visiÓn por computador · trans. de hough generalizada ¾la trasformada de hough “clasica” se...

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Manuel Mazo. Departamento de Electrónica 1

Manuel Mazo Quintas

Departamento de Electrónica. Universidad de Alcalá.Email:[email protected]

VISIÓN POR COMPUTADOR


ContenidoContenido

Descripción de líneas y contornos.

Descripción de regiones.

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Descripción de líneas y contornos

Transformada de Hough.Ajuste de líneas mediante autovectores.Ajuste mediante mínimos cuadrados (regresión lineal)Código cadena.SignaturasHistograma.Descriptores de FourierSplines


Extracción de segmentos de línea rectosExtracción de segmentos de línea rectosGeneralGeneral

Dado un conjunto local de elementos de borde (obtenidos mediantetécnicas de detección de bordes), con o sin información de orientación.

¿Cómo se pueden extraer líneas rectas largas?

Idea general:

Encontrar un espacio alternativo en el cual las líneas se “mapean”como puntos.Cada elemento de borde “vota” por una línea recta a la cual puedepertenecer.Aquellos puntos que en el espacio alternativo reciban un alto númerode votos se corresponden con líneas en la imagen..

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Extracción de segmentos de línea rectosExtracción de segmentos de línea rectosTransformada de Transformada de HoughHough

Considerar puntos (bordes) en el plano imagen.Todas las líneas en ese plano se pueden escribir como:

Si se considera un punto (ui,vi), sobre una determinada recta (a’, b’):

v a u b= ⋅ +

v a u bi i= ⋅ +' '

u

vpi

ui

vi

a’

b’



Si la ecuación de una recta cualquiera se escribe (espacio de parámetros):

Por cada punto (ui, vi) situado sobre una recta en el plano imagen (u-v), se obtiene una recta (ri) en el espacio de parámetros:

b u a vi i= − ⋅ +

v a u b

u v r b u a vu v r b u a v

u v r b u a vi n i i

= ⋅ + →

→ = − ⋅ +→ = − ⋅ +

→ = − ⋅ +

( , ) :( , ) :....( , ) :

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1

a

b’

b

a’

r1

r2

r3

Cuantos más puntos se tomen sobre una línea en el plano imagen, más rectas se cruzan en el punto (a’,b’) del espacio de parámetros

Si los N puntos (ui,vi) elegidos pertenecen a una misma recta v=a’u+b’ , las rectas en el espacio de parámetros se cortarán en un punto de coordenadas (a’,b’).

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Aplicación al procesamiento de imágenes:1. Subdividir (cuantificar) “a” y “b” en intervalos apropiados, dentro de los

rangos de variación (amín, amáx), y (bmáx, bmín). Es importante decidir que son “intervalos apropiados”.

2. Crear un array de acumulación H(a,b). Inicialmente todos las céldas del array se ponen a cero.

3. Para cada punto (ui, vi) de borde del plano imagen (cuya magnitud supere un umbral), se obtienen los valores discretos de (a, b), a partir de la ecuación:

4. Incrementar todas las céldas de H(a,b) que resulten de la ecuación anterior. • Obsérvese que H es un histograma bidimensional.

5. Máximos locales de H(ai, bi) se corresponden con puntos sobre rectas en el planoimagen. Los parámetros de las rectas en el plano imagen serán: ai, bi.

b u a v

a a b u a va a b u a v

a a b u a v

a a a ai i

i i

i i

n n i n i

= − ⋅ +

= → = − ⋅ += → = − ⋅ +

= → = − ⋅ +

∀ ∋ ≤ ≤

1 1 1

2 2 2

.... , min max



a1 a2 a 3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11b 1

b 2 b

3b 4

b 5b 6

b 7 b 8

b 9b 10

b 11

Rectas en el plano imagen:5v a u bv a u bv a u bv a u bv a u b

= ⋅ += ⋅ += ⋅ += ⋅ += ⋅ +

4 3

11 2

5 7

10 7

11 9

Array de acumulación

Nº de operaciones: Para “n” puntos de borde, si “a” se cuantifiaca con M valores, el nºde operaciones suma y producto son: nxM

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Extracción de segmentos de línea rectosExtracción de segmentos de línea rectosEjemplo de la transformada de Ejemplo de la transformada de HoughHough

Imagen Bordes

Array deacumulación

Resultado


Extracción de segmentos de línea rectosExtracción de segmentos de línea rectosTransformada de Transformada de HoughHough: Problemas: Problemas

Un problema de la representación cartesiana de la recta es que tanto la pendiente(a) como la ordenada en el origen (b) tienden a infinito conforme la recta se acercaa posiciones verticadles.

Para evitar este problema se usa la representación polar (normal) de la recta:

ρ θ θ= +uCos vSen

u

v

θ2

ρ2

ρ1

θ1

0≤ρ≤(u2máx +v2

máx)1/2, 0 ≤θ≤π

ρ θ θ2 2 2= +uCos vSen

ρ θ θ1 1 1= +uCos vSenρ

θ2π

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Extracción de segmentos de línea rectosExtracción de segmentos de línea rectosTransTrans. de . de HoughHough: representación alternativa: representación alternativa

La forma de construir el acumulador en el plano ρ-θ essimilar al primer algoritmo.La única diferencia está en que, en vez de líneas rectas, se obtendrán curvas sinusoidales.Así, N puntos colineales (u,v) pertenecientes a una recta en el plano imagen:

Darán lugar a N curvas sinusoidales que se cortarán, en el espacio de parámetros, en el punto (ρk,θk).

ρ θ θk k kuCos vSen para los N puntos u v= + ; ( , )


Extracción de segmentos de línea rectosExtracción de segmentos de línea rectosTransTrans. de . de HoughHough: Ejemplo: Ejemplo

(ρ, θ)

v

u

p1

p2

p1=(4,4)p2=(-3,5)

ρθ

Espacio (ρ,θ) ρ θ θρ θ θ

θρ

= − += +

→

==

3 54 4

142894 5255

coscos

..

sensen

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Extracción de segmentos de línea rectosExtracción de segmentos de línea rectosTransTrans. de . de HoughHough: Ejemplo: Ejemplo

Imagen Bordes

Array deacumulación

Resultado


Extracción de segmentos de línea rectosExtracción de segmentos de línea rectosTransTrans. de . de HoughHough: simplificación: simplificación

El número de operaciones de la transformada de Hough se puede simplificar notablemente si se considera la dirección del vector gradiente en cada píxel de borde.

