Corte y Torsión en Elementos de

Hormigón Pretensado

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ContenidoIntroducción................................................................................................................................................2

Corte en estado de servicio.........................................................................................................................2

Calculo de estribos en el estado último.......................................................................................................2

Ubicación para calcular el máximo esfuerzo de corte mayorado............................................................2

Introducción al estudio de Torsión en Hormigón Pretensado.............................................................2

Detalles de la armadura de torsión.........................................................................................................2

Equilibrio y compatibilidad - Momento torsor mayorado, Tu.................................................................2

Sección crítica..........................................................................................................................................2

Torsión y flexión......................................................................................................................................2

Ejemplo practico..........................................................................................................................................2

Bibliografía..................................................................................................................................................2

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IntroducciónEn general y en particular en los tramos simples, las secciones críticas para flexión

están solicitadas por fuerzas de corte mínimas y las tensiones normales extremas

actúan solas; por otra parte, los valores obtenidos en los ensayos de flexión se

aproximan a los teóricos. En cambio, la determinación de parámetros de corte en vigas

de H°A° y H°P° no tienen el mismo grado de claridad y aproximación cuando las

secciones están fisuradas. La dispersión de valores experimentales es grande y

muchas las formulas que tratan de tomar en cuenta las muchas variables que

intervienen. Se han llevado a cabo numerosos ensayos; sin embargo, no hay criterios

completamente aceptados como en el caso de la flexión.

En el presente trabajo se presenta el cálculo elástico de las tensiones principales,

válido para secciones no fisuradas con el objeto de mostrar que son relativamente de

poco valor y donde no es necesario ninguna o una mínima armadura. Pero, como a un

incremento de las tensiones de corte corresponde un incremento grande de las

tensiones principales de tracción que fisuran la sección, se expondrá algo de las

formulas semiempiricas para calcular elementos solicitados por sobrecargas y efectos

dinámicos. También se presenta una breve introducción a los métodos que unifican la

flexion, el corte y la torsión.

En una viga pretensada solicitada por cargas monotónicamente crecientes, los ensayos

muestran tres zonas; A,B y C. En la zona A (figura 1) no se observan fisuras de

consideración; en la zona B las fisuras están en el alma de la viga (falla I) y en la parte

C, las fisuras se originan en el borde traccionado y se propagan por el alma con

diferentes inclinaciones.

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Aunque el comportamiento de las estructuras dimensionadas por los métodos que se

indican es satisfactorio, se debe estar alerta cuando se proyectan estructuras de almas

muy delgadas.

Se considera que los elementos pretensados son más confiables que los de H°A°

porque el fenómeno de retracción disminuye la resistencia al corte de estos últimos, lo

que se evita en H°P° mediante la pre compresión parcial temprana.

Corte en estado de servicio

En vigas de concreto pre esforzado sometidas a cargas de servicio, existen dos

factores que disminuyen en forma considerable la intensidad de los esfuerzos de

tensión diagonal, en comparación con los que existirían si la fuerza de pre esfuerzo no

estuviera presente. El primero de éstos resulta de la combinación de esfuerzos

longitudinales de compresión y de esfuerzos cortantes. En la figura 19.22 (a).se

presenta una viga corriente de concreto reforzada a tensión y sometida a carga.

Los esfuerzos que actúan sobre un pequeño elemento de la viga tomado muy cerca

del eje neutro y del apoyo se ilustran en la parte (b). Mediante el círculo de esfuerzos

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de Mohr (c) se encuentra que los esfuerzos principales actúan a 45o del eje de la viga

(d) y son numéricamente iguales a la intensidad de los esfuerzos cortantes; así que:

Suponga ahora que la misma viga con las mismas cargas se somete a un esfuerzo de

pre compresión

Con una magnitud c, como se indica en la figura 19.23a y b. A partir del círculo de Mohr

(ver la Figura 19.23(c)), el esfuerzo de tensión principal es:

Y la dirección de la tensión principal con respecto al eje de la viga es:

Como aparece en la figura 19.23d:

La comparación de la ecuación (a) con la (b), y de la figura 19.22(c), con la figura

19.23(c) de muestra que con la misma intensidad de esfuerzos cortantes, la tensión

principal en la viga pre esforzada se reduce de manera sustancial.

