( 4,− 2)− 2⋅(− 2,1 )− 4⋅( 5, −5)= ( 4, · 8) se consideran los puntos a(1,2), b(5,0),...
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GEOMETRÍA 1º BACHILLERATO
1) Determina en cada caso las coordenadas pedidas: a) A(3,1) y AB =(5,4), halla B B(x,y) x- 3=5 x=8 y- 1=4 y=5 b) B(1,4) y AB =(-1,-4), halla A A(x,y) 1- x=-1 x=2 4- y=-4 y=8 c) B(4,-6) y BA=(1,1), halla A A(x,y) x- 4=1 x=5 y+ 6=1 y=-5
2) Sean los vectores libres )2,4( −=u
�, )1,2(−=v�
, )1,1(=w�
, haz la representación gráfica que estimes apropiada y calcula y representa el vector wvua
����42 −−=
( ) ( ) ( ) ( )8,45,541,222,442 −=−⋅−−⋅−−=−−= wvua
����
3) Sean los puntos A(3,2), B(-2, 2
7), C(4,-
3
5) calcula en cada caso las coordenadas del punto D
para que: a) ABCD sea paralelogramo.
D (a, b) DCAB = (-5, 3/2)=(4-a, -5/3-b) a=9; b=-19/6
b) ABDC sea paralelogramo
D (a, b) CDAB = (-5, 3/2)=(a-4, b+5/3) a=-1; b=-1/6
c) ACBD sea paralelogramo
D (a, b) DBAC = (1, -11/3)=(-2-a, 7/2-b) a=-3; b=43/6
4) Halla el extremo y el origen de tres vectores equipolentes al vector ( )5,2−=u
�
Origen Extremo Vector (0, 0) (-2, 5) (-2, 5) (1, 0) (-1, 5) (-2, 5) (0, 1) (-2, 6) (-2, 5)
B(8, 5)
A(2, 8)
A(5, -5)
B
C
A
D
D (9, -19/6)
D (-1, -1/6) B
D
A
C
D (-3, 43/6)
C
B
A
D
5) Halla la medida del ángulo determinado por las siguientes parejas de vectores: a) (4,3) y (-1,5)
( ) ( )( ) ( )
´´13,24´26º64º90
265
11
265
154
251916
5,13,4cos5,13,4
=→<
=+−
=+⋅+
−⋅=−==
αα
αvu��
b) (0,5) y (0,-4)
( ) ( )( ) ( )
º180
º180145
20
160250
4,05,0cos4,05,0
=
=→−=⋅
−=
+⋅+
−⋅=−==
α
αα
tegráficamendeduceseTambién
vu��
c)
5
4,
5
3 y ( )0,2−
( )( )
´´11´52º126´´48´7º53º180º180º180º90
´´48´7º535
3cos
5
3
21
5
23
0225
16
25
9
0,25
4,
5
3
cos0,25
4,
5
3
=−=−=→→<<
=→=
−=⋅
−=
+⋅+
−⋅
=−=
=
βααα
βββ
α
cuadrantesegundodeles
cumplequeánguloelacalculadorlaconCalculamos
vu��
d) (3,2) y (0,-3)
( ) ( ) ( ) ( )
´´76,37´18º236´´76,35´18º56º180º180º270º180
´´76,35´18º5613
2cos
13
2
133
6
9049
3,02,3cos3,02,3
=+=+=→→<<
=→=
−=⋅
−=
+⋅+
−⋅=−==
βααα
βββ
α
cuadrantetercerdeles
cumplequeánguloelCalculamos
vu��
e) ( )1,2 y ( )2,3 −
( ) ( )( ) ( )
´´44´37º275´´15´22º84º360º360
º3600º270
´´15´22º84098,0cos
098,021
26
4312
2,31,2cos
2,31,2
=−=−=
→→<<
=→=
=−
=+⋅+
−⋅=
−==
βα
αα
βββ
α
cuadrantecuartodeles
cumplequeánguloelCalculamos
vu��
6) Se dan los puntos A(1,2), B(0,3), C(5,x). Determinar x para que AB y AC sean
perpendiculares y determinar x para que 2
1ˆcos =CAB
a) ACAB ⊥ ( ) ( ) ( ) ( ) 602402,41,12,41,1 =→=−+−→=−⋅−→−⊥− xxxx b)
( )( ) ( )
( ) ( )
( )válidaSoluciónx
válidaNox
xx
xxxx
xxxx
xxx
xCAB
92,16
2
1
07,1162
07,3607,3
0104402
88232144484
4416236124
2162622
1
2162
24
2
1ˆcos
2
21
2
22
22
2
2
=
≠−+⋅
+−=
→=+−
+−+=+−
+−+⋅=+−⋅
−+⋅=−⋅→=−+⋅
−+−→=
7) Dados los vectores ( )0,1−=u
� y ( )2,mv =�
calcula m para que u� y v� determinen un ángulo de
45º
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) válidaSolucióndeángulounanervyuvectoreslosm
válidanoSolución
quemayorángulounformanvyuvectoreslosm
mmmmm
m
m
m
→−=−=−=•
→=−
=−==•
±=→=→+=→+
=→+⋅
⋅−==
º45mindet2,20,12
)º135º45º180(
º902,20,12
244244
2
41
2,0,1
2
2º45cos 222
2
2
2
��
��
8) Se consideran los puntos A(1,2), B(5,0), C(-1.-2)
a) Calcula las longitudes de los lados del triángulo ABC
b) Calcula las medidas de los ángulos de dicho triángulo y clasifícalo ( ) ( ) ( ) ( ) º90,0
2020
4224,cos =→=
⋅
−⋅−+−⋅=
CDABACAB
( ) ( ) ( ) ( )
( ) º45,
º45,2
2
2
1
220
20
220
424
4020
2264,cos
=→
=→===−
=⋅
−⋅+−⋅−=
CBCA
BCBABCBA
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) uuBCCBd
uuACCAd
uuABBAd
1024026,
522042,
522024,
22
22
22
==−+−==
==−+−==
==+==( )
( )
( )2,6
4,2
2,4
−−=
→−−=
−=
BC
AC
AB
Se trata de un triángulo que tiene dos lados (y dos ángulos) iguales y un ángulo recto Es un triángulo rectángulo e isósceles. También se puede comprobar que los lados cumplen el teorema de
Pitágoras)
9) Halla el perímetro y los ángulos del triángulo de vértices A(2,0), B(0,2), C(3,1)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1023102221028
10,1,3
2,1,1
8,2,2
+=++=++=
=→−=
=→=
=→−=
Perímetro
CBdBC
CAdAC
BAdAB
( )
´´82,5´26º6320
2
102
13cos
´´18,54´33º2680
8
108
26cos
º90028
1212cos
=→=⋅
−=
=→=⋅
−−=
=→=⋅
⋅+⋅−=
γγ
ββ
αα
10) Halla las coordenadas de los vectores ortogonales a ( )1,2=u�
y unitarios.
