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TEMA 1“CONSTANTES Y
VARIABLES”ASIGNATURA:CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II.
PROFESOR:ALEJANDRO FLORIANO
MACÍAS..
ESPECIALIDAD:1
MATEMÁTICAS.
SEMESTRE: VIII. INDICE
I. Acepciones de “Constante”.
II. Ejemplos de constantes.
III. Variable.
IV. Ejemplos de variables.
V. Conclusiones.
VI. Bibliografía.
I.- ACEPCIONES DE CONSTANTE
En general, una constante es un valor de tipo permanente, que no puede
modificarse, al menos no dentro del contexto o situación para el cual está:
geometría aritmética.
En ciencias, especialmente en física, se denomina constante a
aquella magnitud cuyo valor no varía en el tiempo.
Constante es un elemento utilizado en lenguajes de programación.
En matemáticas, una constante es un valor fijo, aunque a veces no determinado.
Una Función constante es una función matemática que para cada conjunto de
variables en la misma, devuelve el mismo valor. Por ejemplo,
f(n) = sen (π · [n]) donde [n] es la función parte entera, es, para cada n real, igual a
0.
2
En álgebra son los coeficientes de un monomio u otra fórmula.
Para las matemáticas, una constante es una cantidad que tiene un valor fijo en un
determinado cálculo, proceso o ecuación. Esto quiere decir que la constante es un
valor permanente que no puede modificarse dentro de un cierto contexto. Lo
habitual es que se relacione con una variable (cuyos valores sí pueden ser
modificados).
II.- EJEMPLOS DE CONSTANTES
VALORES CONSTANTES.- Son aquellos valores que no cambian al dar valores a
las variables independientes.
Dichas cantidades constantes o simplemente CONSTANTES pueden ser:
- Números reales.
- Constantes tales como el número π.
- Funciones trigonométricas de ángulos dados.
- Logaritmos, etc.
Ejemplo: Identifique la variable dependiente, independiente y las constantes (si
las hubiera) de la siguiente expresión algebraica: y(x, z) = (5/3)x² + x - π³/3 + 3a -
xz + g√2
Solución: VARIABLES INDEPENDIENTES: x, z.
VARIABLES DEPENDIENTES: y.
CONSTANTES: π, a, g.
III.- VARIABLE
Derivada del término en latín variabilis, variable es una palabra que representa a
aquello que varía o que está sujeto a algún tipo de cambio. Se trata de algo que se
caracteriza por ser inestable, inconstante y mudable. En otras palabras, una
variable es un símbolo que permite identificar a un elemento no especificado
dentro de un determinado grupo. Este conjunto suele ser definido como
3
el conjunto universal de la variable (universo de la variable, en otras ocasiones), y
cada pieza incluida en él constituye un valor de la variable.
Por ejemplo: x es una variable del universo {1, 3,5, 7}. Por lo tanto, x puede ser
igual a cualquiera de los recién mencionados valores, con lo cual es posible
reemplazar a x por cualquier número impar que sea inferior a 8.
Como podrán advertir, las variables son elementos presentes en fórmulas,
proposiciones y algoritmos, las cuales pueden ser sustituidas o pueden adquirir sin
dejar de pertenecer a un mismo universo, diversos valores. Cabe mencionar
que los valores de una variable pueden enmarcarse dentro de un rango o estar
limitados por situaciones de pertenencia.
Puede hablarse de distintos tipos de variable: las variables dependientes, que son
aquellas que dependen del valor que se le asigne a otros fenómenos o variables;
las variables independientes, cuyos cambios en los valores influyen en los valores
de otra; las variables aleatorias son las funciones que asocian un número real a
cada elemento de un conjunto E.
En otra clasificación puede decirse que existen variables cualitativas, que
expresan distintas cualidades, características o modalidades, y variables
cuantitativas, que se enuncian mediante cantidades numéricas, entre otras. Dentro
de las variables cualitativas existen las nominales (aquellas que no son numéricas
y tampoco pueden ser ordenadas, como por ejemplo el estado civil) y las ordinales
o cuasi cuantitativa (son no-numéricas pero sí permiten ser ordenadas, como la
nota de los exámenes). Por su parte, las variables cuantitativas pueden ser
discretas (no permite valores intermedios sino números exactos, por ejemplo la
cantidad de hermanos de una persona) o continuas (aquellas que aceptan valores
intermedios entre dos números, por ejemplo medidas de peso o altura).
En el ámbito de la programación (informática), las variables son estructuras de
datos que pueden cambiar de contenido a lo largo de la ejecución de un programa.
Estas estructuras corresponden a un área reservada en la memoria principal de
la computadora.
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A cada variable el programador le asigna una etiqueta que le permite reconocerla
del resto, de ese modo siempre que lo necesite podrá llamar a esa variable y
acudirá con el valor que le ha sido adjudicado. Por ejemplo, si la variable es de
nombre “núm.” y se almacena con el número 7. Si el programador deseara
utilizarla podría programar: núm. = núm. + 1 y conseguirá un resultado que
precede de dicha variable.
En programación las variables se clasifican de otro modo, existen las de tipo
boleano, decimal de coma flotante, arreglo, matriz y aleatorio, entre otros.
Las variables son la base de la programación, responden a un lenguaje y permiten
que el programador pueda realizar la labor de forma ordenada y eficiente. La suma
de las variables son las que dan como resultado una determinada acción en un
programa y ellas siempre responden a los deseos del programador. Esto significa
que fuera de un motor o el código de un determinado programa esas variables
pueden significar otra cosa y por ende, su suma resultar diversa, porque cada
programador puede asignar los valores que desee a cada una de las variables de
su código.
Por último, cabe mencionar que, en astronomía, las estrellas variables son
aquellas que experimentan variaciones significativas de luminosidad.
IV.- EJEMPLOS DE VARIABLES
VARIABLES DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES DE UNA EXPRESION
ALGEBRAICA: Variables: parte literal de una expresión algebraica a la que se le
puede dar valores.
Ejemplo 1: x + 5
si a x le damos el valor de 2, el valor de la expresion es: 2 + 5 = 7
si a x le damos el valor de -3, el valor de la expresion es: -2 + 5 = 3
Ejemplo 2: y = x² - 2x + 5
si a x le damos el valor de 1, el valor de y es:
5
y = 1² - 2(1) + 5 = 1 - 2 + 5 = 4
y = 4
V.- CONCLUSIONES
Una constante representa un valor fijo. En Álgebra, una constante es un número
por sí solo, o algunas veces una letra como a, b o c que representan un número
fijo.
Ejemplo: en "x + 5 = 9", 5 y 9 son constantes.
Si no es una constante es llamada variable.
En cambio, una variable es un símbolo para un número que aún no sabemos. Es
normalmente una letra como x o y.
Ejemplo: en x + 2 = 6, x es la variable
Si no es una variable se la llama constante
VI.- BIBLIOGRAFÍA
http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_(matem%C3%A1ticas)
http://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/constante.html
http://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/variable.html
https://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20120301174641AAX29tf
http://definicion.de/variable/
http://definicion.de/constante/
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ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE LA
LAGUNA CURSOS REGULARES GÓMEZ PALACIO DURANGO
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TEMA 9Intervalo de una variable
MATERIA:
Calculo diferencial e integralSEMESTRE:
VIII.
