Trasformada de Laplace Definicin de la TransformadaSea f una funcin definida para , la transformada de Laplace de f (t) se define como

Cuando tal integral converge

1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracin se considera constante2. La transformada de Laplace convierte una funcin en t en una funcin en la variable s 3. Condiciones para la existencia de la transformada de una funcin: 1. De orden exponencial2. Continua a trozos

Definicin: (Transformada de Laplace) Sea f (t) una funcin con dominio en [0, ). La Transformada de Laplace de f (t) es la funcin F (s) que se obtiene como sigue

Ntese que F(s) es una funcin en la variable s cuyo dominio consta de todos los valores de s para los cuales la integral existe es decir es convergente. Adems es una integral impropia, por lo que

Lo cual restringe las funciones f (t) que para las cuales puede existir transformada de Laplace.La transformada de Laplace de una funcin cualquiera se denota utilizando la letra mayscula correspondiente a la funcin Transformada o utilizando notacin de operadores como L {.}; por ejemplo la transformada de Laplace de una funcin g (t) se denotara como G (s) o L {g} (t).Una primera forma de obtener la transformada de Laplace de una funcin, si es que esta tiene, nos la proporciona la definicin, es decir que si tenemos una funcin f (t) cualesquiera, su transformada de Laplace se obtiene evaluando la integral dada o en forma equivalente como en los siguientes ejemplos:

Ejemplo: Determine la transformada de Laplace de las siguientes funciones: f (t) = et

Solucin: Utilizando la definicin

Evaluando el lmite de la ltima expresin nos damos cuenta que

De donde

Siempre y cuando s > 1, de otra manera este lmite no existira. Por lo tanto la transformada de Laplace de f (t) = et es

Condiciones de Existencia de la Transformada de Laplace

Antes de enunciar el teorema de existencia de la transformada de Laplace de una funcin es preciso definir un concepto para el teorema de existencia de la TL (Transformada de Laplace) de una funcin.

Definicin: (Orden Exponencial) Se dice que una funcin f (t) es de orden exponencial si existen constantes positivas T y M tales que

Para todo valor de t T.

En otras palabras, una funcin es de orden exponencial , si se puede encontrar una funcin exponencial adecuada MeT que est por encima de la funcin f (t) a partir de un valor determinado para t.

Ejemplo: La funcin f (t) = t2 +4Es de orden exponencial = 1 ya que la funcin exponencial

Ya que la funcin exponencial (en rojo) crece ms rpido que f (t) (en azul) a partir de cierto valor T.

Teorema: (Existencia de la TL) Si f (t) es una funcin continua a trozos en [0, ) y de orden exponencial , entonces L {f} (s) = F (s) existe para s > .

La interpretacin de este resultado es sencilla: ya que la transformada de Laplace es una integral impropia, esta integral converge siempre y cuando la funcin dada no crezca ms rpido que la funcin exponencial eset. Es preciso sealar que el teorema proporciona una condicin suficiente ms no necesaria para la existencia de la TL de una funcin, esto es que una funcin que no es de orden exponencial puede tener TL.

Transformada Inversa de Laplace

La Transformada inversa de una funcin en s, digamos F(s) es una funcin de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir

Si es que acaso

Esta definicin obliga a que se cumpla:

Definicin: (Transformada Inversa de Laplace) La Transformada Inversa de Laplace de una funcin F (s) es una funcin nica L1 {F} (t) = f (t), que es continua en [0, ), tal que satisface

En otras palabras, la transformada inversa de Laplace de una funcin F (s) es una funcin f (t) cuya TL sea F (s).

A la transformada inversa de una funcin se le denota con la letra minscula correspondiente a la de su transformada o utilizando el operador transformada inversa L1 {.}

Para funciones simples, la forma ms prctica de encontrar la transformada inversa de una funcin dada F (s), es observando la tabla de transformadas. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos:

Encuentre la transformada inversa de las siguientes funciones:

Solucin

Solucin:

No siempre las funciones de las cuales hay que encontrar su transformada inversa son funciones simples, en ocasiones hay que recurrir a ciertas propiedades o tcnicas algebraicas que nos permitan tener funciones simples a partir de funciones complejas y as poder encontrar su transformada inversa con la ayuda de una tabla de transformadas.

Tabla de Transformadas

Conclusin:

En esta investigacin se analiz y se observ en que consiste la trasformada de Laplace, as como algunas caractersticas, estas tipo de mtodo nos sirve para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior ecuaciones no homageneas.La trasformada de laplase como su nombre nos dice que si tenemos una funcion f(t) el objetivo es trasformarla a una ecuacion f(s) pero para que esto se pueda llevar acabo existen una serie de condiciones y aplicaciones que se observaron en esta inestigacionLa Transformada de Laplace es una tcnica Matemtica que forma parte de ciertas transformadas integrales Estas transformadas estn definidas por medio de una integral impropia y cambian una funcin en una variable de entrada en otra funcin en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algn tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes

Bibliografia:Ecuaciones Diferenciales 6ta Edicion Dennis G. ZillCapitulo 7 la trasformada de laplace Pgina 295