Dado que la dirección del vector gradiente en un píxel de borde es perpendicular a éste, la recta que se busca debe tener una dirección próxima a la perpendicular del vector gradiente.

La búsqueda al evaluar cada punto de borde se puede, por tanto, restringir el rango de orientaciones.

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Extracción de segmentos de línea rectosExtracción de segmentos de línea rectosTransTrans. de . de HoughHough: : PseudocódigoPseudocódigo

Discretizar el espacio de parámetros, estableciendo valores máximos y mínimos de ρ y θ, asi como el número de valores de ρ y θ.

Generar el acumulador H(ρ,θ); poner todos sus valores a cero.

Para todos los puntos de borde (ui,vi)Calcular la dirección del vector gradiente θ.Obtener ρ de la ecuación ρ=uicos θ+visen θ.Incrementar H(ρ,θ).

Para todas las celdas en el acumuladorBuscar los valores máximos del acumulador.Las coordenadas (ρ, θ) dan la ecuación de la recta de la imagen


Extracción de curvasExtracción de curvasTransTrans. de . de HoughHough: Círculos: Círculos

La detección de círculos es similar al de rectas.

Los círculos están definidos por tres parámetros: centro (a, b) y radio r

Ahora el espacio de parámetros es tridimensional con células cúbicas y acumuladores de la forma H(a,b,r).

El procedimiento consiste en incrementar “a” y “b”, y hallar “r” para quesatisfaga la ecuación del círculo, y actualizar el valor del acumuladorcorrespondiente a la célula asociada con el vector (a,b,r).

Es evidente que esta tercera dimensión incrementa notablemente el número de operaciones.

( ) ( )u a v b r− + − =2 2 2

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Extracción de curvasExtracción de curvasTransTrans. de . de HoughHough: Círculos: Círculos

Supongamos que se quiere localizar el centrode un círculo, de radio conocido.En este caso se puede reducir el número de operaciones, utilizando información local acerca de la orientación del borde en cadapíxel, obteniendo, de esta manera la posicióndel centro del círculo.Para ello, se sitúa el centro del círculo (de cada píxel de borde) a una distancia “r” (radio del círculo buscado). Esto se repitepara cada píxel de borde.El número de puntos acumulados es igual al número de píxels de borde en la imagen.Para que esto funcione bien, el operadorutilizado en la detección de bordes debe ser suficientemente preciso (Sobel, por ejemplo)

Radios de longitud “r”y dirección la del gradiente

Puntosacumulados

Borde


Extracción de curvasExtracción de curvasTransTrans. de . de HoughHough: otros tipos de curvas: otros tipos de curvas

La trasformada de Hough se puede aplicar a cualquier función de la forma:

El éxito de la técnica depende de la cuantificación de parámetros:poca resolución: máximos pronunciadosmucha resolución: picos menos definidos.

Hay que tener presente el crecimiento exponencial de las dimensionesdel array acumulador con el número de parámetros de las curvas. Porello la aplicacion práctica se limita a curvas con pocos parámetros.

f x cx es un vector de coordenadasc es un vector de coeficientes( , ) =

0

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TransTrans. de . de HoughHough GeneralizadaGeneralizada

La trasformada de Hough “clasica” se parte de la ecuación analítica de la figura para poder pasar del espacio coordenado de la imagen al espacio de parámetros.En el caso de que no se disponga de la expresión analítica del borde que se desea buscar, se recurre a la transformada de Hough generalizada.Suponiendo conocida la forma y orientación del objeto, los pasos a seguirson:

Se selecciona un punto de referencia arbitrario en el objeto (uref, vref).A partir de ese punto de referencia se define la forma del objeto.

(uref, vref)

β Ω



Para cada punto de la frontera (ui,vi) se obtiene, con respecto al punto de referencia:

• Orientación Ωi

• Distancia ri

• Dirección βi

La tabla que almacena los valores de (ri, βi) indexados con Ωi se denomina tabla-R.Al construir la tabla-R, hay que tener presente que una determinada orientación Ωi se puede repetir más de una vez a lo largo de la frontera (por tanto, hay que prever en la tabla más de un registro de distancias y orientación para cada valor de Ω)Una vez construida la tabla-R, el espacio de Hough se define en función

de las posibles posiciones de la figura en la imagen, función a su vez de las posibles posiciones del punto de referencia.

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Aplicar la transformada de Hough:

Para cada píxel (u,v) de la imagen calcular las coordenadas de la celda a incrementar de acuerdo con la expresión:

Los valores de “r” y β a utilizar en la expresión anterior se obtienen de la tabla-R previamente confeccionada, entrando con el valor de Ωcalculado en el píxel (u,v) de la imagen.

Si existen en la tabla varios pares (r, β ) para ese valor de Ω, se utilizan todos, incrementándose, por tanto, diferentes celdas (uref, vref)

u u rv v rsen

ref

ref

= +

= +

cosββ



Si no se conoce la orientación del objeto, hay que aumentar la dimensión del acumulador incorporando un parámetro adicional φque considere las posibles orientaciones del objeto.En este caso se empleará un acumulador tridimensional (uref, vref, φ) que será incrementado utilizando las expresiones:

para todos los valores discretos considerados de φ

Los valores de r y β serán obtenidos de la tabla-R entrando con el ángulo Ω- φ

u u rv v rsen

ref

ref

= + +

= + +

cos( )( )β φ

β φ

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TransTrans. de . de HoughHough GeneralizadaGeneralizadaPseudocódigoPseudocódigo

1. Construir la tabla-R a partir del objeto prototipo.2. Para todos los puntos de borde:

• Calcular la orientación Ω (dirección del gradiente +90º)• Calcular r y β• Añadir un (r, β) en la entrada de la tabla-R indexada por Ω

3. Discretizar el espacio de parámetros, estableciendo valores máximos y mínimos, así como el número total de valores de uref, vref y φ.