El segundo factor que trabaja para reducir la intensidad de la tensión diagonal con las

cargas de servicio resulta de la pendiente de los tendones. Normalmente, esta

pendiente es tal que produce un cortante por las fuerzas de pre esfuerzo, en dirección

opuesta a la del cortante generado por la carga. La magnitud de este contra cortante es

V' = Pe sen 8, donde 8 es la pendiente del tendón en la sección considerada (ver la

figura 19.8).

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Sin embargo, es importante observar que, a pesar de estas características de las vigas

pre esforzadas para el estado de cargas de servicio, una investigación de los esfuerzos

de tensión diagonal con las cargas de servicio no garantiza un factor adecuado de

seguridad contra la falla. En la figura 19.23c, es evidente que una disminución

relativamente pequeña en los esfuerzos de compresión y un aumento en los esfuerzos

cortantes, que pueden ocurrir cuando la viga se sobrecargue, producirá un incremento

desproporcionado en la tensión principal resultante. Además de este efecto, si el contra

cortante de los tendones inclinados se utiliza para reducir el cortante de diseño, su

contribución no aumenta en forma directa con la carga sino con mucha más lentitud.

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Calculo de estribos en el estado último

Un pequeño aumento en el cortante total puede generar un gran incremento en el

cortante neto para el cual debe diseñarse la viga. Por estas dos razones, en vigas pre

esforzadas es necesario basar el diseño a tensión diagonal en cargas mayoradas en

vez de cargas de servicio. El estudio de los esfuerzos principales en la viga pre

esforzada que no está fisurada es importante sólo para estimar la carga con que se

forma la primera grieta diagonal. Con cargas cercanas a la de falla, una viga pre

esforzada se encuentra por lo general extensamente fisurada y se comporta en forma

muy parecida a una viga corriente de concreto reforzado. De acuerdo con esto, muchos

de los procedimientos y ecuaciones desarrollados para el diseño del refuerzo en el

alma de vigas no pre esforzadas, pueden aplicarse igualmente a vigas pre esforzadas.

El diseño a cortante se basa en la relación:

donde Vu es la fuerza cortante total aplicada a la sección por las cargas mayoradas y

Vn es la resistencia nominal a cortante, igual a la suma de las contribuciones del

concreto y del refuerzo en el alma:

El coeficiente de reducción de resistencia se toma igual a 0.85 para cortante.

Ubicación para calcular el máximo esfuerzo de corte mayoradoPara las secciones de hormigón pretensado se establece que la sección crítica para

calcular el máximo esfuerzo de corte mayorado Vu está ubicada a una distancia igual a

h/2 de la cara del apoyo. Este requisito es diferente al correspondiente a los elementos

de hormigón armado, en los cuales la sección crítica está ubicada a una distancia igual

a d de la cara del apoyo.

La fuerza cortante Vc que resiste el concreto después de que ocurre el agrietamiento

se toma igual al cortante generado por la primera grieta diagonal. En los ensayos

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realizados en vigas de concreto pre esforzado se han observado dos tipos de grietas

diagonales:

1. Grietas por cortante y flexión, que se presentan a un cortante nominal Vci, inician como grietas de flexión casi verticales en la cara a tensión de la viga y

luego se propagan diagonalmente hacia arriba (bajo la influencia de la tensión

diagonal), en dirección a la cara a compresión. Éstas son comunes en vigas con

una fuerza de pre esfuerzo relativamente baja.

2. Grietas por cortante en el alma, que ocurren a un cortante nominal Vc, inician en

el alma por la alta tensión diagonal y luego se propagan en forma diagonal tanto

hacia arriba como hacia abajo. Éstas se presentan a menudo en vigas con

almas delgadas sometidas a altas fuerzas de pre esfuerzo.

Con base en investigaciones experimentales extensas, se estableció que el cortante

que produce el agrietamiento por cortante y flexión puede determinarse mediante la

expresión:

Donde es la fuerza cortante producida por la carga total, a la cual se forma la

grieta de flexión en la sección que se estudia, y representa una fuerza

cortante adicional requerida para transformar la grieta de flexión en una grieta

inclinada.

