-diseno-de-3-factores

DISEO CON TRES FACTORES

En esta ocasin se considera un experimento con tres factores A, B y C en

niveles a, b y c, respectivamente en un diseo experimental completamente

aleatorizado.

Supngase de nuevo que se tienen n observaciones para cada una de las

abc combinaciones de tratamiento. Se proceder a esbozar las pruebas de

significancia para los tres efectos principales y las interacciones involucradas.

Se espera entonces se pueda utilizar la descripcin dada aqu para

generalizar el anlisis a k>3 factores.

El modelo para el experimento de tres factores est dado por:

Xijkl= + i + j + k + ()ij+ ()ik + ()jk + ()ijk + ijkl

i=1,2,,a; j=1,2,,b; k=1,2,,c; y l=1,2,.,n;

Dnde:

i, j,k son los factores principales;

()ij, ()ik , ( )jkson los efectos de la interaccin de dos factores que

tienen la misma interpretacin que en el experimento de dos factores.

El termino ()ijk recibe el nombre de efecto de interaccin de tres

factores, un trmino que representa la no actividad de las ()ij sobre

los diferentes niveles de factor C.

Igual que antes, la suma de todos los efectos principales es cero y la suma de

cualquier subndice de los efectos de interaccin de dos y tres factores es

cero. En muchas situaciones experimentales estas interacciones de orden

ms alto son insignificantes y sus cuadrados medio reflejan nicamente

variacin aleatoria, pero el anlisis se har en forma general.

De nuevo, con objeto de que se puedan realizar pruebas vlidas de

significancia, se debe asumir que los errores son valores de variables

aleatorias independientes y con distribucin normal, cada una con media

cero y varianza 2.

La filosofa general del anlisis es la misma que utilizada para los

experimentos de uno y dos factores. La suma de cuadrados se particiona en

ocho trminos, cada uno representa una fuente de variacin de las cuales se

obtienen estimaciones independientes de 2 cuando todos efectos

principales y los efectos de interaccin son cero. Si los efectos de cualquier

factor o interaccin dados no todos son cero, entonces el cuadrado medio

estimara la variancia del error ms una componente debida el efecto

sistemtico en cuestin.

Ahora se procede directamente a la parte de clculo para obtener las sumas

de cuadrados en el anlisis de varianza de tres factores se requiere la

siguiente notacin:

T.= promedio de todas las abcn observaciones.

Ti...= promedio de las observaciones para el nivel i-simo del factor A.

T.j..=promedio de las observaciones para el nivel j-simo del factor B.

T..k.= promedio de las observaciones para el nivel k-simo del factor C.

Tij..= promedio de las observaciones para el nivel i-simo de A y el nivel

j-simo de B

Ti.k.= promedio de las observaciones para el nivel i-simo de A y el nivel

k-simo nivel de C

T.jk.= promedio de las observaciones para el nivel j-simo de B y el nivel

k-simo de C.

Las sumas de los cuadrados se calculan:

( )

( )

( )

( )

Anlisis de varianza para un experimento de tres factores de n rplicas

Fuente de Variacin Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio Razn de Varianza

Efectos principales

A SCA a-1

F1=

B SCB b-1

F2=

C SCC c-1 F3=

Interaccin de dos factores

AB SC(AB) (a-1)(b-1)

F4=

AC SC(AC) (a-1)(c-1) F5=

BC SC(BC) (b-1)(c-1) F6=

Interaccin de tres factores

ABC SC(ABC) (a-1)(b-1)(c-1)

F7=

Error SCE abc(n-1)

Total SCT abcn-1

Y SCE, como es usual, se obtiene por sustraccin.