( ) ( ) ( )
( )
−
−
=→±=±=→=→=−+→
=+
−=→
=+
=+
=+→=
=+→=⋅→⊥
5
52,
5
5
5
52,
5
5:
5
52
5
5
5
11512
1
2
1
02
11
0201,2,:,
222
2222
22
Soluciones
yxxxxyx
xy
yx
yx
yxw
yxyxuwcumplequeyxwBuscamos
∓
�
���
( ) ( ) 5412,12,1: 2121 =+==−=−=⊥ wwwwuwmétodoOtro������
−=
−=
5
2,
5
1
5
2,
5
1Pr
2
2
1
121 w
w
w
wunitariosywwaesoporcional �
�
�
���
11) Halla en cada caso las coordenadas del punto que falta sabiendo que M es el punto medio del segmento AB
a) M(2,-4) y A(1,-2)
( ) ( )
( )6,3642
2
322
1
2
2,
2
142,
−=−=→−=+−
→
=→=+
→
+−+=−→
OBbb
aaba
baB
b) M
−5
2,
2
3 y B(2,5) Estos apartados están hechos de otra forma
−=−⋅=→+=⋅5
29,122 OBOMOAOBOAOM
c) M(0,3) y A(1,-1)
( )7,122 −=−⋅=→+=⋅ OAOMOBOBOAOM
d) M
−
3
5,4 y B(1,3)
−=−⋅=→+=⋅
3
1,922 OBOMOAOBOAOM OBOAOM
OBOAOAOBOAOM
ABOAOM
AMOAOM
+=⋅
+=
−+=
+=
+=
2
2
1
2
1
2
1
12) Siendo ( )1,3=a�
, ( )0,2−=b�
y ( )4,1=c�
, halla:
a) ( ) ( ) ( ) ( )4,88,20,24,1224 −=−−+−+=−+ cba���
b) ( ) ( )
=
++=+− 3,
2
192,
2
10,61,3
2
13 cba
���
c) ( ) ( ) ( ) ( )3,44,10,21,3 −=−−++=−− cba���
d) ( )
=+
=+−
4
3,
4
130,1
4
3,
4
90
2
1
4
3cba���
13) Calcula el punto medio de los segmentos AB y CD siendo A(1,1), B(-2,3), C(4,1) y D(0,6)
Punto medio de AB M
−→
+−→ 2,
2
1
2
31,
2
21MM
Punto medio de CD N
→
++→
2
7,2
2
61,
2
04NN
14) Sitúa en el plano cartesiano los puntos A(-1,-2), B(3,2) y C(5,0). Calculas las coordenadas del
punto medio M del segmento AC. Calcula las coordenadas del punto N simétrico de B con respecto a M. ¿Cómo es el cuadrilátero ABCN?
( )
( )
( ) ( )rectángulounesrectossonángulosLos
CDABBCAB
diagonaleslasdemediopuntoel
esMporqueramoparaleunesABCNrocuadriláteEl
Nbb
aa
MderespectobdesimétricoN
MACdemediopuntoM
→
→=⋅→−==
−−=→−=+
→
=→=+
→
−→
02,24,4
log
4,1412
2
122
3
1,2
15) Dados los puntos A(-3,1) y B(2,2), halla las coordenadas de los puntos C y D para que ABCD
sea un paralelogramo tal que sus diagonales se corten en O(0,0) ABCD es un paralelogramo y las diagonales se cortan en O O es el punto medio de AC y BD
( ) ( )
( ) ( )2,22202
20
2
2,
1,31302
10
2
3,
−−→−=−=→=+
=+
→
−→−==→=+
=+−
→
Dfefe
feD
Cbaba
baC
16) Las medianas de un triángulo son los segmentos que unen cada vértice con el punto medio
del lado opuesto. Halla las longitudes de las medianas del triángulo de vértices A
− 4,2
3,
B(2,-1) y C
2,
2
7
−
+−
−
+
+
+−
2
14,
2
22
3
2
12,
2
22
7
2
24,
2
2
7
2
3
QPM
( )
2
3,
4
1
2
1,
4
113,1 QPM
( ) ( )
uCQm
uAPm
uBMm
4
173
16
4
16
169
4
1
16
169
2
1
4
132
2
3
2
7
4
1
2
338
4
49289
4
7
4
174
2
1
2
3
4
11
173112
2222
3
2222
2
22
1
=+=+=
+
=
−+
−==
=+
=
−+
=
−+
+=≡
=−−+−=≡
17) Justifica que el triángulo de vértices A(3,-1), B(5,3) y C(-1,1) es rectángulo isósceles
Tiene dos lados iguales es ISÓSCELES
Además: →⊥→=⋅ ABACABAC 0 es RECTÁNGULO También se puede comprobar que es rectángulo por el teorema de Pitágoras:
( ) ( ) ( )222
202040 += 18) Analiza si tienen la misma dirección las siguientes parejas de vectores:
a) (12,4) y (3,1) direcciónmismalatienenparalelossonalesproporcionson →→→=→3
4
3
12
b)
0,
2
5 y (-8,0)
c) (16,-4) y (-8,2)
d)
3,
3
3 y
−3
3,3
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) uBCCBd
uACCAd
uABBAd
4026,
2024,
2042,
22
22
22
=−+−==
=+−==
=+==
( ) ( )0,816
50,8
2
5
8
10,
2
5: −⋅
−=−⋅⋅
−=
→→
obarpuedecomprseTambién
alesproporcionsonparalelosson
OXejeelsobreestánvectoresambosperocomprobarpuedeseno→=−
→0
0
8
2
5
direcciónmismalatienenparalelossonalesproporcionson →→→−
=−
→2
4
8
16
direcciónmismalatienennoalesproporcionsonno →→
−
≠→
3
3
3
3
3
3
19) Sea el vector ),2( xu =�
. Determina en cada caso el valor de x para que u� y v� sean paralelos