ESPECIALIDAD:
MATEMÁTICAS.
PROFESOR:
ME. Alejandro Floriano Macías
ÍNDICE
1. INTERVALO DE UNA VARIABLE
1.1.Definición de intervalo
1.2. Intervalo abierto
1.3. Intervalo cerrado
1.4. Intervalo semiabierto por la izquierda
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1.5. Intervalo semiabierto por la derecha
1.6.Semirrectas
2. Conclusión
3. bibliografía
INTERVALO DE UNA VARIABLE
Definición de intervalo
Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos
dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.
Intervalo abierto
Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a
y menores que b.
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o
iguales que a y menores o iguales que b.
Intervalo semiabierto por la izquierda
9
Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números
reales mayores que a y menores o iguales que b.
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números
reales mayores o iguales que a y menores que b.
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de
estos intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos.
Semirrectas
Las semirrectas están determinadas por un número. En una semirrecta se
encuentran todos los números mayores (o menores) que él.
10
CONCLUSIÓN
11
La intersección de intervalos de es también un intervalo.
La unión de intervalos de no siempre es un intervalo (lo será si la
intersección es no vacía).
Los conjuntos conexos de son exactamente los intervalos.
Los intervalos cerrados sobre una recta se denominan «segmento de recta»,
son conjuntos cerrados según la topología usual, conexa y compacta.
La imagen por una función continua de un intervalo de es un intervalo de .
Esta es una formulación del Teorema del valor intermedio.
Según la topología usual de ℝ, un conjunto abierto es la unión de intervalos
abiertos.
BIBLIOGRAFÍA
http://www.paginasprodigy.com.mx/gustavoacosta/pdf/
intervalo_de_una_variable.pdf
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ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE LA
LAGUNA C. R.
Torreón, Coah.TEMA:
FUNCIONES PARES E IMPARES.MATERIA:
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.ESPECIALIDAD:
MATEMÁTICAS.SEMESTRE:
OCTAVO.
Funciones de Pares e Impares.
ÍNDICE.HISTORIA.........................................................................................................................- 2 -Funciones pares.............................................................................................................- 3 -Funciones impares.........................................................................................................- 3 -EJEMPLOS:.....................................................................................................................- 4 -
14
HISTORIA.
En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el
valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo
el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al
cuadrado del radio, A = π·r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren
entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la
velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a
la velocidad, d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina
variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la
variable independiente.
En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se
refiere en a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único
elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo,
cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural
(incluyendo el cero):
...
−2 →
+4,
−1 →
+1,
±0 →
±0,
+1 →
+1,
+2 →
+4,
+3 →
+9,
...
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Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan
números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una
función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:
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..., Estación → E, Museo → M, Arroyo → A, Rosa → R, Avión → A, ...
Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de
las letras del alfabeto español.
La manera habitual de denotar una función f es:
f: A → B
a → f(a),
donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; y
B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se
denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a
del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones
esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el
dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones
«cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:
f: Z → N
k → k2, o sencillamente f(k) = k2;
g: V → A
p → Inicial de p;
si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.
Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo
o ecuaciones para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de
valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —
como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la
función.
Funciones pares17
Se dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se
tiene que f(-x)=f(x).
Modifica los valores de x en la escena y observa lo que sucede con los valores de
f(x) y de f(-x).
Al modificar los valores de x en la gráfica, la escena muestra también los valores
de -x, de f(x) y de f(-x). Como has podido notar, la gráfica es simétrica con
respecto al eje y, puesto que para todo valor x del dominio de la función se verifica
que f(x)=f(-x).
Funciones impares
Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se
tiene que f(-x)=-f(x). Modifica los valores de x en la escena y observa qué sucede
con los valores de f(x) y de f(-x).
Al ir modificando los valores de x la gráfica muestra también los valores de -x, de
f(x) y de f(-x). Observa que para cualquier valor del dominio, f(x)=-f(x). Habrás
notado además que el segmento que une los puntos P1 y P siempre pasa siempre
por el origen, punto del cual equidistan.
Todas estas funciones simétricas con respecto al origen de coordenadas, en las
que se verifica que f(x)=-f(x), se denominan funciones impares.
EJEMPLOS:
1)La función y(x)=x es impar ya que:
f(-x) = -x
pero como f(x) = x entonces:
f(-x) = - f(x).
18
2) La función f(x)=x2 es par ya que f(-x) = (-x)2 =x2
19
BIBLIOGRAFIA.
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/diferencial/funciones_pares_e_impares.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
Compendio de la materia: calculo diferencial
Tema de investigación: algebra de funciones
Especialidad: matemáticas
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Semestre: VIII
Nombre del maestro: Alejandro Floriano Macías
Índice:
Algebra de funciones
Definición
Composición de funciones
Ejemplos
Función racional
Función irracional
Función "valor absoluto"
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Algebra de funciones
Si dos funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces es posible hacer operaciones numéricas reales como la suma, resta, multiplicación y división (cociente) con f(x) y g(x).
Definición: La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g son las funciones definidas por:
Cada función está en la intersección de los dominios de f y g, excepto que los valores de x donde g(x) = 0 se deben excluir del dominio de la función cociente.
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Ejemplos para discusión:
1) Sea f(x) = x2 y g(x) = x - 1. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g. Señala el dominio para cada una de ellas.
2) Sea:
Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones. Indica cuál es el dominio para cada una de ellas.
Ejercicio de práctica: Sea f(x) = 3x y g(x) = x + 2. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones. ¿Cuál es el dominio en cada una de ellas?
Composición de funciones
Definición: Dadas las funciones f y g, la composición de f y g, se define por:
donde g(x) es el dominio de f. La composición de g y f se define por:
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Ejemplos para discusión: Halla f(g(x)) y g(f(x)) para cada par de funciones y su dominio.
Notas:
1) El dominio f(g(x)) es subconjunto del dominio de g y el recorrido de f(g(x)) es subconjunto de recorrido de f.
2) Si las funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces también su composición f(g(x) está definida.
Ejercicio de práctica: Halla: f(g(x)), g(f(x)) y el dominio de cada composición si:
Álgebra de funciones
El desarrollo de las funciones nos lleva a generar una serie de reglas que permiten tomar decisiones acerca de los dominios y codominios, entre otros, esta combinación de operaciones algebraicas de las funciones:
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Sean f y g dos funciones, definimos las siguientes operaciones:
Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Diferencia: (f - g)(x) = f(x) - g(x)
Producto: (fg)(x) = f(x)g(x)
Cociente: (f/g)(x) = f(x)/g(x)
Los resultados de las operaciones entre funciones f,g nos conduce a analizar el dominio de las funciones, así para f + g, f - g y fg el dominio es la intersección del dominio de f con el dominio de g. En el caso del cociente entre funciones el dominio de f / g es la intersección del dominio de f con el dominio de g, para los que g(x) = 0.
