesor les indica que la tarea consistirá en buscar el concepto de función lineal

y deberán agregar los datos de donde se obtuvo la información.

2. La clase concluye, no así la actividad.

Historia 5: Definición de la función lineal y la ordenada al origen

Inicio:

1. La clase inicia solicitando la tarea a los estudiantes. Pocos alumnos se levantan a

entregar la tarea.

Anexo 3

251

2. Toma un libro de texto, lo revisa y les indica que una función lineal es cuando “𝑦 es

igual a 𝑥”, les indica que tiene un exponente y un coeficiente que no se escribe, se

comenta además cómo se comporta gráficamente.

3. Para marcar una diferencia entre las que pasan por el origen y las que no, el

profesor les plantea la expresión 𝑦 = 𝑥 + 1 y les enfatiza que no pasa por el origen.

Desarrollo:

1. El profesor retoma la tarea referida a la función lineal, en su explicación alude a

proporciones y razones.

2. Recurre nuevamente al libro de texto para dictarles no sólo el concepto de función

lineal, sino también el de la función cuadrática.

3. Coloca otros ejemplos de función lineal y se pasa a otro tema.

Cierre:

1. Propone una función cuadrática, la tabula y la gráfica.

2. Plantea una serie de funciones cuadráticas para ser graficadas.

3. La clase concluye y no se termina la actividad.

Historia 6: Relaciones, funciones, dominio y rango de una función

Inicio:

1. El profesor comienza la clase retomando una actividad que había dejado

previamente. Se trataba de diferenciar a una función de una relación, para ello se

utiliza la prueba de la vertical, la cual consiste en trazar una línea imaginaria que

es paralela al eje 𝑦, para observar si la línea corta en uno o más puntos a la gráfica.

2. La segunda actividad consistió en determinar el rango y el dominio de una función.

Se propone como ejemplo a considerar: 𝑓(𝑥) =2

3𝑥 y realizar la tabulación

correspondiente.

3. El profesor explica el procedimiento a seguir para realizar la sustitución de un

número negativo (en este caso, lo realiza con −5) en una función racional, sólo que

la interpretación del cociente no es correcta, continua la tabulación y la realiza

ahora con cero, el cual produce una indeterminación y no se discute lo que implica

la división entre cero.

Anexo 3

252

Desarrollo:

1. Se continua con la actividad, el profesor les pregunta por el dominio de la función y

la gráfica que se genera y les escribe un dominio cuya notación no es

completamente correcta; no obstante, les advierte que si se tratara de una función

lineal como 𝑓(𝑥) = 𝑥 o 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2, en la primera se puede evaluar en cero y en

la segunda hay un desplazamiento.

2. El profesor nuevamente retoma la función racional y enfatiza que no es posible

realizar la división entre cero.

3. Un ejemplo más que retoma el profesor es el de la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥2 y

les enfatiza lo que sucede cuando se evalúa con cero.

4. Les enfatiza que uno de los valores a considerar para evaluar a cualquier función

es cero, agregando que si se evalúa en cero en un cociente, este no existe y por ahí

no pasa la función.

Cierre:

1. El profesor retoma y completa la tabulación de la función racional 𝑓(𝑥) =2

3𝑥 y

evalúa a la función en un intervalo de (−5,0). Como los datos no son correctos no

continua con la graficación.

2. Propone otro ejemplo de función, la raíz cuadrada, les pide que la grafiquen sin

proponerles más elementos.

3. El tiempo de clase se agotó y sólo les deja como tarea buscar la definición de

ecuación.

Historia 7: Función lineal y ecuación lineal

Inicio:

1. La clase comienza solicitando la entrega de la tarea, pocos alumnos se levantan

para entregarla.

2. La tarea consistió en investigar el concepto de ecuación.

3. Se les pregunta si una ecuación es lo mismo que una función, las respuestas están

divididas.