(proporcionales)
a) )4,1( −=v�
841
2−=→
−=→ x
x
b)
−=3
5,2v
�
3
5
3
52
2−=→
−
=→ xx
c) ( )21,21 +−=v�
20) Halla las componentes de un vector de módulo 15 y paralelo al vector ( )3,4 −=a
�
( )
( ) ( )( )
( )9,123515
9,123515525341515
3,4
222
−=→−=→−=
−=→=→=→±==−+=→=
−=→→
btt
bttttttb
ttbaaalproporcionesbaaparalelob
�
��
�����
21) Sean u� y v� dos vectores ortogonales de módulos respectivamente 2 y 32 . Calcular el
valor de x en los siguientes casos:
9
4
3
2
42
0
2
2
==⋅=
==⋅→=
=⋅=⋅⊥
vvvv
uuuu
uvvuvuDatos
����
����
������
a) ( )( ) 21−=−+ vuvxu
����
( )( )8
81
2
9
9
4
9
44
2
1
9
44
2
1=→=→−=−→⋅−=⋅⋅−⋅⋅+⋅−⋅=−+=− x
xxxvvxuvxvuuuvuvxu
������������
b) ( ) 98
2=− vux
��
( )3
1
9
1
9
44
9
44
9
8
9
442
9
8 222222±=→=→=→+=→+=⋅+⋅⋅−⋅=−= xxxxxvvvuxuuxvux
��������
c) ( )( ) 0232 =−+ vuvux
����
( )( )
3
1
9
3
9
2480
9
468
63422320
=→=→=→=⋅−
→⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=−+=
xxxx
vvuvvuxuuxvuvux������������
d) ( )( ) 1693 =+−− vuxvxu
����
( )( )
11616412169
494316
92739316 2
−=→−=→−−=→⋅⋅−⋅⋅−=
→⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅−=+−−=
xxxxxx
vvxvuxvuuuxvuxvxu������������
( )( )
( ) ( ) ( )22321
22212
21
212
21
212
2121
22
2
2
+⋅−=−
++⋅=
−
+⋅=
−
+⋅=→
+=
−→ x
x
22) Halla Las ecuaciones explícitas de las rectas siguientes: a) Corta al eje horizontal en el mismo punto que la recta 2x-3y+8=0 y tiene pendiente 5
( )( )
205:exp
450:
50,4
400832
+=
+⋅=−
=−
−=→=→=+−
xylícitaenrectala
xyespendientepuntoformaenrectaLa
mpendientetieneyporpasapedidarectaLa
xyyxdehorizontalejeconCorte
b) Tiene la misma pendiente que la recta 3x+y-7=0 y pasa por el punto (2 ,3)
( )( )
93363:exp
233:
33,2
373073
+−=→++−=
−⋅−=−
−=
−=→+−=→=−+
xyxylícitaenrectala
xyespendientepuntoformaenrectaLa
mpendientetieneyporpasapedidarectaLa
mxyyxdePendiente
c) Es paralela a la bisectriz del primer cuadrante y pasa por el punto (4, -3) ( ) ( )
( )( )
734:exp
413:
13,4
1sec
:1,10,0sec
−=→−−=
−⋅=+
=−
=
=
xyxylícitaenrectala
xyespendientepuntoformaenrectaLa
mpendientetieneyporpasapedidarectaLa
mestrizbiladependienteLa
xyesecuaciónsuyporpasacuadranteprimerdeltrizbiLa
23) Halla las ecuaciones explícitas de las rectas siguientes: a) Tiene la misma ordenada en el origen que la recta 3x+2y+4=0 y pasa por el punto (-2,-3)
( )
( )
22
1:exp
2
121223:3,2
22
2,0200423
−=
=→−=−→−−=−→−−
−=→−=
−→−=→=→=++
xylícitaenrectaLa
mmmporpasarectaLa
mxyntienepedidarectaLa
yxyxdeorigenelenOrdenada
b) Corta a la bisectriz del primer cuadrante en el mismo punto que la recta 3x-2y=2 y tiene pendiente -3
( )( )
83263:exp
232:
32,2
22223223
:sec
:sec
+−=→++−=
−⋅−=−
−=
=→=→=−→
=−
=
=
xyxylícitaenrectala
xyespendientepuntoformaenrectaLa
mpendientetieneyporpasapedidarectaLa
yxxxyx
xyrectalaytrizbiladecortedePunto
xyescuadranteprimerdeltrizbiLa
c) Su pendiente es 2 y pasa por el punto medio del segmento de extremos (0, 0) y (6, -2)
( ) ( ) ( )
( )( )
72162:exp
321:
21,3
1,32
20,
2
602,60,0
−=→−−=
−⋅=+
=−
−→
−+→−
xyxylícitaenrectala
xyespendientepuntoformaenrectaLa
mpendientetieneyporpasapedidarectaLa
MMydemedioPunto
24) Halla la pendiente (m), el ángulo de inclinación y la ordenada en el origen de las rectas: r:x-2y+3=0; s:4x+5y=0
2
3´´18,54´33º26
2
1
2
1
2
3
2
1
:032:
====→+=→
=+−
narctgmxy
origenelenordenadalaypendientelaobtieneseydespejandoyxr
α
0´´6,24´20º1415
4
5
4
5
4
:054:
==
−=−=→−=→
=+
narctgmxy
origenelenordenadalaypendientelaobtieneseydespejandoyxs
α
25) De cada una de las rectas r:2x-7y+14=0 y s:3x+4y+12=0 calcula la ecuación explícita, la
pendiente y los puntos de corte con los ejes. Representa también dichas rectas.
