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PRÁCTICAN° 3 CAMPO ELÉCTRICO

1. OBJETIVOS:

a) Determinación de la variación del campo eléctrico y del potencial con relación a las

coordenadas, obteniéndose del análisis de los datos, ecuaciones que relaciones el

potencial con la distancia radial y el campo eléctrico con la distancia radial.

b) Obtención de la geometría de un campo eléctrico.

2. EQUIPO Y MATERIAL NACESARIO:

Cuba electrostática. Voltímetro digital.

Dos sondas. Cables para conexiones.

Potenciómetro de 320 Ω y 1,5 amperios.

Puntas de prueba para el voltímetro, una de las cuales debe terminar en punta aguda.

3. FUNDAMENTO TEÓRICO:

Se dice que existe un campo eléctrico en un punto, si sobre una carga de prueba

(generalmente positiva y pequeña) colocada en dicho punto se ejerce una fuerza de

carácter eléctrico. Puesto que la fuerza es una magnitud vectorial, el campo eléctrico

también lo será. Para definir operacionalmente el campo eléctrico, colocamos un cuerpo de

prueba pequeño que tenga una carga q0 (supuestamente positiva) en el punto del espacio

que se va a examinar, y medimos la fuerza eléctrica que actúa sobre ese cuerpo. El

campo eléctrico en cualquier punto, representado por , se define como el cociente entre

la fuerza ejercida sobre el cuerpo de prueba colocado en el punto, y la cantidad de carga

q0 del cuerpo de prueba.

UNIVERSIDAD DEL ZULIA - Facultad de Ingeniería - Escuela de Ingeniería Eléctrica - Departamento de Física - Física II.

(1)

En esta expresión es un vector porque lo es, ya que q0 es un escalar. La dirección de

es la dirección de , es decir, la dirección en la cual tendería a moverse una carga

positiva en reposo que se colocará en el punto. La fuerza sobre una carga negativa, tal

como un electrón, es por consiguiente, opuesta a la dirección del campo, como se muestra

en la figura 1.

( + )

( - )

Fig. 1:

En el sistema M.K.S el campo eléctrico se expresa en Newtons/Coulombs.

3.2. LÍNEAS DE FUERZA:

Son líneas imaginarias tangentes en todos sus puntos al campo eléctrico. Puesto que, en

general, la dirección del campo varía de un punto a otro, las líneas de fuerza son

generalmente curvas. Se admite que dichas líneas se originan en una carga positiva y

terminan en una carga negativa. Por tanto, las líneas son continuas, salvo en sus fuentes y

sumideros, es decir, las cargas positivas y negativas respectivamente.


En cualquier punto de un campo eléctrico, dicho campo sólo puede tener una dirección, un

solo sentido y una misma intensidad de manera que por cada punto del campo sólo puede

pasar una línea de fuerza.

En otras palabras, las líneas de fuerza no se cortan jamás. La figura 2 representa una línea

de fuerza en el espacio.

Fig. 2:

Seguidamente se ilustran los campos de algunos modelos electrostáticos a través de líneas

de fuerza.


+ -+++++++++++++++++

Analizaremos ligeramente dos modelos:

a) Uno que produzca un campo no uniforme como el de la Fig. 3 (a) ó 3 (b).

Se observa en esta figura que el campo eléctrico no es constante sino que disminuye

al aumentar la distancia a la carga. Esto se pone de manifiesto en las líneas de fuerza,

las cuales están más separadas a mayores distancias. Además por simetría es igual

para todos los puntos que están a una misma distancia del centro de la carga.

b) Uno que produzca un campo uniforme.


+++++++++++

-----------

F=q.Eq.

En un campo uniforme las líneas de fuerza son paralelas y de densidad constante. Un

plano infinito cargado con densidad uniforme de cargas es un ejemplo de distribución

que da origen a un campo uniforme, como puede verse por razones de simetría:

Realmente, una carga de prueba positiva abandonada en frente del plano se alejará de

éste, y como no hay razón alguna para subir o bajar o irse hacia la derecha o hacia la

izquierda, se alejará a lo largo de una línea perpendicular al plano, que es la dirección

de las líneas de fuerzas ver Fig. 3 (c).