Para el experimento de tres factores con una sola replica se puede utilizar el

anlisis de la tabla haciendo n=1 y utilizando la suma de cuadrados de la

interaccin ABC para SCE. En este caso se estar asumiendo que los efectos

de interacin()ijkson todos iguales a cero de tal forma que:

[ ( )

( )( )( )]

( )

( )( )( )

Esto es, SC(ABC) representa la variacin debida nicamente al error experimental. Su cuadrado

medio por tanto proporciona una estimacin insesgada de la varianza del error. Con n=1 y

SCE=SC(ABC), la suma de cuadrados del error se encuentra de las efectos principales y las

interacciones de dos factores de la suma total de cuadrados.

Ejemplo 1

El departamento de control de calidad de una planta de acabados textiles

estudia el efecto de varios factores sobre el teido de una tela de algodn y

fibras sintticas utilizada para fabricar camisas para caballero. Se

seleccionaron tres operadores, tres duraciones del ciclo y dos temperaturas,

y se tieron tres ejemplares pequeos de la tela bajo cada conjunto de

condiciones. La tela terminada se compar con un patrn, y se le asign una

evaluacin numrica. Los datos se presentan enseguida. Analizar los datos y

sacar conclusiones.

Duracin del ciclo

Temperatura

350 350

Operador Operador

1 2 3 1 2 3

23 27 31 24 38 34

40 24 28 32 23 36 36

25 26 29 28 35 39

36 34 33 37 34 34

50 35 38 34 39 38 36

36 39 35 35 36 31

28 35 26 26 36 28

60 24 35 27 29 37 26

27 34 25 25 34 24

1) Modelo

2) Suposiciones

a) Todas las muestras provienen de poblaciones con distribucin

normal

b) Las ab muestras tienen igual variante

c) Las abc muestras son independientes

3) Hiptesis

a) Para la Temperatura

H0: 1= 2

H1: No todos los k son iguales

b) Para la Duracin del Ciclo

H0:1= 2= 3

H1: 1 2 3

c) Para los Operadores

H0: 1= 2=3

H1: No todos los j son iguales

d) Para la Interaccin Duracin de Ciclo-Operador

H0: ()11=()12=()13=()21=()22=()23

H1: No todos los ()ijson iguales

e) Para la Interaccin Duracin de Ciclo-Temperatura

H0: ()11=()12=()13=()21=()22=()23

H1: No todos los ()ikson iguales

Xijkl=+ i+ j+k+()ij+ ()ik+ ()jk+ ()ijk+Eijkl

i=1,2,3 j=1,2,3 k=1,2 l=1,2,3

f) Para la Interaccin Operador-Temperatura

H0:()11=()12=()13=()21=()22=()23

H1:No todos los ()jk son iguales

g) Para la Interaccin Duracin de Ciclo-Temperatura

H0: ()111=()121=()131=()211=()221=()231=()311=

()321=()331=()112=()122=()132=()212=()222=

()232=()312=()322=()332=

H1: No todos los ()ijk son iguales

4) Clculos

Duracin del ciclo

Temperatura

350 350

Operador Operador

1 2 3 1 2 3

23 27 31 81 24 38 34 96

40 24 28 32 84 23 36 36 95

25 26 29 80 28 35 39 102

72 81 92 245 75 109 109 293

36 34 33 103 37 34 34 105

50 35 38 34 107 39 38 36 113

36 39 35 110 35 36 31 102

107 111 102 320 111 108 101 320

28 35 26 89 26 36 28 90

60 24 35 27 86 29 37 26 92

27 34 25 86 25 34 24 83

79 104 78 261 80 107 78 265

SCT=55128 53770.67=1757.33

( ) ( ) ( )

53770.67=435.44

( ) ( ) ( )

53770.67=261.28

( ) ( )

53770.67=50.07

( )

356.23

( )

79.37

( )

11.26

( )

54823.67 54335.56 54

093.33 54206.11 54032 53820.74 53770.67=45.63

SCE=1757.33 435.44 261.33 50.07 356.23 79.37 11.26 45.63

=518

5) Anlisis de Varianza

NOTA: Si la F calculada es mayor que la F tabla entonces rechazamos

H0 y aceptamos H1 de donde obtenemos un nivel de significancia F0,05

la prueba del efecto principal del factor C es significativa al igual que la

interaccin de 2 factores AC,BC y la interaccin de 3 factores.

