diseno de 3 factores

DISEÑO CON TRES FACTORES

En esta ocasión se considera un experimento con tres factores A, B y C en

niveles a, b y c, respectivamente en un diseño experimental completamente

aleatorizado.

Supóngase de nuevo que se tienen “n” observaciones para cada una de las

abc combinaciones de tratamiento. Se procederá a esbozar las pruebas de

significancia para los tres efectos principales y las interacciones involucradas.

Se espera entonces se pueda utilizar la descripción dada aquí para

generalizar el análisis a k>3 factores.

El modelo para el experimento de tres factores está dado por:

Xijkl= μ + αi + βj + γk + (αβ)ij+ (αγ)ik + (βγ)jk + (αβγ)ijk + εijkl

i=1,2,……,a; j=1,2,…,b; k=1,2,…,c; y l=1,2,….,n;

Dónde:

αi, βj,γk son los factores principales;

(αβ)ij, (αγ)ik , ( βγ)jkson los efectos de la interacción de dos factores que

tienen la misma interpretación que en el experimento de dos factores.

El termino (αβγ)ijk recibe el nombre de efecto de interacción de tres

factores, un término que representa la no actividad de las (αβ)ij sobre

los diferentes niveles de factor C.

Igual que antes, la suma de todos los efectos principales es cero y la suma de

cualquier subíndice de los efectos de interacción de dos y tres factores es

cero. En muchas situaciones experimentales estas interacciones de orden

más alto son insignificantes y sus cuadrados medio reflejan únicamente

variación aleatoria, pero el análisis se hará en forma general.

De nuevo, con objeto de que se puedan realizar pruebas válidas de

significancia, se debe asumir que los errores son valores de variables

aleatorias independientes y con distribución normal, cada una con media

cero y varianza σ2.

La filosofía general del análisis es la misma que utilizada para los

experimentos de uno y dos factores. La suma de cuadrados se particiona en

ocho términos, cada uno representa una fuente de variación de las cuales se

obtienen estimaciones independientes de σ2 cuando todos efectos

principales y los efectos de interacción son cero. Si los efectos de cualquier

factor o interacción dados no todos son cero, entonces el cuadrado medio

estimara la variancia del error más una componente debida el efecto

sistemático en cuestión.

Ahora se procede directamente a la parte de cálculo para obtener las sumas

de cuadrados en el análisis de varianza de tres factores se requiere la

siguiente notación:

T….= promedio de todas las abcn observaciones.

Ti...= promedio de las observaciones para el nivel i-ésimo del factor A.

T.j..=promedio de las observaciones para el nivel j-ésimo del factor B.

T..k.= promedio de las observaciones para el nivel k-ésimo del factor C.

Tij..= promedio de las observaciones para el nivel i-ésimo de A y el nivel

j-ésimo de B

Ti.k.= promedio de las observaciones para el nivel i-ésimo de A y el nivel

k-ésimo nivel de C

T.jk.= promedio de las observaciones para el nivel j-ésimo de B y el nivel

k-ésimo de C.

Las sumas de los cuadrados se calculan:

∑∑∑∑

∑

∑

∑

( ) ∑ ∑

∑

∑

( ) ∑ ∑

∑

∑

( ) ∑ ∑

∑

∑

( ) ∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑

∑

Análisis de varianza para un experimento de tres factores de n réplicas

Fuente de Variación Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio Razón de Varianza

Efectos principales

A SCA a-1

F1=

B SCB b-1

F2=

C SCC c-1 F3=

Interacción de dos factores

AB SC(AB) (a-1)(b-1)

F4=

AC SC(AC) (a-1)(c-1) F5=

BC SC(BC) (b-1)(c-1) F6=

Interacción de tres factores

ABC SC(ABC) (a-1)(b-1)(c-1)

F7=

Error SCE abc(n-1)

Total SCT abcn-1

Y SCE, como es usual, se obtiene por sustracción.