4. Generar el acumulador H(uref, vref, φ); poner todos los valores a cero.5. Para todos los puntos del borde (ui, vi)

• Calcular la orientación Ω (dirección del gradiente + 90º)• Para cada orientación posible φ

– Para cada (r, β) indexado por Ω- φen la tabla-R– Evaluar uref=u+r cos(β+ φ) y vref=u+r sen(β+ φ) – Incrementar H(uref, vref, φ).

6. Para todas las celdas en el acumulador:• Buscar los valores máximos del acumulador.• Las coordenadas uref, vref y φdan la posición y orientación del objeto en la

imagen


Extracción de segmentos de línea rectosExtracción de segmentos de línea rectosAjuste de líneas mediante Ajuste de líneas mediante autovectoresautovectores

Objetivo: dados n puntos, se trata de encontrar la mejor recta que minimiza el cuadrado de la suma de las distancias (perpendiculares) entre cada punto y la recta.

Re : min cta buscada d dii

n2 2

1

==∑

n= número de puntos.N= vector unitario normal a la recta “r”

Recta que pasa por el centro de gravedad de los puntos

di

v

u

Puntos

N

r

pi

(ui, vi)

ρ θ

d u v seni i i= − +ρ θ θ[ cos ]

v

u

N

pi

Centro de masas de los puntos

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A la matriz simétrica se le conoce por “scatter matrix”.La mejor línea “r” está caracterizada por el vector normal N queminimiza:

Y ese valor mínimo, se demuestra, que se corresponde con el autovectormás pequeño de S, con la restricción de que

Dado que autovectores (llamémosles w) distintos de matrices simétricas son ortogonales, la línea que mejor se ajusta está en la dirección del principal autovector de S (el autovector asociado al mayor autovalor).

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

d N N p N p

d N d N N p N p p N N p p N

i iT

i

ii

nT

ii

nT

ii

n

iT

i iT

i

n

2 2

2 2

1

2

1 1 1

( )

( ) ( )

= ⋅ =

= = = =

= = = =∑ ∑ ∑ ∑

[ ]S p pi iT

i

n

==∑

1

d N N SNT2 ( ) =

N = 1



Resumen:1. Estandarizar los puntos restando la media del conjunto de todos los puntos

de cada uno de los puntos.

2. Encontrar el autovalor mayor y el autovector asociado de Ω, del conjunto de puntos estandarizados.

3. La mejor recta es la única que pasa por la media del conjunto de puntos y vector director el autovector mayor:

Si puv m

mm n

u u u uv v v v puntos estarizados

u mv m

S

ii

i

n

ni

i

i

es darizada ii

n

iT

:.......... :

tan

=

→ =

=

+ + + ++ + + +

→ =

−−

= ==∑

1

2

1 2 3

1 2 3

1

2

1

1φ

φ φΩ

λ λ λ ν λ ν νI elegir el mayor mayorabx i i i− = → → → = → =

Ω Ω2 2 1 20 , ( )

uv

mm

ab

=

+

1

2ηEcuación paramétrica de r:

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Ejemplos de extracción de segmentos rectosEjemplos de extracción de segmentos rectosutilizando utilizando HoughHough y y autovectoresautovectores

AutovectoresHough

Imagen original Imagen segmentada


Ejemplos de extracción de segmentos rectosEjemplos de extracción de segmentos rectosutilizando utilizando HoughHough y y autovectoresautovectores

Hough Autovectores

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Extracción de segmentos de línea rectosExtracción de segmentos de línea rectosAjuste mediante mínimos cuadrados Ajuste mediante mínimos cuadrados (regresión lineal)(regresión lineal)

Es un método clásico muy utilizado en este tipo de aplicaciones.Se trata de encontrar una recta, tal que la suma de los cuadrados de las distancias verticales de un conjunto de puntos:(ui,vi), i =1, 2,.. N, a ella sea mínima.

[ ]d d a bu vii

n

i ii

n2 2

1

2

1

= = + −= =∑ ∑ ( )

v

u

Puntos

pi=(ui,vi)

v=a+bu

di=[(a+bui)-vi]

Objetivo: obtener “a” y “b” tal que d2 sea mínimo


Extracción de segmentos de línea rectosExtracción de segmentos de línea rectosAjuste mediante mínimos cuadrados Ajuste mediante mínimos cuadrados (regresión lineal)(regresión lineal)

Los valores de “a” y “b” vienen dados por:

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1

1

2

1

2

uu

u

ab

vv

v

ab

U B U pseudoinversa de U

U A Bn n

. .

. ...

;* *

=

→

= =

=

an u v u v

u u

bu v u u v

u u

i ii

n

ii

n

ii

n

i ii

n

i

n

ii

n

ii

n

ii

n

i ii

n

i ii

n

i

n=

−

−

=

−

−

= = =

==

= = = =

==

∑ ∑ ∑

∑∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑∑1 1 1

2

1

2

1

1 1 1 1

2

1

2

1

;

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Extracción de polinomiosExtracción de polinomiosAjuste mediante mínimos cuadrados Ajuste mediante mínimos cuadrados (regresión lineal)(regresión lineal)

El criterio de mínimos cuadrados se puede extender para el ajuste de polinomios de cualquier grado.

[ ]d d a a u a u a u vii

n

i i m im

ii

n2 2

11 2 3

2 2

1

= = + + + + −= =∑ ∑ ( ..... )

11

1

1 12

1

2 22

2

2

1

2

1

2

1

2

u u uu u u

u u u

aa

a

vv

v

aa

a

U B U

m

m

n n nm

m n m

....

..... . . .... .. . . .... .

....

.

...

.