( )( )2,020
0,770
7
14´´43,43´56º15
7
2
7
2
7
14
7
2
:
01472:
→=→=→
−→−=→=→
====→
+=→
=+−
yxOYeje
xyOXejeejeslosconCorte
narctgm
xy
origenelenordenadalaypendientela
obtieneseydespejandoyxr
α
( )( )3,030
0,440
3´´37,48´7º1434
3
4
33
4
3
4
12
4
3
:01243:
−→−=→=→
−→−=→=→
−==−=−=→−−=→−−=→
=++
yxOYeje
xyOXejeejeslosconCorte
narctgmxyxy
origenelenordenadalaypendientelaobtieneseydespejandoyxs
α
26) De un paralelogramo ABDC, se conocen los vértices contiguos A(1, 3) y B(2, -1) y el punto
M(2, 4) de intersección de sus diagonales. Halla la ecuación del lado CD.
( ) ( ) ( )5,3532
3,
2
14,2,0
2
Ddcdc
dcD
ODOAOM
→==→
++=→=
+=
( ) ( ) ( )9,2922
1,
2
24,2,0
2
Cfefe
feC
OCOBOM
→==→
+−+=→=
+=
( ) ( )
( )
4
9
1
2
:
4,1
5,39,2
−=
−
−
→
−==→
yx
continuaformaenladoalcontienequerectala
CDuesldireccionavectorun
DyCporpasaladoCDdelrectaLa�
27) Estudia la posición relativa de las rectas r y s y halla su punto de intersección, cuando lo haya, en los casos siguientes:
a)
( )3,1314412
22
:secint
1
1
2
2
12
22
012:
52:
PcortedePuntoyxxecuacioneslassumandoyx
yx
sistemaeloresolviendcalculaseciónerdepuntoEl
SECANTESSonyx
yx
yxs
xyr
→=→=→=→
−=−
=+
→−
≠→
−=−
=+
=+−
+−=
b)
PARALELASSonyx
yx
yxs
xyr→
−≠
−=
−→
−=−
=+−
=+−
+=
5
2
3
1
9
3
539
23
0539:
23:
c)
( )2,112272149
52249
7
:secint
3
22
7
49
137:
52249:
Pxyyecuacionesdoslassumandoyx
yx
porecuaciónsegundalamosmultiplica
sistemaeloresolviendcalculaseciónerdepuntoEl
SECANTESSonyxs
yxr
→=→=→−=−→→
−=+−
=−
−
→−
−≠→
=−
=−
d)
ESCOINCIDENTsonyxs
yxr→
−
−==→
=+
=+
399
357
209
187
247
221
399209247:
357187221:
28) Dadas las rectas r:x+2y+3=0 s:ax+y+2=0.
a) Halla a para que r y s sean paralelas
2
112
1
21
2
3
1
21
02
032=→=→=→≠=→
=++
=++aa
aasiparalelasSon
yax
yx
b) Si r y s no son paralelas halla su intersección
( )
−
+−
−
−
+−=
−
−+−=
−
−+−=−−=
−=
=−−→+
=++
=−−−→−
=++
=++
=++
≠
a
a
aPcortedePunto
a
a
a
aa
a
aaxy
ax
xaee
yx
yaxe
yx
yax
yx
antessonrectaslasa
21
32,
21
1
21
32
21
42
2122
21
1
0121)(
032
0622)2(
032
02
032
sec2
1
212
29) Si r y s son las rectas r:x+y+1=0 s:ax+2y+b=0. a) Halla a y b para que r y s coincidan
21
2
1
22
11
1
2
11
02
01
=→=
=→=
→==→
=++
=++
bb
aa
basiescoincidentSon
byax
yx
b) Halla a y b para que r y s sean paralelas
21
2
1
22
11
1
2
11
02
01
≠→≠
=→=
→≠=→
=++
=++
bb
aa
basiparalelasSon
byax
yx
c) Si r y s se cortan en un punto, hállalo
ℜ∈
≠→≠→≠→
=++
=++
b
aa
asiantesSon
byax
yx 22
11
2
11sec
02
01
( )( )
−
−
−
−
−
−=
−
+−+−=
−
−−−=−−=
−
−=
=−+−→+
=−−−
=++
=−−−→−
=++
=++
2,
2
2
22
22
2
211
2
2
022)(
0222
022
02222
02
01
21
1
a
ab
a
bPcortedePunto
a
ab
a
ba
a
bxy
a
bx
bxaee
yx
byax
yxe
byax
yx
30) Se considera el triángulo ABC, que tiene por vértices los puntos A(2, 5), B(0, -3) y C(4, 7). Halla las ecuaciones de las tres medianas del triángulo y comprueba que las tres pasan por un mismo punto (recuerda que una mediana es la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto; el punto de intersección de las medianas es el baricentro)
( ) ( ) ( )1,12
35,
2
022,2
2
73,
2
406,3
2
75,
2
42=
−+=
+−+=
++PNM
ladoslosdemediosPuntos
( )
( ) ( ) ( )
( ) 0939903309039
3,99,36,3
3,0
=++−≡→=→=+−⋅+⋅−→=++−≡
−=→==→
−≡
yxrCCCyxr
nBMuM
BrMediana
r
��
( )
( ) ( ) ( )
063602303
0,33,02,2
5,2
=−≡→−=→=+⋅→=+≡
=→−==→≡
xsCCCxs
nANuN
AsMediana
s
��
( )
( ) ( ) ( )
0336301316036
3,66,37,4
1,1
=++−≡→=→=+⋅+⋅−→=++−≡
−=→==→≡
yxtCCCyxt
nPCuC
PtMediana
t
��
( )3,2
033326
309318
2
0336
0939
063
:
G
SÍ
yy
x
yx
yx
x
medianaslasdecortedepuntoGBaricentro
=+⋅+⋅−
=→=++−
=
=++−
=++−
=−
( ) ( ) ( )3,23,23
375,
3
042
3
1
:,,
GOCOBOAOG
fórmulalacontriángulodelvérticeslosconocensesicalcularpuedesetambiénGbaricentroEl
=
−+++=++=
31) Sea r la recta de ecuación r:4x+3y=6. Halla: Los puntos del eje horizontal que distan dos unidades de r. Las rectas paralelas a r que distan dos unidades de ella.