6) Conclusin

Concluimos de este anlisis que la variacin de la temperatura, la

interaccin de duracin de ciclo-temperatura, operador-temperatura y

la interaccin de duracin del ciclo-operador-temperatura afectan al

teido del algodn y a las fibras sintticas para fabricar camisas para

caballeros

Fuente de Variacin

Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio Razn de Varianza F

Tabla

Efectos principales

A 435,44 2 217,72 15,13 3,29

B 261,33 2 130,665 9,09 3,29

C 50,07 1 50,07 3,48 4,14

Interaccin de dos factores

AB 356,23 4 89,06 6,19 2,66

AC 79,37 2 39,685 2,76 3,29

BC 11,26 2 5,63 0,39 3,29

Interaccin de tres factores

ABC 45,63 4 11,41 0,79 2,66

Error 518,00 36 14,39

Total 1757,33 53

Ejemplo 2:

En un experimento para investigar las propiedades de resistencia a la compresin de

mezclas de Cemento y Tierra, se utilizaron dos perodos (Edad A) diferentes de curado en

combinacin con dos Temperaturas(B) diferentes de curado y dos tierras(C) diferentes.

Se hicieron dos rplicas para cada combinacin de niveles de los tres factores, resultando

los siguientes datos:

Edad (A) Temperatura (B)

1 2

Tierra (C) Tierra (C)

1 2 1 2

1 471 413

385 434

485 552

530 593

2 712 637

770 705

712 789

741 806

1) Modelo :

2) Suposiciones : a) Todas las muestras provienen de poblacin con distribucin normal.

b) Las ab muestras tiene igual variante.

c) Las abc muestras son independientes.

3) Hiptesis:

Variable Respuesta: Resistencia a la compresin de la mezcla de Cemento y Tierra.

Forma Verbal

a) H0: La edad o perodos no influye significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La edad o perodos influye significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.

b) Ho: La Temperatura no influye significativamente en las propiedades de resistencia a la

compresin de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La Temperatura influye significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.

c) H0: Los tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de resistencia

a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra. H1: Los tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.

d) H0: La edad y la temperatura no influyen significativamente en las propiedades de

resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La edad y la temperatura influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.

e) H0: La edad y los tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de

resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La edad y los tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.

f) H0: La temperatura y los tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La temperatura y los tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.

g) H0: La edad, Temperatura y tipos de tierra no influyen significativamente en las

propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La edad, Temperatura y tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.

Datos

a = b = c =2 , n=2 N = abcn = 2x2x2x2= 16 , i=1,2 j=1,2 k=1,2

Como puede observarse en la tabla los datos obtenidos tienen valores grandes. A

continuacin se presentan la tabla de los datos codificados (divididos por 100); para llevar

a cabo de una manera mas fcil y eficiente los clculos matemticos.


1 2


1 2 1 2

1 4.71

4.13

3.85

4.34

4.85

5.52

5.30

5.93

2 7.12

6.37

7.70

7.05

7.12

7.89

7.41

8.06

4) Calculos :

Totales por celdas

y111. = 4.71 + 4.13 = 8.84 y211. = 7.12 + 6.37 = 13.49

y112. = 3.85 + 4.34 = 8.19 y212. = 7.70 + 7.05 = 14.75

y121. = 4.85 + 5.52 = 10.37 y221. = 7.12 + 7.89 = 15.01

y122. = 5.30 + 5.93 = 11.23 y222. = 7.41 + 8.06 = 15.47

Totales del factor A (yi = ) Totales del factor B (y.j.. = )