Ejemplos: Tomemos las siguientes funciones:
f(x)= x2
g(x)= x
Las operaciones estarían definidas
Suma (f+g)(x) = x2 + x
Diferencia (f-g)(x) = x2 - x
Producto (f g)(x) = (x2) (x) = x3
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Cociente (f/g)(x) = x2 / x = x para x¹0
En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación
donde los coeficientes ai(x) son funciones polinómicas de x. Una función que no es algebraica es denominada una función trascendente.
En términos más precisos, una función algebraica puede no ser estrictamente una función, por lo menos no en el sentido convencional. Por ejemplo sea la ecuación de una circunferencia trigonométrica:
La misma determina y, excepto por su signo:
Sin embargo, se considera que ambas ramas pertenecen a la "función" determinada por la ecuación polinómica.
Una función algebraica de n variables es definida en forma similar a la función y que es solución de la ecuación polinómica en n + 1 variables:
Normalmente se supone que p debe ser un polinomio irreducible. La existencia de una función algebraica es asegurada por el teorema de la función implícita.
Formalmente, una función algebraica de n variables en el cuerpo K es un elemento del cierre algebraico del cuerpo de las funciones racionales K(x1,...,xn). Para poder comprender a las funciones algebraicas como funciones, es necesario incorporar ideas relativas a las
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superficies de Riemann o en un ámbito más general sobre variedades algebraicas, y teoría de haces. Entre las funciones algebraicas se encuentran las funciones racionales y las funciones irracionales.
Función racional
Una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:
donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las f
Función irracional
Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical,
Las características generales de estas funciones son:
a) Si el índice del radical es par, el dominio son los valores para los que el radicando es mayor o igual que cero.
b) Si el índice del radical es impar, el dominio del radicando es negativo o menor que cero.
c) Es continua en su dominio y no tiene asíntotas.
cuya f(x)= 0 la funcion irracional va desde los numeros algebraicos desde las coordenadas (x,y). su dominio son los reales y su rango son los numero tales de la forma x,todos son rales por tanto en una funcion de raiz.
Función "valor absoluto"
En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3. El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
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Conclusión:
Una Función Es una regla de asociación que relaciona dos o más conjuntos entre
sí; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se
define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno
llamado condominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y
rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del
dominio con dos elementos del condominio. Definición de función que se ampara
bajo una regla de asociación de elementos del dominio con elementos del
condominio, imponiendo la restricción de relacionar un elemento del dominio con
uno del condominio, sin importar si los elementos del condominio puedan estar
relacionados con dos o más del condominio.
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Bibliografía:
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_algebraica
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/algebra_de_funciones.htm
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/algfw.htm
29
ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE LA LAGUNA Cursos Regulares
“ M A T E M Á T I C A S V I I I“
=CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD=
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.
Responsable:Lic. Alejandro Floriano Macías.
30
Gómez Palacio, Dgo. 2014
31
INDICE
CONTINUIDAD. 3
EJEMPLO 3
DISCONTINUIDAD 4
EJEMPLO 5
DISCONTINUIDAD EVITABLE 5
EJEMPLO 6
CONCLUSIÓN 7
BIBLIOGRAFÍA 7
32
CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD.
CONTINUIDAD.
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1. Que el punto x = a tenga imagen.
2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.
3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.
EJEMPLO.
Estudiar la continuidad de en x = 2
1. La función tiene imagen en x = 2.
f(2)= 4
2. La función tiene límite en x = 2 porque coinciden los límites laterales.
3. En x = 2 la imagen coincide con el límite
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En la gráfica podemos comprobar que es continua.
DISCONTINUIDAD.
Si alguna de las tres condiciones continuidad de no se cumple, la función es discontinua en un punto.
La función es discontinua porque en x = 2 no existe imagen .
34
EJEMPLO.
a función es discontinua porque en x = 2 no coincide la imagen con el límite.
DISCONTINUIDAD EVITABLE.
Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si
existe y éste es finito.
Nos encontramos con dos tipos de discontinuidad evitable:
Caso 1: La función no está definida en x = a
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La función presenta una discontinuidad evitable en x = 2 porque tiene límite, pero no tiene imagen.
Caso 2: La imagen no coincide con el límite
La función presenta una discontinuidad evitable en x = 2 porque la imagen no coincide con el límite.
EJEMPLO.
Si redefinimos la función del caso 1 conseguimos una función continua.
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CONCLUSIÓN:
Se puede decir que una función es continua si se puede observar una gráfica constante, que se pueda dibujar con un lápiz sin levantar este del papel, y as u vez toque el punto del límite establecido, en caso contrario será discontinua.
BIBLIOGRAFÍA:
http://www.vitutor.com/fun/3/b_6.html
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ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE LA
LAGUNA CURSOS REGULARES GÓMEZ PALACIO DURANGO
TEMA Incremento de una Función
MATERIA:
Calculo diferencial e integralSEMESTRE:
VIII.
ESPECIALIDAD:
MATEMÁTICAS.
PROFESOR:
Alejandro Floriano Macías
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Índice.-
1.- Incremento de una Función
2.- Conclusión
3.- Bibliografía
Incremento de una Función
La derivada de una función es un vector que apunta hacia la dirección donde la
función ve un mayor incremento en su valor.
A la luz de la afirmación anterior se puede concluir que la derivada de la función es
generalmente cero en algunos mínimos locales o máximos locales dado que en
esa posición la función no notaincrementos hacia una dirección en particular.
En algunos lugares la palabra gradiente también se usa para denotar la derivada
de la función.
Sin embargo, esta palabra es más apropiada para la derivada de la función de un
vector o para una función con múltiples variables.
El símbolo griego delta, representado como un triángulo es utilizado para mostrar
el cambio en el valor de una variable. y significaría un cambio en el valor de y.
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La pendiente de una línea recta se puede calcular como
La expresión anterior se denomina como cociente de la diferencia. Esto se debe a
que representa la diferencia entre dos cocientes.
La tasa o razón de cambio puede ser constante o no. Una tasa de cambio
constante es aquella que no cambia durante un período de tiempo.
Supongamos que la tasa de cambio del número de migrantes de los años 1978 a
1988 es 2.16 mientras que es de 6.9 desde el año 1988 a 2008.
Así podemos notar que en el ejemplo anterior la tasa de cambio no es constante.
En tal situación se puede calcular una tasa de cambio promedio en un intervalo.
Una fórmula general para representar una tasa de cambio promedio en un
intervalo sería,
Aquí y es una función en términos de t, representando la ecuación y = f (t). El
intervalo es considerado entre t = a y t = b.
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Si la tasa de cambio es constante durante todos los intervalos, entonces tal
función es llamada función lineal.
Si la tasa de cambio de una función se calcula sobre un tipo de intervalo o en un
punto específico, entonces la llamamos tasa de cambio instantánea.
La tasa de cambio de una función g en un punto x, llamada la razón o tasa
instantánea de cambio en x es el límite de la tasa promedio de variación de g a lo
largo de intervalos cada vez más pequeños alrededor de x.
