· author: juan antonio created date: 10/21/2019 6:40:41 pm

EvAU Septiembre 2019 Matemáticas II en Aragón I.E.S. Vicente Medina (Archena)

1 de 14

EVALUACIÓN DE BACHILLERATO PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD CONVOCATORIA DE SEPTIEMBRE DE 2019

EJERCICIO DE: MATEMÁTICAS II TIEMPO DISPONIBLE: 1 hora 30 minutos

PUNTUACIÓN QUE SE OTORGARÁ A ESTE EJERCICIO: (véanse las distintas partes del examen)

Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.

OPCIÓN A

1.

a) (1,5 punto) Considere el siguiente sistema de ecuaciones, donde 𝑘 es un parámetro real:

2 1

0

2 2 1

x y kz

x y kz

x ky kz

Determine los valores del parámetro real 𝑘, para los que este sistema es compatible

determinado, compatible indeterminado o incompatible.

b) (1,5 punto) Resuelva el sistema cuando 𝑘=1.

2.

a) (0,75 puntos) Determine el volumen del paralelepípedo determinado por los siguientes

vectores: 1,1,1 , 2,1,0 u v y w , siendo w u v , y donde el símbolo × representa el

producto vectorial.

b) (0,75 puntos) Determine la ecuación del plano que pasa por el punto 𝑃:(1,3,2) y es

perpendicular a la recta.

3 2 1:

2 3 3

x yr

y z

3.

a) (1 punto) Determine el límite:

20

2 1lim

ln 1x xx

b) (1 punto) Determine el valor de la constante 𝑘 para que la función: 4 1

, 1( ) 1

, 1

xsi x

f x x

k x si x

sea continua en 𝑥 = 1.

c) (2 puntos) La curva 2 1y x divide al rectángulo limitado por los vértices 𝐴∶(0,1), 𝐵∶(2,1),

𝐶∶(0,5) y 𝐷∶(2,5) en dos partes. Determine el área de cada una de esas dos partes.

4. Una encuesta realizada sobre el mes preferido, entre julio, agosto o septiembre, para salir de

vacaciones arrojó los siguientes datos: un 40% prefiere julio, un 30% agosto y el resto prefiere el

mes de septiembre. Entre los que prefieren el mes de julio, un 60% pasa sus vacaciones en un

hotel; entre los que prefieren el mes de agosto un 40% elige hotel para sus vacaciones y entre los

encuestados que prefieren septiembre, un 65% eligen hotel.

a) (0,5 puntos) Se elige un individuo al azar, calcule la probabilidad de que vaya a un hotel y le

guste ir en agosto.

b) (0,5 puntos) Se elige un individuo al azar, calcule la probabilidad de que pase sus vacaciones en

un hotel.

c) (0,5 puntos) Se elige al azar un individuo y dice que no pasa sus vacaciones en un hotel, calcule

la probabilidad de que prefiera irse en agosto de vacaciones.


2 de 14

OPCIÓN B

1. a) (1,5 puntos) Estudie el rango de la matriz que aparece a continuación según los diferentes valores del

parámetro real 𝑚.

1 1 0

3 1

0 2

A m

m

b) (1,5 puntos) Determine la inversa de la matriz 𝐴 anterior cuando 𝑚 = −1. 2. (1,5 puntos) Determine la ecuación del plano que contiene a la recta:

3 1:

4 3 5

x yr

y z

y pasa por el punto 𝐴:(1,3,−1).

3. a) (1 punto) Considere la función:

3 2

2

2 3( )

2

x kx xf x

x

Determine el valor de 𝑘 para que la función (𝑥) tenga como asíntota oblicua, cuando x , la

recta 2 1y x .

b) (1,5 puntos) Determine

2

lnx x dx

c) (1,5 puntos) Determine, si existen, los máximos, mínimos relativos y puntos de inflexión de la función:

1( ) ln( )f x x

x

4. Un juego de ruleta tiene 25 casillas numeradas del 1 al 25. Un jugador gana si sale 2 o múltiplo de 2. a) (0,75 puntos) Si juega 100 veces, calcule la probabilidad de que gane exactamente 10 veces. (En este

apartado, NO es necesario finalizar los cálculos, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando los números que la definen).

b) (0,75 puntos) Si juega 200 veces, calcule la probabilidad de que gane entre 90 y 110 veces, ambos valores incluidos.