.;* *

=

→

= = pseudoinversa de U

U A B=


Extracción de segmentos de línea rectosExtracción de segmentos de línea rectosCódigo cadenaCódigo cadena

Dado el código cadena de un contorno, se define el histograma del mismo de la siguiente forma:

Donde C(i) es la frecuencia de aparición del número de un determinado código de cadena, i designa el correspondiente código de cadena y N es el cardinal de A (el número de barras del histograma).

Ejemplo: código cadena: (4,3), 111111777777777555555333333333

A i C i N cardinal A= = ( ); ( )

0 1 2 3 4 5 6 7

C(i)

i

6

9

0

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Extracción de segmentos de línea rectosExtracción de segmentos de línea rectosCódigo cadena: AlgoritmoCódigo cadena: Algoritmo

1. Si el histograma tiene 4 o más barras (N≥4), la línea no es recta, ya que tiene al menos 4 orientaciones diferentes.

2. Si el histograma tiene una única barra (N=1), la línea es puramente recta con alguna de las 8 posibles direcciones.

3. Si el histograma tiene 2 barras (N=2), se pueden dar dos casos:Si las dos barras son adyacentes, de nuevo hay que considerar dos casos:• Si la máxima longitud del código de menor frecuencia es menor que un

umbral prefijado T, la línea se declara recta.• Si la máxima longitud del código de menor frecuencia es mayor que un

determinado umbral T, la línea se declara no recta.Si las 2 barras no son adyacentes, esta línea se declara no recta (la línea contiene al menos dos orientaciones diferentes, y los ángulos de esas orientaciones difieren al menos 90º).

4. Si el histograma tiene 3 barras (N=3), se pueden dar dos casos:Si las barras son adyacentes entre sí, la barra central es la más larga, y la altura de la barra vecina más próxima es menor que un umbral T fijado por el usuario, entonces es declarada como recta.Si de las 3 barras 2 no son adyacentes, esta línea se declara no recta. La línea tiene al menos dos orientaciones diferentes cuyos ángulos difieren al menos 90º.


Representación de contornosRepresentación de contornosSignaturasSignaturas

La idea es representar el contorno como una función polar unidimensional.El procedimiento más habitual consiste en calcular un punto característico del interior del contorno, por ejemplo el centro de masas (centroide) y a partir de el, representar la distancia de cada punto del contorno a dicho centroide en función del ángulo

θr θr

π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π

r(θ)A

r(θ) A

√2 A

π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π

A

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Representación de contornosRepresentación de contornosSignaturasSignaturas

Este tipo de representación es invariante a la posición del objeto en la imagen, pero depende del tamaño y del punto de comienzo (punto por donde se empieza a describir la frontera).Invarianza al tamaño: se consigue dividiendo la función por la distancia máxima al centroide, de forma que la distancia máxima será uno.Invarianza al ángulo de comienzo: se consigue comenzando la representación por el ángulo para el cual la distancia es máxima.Presenta dos inconvenientes:

1. Es muy sensible a la posición del centroide

2. Las concavidades pueden dar lugar a una representación multievaluadapara algunos ángulos (varias distancias para un mismo ángulo)

r

a

ra

θ2π


DescripciónDescripción de de contornoscontornosDescriptoresDescriptores de Fourierde Fourier

La transformada de Fourier permite extraer las componentes en frecuencia de una curva discreta cerrada (puesto que el contorno de un objeto es una curva cerrada, y por tanto periódica)

v

u (eje real)

(eje imaginario)

uk

vk

Si: s(k) = uk+jvk

F w F s kN

s kjN

wk w Nk

N

( ) [ ( )] ( ) exp[ ], , , ,...= = − = −=

−

∑1 20 1 2 1

0

1 π

F w F F F F N( ) ( ), ( ), ( ),....... ( )= −0 1 2 1 Definen el contornoComponentes de Fourier

Contorno de N puntos

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La transformada de Fourier inversa de F(w):

En muchas ocasiones se puede recuperar el contorno con una buena aproximación con un número M de componentes F(w) inferior a N: M componentes mayores

s kN

F wjN

wk k Nw

N

( ) ( ) exp[ ], , , ,...= − = −=

−

∑1 20 1 2 1

0

1 π

Recuperación del contorno a partir de las componentes de Fourier



Efecto de la rotación, translación, escalado en las componentes de Fourier

[ ( ) ]exp[ ] ( ) exp[ ]s k ejN

wk e s kjN

wkj

k

Nj

k

Nθ θπ π

− = −=

−

=

−

∑ ∑2 2

0

1

0

1Rotación (θ):

[ ( )]exp[ ] ( ) exp[ ]Cs kjN

wk C s kjN

wkk

N

k

N

− = −=

−

=

−

∑ ∑2 2

0

1

0

1π πEscalado (C):

[ ( ) ]exp[ ] ( ) exp[ ] exp[ ]s k sjN

wk s kjN

wk sjN

wkk

N

k

N

k

N

− − = − + −=

−

=

−

=

−

∑ ∑ ∑00

1

0

1

00

12 2 2π π π

Translación (s0):

exp[ ],

,−

= ≠=

=

−

∑ jN

wkw

N wk

N 2 0 000

1 π

20



Para hacer que los descriptores de Fourier (DF) sean invariantes a: rotación, translación, escalado:1. Invariante a rotación: tomando solamente el módulo (| e jθ |=1).2. Invariante a traslación: eliminando F(0).3. Invariante a escalado: Dividiendo por F(1)

Entre 10 y 15 descriptores son suficientes para definir cualquier forma.