Aunque el peso propio es por lo general una carga uniformemente distribuida, las

cargas muerta y viva superpuestas pueden tener cualquier distribución. En

consecuencia, es conveniente separar el cortante total en Vo producido por la carga de

la viga (sin coeficiente de carga) y Vcr la fuerza cortante adicional, producto de las

cargas muerta y viva superpuestas, correspondientes al agrietamiento por flexión.

Entonces:

El cortante Vcr por cargas superpuestas se encuentra convenientemente a partir de:

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donde Vd+l/Md+l, la relación entre el cortante y el momento para las cargas muerta y

viva superpuestas, permanece constante a medida que la carga aumenta hasta la

carga de agrietamiento, y:

donde:

C2 = distancia desde el centroide del concreto hasta la cara a tensión

f2pe = esfuerzo de compresión en la cara a tensión que resulta de la fuerza efectiva de

pre esfuerzo actuando sola

f2Q = esfuerzo en la fibra inferior por el peso propio de la viga

El primer término en el paréntesis es un estimativo conservador del módulo de rotura.

El esfuerzo en la fibra inferior por el peso propio se resta en este caso porque se

considera en forma independiente en la ecuación (b). Así, la ecuación (b) se transforma

en:

Los ensayos indican que no es necesario que Vci sea menor que 1.7√ f cbw∗d. El valor

de d no necesita tomarse menor que 0.80h para ésta y para todas las ecuaciones

relacionadas con cortante, de acuerdo con el Código ACI, a menos que se indique de

manera específica otra cosa. La fuerza cortante que produce el agrietamiento por

cortante en el alma se determina a partir de un cálculo exacto de los esfuerzos

principales, en el cual el esfuerzo principal de tensión se hace igual a la capacidad a

tensión directa del concreto (tomada conservadoramente 4√ f cde acuerdo con el

Código ACI. Como alternativa, el Código ACI permite la utilización de la expresión

aproximada.

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en la cual fpc, es el esfuerzo de compresión en el concreto después de pérdidas, en el

centroide de la sección de concreto (o en la unión del alma y del ala cuando el

centroide cae dentro del ala y vp es la componente vertical de la fuerza efectiva de pre

esfuerzo.

Después de calcular Vci y Vcw, el valor de Vc (la resistencia a cortante proporcionada

por el concreto) se toma igual al menor de estos dos valores.

El cálculo de Mcp Vci y Vcw para una viga pre esforzada es un asunto tedioso porque

muchos de los parámetros varían a lo largo del eje del elemento. Para cálculos a mano,

las cantidades requeridas pueden encontrarse a intervalos discretos a lo largo de la luz,

como a 1/2,1/3,1/6, y a h/2 de la cara del apoyo, y los estribos se colocan con los

espaciamientos correspondientes. También pueden utilizarse hojas electrónicas para

cálculos en computador.

Para abreviar los cálculos requeridos, el Código ACI incluye como una alternativa

conservadora al procedimiento descrito antes, una ecuación para determinar de modo

directo la resistencia a cortante del concreto Vc:

en la cual M, es el momento flector presente de manera simultánea con la fuerza

cortante V, pero Vud/Mu no debe tomarse mayor que 1.0. Cuando se utilice esta

ecuación, no es necesario que Vc se tome menor que 2 √ f cbw∗d ni mayor que 5

√ f cbw∗d. Aunque la ecuación (19.46) es tentadoramente fácil de utilizar y puede ser

adecuada para elementos de menor importancia cargados uniformemente, su

utilización puede producir diseños bastante costosos para vigas de luces medianas y

largas, y para construcción compuesta.

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Cuando se utiliza refuerzo a cortante perpendicular al eje de la viga, su contribución a

la resistencia a cortante de una viga pre esforzada es:

la misma que para un elemento no preesforzado. De acuerdo con el Código ACI, el

valor de Vs no debe tomarse mayor que 2 √ f cbw∗d.

La resistencia nominal total a cortante Vn se determina sumando las contribuciones del

acero y del concreto, como se indicó en la ecuación (19.42):

Entonces, a partir de la ecuación (19.41):

a partir de lo cual:

El área de la sección transversal requerida para un estribo, Av se calcula con una

transposición conveniente de la ecuación (19.49).

