TEMA 1: NUMÉROS REALES

En este tema tienes que alcanzar los siguientes OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:

OBJETIVO 1: CLASIFICAR los Conjuntos Numéricos: distinguir los distintos tipos de números reales.

Se EVALÚA así: Sobre una buena clasificación de los conjuntos numéricos, determina a qué clase

pertenecen los siguientes números (justifica las respuestas simplificando):

log1/a a-2, ln e-2, -

, Φ2

Observa la siguiente lista de números reales y coloca cada uno en el recuadro corres-pondiente (observa que puede estar un mismo número en más de un recuadro):

Naturales(N)Enteros(Z)Racionales(Q)Irracionales(I)

1

OBJETIVO 2: Números RACIONALES (Q).

2.1 Identificarlos en sus expresiones DECIMAL y FRACCIONARIA.

Todo Número Racional tiene una

Y todo Número Racional tiene una

2.2 Pasar de una EXPRESIÓN a otra: expresarlos en sus dos formas.

2.3 ¿Para qué?

Para OPERAR CON ELLOS DE MANERA EXACTA.

El Conjunto de los Números Racionales es ‘cerrado’ para las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación. Es decir, la suma… de dos racionales siempre es racional.

Y podemos operar con ellos de manera exacta a condición de hacerlo en su forma fraccionaria.

Para ordenarlos y representarlos el la Recta Real.

2.4 El Conjunto de los Números racionales es DENSO: entre dos cualesquiera de ellos hay siempre infinitos números naturales. Pese a ello es NUMERABLE.

2

EXPRESIÓN DECIMAL

PERIÓDICA

LIMITADAENTERA: 4, -2, …

PURA: , , …

EXACTA: 2.5, 3.18, …

MIXTA: ,

EXPRESIÓN FRACCIONARIA

PROPIA:

IMPROPIA:

a/b c/d

Se EVALÚA así:

3. Opera:

4. Hallar la fracción generatriz de los siguientes números decimales con periodo mixto:

a) 7,623 =

b) 7,623 =

c) 3,143 =

d) 0,123 =

3

OBJETIVO 3: Números IRRACIONALES (I).

3.1 Aparecen el las DIAGONALES de los Polígonos Regulares.

No estamos seguros de cuál fue el primer número irracional descubierto en la historia de la humanidad. Pero todo parece indicar que los irracionales se descubrieron en las diagonales de los polígonos regulares.

Evidentemente no pudo tardarse mucho en hacerse las siguientes preguntas (aunque no sepamos en qué orden se hicieron):

¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de lado uno?

El Teorema de Pitágoras te ayuda a encontrar la respuesta:

Pero, ¿qué es ? Es un número que multiplicado consigo mismo da 2.

O, ¿cuánto mide la diagonal de un pentágono® de lado uno?

El Teorema de Tales te ayuda a encontrar la respuesta: Ф

Pero, ¿qué es Ф? Se trata del Número de Oro, la Divina Proporción o la Sección Áurea.

O, ¿cuánto mide la diagonal de un hexágono® de lado uno?

El Teorema de Pitágoras te ayuda a encontrar la respuesta:

Pero, ¿qué es ? Es un número que multiplicado por sí mismo da 3.

4

2, es un diámetro

1

1

d

1

Φ

1

Hay otra pregunta pendiente, ¿cuál es la longitud de una circunferencia de diámetro uno?

Esta vez se trata de π = 3,14159…………

Pero, ¿qué es π? Se trata de una razón, π cuenta cuántas veces cabe el diámetro en la longitud de su circunferencia.

3.2 Existen: no es una fracción.

La demostraciónMÁS HERMOSA

La Irracionalidad enLa Irracionalidad en

3.3 Son INFINITOS no numerables.

3.4 Los EUCLIDIANOS se pueden representar en la Recta Real mediante Regla y Compás. Los demás se pueden representar de manera aproximada mediante Intervalos Encajados.

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Se EVALUA así: CUESTIONES PARA ACLARARSE: ARGUMENTA.

¿Podemos calcular de manera exacta con números que tienen una expresión decimal infinita? ¿Cuándo sí y cuándo no? Por ejemplo, ¿podemos sumar dos números con expresiones decimales infinitas con total precisión, es decir, sin perder ningún decimal en el cálculo?

Podemos sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones decimales infinitas con total precisión siempre que sean periódicas. Por ejemplo:

¿Podemos hacer cálculos exactos (por ejemplo, sumas, restas, productos…) cuando están involucrados números irracionales? ¿Cuándo sí? ¿Cuándo no?