DF iFF

FF

FF

F MF

( )( )( )

,( )( )

,( )( )

, ................,( )( )

=

21

31

41 1


DescripciónDescripción de de contornoscontornosDescriptoresDescriptores de Fourier: de Fourier: otraotra alternativaalternativa

Dado un objeto en una escena, se hace la representación unidimensional de su contorno mediante el código cadena.Si el contorno incluye N píxeles (0, 1, …. N-1), su reperesnetación mediente el código cadena será (tomando, por ejemplo el píxel 0 como el origen y recorriendo el contorno en sentido antihorario):

C(k)= valor del código cadena

k= orden del píxel

76543210

0 1 2 3 4 5 …………….. N-1

Función periódica

periodo

21


DescripciónDescripción de de contornoscontornosDescriptoresDescriptores de Fourier: de Fourier: otraotra alternativaalternativa

La transformada de Fourier de la función periódica, C(i), será:

La transformada de Fourier inversa de F(w):

F w F C kN

C kjN

wk w Nk

N

( ) [ ( )] ( ) exp[ ], , , ,...= = − = −=

−

∑1 20 1 2 1

0

1 π

F w F F F F N( ) ( ), ( ), ( ),....... ( )= −0 1 2 1

C kN

F wjN

wk k Nw

N

( ) ( ) exp[ ], , , ,...= − = −=

−

∑1 20 1 2 1

0

1 π

Definen el contorno

Recuperación del contorno a partir de las componentes de Fourier



Por tanto un objeto puede caracterizarse mediante sus componentes de Fourier: Descriptores de Fourier (DF).

Con el objetivo de hacer que los descriptores de Fourier sean invariantes a translaciones y rotaciones se toman los módulos de los descriptores, y para hacerlos invariantes a la escala (homotecias) se normalizan respecto al primero:

Entre 10 y 15 descriptores son suficientes para definir cualquier forma

DF iFF

FF

FF

F MF

( )( )( )

,( )( )

,( )( )

, ................,( )( )

=

21

31

41 1

22


DescripciónDescripción de de contornoscontornosEjemplosEjemplos

DF i( ) . , . , . , .= 0 3022 0 3458 0 3458 01577

DF i( ) . , . , . , .= 0 3763 0 2539 0 2040 01530

DF i( ) . , . , . , .= 18083 0 2366 0 9284 01602


Extracción de contornosExtracción de contornosFunciones Funciones splinessplines

La interpolación de una función dada mediante un conjunto de polinomios cúbicos, preservando la continuidad en la primera y segunda derivada en los puntos de interpolación, se conoce como funciones splines cúbicos.

La función spline se usa generalmente para aproximar una curva que pasa a través de una serie de puntos dados

(u0,v0)

(u1,v1) (u2,v2)

(un-1,vn-1)

(un,vn)v

u

La función v=f(u) es una splinecon grado m si satisface:

1. f(u) es un polinomio de orden ≤ men cualquier intervalo [ui-1,ui],i=0,1,… n.

2. f(u) y sus derivadas hasta el orden m-1son continuas en el intervalo [u0,un]

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Extracción de contornosExtracción de contornosFunciones Funciones splinessplines

Sea una función spline de grado m en el intervalo (ui-1, vi) y la derivada de orden r .

Los puntos (u1, v1), …… (un-1, vn-1) son llamados nodos.

La condición de continuidad es:

A partir de la ecuación anterior, se obtiene la siguiente ecuación:

P um i, ( )P um i

r,

( ) ( )

P u P u para r m i mm ir

i m ir

i,( )

,( )( ) ( ); , ,....., ; , ,.....= = − = −+1 0 1 1 1 2 1

P u P u c u um ir

i m i i i im

,( )

,( ) ( ) ( )= + −


Extracción de contornosExtracción de contornosFunciones BFunciones B--splinessplines

Las B-splines son trozos de curvas polinomiales guiadas por una secuencia de puntos.Las B-splines se clasifican de acuerdo al grado.Dada una secuencia de puntos, u0, u1, …, un, un spline de grado m se define por n+1-m polinomios.Cada polinomio es representado como una combinación lineal de m+1puntos.Los splines cúbicos son los más ampliamente utilizados.El polinomio cúbico i-ésimo está dado por:

donde B0, B1, B2 y B3 son polinomios cúbicos con respecto al parámetro t (0≤ t ≤1)

P t B t u B t u B t u B t ui i i i i( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + +− + +0 1 1 2 1 3 2

24



Hay que determinar 16 coeficientes incluidos en los cuatro polinomios de al ecuación anterior.

La condición de que los segmentos de curva adyacentes Pi(t) y Pi+1(t) deben ser continuos hasta la segunda derivada para cualquier uk con k=i-1, i, i+1, i+2, i+3, proporciona 15 ecuaciones.

u0u1

ui

ui+2 un

ui-1

ui+1

un-1

P1Pi-1

Pi Pi+1

Pi+2 Pn-1



Por ejemplo Pi(1)=Pi+1(0) se escribe como:

que proporciona las siguientes cinco ecuaciones:

Para la continuidad de la primera y segunda derivada se obtienen otras 5 ecuaciones para cada una, y una ecuación más proporcionada por la condición de que la forma de Pi(t) es invariante a la transformación de coordenadas:

Resolviendo esas 16 ecuaciones se obtienen los 16 coeficientes buscados

B u B u B u B u B u B u B u B ui i i i i i i i0 1 1 2 1 3 2 0 1 1 2 2 3 31 1 1 1 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− + + + + ++ + + = + + +

B B B B B B B B0 1 0 2 1 3 2 31 0 1 0 1 0 1 0 0 0( ) ; ( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( ); ( )= = = = =

B t B t B t B t0 1 2 3 1( ) ( ) ( ) ( )+ + + =

B tt

B tt

t B tt t t

B tt

0

3

1

32

2

3 2

3

316 2

23 2 2 2

16 6

( )( )

; ( ) ; ( ) ; ( )=−

= − + = − + + + =

25

DescripciónDescripción de de regionesregiones

Básicas: perímetro, área, compactividad, rectangularidad.Momentos invariantes.Momentos invariantes a partir del código cadena.Descriptores topológicos.Texturas


DescripciónDescripción de de regionesregionesPerímetroPerímetro

Para calcular el perímetro (P) solamenta hay que recorrer completamente el contorno, partiendo de un punto: P= Nº de desplazamientos horizontales + Nº de desplazamientos verticales +

√2 x Nº desplazamientos diagonales.