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SOLUCIONES OPCIÓN A

1.

a) (1,5 punto) Considere el siguiente sistema de ecuaciones, donde 𝑘 es un parámetro real:

2 · 1

· 0

2 · 2 · 1

x y k z

x y k z

x k y k z

Determine los valores del parámetro real 𝑘, para los que este sistema es compatible determinado,

compatible indeterminado o incompatible.

b) (1,5 punto) Resuelva el sistema cuando 𝑘=1.

a) La matriz de coeficientes asociada al sistema es

2 1

1 1

2 2

k

A k

k k

y su determinante vale

2 2 2

2 1

1 1 4 2 2 2 2 2

2 2

k

A k k k k k k k k k

k k

Si igualamos a cero el determinante

2

0

0 2 0 2 0 0

2

k

A k k k k

k

Distinguimos tres casos distintos.

CASO 1. 0 2k y k

En este caso el determinante de A es no nulo y el rango de A será 3, al igual que el rango de

la matriz ampliada A/B e igual que el número de incógnitas. El sistema es compatible

determinado. El sistema tiene una única solución.

CASO 2. 0k

El sistema queda

2 1 2 1 1 1 2

0 0 Esto es imposible1 10

2 1 1 2 2

2

x y x y y y

x y x yy y

xx

El sistema es incompatible. No tiene solución.

CASO 3. 2k

El sistema queda

Ecuación 1ª +2 · Ecuación 2ª Ecuación 3ª - Ecuación 1ª2 2 1

2 2 1 2 2 4 12 0

2 2 4 0 2 2 12 2 4 1

2 1 2 2

x y zx y z x y z

x y zx y z x y z

x y zy z y z


4 de 14

Ecuación 3ª + Ecuación 2ª2 2 1 2 2 1

2 22 1 2 1

2 12 2 0 1

0 1

x y z x y zy z

y z y zy z

y z

Como este sistema tiene una ecuación imposible de cumplir también es incompatible.

b)

Para k = 1 el sistema es compatible determinado y queda:

Ecuación 1ª + 2 · Ecuación 2ª Ecuación 3ª - Ecuación 1ª2 1

2 1 2 2 10

2 2 2 0 2 12 2 1

1 2

2 12 2 1

12 1

2

x y zx y z x y z

x y zx y z x y z

x y zy z z

x y zx y

y zy

z

2 32 1 3 2 2 1

1

x yx x x

y

La solución es 1, 1, 2x y z

2.

a) (0,75 puntos) Determine el volumen del paralelepípedo determinado por los siguientes vectores:

1,1,1 , 2,1,0 u v y w , siendo w u v , y donde el símbolo × representa el producto

vectorial.

b) (0,75 puntos) Determine la ecuación del plano que pasa por el punto 𝑃:(1,3,2) y es perpendicular

a la recta.

3 2 1:

2 3 3

x yr

y z

a) Calculemos el vector w u v .

1 1 1 2 2 2 1,2, 1

2 1 0

i j k

w u v j k k i i j k

El volumen de un paralelepípedo determinado por tres vectores es el valor de su producto

mixto, que coincide con el valor absoluto del determinante de la matriz formada por las

coordenadas de estos vectores.

3

1 1 1

· 2 1 0Volumen = 1 4 1 2 6

1 2 1

w u v u

b) Pasemos la ecuación de la recta a forma continua despejando de las dos ecuaciones de los

planos que definen la recta r.

1 3 3 1

3 2 1 2 1 3 2 2:

2 3 3 2 3 3 3 3 3 3

2 2

x xy

x y y xr

y z y z z zy


5 de 14

3 1 3 3 1/ 3 1:

2 2 2 / 3 2 / 3

x z x zy r y

El vector director de la recta nos sirve como vector normal del plano.

2 2,1,

3 3rn v

y la ecuación del plano es:

2 20

3 3x y z D .

El plano pasa por 𝑃:(1, 3, 2) luego se cumple:

2 4 73 0 2 9 4 3 0 7 3 0

3 3 3D D D D

La ecuación del plano es 2 2 7

03 3 3

x y z . Simplificando queda : 2 3 2 7 0x y z

También podíamos haber hallado el vector director de la recta haciendo el producto

vectorial de los vectores normales de los planos que la definen.

3 2 0 6 6 9 6 9 6 6, 9,6

0 2 3

r

i j k

v i k j i j k

Este vector es –6 veces el vector de la recta obtenido por el otro método, pero nos llevaría al

mismo resultado. De hecho podíamos haber multiplicado el primer vector por 3 para quitar

denominadores o bien dividir este segundo por 3 para tener coordenadas más pequeñas.