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división no son operaciones bien definidas en los números irracionales, dados dos números irracionales no siempre la suma, resta, multiplicación o división de dichos números resulta un número irracional En cuanto a las operaciones con números irracionales es necesario tener en cuenta lo siguiente:

Sin embargo y a pesar de su extraño comportamiento tenemos dos afirmaciones que siempre son válidas:

1. Si a es racional y b es irracional entonces la suma a + b siempre es irracional.2. Si a ≠ 0 es racional y b es irracional entonces el producto a · b siempre es

irracional.

En virtud de estas afirmaciones podemos decir que: 1. 2 + √3 es irracional.2. 2 · √5 es irracional.

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Cuando no podemos hacer cálculos exactos con números irracionales, ¿qué hacemos? ¿Podemos quedarnos sin hacer nada?

La costumbre es dejar la expresión indicada. Por ejemplo, no se puede simplificar más. Es un irracional que no tiene símbolo propio (ni nombre) Se deja así, pero si aparece en un cálculo donde necesitamos saber cuanto vale, lo aproximamos (siempre por redondeo) hasta dejarlo con el número adecuado de cifras significativas. En este caso cometemos un error que del que podemos calcular cotas.

¿El producto de dos números irracionales, siempre es irracional? ¿Y la suma?

Sin embargo y a pesar de su extraño comportamiento tenemos dos afirmaciones que siempre son válidas:

1. El producto de dos irracionales puede ser racional: 2. Si a es racional y b es irracional entonces la suma a + b siempre es irracional.3. Si a ≠ 0 es racional y b es irracional entonces el producto a · b siempre es

irracional.

En virtud de estas afirmaciones podemos decir que: 1. 2 + √3 es irracional.2. 2 · √5 es irracional.

¿Podemos descomponer un número irracional en suma de dos racionales? ¿Por qué?

No. La suma de dos racionales siempre es racional.

Dos personas parten juntas del vértice de un cuadrado andando las dos a la misma velocidad. La una camina sobre la diagonal, ida y vuelta sin parar. La otra camina sobre el perímetro, dando vueltas también sin parar. ¿Volverán a encontrarse alguna vez? ¿Por qué?

Si las personas representan puntos, NO. La respuesta viene de comprender perfectamente que el lado y la diagonal de un cuadrado son inconmensurables. No tienen una parte alícuota común (no hay un una cantidad que entre un número exacto de veces en la diagonal y en el lado del cuadrado a la vez)

Para volverse a encontrar debería haber un múltiplo del lado que coincidiera exactamente con otro múltiplo de la diagonal, pero eso es imposible porque es irracional.

Es un problema muy bonito. Dale vueltas hasta que entiendas algo.

Si la longitud de una circunferencia es un número natural, ¿a que conjunto pertenece el valor de la medida de su diámetro?

L = π D D = L/π D = n/π si n є N, entonces D es un irracional

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Suponiendo que tienes una cuerda que cubre todo el ecuador terrestre, ¿cuál es el tamaño de la cuerda que tienes que añadir para que pudieras abarcar el ecuador de otro planeta que tuviese un radio un metro más de largo que el de nuestro planeta?

Una pregunta curiosa con respuesta SORPRENDENTE. Se necesita una cuerda tan sólo 2π metros más larga. Fíjate bien e intenta comprender:

L del ecuador terrestre = 2πRTierra L del ecuador del nuevo planeta =2π(RTierra+1) = 2πRTierra + 2π.

L del ecuador del nuevo planeta = L del ecuador terrestre + 2π.

¿Qué error cometes al calcular la longitud de una circunferencia del tamaño de la órbita de la Tierra al utilizar π con una aproximación hasta las diezmilésimas? ¿Y el error relativo?

Depende de la precisión con que seas capaz de medir la distancia del Sol a la Tierra. Es una cuestión espinosa, porque tienes que hacer muchos supuestos. Lo que quieren que medites es que con esa aproximación de π los cálculos ya son muy precisos.

La suma de un número racional y un irracional, ¿qué clase de número es? ¿Y el doble de un número irracional?

Vuelta con lo mismo. Ya está contestada.

¿Qué número es igual al doble de su inverso?

Es un problema que pide álgebra a gritos. Así:

Se trata de la raíz de dos, ¡curioso, ¿no?!

¿Qué número es aquel que para calcular su cuadrado sólo tienes que sumarle uno?

Otro problema que pide álgebra a gritos. Así:

x2 – x – 1 = 0 (¿te suena?) es Φ, ¡siempre Φ!

¿Hay algún número que tenga la misma parte decimal que π? ¿Cuántos?