Utilizando el código cadena:P= Nº de códigos pares + √2 x Nº de códigos impares

región contorno

26


DescripciónDescripción de de regionesregionesÁreaÁrea

A partir del código cadena del contorno: para cada píxel de coordenadas (u,v) del contorno se define: ∆ui=ui-ui-1 e ∆vi=vi-vi-1, done “i” es uno de los segmentos que forman el código cadena.En este caso: ∆ui e ∆vi pueden tomar valores 1, 0, -1

A u v v ui i i ii

n

= −=∑1

2 1( )∆ ∆

A pixeles R= ∈∑ ;

∆ui =0 ∆vi=-1 ∆ui =1

∆vi=-1

∆ui =1∆vi= 0

∆ui =-1 ∆vi=-1

∆ui =-1 ∆vi=0

∆ui =-1 ∆vi=1

∆ui =0 ∆vi=1

∆ui =1 ∆vi=1

0

123

4

5 67


DescripciónDescripción de de regionesregionesÁreaÁrea

A u v v ui i i iL

n

= − =

⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ +⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − +⋅ − ⋅ − + ⋅ − ⋅ − +⋅ − − ⋅ − + ⋅ − − ⋅ +⋅ − − ⋅ +

=∑1

2

12

3 0 1 1 4 0 1 1 1 1 16 1 2 0 6 1 3 0 6 1 4 1

0 5 1 4 0 5 13 1 5 1 2 1 4 02 1 3 0 2

1( )

[ ] [ ] [5 ][ ] [ ] [ ( )][5 ( )] [ ( )][ ( ) ( )] [ ( ) ][ ( ) ] [ (

∆ ∆

− − ⋅ +⋅ − ⋅

=

1 2 02 0 1 1

14 5

) ][ ]

.

v

u0 1 2 3 4 5 6 7

01234567

Obsérvese como el área obtenida utilizando el código cadena coincide con laencerrada por la línea roja (línea que une los centros de cada píxel del contorno)

27


DescripciónDescripción de de regionesregionesCompactividadCompactividad, , rectangularidadrectangularidad

Compactividad (C):

Rectangularidad (R):

Cperimetro

erficie=

( )sup

2

Cr

r= =

( )24

2

2

ππ

π CL

L L= =

4 42

W

L

AR

W LA

=⋅

θθ se elige para que WxL sea mínima


DescripciónDescripción de de regionesregionesMomentosMomentos invariantesinvariantes

Dada una función continua f(u,v) se define su momento de orden p+q:

Si f(u,v)=1:

En el caso de una imagen digital binaria [f(u,v)=1: objeto, f(u,v)=0: fondo]:

donde el sumatorio se toma sobre todas las coordenadas (u,v) de puntos de la región (objeto).

m u v f u v dudvp qp q

R, ( , )= ∫∫

m u v dudvp qp q

R, = ∫∫

m u vpqp q

vu= ∑∑

m erficie en pixeles de un objetovu

00 1= =∑∑ sup

u

v

R f u v u v Rf u v u v R

( , ) , ( , )( , ) , ( , )

= ∀ ∈= ∀ ∉

10

28



Momentos invariantes a la posición (translación): momentos centrales

donde y son las coordenadas del centroide o centro de masas del objeto:

Ángulo que forma el eje de mínima inercia con el eje u:

µ pqp q

vu

u u v v= − −∑∑ ( ) ( )

u v

umm

uv

mm

v= = = =

∑∑∑∑

∑∑∑∑

10

00

01

001 1;

θ =−

− − −−1

221 00 11 10 01

00 20 102

00 02 012tan

( )( ) ( )

m m m mm m m m m m

v

uθ


DescripciónDescripción de de regionesregionesMomentosMomentos invariantesinvariantes:: EjemplosEjemplos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 01234567

v

um

m u x x x x x

m v x x x

m u x x x

m v x x x

vu

vu

vu

vu

vu

004

6

4

11

104

6

4

11

014

6

4

11

202 2 2 2

4

6

4

11

022 2 2 2

4

6

1 24

4 3 5 3 6 3 7 3 11 3 180

4 8 5 8 6 8 120

4 3 5 3 11 3 1476

4 8 5 8 6 8 1476

= =

= = + + + + + =

= = + + =

= = + + =

= = + + =

==

==

==

==

==

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑

......

....

4

11

114

6

4

11

12 2

4 4 4 5 4 6 5 4 11 5 11 6 900

18024

7 512024

5

12

2 24 900 180 12024 1476 180 24 616 120

0

∑

∑∑= = + + + + + + =

= = = =

=−

− − −=

==

−

m uv x x x x x x

u v

x xx x

vu...

. ; ;

tan( )

( ) ( )ºθ

29



Los momentos centrales se pueden obtener a partir de los generales, según la siguiente expresión:

µ

µ µ

pq rp

sq r s

p r q ss

q

r

p

rp

sq

C C u v m m

con Cp

r p rC

ps p s

C

u u v v

= − −

=−

=−

= − = = − =

− −==∑∑

∑∑ ∑∑

( ) ( )

:!

!( )!,

!!( )!

( ) , ( )

00

10 010 0



Los momentos invariantes ante escalado (momentos centrales invariantes) se obtienen a partir de:

Demostración de invarianza frente al escalado utilizando los momentos generales (mpq) :Normalizando con respecto al escalado:

Si se fuerza a que entonces:

ηµ

µγγpq

pq dondep q

para p q= =+

+ + =( )

; : , , ,....00 2

1 2 3

m u v f dudv f u v du dv m mpqp p u v p q

pqp q

pq* * * * * *( , ) ( , )= = → =∫∫ ∫∫+ + + +

λ λ λ λ2 2

m00 1* =

λ2

002

1

002

1

12+ +

++

++

= → = + ≥p qp q pq

pqp q

mm

m

mp q

( ) ( ),*

30



Finalmente, los momentos invariantes a traslaciones, rotaciones y cambios de escala, propuestos por Hu (1962):

φ η η

φ η η η

φ η η η η

φ η η η η

φ η η η η η η η η

η η η η η η η η

φ η η η η

1 20 02

2 20 022

112

3 30 122

21 032

4 30 122

21 032

5 30 12 30 12 30 122

21 032

21 03 21 03 30 122

21 032

6 20 02 30 12

43 3

3 33 3

= +

= − +

= − + −

= + + +

= − + + − − +

− + + − +

= − +

( )( ) ( )( ) ( )( )( )[( ) ( ) ]( )( )[ ( ) ( ) ]( )[( ) ( ) ] ( )( )( )( )[( ) ( ) ]( )( )[ ( ) ( ) ]