3.

a) (1 punto) Determine el límite:

20

2 1lim

ln 1x xx

b) (1 punto) Determine el valor de la constante 𝑘 para que la función: 4 1

, 1( ) 1

, 1

xsi x

f x x

k x si x

sea continua en 𝑥 = 1.

c) (2 puntos) La curva 2 1y x divide al rectángulo limitado por los vértices 𝐴∶(0,1), 𝐵∶(2,1),

𝐶∶(0,5) y 𝐷∶(2,5) en dos partes. Determine el área de cada una de esas dos partes.

a) Antes de calcular el límite voy a simplificar la expresión aplicando propiedades de los

logaritmos.

2

2 1 2

ln 1 xx

2 1 1 1

ln 1ln 1 x x xx

0

1 1 1 1 1 1lim Indeterminación =

ln 1 ln 1 0 0 0 0x x x

0

ln 1 0 ln1 0= lim =Indeterminación (L´Hôpital) =

·ln 1 0·ln1 0x

x x

x x


6 de 14

0 0

1 111

11= lim lim1

ln 1 ·1

x x

x

xx

x xx

1 ln 1

1

x x x

x

0

0

0lim

1 ln 1 0

1 1 1Indeterminación (L´Hôpital) = lim

1 0 1 1 2ln 1 1 1

1

x

x

x

x x x

x xx

b) La función es continua en x = 1 cuando se cumple:

Existe (1) 1f k

Existe 1

lim ( )x

f x

. Lo calculamos…

4

1 1

4 3 2

1

Factorizamos el polinomio del numerador

1 0 0 0 11 0

lim ( ) lim 1 1 1 1 11 0

1 1 1 1 0

1 1 1

1lim

x x

x

xf x

x

x x x x x

x

3 2 1

1

x x x

x

3 2

1lim 1 4x

x x x

Los dos valores son iguales 1 4 5k k

c) Dibujemos el rectángulo y la gráfica de la función.

El rectángulo tiene de área 2 · 4 = 8 u2.


7 de 14

Calculemos el área de la zona 2 haciendo uso de la integral. Es la integral definida de la parábola

menos la recta y = 1, entre 0 y 2.

22 2 3 3 3

2 2 2

0 0 0

2 0 82 1 1 2,66

3 3 3 3

xÁrea zona x dx x dx u

El área de la zona 1 será la diferencia entre el área del rectángulo y el área de la zona 2.

28 161 8 5,33

3 3Área zona u

El área de la zona 1 también se puede calcular como la integral definida de la recta y = 5 menos la

parábola entre 0 y 2.

22 2 3 3 3

2 2 2

0 0 0

2 0 8 161 5 1 4 4 8 0 8 5,33

3 3 3 3 3

xÁrea zona x dx x dx x u

4. Una encuesta realizada sobre el mes preferido, entre julio, agosto o septiembre, para salir de

vacaciones arrojó los siguientes datos: un 40% prefiere julio, un 30% agosto y el resto prefiere el

mes de septiembre. Entre los que prefieren el mes de julio, un 60% pasa sus vacaciones en un hotel;

entre los que prefieren el mes de agosto un 40% elige hotel para sus vacaciones y entre los

encuestados que prefieren septiembre, un 65% eligen hotel.

a) (0,5 puntos) Se elige un individuo al azar, calcule la probabilidad de que vaya a un hotel y le

guste ir en agosto.

b) (0,5 puntos) Se elige un individuo al azar, calcule la probabilidad de que pase sus vacaciones en

un hotel.

c) (0,5 puntos) Se elige al azar un individuo y dice que no pasa sus vacaciones en un hotel, calcule

la probabilidad de que prefiera irse en agosto de vacaciones.

Realizamos un diagrama de árbol.

¿Mes preferido para salir de vacaciones?

Julio

0,40

Hotel

0.60

No Hotel

0,40

Agosto

0,30

Hotel

0.40

No Hotel

0.60

Septiembre

0,30

Hotel

0.65

No Hotel

0.35


8 de 14

a)

Vaya a hotel y le guste ir en agosto

Le guste ir en agosto · Vaya a hotel / e gusta ir en agosto 0,3·0,4 0,12

P

P P L

b)

Vaya a hotel

Le guste ir en Julio y vaya a hotel Le guste ir en agosto y vaya a hotel

Le guste ir en septiembre y vaya a hotel 0,4 ·0,6 0,3·0,4 0,3·0,65 0,555

P

P P

P

c)

Prefiere ir en agosto y No elige hotelPrefiera ir en agosto / No elige hotel

No elige hotel

Prefiere ir en agosto · No elige hotel / Prefiere ir en agosto

1 Elige hotel

0,3·0,6 0,18

1 0,555 0,445

PP

P

P P

P

0,404


9 de 14

OPCIÓN B

1.

a) (1,5 puntos) Estudie el rango de la matriz que aparece a continuación según los diferentes valores

del parámetro real 𝑚.