Para el experimento de tres factores con una sola replica se puede utilizar el

análisis de la tabla haciendo n=1 y utilizando la suma de cuadrados de la

interacción ABC para SCE. En este caso se estará asumiendo que los efectos

de interación(αβγ)ijkson todos iguales a cero de tal forma que:

[ ( )

( )( )( )]

∑ ∑ ∑ ( )

( )( )( )

Esto es, SC(ABC) representa la variación debida únicamente al error experimental. Su cuadrado

medio por tanto proporciona una estimación insesgada de la varianza del error. Con n=1 y

SCE=SC(ABC), la suma de cuadrados del error se encuentra de las efectos principales y las

interacciones de dos factores de la suma total de cuadrados.

Ejemplo 1

El departamento de control de calidad de una planta de acabados textiles

estudia el efecto de varios factores sobre el teñido de una tela de algodón y

fibras sintéticas utilizada para fabricar camisas para caballero. Se

seleccionaron tres operadores, tres duraciones del ciclo y dos temperaturas,

y se tiñeron tres ejemplares pequeños de la tela bajo cada conjunto de

condiciones. La tela terminada se comparó con un patrón, y se le asignó una

evaluación numérica. Los datos se presentan enseguida. Analizar los datos y

sacar conclusiones.

Duración del ciclo

Temperatura

350 350

Operador Operador

1 2 3 1 2 3

23 27 31 24 38 34

40 24 28 32 23 36 36

25 26 29 28 35 39

36 34 33 37 34 34

50 35 38 34 39 38 36

36 39 35 35 36 31

28 35 26 26 36 28

60 24 35 27 29 37 26

27 34 25 25 34 24

1) Modelo

2) Suposiciones

a) Todas las muestras provienen de poblaciones con distribución

normal

b) Las ab muestras tienen igual variante

c) Las abc muestras son independientes

3) Hipótesis

a) Para la Temperatura

H0:γ 1= γ 2

H1: No todos los γ k son iguales

b) Para la Duración del Ciclo

H0:α1= α2= α3

H1: α1 ≠α2 ≠α3

c) Para los Operadores

H0: β1= β2=β3

H1: No todos los βj son iguales

d) Para la Interacción Duración de Ciclo-Operador

H0: (αβ)11=(αβ)12=(αβ)13=(αβ)21=(αβ)22=(αβ)23

H1: No todos los (αβ)ijson iguales

e) Para la Interacción Duración de Ciclo-Temperatura

H0: (αγ)11=(αγ)12=(αγ)13=(αγ)21=(αγ)22=(αγ)23

H1: No todos los (αγ)ikson iguales

Xijkl=µ+ αi+ βj+γk+(αβ)ij+ (αγ)ik+ (βγ)jk+ (αβγ)ijk+Eijkl

i=1,2,3 j=1,2,3 k=1,2 l=1,2,3

f) Para la Interacción Operador-Temperatura

H0:(βγ)11=(βγ)12=(βγ)13=(βγ)21=(βγ)22=(βγ)23

H1:No todos los (βγ)jk son iguales

g) Para la Interacción Duración de Ciclo-Temperatura

H0: (αβγ)111=(αβγ)121=(αβγ)131=(αβγ)211=(αβγ)221=(αβγ)231=(αβγ)311=

(αβγ)321=(αβγ)331=(αβγ)112=(αβγ)122=(αβγ)132=(αβγ)212=(αβγ)222=

(αβγ)232=(αβγ)312=(αβγ)322=(αβγ)332=

H1: No todos los (αβγ)ijk son iguales

4) Cálculos

Duración del ciclo

Temperatura

350 350

Operador Operador

1 2 3 1 2 3

23 27 31 81 24 38 34 96

40 24 28 32 84 23 36 36 95

25 26 29 80 28 35 39 102

72 81 92 245 75 109 109 293

36 34 33 103 37 34 34 105

50 35 38 34 107 39 38 36 113

36 39 35 110 35 36 31 102

107 111 102 320 111 108 101 320

28 35 26 89 26 36 28 90

60 24 35 27 86 29 37 26 92

27 34 25 86 25 34 24 83

79 104 78 261 80 107 78 265

SCT=55128 53770.67=1757.33

( ) ( ) ( )

53770.67=435.44

( ) ( ) ( )

53770.67=261.28

( ) ( )

53770.67=50.07

( )

356.23

( )

79.37

( )

11.26

( )

54823.67 54335.56 54

093.33 54206.11 54032 53820.74 53770.67=45.63

SCE=1757.33 435.44 261.33 50.07 356.23 79.37 11.26 45.63

=518

5) Análisis de Varianza

NOTA: Si la F calculada es mayor que la F tabla entonces rechazamos

H0 y aceptamos H1 de donde obtenemos un nivel de significancia F0,05

la prueba del efecto principal del factor C es significativa al igual que la

interacción de 2 factores AC,BC y la interacción de 3 factores.