221 03

211 30 12 21 03

7 21 30 30 12 30 122

21 032

21 30 21 03 30 122

21 032

43 33 3

− + + + +

= − + + − + +

− + + − +

η η η η η η η

φ η η η η η η η η

η η η η η η η η

φ θ θ η θη

η ηpqq s

rp

sq p r s q s r

p r q s r ss

q

r

p

C C sen= − =−

− − + − +− + − +

==

−∑∑ ( ) (cos ) ( ) , tan,112

2

00

1 11

20 02


DescripciónDescripción de de regionesregionesMomentosMomentos invariantesinvariantes a a partirpartir del del códigocódigo cadenacadena

m u v dudvpqp q

R

= ∫∫R C

v

u

f(u,v) =1

∂∂

∂∂

∂∂∂∂

Su

Tv

dudv Sdv Tdu siS u v

Su

p u v

T u vTv

q u vR C

p q p q

p q p q−

= +

= → = +

= − → = − +

∫∫ ∫+

+

; :( )

( )

1

1

1

1

( )p q u v dudv u v dv u v dup q

R

p q p q

C

+ + = −∫∫ ∫ + +2 1 1

mp q

p q u v dudvp q

u v dv u v dupqp q

R

p q p q

C

=+ +

+ + =+ +

−∫∫ ∫ + +11

21

11 1( )

31



C

v

u

m

ui-1 ui

vi-1

viv v m u u

mv vu u

vu

dvdu

i i i

ii i

i i

i

i

− = −

=−−

= ≈−

−

( )

1

1

∆∆

mp q

u v m u u m du u v m u u du

i N

pqp

i i iq

ip

i i iq

C

=+ +

+ − − + −

=

+ +∫1

1

1 2

1 1[ ( )] [ ( )] ;

, ,.... donde N es el número de segmentos que constituyen el objeto

mp q

u v m u u m u v m u u dupqp

i i iq

ip

i i iq

u

u

i

N

i

i

=+ +

+ − − + −

+ +

=−

∫∑11

1 1

11

[ ( )] [ ( )]



∆ui =-1 ∆vi=0

∆ui =0 ∆vi=-1

∆ui =1 ∆vi=-1

∆ui =1∆vi= 0

∆ui =-1 ∆vi=-1

∆ui =-1 ∆vi=1

∆ui =0 ∆vi=1

∆ui =1 ∆vi=1

012

34

5 67

A u v v ui i i i i= −( )∆ ∆Llamando:

m A

m A v v

m A u u

m A u v u v v u u v

m A u u u u

m A v v v

ii

N

ii

N

i i

ii

N

i i

ii

N

i i i i i i i i

ii

N

i i i i

ii

N

i i i

001

011

12

101

12

111

12

12

13

201

2 13

2

021

2 1

12

13

13

14

14

14

=

= −

= −

= − − +

= − +

= − +

=

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

( )

( )

( )

( )

(

∆

∆

∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆

∆ 32

301

3 2 32

2 14

3

031

3 2 32

2 14

3

15

15

∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

v

m A u u u u u u

m A v v v v v v

i

ii

N

i i i i i i

ii

N

i i i i i i

)

( )

( )

= + − −

= + − −

=

=

∑

∑m00 = perímetro

32


DescripciónDescripción de de regionesregionesDescriptoresDescriptores topológicostopológicos

Las propiedades topológicas son usadas para la descripción global de regiones en la misma imagen. Esto es, propiedades de la figura que no se ven afectadas por las deformaciones.Los descriptores topológicos no tratan de dar un número exacto, sólo dar una idea sobre la forma del objeto.Algunos descriptores topológicos:

Nº de huecos en una región (C).Nº de componentes conectados (H): elementos separados que forman un objeto.Nº de Euler: Diferencia entre los dos anteriores (E=C-H).

C=1, H=1, E=0 C=1, H=2, E=-1 C=2, H=0, E=2


DescripciónDescripción de de regionesregionesDescriptoresDescriptores topológicostopológicos

En las figuras formadas únicamente por líneas rectas, llamadas redes poligonales, suele ser de interés distinguir entre dos tipos de regiones interiores de dicha red: caras y huecos.

Caras (F)

Huecos (H)

Vértices (V)

Lados (S)

E=V-S+F=C-H

Para el ejemplo de la figura:E=6- 9+2= 1-2=-1

33


TexturasTexturasGeneralidadesGeneralidades

No existe una definición formal de textura, aunque la idea intuitiva es fácil de asimilar.

Existen parámetros mediante los cuales se pueden evaluar texturas.Conceptualmente, la característica principal de una textura es la repetición de un patrón básico.

La estructura del patrón básico puede no ser determinista, sino estadística.

La repetición del patrón básico puede no ser ni regular ni determinista, sino estadísticamente regular.


TexturasTexturasEjemplosEjemplos

34


TexturasTexturas¿¿DóndeDónde estáestá la la texturatextura de un de un objetoobjeto??

¿Transición de objetos a texturas?


TexturasTexturas¿¿DóndeDónde estáestá la la texturatextura de un de un objetoobjeto??

35


TexturasTexturasClasificaciónClasificación

Regla de repetición:1. Repetitivas: repetición periódica de un

patrón sobre una superficie mucho mayor que el patrón.

2. Aleatorias: El patrón que se repite no lo hace de forma periódica, aunque exista cierta regla de formación.

Patrón3. Determinístico (regular o estructurado):

ordenamientos regulares que normalmente son artificailes.

4. Estocásticos (irregular o aleatorio): suelen ser naturales: tierra, arena, etc

1.3.

2.

4.


TexturasTexturasModelosModelos en el en el tratamientotratamiento

Métodos estructurales: La descripción de la textura se realiza a través de gramáticas. Una de las más interesantes es la denominada gramática de formas.

