Ecuaciones y Funciones de Segundo Grado

Ecuacin de segundo grado oecuacin cuadrtica de una variable

Unaecuacin de segundo grado oecuacin cuadrtica de una variablees unaecuacinque tiene la forma de una suma algebraica de trminos cuyo grado mximo es dos, es decir, una ecuacin cuadrtica puede ser representada por unpolinomiodesegundo gradoo polinomio cuadrtico. La expresin cannica general de una ecuacin cuadrtica de una variable es:

dondexrepresenta lavariable, y dondea,bycsonconstantes;aes el coeficientecuadrtico (distinto de 0),bel coeficiente lineal yces el trmino independiente. Este polinomio se puede representar mediante unagrficade unafuncin cuadrticaoparbola. Esta representacin grfica es til, porque la interseccin de esta grfica con eleje horizontalcoincide con las soluciones de la ecuacin (y dado que pueden existir dos, una o ninguna interseccin, esos pueden ser el nmero de soluciones reales de la ecuacin).

Frmula Cuadrtica

Para una ecuacin cuadrtica con coeficientesrealesocomplejosexisten siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadasraces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Frmula general para la obtencin de races:

Se usa para indicar las dos soluciones:

y

Discriminante

Ejemplo del signo deldiscriminante: : dos soluciones reales distintas. : una solucin real doble

: dos soluciones complejas y conjugadas

En la frmula anterior, la expresin dentro de laraz cuadradarecibe el nombre dediscriminantede la ecuacin cuadrtica. Suele representarse con la letraDo bien con el smbolo(delta):

Una ecuacin cuadrtica con coeficientesrealestiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solucin real demultiplicidad2, o bien dos races complejas. El discriminante determina landoley lacantidadde races.

Sihay dos soluciones reales y diferentes (la parbola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):

Si hay una solucin realdoble(la parbola slo toca en un punto al eje de las abscisas: X):

Si hay dos soluciones complejasconjugadas(la parbola no corta al eje de las abscisas: X):

dondeies launidad imaginaria.

Ecuacin Bicuadrtica

stas son un caso particular de laecuacin de cuarto grado. Les faltan los trminos a la tercera y a la primera potencia. Su forma polinmica es:

Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer elcambio de variableCon lo que nos queda:El resultado resulta ser una ecuacin de segundo grado que podemos resolver usando la frmula:

Al deshacer el cambio de variable aparecen las cuatro soluciones:

Otras ecuaciones con cambio de variable

El mismo procedimiento podemos utilizar para resolver las ecuaciones del tipo:

ax6+ bx3+ c = 0

ax8+ bx4+ c = 0

ax10+ bx5+ c = 0

Ejemplo

x6-7x3+ 6= 0 considerando que x3 = t

entonces: t2- 7t+ 6 = 0

Clasificacin

La ecuacin de segundo grado se clasifica de la forma siguiente:

1.Completa.

donde los tresliterales:a,byc, son distintos de cero.

2.Incompleta pura. Puede expresarse de las dos maneras siguientes:

donde los valores deay decson distintos de cero. Se resuelve despejando x.

Una ecuacin cuadrtica incompleta:

conadistinto de cero. Su nica solucin de multiplicidad dos es x = 0.

3.Incompleta mixta. Se expresa como:

donde los valores deay debson distintos de cero. Se resuelve por factorizacin de x. Siempre una de sus soluciones es: x1= 0

Teorema de Cardano Vieta

Partiendo de que tenemos una ecuacin cuadrtica con races, podemos construir el binomio a partir de estas con:

De lo que se deduce las siguientes propiedades:

P1: Suma de races

P2: Producto de races

Observacin:

Solucin de ecuaciones cuadrticas

Hemos visto que una ecuacin cuadrtica es una ecuacin en su forma ax2+ bx + c = 0, dondea, b, ycson nmeros reales.Pero este tipo de ecuacin puede presentarse de diferentes formas:

Ejemplos:

9x2+ 6x + 10= 0a= 9,b= 6,c= 10

3x2 9x+ 0= 0a= 3,b= 9,c = 0(el cero,la c, no se escribe, no est)

6x2+ 0x+ 10= 0a= -6,b = 0, c = 10 (el cero equis,la b, no se escribe)

Para resolver la ecuacin cuadrtica de la formaax2+ bx + c = 0(o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes mtodos:Solucin por factorizacin

En toda ecuacin cuadrtica uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor dexde cada uno.

Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplos

1) Resolver

(x + 3)(2x 1) = 9

Lo primero es igualar la ecuacin a cero.

Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factorizar esta ecuacin:

(2x 3)(x + 4) = 0

Ahora podemos igualar a cero cada trmino del producto para resolver las incgnitas:

Si

2x 3 = 0

2x = 3

Si

x + 4 = 0

x= 4

Esta misma ecuacin pudo haberse presentado de varias formas:

(x + 3)(2x 1) = 9

2x2+ 5x 12 = 0

2x2+ 5x = 12

2x2 12 = 5x

En todos los casos la solucin por factorizacin es la misma:

2) Halle las soluciones de

La ecuacin ya est igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en trminos dex:

Ahora, si

x = 0

o si

x 4 = 0

x=4

Algunos ejercicios:Resolver cada ecuacin por el mtodo de factorizacin:

Solucin por la frmula generalExiste una frmula que permite resolver cualquier ecuacin de segundo grado, que es la siguiente:

La frmula genera dos respuestas: Una con el signoms (+)y otra con el signomenos ()antes de la raz. Solucionar una ecuacin de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letrasa,bycy sustituir sus valores en la frmula.

La frmula general para resolver una ecuacin de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuacin de segundo grado, sea completaoincompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las tcnicas defactorizacin.

Ejemplo:

Resolver la ecuacin2x2+ 3x 5 = 0

Vemos claramente quea = 2, b = 3y c = 5, as es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el :

y tambin

As es que las soluciones son

.

Aqu debemos anotar algo muy importante:

En la frmula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresin. Esa raz cuadrada slo existir cuando el radicando (b2 4ac) sea positivo o cero.

El radicandob2 4acse denominadiscriminantey se simboliza por. El nmero de soluciones(llamadas tambin races) depende del signo dey se puede determinar incluso antes de resolver la ecuacin.

Entonces, estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto), podemos saber el nmero de soluciones que posee:

Si es positivo, la ecuacin tiene dos soluciones.

Si es negativo, la ecuacin no tiene solucin.

Si es cero, la ecuacin tiene una nica solucin.

En el ejemplo anterior el discriminante era = 49, positivo, por eso la ecuacin tena dos soluciones.

Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a b la raz y lo dividimos por 2a, y otra solucin cuando restamos a b la raz y lo dividimos por 2a.

Trabajando con ecuaciones de segundo grado

Como lo dijimos al comienzo, cualquier ecuacin de segundo grado puede, mediante transformaciones, expresarse en la formaax2+ bx + c = 0, donde a, y b son loscoeficientesde los trminosx2 yx, respectivamente y ces el trmino independiente.

Ecuacin de segundo grado completaUna ecuacin de segundo grado escompletacuando los tres coeficientesa, b, y cson distintos de cero.

Entonces, la expresin de una ecuacin de segundo grado completa es

ax2+ bx + c = 0.

Ecuacin de segundo grado incompleta

Una ecuacin de segundo grado esincompletacuando los trminos b oc, o ambos, son cero.

(Sia = 0, la ecuacin resultante sera bx + c = 0, que no es una ecuacin de segundo grado.)

La expresin de una ecuacin de segundo grado incompleta es:

ax2= 0; si b = 0 y c = 0.

ax2+ bx = 0; si c = 0

ax2+ c = 0; si b = 0

Algunos ejemplos, con soluciones

1) Resolver: 5x2+ 13x + 6 = 0

Se identifican las letras, cuidando que la ecuacin est ordenada respecto a lax, de grado mayor a menor. Con esta condicin tenemos:a = 5; b = 13; c = 6.

Se aplica la frmula:

Como la raz buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289), se tiene entonces que:

Segn esto, tendremos dos races diferentes, una usando el signo + y otra usando el signo .

Llamaremos X1y X2a las dos soluciones, que sern:

Ambos valores de x satisfacen la ecuacin, es decir, al sustituirlos en ella producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuacin se le denominaverificacin.

Probando con x = 3. Resulta:5 (3)2 + 13 (3) + 6 = 45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro.Probando con

se tiene

Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 3 yson las races de 5x2+ 13x + 6 = 0

2.- Resolver:6x x2= 9

Hacemos los cambios necesarios para que la ecuacin tenga la forma conocida.