( )
( )( )
( )0,1125
64
0,4425
64
25
642
5
642
34
60342,
,
22
−′→−=→−=−
→=→=−
→±=−
→=−
→=+
−⋅+→=
Paa
Paa
aaarPd
oaPformaladesonhorizontalejedelpuntosLos
( )
( ) ( )
016340434
1625
6
425
6
25
62
5
62
34
2304,,2
2,020.
tantan
034
22
=−+≡′=++≡
−=→−=+
=→=+
→±=+
→=+
→=+
+⋅+⋅→==
=→=
=++≡
yxsyxssonsoluciónrectasLas
CC
CC
CCCsAdsrd
AyxdercualquieraApuntounElegimosotralaaellasdeunade
cualquierapuntoundeciadislaessyrparalelasrectasdosentreciadisLa
CyxsformaladesonraparalelasrectasLas
32) Halla las ecuaciones de las tres mediatrices del triángulo ABC, siendo A(5, 0), B(8, 5) y
C(0,6). Comprueba que se cortan en un mismo punto (circuncentro) hallándolo.
=
++
=
++
=
++3,
2
5
2
06,
2
05
2
11,4
2
56,
2
80
2
5,
2
13
2
50,
2
85PNM
ladoslosdemediosPuntos
( ) ( )
032533202
53
2
133053
2
5,
2
13
5,35,3
=−+≡→−=→=+⋅+⋅→=++≡
==
≡
yxrCCCyxr
M
nnormalvectoresABrMediatriz
r
�
( ) ( )
05321602
538
2
530
2
1114808
2
11,4
1,81,8
=++−→=++−≡→=→=+⋅+⋅−→=++−≡
−=−=
≡
yxyxsCCCyxs
N
nnormalvectoresBCsMediatriz
s
�
( ) ( )
011121002
1165
2
11036
2
55065
3,2
5
6,56,5
=−+−→=−+−≡→−=→=+⋅+⋅−→=++−≡
−=−=
≡
yxyxtCCCyxt
P
nnormalvectoresACtMediatriz
t
�
( )( )
=→=⋅−=→=→
=→+
=→+
=+
=−+−
=++−
=−+
86
353,
86
329
86
329
86
987
86
3535323
86
353
35386103
35386163
3253
0111210
053216
03253
:
13
12
CroCircuncent
xxy
yee
yee
yx
yx
yx
yx
smediatricelasdecortedepuntoCroCircuncent
33) Halla los puntos de la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes que están a doble distancia del punto A(-1, 3) que del punto B(2, 1)
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( )1,116
6
3
5,
3
5
3
5
6
10
6
28
6
606480583
01016620881082
214446921
12431
12231,2,
,sec
2
222
2222
2222
2222
−′→=
−→=
=±
=−±
=→=+−→
=+−→+−=++→
+++−+⋅=+++++→
++−⋅=++−−→
++−⋅=++−−→⋅=
−
P
Paaa
aaaaaa
aaaaaaaa
aaaa
aaaaBPdAPd
aaPformaladesoncuadrantecuartoysegundodeltrizbiladepuntosLos
34) Halla las dos bisectrices del par de rectas 3x+4y+2=0 y 8x+6y+1=0. Halla el ángulo que
forma una de las bisectrices (la que tenga pendiente positiva) con las rectas dadas, comprobando que son iguales.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1051414168486
)(10322168486
26824321685
24310
10
168
5
243
3664
168
169
243,2,
,,sec,
22
11
−=→=++≡→−−−=++≡
=→=++−≡→++=++≡
++±=++⋅→++±=++⋅
→
++±=
++→
+
++=
+
++→⋅=
=
myxbyxyxb
positivapendientemyxbyxyxb
yxyxyxyx
yxyxyxyxsPdrPd
sPdrPdcumplensyrrectasdosdetricesbilasdeyxPpuntosLos
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
igualessonánguloslossb
rb
uuu
directoresvectoressusformanqueagudosángulosloscalculanse
syrconformaqueángulosloscalcularParapositivapendientetienequetrizbilaesb
srb
→==⋅
=⋅
−=
+⋅+
−⋅=
=⋅
==⋅
−=
+⋅+
−⋅=
−=−==
25
1
220
4
1022
4
108
1612
643644
8,62,2,cos
25
1
225
2
85
2
58
68
91644
3,42,2,cos
8,63,42,2
.sec
1
1
2
1
��
35) Sean los puntos A(1, 4) y B(4, 2) y la recta r:x+2y=1. Halla un punto C de r tal que desde
A se vea el segmento BC bajo un ángulo de 90º.