Como sabemos la variación en la tasa es un cociente de la diferencia, la tasa
instantánea de cambio será el límite de esos cocientes.
La tasa de cambio instantánea es popularmente conocida por el nombre de
derivada.
No es posible calcular la derivada de una función en algún instante determinado,
por tanto la derivada de una función se calcula sobre un intervalo, aunque este
intervalo sea muy pequeño.
Entonces el cálculo de la derivada de una función también se puede hacer
mediante el cálculo de la tasa promedio de cambio en intervalos más cortos.
Considere a el tamaño del intervalo, entonces la tasa promedio de variación en el
intervalo x + a y x será,
f(x + h) – f(x)/ (x + h) – x que puede ser escrito como, f(x + h) – f(x)/ h
41
Ahora bien, para determinar el valor exacto de la derivada, tome el límite de la
función como h. Por lo cual la derivada de la función se calcula como,
Lim f(x + h) – f(x)/ h h → 0
Conclusión
Con todo lo aprendido, podemos concluir que el cálculo diferencial e integral es
una rama de la matemática que está no se encuentra muy visible en lo cotidiano
pero que en realidad es de mucha utilidad para interpretar y ver desde un punto de
vista muy general datos que se obtienen. A través de sus gráficas, medidas de
tendencia central y de dispersión podemos ver más claro y concreto un conjunto
de datos que se nos hacen muy complicados, en resumen son un verdadero
método de ayuda para informar.
Bibliografía
http://mitecnologico.com/igestion/Main/ConceptosDeIncrementoYDeRazonDeCambioLaDerivadaDeUnaFuncion
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ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE LA
LAGUNACURSOS REGULARES
MATERIA:
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
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TEMA : CONCEPTO DE DERIVADAS Y NOTACION DE LA
DERIVADASEMESTRE:
VIII.
ESPECIALIDAD:
MATEMÁTICAS.
PROFESOR:ALEJANDRO FLORIANO M.
CICLO ESCOLAR 2014-2015
INDICEHISTORIA.-..............................................................................................................2
CONCEPTO.-...........................................................................................................2NOTACION DE LA DERIVADA..................................................................................3CONCLUSIÓN.-................................................................................................6BIBLIOGRAFÍA.-...............................................................................................6
Historia.-
El concepto de derivada fue desarrollado por Leibniz y Newton. Leibniz
fue el primero en publicar la teoría, pero parece ser que Newton tenía
papeles escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz. Debido a la
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rivalidad entre Alemania e Inglaterra, esto produjo grandes disputas
entre los científicos proclives a uno y otro país.
Newton llegó al concepto de derivada estudiando las tangentes y
Leibniz estudiando la velocidad de un móvil.
Concepto.-
El concepto de derivada es muy fácil de comprender. Dada una
función y = f(x), la derivada mide la variación de y, cuando hay una
pequeña variación de x.
La definición de la derivada de la función y=f(x), es:
Por lo tanto, para que exista la derivada de una función en un punto,
tiene que existir ese límite. Cuando no existe este límite, se dice que la
función no es derivable en ese punto.
Para representar la derivada de una función se utilizan los
símbolos: y', f'(x) y dy/dx (es muy importante darse cuenta
que dy/dx es un símbolo y no una fracción. Esta notación de la
derivada, se llama notación de Leibniz.)
45
El símbolo f´(x), para las derivadas, fue introducido por Lagrange en
1797 en Théorie des fonctions analytiques.
NOTACION DE LA DERIVADA
Existen 3 tipos diferentes de notación, creados por diferentes matemáticos. Estos son:
Notación de Newton para Derivadas:En la notación de Newton para la diferenciación se
representa la diferenciación mediante un punto o comilla situado sobre el nombre de la
función, y que Newton denominó fluxion.
La notación de Isaac Newton se utiliza fundamentalmente en mecánica. Se define como:
etcétera.
Aunque no es útil para derivadas de mayor orden, en mecánica e ingeniería es útil ya que el
uso de derivadas de mayor orden no es habitual. En física y otros campos, la notación de
Newton es muy utilizada para la derivada respecto del tiempo, lo que permite diferenciarla de la
pendiente o derivada de la posición.
Notación de Leibnz para Derivadas:
En esta notación se representa la operación de diferenciar mediante el operador \frac {d} {dx} ,
es decir, la operación "derivada de la función f respecto de x" se representaría de este modo \
frac {df} {dx} como un cociente de diferenciales. La belleza y utilidad de esta notación consiste
46
en que permite recordar intuitivamente varios conceptos básicos del cálculo tales como la regla
de la cadena, que con esta notación parece obvia debido a la cancelación de diferenciales (a
pesar de que este razonamiento es incorrecto) \frac {df} {dx} \frac {dx}{dt} = \frac {df}{dt}; o bien
el concepto de separación de variables en la resolución de ecuaciones diferenciales \frac {dN}
{dt} = kN \Rightarrow \frac {dN}{N} = k dt.
La notación de Leibniz también es especialmente útil cuando se trabaja con derivadas parciales
de funciones multivariables y sus operadores derivados (gradiente, laplaciano, rotacional,
divergencia, etc.) ya que indica en cada momento la variable de la función que se considera
independiente, dejando el resto de variables como constantes en lo que se refiere a la
derivación parcial.
Notación para derivadas de orden superior.
1ra Derivada
; ; ; ; ;
2da Derivada
; ; ; ; ;
3ra Derivada
; ; ; ;
47
n-Derivada
; ; ;
Conclusión.-
Conocer la historia de la notación que se usa para las derivadas, nos ayuda a conocer a fondo
el porque utilizamos dichos símbolos durante nuestro día a día en las clases relacionadas con
las matemáticas, y principalmente con el cálculo diferencial.
Bibliografía.-
Concepto de Derivada
Derivadas de orden superior
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/
calc1inf1011/apjperez/calculo_cap06.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
48
ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE LA
LAGUNACURSOS REGULARES
MATERIA:
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
49
TEMA : DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIONDERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
SEMESTRE:
VIII.
ESPECIALIDAD:
MATEMÁTICAS.
PROFESOR:
ALEJANDRO FLORIANO M.
CICLO ESCOLAR 2014-2015
ContenidoDERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN..........................................................................1
Derivadas de orden superior..........................................................................................................3
Ejemplos:......................................................................................................................................4
CONCLUSION.................................................................................................................................6
BIBLIOGRAFIA................................................................................................................................6
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN
La derivada de una función con respecto a se denota como ó , si ahora derivamos la derivada de la función hemos encontrado la derivada de la derivada, es
50
decir, la segunda derivada de con respecto a y se denota como en donde
nos dice que estamos derivando dos veces la función y nos dice que las dos veces estamos derivando con respecto a .
Otra forma de denotar la segunda derivada es sin embargo con este tipo de notación en una función implícita no sabemos con respecto a que variable estamos derivando; este tipo de notación se utiliza cuando suponemos que las dos veces estamos derivando con respecto a .