1 1 0

3 1

0 2

A m

m

b) (1,5 puntos) Determine la inversa de la matriz 𝐴 anterior cuando 𝑚 = −1.

a) Calculamos su determinante.

2

1 1 0

3 1 3 2

0 2

A m m m

m

Lo igualamos a cero.

2

3 12

3 9 8 3 1 20 3 2 0

3 12 21

2

A m m m

Existen tres casos distintos.

CASO 1. 1 2m y m

En este caso el determinante de A es no nulo y el rango de A es 3 (el máximo posible)

CASO 2. 1m

La matriz queda

1 1 0

3 1 1

0 2 1

A

Su determinante vale 0, por lo que su rango es menor de 3.

¿Rango de A es 2?

El menor de orden 2 que se obtiene quitando la fila y columna 3ª es no nulo.

1 11 3 2 0

3 1

El rango de A es 2

CASO 3. 2m

La matriz queda

1 1 0

3 2 1

0 2 2

A

Su determinante vale 0, por lo que su rango es menor de 3.

¿Rango de A es 2?


10 de 14

El menor de orden 2 que se obtiene quitando la fila y columna 3ª es no nulo.

1 12 3 1 0

3 2

Si 1 2m y m el rango de A es 3, si 1 2m o m el rango de A es 2.

b) Para m = –1 la matriz tiene determinante no nulo y tiene inversa. La matriz queda

1 1 0

3 1 1

0 2 1

A

con

1 1 0

3 1 1 1 3 2 6 0

0 2 1

A

1

1

1 2 1 2 1 11 3 0

1 1 0 1 0 11 1 23 1 1

3 0 1 0 1 30 1 1 1 13 1 1

1 1 0 1 0 16 6 66 2 4

3 0 1 0 1 3

1 2 1 2 1 1

1/ 2 1/ 6 1/ 6

1/ 2 1/ 6 1/ 6

1 1/ 3 2 / 3

t

Adj

Adj AA

A

A

2. (1,5 puntos) Determine la ecuación del plano que contiene a la recta:

3 1:

4 3 5

x yr

y z

y pasa por el punto 𝐴:(1,3,−1).

El punto no pertenece a la recta

3 1: 3 3 1

4 3 5 No se cumple ninguna de las igualdades12

A : 1,33 5

, 1 .

x yr

y z

Hallemos un vector director de la recta y un punto de la misma.

3 1: 1

4 3 5 4 3 5 3 9 34 3 5

0

x yr y

y z z z zy z

x

Un punto de la recta es 0, 1,3rP


11 de 14

Hallemos un segundo punto de la recta.

3 1: 4

4 3 5 16 3 5 3 21 74 3 5

1

x yr y

y z z z zy z

x

Un segundo punto de la recta es 1, 4,7rQ

El vector director de la recta es 1, 4,7 0, 1,3 1, 3,4r r rv PQ

Necesitamos dos vectores directores y un punto para definir el plano.

El plano que contiene a la recta tiene como primer vector director el de la recta

1, 3,4ru v , y como segundo vector director el vector que une el punto A:(1,3,−1) con el

punto 0, 1,3rP de la recta.

0, 1,3 1,3, 1 1, 4,4rv AP

Podemos poner las ecuaciones paramétricas del plano:

Pasa por el punto 1,3, 1 1

1, 3,4 3 3 4

1 4 41, 4,4

A x

u y

zv

O bien podemos hallar la ecuación general:

Pasa por el punto 1,3, 1 1 3 1

1, 3, 4 : 1 3 4 0

1 4 41, 4, 4

12 12 4 12 4 4 3 3 4 12 16 16 0

: 4 8 7 13 0

A x y z

u

v

x y z z y x

x y z

La ecuación del plano es : 4 8 7 13 0x y z

3.

a) (1 punto) Considere la función: 3 2

2

2 3( )

2

x kx xf x

x

Determine el valor de 𝑘 para que la función (𝑥) tenga como asíntota oblicua, cuando x , la

recta 2 1y x .

b) (1,5 puntos) Determine

2

lnx x dx

c) (1,5 puntos) Determine, si existen, los máximos, mínimos relativos y puntos de inflexión de la

función:

1( ) ln( )f x x

x


12 de 14

a) La asíntota oblicua tiene la expresión y mx n donde ( )

limx

f xm

x y lim ( )

xn f x mx

3 2

3 2 32

3

2 3

( ) 2 3 22lim lim lim lim2x x x x

x kx x

f x x kx x xxmx x x x

3x

2

3 2 3

2

2 3 2lim ( ) lim 2 lim

2x x x

x kx x xn f x mx x

x

2 33 2kx x x 2

2 2

2

4

2

3 3lim lim

2x x

x

x

kx x k x

x

2xk

La asíntota oblicua es 2y x k . Como debe ser 2 1y x , entonces 1k .

b)

2 22 2 2

2

22

Integramos por partes

1 1ln ln 2ln · ln 2ln ·

2 2

2

ln ln ...2

x xx x dx u x du x dx x x dx

x x

xdv xdx v xdx

xx x xdx Continua

Calculamos la integral primero y luego sustituimos.