y1... = 8.84 + 8.19 + 10.37 + 11.23 = 38.63 y.1.. = 22.33 + 22.94 = 45.27

y2... = 13.49 + 14.75 + 15.01 + 15.47 = 58.72 y.2.. = 25.38 + 26.70 = 52.08

Totales del factor C (y..k. = )

y..1. = 22.33 + 25.38 = 47.71 y..2. = 22.94 + 26.70 = 49.64

Totales de la interaccin AxB (yij.. = )

y11.. = 8.84 + 8.19 = 17.03 y12.. = 10.37 + 11.23 = 21.60

y21.. = 13.49 + 14.75 = 28.24 y22.. = 15.01 + 15.47 = 30.48

Totales de la interaccin AxC (yi.k. = )

y1.1.= 8.84 + 10.37 = 19.21 y2.1.= 13.49 + 15.01 = 28.50

y1.2.= 8.19 + 11.23 = 19.42 y2.2.= 14.75 + 15.47 = 30.22

Totales de la interaccin BxC (y.jk. = )

y.11. = 8.84 + 13.49 = 22.33 y.21. = 10.37 + 15.01 = 25.38

y.12. = 8.19 + 14.75 = 22.94 y.22. = 11.23 + 15.47 = 26.70

Total general

y.= = 4.71 + 4.13 + 3.85 + 4.34 + 4.85 ++ 7.89 + 7.41 + 8.06 = 97.35

y. = = 38.63 + 58.72 = 97.35

y. = = 45.27 + 52.08 = 97.35

y. = = 47.71 + 49.64 = 97.35

y. = = 22.33 + 22.94 + 25.38 + 26.70 = 97.35

Ahora el siguiente cuadro con los datos


yi 1 2


1 2 1 2

1 8.84 8.19 10.37 11.23 38.63

2 13.49 14.75 15.01 15.47 58.72

Totales BXC (y.jk.) 22.33 22.94 25.38 26.70 y. = 97.35

y.j.. 45.27 52.08

Totales AxB ( yij..)


1 2

1 17.03 21.60

2 28.24 30.48

Totales AxC (yi.k.)

Edad (A) Tierra (C)

1 2

1 19.21 19.42

2 28.50 30.22

Totales del factor C (y..k.)

Tierra (C)

1 2

47.71 49.64

Suma de Cuadrados :

= (4.71)2 + (4.73)2 + (3.85)2 +.+ (7.89)2 + (7.41)2 + (8.06)2

= 623.2289 - 592.3139063 = 30.91

Las sumas de cuadrados de los efectos principales se obtiene usando los totales de cada

uno de los factores de la siguiente manera:

=

= 617.5394125 - 592.3139063 = 25.2255062 25.23

=595.2124125 - 592.3139063=2.8985602 2.90

La suma de cuadrados del error se obtiene:

Restando a la suma total de cuadrados las sumas de cuadrados de los efectos principales, las sumas de las interacciones dobles y la suma de cuadrados de la interaccin triple.

SSE = SST - SSA - SSB - SSC - SSAB - SSAC - SSBC

= 30.91499-25.22550-2.89850-0.23280-0.33924-0.1425063-0.03150-0.33356

= 1.7113503

5) Analisis de Varianza :

Medias de Cuadrados :

Las Medias de Cuadrados se obtienen dividiendo las Sumas de Cuadrados por sus

grados de libertad respectivos, como se muestra a continuacin.

Los estadsticos para llevar a cabo la prueba de las hiptesis (F0) se obtienen dividiendo sus respectivas Medias de Cuadrados por la Media de Cuadrados del error, de la siguiente manera:

Para el factor Edad (A) Para el factor Temperatura (B)

Para el factor Tierra (C) Para la interaccin Edad-Temperatura

(AxB)

Para la interaccin Edad-Tierra (AxC) Para la interaccin Temperatura-Tierra

(BxC)

Para la interaccin Edad-Temperatura-Tierra (AxBxC)

Acontinuacin se presentara la tabla ANVA con los respectivos datos hallados

anteriormente.