Así como encontramos la segunda derivada derivando la primera derivada, si
derivamos la segunda derivada encontramos la tercera derivada de con respecto a . Si repetimos este proceso de derivación estamos calculando las derivadas sucesivas de
una función con respecto a .
En general la expresión representa la enésima derivada de con respecto a .
Ejemplo 1 Calcular la segunda derivada de la primera derivada es
y la segunda derivada es .
Ejemplo 2 Calcular la tercera derivada de la primera derivada es
la segunda derivada es y la
tercera derivada es .
Ejemplo 3 Calcular la segunda derivada de para calcular la primera
derivada definimos y , entonces
51
, para calcular la
segunda derivada utilizamos regla de la cadena y la segunda derivada es
Ejemplo 4 Encuentra la tercera derivada de la primera derivada es:
, la segunda derivada es:
y la tercera derivada es:
.
Ejemplo 5 Calcular la cuarta derivada de la primera derivada es:
, la segunda derivada por regla de la cadena
es: y la tercera derivada la calculamos por regla de la cadena y tenemos:
Derivadas de orden superior
Si es una función diferenciable, es posible considerar su función derivada como:
para en el dominio de .
52
Si para algunos valores existe el se dice que existe la segunda
derivada de la función que se denota por o , que equivale a . O
sea, la segunda derivada de la función se obtiene derivando la primera derivada de la función.
Ejemplos:
1. Si entonces:
y
2. Si entonces:
y derivando nuevamente
Por tanto
Similarmente podemos decir que la derivada de respecto a "x" es la tercera
derivada de respecto a "x" que se denota o .
La derivada de la tercera derivada es la cuarta derivada y así podríamos continuar
sucesivamente hasta la enésima derivada de que se denota por o . Generalmente se habla del orden de la derivada; así la primera derivada es la derivada de
53
primer orden, la segunda es la de segundo orden, la enésima derivada es la derivada de orden n.
Ejemplos:
1. Determinar , donde
Solución:
Obtenemos primero
Luego:
y se tiene que:
2. Determinar
Solución:
Se tiene que:
Por último:
54
3. Si determinar .
En este caso debemos dar una forma general para la derivada de orden n, partiendo de las regularidades que se presentan en las primeras derivadas que calculemos.
Así:
55
CONCLUSIONLos temas antes vistos nos sirven para muchas cosas como las que a continuación se mencionaran; Calcular intervalos de crecimiento y decrecimiento, calcular los extremos relativos de una función. Aplicar la teoría de extremos relativos a problemas de optimización. Calcular los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de una función. Calcular la pendiente de una curva en un punto cualquiera. Te sirve para hallar los máximos y mínimos de una función
Donde nos explica que se dedica al estudio del cambio (en funciones) o sea a ver cuánto cambia una función a medida que cambia "X" y mientras se cumpla que Y=f(X) podrás aplicarlo a funciones sujetas a cambio. Por ejemplo la aceleración es la derivada de la velocidad ya que un cambio en la velocidad nos da la aceleración.
BIBLIOGRAFIAhttp://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node11.html
http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/9.7.html
http://fabioxd.es.tl/Derivadas-sucesivas-de-una-funci%F3n.htm
56
ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE LA LAGUNA CURSOS REGULARES GÓMEZ PALACIO DURANGO.Teléfonos: 7145101 7376161
MATERIA: Cálculo Diferencial e Integral
PROFESOR: ME Alejandro Floriano Macías
Funciones crecientes y decrecientes
ESPECIALIDAD: Matemáticas 8vo. SemestreCiclo Escolar 2013-2014
57
Índice
FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE...........................................................................2
FUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO.................................................................................2
Ejemplo: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función......................................3
Bibliografía....................................................................................................................................4
FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE
· Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que f( x1 ) < f( x2 ). Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2). · Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ).Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.
FUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO · Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto
f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) yf(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e).
58
· Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) yf(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e). La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo £ por < y el ³ por el >. Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.
Ejemplo: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------� Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x2 en los puntos
Resolución:· La función y = x2 es estrictamente creciente en el intervalo [0, +¥) puesto que si
Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-¥, 0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x3 < x4 Þ x3
2 > x42 (por ejemplo, -7 < -
3 y (-7)2 > (-3)2 ). Es estrictamente decreciente en x = 0.
Conclución
59
· Nótese cómo en x = 0 la función no es creciente ni decreciente. A la izquierda de este punto es decreciente y a la derecha es creciente. Como pone de manifiesto este ejemplo, toda función creciente en un intervalo (respectivamente decreciente) es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de ese intervalo. Recíprocamente, toda función estrictamente creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de un intervalo, es creciente (respectivamente decreciente) en todo el intervalo.
Bibliografía http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funcreyd.htm
60
Asignatura: Cálculo Diferencial e Integral
Profesora: ME. Alejandro Floriano Macías
Especialidad: Matemáticas
Semestre: VIII
61
INDICE
21. Derivadas de funciones trigonométricas inversas.
21.1 Derivada del arcoseno
21.2 Derivada del arcocoseno
21.3 Derivada del arcotangente
21.4 Derivada del arcocotangente
21.5 Derivada del arcosecante
21.6 Derivada del arcocosecante
21.1 Derivada del arcoseno
La derivada del arcoseno de una función es igual a la derivada de la función
dividida por la raíz cuadrada de uno menos el cuadrado de la función.
Ejemplos
62
21.2 Derivada del arcocoseno
La derivada del arcocoseno de una función es igual a menos la derivada de
la función dividida por la raíz cuadrada de uno menos el cuadrado de la
función.
Ejemplos
63
21.3 Derivada del arcotangente
La derivada del arcotangente de una función es igual a la derivada de la
función dividida por uno más el cuadrado de la función.
Ejemplos
64
21.4 Derivada del arcocotangente
La derivada del arcotangente de una función es igual a menos la derivada de
la función dividida por uno más el cuadrado de la función.
21.5 Derivada del arcosecante
La derivada del arcosecante de una función es igual a la derivada de la
función dividida por la función multiplicada por la raíz cuadrada del cuadrado
de la función menos 1.
21.6 Derivada del arcocosecante
La derivada del arcocosecante de una función es igual a menos la derivada
de la función dividida por la función multiplicada por la raíz cuadrada del
cuadrado de la función menos 1.
Conclusión
65
El tema menciona subtemas, los cuales han sido desarrollados cada uno
de éstos mencionando brevemente la explicación al igual que dando
ejemplos para que se obtenga una mejor comprensión del tema.
Bibliografía
www.dervor.com
S E C R E T A R Í A D E E D U C A C I Ó N
ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE LA LAGUNA
CURSOS REGULARES CLAVE: 10PNS0005E
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN SECUNDARIA
GOMEZ PALACIO, DGO.
MAESTRO: ALEJANDRO FLORIANO MACÍAS.
MATERIA Y ESPECIALIDAD:
66
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. MATEMÁTICAS VIII.
FECHA: JULIO DEL 2014.ÍNDICE.
I. DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA. (DEFINICIÓN)
II. DERIVADAS LOGARÍTMICAS (EJEMPLOS)
III. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL (DEFINICIÓN)
IV. EJEMPLOS.
V. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE E.