2 2

2

2 2 2 2 2

Integramos por partes

1 1ln ln ln

2 2

2

1 1ln ln · ln

2 2 2 2 2 2 4

x xx xdx u x du dx x dx

x x

xdv xdx v xdx

x x x x xx xdx x x

Sustituimos en la expresión inicial y queda

2 2 2 2 2 2

2 2

... ln ln ln ln2 2 4 2 2 4

x x x x x xContinua x x x x K

c) Calculemos su derivada

2 2 2 2

1 1 1 1 1( ) ln( ) (́ )

x xf x x f x

x x x x x x

Si igualamos a cero.

2

1(́ ) 0 0 1 0 1

xf x x x

x

Calculamos la segunda derivada y comprobamos que tipo de punto crítico es.


13 de 14

2 2 2 2

2 4 4 4

1 21 2 2 2(́ ) ´́ ( )

x x x xx x x x x xf x f x

x x x x

4

2x

x

33

2x

x

Sustituimos x = 1

3

1 2 1´́ (1) 1 0

1 1f

x = 1 es un mínimo

Buscamos los puntos de inflexión igualando a cero la derivada segunda.

3

2´́ ( ) 0 0 2 0 2

xf x x x

x

Calculamos la derivada tercera

3 2 23 3 2 3 2

3 6 6 6

2 32 3 6 2 6´́ ( ) ´́ (́ )

x x x xx x x x x xf x f x

x x x x

2

2 6x

x

4

4

·

2 6´́ (́ )

x

xf x

x

Sustituimos x = 2 en la derivada tercera y comprobamos que no se anula.

4

4 6 2´́ (́2) 0

2 16f

x = 2 es un punto de inflexión

4. Un juego de ruleta tiene 25 casillas numeradas del 1 al 25. Un jugador gana si sale 2 o múltiplo

de 2.

a) (0,75 puntos) Si juega 100 veces, calcule la probabilidad de que gane exactamente 10 veces. (En

este apartado, NO es necesario finalizar los cálculos, puede dejarse indicada la probabilidad,

precisando los números que la definen).

b) (0,75 puntos) Si juega 200 veces, calcule la probabilidad de que gane entre 90 y 110 veces,

ambos valores incluidos.

Del 1 al 25 hay 12 números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24.

La probabilidad de que un jugador gane es 12

0,4825

p .

a) Se trata de una distribución binomial, donde p = 0,48 y n = 100.

X = Número de veces que gana en 100 jugadas. X = B(100, 0,48).

Como el número de repeticiones es muy grande, lo podemos aproximar a una normal.

Como n es 100 y · 100·0,48 48 5n p y · 100·0,52 52 5n q esta aproximación es

suficientemente fiable.

X se aproxima a una normal , 48, 100·0,48·0,52 48,5N np npq N N

9,5 48 48 10,5 4810 9,5 10,5

5 5 5

7,7 7,5 7,5 7,7 7,7 7,5 0

XP X P X Tipificamos P

P Z P Z P Z P Z

OTRA FORMA DE HACERLO

Si hacemos el cálculo sin aproximaciones.



14 de 14

10 90 10 90 16100 100!

10 0,48 ·0,52 ·0,48 ·0,52 3.09·1010 90!·10!

10 0,000000000000000309

P X

P X

Prácticamente es cero.

Es razonable ya que la media de aciertos es 48 de cada 100 tiradas y 10 es un valor muy bajo

comparado con la media.

b) Se trata de una distribución binomial, donde p = 0,48 y n = 200.


Como el número de repeticiones es muy grande, lo podemos aproximar a una normal.

n es 200, · 200·0,48 96 5n p y · 200·0,52 104 5n q esta aproximación es

suficientemente fiable.

X se aproxima a una normal , 96, 200·0,48·0,52 96, 7,06N np npq N N

90 96 96 110 9690 110

7,06 7,06 7,06

0,85 1,98 1,98 0,85 1,98 0,85

1,98 1 0,85 0,9761 1 0,8023 0,9761 0,1977 0,7784

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· author: juan antonio created date: 10/21/2019 6:40:41 pm

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