6) Conclusión

Concluimos de este análisis que la variación de la temperatura, la

interacción de duración de ciclo-temperatura, operador-temperatura y

la interacción de duración del ciclo-operador-temperatura afectan al

teñido del algodón y a las fibras sintéticas para fabricar camisas para

caballeros

Fuente de Variación

Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio Razón de Varianza F

Tabla

Efectos principales

A 435,44 2 217,72 15,13 3,29

B 261,33 2 130,665 9,09 3,29

C 50,07 1 50,07 3,48 4,14

Interacción de dos factores

AB 356,23 4 89,06 6,19 2,66

AC 79,37 2 39,685 2,76 3,29

BC 11,26 2 5,63 0,39 3,29

Interacción de tres factores

ABC 45,63 4 11,41 0,79 2,66

Error 518,00 36 14,39

Total 1757,33 53

Ejemplo 2:

En un experimento para investigar las propiedades de resistencia a la compresión de

mezclas de Cemento y Tierra, se utilizaron dos períodos (Edad A) diferentes de curado en

combinación con dos Temperaturas(B) diferentes de curado y dos tierras(C) diferentes.

Se hicieron dos réplicas para cada combinación de niveles de los tres factores, resultando

los siguientes datos:

Edad (A) Temperatura (B)

1 2

Tierra (C) Tierra (C)

1 2 1 2

1 471 413

385 434

485 552

530 593

2 712 637

770 705

712 789

741 806

1) Modelo :

2) Suposiciones : a) Todas las muestras provienen de población con distribución normal.

b) Las ab muestras tiene igual variante.

c) Las abc muestras son independientes.

3) Hipótesis:

Variable Respuesta: Resistencia a la compresión de la mezcla de Cemento y Tierra.

Forma Verbal

a) H0: La edad o períodos no influye significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La edad o períodos influye significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.

b) Ho: La Temperatura no influye significativamente en las propiedades de resistencia a la

compresión de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La Temperatura influye significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.

c) H0: Los tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de resistencia

a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. H1: Los tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.

d) H0: La edad y la temperatura no influyen significativamente en las propiedades de

resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La edad y la temperatura influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.

e) H0: La edad y los tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de

resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La edad y los tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.

f) H0: La temperatura y los tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La temperatura y los tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.

g) H0: La edad, Temperatura y tipos de tierra no influyen significativamente en las

propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La edad, Temperatura y tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.

Datos

a = b = c =2 , n=2 N = abcn = 2x2x2x2= 16 , i=1,2 j=1,2 k=1,2

Como puede observarse en la tabla los datos obtenidos tienen valores grandes. A

continuación se presentan la tabla de los datos codificados (divididos por 100); para llevar

a cabo de una manera mas fácil y eficiente los cálculos matemáticos.


1 2


1 2 1 2

1 4.71

4.13

3.85

4.34

4.85

5.52

5.30

5.93

2 7.12

6.37

7.70

7.05

7.12

7.89

7.41

8.06

4) Calculos :

Totales por celdas

y111. = 4.71 + 4.13 = 8.84 y211. = 7.12 + 6.37 = 13.49

y112. = 3.85 + 4.34 = 8.19 y212. = 7.70 + 7.05 = 14.75

y121. = 4.85 + 5.52 = 10.37 y221. = 7.12 + 7.89 = 15.01

y122. = 5.30 + 5.93 = 11.23 y222. = 7.41 + 8.06 = 15.47

Totales del factor A (yi… = ) Totales del factor B (y.j.. = )