En el diseño práctico, el ingeniero seleccionará normalmente un tamaño tentativo para

el estribo, para el cual encontrará el espaciamiento requerido. Una forma más

conveniente de formular esta última ecuación es:

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En todos los elementos de concreto pre esforzado debe suministrarse al menos cierta

área mínima de refuerzo a cortante, cuando la fuerza cortante total mayorada sea

mayor que la mitad de la resistencia a cortante ΦVc proporcionada por el concreto.

De acuerdo con el Código ACI, se hacen excepciones para losas y zapatas, para

entrepisos construidos con viguetas de concreto y para ciertas vigas de muy poca

altura. El área mínima de refuerzo a cortante que debe proveerse en todos los demás

casos debe tomarse igual al menor de:

y:

en las cuales A es el área de la sección transversal del acero de pre esfuerzo, fp, es la

resistencia última a la tensión de acero de pre esfuerzo, y todos los demás términos

son como se definieron previamente.

El Código ACI contiene ciertas restricciones relacionadas con el espaciamiento máximo

del refuerzo en el alma para garantizar que cualquier grieta diagonal potencial quedará

atravesada por una cantidad mínima de acero en el alma. Para elementos pre

esforzados, este espaciamiento máximo no debe exceder al menor de 0.75h o 24 pulg.

Si el valor de Vs excede 4√ f cbw∗d estos límites se reducen a la mitad.

Introducción al estudio de Torsión en Hormigón PretensadoLa torsión en hormigón armado, se puede despreciar si el momento torsor mayorado

Tu es menor que φTcr/4, siendo Tcr el momento torsor de fisuración (o momento torsor

crítico). El momento torsor de fisuración corresponde a una tensión de tracción principal

de

Para los elemento de hormigón pretensado, un análisis utilizando el círculo de Mohr

demuestra que el momento torsor necesario para producir una tensión principal de

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tracción igual a es igual a veces el momento torsor correspondiente

a elementos no pretensados. Por lo tanto, el momento torsor de fisuración para los

elementos de hormigón pretensado se calcula como:

donde fpc = tensión de compresión en el hormigón, debida a la tensión de pretensado,

en el baricentro de la sección

La resistencia a la torsión de un elemento de Ho Po es mucho menor que la

resistencia a la flexión, por lo que los momentos de torsión (Mt) deben ser

considerados por pequeños que ellos sean.

Un cilindro o un prisma de Ho Po sometido solo a torsión presenta fisuras helicoidales

superficiales dispuestas a 45 grados con el eje longitudinal cuando σpt > σht

σ pt=−σ x2

+√τ2+( σ x2 )2

σx = tensión normal por pretensado que a medida que aumenta reduce σpt retrasando la

fisuración.

τ = tensión tangencial por torsión que varía según la forma de la sección.

En una sección rectangular, τ es nulo en los vértices y máximo en el centro de los

lados; en el lado mayor esta el valor máximo que vale:

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τ max=γbGθ yMt=β b3DGθ

Siendo:

Γ,β = coeficientes de S. Venant que se dan en tablas

b = ancho de la sección

D = altura

G = modulo de elasticidad por corte

θ = ángulo de torsión

si α = β/γ ; Mt = αb2 D τmax

τ max=Mtα b2D

En secciones cerradas huecos de poco espesor= t, se puede usar la teoría del flujo

cortante para calcular los valores τ, según la fórmula de Bredt:

τt= Mt2 Ao

Ao = área delimitada por la línea media de la sección

τt = tensión de corte constante

Detalles de la armadura de torsiónPara resistir la torsión se requiere tanto armadura longitudinal como armadura

transversal. La armadura longitudinal puede estar constituida por armadura no

pretensada o por cables de pretensado. La armadura transversal puede estar

constituida por estribos, malla de alambre soldada o zunchos. Para poder controlar el

ancho de las fisuras diagonales la tensión de fluencia de diseño de la armadura no

pretensada no debe ser mayor que 60.000 psi.

En ensayos de torsión realizados sobre vigas cargadas hasta su destrucción se ha

observado que, a medida que se llega al momento torsor máximo, el recubrimiento de

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hormigón se descascara. Las fuerzas en las diagonales comprimidas fuera de los

estribos, es decir en el recubrimiento de hormigón, hacen estallar la cáscara de

hormigón. En base a esta observación, se especifica que los estribos deben ser

cerrados y tener ganchos a 135 grados. Los estribos con ganchos a 90 grados dejan de

ser eficientes cuando el recubrimiento de hormigón

se descascara. De manera similar, se ha observado que los estribos en forma de U

solapados no son adecuados para resistir torsión, también debido a la falta de apoyo

que se produce al descascararse el hormigón.