Hay infinitos números irracionales que tienen los mismos decimales que π

{ n + π / n є Z }

¿Qué número tiene la misma parte decimal que su cuadrado y que su inverso?

Se trata del número Ф ya que 1/Ф = Ф – 1 y Ф2 = Ф + 1

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OBJETIVO 4: Los Números Reales: LA RECTA REAL.

4.1 Dado un ORIGEN (0) y una UNIDAD DE MEDIDA (1), a cada punto de la recta le corresponde un número real (su abscisa) y viceversa.

ENTEROS: los múltiplos de la unidad.

RACIONALES: los submúltiplos de los múltiplos de la unidad.

ALGEBRAICOS: son aquellos que provienen de la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados. Por ejemplo:

En general, todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos.

EUCLIDIANOS: Son los números algebraicos que se pueden construir con regla y compás.

TRASCENDENTES: no pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trígonométricas, logarítmicas y exponen-ciales. El número Pi (π) y Euler (e) son irracionales trascendentes, puesto que no pueden

expresarse mediante radicales. Los irracionales trascendentes también surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido.

Por ejemplo: 0,1234567891011121314151617181920212223...,0,1001000100001000001000000100000001...

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Se EVALÚA así:

1. Construye, con regla y compás, los siguientes números: , , ,

2. Representa en la recta real los números: a) de forma exacta:b) de forma aproximada:

a) Expresamos en fracción los números decimales:

b)

3.¿En qué radica la importancia de los Números Primos? ¿Para qué sirven (en la vida diaria)

los Números Naturales? ¿Cómo aparecieron los Números Enteros? ¿Por qué seguimos operando con fracciones? ¿Cómo aparecen las expresiones decimales? ¿Dónde aparecieron los Números Irracionales? ¿Qué es el ‘Calculo con Regla y Compás? ¿Qué importancia tiene? ¿De qué manera el álgebra ‘fuerza’ la aparición de nuevos conjuntos numéricos?

4.2 SUBCONJUNTOS en R.

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NOMBRE SÍMBOLO SIGNIFICADO REPRESENTACIÓN

IntervaloAbierto

Números comprendidos entre

a y b

IntervaloCerrado

Números comprendidos entre

a y b ambos incluidos

IntervaloSemiabierto

Semirrecta

Números menores que a

Números menores que a y el propio a

Números mayores que a

Números mayores que a y el propio a

Entorno

E(a, δ)

Entorno de centro a

Y de radio δ

Es el intervalo abierto (a - δ, a + δ), esto es, los valores x

para los cuales a - δ < x < a + δ. Ea,δ = { x є R / |x - a| < δ }

COTAS Y EXTREMOS DE UN CONJUNTO

Cota Superior : k es una cota superior de un conjunto C si y sólo si

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Se dice que C está acotado superiormente.

Extremo superior o Supremo : es la mínima cota superior.

Máximo : Un conjunto C posee máximo si tiene supremo y éste pertenece al mismo.Ejemplo: A = y B = están acotados superiormente. Para ambos el supremo es 5. Pero A tiene máximo, pues 5 A, mientras que B no posee máximo, ya que 5 B.

Análogas definiciones se establecen para cota inferior, ínfimo (o extremo inferior) y mínimo de un conjunto.

Diremos que un conjunto C es acotado, si está acotado superior e inferiormente.

Se EVALÚA así:

4.3 El conjunto de los Números reales es DENSO

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Esto quiere decir que entre dos números reales x1 y x2 hay infinitos números reales. En efecto, por ejemplo su semisuma es el punto medio entre los dos.

4.4 ORDEN y DESIGUALDADES

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ES ORDENADO

Si x1 está a la izquierda de x2, entonces x1 < x2

Propiedades del orden:

: si se suma/resta un número la desigualdad no cambia. : si se multiplica por un número positivo la desigualdad no cambia. : si se multiplica por un número negativo la desigualdad cambia.

VALOR ABSOLUTO:

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está definido por:

Por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero.

Se tiene que

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:

Se define la distancia entre dos puntos x1 y x2 así: d(x1, x2) = |x2 – x1|

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO:

Propiedades fundamentalesNo negatividadDefinición positivaPropiedad multiplicativaDesigualdad triangular

Otras propiedadesSimetríaIdentidad de indiscerniblesDesigualdad triangular

Otras dos útiles inecuaciones son:

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Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

Se EVALÚA así:

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OBJETIVO 5: OPERACIONES en R.