Anexo 3

253

4. Para tratar de aclarar las ideas, el profesor recurre a un ejemplo que en los niveles

básicos se conoce como “número perdido”2 y cómo ahora se recurre a otros

contenidos matemáticos para justificar el procedimiento (leyes de los signos,

jerarquía de operaciones, entre otros).

5. Comienza a comentar los pasos utilizados al resolver una ecuación.

6. Se refiere a la función con una relación y una ecuación, además explica un ejemplo.

Desarrollo:

1. Se proponen más ejemplos de ecuaciones como: 1583 + 𝑥 = 3703 e indica a un

estudiante para que pase a resolverlo.

2. El profesor retoma el ejercicio y lo resuelve paso a paso.

3. Otro ejemplo que se propone es: 3𝑥 + 38 = 101

4. Les coloca ejemplos sencillos para hacer uso de todas las operaciones (suma, resta,

multiplicación, división, potencias, raíces), tal como se observa a continuación:

3𝑥 + 38 = 101

−38 − 38

3𝑥 = 63

5. Continúa explicando el procedimiento de los pasos a seguir para resolver la

ecuación, sin embargo pasa a una estudiante a realizar la última parte, despejar 𝑥.

Mientras tanto les pide resolver algunas ecuaciones lineales.

6. El profesor ayuda a la estudiante a realizar el despeje de la ecuación, colocando:

3𝑥

3=

63

3

𝑥 = 21

7. Después de resolver la ecuación, el profesor les propone encontrar la solución de:

2𝑥 = −12

2𝑥 − 3 = 6

−3𝑥 − 5 = −1

𝑥

2− 5 = −10

2 Se trata de una idea que se introduce en los niveles básicos para completar una secuencia, resolver una operación en ausencia de un objeto, símbolo o valor. Regularmente aparece en los libros de texto oficiales de la Secretaría de Educación Pública, por ejemplo ver páginas 41 y 41 del siguiente documento: https://goo.gl/4fuOVj

https://goo.gl/4fuOVj

Anexo 3

254

8. El profesor continua revisando algunos libros de texto, enseguida toma uno de

ellos y anota las siguientes ecuaciones en el pintarrón:

−17𝑥 + 38 = 180𝑥 + 30 16𝑥 − 12𝑥 + 6 = 26𝑥 − 5

−3𝑥 − 3 = 3𝑥 − 9

Cierre:

1. Les pide a los estudiantes ponerle atención y comienza a dibujar una balanza en el

pintarrón para explicarles cómo funciona, en un lado coloca 3𝑥 + 3 y del otro lado

20.

2. El profesor no concluye con la solución de esta ecuación.

3. Les indica a los estudiantes que la tarea consistirá en resolver las últimas

ecuaciones que les escribió y generar diez ecuaciones de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏, ello

significa utilizar tanto la multiplicación como la suma y les proporciona un

ejemplo: 3𝑥 + 2 = 50 e incluso les pide considerar el cambio de signo como se

observa a continuación −3𝑥 − 2 = −50.

4. Aún quedan algunos minutos antes de que concluya la clase y les pide que

entreguen los primeros ejercicios, pocos han concluido.

Historia 8: Raíces de funciones, pendiente de una recta y función identidad

Inicio:

1. El profesor había trabajado una sesión con los estudiantes y en el pintarrón se

observan ejemplos en el que evidencia la raíz de la función lineal y la fórmula

utilizada en cursos de Geometría Analítica para determinar la pendiente de una

recta dados dos puntos: 𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

2. Una vez que los estudiantes se encuentran en su lugar les indica calcular la

pendiente de:

𝑦 = 𝑥

𝑦 = 𝑥 − 6

3. El profesor les indica que el procedimiento se encuentra en el pintarrón, los dos

puntos que se requieren para hacer la sustitución en la fórmula.

Anexo 3

255

4. Les pide generar la gráfica sin realizar tabulación.

5. El ejemplo propuesto a los estudiantes proviene del libro de texto de Mendoza

(2014, p. 71).