Análisis frecuencial: Se puede utilizar el análisis en el dominio de la frecuencia, porque una textura es una señal más o menos periódica. El contenido frecuencialde una textura da idea sobre su distribución en el espacio.

Métodos estadísticos: Estadísticos de primer orden: Miden valores dependientes de los niveles de gris de la imagen. Dependen sólo de los niveles de gris de un píxel y no de su relación con los vecinos. Los atributos de un histograma son estadísticos de primer orden.Estadísticos de segundo orden: se basan en la observación de un para de valores de gris que ocurren en los extremos de un “dipolo” de longitud preestablecida, situado en cualquier posición y orientación de la imagen. Son propiedades de pares de píxeles.

Aquí solamente nos vamos a referir a análisis frecuencial y métodos estadísticos

36


TexturasTexturasÁnalisÁnalis frecuencialfrecuencial

Dado que un atributo de las texturas es la frecuencia de repetición del patrón, una textura fina (con muchos cambios) tendrá componentes de alta frecuencia, mientras que una textura más rugosa (patrón de repetición más grande) tendrá su energía concentrada en las bajas frecuencias.

Autocorrelación (C): Es uno de los parámetros más utilizados (dentro del análisi en frecuencia):

donde W una región (ventana) de la imagen

C i jI u v I i u j v

I u vv Wu W

v Wu W

( , )( , ) ( , )

( , )=

+ +∈∈

∈∈

∑∑∑∑ 2


TexturasTexturasEstadísticosEstadísticos de primer de primer ordenorden

Si P(f) es el histograma, suponiendo L niveles de gris diferentes, el momento de orden “n” respecto a la media se define como:

Siendo el nivel medio de gris:

El momento de segundo orden es de particular interés para la descripción de texturas. En concreto la suavidad relativa (R):

m f f P f

m f f P f m f f P f m f f P f ianza

n n

f

L

f

L

f

L

f

L

= −

= − = = − = = = − →

=

−

=

−

=

−

=

−

∑

∑ ∑ ∑

( ) ( )

( ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( ) var ;

0

1

0 0

0

11 1

0

12 2 2

0

1

1 0 σ

f f P ff

L

= ⋅=

−

∑0

1

( )

Rm

= −+

11

1 2

37


TexturasTexturasEstadísticosEstadísticos de de segundosegundo ordenorden

Matriz de co-ocurrencia: Es una de las fuentes de propiedades de la textura más importantes.

Dada una imagen, se define:

Un operador de posición de píxel dentro de la imagen: P≡(d cosθ, d senθ)Ejemplos: P≡(1 cos45, 1sen45)= “un píxel por encima y uno a la derecha”P≡(1 cos180, 1sen180)= “un píxel a la izquierda”.

Una matriz A de dimensiones kxk cuyo elemento aij es el número de veces que los píxeles cuya intensidad es zi aparecen en la posición especificada por P en relación a puntos de intensidad zj, con 1≤i, j ≤ k.



Ejemplo: considerando P= “un píxel por encima y uno a la derecha” , y una imagen con tres niveles de gris: z0=0, z1=1, z2=2, los elmento de la matriz A son:

a11: Número de veces que un píxel de intensidad z0=0 aparece un píxel a la derecha y un píxel por encima de píxeles de intensidad z0=0 .

a12:Número de veces que un píxel de intensidad z0=0 aparece un píxel a la derecha y un píxel por encima de píxeles de intensidad z1=1 .

a13:Número de veces que un píxel de intensidad z0=0 aparece un píxel a la derecha y un píxel por encima de píxeles de intensidad z2=2 .

a21:Número de veces que un píxel de intensidad z1=1 aparece un píxel a la derecha y un píxel por encima de píxeles de intensidad z0=0.





a33:Número de veces que un píxel de intensidad z2=2 aparece un píxel a la derecha y un píxel por encima de píxeles de intensidad z2=2

38



Para P= “un píxel por encima y uno a la derecha” y una imagen I como la indicada, la matriz A es:

El tamaño de la matriz A está determinado únicamente por el número de niveles de intensidad distintas de la imagen de entrada. En ocasiones se cuantifica la imagen de entrada con un menor nivel de grises para que A sea “manejable”.

I =

0 1 0 2 00 1 1 2 10 1 0 0 21 0 2 1 20 0 1 2 1

A =

2 1 23 3 02 2 1



Tomando n como el número total de pares de puntos de la imagen que satisfacen P (en el ejemplo anterior n=2+1+2+3+3+0+2+2+1=16).Se define una matriz C como la formada dividiendo cada elemento de A por n.Cada elemento de la matriz C, cij es una estimación de la probabilidadacompuesta de que un par de puntos que satisfagan P tengan valores (zi, zj).La matriz C se llama matriz de coocurrencia del nivel de gris.Debido a que C depende de P, esposible detectar la presencia de unos patrones de textura dados, eligiendo adecuadamente el operador de posición P.Un conjunto de descriptores propuestos por Haralick (1979) o Ballard y Brown (1982) utilizando los coeficientes de la matriz C se indican a continuación

39



1. Probabilidad máxima:

2. Energía:

3. Momento de distancia de elementos de orden k:

4. Momento inverso de distinción de elementos de orden k:

max( ),

ciji j

cijji∑∑

2

( )i j ck

jiij−∑∑

c

i ji j

ijji

k

∑∑−

≠( )



5. Entropía:

6. Uniformidad:

7. Correlación:

donde:

− ∑∑ c cijji

ijlog

cijji

2∑∑

( )( )i j cx y ijji

x y

− −∑∑ µ µ

σ σ

µ µ σ µ σ µx ijji

y ijji

x x ijji

y y ijij

i c j c i c i c= = = − = −∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑; ; ( ) ; ( )2 2 2 2

40



8. Inercia:

9. Homogeneidad local:

( )i j cijji

−∑∑ 2

11 2+ −∑∑ ( )i j

cji

ij

visiÓn por computador · trans. de hough generalizada ¾la trasformada de hough “clasica” se...

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