5.1 Las SIETE OPERACIONES en R: PROPIEDADES.

5.2 RADICALES. Propiedades.

Llamamos raíz n-ésima de un número a, y se escribe a un número “b” que cumple la siguiente condición:

“a” recibe el nombre de radicando y “n” de índice de la raíz.Si ; existe cualquiera que sea el valor de “n”.Si ; existe solamente en el caso de “n” impar.

Las raíces se pueden expresar como potencias. Efectivamente:

a) , pues,

b) , pues,

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Ejemplo.- Expresa en forma de potencia las raíces siguientes:

Sol.-

, efectivamente pues

Propiedades de los Radicales.-Los radicales tienen una serie de propiedades que debes conocer para trabajar con ellos con soltura. Todas estas propiedades son consecuencia inmediata de las propiedades de las potencias (compruébalo tú, al lado)

1. efectivamente: y

2.

3.

4.

5.

Radicales equivalentes.-

Los siguientes radicales son equivalentes: ya que

5.3 OPERACIONES con Radicales.

Productos y cocientes. Efectúa los siguientes productos:

Solución:

Potencias de un radical:

Raíz de un radical. Expresa como radical:

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Solución:

Extracción de factores: Extrae todos los factores posibles:

=6 =15

Suma de radicales:Los radicales distintos solamente se pueden sumar obteniendo (previamente) su expresión decimal aproximada.

¡Ojo! Observa como se pueden sumar radicales idénticos:

Realiza las siguientes operaciones:

Racionalización:

Generalmente conviene operar las fracciones sin raíces en los denominadores, para ello hay que multiplicar denominador y numerador por la expresión adecuada (esta operación recibe el nombre de Racionalización)

Ejemplo.

a)

b)

Se EVALÚA así:

Racionaliza:

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5.4 APROXIMACIONES y ERRORES.

Cuando un número tiene muchas cifras, es difícil recordarlo y operar con él. Por eso lo solemos sustituir por otro más manejable de valor similar, prescindiendo de sus últimas cifras, que sustituimos por ceros. Ese otro número más sencillo decimos que es una aproximación del número de partida.

Cuando aproximamos un número, nos quedamos con sus primeras cifras y completamos con ceros. Esas cifras, con las que nos quedamos, se llaman cifras significativas.

Llamamos orden de la aproximación, a la posición hasta la que nos quedamos con cifras significativas.

Se puede aproximar por defecto si el número utilizado es menor que el de partida, o por exceso si el número utilizado es mayor que el de partida.

Para redondear un número a un determinado orden de unidades:Se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho ordenSi la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco se suma una unidad a la cifra anterior

Ejemplo: Redondea

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A las diezmilésimas estos irracionales: π, , , Ф, e.

A las centésimas estos racionales:

Errores

Cuando damos una cantidad de forma aproximada, cometemos un error. Distinguiremos los siguientes tipos de errores:

Error absolutoEl error absoluto es la diferencia entre el valor real y el aproximado, en valor absoluto, es decir, siempre con signo positivo.

Error relativoEl error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto.

Ejercicio: Estima, con el adecuado número de cifras significativas, las coordenadas del punto rojo en cada uno de los casos. Da cotas del error cometido.

Ejercicio: Si te fijas bien en la figura, aparte de muchas fórmulas donde aparece π, hay dos aproximaciones de este número irracional mediante racionales. Calcula las cotas del error cometido al utilizarlas en un cálculo.

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Se EVALÚA así:

1. Calcula en error absoluto y el error relativo que cometes al aproximar el siguiente número racional hasta las centésimas:

2 22 1 1 1 11,163 6 2 2 3

2. Da las aproximaciones por defecto por exceso y por redondeo con 1, 2, 3 y 4 cifras de:

=1,732058… y = 9.869604…

Defecto Exceso Redondeo Defecto Exceso Redondeo1 2 2 9 10 101,7 1,8 1,7 9,8 9,9 9,91,73 1,74 1,73 9,86 9,87 9,871,732 1,733 1,732 9,869 9,870 9,870

3. Expresa , con 0, 1, 2, 3 y 4 cifras decimales:a) Por defecto. ¿Qué error máximo se comete en cada término?b) Por exceso. ¿Qué error máximo se comete en cada término?

a) Los términos y el error máximo que se comete al elegir cada término por defecto, se indican en la siguiente tabla:Términos 3 3,6 3,60 3,605 3,6055Error unidad décima centésima milésima diezmilésim

a

b) Los términos y el error máximo que se comete al elegir cada término por exceso, se indican en la siguiente tabla:Términos 4 3,7 3,61 3,606 3,6056Error unidad décima centésima milésima diezmilésim

a

Calcula la longitud del ecuador sabiendo que el radio de la Tierra es 6370 km. Indica que aproximación tomarías como correcta y el error absoluto y relativo que cometes.