VI. EJEMPLOS.
VII. CONCLUSIÓN.
VIII. BIBLIOGRAFÍA
67
DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.
Tenemos una función , por la definición de derivada:
Por las propiedades de los logaritmos tenemos que:
Que podemos trasformar en:
68
Como si tiende a cero tiende a infinito, podemos hacer el siguiente
cambio de variable:
Y por la definición del número e, tenemos que:
O, lo que es lo mismo:
En el caso particular del logaritmo natural:
Ya que .
69
Derivadas logarítmicas (Ejemplos)
La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida
por la función, y por el logaritmo en base a de e.
f(x) = log v f’(x) = loge/v , dv/dx
Derivada de un logaritmo natural La derivada del logaritmo natural es igual a la
derivada de la función dividida por la función.
f(x)= ln v = f’(x) 1/ v . dv/dx
En algunos ejercicios es conveniente utilizar las propiedades de los logaritmos
antes de derivar, ya que simplificamos el cálculo
1.- Log Aⁿ = n loga 2.- Log ( A.B) = Log A + Log B
3.- Log A/B = Log A – Log B
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Partimos de una función exponencial . Vamos a usar la derivada de la
función inversa:
Dado que y són funciones inversas,
tenemos que:
70
O lo que es lo mismo:
En el caso concreto que , tenemos que:
Ya que .
EJEMPLOS.
La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el
logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE E
71
La derivada de la función exponencial de base e es igual a la misma función
por la derivada del exponente.
Ejemplos
CONCLUSIÓN.
La función exponencial es siempre la inversa de la función logarítmica y ésta, a su
vez, es siempre la inversa de la función exponencial. Por eso se dice que ambas
funciones son "hermanas". Es importante aprender bien las funciones
exponenciales y logarítmicas, porque ambas son de gran importancia en las
72
matemáticas. La determinación de la DERIVADA de estas funciones, al igual que
a las anteriores, consiste básicamente en aplicar la fórmula correspondiente para
cada caso. Teniendo especial cuidado en el formato primario, ya que este se
basará por lo general en alguno de los casos fundamentales de la derivación
algebraica,
BIBLIOGRAFÍA.
http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Demostraci
%C3%B3n_de_derivadas_de_funciones_exponenciales_y_funciones_logar
%C3%ADtmicas
http://www.dervor.com/derivadas/derivada_exponencial.html
http://www.fic.umich.mx/~lcastro/7%20derivada%20funciones%20logaritmicas.pdf
http://aprendiendocalculo.foroactivo.com/t6-derivadas-logaritmicas-y-
exponenciales
73
S E C R E T A R Í A D E E D U C A C I Ó N
ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE LA LAGUNA
CURSOS REGULARES CLAVE: 10PNS0005ELICENCIATURA EN EDUCACIÓN SECUNDARIA
GOMEZ PALACIO, DGO.
Profesor:
Alejandro Floriano Macías
74
Límite de otro tipo y formas independientes
Especialidad: MATEMÁTICAS Semestre: Octavo
Ciclo Escolar 2013-2014
Gómez Palacio, Dgo. Abril 2014
Indicé:
1. Introducción2. Limites indeterminados3. Ejemplos4. Conclusión5. Bibliografía
Introducción
Cuando después de evaluar el límite de una función en un punto “a”, se obtiene una forma indeterminada como:
Se dice que el límite cuando la función tiende a éste punto es una “forma indeterminada”.Para poder evaluar el comportamiento de la función en el punto “a”, se debe hacer uso de reglas algebraicas tales como: La factorización, La racionalización y otras.De ésta manera se transforma nuestra función original en una nueva. Y ahí si podemos valorarla en éste punto.
75
Es importante recalcar, que no se debe confundir el cociente 0/r, donde r es cualquier número diferente de cero, con una forma indeterminada, pues en éste caso el resultado es sencillamente “cero”
A continuación se listan varios vídeos ejemplo de ésta situación
Forma indeterminada 0/0
Límites indeterminados Se llaman límites indeterminados a los que presentan alguna de estas formas:
Contra lo que se pudiera pensar, un límite de la forma - no da, en general, como resultado cero, tampoco un límite de la forma 1 da siempre como resultado uno. Por esta razón se les llama límites indeterminados y se requiere hacer un estudio particular para cada caso. Obsérvese que ya se han estudiado varios casos de indeterminaciones de la
-apasando por todos los valores intermedios.
Ejemplos:
Resolución: Este límite es de la forma . Indeterminado. Este límite se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado, es decir, por
76
Por tanto el límite se reduce a calcular
Resolución:
El primer factor tiene por límite cero ya que el grado del numerador es menor que el del denominador. El segundo factor tiene por límite pues el grado del numerador es mayor que el del denominador. El límite es por tanto de la forma 0·. Indeterminado. Multiplicando las dos fracciones:
Al ser un cociente de polinomios de igual grado,
Resolución:
77
Resolución:
Se saca factor común n2 en la expresión n2 + 3n -2:
Conclusión:En límites indeterminados es un cierto límite cuyo valor en un primer momento se desconoce o puede no existir. Para determine su valor en caso de que exista, se requiere realizar algunas maniobras algebraicas.
Para poder evaluar el comportamiento de la función en el punto “a”, se debe hacer uso de reglas algebraicas tales como: La factorización, La racionalización y otras.De ésta manera se transforma nuestra función original en una nueva. Y ahí si podemos valorarla en éste punto.
78
Es importante recalcar, que no se debe confundir el cociente 0/r, donde r es cualquier número diferente de cero, con una forma indeterminada, pues en éste caso el resultado es sencillamente “cero”
A continuación se listan varios vídeos ejemplo de ésta situación
Forma indeterminada 0/0
Bibliografía:http://matematicasbasicas.wordpress.com/videos-explicativos/limites-indeterminados/
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/limind.htm
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COMPENDIO
79
Profesor:
ALEJANDRO FLORIANO MACIAS
ESPECIALIDAD: MATEMATICAS SEMESTRE: OCTAVO
CICLO ESCOLAR: 2013-2014
INDICE
1.1.- LA DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIO
1.1.- FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
LA DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIO
80
En general, una razón de cambio con respecto al tiempo es la respuesta a esta pregunta. La derivada dy/dx de una función y=f(x) es una razón de cambio instantánea con respecto a la variable x. Si la función representa posición o distancia entonces la razón de cambio con respecto al tiempo se interpreta como velocidad.Si dos cantidades están relacionadas entre sí, entonces cuando una de ellas cambia con el tiempo, la otra cambiará también. Por lo tanto sus razones de cambio (con respecto al tiempo) están relacionadas entre sí. Por ello a este tipo de situaciones se les llama razones de cambio relacionadas.EjemplosEjemplo 1:Una persona de 1.80 metros de altura se aleja de un poste de alumbrado de 6 metros de altura con una velocidad de 1 m/s.¿ qué rapidez crece la sombra de la persona?Observa la siguiente animación. En ella observarás como cambia la sombra que una persona proyecta sobre el piso, cuando esa persona se aleja de la fuente luminosa.Como habrás observado, la longitud de la sombra depende de la distancia de la persona al poste. Puesto que la distancia x cambia con el tiempo, también la longitud de la sombra se cambia con el tiempo. La razón de cambio de la longitud de la sombra con respecto al tiempo, depende de la velocidad con la que la persona se aleja del poste. A esto le llamamos razones de cambio relacionadas. Enseguida, se muestran los cálculos necesarios para encontrar la razón de cambio de la sombra del ejemplo anterior.