Equilibrio y compatibilidad - Momento torsor mayorado, TuYa sea que un elemento de hormigón armado esté solicitado exclusivamente a torsión

o a una combinación de flexión y corte, la rigidez de dicho elemento disminuirá luego

de su fisuración. Después que el elemento se ha fisurado, la rigidez torsional sufre una

reducción mucho mayor que la rigidez flexional. Si en un elemento el momento torsor

Tu no se puede reducir por medio de una redistribución de las fuerzas internas en la

estructura, dicho elemento se debe diseñar para la totalidad del momento torsor Tu.

Esto se conoce como "torsión de equilibrio," dado que el momento torsor es necesario

para el equilibrio de la estructura. Si se puede realizar una redistribución de las fuerzas

internas, como en el caso de las estructuras indeterminadas, es posible reducir el

momento torsor de diseño. Este tipo de momento torsor se conoce como "torsión de

compatibilidad" . No es necesario que los elementos solicitados a torsión de

compatibilidad se diseñen para un momento torsor mayor que el producto entre el

momento torsor de fisuración y el factor de reducción de la resistencia φ

Sección crítica En los elementos no pretensados, la sección crítica para el diseño a torsión se

encuentra a una distancia "d" (profundidad efectiva) medida desde de la cara del

apoyo. Las secciones ubicadas a una distancia menor que d desde la cara del apoyo

se deben diseñar para el momento torsor determinado a una distancia d medida desde

el apoyo. Cuando hay una viga secundaria vinculada a una viga principal a una

distancia menor que d medida desde el apoyo, en la viga principal ocurre un momento

torsor concentrado dentro de la distancia d. En estos casos, el momento torsor de

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diseño se debe tomar en la cara del apoyo. Esta misma regla se aplica a los elementos

pretensados, excepto que la distancia d se reemplaza por h/2, siendo h la altura total

del elemento. Para los elementos compuestos o construidos en etapas h es la altura

total de la sección compuesta.

Torsión y flexiónEn elementos sin armadura, cuando σpt > σht se inicia la fisuracion y el elemento falla

inmediatamente. Si esta armado con barras longitudinales y estribos cerrados, la

fisuracion se impide o demora hasta que la rotura se inicia cuando las armaduras

longitudinales entran en fluencia. Si la falla por torsión pura es súbita y la por flexión-

corte gradual, la falla combinada será intermedia. Es decir:

Si M/Mt es pequeña, la falla es rápida

Si M/Mt es grande, la falla es gradual

La flexo torsión en HoPo es un fenómeno complejo.

Un criterio único reglamentado debe ser utilizando formulas semiempiricas se

recomienda para calcular las armaduras que en adición a las de flexión se debe

colocar, como ser las barras longitudinales y estribo cerrados

Abeles, Bardha Roy y Turner en su manual de HoPo dan las siguientes formulas:

Armadura longitudinal

As=A ' s= Mt P4 Ao fy

Armadura transversal

A' sv= Mt S2 Aofy

Donde:

P = perímetro del núcleo encerrado por los estribos

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Ao = área del núcleo

El área Ao se puede determinar aplicando un análisis riguroso (Referencia 13.3) o bien

simplemente suponer

igual a 0,85Aoh

S = espaciamiento de estribos

La siguiente formula nos permite hallar la resistencia a la torsión en rotura y expresa a

interacción de la torsión y el corte-flexión

( VnVcr )2

+( TnTcr )2

=1

Que representa a una función circular donde:

Vn = fuerza cortante de rotura por fuerza combinada

Tn = momento torsor de rotura por carga combinada

Vcr = el menor valor de Vci y Vcw

Tcr=6√ f ' c √1+ 10 fcpf ' c∑ n x2 y

Fcp =pretensado longitudinal promedio P/A

n= 0.35/(0.75+(b/d))

x = menor lado de una parte rectangular de la sección transversal

y = mayor lado de una parte rectangular de la sección transversal

b = ancho de la sección total

d = altura útil de la sección total

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Ejemplo practico

La viga asimétrica de la figura 19.24 soporta una fuerza efectiva de pre esfuerzo de 288

klb, una carga muerta superpuesta de 345 lblpie lineal y una carga viva de servicio de