y1... = 8.84 + 8.19 + 10.37 + 11.23 = 38.63 y.1.. = 22.33 + 22.94 = 45.27

y2... = 13.49 + 14.75 + 15.01 + 15.47 = 58.72 y.2.. = 25.38 + 26.70 = 52.08

Totales del factor C (y..k. = )

y..1. = 22.33 + 25.38 = 47.71 y..2. = 22.94 + 26.70 = 49.64

Totales de la interacción AxB (yij.. = )

y11.. = 8.84 + 8.19 = 17.03 y12.. = 10.37 + 11.23 = 21.60

y21.. = 13.49 + 14.75 = 28.24 y22.. = 15.01 + 15.47 = 30.48

Totales de la interacción AxC (yi.k. = )

y1.1.= 8.84 + 10.37 = 19.21 y2.1.= 13.49 + 15.01 = 28.50

y1.2.= 8.19 + 11.23 = 19.42 y2.2.= 14.75 + 15.47 = 30.22

Totales de la interacción BxC (y.jk. = )

y.11. = 8.84 + 13.49 = 22.33 y.21. = 10.37 + 15.01 = 25.38

y.12. = 8.19 + 14.75 = 22.94 y.22. = 11.23 + 15.47 = 26.70

Total general

y….= = 4.71 + 4.13 + 3.85 + 4.34 + 4.85 +…+ 7.89 + 7.41 + 8.06 = 97.35

y…. = = 38.63 + 58.72 = 97.35 ó

y…. = = 45.27 + 52.08 = 97.35 ó

y…. = = 47.71 + 49.64 = 97.35 ó

y…. = = 22.33 + 22.94 + 25.38 + 26.70 = 97.35

Ahora el siguiente cuadro con los datos …


yi… 1 2


1 2 1 2

1 8.84 8.19 10.37 11.23 38.63

2 13.49 14.75 15.01 15.47 58.72

Totales BXC (y.jk.) 22.33 22.94 25.38 26.70 y…. = 97.35

y.j.. 45.27 52.08

Totales AxB ( yij..)


1 2

1 17.03 21.60

2 28.24 30.48

Totales AxC (yi.k.)

Edad (A) Tierra (C)

1 2

1 19.21 19.42

2 28.50 30.22

Totales del factor C (y..k.)

Tierra (C)

1 2

47.71 49.64

Suma de Cuadrados :

= (4.71)2 + (4.73)2 + (3.85)2 +….+ (7.89)2 + (7.41)2 + (8.06)2

= 623.2289 - 592.3139063 = 30.91

Las sumas de cuadrados de los efectos principales se obtiene usando los totales de cada

uno de los factores de la siguiente manera:

=

= 617.5394125 - 592.3139063 = 25.2255062 25.23

=595.2124125 - 592.3139063=2.8985602 2.90

La suma de cuadrados del error se obtiene:

Restando a la suma total de cuadrados las sumas de cuadrados de los efectos principales, las sumas de las interacciones dobles y la suma de cuadrados de la interacción triple.

SSE = SST - SSA - SSB - SSC - SSAB - SSAC - SSBC

= 30.91499-25.22550-2.89850-0.23280-0.33924-0.1425063-0.03150-0.33356

= 1.7113503

5) Analisis de Varianza :

Medias de Cuadrados :

Las Medias de Cuadrados se obtienen dividiendo las Sumas de Cuadrados por sus

grados de libertad respectivos, como se muestra a continuación.

Los estadísticos para llevar a cabo la prueba de las hipótesis (F0) se obtienen dividiendo sus respectivas Medias de Cuadrados por la Media de Cuadrados del error, de la siguiente manera:

Para el factor Edad (A) Para el factor Temperatura (B)

Para el factor Tierra (C) Para la interacción Edad-Temperatura

(AxB)

Para la interacción Edad-Tierra (AxC) Para la interacción Temperatura-Tierra

(BxC)

Para la interacción Edad-Temperatura-Tierra (AxBxC)

Acontinuaciòn se presentara la tabla ANVA con los respectivos datos hallados

anteriormente.