Aplicando la fórmula de la longitud de la circunferencia se tiene: L=2 · · r= 40.023.890 m

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Aproximando el resultado en km. se tiene: 40.024 km.Podemos despreciar 24 kilómetros frente a cuarenta mil, por tanto el resultado aproximado final sería 40.000 km.El error absoluto cometido es 23,890 m y el relativo es 0,000597 = 0,0597%

5.5 Notación CIENTÍFICA.

Diremos que un número está escrito en notación científica cuando: Tiene una parte entera formada por una sola cifra que no es cero. El resto de las cifras significativas forman la parte decimal Una potencia de base 10 que nos da el orden de magnitud del número.

Si “n” es un exponente positivo, el número N es “grande”.Si “n” es un exponente negativo, el número N es “pequeño”.Para operar números en notación científica utilizaremos la calculadora en modo científico (SCI). Ahora bien puede resultar conveniente operarlos mentalmente para practicar las operaciones con potencias.Ejemplo.-

Calcula tú, en notación científica, las siguientes operaciones indicadas:

Para designar órdenes de magnitud grande o pequeña existen algunos prefijos que debemos conocer:

Giga Mega Kilo Hecto Deca deci centi mili micro nano

Fíjate especialmente en los órdenes siguientes:Giga (mil millones): Mega (un millón):

Micro (una millonésima): Nano (una milmillonésima):

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Los demás órdenes de magnitud ya los conocemos por usarlos habitualmente en el manejo del SMD.

Se EVALÚA así:

Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación científica a dos cifras decimales:a) (3,72 · 1011) · ( 1,43 · 10-7)b) (2,9 · 10-5) · ( 3,1 · 10-3)c) (4,1 · 102) · 103

d) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 10-7)

Solución:a) (3,72 · 1011) · ( 1,43 · 10-7) = 5,32 · 104

b) (2,9 · 10-5) · ( 3,1 · 10-3) = 8,99 · 10-8

c) (4,1 · 102) · 103 = 4,1 · 105

d) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 10-7) = 3,57 · 10-2

Considerando que los átomos tienen forma esférica, calcula el volumen de uno de ellos en m3 tomando su radio como 10-10m. ¿ Cuantos átomos se necesitan para juntar un volumen de un litro.

Solución:

Aplicamos la fórmula del volumen de una esfera:

Los que se necesitan para formar un litro:

5.6 LOGARITMOS: Propiedades.

Definimos “y”, logaritmo dun número “x” en base “a”, y escribimos como el número “y” al que hay que elevar “a” para obtener “x”, o sea: .Resumiendo (de modo analítico):

Ejemplo.-

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El logaritmo en el que la base es diez se llama “decimal” y resulta ser el más utilizado en matemáticas(aparece en el teclado de la calculadora como: )

El logaritmo en el que la base es el número irracional(e) se denomina “neperiano” (en honor al matemático que los inventó apellidado Neper), y resultan ser enormemente importantes en matemáticas superiores.En la calculadora aparece en la tecla: Así:

PROPIEDADES Los logaritmos de los números verifican unas propiedades interesantes desde el punto de vista práctico:

Dos números distintos tienen logaritmos distintos. Es decir:

El logaritmo de la base vale 1, es decir:

El logaritmo de 1 es cero cualquiera que sea la base, es decir:

La demostración de las dos últimas propiedades es evidente a partir de la definición de logaritmo, y las propiedades de las potencias de los números.

El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Es decir:

Demostración.Si y si 222

2log xayx ya

En consecuencia: y por tanto:

El logaritmo de un cociente de dos números es igual a la resta del logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

Demostración.

23

Si y si 2222log xayx y

a

En consecuencia: y por tanto:

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base de la potencia.

Demostración.Basta tener en cuenta que: y aplicar la propiedad del logaritmo de un producto.

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz.

Demostración.Basta tener en cuenta que: y aplicar la propiedad del logaritmo de una potencia.

Cambio de base. El logaritmo en base de un número real se puede obtener a partir de logaritmos en otra base mediante:

Demostración. Si ; ; Sustituyendo en la igualdad: las otras dos tenemos:

Ejemplo.-Calcula usando la calculadora y el cambio de base (cuando sea necesario).

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Se EVALÚA así:

1 Ejercicio.

2 Ejercicio.

3 Ejercicio.

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4 Ejercicio.

5 Ejercicio.

6 Ejercicio.

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