3.3. POTENCIAL ELÉCTRICO:

Supongamos que en un punto (x, y, z) de un campo eléctrico existe una pequeña carga

eléctrica, q0 .

En estas condiciones la carga constituye una reserva de energía. Esta energía es igual al

trabajo positivo o negativo que debe ser realizado para llevar la carga q0 al punto P, en

oposición a las repulsiones y atracciones del campo, Suponemos aquí, que la presencia de

la carga q0 no altera la posición de otras cargas. Es claro que el trabajo dependerá del

punto inicial donde se encontraba la carga q0 . Existe un punto inicial muy conveniente para el

cálculo de este trabajo, este punto estará en el infinito, o para que se comprenda mejor, en una

posición tan alejada de la región donde existe un campo que las fuerzas repulsivas o atractivas sean

cero. Adoptando este punto como inicial, se define el potencial eléctrico V(x, y, z) como el trabajo

por unidad de carga que debe realizarse sobre un cuerpo cargado para llevarlo desde el infinito

hasta el punto P(x, y, z) considerando (Fig. 4). Matemáticamente:

(2)

El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre la carga de prueba. Para evitar que la

carga q0 se acelere, un agente externo debe aplicar una fuerza que sea exactamente

para todas las posiciones de la carga de prueba. Si el agente externo hace que la carga se

mueva recorriendo un desplazamiento a lo largo de la trayectoria, el elemento de trabajo


desarrollado es . Para obtener el trabajo total hecho por el agente externo al

mover la carga desde el infinito al punto P(x, y, z) sumamos (es decir, integramos) las

contribuciones al trabajo de todos los segmentos infinitesimales en que se ha dividido la

trayectoria. Así se obtiene:

(3)

Esta integral se llama integral de línea. Nótese que hemos sustituido a por su igual

.

Sustituyendo la expresión (3) en la (29 se obtiene:

= (4)

Esta ecuación nos permite calcular el potencial V en cualquier punto, si se conoce en

diversos puntos del campo.

Fig. 4.

El trabajo realizado para llevar la carga q0 desde el infinito al punto P no depende de la

trayectoria seguida por la carga, puesto que las fuerzas electrostáticas son del tipo

conservativo, es decir, que el trabajo que realiza el agente externo para llevar la carga

desde el infinito al punto P (en contra de las repulsiones o atracciones del campo) puede

ser recuperado si dicho agente deja en libertad la carga q0 . Si el potencial del punto P(x, y, z)


dependiera de la trayectoria, dicho punto no tendría un potencial eléctrico único y el concepto de

potencial sería de utilidad restringida.

3.4. DIFERENCIA DE POTENCIAL:

Para encontrar la diferencia de potencial entre dos puntos A y B en un campo eléctrico, movemos

la carga de prueba q0 entre A y B, conservándola siempre en equilibrio, y medimos el

trabajo WAB que debe hacer el agente que mueve la carga. La diferencia de potencial se

define así:

(5)

El trabajo puede ser positivo, negativo o nulo. En estos casos, el potencial eléctrico en B

será mayor, menor o igual que el potencial en A.

El estudiante debe mantener en mente la idea de que son las diferencias de potencial las

que interesan fundamentalmente. En el caso del potencial definido en el inciso anterior, el

punto A se tomó como referencia en el infinito y se le asignó el valor cero. En forma

semejante se hubiera podido escoger como posición de referencia el valor de – 100 Voltios

o cualquier otro punto en que se conviniera. En muchos problemas de circuitos se toma la

“tierra” como referencia de potencial y se le asigna el valor cero.

3.5. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES:

Definimos la superficie equipotencial como el lugar geométrico de los puntos de igual

potencial eléctrico. Para dar una descripción general del campo eléctrico en una cierta


región del espacio se puede usar una familia de superficies equipotenciales,

correspondiendo cada superficie a un valor diferente de potencial.