6. El profesor les enfatiza el no tabular para construir la gráfica.

Desarrollo:

1. El profesor sólo les explica el procedimiento para encontrar la pendiente y que

previamente ya había colocado en el pintarrón.

2. Les advierte que al terminar de calcular las pendientes arribaran a una conclusión

y les plantea las siguientes expresiones provenientes del libro de Mendoza (p. 72)

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑓(𝑥) = 4𝑥 𝑓(𝑥) = 6𝑥 𝑓(𝑥) = .8𝑥 𝑓(𝑥) = .5𝑥 𝑓(𝑥) = .1𝑥

3. El profesor camina entre las filas para mirar el trabajo de los estudiantes,

enseguida regresa al pintarrón para explicarles cómo ubicar las coordenadas (0, 3)

y (−1.5, 0) y representar la recta correspondiente.

4. El profesor enfatiza el desplazamiento de la recta cuando el valor del parámetro 𝑏

es positivo o negativo modificando las coordenadas y dejando ver su

representación gráfica y determina el valor de la 𝑚 utilizando la fórmula que

estableció al inicio de la sesión.

5. El profesor también les pide determinar el valor de la pendiente con la expresión

𝑦 = 𝑥

6. Les indica los estudiantes entregar su trabajo a quienes ya lo terminaron y la

mayoría ha concluido.

7. El profesor les indica que tengan cuidado al momento de ubicar las coordenadas,

se levanta del escritorio y les indica que la función identidad 𝑦 = 𝑥 pasa por la

coordenada (0,0), que en la expresión 𝑦 = 𝑥 − 6, el seis implica bajar toda la recta

seis unidades y ello les permite determinar las coordenadas por donde la recta

Anexo 3

256

corta a los ejes (6,0) y (0, −6), las cuales utiliza para determinar la pendiente. Les

pide graficarlas y emitir una conclusión.

Cierre:

1. El profesor solicita retomar los siguientes ejercicios para determinar su pendiente:

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑓(𝑥) = 4𝑥 𝑓(𝑥) = 6𝑥 𝑓(𝑥) = .8𝑥 𝑓(𝑥) = .5𝑥 𝑓(𝑥) = .1𝑥

2. También les indica que todas deben tener su representación gráfica.

3. Les pide poner atención en las tres últimas, ya que su coeficiente es fraccionario.

4. Además les indica que deberán emitir una conclusión del porqué 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 se

considera como la forma general.

5. Finalmente, les indica que todas van en una misma gráfica (lo cual debe ser

interpretado como que todas las representaciones gráficas van en el mismo plano

cartesiano).

Historia 9: Repaso de variación proporcional directa e inversa

Inicio:

1. El profesor comienza planteando la siguiente situación:

“Si cinco kilogramos de naranjas tienen un costo de dos euros determina en una

tabla cuánto costarán 1, 2, 3, para 𝑛 número de kilos.

2. Después de un tiempo se les pregunta por la expresión que se genera al variar la

cantidad de naranjas, además les pregunta por la constante y la variable en la

expresión.

3. El profesor plantea la expresión en el pintarrón: 𝑦 = 0.4𝑥

4. El profesor les pide que a los que ya resolvieron la situación planteada, lleven su

libreta para revisar su trabajo.

5. El profesor le pide a un estudiante que resuelva la situación planteada, quien

construye su gráfica sin generar una tabla de valores.

Anexo 3

257

6. El profesor señala que lo que se generó fue una relación de proporcionalidad

directa, a mayor número de naranjas, será mayor el costo.

Desarrollo:

1. El profesor lee el ejercicio propuesto: “Cinco naranjas cuestan dos euros”, les pide

establecer la relación y la comparación de los datos como a continuación se

muestra:

5 − 2𝑒

1 − 𝑥

2. Se despeja a la 𝑥 y se obtiene un valor de 0.4 y construye una tabla de valores con

un dominio para 𝑥 de 1 a 5, generando además sus pares ordenados.