900 lblpie lineal, además de su peso propio de 255 lblpie lineal, en una luz sencilla de

50 pies. En la sección de momento máximo, la altura efectiva del acero principal es

24.5 pulg (excentricidad 11.4 pulg). Los alambres se deflectan hacia arriba a 15 pies de

los apoyos y la excentricidad se reduce linealmente hasta cero en los apoyos. Si se

utiliza concreto con una resistencia fi = 5000 lb/pulg2, estribos con f = 40,000 lb/pulg2 Y

y si los alambres de pre esfuerzo tienen una resistencia de 275 klb/pulg2, ¿cuál es el

espaciamiento requerido para los estribos en un punto a 10 pies del apoyo

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Solución. Para una sección transversal de las dimensiones determinadas, se confirma que I =

24,200 pulg4 y r2 = ZC/Ac= 99 pulg2. A una distancia de 10 pies del centro de los

apoyos, la excentricidad del tendón es

que corresponde a una altura efectiva d desde la cara de compresión de 20.7 pulg. De

acuerdo con el Código ACI, se utilizará el mayor valor d = 0.80 x 29 = 23.2 pulg.

El esfuerzo en la fibra inferior a causa del preesfuerzo efectivo actuando solo es

El momento y el cortante en la sección debidos al peso propio de la viga son,

respectivamente,

y el esfuerzo en la fibra inferior por esta carga es

Entonces, a partir de la ecuación (19.43),

La relación entre el cortante y el momento de las cargas superpuestas en esta sección

es

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La ecuación (19.44) se utiliza entonces para determinar la fuerza cortante para la cual

puede esperarse la formación de las grietas por cortante y flexión:

El límite inferior de 1.7 √5000 (5 x23.2)/1000 = 13.9 klb no controla en este caso.

El cálculo de Vcw se basa en la ecuación (19.45). La pendiente 8 de los tendones en la

sección que se analiza es tal que sen 8 E tan 8 = 11.4/(15 x 12) = 0.063. En

consecuencia, la componente vertical de la fuerza efectiva de preesfuerzo es

Vp = 0.063 x 288 = 18.1 klb. El esfuerzo de compresión en el concreto en el centroide

de la sección es:

La ecuación (19.45) puede utilizarse ahora para encontrar el cortante en el que deben

formarse las grietas de cortante en el alma:

En este caso,

En la sección analizada, la fuerza cortante total con las cargas mayoradas es

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Cuando se utilizan estribos No. 3 en forma de U, para los cuales A, = 2 x 0.11 = 0.22

pulg2, el espaciamiento requerido se encuentra a partir de la ecuación (19.51) y es

igual a

Luego se aplica la ecuación (19.53) para establecer el criterio de máximo

espaciamiento

Los otros criterios para espaciamiento máximo, 314 x 29 = 22 pulg y 24 pulg, no

controlan en este caso. Se utilizarán estribos abiertos en forma de U, colocados cada

15 pulg.

Por comparación, el cortante en el concreto se calculará con base en la ecuación

(19.46). La relación Vu/Mu es 0.075, y

Los límites inferior y superior, 2 √5000 (5 x 23.2)/1000 = 16.4 klb y 2 √5000 (5 ~

23.2)/1000= 41.0 klb y no controlan en este caso. Entonces, con base en el valor de Vc

obtenido a partir de la ecuación (19.46), el espaciamiento requerido por los estribos No.

3 en forma de U es

21

Para este caso, el de una viga con sección en 1 de luz intermedia, se requiere más de

tres veces el acero en el alma en el sitio investigado si se utiliza la expresión alterna

que permite obtener el valor de V, en forma directa.

Bibliografía

Hormigon Pretensado – Ing. Alfonso Subieta Otalora

Diseño de estructuras de concreto - Arthur Nilson

http://www.inti.gob.ar/cirsoc/pdf/publicom/Capitulo13.pdf

http://www.inti.gob.ar/cirsoc/pdf/publicom/Capitulo25.pdf

http://www.uned.es/dpto-icf/estructuras_varias/images/Pret-09_peq.pdf

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