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
Función decrecientef es decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:
Si f es derivable en a:
Función crecientef es creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:
ejemplo:La poblacion de cierta ciudad, en miles de habitantes dentro de t años, se calcula por la expresion:8P (t)= 40- ------t+2 calcula la rapidez con la que estara creciendo la poblacion durante 2 años
81
SOLUCION: La rapidez con la que crece la poblacion en t años es la razon de cambio instantaneo de P(t) con respecto a t; por consiguiente, debemos calcular primero P´(t) y luego debemos evaluarla t=28P(t)=40- ----- miles t+2
rescribamos la funcion anterior de manera que P(t) se pueda derivar mediante la regla de la cadena-1P´(t)=40-8(t+2)-2P´(t)= 8 (t+2)
8P´(t)=----------2(t+2)Por lo tanto la rapidez con que crece la poblacion dentro de 2 años es P´(2)8P´(2)= -----2(2+2)
CONCLUCIÓN
Los fenómenos que ocurren en la naturaleza están relacionados entre si; por ejemplo la aceleración con que se desplaza un móvil depende de la magnitud de la fuerza que se le aplica; la distancia que recorre dicho móvil depende del tiempo.Lo que generalmente interesa es la rapidez con que cambia el valor de la variable dependiente de una función cuando el valor de la variable independientemente cambia. En concreto lo que nos interesa es el cambio instantáneo.La variable de una razón es precisamente la razón de cambio instantánea de una función o simplemente su razón de cambio.
BIBLIOGRAFIA
http://elmaravillosomundodelcalculo.blogspot.mx/2009/06/la-derivada-como-razon-de-cambio.html
http://www.buenastareas.com/ensayos/La-Derivada-Como-Razon-De-Cambio/2683539.html
82
ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE LA LAGUNA
83
CURSOS REGULARES
MATERIA:
CALCULO DIFERENCIAL
ESPECIALIDAD:
MATEMÁTICAS.
SEMESTRE:
VIII.
PROFESOR:
ALEJANDRO FLORIANO MACIAS
CICLO ESCOLAR 2013-2014INDICE
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PENDIENTE DE UNA LINEA RECTA1. ¿Qué es?2. Orientación de la pendiente de la recta3. Grado de inclinación
PENDIENTE DE UNA CURVA. INTERPRETACION GRAFICA
4. ¿Qué es?5. Pasos para sacar la pendiente
6. Conclusiones7. Bibliografía
85
PENDIENTE DE UNA LINEA RECTA1. ¿QUÉ ES?
La pendiente de una línea en el plano se define como la subida en la carrera, m = y Δ / Δ x.
La pendiente o gradiente de una línea describe su pendiente, la inclinación o grado. Un valor de la pendiente más alta indica una pendiente más pronunciada.
La pendiente es (en los términos más sencillos) la medición de una línea, y se define como la relación de la “subida” dividido por la “corrida” entre dos puntos en una recta, o en otras palabras, la razón de la altitud cambio a la distancia horizontal entre dos puntos cualesquiera de la línea.
Dados dos puntos (x 1, y 1) y (x 2, y 2) en una línea, la pendiente m de la línea es
La pendiente de una línea en el plano que contiene los ejes x e y es generalmente representado por la letra m, y se define como el cambio en la coordenada y dividido por el cambio correspondiente en la coordenada x, entre dos puntos distintos en la línea. Esto se describe por la siguiente ecuación:
(El delta del símbolo , “ Δ “, es comúnmente usado en las matemáticas en el sentido de” diferencia “o” cambio “.)
Dados dos puntos (x 1, y 1) y (x 2, y 2), el cambio en x de una a otra es x 2 - x 1 (marcha), mientras que el cambio en y es y 2 - y 1 ( lugar).
Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación anterior se obtiene lo siguiente:
2. ORIENTACION DE LA PENDIENTE DE LA RECTA
Si tenemos
y = 3x − 4 esto es igual a,
86
3x − y − 4 = 0 (ecuación de la recta)
Ahora lo que sigue es sacar la pendiente, pero ¿Cómo se obtiene la pendiente si solo tenemos la fórmula?
Pues hay dos maneras de hacerlo: directa e indirecta
:Indirecta:
Obtenemos dos puntos (x e y) a partir de dos valores dados a x (por ejemplo, x = 1 y x = 2), y los ponemos en la ecuación de la recta:
3x − y − 4 = 0 si (x = 1)
3(1) − y − 4 = 0
3 − y − 4 = 0
y − 7 = 0
y = 7
P1 (1, 7) = (x1, y1)
3x − y − 4 = 0 si (x = 2)
3(2) − y − 4 = 0
6 − y − 4 = 0
y − 10 = 0
y = 10
P2 (2, 10) = (x2, y2)
Ahora sustituimos en la fórmula de la pendiente:
(esta es la pendiente)
Directa:
Basándonos en los valores de la recta podemos conseguir la pendiente:
3x − y − 4 = 0
Ax − By − C = 0
A = cantidad de x
B = cantidad de y
C = Número cualquiera
Ahora solo sustituimos en la fórmula de la pendiente
(esta es la pendiente)
3. GRADO DE INCLINACIÓN
Dada una recta, gráficamente su pendiente nos da su grado de inclinación
Pendiente positiva
87
Cuando la recta es creciente (al aumentar los valores de x aumentan los de y), su pendiente es positiva, en la expresión analítica m > 0
Pendiente negativa
Cuando la recta es decreciente (al aumentar los valores de x disminuyen los de y), su pendiente es negativa, en la expresión analítica m < 0
Pendiente nula o cero
Cuando la recta es constante se dice que tiene pendiente nula, en la expresión analítica m = 0
Visualmente, también podemos definir si la pendiente es positiva o negativa:
Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.
Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.
88
Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:
Pendiente Tipo de recta
positiva recta ascendente
negativa recta descendente
cero recta horizontal
no definida recta vertical
89
90
PENDIENTE DE UNA CURVA. INTERPRETACION GEOMETRICA
4. ¿QUÉ ES?La pendiente de una gráfica en un punto es la inclinación que tiene la recta tangente a la gráfica en ese punto, dado que la pendiente es una la proporción que existe entre la altura y la longitud y es representada con la letra “m”, donde m = Altura/Longitud.
Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo, data del gran científico griego Arquímedes (287 – 212 a.C.) es el llamado: problema de las tangentes y que se describe a continuación.
Dada una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x) (fig. 9.5.).
fig. 9.5.
Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de la curva y próximo a P.
La recta que pasa por P y Q se denomina: recta secante.
Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas: Q1, Q2, Q3, ..., Qn, ..., entonces, la posición límite (si existe) de la secante, se denomina: la recta tangente a la curva en P.
Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son respectivamente:
, (Ver fig. 9.6.), entonces, la pendiente de la recta secante , denotada
por viene dada por:
91
fig. 9.6.
En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical), es la recta cuya
pendiente viene dada por:
De esta forma, la ecuación de la recta tangente a la curva en es:
(Punto – Pendiente)
5. PASOS PARA SACAR LA PENDIENTE SE: * Selecciona dos puntos de la recta tangente y determina sus coordenadas. * Calcula la diferencia entre las coordenadas Y de los dos puntos seleccionados. * Calcula la diferencia entre las coordenadas X de dichos puntos. * Divide la diferencia de coordenadas Y entre la diferencia de coordenadas X
Sentido de las pendientes
m = Y/X = +/+ = + m = Y/X = -/+ = - m = Y/X = +/- = - m = Y/X = -/- = +
6. CONCLUSIONES.
92
Los conocimientos de límites y derivada se complementan con los de pendiente.
La ecuación para hallar la pendiente de una tangente es la q se utiliza para hallar la derivada de la misma.
La pendiente se encuentra de tomar dos puntos de una recta (tangente) P(X1,Y1) q pasa por una función F(x) , P se define como la recta que pasa por P y entonces “tiene pendiente”
Se halla la pendiente siempre que el limite exista.
93
7. BIBLIOGRAFIA
http://misecundaria.com/Main/PendienteDeLaRecta
http://derivadasonceb.blogspot.mx/2009/10/inclinacionde-una-linea-recta.html
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Recta_Pendiente.html
http://www.educaplus.org/movi/3_1pendiente.html
http://www.ict.edu.mx/acervo_ciencias_mate_Derivadas.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_(matem%C3%A1ticas)
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MATERIA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTREGRAL II
TEMA: CURVATURA, RADIO DE CURVATURA Y COORDENADAS DE CENTRO
DE CURVATURA
PROFESOR: ALEJANDRO FLORIANO MACIAS
ESPECIALIDAD: MATEMÁTICAS
SEMESTRE: VIII
Índice95
Curvatura____________________________________( )
Radio de curvatura y coordenadas de centro de curvatura
____________________________________( )
Conclusión__________________________________( )
Bibliografía__________________________________( )
Curvatura
En matemáticas, la curvatura se refiere a cualquiera de una serie de conceptos
vagamente relacionados en las diferentes áreas de la geometría. Normalmente se
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refiere a un concepto métrico de objetos matemáticos o geométricos. Por extensión
también se usa el término para referirse a un número u objeto matemático que
caracteriza la forma y magnitud de la curvatura.
Intuitivamente, la curvatura es la cantidad por la cual un objeto geométrico dentro de un
espacio euclídeo se desvía de ser plano, o lineal, pero esto se define de diferentes
maneras dependiendo del contexto. Hay una diferencia clave entre la curvatura
extrínseca, que se define para los objetos incrustados en otro espacio (por lo general un
espacio euclidiano) de manera que se relaciona con el radio de curvatura de los
círculos que tocan el objeto, y la curvatura intrínseca, que se define en cada punto en
una variedad de Riemann.
Radio de curvatura y coordenadas de centro de una curvatura
En el lenguaje ordinario, decimos que un trozo de carretera Δs tiene más curvatura que
otro cuando el cambio de dirección Δ&#or a igualdad de camino recorrido en ambos.
El radio ρ de curvatura medio e instantáneo se definen, respectivamente.
El radio de curvatura ρ y el centro C de curvatura se determinan del siguiente modo: Se
traza la tangente a un punto de la trayectoria y a continuación, se traza la normal. Se
toma un punto muy próximo al anterior, se traza la tangente y la normal en dicho punto.
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Las normales se cortan en un punto denominado centro de curvatura C, y la distancia
de C a uno u otro punto de la trayectoria, infinitamente próximos entre sí, se denomina
radio de curvatura ρ.
Si el ángulo comprendido entre las dos tangentes es dθ, este es el ángulo que forman
las dos normales. La longitud del arco entre los dos puntos considerados es ds=ρ·dθ .
Para saber cómo encontrar el radio de una curvatura se pueden seguir los siguientes
pasos:
1: Examina un ejemplo del mundo real relacionado con el radio de una curvatura.
Imagina que estás conduciendo a través de un camino curvo, forzándote a tomar en
volante en una posición determinada. Si en el punto A del camino mantuvieras el
volante en una posición fija, el automóvil viajaría en círculo. Dicho círculo es la
curvatura de la función en el punto A, y su radio es el radio de la curvatura.
2: Deriva la ecuación del radio de una curvatura para una función f(x). Esta ecuación
debe derivarse con cálculo diferencial y está dada por p(x) = (1 + f''''(x)^2)^(3/2)/f''''''''(x),
donde x es la coordenada x de un punto en la curva, f''''(x) es la primera derivada de f(x)
y f''''''''(x) es la segunda derivada de f(x).
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3: Determina las restricciones para f(x). Debe ser diferenciable, y su derivada también
debe ser diferenciable. Debido a que el denominador es f''''''''(x), esta función también
debe ser diferente de cero.
4: Calcula el radio de la curvatura para una función específica. Si f(x) = x^2, entonces
f''''(x) = 2x y f''''''''(x) = 2. Por lo tanto, p(x) = (1 + f''''(x)^2)^(3/2)/f''''''''(x) = (1 +
(2x)^2)^(3/2)/2 = (1 + 4x^2)^(3/2)/2. Por lo tanto, el radio de la curvatura para la curva y
= x^2 está dado por p = (1 + 4x^2)^(3/2)/2.
5: Interpreta la ecuación p = (1 + 4x^2)^(3/2)/2. En el punto (0,0), p = (1 + 4x^2)^(3/2)/2
= (1 + 0)/2 = ½. El radio de la curvatura de la función y = x^2 en el punto (0,0) es ½ y su
centro es (0,2).
El centro C de curvatura se determina geométricamente del siguiente modo: Se traza la
tangente a un punto de la trayectoria y a continuación, se traza la normal. Se toma un
punto muy próximo al anterior, se traza la tangente y la normal en dicho punto.
Las normales se cortan en un punto denominado centro de curvatura C, y la distancia
de C a cada punto de la curvatura deben ser los mismos, dicha distancia se denomina
radio de curvatura _.
Conclusión:
Como conclusión del presente tema se podría decir que lo que se ha visto tal vez no
sea muy útil, ya que la mayoría de las personas no harán uso de estas fórmulas, aun
así las curvaturas están presentes en muchos momentos de nuestras vidas y pueden
ser útiles dependiendo de lo que se haga en la vida.
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Bibliografía
http://www.ehowenespanol.com/encontrar-radio-curvatura-como_19386/
http://marcelrzm.comxa.com/CalcDif/38AplicGeometDeriv.pdf
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