Tabla ANVA:

Fuente de Variacin Sumas

de

Cuadrados

Grados

de Libertad

Medias

de

Cuadrados

F0

Edad (A) 25.23 1 25.23 117.95

Temperatura (B) 2.90 1 2.90 13.55

Tierra (C) 0.23 1 0.23 1.07

EdadxTemperatura (AxB) 0.34 1 0.34 1.59

EdadxTierra (AxC) 0.14 1 0.14 0.65

TemperturaxTierra(BxC) 0.03 1 0.03 0.14

EdadxTemperaturaxTierra (AxBxC) 0.33 1 0.33 1.54

Error 1.71 8 0.2139

Total 30.91 15

Tomando = 0.05, encontrando para cada hiptesis a probar sus respectivos FTablas,

se tiene: Ya que a = b = c = 2, entonces abc(n-1) = 2x2x2(2-1) = 8.

6) Conclusiones:

Respecto a la Hiptesis a (Factor A(Edad))

Se observa de la tabla de Anlisis de Varianza que el F0 > FTablas (117.95 > 5.32); por

lo tanto, se rechaza H0; es decir, la edad o perodos influye significativamente en las

propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.

Respecto a la Hiptesis b (Factor B (Temperatura))

Se observa de la tabla de Anlisis de Varianza que el F0 > FTablas (13.55 > 5.32); por lo

tanto, se rechaza H0; es decir, la Temperatura influye significativamente en las


Respecto a la Hiptesis c (Factor C (Tierra))

Se observa de la tabla de Anlisis de Varianza que el F0 < FTablas (1.07 < 5.32); por lo

tanto, se acepta H0; es decir, los tipos de tierra no influyen significativamente en las


Respecto a la Hiptesis d (Interaccin(Edad y Temperatura))


tanto, se acepta H0; es decir, la edad y la temperatura no influye significativamente en

las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.

Respecto a la Hiptesis e (Interaccin(Edad y Tierra))


tanto, se acepta H0; es decir, la edad y los tipos de tierra no influyen significativamente

en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.

Respecto a la Hiptesis f (Interaccin(Temperatura y Tierra))


tanto, se acepta H0; es decir, la temperatura y los tipos de tierra no influyen

significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de

Cemento y Tierra.

Respecto a la Hiptesis g (Interaccin(Edad,Temperatura y Tierra))


tanto, se acepta H0; es decir, la edad, Temperatura y tipos de tierra no influyen

significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de

Cemento y Tierra.

EJERCICIOS:

1. Los siguientes estudios datos se toman en un estudio que incluye tres

factores A, B y C, todos efectos fijos:

C1 C2 C3

B1 B2 B3 B1 B2 B3 B1 B2 B3

A1

15.0 14.8 15.9 16.8 14.2 13.2 15.8 15.5 19.2

18.5 13.6 14.8 15.4 12.9 11.6 14.3 13.7 13.5

22.1 12.2 13.6 14.3 13.0 10.1 13.0 12.6 11.1

A2

11.3 17.2 16.1 18.9 15.4 12.4 12.7 17.3 7.8

14.6 15.5 14.7 17.3 17.0 13.6 14.2 15.8 11.5

18.2 14.2 13.4 16.1 18.6 15.2 15.9 14.6 12.2

a) Realice pruebas de significancia sobre todas las interacciones al

nivel =0.05

b) Realice pruebas de significancia sobre los efectos principales en el

nivel =0.05

c) Proporcione una explicacin de cmo una interaccin significativa

encubre el efecto del factor C.