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1,110286
02,34,22,34,2,21
0
,2121
;2112
−→=→=+−
→=−⋅−→−=−=→−
=⋅→
−→
=
−=→
=
−==+≡
Cttt
ttABttCAttC
ABCAlaresperpendicusonAByCA
ttformaladeesrdecualquierapuntounty
tx
typarámetroelrepresentaye
yxdespejaseasparamétricapasarparayxr
36) Dado el triángulo de vértices A(8, 3), B(2, 1) y C(6, 7) halla la altura correspondiente al vértice A, el pie de dicha altura y el área del triángulo.
( ) ( )( )
0253205064
5003684064
3,8
6,46,4
=−+→=−+≡
→−=→=+⋅+⋅→=++≡
==
≡
yxyxh
CCCyxh
A
nnormalvectoresBChalturarecta h
�
( ) ( )( )
04230846
801426046
1,2
4,66,4
=−−≡→=−−≡
→−=→=+⋅−⋅→=+−≡
−=→=
≡
yxBCladoyxBClado
CCCyxBClado
B
nldireccionavectoresBCBClado BC
�
( )
=→=−=→=→
−=−→−
=+→
=−−
=−+≡
13
67,
13
62
13
62
13
124
13
67.3252
13
67
671332
2532
0423
02532
secint
12
PlarperpendiculadePie
xxyyee
yx
yx
yxP
BCladoyhrectaslasdeciónerlaesPlarperpendiculadepieEl
( )
( ) ( )
( )
( ) 2142
28
2
52
2852
52
28
3616
81248,
523216,
,,
,2
uABCladoAdh
CBdb
BCladoAdPAdhhalturasegmentodellongitudlaeshy
CBdbBCladodellongitudlaesbdondehb
AÁrea
==
⋅
=→=+
−−==
=+==
==→
=→⋅
=→
37) Halla el punto de la recta r:x+3y=5 que está más cerca del punto P(4, 7)
( ) ( )( )
( )( )1,221
10103
53
53
53
05350714303
7,4
1,31,3
)(
12
Qxyyee
yx
yx
yx
tyrrectaslasdecortedepuntoelesQ
yxtCCCyxt
P
ntdenormalvectoresut
trectarapdesdetrazadalarperpendicu
ladepieQesPacercanomásrrectaladepuntoEl
tr
→=→=→
−=−→−
=+
=−
=+
→
=−−≡→−=→=+⋅−⋅→=+−≡
−=→−=
≡
��
38) Halla a para que las rectas 3x+4y+1=0 y ax+8y+7=0 sean paralelas y en tal caso halla su
distancia.
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )usAdsrd
Ayyxyxr
valoresdandocalculamosloyrdecualquierapuntounAsiendosAdsrd
aaayaxs
yxrParalelas
2
1
10
5
6436
71816,,
1,111431143
,,,
62447
1
8
43
078
0143
==+
+−⋅+⋅==
−→−=→−=+→=→=+≡
→=
=→=→≠=→
=++≡
=++≡→
39) Halla las ecuaciones de las tres mediatrices del triángulo cuyos vértices son A(5, 7), B(-1, 5) y C(1, 3).
( ) ( ) ( )6,22
75,
2
515,3
2
37,
2
154,0
2
35,
2
11=
++−=
++=
++−PNM
ladoslosdemediosPuntos
( ) ( )( )
04
0822804202022
4,0
2,22,2
=+−≡→
=+−≡→=→=+⋅−⋅→=+−≡
−=−=
≡
yxr
yxrCCCyxr
M
nnormalvectoresBCrMediatriz r
�
( ) ( )( )
08
032443205434044
5,3
4,44,4
=−+≡→
=+−−≡→=→=+⋅−⋅⋅−→=+−−≡
−−=−−=
≡
yxs
yxsCCCyxs
N
nnormalvectoresACsMediatriz s
�
( ) ( )( )
0123024262406226026
6,2
2,62,6
=−+≡→=+−−≡→=→=+⋅−⋅−→=+−−≡
−−=−−=
≡
yxtyxtCCCyxt
P
nnormalvectoresABtMediatriz t
�
( )( )
( )
( )triánguloaltacircunscrinciacircunfereladediámetroelesAByrectánguloestriánguloEl
ABladodelmediopuntoPconcoincideroCircuncentEl
roCircuncentxy
yee
yee
yx
yx
yx
yx
smediatricelasdecortedepuntoroCircuncent
→
→=+−=→==→
=→−
=→−
−=−
=+
=+
−=−
6,2
6,2:26462
12
2443
122
4
123
8
4
:
13
12
40) Halla las ecuaciones de las tres alturas del triángulo cuyos vértices son los puntos A(3, -1), B(7, -5) y C(5, 1). Halla el área del triángulo por la fórmula de Heron.
( ) ( )( )
( )02
0422405272022
5,7
2,22,2
=−+≡→
=−+≡→−=→=+−⋅+⋅→=++≡
−
==≡
yxh
yxhCCCyxh
B
nnormalvectoresAChACladoalientecorrespondAltura h
�
( ) ( )( )
( )063
012621201632062
1,3
6,26,2
=−−≡→
=++−≡→=→=+−⋅+⋅−→=++−≡
−
−=−=≡
yxr
yxrCCCyxr
A
nnormalvectoresBCrBCladoalientecorrespondAltura r
�
( ) ( )( )
04016441601454044
1,5
4,44,4
=−−≡→=−−≡→−=→=+⋅−⋅→=+−≡
−=−=
≡
yxsyxsCCCyxs
C
nnormalvectoresABsABladoalientecorrespondAltura s
�
( )( )
( )
( )
( ) ( )( )ACABACABcumpleSe
AenrectánguloestriánguloElAvérticeelconcoincideOrtocentroEl
Ortocentroxy
yee
yee
yx
yx
yx
yx
alturaslasdecortedepuntoOrtocentro
⊥→=⋅−=⋅
→−
−→=+=→−=−
=→
=−→−
=−→−
=+
=−
=−
=+
02,24,4
1,3
1,3:31214
4
22
44
2
4
63
2
:
13
12
41) Halla los valores que hay que dar a los parámetros a y b para que las rectas x+ay=5 y bx+2y=9 sean perpendiculares y además corten al eje horizontal en puntos que disten dos unidades.