No se requiere utilizar trabajo para mover una carga de prueba entre dos puntos

cualesquiera en una de esas superficies equipotenciales. Esto se deduce de la ecuación

, porque WAB debe ser nulo si VA = VB . Esto es válido, debido a que la

diferencia de potencial es independiente de la trayectoria, aún cuando la trayectoria que

une A y B no se encuentra totalmente en la superficie equipotencial. La figura (5) muestra

una familia arbitraria de superficies equipotenciales. El trabajo para mover una carga una

carga siguiendo las trayectorias I y II es cero porque todas esas trayectorias comienzan y

terminan en la misma superficie equipotencial. Para la trayectoria I’ y II’ no es cero el

trabajo para mover una carga de una superficie a otra, pero es el mismo para ambas

trayectorias porque los potenciales inicial y final son idénticos; las trayectoria I’ y II’ unen

el mismo para de superficies equipotenciales.

Fig. 5.

Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de fuerza y, por

consiguiente a (Fig. 6). Si no fuera perpendicular a la superficie equipotencial,

tendría una componente en esa superficie. Entonces tendría que hacerse trabajo para mover


una carga de prueba en la superficie. Ahora bien, si la superficie es equipolencia no se

hace trabajo en ella, de modo que debe ser perpendicular a la superficie.

Fig. 6: superficies equipotenciales (líneas interrumpidas) y líneas de fuerza (líneas llenas)

para (a) una carga punto, y (b) un campo eléctrico uniforme. En todas las figuras hay una

diferencia de potencial constante V entre superficies equipotenciales y adyacentes.

3.6. RELACIÓN ENTRE EL VECTOR DEL CAMPO ELÉCTRICO Y EL

POTENCIAL V(x, y, z).

Consideremos dos puntos próximos en un campo electrostático P1 y P2 (Fig. 7). Los

potenciales de P1 y P2 se escriben:

Fig. 7: Puntos próximos dentro de un campo electrostático.

La diferencia de potencial entre P1 y P2 será:


(6)

Si ahora los puntos P1 y P2 fueran P(x, y, z) y P(x+dx, y+dy, z+dz) de tal modo que la

distancia entre ellos corresponda a un desplazamiento infinitesimal .

(7)

Hemos dicho que la diferencia de potencial entre dos puntos, P1 y P2 , depende solamente

de dichos puntos y es independiente de la trayectoria; esto equivale a decir que existe una

función potencial V(x, y, z) de tal modo que:

(8)

Para que esto ocurra es necesario que sea una diferencia exacta, o sea, que:

(9)

Por lo tanto:

Para que esta relación sea siempre válida es necesario que:


Estas tres ecuaciones pueden escribirse en forma vectorial como: = - grad (V)

Donde grad (V) se define como el vector siguiente:

Las componentes del campo derivan de V(x, y, z), a través de las ecuaciones:

Es de hacer notar que el gradiente de potencial se expresa en voltios/metro, mientras que el

campo eléctrico se expresa en Newtons/Coulombs. Ahora bien:

De manera que Voltios/Metro y Newtons/Coulomb son unidades equivalentes.

4. DESCRIPCIÓN DE LA CUBA ELECTROLÍTICA:

Para hacer la descripción nos referimos a la Fig. 8, utilizaremos una cuba de 40 cm x 5 cm en

cuyo fondo se ha colocado un vidrio deslustrado, con una red milimétrica para fijar los puntos

a ensayar. Como electrolito utilizaremos agua corriente y los electrodos han sido construidos

de acero inoxidable para evitar ser atacados por el paso de la corriente, pues de otro modo se

podrían producir perturbaciones en la marcha del campo.

Los electrodos tienen forma de cilindro hueco plano (externo) y cilindro sólido plano (interno)

respectivamente, colocados en forma concéntrica. La diferencia de potencial aplicada entre los


V

dos electrodos la tomaremos de un potenciómetro utilizado como divisor de tensión,

alimentado con la red domiciliaria de 110 voltios, 60 Hz.

Fig. 8: Cuba electrolítica.

5. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:

Para la realización de esta práctica proceda de la siguiente manera:

5.1. Verifique que la cuba coincida con la descripción hecha anteriormente.

5.2. Realice el montaje de la figura 8. Para ello proceda así:

5.2.1. Conecte los cables blancos paralelos a los extremos fijos del potenciómetro

para alimentar el mismo con 110 V de la red (no conecte los cables a la red hasta

que el instructor lo autorice), como se indica seguidamente en la Fig. 9.