3. Indica que en el eje 𝑥 se coloca el peso y en el eje 𝑦 el precio correspondiente.

4. El profesor les pide que construyan la representación gráfica, pues realizó

modificaciones a la que el estudiante había generado.

5. Después de darles tiempo, ahora retoman un segundo problema relacionado con

velocidades, estableciendo los datos:

10 𝑘𝑚/ℎ → 5ℎ 30 𝑘𝑚/ℎ → 𝑥

6. A la par de esta fórmula se plantea esta otra:

𝐴 × 𝐵

𝐶

7. Y ambas se reunieron en una sola expresión quedando:

8. Se resuelve como indica la fórmula y se encuentra que el valor para 𝑥 es 1.6

9. Se le pidió a un estudiante generar la gráfica.

10. El profesor construye una tabla de valores que van de 10 en 10 al 50 y les pide

poner atención e indica que valores van en uno y otro eje, sobre todo para

enfatizarles lo que su compañero construyó como representación gráfica.

11. El profesor dibuja una hipérbola con los datos provenientes de la tabla.

Cierre:

1. Para reforzar el tema el profesor les proporciona otro ejercicio:

Anexo 3

258

El tren que va a 40 km/h sale de un punto cero sale a las 12 pm, realiza la gráfica

que permite hallar la distancia a las 4 de la mañana, la pregunta consiste en saber

cuánto ha recorrido en ese lapso de tiempo.

2. Un planteamiento más fue:

Un obrero gana 35 pesos por hora, hallar la gráfica en función del tiempo, por

ejemplo una semana. Se aclara que trabaja ocho horas diarias, lo cual equivale a

una jornada. Es decir, una jornada de ocho horas. Además les indica generar la

gráfica.

Historia 10: Función lineal, pendiente de una recta, rectas paralelas

Inicio:

1. El profesor plantea a los estudiantes un par de expresiones y les pregunta por el

nombre que les corresponden, enfatizando que una es la principal y la nombra

como función identidad, por pasar por el origen. Dichas expresiones fueron:

𝑦 = 𝑥

𝑦 = 2𝑥 + 3

2. Les indica que además deben recordar los nombres de los elementos de esas

funciones.

3. Les explica lo que sucede al sumar dos unidades a la función identidad, colocando

la expresión: 𝑦 = 𝑥 + 2 y les bosqueja ambas representaciones gráficas,

observándose en el bosquejo que las rectas son paralelas.

Desarrollo:

1. El profesor les pregunta qué deben hacer para acercarse al eje de las 𝑥 o el eje de

las 𝑦.

2. Les enfatiza que debe ser lineal y les sugiere variar la pendiente, con una fracción

3. Los alumnos proponen expresiones como: 𝑦 =1

2𝑥

4. El profesor les escribe la expresión en el pintarrón y les pregunta sobre cómo se

vería su representación gráfica y les sugiere tabular considerando un intervalo de

(−3, 3)

Anexo 3

259

5. Dos dificultades aparecen en el proceso de tabulación que desarrollan los

estudiantes: las operaciones con fracciones y las operaciones de números con

signo.

6. Un alumno pasa a representar la gráfica de 𝑦 =1

2𝑥

7. El profesor les pregunta que si quedaría igual que 𝑦 = 𝑥, y les cuestiona el para

qué se multiplicó por la fracción y lo que pasaría al multiplicarlo por un número

entero en lugar de una fracción.

8. El profesor borró lo que el estudiante había bosquejado y nuevamente volvió a

dibujar el plano cartesiano y le pide realizar divisiones del mismo tamaño en cada

eje.