Tabla ANVA:

Fuente de Variación Sumas

de

Cuadrados

Grados

de Libertad

Medias

de

Cuadrados

F0

Edad (A) 25.23 1 25.23 117.95

Temperatura (B) 2.90 1 2.90 13.55

Tierra (C) 0.23 1 0.23 1.07

EdadxTemperatura (AxB) 0.34 1 0.34 1.59

EdadxTierra (AxC) 0.14 1 0.14 0.65

TemperturaxTierra(BxC) 0.03 1 0.03 0.14

EdadxTemperaturaxTierra (AxBxC) 0.33 1 0.33 1.54

Error 1.71 8 0.2139

Total 30.91 15

Tomando α = 0.05, encontrando para cada hipótesis a probar sus respectivos FTablas,

se tiene: Ya que a = b = c = 2, entonces abc(n-1) = 2x2x2(2-1) = 8.

6) Conclusiones:

Respecto a la Hipótesis a (Factor A(Edad))

Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 > FTablas (117.95 > 5.32); por

lo tanto, se rechaza H0; es decir, la edad o períodos influye significativamente en las

propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.

Respecto a la Hipótesis b (Factor B (Temperatura))

Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 > FTablas (13.55 > 5.32); por lo

tanto, se rechaza H0; es decir, la Temperatura influye significativamente en las


Respecto a la Hipótesis c (Factor C (Tierra))

Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 < FTablas (1.07 < 5.32); por lo

tanto, se acepta H0; es decir, los tipos de tierra no influyen significativamente en las


Respecto a la Hipótesis d (Interacción(Edad y Temperatura))


tanto, se acepta H0; es decir, la edad y la temperatura no influye significativamente en

las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.

Respecto a la Hipótesis e (Interacción(Edad y Tierra))


tanto, se acepta H0; es decir, la edad y los tipos de tierra no influyen significativamente

en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.

Respecto a la Hipótesis f (Interacción(Temperatura y Tierra))


tanto, se acepta H0; es decir, la temperatura y los tipos de tierra no influyen

significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de

Cemento y Tierra.

Respecto a la Hipótesis g (Interacción(Edad,Temperatura y Tierra))


tanto, se acepta H0; es decir, la edad, Temperatura y tipos de tierra no influyen

significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de

Cemento y Tierra.

EJERCICIOS:

1. Los siguientes estudios datos se toman en un estudio que incluye tres

factores A, B y C, todos efectos fijos:

C1 C2 C3

B1 B2 B3 B1 B2 B3 B1 B2 B3

A1

15.0 14.8 15.9 16.8 14.2 13.2 15.8 15.5 19.2

18.5 13.6 14.8 15.4 12.9 11.6 14.3 13.7 13.5

22.1 12.2 13.6 14.3 13.0 10.1 13.0 12.6 11.1

A2

11.3 17.2 16.1 18.9 15.4 12.4 12.7 17.3 7.8

14.6 15.5 14.7 17.3 17.0 13.6 14.2 15.8 11.5

18.2 14.2 13.4 16.1 18.6 15.2 15.9 14.6 12.2

a) Realice pruebas de significancia sobre todas las interacciones al

nivel α=0.05

b) Realice pruebas de significancia sobre los efectos principales en el

nivel α=0.05

c) Proporcione una explicación de cómo una interacción significativa

encubre el efecto del factor C.

2. El método de fluorescencia de rayos X es una herramienta analítica

importante para determinar la concentración de material en los

propulsores sólidos de misiles. En el artículo An X-

rayFluorescenceMethodforAnalyzingPolybutadieneAcrylicAcid(PBAA)

Propellants, QuarterlyReport, RK-TR-62-1

ArmyOrdinanceMissileCommand(1962), se postula que el proceso de

mezcla del propulsor y el tiempo del análisis tienen una influencia en

la homogeniedad del material y por ello sobre la precisión de las

mediciones de la intensidad de rayos X. Se llevó a cabo un

experimento con el uso de tres factores: A, condiciones de mezclado

(4 niveles); B, el tiempo del análisis (2 niveles); y C, el método de

carga del propulsor en los soportes de la muestra (caliente y

temperatura ambiente). Se registraron los siguientes datos, que

representan el análisis en porcentaje de peso de perclorato de

amonio en un propulsor particular:

Método de carga, C

Caliente Temperatura Ambiente

B1 B2 B1 B2

A1

38.62 38.45 39.82 39.82

37.20 38.64 39.15 40.26

38.02 38.75 39.78 39.72

A2

37.67 37.81 39.53 39.56

37.57 37.75 39.76 39.25

37.85 37.91 39.90 39.04

A3

37.51 37.21 39.34 39.74

37.74 37.42 39.60 39.49

37.58 37.79 39.62 39.45

A4

37.52 37.60 40.09 39.36

37.15 37.55 39.63 39.38

37.51 37.91 39.67 39.00

Realice un análisis de varianza con α=0.01 para probar la significancia de

los efectos principal y de interacción.

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE

GROHMANN

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE

INGENIERIA EN INFORMATICA Y SISTEMAS

Diseño con 3 factores

INTEGRANTES :

Jorge Maquera Parihuana 2009-34080

Jhonatan Cabrera Jara 2010-35516

Alan Quispe Acho 2010-35524

Andre Valdivia Chipana 2010-35530

Herson Urbina 2010-35558

PROFESOR : Luis Solórzano

ASIGNATURA : Estadística y Probabilidades

AÑO : 2º “A”

TACNA-PERU

2011

FACTOR A

FACTOR C

C1 Cc

FACTOR B FACTOR B

B1 B2 Bb TOTAL B1 B2 Bb TOTAL

A1

X1111 X1211 X1b11 Ƭ1.11 X1121 X1221 X1b21 Ƭ1.21

X1112 X1212 X1b12 Ƭ1.12 X1122 X1222 X1b22 Ƭ1.22

..

.. .. ..

..

.. .. ..

..

.. .. ..

..

.. .. ..

X111n X121n X1b1n Ƭ1.1n X112n X122n X1b2n Ƭ1.2n

TOTAL Ƭ111. Ƭ121. Ƭ1b1. Ƭ1.1. Ƭ112. Ƭ122. Ƭ1b2. Ƭ1.2.

Aa

X2111 X2211 X1b11 Ƭ1.11 X1b22 X1b22 X1b22 Ƭ1.21

X2112 X2212 X1b12 Ƭ1.12 X1b22 X1b22 X1b22 Ƭ1.22

..

.. .. ..

..

.. .. ..

..

.. .. ..

..

.. .. ..

X211n X121n X1b1n Ƭ1.1n X112n X122n X1b2n Ƭ1.2n

TOTAL Ƭa11. Ƭa21. Ƭab1. Ƭi.k. Ƭa12. Ƭa22. Ƭab2. Ƭi.k.

Ƭ.11. Ƭ.21. Ƭ.b1. Ƭ..k. Ƭ.12. Ƭ.22. Ƭ.b2. Ƭ..k.

FACTOR A

FACTOR B

TOTAL B1 B2 Bb

A1 Ƭ11.. Ƭ12.. Ƭ1b.. Ƭ1...

A2 Ƭ21.. Ƭ22.. Ƭ2b.. Ƭ2...

…… …… …… …… ……

Aa Ƭa1.. Ƭa2.. Ƭab.. Ƭ3...

TOTAL Ƭ.1.. Ƭ.2.. Ƭ.3.. Ƭ....

FACTOR A

FACTOR C

TOTAL C1 C2 Cc

A1 Ƭ1.1. Ƭ1.2. Ƭ1.c. Ƭ1...

A2 Ƭ2.1. Ƭ2.2. Ƭ2.c. Ƭ2...

…… …… …… …… ……

Aa Ƭa.1. Ƭa.2. Ƭa.c. Ƭ3...

TOTAL Ƭ..1. Ƭ..2. Ƭ..c. Ƭ....

FACTOR B

FACTOR C

TOTAL C1 C2 Cc

B1 Ƭ.11. Ƭ.12. Ƭ.1c. Ƭ.1..

B2 Ƭ.21. Ƭ.22. Ƭ.2c. Ƭ.2..

…… …… …… …… ……

Bb Ƭ.b1. Ƭ.b2. Ƭ.bc. Ƭ.b..

TOTAL Ƭ..1. Ƭ..2. Ƭ..c. Ƭ....

diseno de 3 factores

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