~

5.2.2. Conecte a través de un cable el punto C del potenciómetro con el electrodo

interno y con otro cable conecte el punto B con el electrodo externo. El contacto

para estos electrodos se hace a través de dos sondas.

5.2.3. Prepare el multímetro para trabajar como voltímetro AC.

5.2.4. Conecte el cable común del voltímetro (negro) al electrodo externo, de esta

manera se medirán todos los potenciales en relación a este punto, designado como

tierra ( ). El otro cable del voltímetro terminado en punta, servirá para

medir los diferentes potenciales que se indiquen (punta móvil).

5.3. Llene con agua corriente la región comprendida entre ambos electrodos.

5.4. Espere la autorización del instructor y conecte el cable de alimentación a la red (110

V, 60 Hz).

5.5. Mueva la punta móvil del voltímetro y colóquela sobre el electrodo interno, mueva el

cursor (B) del potenciómetro hasta que el voltímetro indique 40 V.

5.6. Mueva la punta móvil y toque diferentes puntos del electrodo interno ¿Cambia de

valor el voltaje sobre el electrodo interno al tocar los diferentes puntos del mismo?

¿Será el electrodo interno una superficie equipotencial? Razone su respuesta.


5.7. Mueva la punta móvil del voltímetro y toque diferentes puntos del electrodo externo

¿Qué voltaje indica el voltímetro? ¿Le parece lógico el valor medido? ¿Será el

electrodo externo una superficie equipotencial? Razone su respuesta.

5.8. Mida el radio promedio del electrodo interno y el radio interno promedio del electrodo

externo. Anótelos.

5.9. Familiarícese con la hoja de datos siguiente, donde anotará los valores de las medidas,

V1 es el voltaje de la primera superficie equipotencial y (x1, y1) son las coordenadas de

los puntos que poseen 35 V, y así sucesivamente hasta llegar a la superficie

equipotencial N° 7 (V7 = 5 V) con los puntos de coordenadas (x7, y7).

TABLA N° 1.

V1 = 35 V V2 = 30 V V3 = 25 V V4 = 20 V V5 = 15 V V6 = 10 V V7 = 5 V

x1 , y1 x2 , y2 x3 , y3 x4 , y4 x5 , y5 x6 , y6 x7 , y7

TABLA N° 2.

V (voltios)

r (cm)


5.10. En un papel milimetrado y tomando el origen de coordenadas en el centro del papel,

represente las coordenadas de los puntos de la Tabla N° 1. Una los puntos de igual

potencial a través de líneas punteadas y así estará encontrando las superficies

equipotenciales del modelo ensayado. Coloque el respectivo potencial a cada línea

(para cada línea abra el compás con radio promedio).

5.11. Una vez obtenida las superficies equipotenciales, trace las líneas de fuerza del

campo.

5.12. Grafique la Tabla N° 2 en papel milimetrado, log-log o semi-log. En una de estas

tres gráficas obtendrá una línea recta. Determine la ecuación de la recta, la cual

representa la función V = f(r).

5.13. Para hallar la ecuación del campo aplique = - grad (V) = , utilizando la

ecuación hallada en el inciso anterior.

5.14. Una vez obtenida las ecuaciones de potencial y de campo: Grafique V vs r en papel

milimetrado con 0 cm ≤ r ≤ 12 cm, grafique además E vs r con 0 ≤ r ≤ ∞ (papel milimetrado) (con las ecuaciones obtenidas calcule los valores que hagan falta

para completar las gráficas).

5.15. ¿Cuánto vale el potencial eléctrico desde r = 0 cm hasta r = 1 cm? ¿Y el campo

desde r = 0 cm hasta r =1 cm? ¿Porqué?

5.16. ¿A qué distancia radial se anula el potencial?. ¿A que distancia radial se anula el

campo?.

5.17. A partir de las ecuaciones determinadas para V y E, identifique el modelo

electrostático estudiado.


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