( )( )
( ) ( ) 0202,,10
2,92
,15
=+→=⋅→=⋅→→
=→=+≡
=→=+≡
abbannnormalesvectoressussonlo
laresperpendicusonrectaslasbnybxs
anayxr
sr
s
r
��
�
�
( )
( )
14
9
7
9
295
02:2
2
33
295
02:1
295
02
29
5
02
29
5
02
209
52,0,99
092
0,5505
:
2
2
−==→
−=−
=+
−==→
=−
=+→
±=−
=+→
±=−
=+
→
=
−
=+
=+
−→=→
→=→=→=+≡
→=→=→=+≡
abbb
abSolución
abbb
abSolución
bb
ab
b
ab
b
ab
bQPd
bQ
bxyybxs
Pxyayxr
horizontalejeelconCortes
42) Halla un punto P de la recta r:x+2y=6 que equidiste de los puntos A(1, 3) y B(2, -2)
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )1,41141412203426
44416166942025
224325
22623261
,,
,2626
2662
:1
2222
2222
2222
Ptttt
tttttttt
tttt
tttt
PBdPAdByAdeequidistaquePpuntoelBuscamos
ttPformaladeesrdecualquierapuntounty
txr
parámetroelrepresentayyxxdespejandoasparamétricasepasayxr
Método
→=→−=−→−=+−
++++−=+−++−
−−++−=−++−
−−++−=−++−
=→
−→
=
−=≡
→−=→=+≡
( ) ( )
( )( )1,44261
77
62
15
62
015102
15
2
305
2
1,
2
3
2
23,
2
21
5,15,1
secint
:2
12
Pxyyee
yx
yxm
yxrP
yxmCCCyxm
MABmedioPunto
nmdenormalvectoresABmABsegmentodelMediatriz
myrrectaslasdeciónerlaenestáPrdepuntounesP
ABsegmentodelmediatrizmrectalaenestáPByAdeequidistaP
Método
m
→=−=→=→
−=−→−
=+→
−=−≡
=+≡≡
=+−≡=→=+⋅−→=+−≡
=
−+
−=→−=
≡
→
→
43) Calcula m y n en las rectas r:mx-2y+5=0 s:nx+6y-8=0 sabiendo que son perpendiculares y r pasa por P(1, 4)
( )( )
( ) ( )40123305421
01206,2,0
6,86
2,52
=→=−⋅→=→=+⋅−⋅→
=−⋅→=⋅−→=⋅→→
=→=+≡
−=→−=−≡
nnmmPporpasar
nmnmnnnormalesvectoressussonlo
laresperpendicusonrectaslasnnynxs
mnymxr
sr
s
r
��
�
�
44) Dada la recta
+=
+−=≡
kty
txr
2
31 halla k para que r sea paralela a la bisectriz del segundo
cuadrante.
( )
( )
311
3
1,10sec
,32
31
−=→=−
→→
→
−=→=+→−=≡
=→
+=
+−=≡
kk
alesproporcionsonuyu
sonlostambiénlesdireccionavectoressusparalelassonrectaslasSi
uldireccionavectorsuyxyxscuadrantesegundodeltrizBi
kurdeldireccionavectorElkty
txr
sr
s
r
��
�
�
45) En el triángulo de vértices A(-2, 3), B(5, 1) y C(3, -4) halla las ecuaciones de: la altura que
parte de B; la mediana que parte de B; la mediatriz del lado CA
( ) ( )( )
018751801755075
1,5
7,57,5
=−−≡→−=→=+⋅−⋅→=+−≡
−=−=
≡
yxhCCCyxh
B
nnormalvectoresAChBdepartequeAltura h
�
( ) ( )
0675602
17
2
15075
2
1,
2
1
2
43,
2
32
7,57,5
=++−≡→=→=+
−⋅+⋅−→=++−≡
−=
−+−
−=→−=
≡
yxtCCCyxt
M
nnormalvectoresCAtCAladodelMediatriz
t
�
( ) ( )
02320135103
1,32
3,
2
91,5
2
1,
2
1
2
43,
2
32
=−−≡→−=→=+⋅−⋅→=+−≡
=→
=→
−=
−+−→
≡
yxmCCCyxm
uMBldireccionavectorB
MACdemedioPunto
mBdepartequeMediana�
46) Halla el pie de la perpendicular trazada desde P(1,2) a la recta r:x-2y+4=0
( )( ) ( )
( )
( ) 0200211202
2,1
1,22,1
2,1
=+≡→=→=+−⋅+⋅→=++≡
−
=→−=
→−=
≡
yxsCCCyxs
P
nsdenormalvectorelu
sdeldireccionavectoresnrdenormalvectorEl
s
PporpasandoralarperpendicusrectalaCalculamos
ss
r��
( )
−
→−=⋅+−=→=→
=→−
−=−
=+
−=−
5
8,
5
4:
5
4
5
824
5
8
852
42
02
42
12
QlarperpendiculadePie
xyyee
yx
yx
yx
syrrectasdoslasdecortedepuntoelesQ
47) Calcula el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas r:x=3, s:2x+3y-6=0, t:x-y-7=0
( )
( )
( )4,3073
3
07
3
5
27,
5
8
5
27
5
87
5
8
852
7
0632
07
0,30636
3
0632
3
secint
12
−→
=−−
=→
=−−≡
=≡≡
−→=−=→−=
→
−=→−
=−→
=−+≡
=−−≡≡
→
=−+
=→
=−+≡
=≡≡
Cy
x
yxt
xrC
Bxy
yee
yx
yxs
yxtB
Ay
x
yxs
xrA
dosadosectasrlasdeciónercomotriángulodelvérticeslosCalculamos