9. Además de ese ejercicio, les plantea otra función con coeficiente entero 𝑦 = 5𝑥

10. Es el profesor quien termina graficando la función 𝑦 =1

2𝑥, después de ello les pide

a los estudiantes graficar sin tabular la expresión 𝑦 = 5𝑥

11. Además les enfatiza que observen cómo se comporta la función identidad al

multiplicarse por 1

2

12. El profesor comienza a revisar el trabajo de los estudiantes que ya terminaron y

les pide corregir su gráfica.

13. Además les pregunta por las características de la función lineal.

14. Los estudiantes indican que está elevada a la potencia uno, que es una recta.

15. El profesor les pregunta si siempre mantendrá la recta un ángulo de 45°.

16. Además les plantea ejemplos en los que la pendiente es positiva, negativa y les

coloca la representación gráfica.

Cierre:

1. El profesor les dicta el concepto de pendiente propuesto en el libro de Orozco

(2005, p. 50 y 52)

2. Les proporciona ejercicios para que determinen la pendiente utilizando la

expresión 𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

3. Pasa a una estudiante para que resuelva uno de los ejercicios propuestos.

Anexo 3

260

Historia 11: Pendiente de una recta

Inicio:

1. Se indica la forma en que se desarrollará la clase, se utilizará un libro de texto para

resolver los ejercicios propuestos respecto a la pendiente de una recta dadas las

coordenadas.

2. El profesor propone a una estudiante para que encuentre la pendiente dadas las

coordenadas de 𝐴(0,7) y 𝐵(2,3).

3. Se proponen dos ejercicios más con las coordenadas:

𝐴(7,5) 𝐵 (2,9); 𝐴(−5,4), 𝐵(−5, −2)

4. El profesor le indica a otros estudiantes que pasen a resolver el segundo y tercer

ejercicios.

5. El ejercicio resuelto por la primera estudiante incluyó el uso de la expresión:

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

6. Los otros dos estudiantes, también utilizan esa expresión.

Desarrollo:

1. Fue necesaria la intervención del profesor para explicar paso a paso cómo se

realiza la sustitución de cada coordenada en la fórmula, además de enfatizar lo que

sucede con los cambios de signo que se generan en las sustituciones.

2. El profesor realiza correcciones al trabajo desarrollado por los estudiantes, en el

tercer ejercicio, la pendiente se indefine, quedando como resultado: 𝑚 =−6

0, los

estudiantes mencionan que la calculadora marca que se trata de un error y no se

profundiza más.

3. El profesor les indica que realizaran un ejercicio de manera individual, pero antes

deberá firmarles los tres ejercicios resueltos.

4. Así que les dicta las coordenadas con las que deberán trabajar:

𝐴(1,3), B (5,5)

𝐴(6,-7), B (6,9)

5. El profesor les indica que sólo calificará a los primeros diez estudiantes que

terminen primero, embargo sólo revisa dos libretas y regresa al pintarrón para

Anexo 3

261

explicar nuevamente cómo se realiza la sustitución de las coordenadas en la

expresión propuesta.

6. El profesor regresa a seguir revisando los ejercicios resueltos por los estudiantes.

Cierre:

1. El profesor propone a los estudiantes un par de coordenadas más, para que

determinen la pendiente, antes de irse al receso y les plantea las siguientes (3, −1)

y (3,3)

2. Como los estudiantes no logran terminar los ejercicios propuestos, el profesor

regresa al pintarrón a explicarles nuevamente el procedimiento y lo hace con

pasos que implican contenidos relacionados con leyes de los signos en la

multiplicación y la división.

3. Finalmente, el profesor propone a tres estudiantes para pasar a resolver los

ejercicios en el pintarrón.

4. Mientras el profesor sigue revisando las libretas de los estudiantes, le indica a otra

alumna dictarles a sus compañeros un problema relacionado con contenidos de

proporcionalidad.

5. La clase concluye, no así la revisión de los ejercicios y el problema planteado.

v agradecimientos a dios por darme la fortaleza para culminar esta tesis. a mis padres, hermanas y...

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