2. El mtodo de fluorescencia de rayos X es una herramienta analtica

importante para determinar la concentracin de material en los

propulsores slidos de misiles. En el artculo An X-

rayFluorescenceMethodforAnalyzingPolybutadieneAcrylicAcid(PBAA)

Propellants, QuarterlyReport, RK-TR-62-1

ArmyOrdinanceMissileCommand(1962), se postula que el proceso de

mezcla del propulsor y el tiempo del anlisis tienen una influencia en

la homogeniedad del material y por ello sobre la precisin de las

mediciones de la intensidad de rayos X. Se llev a cabo un

experimento con el uso de tres factores: A, condiciones de mezclado

(4 niveles); B, el tiempo del anlisis (2 niveles); y C, el mtodo de

carga del propulsor en los soportes de la muestra (caliente y

temperatura ambiente). Se registraron los siguientes datos, que

representan el anlisis en porcentaje de peso de perclorato de

amonio en un propulsor particular:

Mtodo de carga, C

Caliente Temperatura Ambiente

B1 B2 B1 B2

A1

38.62 38.45 39.82 39.82

37.20 38.64 39.15 40.26

38.02 38.75 39.78 39.72

A2

37.67 37.81 39.53 39.56

37.57 37.75 39.76 39.25

37.85 37.91 39.90 39.04

A3

37.51 37.21 39.34 39.74

37.74 37.42 39.60 39.49

37.58 37.79 39.62 39.45

A4

37.52 37.60 40.09 39.36

37.15 37.55 39.63 39.38

37.51 37.91 39.67 39.00

Realice un anlisis de varianza con =0.01 para probar la significancia de

los efectos principal y de interaccin.

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE

GROHMANN

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE

INGENIERIA EN INFORMATICA Y SISTEMAS

Diseo con 3 factores

INTEGRANTES :

Jorge Maquera Parihuana 2009-34080

Jhonatan Cabrera Jara 2010-35516

Alan Quispe Acho 2010-35524

Andre Valdivia Chipana 2010-35530

Herson Urbina 2010-35558

PROFESOR : Luis Solrzano

ASIGNATURA : Estadstica y Probabilidades

AO : 2 A

TACNA-PERU

2011

FACTOR A

FACTOR C

C1 Cc

FACTOR B FACTOR B

B1 B2 Bb TOTAL B1 B2 Bb TOTAL

A1

X1111 X1211 X1b11 1.11 X1121 X1221 X1b21 1.21

X1112 X1212 X1b12 1.12 X1122 X1222 X1b22 1.22

..

.. .. ..

..

.. .. ..

..

.. .. ..

..

.. .. ..

X111n X121n X1b1n 1.1n X112n X122n X1b2n 1.2n

TOTAL 111. 121. 1b1. 1.1. 112. 122. 1b2. 1.2.

Aa

X2111 X2211 X1b11 1.11 X1b22 X1b22 X1b22 1.21

X2112 X2212 X1b12 1.12 X1b22 X1b22 X1b22 1.22

..

.. .. ..

..

.. .. ..

..

.. .. ..

..

.. .. ..

X211n X121n X1b1n 1.1n X112n X122n X1b2n 1.2n

TOTAL a11. a21. ab1. i.k. a12. a22. ab2. i.k.

.11. .21. .b1. ..k. .12. .22. .b2. ..k.

FACTOR A

FACTOR B

TOTAL B1 B2 Bb

A1 11.. 12.. 1b.. 1...

A2 21.. 22.. 2b.. 2...

Aa a1.. a2.. ab.. 3...

TOTAL .1.. .2.. .3.. ....

FACTOR A

FACTOR C

TOTAL C1 C2 Cc

A1 1.1. 1.2. 1.c. 1...

A2 2.1. 2.2. 2.c. 2...

Aa a.1. a.2. a.c. 3...

TOTAL ..1. ..2. ..c. ....

FACTOR B

FACTOR C

TOTAL C1 C2 Cc

B1 .11. .12. .1c. .1..

B2 .21. .22. .2c. .2..

Bb .b1. .b2. .bc. .b..

TOTAL ..1. ..2. ..c. ....

-diseno-de-3-factores

Documents