( )
( )
( )
( )( ) 2
2
42222
5
24
2
13
12
5
134
13
12
94
64332,
5
134
5
132
25
208
5
8
5
120
5
83
5
27,
,tan
,2
uArBdh
Cadb
rBdhACladoalBvérticedelciadislaeshy
CAdbACladodellongitudlaesbdondehb
AÁrea
=
⋅
=→=+
−−⋅+⋅==
=⋅
==
+
=
−−+
−==
=→
=→⋅
=→
48) Halla los puntos de la recta y=-x+2 que equidistan de las rectas x+2y-5=0 y 4x-2y+1=0
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
=
−′→=→=→+−=−−→−−=−−⋅
=
−→=→−=−→−=−−→−=−−⋅
→−
±=−−
→−⋅
±=−−→−
±=−−
→−
=−−
→−
=−−
→+
+−⋅−=
+
−−⋅+
=→
−→
−=
=≡→
→→+−=≡
4
3,
4
5
4
52,
4
5
4
55436223612
8
15,
8
1
8
12,
8
1
8
11836223612
2
361
52
3651
52
36
5
1
52
36
5
1
20
36
5
1
416
1224
41
522
,,tan
2,2
2
Ptttttt
Pttttttt
t
tt
tttttt
tttt
sPdrPdsyrdeequidisquePpuntoslosBuscamos
ttPformaladeesrdecualquierapuntounty
txr
parámetroelrepresentaxSiasparamétricapasasexyr
49) Calcula c para que la distancia entre las rectas 4x+3y-6=0 y 4x+3y+c=0 sea igual a 3.
( )
( ) ( )211563
5
6
915635
6
35
63
5
63
916
2304,,
2,020)(
tan
)(0340634
−=→−=+→−=+
=→=+→=+
→±=+
→=+
→=+
+⋅+⋅==
→=→=→
→
→=++≡=−+≡
ccc
ccc
cccsAdsrd
Ayxvaloresdando
rdecualquieraApuntounelegimosciadissucalcularpara
normalvectormismoeltienenparalelassoncyxsyyxrrectasLas
50) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de r:3x-y-9=0 s:x-3=0 y forma un ángulo de 45º con la recta x+5y-6=0
( )
( )
( )
( )
−=
−⋅−→
−⋅−=≡′→−=−=→=−→−−=−→−
+−=
−⋅=≡→==→=→+=−→−
+=
→
→−
+±=→
−
+
±=→
−
+±=→
−⋅+
+=→
′⋅+
′−=
→
−=′→+−=≡→=−+≡
−=≡
→
=−−
=→
=−≡
=−−≡≡
12
3
3
21
32
3
2
3
4
664155
5
151
33
2
3
2
6
446155
5
151
5
151
5
55
15
1
51
5
1
1
5
11
5
1
11
º45
:º45
5
1
5
6
5
1065
3.
0,3099
3
03
093
secint
espendientessusdeproductoelaresperpendiclsonsoluciónrectasdosLas
xypmmmmm
m
xypmmmmm
m
m
mm
m
m
m
m
m
mm
mmtg
cumplenpendientssusdeángulounformanrectasdosLas
mxytpendientepuntoformaenescritaeyxtrectaLa
xmyppendientepuntoformenescribimoslappedidarectaLa
Py
x
xs
yxrP
ectasrlasdeciónerPpuntoelCalculamos
51) Dadas las rectas r:2x-5y-17=0 s:3x-ky-8=0 calcula k para que r y s se corten formando un ángulo de 60º
( )
( )352
361536153521523635
65
1523
352
153615363521523635
65
1523
65
1523
5
655
152
3
5
61
3
5
2
33
5
21
3
5
2
31
º60
:º60
383
5
2
5
17
5
2
083
01752
,,exp
+
−=→−=⋅+→−=−−→
+
−−=
−
+=→+=⋅−→−=+→
+
−=
→
→+
−±=→
+
−
±=→
+
−±=→
⋅+
−=→
′⋅+
′−=
→→
=′→−=≡
=→−=≡
→
=−−≡
=−−≡
kkkkk
k
kkkkk
k
k
k
k
kk
k
k
k
k
kmm
mmtg
cumplenpendientessusdeángulounformanrectasdosLas
km
kx
kys
mxyr
kyxs
yxr
pendientessuscalcularparaydespejandolícitaformaenrectasdoslasExpresamos
52) Dos de los lados de un paralelogramo están sobre las rectas x+y-2=0 y x-2y+4=0 y uno de sus vértices es el punto (6, 0). Halla los otros vértices.
( ) ( )
( )( )
( )
( )
−→=+=→−=→
=−−
=−→
=−−
=−+≡
→=−=→=→
=−
−=−→
=−+
=+−≡
=−−≡′→−=→=+−→=+−≡′
=−+≡′→−=→=++→=++≡′
′∈′′∈′
→=→=→
−=−−
=−+→
=+−≡
=−+≡≡
→∉∉
→
→
3
4,
3
10
3
10
3
42
3
4
43
22
062
02
3
10,
3
8
3
8
3
106
3
10
103
42
06
042
secint
062600602
0660060
////
2,00263
02
042
02
0,60,6
tan
log
12
12
12
Dxyyee
yx
yx
yxD
Bxyyee
yx
yx
yxB
dosadosrectaslasdeciónercomcalculansevérticesotrosLos
yxsKKKyxs
yxrCCCyxr
sAyssrectalayrAyrrrectalaCalculalos
Cxyyee
yx
yxs
yxrC
ladosotroslosdecortedevérticeelesAsAyrAAdemás
corsequeladosdosaencorrespondparalelassonnosyr
doslasdosadosparalelossonladoslosramoparaleunEn